备战中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶锐角三角函数及答案
备战中考数学锐角三角函数(大题培优)及详细答案
备战中考数学锐角三角函数(大题培优)及详细答案
一、锐角三角函数
1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．
试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，
∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，
∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD31．7）．
【答案】32．4米．
【解析】
试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE
，
∴BE=CE•cot30°=12×3=123，
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附答案
在 Rt△ DAH 中，tan∠ ADH= AH 3 ， AD
∴ ∠ ADH=30°， ∴ ∠ APE=30°． 点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．
4．在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线.点 P 在射线 CD 上（与点 C，D 不重合），连接 AP，平移△ ADP，使点 D 移动到点 C，得到△ BCQ，过点 Q 作 QH⊥BD 于点 H，连接 AH、 PH.
2．已知 Rt△ ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边 AC 交⊙O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB 交⊙O 于点 E．
（1）图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 CE 的长？请说 明理由； （2）如图 2，过点 E 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F． ①若 CF=CD 时，求 sin∠ CAB 的值； ②若 CF=aCD（a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB 的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结 果）
中考数学复习指导：《直角三角形的边角关系》专题专练及答案
《直角三角形的边角关系》专题专练
专题一：锐角三角函数
考点分析：
在理解三角函数定义的基础上，理解并掌握三角函数有关的概念及性质； 典例剖析
例1． 如图1，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点
P （3，4），则 sin α= ．
分析：先用勾股定理求出第三边，再利用三角函数的定义求解 解：根据点P 的坐标利用勾股定理可以求得OP=2243+=5. 所以sin α=
5
4
=
斜边
的对边
α. 点评：过已知点向坐标轴引垂线构造直角三角形，利用这点的坐标求出对应线段的长度，便可计算要求的锐角的三角函数值.
例2．在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，
则tan A = ．
分析：由于正切与两条直角边有关，故直接利用三角函数的定义求解 解：因为tan A =
1
22
a a
b a == 点评：本题重点考查学生对正切定义的理解和运用情况，只要记住定义，就可以把边的比转化为正切了
专练一：
1、在△ABC 中,∠C=90°
,则cosB 的值为( ) A.1
D.1
2
2、若
且α为锐角,则cos α等于( ) A.
1
2
B.2
3、在△ABC 中,
若2
1sin tan 02A B ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭
,则∠C 的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°
图1
4、把Rt △ABC 的三边都扩大十倍，关于锐角A 的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是
A.甲
B.乙
C.丙
D.都不正确
备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．
试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，
∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，
∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20
【解析】
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，
锐角三角函数的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(原卷版)
专题20
锐角三角函数的核心知识点精讲
1.通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比，熟记特殊角30°，45°，60°的三角函数值；
2.理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识；
3.会用锐角三角函数的有关知识来解决某些简单的实际问题。
考点1：锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin
A a A
c
∠
==
的对边
斜边
；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos
A b A
c
∠
==
的邻边
斜边
；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tan
A a A
A b
∠
==
∠
的对边
的邻边
.
同理sin
B b
B
c
∠
==
的对边
斜边
；cos
B a
B
c
∠
==
的邻边
斜边
；tan
B b
B
B a
∠
==
∠
的对边
的邻边
．
考点2：特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出
30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45°1
60°
B
a
c
考点3：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
02填空题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形(含答案,29题)
02填空题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，29题）
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是 ．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2021•杭州）计算：sin30°＝ ．
三．解直角三角形（共6小题）
3．（2021•无锡）如图，在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，CE交AD于点F，且AD：BD：CD：FD＝12：5：3：4，则sin∠BEC的值是 ．
4．（2021•无锡）如图，△ABC中，∠C＝90°，tan B＝3，MN垂直平分AB，AN＝10，则BC ＝ ．
5．（2021•内江）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 ．
6．（2021•绵阳）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于
点D，且CD＝2，斜边AB的值是 ．
7．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 ．
8．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当sin
α的值最大时，n的值为 ．
四．解直角三角形的应用（共6小题）
9．（2021•遵义）小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为 m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）
中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数
值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米 【解析】
解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3
6392
==米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高
2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为
1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，
2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
备考2022年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_锐角三角函数的定义-解答题专训及答案
备考2022年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_锐角三角函数的定义-解答题专训及答案
锐角三角函数的定义解答题专训
1、
(2017长春.中考真卷) 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
2、
(2018无锡.中考真卷) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，
∠A=90°，cosB= ，求AD的长．
3、
(2013宿迁.中考真卷) 某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA=30°），长度为4m（即PB=4m），无障碍通道PA的倾斜角为15°（即∠PAB=15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）
4、
(2019徐汇.中考模拟) 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：
sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）
（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；
（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到
中考数学 锐角三角函数 培优 易错 难题练习(含答案)含详细答案
中考数学 锐角三角函数 培优 易错 难题练习(含答案)含详细答案
一、锐角三角函数
1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数
值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米 【解析】
解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3
639==米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高
2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且10
cos B = (1)求AB 的长度；
(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.
备考2019年中考数学专题专项突破训练：锐角三角函数的综合(特训篇)(附解析)
中考数学专题训练：锐角三角函数的综合（特训篇）
一．选择题
1．（2019•郓城县一模）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（）A．B．C．D．
2．（2019•东阿县三模）如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（）
A．B．C．D．
3．（2019•西湖区一模）已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（）A．sin A＜sin B B．sin B＜sin C C．sin A＜sin C D．sin C＜sin A 4．（2019•苏州一模）如图，一架无人机航拍过程中在C处测得地面上A，B两个目标点的俯角分别为30°和60°．若A，B两个目标点之间的距离是120米，则此时无人机与目标点A之间的距离（即AC的长）为（）
A．120米B．米C．60米D．米5．（2019•大渡口区模拟）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN 和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．则AB的长度约为（）（结果精确到0.1米，参考数据：
备战中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案
-X 锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1. 如图，山坡上有一棵树AB,树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6jj 米，山坡的坡角 为30。・小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的髙，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=I 米，
【解析】
解：・・・底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30。・
CF=I 米, ・•・ DC=9+l=10 米, /. GE=IO 米, •・・ Z AEG=45∖
・•・ AG=EG=I0 米， 在直角三角形BGF 中，
BG=GF ∙tan20o
=10×0.36=3.6 米， ・•・ AB=AG-BG=IO-3.6=6.4 米, 答：树髙约为6.4米
首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直 角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高
2. 如图，等腰AABC 中，AB=AC, ZBAC=36。，BC=I l 点 D 在边 AC 上且 BD 平分ZABC, 设 CD=×.
(1) 求证：△ ABC- ∆ BCD ： (2) 求X 的值：
(3) 求 cos36o
-cos72°的值.
DC=BC ∙cos30o
==6√3×
√3 2
【答案】6.4米 （参考
【答案】⑴证明见解析：（2） 土JE ： （3） 7近+ X.
2
16
【解析】
试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线 求出ZDBC 的度数，得到Z DBC=Z A,再由ZC 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC 与三角形BCD 相似：
人教中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类含答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）
【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】
作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】
解：作BF CE ⊥于F ，
在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，
3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，
在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE =
==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝
由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲 锐角三角函数(含答案)
第十讲 锐角三角函数
趣题引路】
甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°，水路泳道与岸所成的角为60°，甲赛跑、游泳的线路是折线AA 1A 2，乙赛跑、游泳的线路是折线BB 1B 2，起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点；你知道他们在陆地上的跑步速度v 1与水中游泳的速度v 2之比是多少吗？
解析如图，作A 1B 3⊥BB 1，B 1A 3⊥A 1A 2，垂足分别为A 3、B 3；因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA 1与乙跑完BB 3所用时间相同。同样，甲游完A 3A 2所花时间与乙游完B 1B 2所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完A 1A 3的时间恰好等于乙跑完B 3B 1的时间，
设这个时间为t ，则：133131121213
.,A A B B B B v
t v v v A A =
=∴=……①， 在Rt △A 1B 3B 1
中13131111cos30,,B B B B A B A B ︒=
∴=……②， 在Rt△A 1A 3B 1中，131311111
cos60,,2
A A A A A
B A B ︒=
∴=……③.
由上述三式得：11
12
11212
A B v v A B ==图10-1
知识延伸】
“锐角三角函数”中我们学习了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关计算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道，在Rt△ABC 中，sin A=cos （90°-A ），cos A=sin （90°-A ），tan A=cot
中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析及答案解析
中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析及答案解析
一、锐角三角函数
1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；
（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝c os53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；
（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.
在Rt ABC V 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20
【解析】
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
考点：切线的判定
2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．
第11讲 勾股定理与锐角三角函数(题型训练)【有答案】-【2022年】中考数学大复习(知识点·易错点
第11讲 勾股定理与锐角三角函数
题型一 勾股定理
1．（2021·福建·福州十八中九年级期中）若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点A 和B ，顶点为C ，且b 2﹣4ac ＝12，则∠ACB 的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【答案】C
【解析】解：令y ＝0，则ax 2+bx +c ＝0，
∴x ＝2b a -，
∴AB ＝|． ∵b 2﹣4ac ＝12，
∴C （﹣2b a ，﹣3a
）．
∴AC ．
由抛物线的对称性可知BC ＝， ∴AC ＝BC ＝AB ，
∴∠ACB ＝60°．
故选：C ．
2．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径为5，则弦AB 与CD 的距离为（ ）
A ．1
B ．7
C ．4或3
D ．7或1
【答案】D
【解析】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，
过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，
∵AB ∥CD ，
∴OE ⊥AB ，
∵AB ＝8，CD ＝6，
∴AE ＝4，CF ＝3，
∵OA ＝OC ＝5，
∴由勾股定理得：EO ＝2254-＝3，OF ＝2253-＝4，
∴EF ＝OF ﹣OE ＝1；
②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，
过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，
EF ＝OF +OE ＝7，
所以AB 与CD 之间的距离是1或7．
故选：D ．
3．（2021·河南·洛阳市洛龙区教育局教学研究室九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，连接EF ，G 是EF 的中点，连接DG ．在
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．
(1)求证：PA是☉O的切线；
(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.
【解析】
试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．
试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.
易证，所以,解得，
则，在中，.
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，
△CPD是等腰三角形？
【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.
【解析】
试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.
（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．
试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm
∴t=s=3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，
则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=cm.∴t=s.
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，
设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，
∵AD=AH+DH=x+x=x=4，
∴x=3．
当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．
当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2
∴S关于t的函数关系式为：.
（3）分两种情况：
①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm
∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s
故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；
②当DC=PC时，DC=PC=12cm
∴NC=6cm
∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm
∴t=（15﹣6）s
故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．
综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．
考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
3．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）
【答案】215.6米． 【解析】 【分析】
过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，
根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】
解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点
在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒， ∴AM=CM=200米，
又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60
BN
DN =
≈米，
∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】
本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.
4．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A 、B 分别为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所夹的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E ，DE =15cm ，AD =14cm ．