12闵行高中高二月考试卷培训检测练习题
上海市上海交通大学附属中学闵行分校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题1. 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________.2. 两定点，，动点满足，则动点M 的轨迹方程为______.3. 已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为___________.4. 已知双曲线渐近线与圆相切，则_________.5. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.6. 若点到直线l ：的距离为d ，则d 的取值范围是______．7. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P ，使，则椭圆的离心率e 的取值范围为__________.8. 已知双曲线，过点作直线和双曲线交于A ，B 两点.点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，则直线倾斜角的取值范围是__________.9. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为______．11. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另的x 13()15,0F -()25,0F (),M x y 128MF MF -=()2222:10x y C a b a b +=>>()20，312⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ()22210x y a a -=>22430x y y +-+=a =C 2221(0)9x y b b +=>1F 2F 2F C ,A B 1F AB V b ()2,1P --()()131225x y λλλ+++=+22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12120F PF ∠=︒22:41C x y -=(0,0)l C BH 2222x y 1(a b 0)a b +=>>2222x y 1(m 0,n 0)m n -=>>22198x y -=1F 2F 2F A B 120AF AF ⋅= 2220F B F A += 1F AB V一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________.12. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 ______.二.选择题13. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）A 关于轴对称 B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点中心对称14. 已知点，，点P 为椭圆上动点，则的最小值为（ ）A. B. C.D. 15. 如图，已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线垂直于双曲线C 的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C 的渐近线方程为（）.的()2222:10x y C a b a b -=>，C F P Q ，M N 12cos 13PM PQ PM PQ PQN ∠+=-=- ，C 2219x y +=2220x xy y -+=x y y x =()0,1A ()10B ,22:143x y C +=PA PB +4+4-22-2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>l ,A B ,A B ||3||7AF FB =A. B. C. D. 16. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 三.解答题17. 已知圆关于直线对称，且过点．（1）求证：圆与直线相切；（2）若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程．18. 如图：已知椭圆的内切圆的一条切线交椭圆于A 、B ,且切线AB 与圆的切点Q 在轴右侧．是椭圆的右焦点．（1）设点，试用两点间距离公式推导的表达式（用 与的式子表示）；（2）判断的长是否为定值?如果是定值,求出此定值;如果不是,请说明理由．y x =y =y =y x =2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F ，1F C A B ，125tan 12F BF ∠=()22:00C x y ax by a ++-=>2y x =-()0,8P C 2160x y +-=l ()1,0C A B 、AB 4=l 22122:1(0)x y C a b a b+=>>2222:C x y b +=y (,0)F c 00(,)A x y AF 0x ,a c AQ AF +19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M 的轨迹方程为．（1）求的方程；（2）过上的点P 作圆的切线PT ，T 为切点，求的最小值；（3）已知点，直线交于点A ，B ，上是否存在点C 满足若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.(,)Mx y 1:l y =2:l y =34||||y x <ΓΓΓ22:(4)1Q x y +-=||PT 40,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭:2(0)l y kx k =+>ΓΓ0GA GB GC ++= 0x y ++=222:1x E y a+=E λE P Q 20x y λ--=λE ABCD AC BD S ABCD S交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】##05【4题答案】【5题答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【10题答案】【答案】【11题答案】.2213632x y +=221(0)169x y x -=>12⎡⎣⎫⎪⎪⎭π(0,)41+24【12题答案】【答案】20二.选择题【13题答案】【答案】D【14题答案】【答案】B【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三.解答题【17题答案】【答案】（1）证明略（2）或．【18题答案】【答案】（1） （2）是定值，定值为.【19题答案】【答案】（1） （2）2 （3）【20题答案】【答案】（1）（2）存，（3）在0y =247240x y --=0c AF a x a=-⋅a 2213y x -=34C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2212x y +=⎛ ⎝169。
2022年上海市闵行区明星学校高二物理月考试题含解析
2022年上海市闵行区明星学校高二物理月考试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. 如图所示，L是自感系数很大、电阻很小的线圈，若合上或断开开关S1和S2时，不可能发生的情况是()A．只闭合S1的瞬间，L1灯逐渐亮起来B．再合上S2稳定后，L2灯是暗的C．只断开S1的瞬间，L1灯立即熄灭，L2灯亮一下再熄灭D．只断开S1瞬间，L2和L1灯过一会儿才熄灭参考答案：D2. 下列说法正确的是（）A．磁感应强度越大，线圈的面积越大，则穿过线圈的磁通量一定越大B．穿过线圈的磁通量为零，表明该处的磁感应强度为零C．穿过线圈的磁通量为零时，该处的磁感应强度不一定为零，磁通量很大时，磁感应强度一定大D．磁通量的变化可能是由磁感应强度的变化引起的，也可能是由于线圈面积的变化引起的参考答案：D3. 如图所示电路，平行板电容器的一个极板与滑动变阻器的滑动端C相连接。
电子以速度v0垂直于电场线方向射入并穿过平行板间的电场。
在保证电子还能穿出平行板间电场的情况下，若使滑动变阻器的滑动端C上移，则电容器极板上所带电量q和电子穿越平行板所需的时间tA．电量q增大，时间t也增大B．电量q不变，时间t增大C．电量q增大，时间t不变D．电量q不变，时间t也不变参考答案：C4. (单选)地球对月球具有相当大的万有引力，可它们没有靠在一起，这是因为()A．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相抵消了B．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系中的其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零C．地球对月球的引力还不算大D．地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动参考答案：D5. （单选题）在狭义相对论中，下列说法中正确的是A. 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速B. 相对论认为时间和空间是脱离物质而独立存在的，是绝对的C. 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生D. 在地面附近有一高速飞过的火箭，地面上的人观察到火箭变长了参考答案：AA、对于他们各自观察者来说，他们的时间坐标都不一样，时间坐标不一样，那么以他们自己的时间坐标来说，都不能超光速，故A正确；B、相对论认为时间和空间是脱离物质而独立存在的，是相对的，故B错误；C、根据狭义相对论可知，一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件，在其他一切惯性系中不是同时发生，故C错误；D、地面附近有一高速飞过的火箭，地面上的人观察到火箭变短了，故D错误。
上海市闵行中学2024-2025学年高二上学期月考物理试卷(等级)
上海市闵行中学2024-2025学年高二上学期月考物理试卷（等级）一、解答题事科学研究必备的操作技能欧姆定律从发现至今，无数的实践都证明了它的正确性，它已成为现代电学和电工学最基本的定律之一。
1．某研究性学习小组的同学们设计了描绘小灯泡的伏安特性曲线的实验，待测小灯泡上标有3.8V0.3A”字样．要求测量结果尽量精确，并绘制出小灯泡两端电压在0~3.8V范围内完整的伏安特性曲线。
（1）若实验室的电压表、电流表和滑动变阻器都满足实验要求，其中电压表的内阻约10kΩ，电流表的内阻约0.5Ω，则在如图所示的两种实验方案中，应选择图所示电路进行实验。
（选填选项下面的字母序号）A．B．C．D．（2）小组的同学们正确描绘出小灯泡的伏安特性曲线如图甲所示，根据这个特性曲线，同学们对小灯泡的实际功率与其两端的电压的关系，或与通过其电流的关系，猜想出了如图乙所示的关系图像，其中可能正确的是。
（选填选项下面的字母序号）A．B．C．D．（3）根据图所示的伏安特性曲线可知，这只小灯泡两端电压由1.0V变化到3.8V的过程中，灯丝的电阻值。
（选填“变大”、“不变”或“变小”）（4）某同学将该小灯泡与一个阻值为4.0Ω的定值电阻串联后，接在一个电动势为3.0V、内阻为1.0Ω的电源上，组成一个闭合电路，则此时该小灯泡实际功率约为W。
（保留2位有效数字）2．某学习小组测量一段粗细均匀金属丝的电阻率。
（1）首先用游标卡尺测量该金属丝的长度，结果如图甲所示，其长度L=cm；再用螺旋测微器测金属丝直径，结果如图乙所示，其直径d=mm。
（2）用多用电表粗略测量金属丝的电阻，下列实验操作步骤，正确顺序是。
①将红、黑表笔分别插入“+”、“-”插孔，并将两表笔短接，调节欧姆调零旋钮，使电表指针对准欧姆零点①将选择开关旋转到“Ω”挡的“1⨯”位置①调节指针定位螺丝，使多用电表指针对准电流零刻度①将选择开关旋转到“OFF ”位置①将红、黑表笔分别与待测电阻两端接触，测出金属丝的电阻约20Ω（3）为进一步准确测量该金属丝的电阻x R ，实验室提供如下器材：电池组E （电动势为4.5V ，内阻不计）；定值电阻0R （阻值为10Ω）；电压表V （量程为5V ，内阻未知）；电流表A （量程为20mA ，内阻为90Ω）；滑动变阻器R （阻值范围为0~20Ω，额定电流2A ）；开关S 、导线若干。
2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线()12:0,:00l ax y b l bx y a ab -+=+-=≠的图象只可能是如图中的A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】试题分析：1l 的方程即y ax b =+，斜率等于a ，在y 轴上的截距为b ．2l 的方程即y bx a =-+，斜率等于b -，在y 轴上的截距为a ．在B 中，由1l 的图象可得00a b ><，，可得00a b >->，，而由2l 的图象可知选项B 正确，故选B ． 【解析】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【思路点睛】首先根据直线的一般方程将直线的方程化为斜截式，先假设其中一条直线正确，得出,a b 的符号，然后再看另一条直线的斜率和截距得到的,a b 是否与前者是否符一致，由此即可得到答案．2．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）A ．0,2⎡⎣B ．(0,2C ．[]0,8D ．(]0,8【答案】D【分析】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案, 【详解】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ，令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ， 可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||2OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立， 即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合， 故22(0,8]m n +∈， 故选：D3．设()()1122,,,M x y N x y 为不同的两点，直线1122:0,δ++++==++ax by cl ax by c ax by c，下列命题正确的有（ ）．①不论δ为何值，点N 都不在直线l 上； ②若1δ=，则过点,M N 的直线与直线l 平行； ③若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；④若1δ>，则点,M N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D【分析】由220ax by c ++≠可得①正确，分0b ≠和0b =两种情况讨论可得直线MN 与直线l 平行，可得②正确，当1δ=-时，可得到1212022x x y y a b c ++⋅+⋅+=，从而得到③正确，当1δ>时可得()()11220ax by c ax by c ++++>和1122ax by c ax by c ++>++，然后可得④正确. 【详解】因为1122ax by cax by cδ++=++中，220ax by c ++≠，所以点N 不在直线l 上，故①正确当0b ≠时，根据1δ=得到11221ax by c ax by c ++=++，化简得2121y y ax x b-=--，即直线MN 的斜率为a b -，又直线l 的斜率为ab-，由①可知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行当0b =时，可得直线MN 与直线l 的斜率都不存在，也满足平行，故②正确 当1δ=-时，得到11221ax by cax by c ++=-++，化简得1212022x x y y a b c ++⋅+⋅+= 而线段MN 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l 经过MN 的中点，故③正确 当1δ>时，得到11221ax by c ax by c++>++，所以11220ax by cax by c ++>++， 即()()11220ax by c ax by c ++++>，所以点,M N 在直线l 的同侧 且1122ax by c ax by c ++>++，可得点M 与点N 到直线l 的距离不等， 所以延长线与直线l 相交，故④正确 综上：命题正确的有4个 故选：D【点睛】本题考查的是直线的方程、两直线平行的判定以及一元二次不等式表示的区域，考查了学生的分析能力和转化能力，属于中档题.4．当m 变化时，不在直线()21220m x my -+--=上的点构成区域G ，(,)P x y 是区域G3y + ） A ．(1,2) B．⎤⎥⎝⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D ．(2,3)【答案】B【分析】原方程化为关于m的方程2(220xm y m x -+-+-=，得22(1)(1x y -+<，OM ，ON 夹角记作α，直线OP 与圆相切，进而得[)0,30α∈︒︒，即可求解 【详解】原方程化为关于m的方程2(220xm y m x -+-+-=，0x ≠时，∆<0，得22(1)(3)1x y -+-<，当0x =，3y =时，点()03，不在直线310my m --=上，所以区域G 是以点()1,3A 为圆心，半径为1的圆的内部（除()03，外不包括圆上点），33(,)22OM =，(,)OP x y =，OM ，OP 夹角记作α， 由,A M 坐标可知,,O A M 三点共线，且60AOx ∠=，当直线OP 与圆相切于点P ，Q 时，1,2AP AQ OA ===，所以此时30,AOP AOQ ∠=∠=，因此[)0,30α∈︒︒，2233322cos ,123x y x y α+⎛⎤=∈ ⎥ +⎝⎦． 故选：B二、填空题5．直线250x y +-=的倾斜角的大小为_____________. 【答案】1arctan 2π-【分析】先求出斜率，即可求出倾斜角.【详解】直线250x y +-=的斜率为12k =-，所以倾斜角为1arctan 2π-.故答案为：1arctan 2π-6．已知两点(3,2)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围________ 【答案】1k或6k ≤-【分析】直线1y kx =-恒经过定点(0,1)P -，利用斜率公式求解即可 【详解】由题意，直线1y kx =-恒经过定点(0,1)P -，由直线的斜率公式，可得2(1)5(1)1,63010PA PB k k ----====----， 要使直线:1l y kx =-与线段AB 有公共点，1k 或6k ≤-故答案为：1k或6k ≤-【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题 7．过点(1,2)，且法向量为(3,4)-的直线的点法向式方程为__________ 【答案】()()31420x y ---= 【分析】根据点法式方程可直接求解.【详解】过(1,2)，且法向量为(3,4)-的直线的点法向式方程为：()()31420x y ---=， 故答案为：()()31420x y ---=8．求过点()2,3P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程_____. 【答案】320x y -=或50x y +-=【分析】分直线经过原点和不经过原点两种情况讨论求解. 【详解】当直线经过原点时，直线的方程为32y x =，化为320x y -=. 当直线不经过原点时，设直线的截距式为x y a +=，把点()2,3P 代入可得：23a +=，∴5a =.∴直线的方程为：5x y +=. 故答案为：320x y -=或50x y +-= 9．已知直线1l 的方程为31y x ，直线2l 的方程为320x y -+=，则直线1l 与2l 的夹角为__________. 【答案】4arctan 3【分析】直线1l 的斜率为3k =，直线2l 的斜率为13k '=，设直线1l 与2l 的夹角为α，则tan 1k k kk α'-='+，由此能求出直线1l 与2l 的夹角． 【详解】直线1l 的方程为31y x ，直线2l 的方程为320x y -+=，则直线1l 的斜率为3k =，直线2l 的斜率为13k '=， 设直线1l 与2l 的夹角为α，则1343tan 113133k k kk α-'-==='++⨯，∴直线1l 与2l 的夹角为4arctan3． 故答案为：4arctan3． 10．已知直线20x y m -+=（0m >）与直线30x ny +-=互相平行，且它们之间的距离m n +=______. 【答案】0【分析】根据两直线平行求出n m ，即可得到m n +. 【详解】因为直线20x y m -+=（0m >）与直线30x ny +-=互相平行， 所以2n =-且3m ≠-.d ==因为0m >，解得：2m =. 所以0m n +=. 故答案为：011．已知入射光线经过点4()3,M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(2,6)N ，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】660x y --=【详解】试题分析：()3,4M -关于直线l ：30x y -+=的对称点为()1,0M '，所以反射光线所在直线的方程是直线M N '的方程: 606(2)660.21y x x y --=-⇒--=- 【解析】反射直线12．直线310ax y a ++-=恒过定点M ，则直线2360x y +-=关于M 点对称的直线方程为_________．【答案】23120x y ++=【分析】根据直线过定点的求法可求得M 点坐标，根据关于M 对称的两条直线平行，且到M 点距离相等可构造方程求得结果.【详解】由310ax y a ++-=得：()()310x a y ++-=，当3x =-时，1y =，()3,1M ∴-； 设直线2360x y +-=关于M 点对称的直线方程为230x y C ++=，=12C =或6C =-（舍），∴直线2360x y +-=关于M 点对称的直线方程为23120x y ++=.故答案为：23120x y ++=.13．已知2222(1)210++++=a x a y x 表示圆，则实数a 的值是_______．【答案】12-0.5- 【分析】把方程2222(1)210++++=a x a y x 化为()222221121122a x a y a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，根据题意可得22211102a a a⎧=+⎪⎨->⎪⎩，解之即可得解.【详解】解：把方程2222(1)210++++=a x a y x 化为()222221121122a x a y a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭， 因为此曲线表示圆，所以22211102a a a⎧=+⎪⎨->⎪⎩，解得12a =-.故答案为：12-.14．经过(0,1)P 的直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别交于12P P 、两点,且满足122PP PP =，则直线l 的方程为__________. 【答案】1y =【分析】先讨论可得当直线l 的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合122PP PP =，，求出直线的斜率，可得直线的方程． 【详解】解：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=的交点1P 、2P 的坐标分别为100,3⎛⎫⎪⎝⎭，()0,8，则170,3PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()20,7PP =不满足122PP PP =，， 故直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为：1y kx =+，则直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=的交点1P 、2P 的横坐标分别为731k -，72k +，122PP PP =，， 7702(0)312k k ∴-=--+， 解得：0k =，故直线l 的方程为：1y =； 故答案为：1y =【点睛】本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档． 15．在平面直角坐标系xOy 中，定义两点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“直角距离”为：12(,)d P Q x x =-12y y +-，现有以下命题：①若P 、Q 是x 轴上的两点，则12(,)d P Q x x =-；②已知(2,3)P ，()22sin ,cos Q αα，则(,)d P Q 为定值；③原点O与直线10x +=上任意一点P 之间的直角距离(,)d P O④若||PQ 表示P 、Q两点间的距离，那么||(,)PQ P Q ≥． 其中真命题是__________（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③④【分析】由120=y y =根据新定义可判断①；根据三角函数的有界性和同角关系可判断②；由直角距离定义以及绝对值函数求最值可判断③；由两点距离公式和基本不等式可判断，可判断④．【详解】若P 、Q 是x 轴上的两点，则120=y y =，故12(,)d P Q x x =-；故①正确；已知(2,3)P ，()22sin ,cos Q αα,则2222(,)|3cos ||2sin |3cos 2sin 4d P Q θθθθ=-+-=-+-=为定值，故②正确； 设(,)P x y，则10(,)11101122x x d P O x y x x x x x ⎧⎛+≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎛⎪=+=+=-+-<< ⎨ ⎝⎭⎪⎪⎛⎪-+-≤- ⎪⎝⎭⎩， (),d P O 在(),0x ∈-∞上单调递减，在()0x ∈+∞，上单调递增，故当0x =时，()min ,d O P =③正确 若||PQ 表示P 、Q两点间的距离，那么||PQ ， 1212(,)||||d P Q x x y y =-+-，2222()()a b a b ++，221212122()||||x x x x y y --+-|(,)PQ d P Q ，则2||(,)2PQ d P Q ，故④正确；故答案为：①②③④16．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线l ：0ax by c 的同侧，设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于22}，{}22(,)|2,,Q x y x y x y =+≤∈R ，记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈，{(,)|(,)}T x y x y Q S =∈，则由T 中的所有点所组成的图形的面积是__________ 【答案】2π【分析】根据条件确定集合P ,Q T 确定的轨迹，求面积即可. 【详解】过12,F F 分别作l 的垂线，垂足分别为,M N ,由题意可知：12122FM F N AF -==, 又214F F =,所以1245AF F ∠=,()()12900,2,0,2F AF A A ∠'=-，,所以集合P 表示的轨迹为与22,AF A F '平行，且分别为直线2AF 及其向上的部分，以及直线2A F '及其向下的部分，Q 对应的轨迹为以原点为圆心，半径为2r =的圆及其内部，由于11222,90,2AF F AF OQ r =∠===,因此直线2AF 与圆相切， 所以T 对应的轨迹恰好为圆及其内部， 故面积为2π 故答案为：2π三、解答题17．已知关于x 的实系数一元二次方程220x x m ++=的两根为1x ､2x . （1）若1x ､2x 为虚数，1Im 0>x ，且13=x ，求1x 和m 的值； （2）若122x x -=，求m 的值.【答案】（1）11=-+x ，9m =；（2）0m =或2.【分析】（1）根据题意，设两虚根分别为121i,1i x b x b =-+=--，其中0b >，因为13=x ，求得b =12,x x ，进而求得m 的值；（2）根据题意，分两个实根和两个虚根，两种情况讨论，利用韦达定理和虚根的性质，结合122x x -=，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，关于x 的实系数一元二次方程220x x m ++=的两个虚根为1x ､2x ， 可得440m ∆=-<，即1m ，因为1Im 0>x ，可得设两虚根分别为121i,1i x b x b =-+=--，其中0b >，又因为13=x ，可得13x ==，解得b =所以11=-+x ，21x =--，又由12(1(19x x =-+⋅--=，即129m x x ==.（2）由关于x 的实系数一元二次方程220x x m ++=的两根为1x ､2x ，①若方程有两个实根1x ､2x ，则440m ∆=->，可得1m <，且12122,x x x x m +=-=，则22121211222)4(2)4(4x x x x x x x x +=-=---=，解得120x x =，所以0m =；②若方程有两个虚根，则440m ∆=->，可得1m ， 设为121i,1i x b x b =-+=--，不妨设0b >， 可得122i 22x x b b -===，解得1b =，所以121i,1i x x =-+=--，则12(1i)(1i)2x x =-+--=， 所以122m x x ==，综上可得，实数m 的值为0或2.18．已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，B 的平分线BN 所在直线方程为250x y --=，求： （Ⅰ）顶点B 的坐标； （Ⅱ）直线BC 的方程【答案】（Ⅰ）(1,3)B --（Ⅱ）617450x y --=【分析】（Ⅰ）设()00,B x y ，可得AB 中点坐标，代入直线250x y --=可得00210x y --=；将B 点坐标代入直线250x y --=得00250x y --=，可构造出方程组求得B 点坐标；（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''，根据点关于直线对称点的求解方法可求得293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，因为A '在直线BC 上，根据两点坐标可求得直线方程. 【详解】（Ⅰ）设()00,B x y ，则AB 中点坐标为：0051,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 005125022x y ++∴⨯--=，即：00210x y --= 又00250x y --=，解得：01x =-，03y =-()1,3B ∴--（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''则1255125022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-'''⋅-=⎩'⎪，解得：293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭ BC ∴边所在的直线方程为：()335312915y x -++=++，即：617450x y --= 【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.19．如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3MON ∠=-，6OA =（百米），Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3（百米），6105（百米），现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r at =（百米）（09t ≤≤，01a <<）.当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2（百米/分钟）的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【答案】（1）92；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析【分析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得()60A ，，直线ON 的方程为3y x =-，()0,3Q x ()00x >，由点到直线距离，求出()33Q ，，从而直线AQ 的方程为()6y x =--，联产方程组求出B 的坐标，由此能求出轨道的长；（2）将喷泉记为圆P ，由题意得()39P ，，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则2BC t =，09t ≤≤，从而()39C t t -+-，，若喷泉不会洒到观光车上，则22PC r >对[]09t ∈，恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.【详解】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：()6,0A ，直线ON 的方程为3y x =-，()0,3Q x （00x >）.03361010x +=，解得03x =，所以()3,3Q . 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩即()3,9B -，故()2236992AB =--+=答：水上旅游线AB 的长为92km .（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得()3,9P ，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则2BC t =，09t ≤≤，所以()3,9C t t -+-.若喷泉不会洒到观光车上，则22PC r >对[]0,9t ∈恒成立，即()22226212364PC t t t t at =-+=-+>，当0=t 时，上式成立，当(]0,9t ∈时，1826a t t<+-，min 186626t t ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，当且仅当32t =时取等号， 因为()0,1a ∈，所以r PC <恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.答：喷泉的水流不会洒到观光车上.【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1)若1h =，求异面直线BM 与1A C 所成角的大小；(2)若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小；(3)若3h =，求点M 到平面1A BC 的距离．【答案】(1)2π (2)6arctan(3)1【分析】（1）作1MN AC ∕∕交11A C 于点N ，连接1,BN A B ，则BMN ∠即为异面直线BM 与1A C 所成角或补角，在BMN △中，分别求出,,BM MN BN ，即可得解；（2）若2h =，则M 为1CC 的中点，证明1AM A M ⊥，1AB A M ⊥，即可证得1A M ⊥平面ABM ，则1A BM ∠即为直线1BA 与平面ABM 所成角或补角，从而可得出答案； （3）设点M 到平面1A BC 的距离为d ，根据11M A BC B A CM V V --=，利用等体积法即可得出答案.【详解】(1)解：作1MN AC ∕∕交11A C 于点N ，连接1,BN A B ， 则BMN ∠即为异面直线BM 与1A C 所成角或补角，由1MN AC ∕∕，得111C M C N MC NA =，则112NA =，134MN AC =， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，又11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又AB AC ⊥，即1111A B AC ⊥，因为1111A B AA A ⋂=，所以11A C ⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，所以111AC A B ⊥，则1A B =，92BN =，3BC BM ==， 在BMN △中，45819cos 0BMN +-∠==， 所以2BMN π∠=，即异面直线BM 与1A C 所成角的大小为2π；(2)解：若2h =，则M 为1CC 的中点， 则122AM A M ==因为2221116AM A M AA +==，所以1AM A M ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，所以1AA AB ⊥，因为AB AC ⊥，1AA AC A =， 所以AB ⊥平面11ACC A ，因为1A M ⊂平面11ACC A ，所以1AB A M ⊥，又AB AM A =，所以1A M ⊥平面ABM ，所以1A BM ∠即为直线1BA 与平面ABM 所成角或补角，又BM ⊂平面ABM ，所以1A M BM ⊥，在1Rt A BM △中，123,22BM AM == 则11226tan 23A M A BM BM ∠== 所以16A BM ∠= 即直线1BA 与平面ABM 所成角的大小为6(3)解：设点M 到平面1A BC 的距离为d ，111322232B A CM V -=⨯⨯⨯⨯=， 在1A BC 中，1125,22A B AC BC ===，则BC 边上得高为20232-=， 故11322262A BC S =⨯⨯=， 因为112M A BCB A CM V V --==，即11223A BC S d d ⋅==，所以1d =，即点M 到平面1A BC 的距离为1.21．定义向量(,)OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+，函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(,)OM a b =，其中O 为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）设()3sin()4sin 2g x x x π=++，求证：()g x S ∈； （2）已知()cos()2cos h x x x α=++且()h x S ∈，求其“相伴向量”的模；（3）已知(,)M a b (0)b ≠为圆22:(2)1C x y -+=上一点，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，当点M 在圆C 上运动时，求0tan 2x 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2（3）[⋃.【分析】（1）把()g x 化为sin cos a x b x 形式，由定义证明；（2）把()h x 化为sin cos a x b x 形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模；（3）先根据定义得到函数()f x 取得最大值时对应的自变量0x ，再结合几何意义求出b a的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论．【详解】（1）()3sin()4sin 2g x x x π=++3cos 4sin x x =+，其“相伴向量”为(4,3)， ∴()g x S ∈；（2）()cos()2cos h x x x α=++cos cos sin sin 2cos x x x αα=-+sin sin (cos 2)cos x x αα=-++，其“相伴向量”为(sin ,cos 2)OM αα=-+，∴(OM =-=（3）向量(,)OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+)x ϕ+，其中cos ϕϕ==当2,2x k k Z πϕπ+=+∈时，()f x 取得最大值，故02,2x k k Z ππϕ=+-∈，∴01tan tan(2)2tan a x k b ππϕϕ=+-==， ∴0022022tan 2tan 21tan 1()a x b x a b a x b a b⨯===---，b a表示直线OM 的斜率，由几何意义知3[(0,]3b a ∈，令b m a =，则01tan 21x m m=-，3[(0,]3m ∈， 当[m ∈时，01tan 21x m m=-单调递减，∴00<tan 2x m ∈时，01tan 21x m m=-单调递减，∴0tan 20x <，综上所述，0tan 2[(0,3]x ∈．【点睛】本题考查新定义问题，主要考查平面向量的几何意义，考查三角函数的恒等变换的应用，解题关键是利用b m a=的几何意义求出它的取值范围，由函数单调性求出0tan 2x 的取值范围．考查了学生的运算求解能力，属于难题．。
上海市闵行区友爱实验中学高二物理月考试卷含解析
上海市闵行区友爱实验中学高二物理月考试卷含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. （多选）如图所示，通电导线旁边同一平面有矩形线圈abcd.则（）A.若线圈向右平动，其中感应电流方向是a→b→c→dB.若线圈竖直向下平动，无感应电流产生C.当线圈以ab边为轴转动时，其中感应电流方向是a→b→c→dD.当线圈向导线靠近时，其中感应电流方向是a→b→c→d参考答案：ABC2. 如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图。
半径为的两个中空D形盒，处于垂直于盒面向里、磁感应强度为的匀强磁场中。
两D形盒左端狭缝处放置一场强恒定的加速电场。
带电粒子从处以速度沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，接着又从处进入、板间，如此反复，最后从D形盒右侧的边缘飞出。
对于这种改进后的回旋加速器，带电粒子每运动一周被加速次。
若被加速的带电粒子的电荷量为，质量为，则粒子的最大速度的表达式为。
参考答案：1 3. 示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。
如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的A．极板x应带正电B．极板x/应带正电C．极板y应带正电D．极板y/应带正电参考答案：AC4. （单选）如图3所示，两个质量都是ｍ的小球Ａ、Ｂ用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态．已知墙面光滑，水平地面粗糙．现将Ａ球向上移动一小段距离．两球再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对Ｂ球的支持力Ｎ和轻杆上的压力Ｆ的变化情况是［］Ａ．Ｎ不变，Ｆ变大B．Ｎ变大，Ｆ变大C．Ｎ不变，Ｆ变小Ｄ．Ｎ变大，Ｆ变小参考答案：C5. (单选) “与”门、“或”门和“非”门三个基本逻辑电路组成的一个组合逻辑电路，其中A、B、C为输入端，Y为输出端，在完成下面的真值表时，输出端Y空格中从左到右依次填写都正确的是( )A.00010101 B．00000010C．00101010 D．以上答案都不正确参考答案：C二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6.如图所示为某交流电随时间变化的图象，则该交变电流的有效值为 A。
上海市闵行区建虹中学2022-2023学年高二物理月考试题含解析
上海市闵行区建虹中学2022-2023学年高二物理月考试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. 如图所示，在a、b、c三处垂直纸面放置三根长直通电导线，abc是等边三角形的三个顶点，电流大小相等，a处电流在三角形中心O点的磁感应强度大小为B，则O处磁感应强度( )A．为零B．大小为2B，方向平行bc连线向右C．大小为B，方向平行bc连线向右D．若在O点放一个可以任意方向转动的小磁针，N极应该指向a点参考答案：B2. 下列关于电容器的说法中，正确的是( )A．电容越大的电容器，带电荷量也一定越多B．电容器不带电时，其电容为零C．两个电容器的带电荷量相等时，两板间电势差较小的电容器的电容较小D．电容器的电容跟它是否带电无关参考答案：D3. （多选）法拉第发明了世界上第一台发电机﹣﹣法拉第圆盘发电机．铜质圆盘放置在匀强磁场中，圆盘圆心处固定一个摇柄，边缘和圆心处各有一个铜电刷与其紧贴，用导线a、b将电刷与电灯连接起来形成回路．如图所示从上往下看逆时针匀速转动铜盘，若图中铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，转动的角速度为ω．则下列说法正确的是（）A．回路中的电动势等于BL2ωB．回路中的电流等于C．回路中电流方向从b导线流进灯泡，a导线流进铜盘D．回路中产生的是大小和方向周期性变化的电流参考答案：解：A、铜盘转动产生的感应电动势为：E=BL=BL=BL2ω，故A错误．B、回路中的电流I==，故B正确．C、由右手定则可知，回路中电流方向不变，从b导线流进灯泡，a导线流进铜盘，故C 正确．D、由于B、L、ω、R不变，则I不变，电流大小恒定不变，故D错误．故选：BC．4. （多选）质谱仪是一种测定带电粒子质量或分析同位素的重要设备，它的构造原理如图所示．离子源S产生的各种不同的正离子束（速度可视为零），经MN间的加速电压U加速后从小孔S1垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的P点．设P到S1的距离为x，则( )A．若离子束是同位素，则x越大对应的离子质量越小B．若离子束是同位素，则x越大对应的离子质量越大C．只要x相同，对应的离子质量一定相同ks5uD．只要x相同，对应的离子的比荷一定相等参考答案：BD5. 一个所受重力可以忽略的带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，如果它又垂直进入另一相邻的磁感应强度为2B的匀强磁场，则 ( )A．粒子的速率加倍，周期减半 B．粒子的速率不变，轨道半径减小C．粒子的速率减半，轨道半径减为原来的1/4 D．粒子的速率不变，周期减半参考答案：BD二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6. 把带电量为q的试探电荷放在电场中的A点时，受到的电场力为F，则A点的电场强度为；若改将带电量为2q的试探电荷放在A点，则该试探电荷受到的电场力为，此时A点的电场强度为。
闵行区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
闵行区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 2． 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α3． 函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（） B ．（，]C ．（） D ．（]4． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）A ．[5，10]B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）5． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46． 设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 8． 数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49． 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥10．已知，其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．311．已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x ∈（﹣，）时，f （x ）=e x+sinx ，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．在复平面内，复数Z=+i 2015对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、填空题13．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．14．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．15．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）16．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．17．已知抛物线1C ：x y 42=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：12222=-by a x（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.18．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填A B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．三、解答题19．已知函数()2ln f x x bx a x =+-.（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且1202x x x +=，求证：()00f x '>．20．已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，B={y|y=2x，1≤x≤2}，求：（1）集合A，B；（2）（∁U A）∩B．21．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．22．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．23．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．24．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．闵行区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B 【解析】试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.x（1） （2）考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 2． 【答案】B【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D 中选项也可能相交． 故选：B ．【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3． 【答案】A【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（，），则sinφ＞cosφ，则由f（sinφ）=f（cosφ），则=m，即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin（φ+）＜，则＜m＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．4．【答案】A【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）即解得：x=3，y=1即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10故选A【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．5．【答案】B【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．6．【答案】B【解析】因为所以，对应的点位于第二象限 故答案为：B 【答案】B7． 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为1231231=⨯⨯，故选C. 8． 【答案】A【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1+1，a 3+2，a 5+3构成等比数列，得：（a 3+2）2=（a 1+1）（a 5+3）， 整理得：a 32+4a 3+4=a 1a 5+3a 1+a 5+3即（a 1+2d ）2+4（a 1+2d ）+4=a 1（a 1+4d ）+4a 1+4d+3．化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．∴q===1．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．9． 【答案】C 【解析】试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A 不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B 不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D 不正确；根据面面垂直的判定定理知C 正确．故选C ． 考点：空间直线、平面间的位置关系． 10．【答案】B【解析】解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．11．【答案】D【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知，∴f（）=f（π﹣）=f（），∵当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx为增函数∵＜＜＜，∴f（）＜f（）＜f（），∴f（）＜f（）＜f（），故选：D12．【答案】A【解析】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．二、填空题13．【答案】0.3．【解析】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；概率与统计．【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）．【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，∴正态分布曲线的对称轴为x=500，∵P（400＜ξ＜450）=0.3，∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．故答案为：0.3．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键． 14．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．15．【答案】 3.3【解析】解：如图BC 为竿的高度，ED 为墙上的影子，BE 为地面上的影子． 设BC=x ，则根据题意=，AB=x ，在AE=AB ﹣BE=x ﹣1.4，则=，即=，求得x=3.3（米）故树的高度为3.3米， 故答案为：3.3．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．【答案】817．【答案】318．【答案】 27【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32=18种，若A 方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种． 故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．三、解答题19．【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析.【解析】试题解析： （1）()2af'x x b x =+-，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；（2）22626()6ln '()21x x f x x x x f x x x x--=--⇒=--=，因为函数()f x 的定义域为0x >，令(23)(2)3'()02x x f x x x +-==⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，（3）当1a =时，函数2()ln f x x bx x =+-，21111()ln 0f x x bx x =+-=，22222()ln 0f x x bx x =+-=，两式相减可得22121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，所以12120121212ln ln 2'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+ 212121221221122112211121ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦设211xt x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，∴2222214(1)4(1)'()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，∴()0h t >，又2110x x >-，所以0'()0f x >．考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 20．【答案】 【解析】解：（1）由，解得0≤x ≤3A=[0，3]，由B={y|y=2x，1≤x ≤2}=[2，4]，（2））∁U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞）， ∴（∁U A ）∩B=（3，4]21．【答案】【解析】【专题】计算题；排列组合．【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，即能被5整除的三位数共有6个；（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，此时三位偶数一共有6+8=14个，（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，故x=0不成立；当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了=18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．22．【答案】【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．23．【答案】【解析】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1故椭圆的方程为x2+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）．联立直线y=x+m与椭圆的方程得，即3x2+2mx+m2﹣2=0，△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，x1+x2=﹣，所以x0==﹣，y0=x0+m=，即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，可得（﹣）2+（）2=5，解得m=±3与m2＜3矛盾．故实数m不存在．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．。
2023-2024学年上海闵行高二下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海闵行高二下册3月月考数学试题一、填空题1．已知{}n a 是等差数列，12231,3a a a a +=+=，则34a a +=__________.【正确答案】5【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由12231,3a a a a +=+=得()()2312221a a a a d d ++==⇒=-，所以12344145a a a a d +=+=+=+，故52．关于x 的不等式210x mx m -++>恒成立，则m 的取值范围为__________.【正确答案】(22-+【分析】根据判别式即可求解.【详解】不等式210x mx m -++>恒成立,所以()2410m m ∆=-+<，解得22x -<+故(22-+3．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）【正确答案】144【分析】根据相邻问题捆绑，不相邻问题插空，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有33A 6=种方法，第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有24A 12=种方法，第三步：甲乙两个人之间全排列22A 2=，由分步乘法计数原理可得总的排法有6122144⨯⨯=，故1444．已知在ABC 中，其中()()1,4,6,3,B C BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则A 点坐标为__________.【分析】求出B 关于直线10x y -+=的对称点B '，可得CB '的直线方程，联立解出即可得出A 的坐标．【详解】(1,4)B 关于直线10x y -+=的对称点(),B a b '；141022411a b b a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩⇒32a b =⎧⎨=⎩，()3,2B ∴'，(6,3)C ，CB ∴'的直线方程为330x y -+=，则由角平分线以及对称可知(),B a b '一定在直线AC 上，联立33010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，(0,1)A ∴，故()0,15．如果复数z 满足11z -=，那么2i -+z 的最大值是__________.【正确答案】12+##21+【分析】根据复数的几何意义，结合图形即可求解.【详解】满足11z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()1,0P 为圆心，以1r =为半径的圆上，2i -+z 的几何意义为圆上的动点A 到()2,1M -的距离，如图：当,,M P A 三点共线时，且,A M 在圆心P 的两侧时，距离最大，最大距离为21MP r +=+，故21+6．已知实数0,0a b ><223b a a b -+的取值范围是______.【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=，则223a b a b-+的几何意义为，点()1,3-到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点()1,3A -那么点()1,3A -到直线l 的距离为：223a b d a b-=+，因为0,0a b ><，所以223a b d a b -=+，且直线l 的斜率0a k b=->，当直线l 的斜率不存在时，2231a b a bd -+==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 132d OA ==+=，所以12d <≤，即22123a b a b-<≤+，因为222233b a a b a ba b--=-++，所以22321b a a b--≤<-+，故答案为.[)2,1--二、单选题7．经过点()5,2A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 有（）条A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C【分析】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程.【详解】若直线经过原点，则25y x =，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，若截距均不为0，则设直线方程为()10x ya a a+=≠，将()5,2A 代入得5217a a a +=⇒=，此时直线方程为177x y+=，故选：C8．在ABC 中，2cos b a C =，则ABC 为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.【详解】由正弦定理可得：sin 2sin cos B A C =，而πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，则2sin cos A C sin cos cos sin A C A C =+，即sin cos cos sin A C A C =易知cos 0,cos 0A C ≠≠，所以tan tan A C =在三角形中()0,πA C Î、，所以A C =.故选：C.9．如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中=45ABC ∠︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（）A ．12+B ．22+C ．2D ．1【正确答案】B【分析】求出12BC =+,再利用梯形面积公式求解.【详解】解：由题得12BC =+,所以()11(2222222S A D B C A B =+⋅=+⨯'''='+''.故选：B ．10．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=（）A ．244B ．243C ．242D ．241【正确答案】C【分析】对偶法，结合二项式展开式的特征，各系数绝对值之和，将二项式中的21x -改成21x +，然后令1x =即可解出结果.【详解】显然52345012345(21)x a a x a x a x a x a x +=+++++，01a =，令1x =得012345243a a a a a a +++++=，故12345242a a a a a ++++=.故选：C.11．甲乙两位游客慕名来到咸宁泡温泉，准备分别从三江森林温泉、太乙温泉、温泉谷和瑶池温泉4个温泉中随机选择其中一个，记事件A ：甲和乙选择的温泉不同，事件B ：甲和乙至少一人选择三江森林温泉，则条件概率()|P B A =（）A ．14B ．34C ．23D ．12【正确答案】D【分析】根据给定条件，求出事件A 含有的基本事件个数，事件AB 含有的基本事件个数，再利用条件概率公式计算作答.【详解】甲和乙选择的温泉不同，则事件A 含有的基本事件个数24()A 12n A ==，事件AB 是三江森林温泉必有1人选，另1人从余下3个温泉中选择1个的事件，则事件AB 含有的基本事件个数1123()C C 6n AB ==，所以()()61|()122n AB P B A n A ===.故选：D12．已知数列{}n a 为无穷项等比数列，n S 为其前n 项的和，“10S >，且20S >”是“*N n ∀∈，总有0n S >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不必要又不充分条件【正确答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若10S >，且20S >，则10a >，110a a q +>，0q ≠，所以1q >-，由()111n n a q S q-=-，当10q -<<或01q <<时，10q ->，10n q ->，所以0n S >；当1q =时，*N n ∀∈，总有0n S >；当1q >时，10q -<，10n q -<，即0n S >.综上，0n S >恒成立，故充分性成立；若“*N n ∀∈，总有0n S >”，则10S >且20S >，故必要性成立.故选：C13．实数a ，b ，c 成等差，点()1,1P -在动直线:20l ax by c ++=上的射影为M ，点()2,2N 则线段MN 长度的取值范围为（）A ．B ．C ．⎡⎣D ．⎤⎦【正确答案】B【分析】先根据条件确定动直线:20l ax by c ++=过定点，再确定M 点轨迹，最后根据点与圆位置关系求最值.【详解】因为a ，b ，c 成等差，所以2b a c =+，因此:20l ax by c ++=过定点(1,1)A -,因为点()1,1P -在动直线:20l ax by c ++=上的射影为M ，所以M 点轨迹为以AP 为直径的圆，即222x y +=，从而[MN ON ON ∈=,（O 为坐标原点）故选B本题考查直线过定点、圆的轨迹以及点与圆的位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.14．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线.如图，已知1r =，起始位置时大圆与小圆的交点为A （A 点为x 轴正半轴上的点），滚动过程中A 点形成的轨迹记为星形线C .有如下结论：①曲线C 上任意两点间距离的最大值为8；②曲线:4D x y +=的周长大于曲线C 的周长；③曲线C 与圆224x y +=有且仅有4个公共点.其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C【分析】根据题意，分析曲线C 经过的特殊点，据此分析3个结论，即可得答案．【详解】根据题意,大圆周长是小圆周长的4倍，故当大圆转动14周时，小圆转动了一周，根据对称性，故可知曲线C 经过(4,0)A ，(0,4)B ，(4,0)C -，4(0,)D -，且这些点是曲线C 距离原点最远的点，对于①，曲线C 上，AC 或BD 之间的距离最大，且||||8AC BD ==，即任曲线C 上任意两点间距离的最大值为8，正确；对于②曲线:||||4D x y +=，图形为图中的正方形，必有D 的周长小于曲线C 的周长；对于③，曲线C 与圆224x y +=有且仅有4个公共点，即ABCD 四点，正确；正确的是①③，故选：C15．已知正六边形ABCDEF 的边长为2，P 是正六边形ABCDEF 边上任意一点，则PA PB⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．8D ．【正确答案】B【分析】以正六边形ABCDEF 中心O 为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示研究最值.【详解】以正六边形ABCDEF 中心O 为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB 、DE 交y 轴于G 、H ，则()()((((((2,0,2,0,1,,1,,0,1,1,0,C F A B G E D H ----，设(),P x y ，()()221,,1,,22PA x y PB x y PA PB x y =--=--⋅=++ ，由正六边形对称性，不妨只研究y 轴左半部分，（1）当P 在EH 上时，则[]1,0x ∈-，y =21112PA PB x⋅=+≤；（2）当P 在AG 上时，则[]1,0x ∈-，y =，则210PA PB x⋅=-≤；（3）当P 在EF 上时，则EF l ：)2y x =+，[]2,1x ∈--，则229234182641244PA PB x x x ⎛⎫⋅=++=++≤ ⎪⎝⎭ ；（4）当P 在AF 上时，则AF l ：)2y x =+，[]2,1x ∈--，则22314624644PA PB x x x ⎛⎫⋅=++=+-≤ ⎪⎝⎭.综上，所求最大值为12.故选：B.16．已知四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线8BD =（如图1），现以AC 为折痕将菱形折起，使点B 达到点P 的位置.棱AC ，PD 的中点分别为E ，F ，且四面体PACD 的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段EF 长度的取值范围为（）A ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．⎛⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．)【正确答案】A【分析】先根据四面体的侧面及底面外接圆的圆心来确定球心的位置，设角PEF θ∠=结合长度关系可得4cos EF θ=，进而可得范围.【详解】由题意可知△APC 的外心1O 在中线PE 上，设过点1O 的直线1l ⊥平面APC ,可知1l ⊂平面PED ,同理△ADC 的外心2O 在中线DE 上,设过点2O 的直线2l ⊥平面ADC ，则2l ⊂平面PED ,由对称性知直线12,l l 的交点O 在直线EF 上.根据外接球的性质,点O 为四面体PACD 的外接球的球心.由题意得3,4EA PE ==,而2221111,4O A O E EA O A O E PE =++==所以178O E =.令PEF θ∠=,显然02πθ<<,所以cos 4cos 4EF PE θθ==<.因为1cos EF O EPE OEθ==，所以172OE EF O E PE ⋅=⋅=，又OE EF <，所以272EF >，即2EF >.综上可知42EF <<.故选：A.与几何体外接球有关的模型要熟记：（1）正方体的外接球半径是对角线的一半；（2）长方体的外接球半径是对角线的一半；（3（4）“汉堡”模型（直棱柱型）的外接球半径为2，其中h 为高，r 为底面外接圆的半径.三、解答题17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，过P 点作圆M 的切线PA PB ､，切点为A B ､.(1)若P 点的坐标为()2,1，过P 作直线与圆M 交于C D ､两点，当CD =时，求直线CD 的斜率；(2)若点P 在直线20x y -=上，请证明经过A P M ､､三点的圆经过定点，并求出所有定点的坐标.【正确答案】(1)1-或17-(2)()0,2或()1,1【分析】（1）先找出圆的圆心和半径，利用圆心到直线的距离建立方程求解即可；（2）设(),2P m m ，找出MP 的中点为Q ，由于PA 是圆M 的切线，所以经过A P M ､､三点的圆是以Q 为圆心，MQ 为半径的圆，根据条件写出圆Q 的标准方程，化简得到一个恒等式，转化为方程解出即可.【详解】（1）由圆M ：22(2)1x y +-=的圆心为()0,2，半径为1R =，过()2,1P 作直线与圆M 交于C D ､两点，则直线CD 的斜率存在，设为k ，则令直线CD 的方程为：()12y k x -=-，由CD ，所以圆心M 到直线CD 的距离为：2d ===，2=，解得：1k =-或17k =-.（2）因为点P 在直线20x y -=上，所以设(),2P m m ，则MP 的中点为,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为PA 是圆M 的切线，所以经过A P M ､､三点的圆是以Q 为圆心，MQ 为半径的圆，此时圆Q 的方程为：()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：()22220x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，所以222020x y y x y ⎧+-=⇒⎨+-=⎩02x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩所以经过A P M ､､三点的圆必经过定点()0,2或()1,1.四、填空题18．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11(1)(2)0n n n n a a a a ++---=对任意*N n ∈都成立，则能使2021m a =成立的正整数m 的最小值为_________.【正确答案】18【分析】由已知等式得13n n a a +=+或12n n a a +=；首先求出{}n a 为等差或等比数列时m 的值，然后讨论{}n a 为等差与等比的交叉数列，要使m 最小，则可利用递推关系式所满足的规律进行推导得到结果.【详解】由()()11120n n n n a a a a ++---=知：11n n a a +=+或12n n a a +=；当11n n a a +=+时，数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，()111n a n n ∴=+⨯-=，则2021m a m ==，解得2021m =；当12n n a a +=时，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a -\=，则122021m m a -==，解得：21log 2021m =+（舍）；若数列{}n a 是等差与等比的交叉数列，又11a =，22a =；若要m 最小，则12020m a =+，12020m a -=，21010m a -=，3456789505,504,252,126,63,62,31m m m m m m m a a a a a a a -------=======，1011121314151617130,15,14,7,6,3,2,1m m m m m m m m a a a a a a a a a --------=========，此时182021m =<，故m 的最小值为18.故18.关键点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式讨论若数列{}n a 是等差和等比各项交叉所得的数列，则若要使m 最小，则需尽可能利用12n n a a +=对数列中的项进行缩减，进而返回到首项上.19．函数2225413y x x x x =-++-+的值域为__________.【正确答案】)26,∞⎡+⎣【分析】将其看作是动点(),0A x 到定点()()1,2,2,3M N 的距离之和，利用两点之间线段最短即可求解最小值.【详解】原式为()()()()22222225413102203y x x x x x x =-++-+=-+-+-+-，即可看作是动点(),0A x 到定点()()1,2,2,3M N 的距离之和，设()2,3N 关于x 轴的对称点为()2,3N '-，连接MN '交x 轴于A ，此时AM AN +最小，且最小值为()()22122326MN '=-++=，故函数2225413y x x x x =-++-+的值域为)26,∞⎡+⎣，故)26,∞⎡+⎣20．已知二次函数2()(21)2f x ax b x a =++--在区间[3,5]上至少有一个零点，则22a b +的最小值为__________.【正确答案】1100【分析】先将函数看成关于,a b 的直线方程，再根据点到直线距离公式表示22a b +最小值函数，最后根据函数单调性求最值.【详解】22()(21)20(1)2(2)0,[3,5]f x ax b x a x a xb x x =++--=∴-++-=∈所以222222()1x b a x -+≥=+令2[1,3]t x t =-∴∈∴222151(2)14x t x t t t-==+++++因为54y t t=++在上单调递减，在上单调递增，所以222511414510()10100y t a b t =++≤++=∴+≥=故答案为:1100本题考查点到直线距离公式、利用函数单调性求最值以及函数与方程，考查综合分析求解能力，属难题.21．已知平面向量1e ，2e ，3e ，p ，满足1231e e e ===u r u r u r ，120e e ⋅= ，1p ≤r，则()()12p e p e -⋅-+u r u r r r ()()()()2331p e p e p e p e -⋅-+-⋅-u r u r ur u r r r r r 的最大值为______.【正确答案】5+【分析】先将所求向量式转化变形，参变向量分离，再由变形向量式的几何意义判断最值状态，最后坐标运算求解最值.【详解】设()()()()()()122331M p e p e p e p e p e p e =-⋅-+-⋅-+-⋅-u r u r u r u r ur u r r r r r r r ，则()()()()21223311231233M p e e p e e p e e p e e e e e e ⎡⎤=-+⋅++⋅++⋅+⎢⎥⎣⋅+⋅+⎦⋅u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r u r()()212312323132e e e e e p e e e p e ⋅+⋅+=-++⋅+⋅u r u r u r u r u u r u r u r u r r u r u r()()22123123123231333e e e e e e e e e e p e e ++⎛⎫++=--+ ⎝⎭⋅+⋅+⋅u r u u r u r u r u r u r u r r u r u r u r u r u r ()()23222212312311231231232333e e e e e e e e e e e e e e e e e e p ⋅+⋅++++⎛⎫++=--+ ⎪ ⎪⎝⋅⋅+⋅+⎭⋅ur u r u r u r u r u r u u r u r u r r u r u r u r u r u r u r u r u r u r 21213132323133e e e e e e e e e p ⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪⋅+⋅+⎝⎭⋅u r u r u r u r u r u r u r u r u ur r 设(,)OP p x y ==uu u r u r，120e e ⋅=u r u r Q ，不妨设11(1,0)OE e ==uuu r u r ，22(0,1)OE e ==uuur u r ，33(cos ,sin )OE e θθ==uuu r u r ，[0,2)θπ∈，1233e e eOG ++=u r u r u ruuu r ，即G 为123E E E V 的重心.则221233e e e p PG ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭u r u r u r ur uuu r ， 点P 位于圆上或圆内，故当P 在射线GO 与圆周交点时，2PG uuu r 最大，即()21OG +uuu r 最大时.()22123312(1cos ,1sin )sin cos 311311333e e e e M e OG e θθθθ⋅+⎛⎫+++∴≤++-=++- ⎪+⋅⎝⋅⎭u r u r u r u r u r u r uuu r 21sin cos 332(cos sin )1133θθθθ+⎡⎤=++++-⎢⎥⎣⎦由2sin cos 2θθ-≤+≤得，21233221153233M ⎡⎤≤+++-=+⎢⎥⎣⎦.当且仅当4πθ=时，M 取到最大值532+.故答案为.532+向量式的最值问题求解，要重视三个方面的分析：一是其本质上与函数的最值求解一致，变形时要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利用几何意义求解最值；三是坐标应用，向量坐标化将问题转化为函数最值问题求解.五、单选题22．已知函数()f x 与()g x ，若存在()f x 使得()()2f g x x =，则()g x 不可能．．．为（）A ．22023x x -B ．22x x-+C ．21x -D ．x【正确答案】A【分析】结合函数的定义可以判断A 选项，其余可将选项全部代入()()2f g x x =后，看是否能求解出()f x 来进行判断.【详解】对于A 选项，若()22023g x x x =-，当0x =时，(0)0f =，当2023x =时，2(0)2023f =，相当于1个x 值对应两个y ，不符合函数定义，即A 错误；对于B 选项，()222x x f x -+=，令22x x t -=+，则2t ≥，当且仅当0x =时成立，整理得2(2)210x xt -⋅+=，解得2log x =()22(log f t =，即2()(log f x =，存在()f x ，所以选项B 正确；对于C 选项，()221f x x -=，令21t x =-，得12t x +=，则()21(2t f t +=，即()21()2x f x +=，存在()f x ，所以选项C 正确；对于D 选项，()2f x x =，可得出()2f x x =，存在()f x 所以选项D 正确；故选：A23．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点1(2,P a -的所有直线中A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有(2)n n ≥条直线，每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点D ．每条直线至多过一个有理点【正确答案】C【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可求解．【详解】解：设一条直线上存在两个有理点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于1(2,P a -也在此直线上，当12x x =时，则12x x a ==为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；当12x x ≠时，直线的斜率存在，且有22121212y y y x x x a+-=--，又2x a -为无理数，而2121y y x x --为有理数，所以2102y +=，所以2112y y ==-，所以满足条件的直线只有一条，且直线的方程是12y =-，所以只有C 选项正确.故选：C ．六、多选题24．关于直线()22y tx t t =-∈R ，则下列说法正确的是（）A ．对任意t ∈R ，直线22y tx t =-不过定点B ．平面内任给点，总存在0t ∈R ，使得直线2002y t x t =-经过该点C ．当t ∈R 时，点()0,1到直线22y tx t =-D ．对任意()1212t t t t ∈≠R ､，且有12122t t t t +=，则直线2112y t x t =-与2222y t x t =-的交点轨迹为一直线【正确答案】ACD【分析】根据,y x 的关系即可判断A ，根据反例可判断B ，根据点到直线的距离公式以及不等式可判断C ，联立方程，根据12122t t t t +=的关系可判断D.【详解】对于A ，对任意t ∈R 随着t 的变化y 也在变化，所以无定点，故A 正确，对于B ，平面内取一点()1,4，则22000042240t t t t ⇒-+-==，该方程无解，故B 错误，对于C ，点()0,1到直线22y tx t =-的距离为()22133144442t ++=，当且仅当23142t ==时，等号成立，故C 正确，对于D ，联立直线2112y t x t =-与2222y t x t =-，得222211121222,2t t x y t x t t t y t x t =-+=⇒==-，由于12122t t t t +=，所以y x =，故D 正确，故选：ACD25．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆222:(21)(1)4C x m y m m --+--=（0m ≠），则下列说法正确的是（）A ．存在圆C 经过原点B ．存在圆C ，其所有点均在第一象限C ．存在定直线l ，被圆C 截得的弦长为定值D ．所有动圆C 仅存在唯一一条公切线【正确答案】AB【分析】对于A 选项：将()0,0代入圆C 方程，求得m ，即可判断；对于B 选项：根据圆C 所有点均在第一象限得到21010212120m m m m m m m +>⎧⎪+>⎪⎪+>⎨⎪+>⎪≠⎪⎩，即可判断；对于C 选项：当定直线l 的斜率存在，设直线l ：y kx b =+，当定直线l 的斜率不存在，设直线:l x t =，由垂径定理和勾股定理得到弦长L ，要使弦长L 为定值，则弦长L 与m 无关，得到关于k 和b 的方程组，即可求解；对于D 选项：求出所有动圆C 的公切线，即可求解.【详解】对于A 选项：若圆C 经过原点，则()()222021014m m m --+--=，化简得：2620m m ++=，解得：3m =-±，所以当3m =-±时，圆C 经过原点，所以A 选项正确；对于B 选项：由题意得圆C 的圆心()21,1C m m ++，半径2r m =（0m ≠），若圆C 上的所有点均在第一象限，则21010212120m m m m m mm +>⎧⎪+>⎪⎪+>⎨⎪+>⎪≠⎪⎩，解得：121141130m m m m m ⎧>-⎪⎪>-⎪⎪⎪>-⎨⎪⎪-<<⎪⎪≠⎪⎩，即114m -<<且0m ≠，所以当()1,00,14m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 时，圆C 上的所有点均在第一象限，所以B 选项正确；对于C 选项：当定直线l 的斜率存在，设存在定直线l ：y kx b =+，被圆C 截得的弦长为定值，则圆心()21,1C m m ++到直线l 的距离d=则弦长L ==即L =要使弦长L 为定值，则弦长L 与m 无关，所以2340464220k k k bk b +=⎧⎨-+-+-=⎩，解得：3474k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时弦长0L ==，不存在定直线l ：y kx b =+，被圆C 截得的弦长为定值，当定直线l 的斜率不存在，设直线:l x t =，则圆心()21,1C m m ++到直线l 的距离21d m t =+-，所以弦长L ==，要使弦长L 为定值，则弦长L 与m 无关，即1t =，此时弦长0L =，综上：不存在定直线l ，被圆C 截得的弦长为定值，所以C 选项错误；对于D 选项：若所有动圆C 存在公切线，当切线斜率不存在时，1x =满足题意；切线斜率存在时，且圆心C 到它的距离等于半径，结合C 选项的证明可得：d r =，即2m ，化简得：()()()2222434462222210k m k bk k b m k bk k b b --++--+++-+-+=，若所有动圆C 存在公切线，则上式对m ∀∈R 恒成立，则2430446220k k bk k b --=⎧⎨+--+=⎩，解得：3474k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时2222210k bk k b b --+-+=，综上：所有动圆C 存在公切线，其方程为3744y x =-+或1x =，所以D 选项不正确，故选：AB.七、解答题26．已知无穷数列12,:,A a a 满足：①()*1,2,i a i ∈=N ；②()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++==+≥ .设*i a 为()1,2,i a i = 所能取到的最大值，并记数列***12,:,A a a .(1)若数列A 为等差数列且11a =，求其公差d ；(2)若121a a ==，求*4a 的值；(3)若121,2a a ==，求数列*A 的前100项和.【正确答案】(1)1或2(2)3(3)7500【分析】（1）根据等差数列的性质以及数列12,:,A a a 满足的关系即可求解，（2）根据()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++==+≥ 即可求解，（3）根据**121,2a a ==，34a *=，45a *=，可知*A 由不能被3整除的正整数按照从小到大的顺序排列形成的，用数学归纳法证明即可，结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】（1）设公差为d ，由题意可知Z d ∈,由等差数列的通项可知()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++==+≥ 得当3i j +≥时，()()()()()11111111111i d j d i j d i d j d +-++-≤++-≤+-++-+，化简得12d ≤≤，故2d =或1d =，（2）由于121a a ==，所以12312213a a a a a =+≤≤++=，所以32a =或33a =，因此33a *=，当32a =时，13413314a a a a a =+≤≤++=，且22422213a a a a a =+≤≤++=，所以43a =，当33a =时，13413415a a a a a =+≤≤++=，且22422213a a a a a =+≤≤++=，矛盾，故32a =，43a =，所以43a *=（3）由于121,2a a ==，所以12312314a a a a a =+≤≤++=，所以34a *=，由334a a *≤=可知：13413516a a a a a =+≤≤++=，且22422415a a a a a =+≤≤++=，所以45a =，从而45a *=，因此可以猜想数列***12,:,A a a 为*:1,2,4,5,7,8,A ，即*A 由不能被3整除的正整数按照从小到大的顺序排列形成的，且满足数列A 的两个性质，下面用数学归纳法证明：当1n =时，显然成立，假设n k =时结论成立，则当1n k =+时，当31k a m *=+时，此时*1:1,2,4,5,,31,,k A m a *++ ，由于11132133k k k m a a a a a m *****++=+≤≤++=+，且2112131132k k k m a a a a a m *****-+-+=+≤≤++=+，所以132k a m *+=+，当132k a m *+=+时，此时*1:1,2,4,5,,32,,h A m a *++ ，由于11133134k k k m a a a a a m *****++=+≤≤++=+，且2212233134k k k m a a a a a m *****-+-+=+≤≤++=+，所以134k a m *+=+，故矛盾，所以*:1,2,4,5,7,8,A ，即由不能被3整除的正整数按照从小到大的顺序排列形成的，且满足数列A 的两个性质，所以*:1,2,4,5,7,8,A 的前100项和为：()()15015115350123150369150750022⨯⨯++++-++++=-= 求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将数列可近似的当作函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
上海高二高中数学月考试卷带答案解析
上海高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.双曲线的渐近线方程为．2.计算（为虚数单位）．3.过点且与直线垂直的直线方程为．4.若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是．5.设直角三角形的两直角边，，则它绕旋转一周得到的旋转体的体积为．6.已知球的半径为，是球面上两点，，则两点的球面距离为 .7.过点的抛物线的标准方程是．8.若一个球的体积为，则它的表面积等于．9.在空间四边形中，分别是的中点，当对角线满足时，四边形的形状是菱形．10.若双曲线与圆恰有三个不同的公共点，则．11.在下列命题中，所有正确命题的序号是．①三点确定一个平面；②两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分的体积之比为；④平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形．12.如图，设线段的长度为1，端点在边长为2的正方形的四边上滑动．当沿着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若围成的面积为，则．13.如图，设边长为1的正方形纸片，以为圆心，为半径画圆弧，裁剪的扇形围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出它的底面．当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径．14.如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为．二、选择题1.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.若直线与圆相切，则的值为（）A．B．C．D．或3.在棱长为的正方体中，错误的是（）A．直线和直线所成角的大小为B．直线平面C．二面角的大小是D．直线到平面的距离为4.如图，设正方体的棱长为，是底面上的动点，是线段上的动点，且四面体的体积为，则的轨迹为（）三、解答题1.在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为．又直线的一个方向向量且过点，与交于两点，求的长．2.设是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求．3.设正四棱锥的侧面积为，若．（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小．4.定义：设分别为曲线和上的点，把两点距离的最小值称为曲线到的距离．（1）求曲线到直线的距离；（2）若曲线到直线的距离为，求实数的值；（3）求圆到曲线的距离．5.如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点．（1）当，时，设，求的值；（2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由；（3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．上海高二高中数学月考试卷答案及解析一、填空题1.双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】根据题意,由于双曲线中a=1,b=2,则可知渐近线方程为故答案为【考点】双曲线的渐近线点评：主要是考查了双曲线的渐近线的求解,属于基础题.2.计算（为虚数单位）．【答案】【解析】根据题意,由于,故可知答案为.【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算,属于基础题3.过点且与直线垂直的直线方程为．【答案】【解析】根据题意,由于过点且与直线垂直的直线的斜率为2,则由点斜式方程可知为,故答案为.【考点】直线方程点评：主要是考查了直线方程的求解,属于基础题.4.若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是．【答案】【解析】根据题意,由于圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的底面积为,故可知答案为.【考点】圆柱的全面积点评：主要是考查了圆柱的表面积的计算,属于基础题.5.设直角三角形的两直角边，，则它绕旋转一周得到的旋转体的体积为．【答案】【解析】根据题意,由于直角三角形的两直角边，，则它绕旋转一周得到的旋转体为圆锥,底面的半径为4,高为3,那么可知圆锥的体积为,故可知答案为【考点】圆锥的体积点评：主要是考查了圆锥的体积的运算,属于基础题.6.已知球的半径为，是球面上两点，，则两点的球面距离为 .【答案】【解析】根据题意,由于球的半径为，是球面上两点，，则AB两点的球面距离即为AB两点在大圆之间的弧长故为l=,故可知答案为球面距离【考点】主要是考查了两点之间的球面距离的求解,属于基础题.点评：7.过点的抛物线的标准方程是．【答案】或【解析】根据题意，由于过点过点，可知抛物线的开口向右或者向上，故可知方程为或,将点代入得到=1，故可知抛物线的方程为或【考点】抛物线的方程点评：主要是考查了抛物线的方程的求解，属于基础题。
闵行区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
闵行区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）2． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x =3． 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．24． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定5． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（ ）A ．3B ．4C ．D ．136． 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．7． 直线x ﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8． “a ＞0”是“方程y 2=ax 表示的曲线为抛物线”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9． 若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．210．设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．a ＜c ＜b11．在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+zA ．1B ．2C ．3D ．412．特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ） A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0D ．∀x ∈R ，x 2+1≥0二、填空题13．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．14．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．15．在△ABC中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．16．已知f （x ）=，则f（﹣）+f（）等于 ．17．已知tan()3αβ+=，tan()24πα+=，那么tan β= .18．已知实数x ，y满足约束条，则z=的最小值为 ．三、解答题19．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C的方程为ρθ=． Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P的坐标为(3,，求PA PB +．20．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，//EFAC ，2AD =，EA ED EF ===.（1）求证：AD BE ⊥；（2）若BE =-F BCD 的体积.21．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．22．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。
上海市闵行区上虹中学高二数学理月考试题含解析
上海市闵行区上虹中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f(x)在区间（a ，b）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a， b）内有（）A 、f(x) >0B 、f(x)<0C 、f(x) = 0D 、无法确定参考答案：B略2. 不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≤参考答案：A【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则+=t+，∵t+≥2=2，当且仅当t=，即t=时取等号，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+，a＞0图象的单调性以及应用．3. 函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）A．1 B．C．0 D．﹣1参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．【解答】解：f'（x）=3﹣12x2=3（1﹣2x）（1+2x）令f'（x）=0，解得：x=或（舍去）当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，1）时，f'（x）＜0，∴当x=时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（）=1故选A．4. 函数y=2x+1的图象是（）参考答案：A略5. 已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB=1时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．135°C．120°D．不存在参考答案：A【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】判断曲线的形状，利用三角形的面积求出∠AOB，推出原点到直线的距离，建立方程求出直线的斜率，然后求解倾斜角．【解答】解：曲线y=，表示的图形是以原点为圆心半径为的上半个圆，过定点P（2，0）的直线l设为：y=k（x﹣2）．（k＜0）即kx﹣y﹣2k=0．S△AOB=1．∴，可得∠AOB=90°，三角形AOB是等腰直角三角形，原点到直线的距离为：1．∴1=，解得k=，∵k＜0．∴k=，∴直线的倾斜角为150°．故选：A．6. 双曲线mx2﹣y2=1（m∈R）与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±3x参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的方程可得椭圆的焦点坐标，将双曲线的方程变形为标准方程﹣y2=1，结合其焦点坐标，可得+1=4，解可得m的值，即可得双曲线的方程，由渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其焦点在x轴上，且c==2，则其焦点坐标为（±2，0），对于双曲线mx2﹣y2=1，变形可得﹣y2=1，若其焦点为（±2，0），则有+1=4，解可得m=，即双曲线的方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为y=±x；故选：B．7. 函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间(－，)内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度．可以得到图象．以上三个命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C略8. 一束光线从点A(-1，1)出发经X轴反射到圆C：上的最短路程是（）A. 4B. 5C.D.参考答案：A略9. 设连续掷两次骰子得到的点数分别为、，则直线与圆相交的概率是（）A． B． C．D．参考答案：C10. 函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=时，f（）==，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点A ( 3，1 )，点M在直线x–y = 0上，点N在x轴上，则△AMN周长的最小值是__________________。
上海市闵行第二中学高二数学理月考试题含解析
上海市闵行第二中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．π B．2π C．π D．π参考答案：D上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，∴l＝2，∴高h＝＝，∴V＝π·(1＋1×2＋2×2)＝π.故选D.2. 是的什么条件( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分与不必要参考答案：A3. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C4. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12参考答案：B【考点】分层抽样方法．【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．5. 下列四个命题：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题②“全等三角形的面积相等”的否命题③“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题④“若ab≠0，则a≠0”的否命题其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形是等边三角形”；②，“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等“；③，“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”是真命题，其逆否命题一定是真命题；④，“若ab≠0，则a≠0”的否命题为：“若ab=0，则a=0”．【解答】解：对于①，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形是等边三角形”，故①正确；对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，故②错；对于③，“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”是真命题，其逆否命题一定是真命题，故③正确；对于④，“若ab≠0，则a≠0”的否命题为：“若ab=0，则a=0”，故④错；故选：C【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角函数的基础知识，属于中档题．6. 已知复数z满足（z-1）i=i+1，复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D7. 的展开式中的系数为（）A. 1B. 9C. 10D. 11参考答案：D【分析】根据组合的知识可求展开式的含和的项，分别乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解.【详解】因为展开式中含项的系数为,含项的系数为,乘以后含项的系数为，故选D.【点睛】本题主要考查了用组合知识研究二项展开式的特定项的系数，属于中档题.8. 方程表示的曲线是（）A．焦点在轴上的双曲线B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的椭圆参考答案：C略9. 若函数f（x）=无最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出函数f（x）的导数，可得极值点，讨论a=﹣1，a＜﹣1，a＞﹣1，结合单调性和f（x）无最大值，可得a的不等式组，解不等式可得a的范围．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，则x=±1，当a=﹣1时，可得f（x）在（﹣∞，﹣1]递增，可得f（x）在x=﹣1处取得最大值2，与题意不符，舍去；则，或，即为或，即为a＜﹣1或a∈?．综上可得a∈（﹣∞，﹣1）．故选：D．10. 已知两点 ,O为坐标原点，点C在第二象限，且,则等于A． -1 B． 1 C．-2 D． 2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x ，y 满足，则的最大值是_______．参考答案：212. 已知，设在R 上单调递减，的定义域为R ，如果“或”为真命题，“或”也为真命题，则实数的取值范围是_________．参考答案：略13. 已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则______．参考答案：；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，∴，又，∴；∴；14. 已知集合M ={（x ，y ）| }和集合N ={（x ，y ）|y =sin x ，x ≥0}，若M ∩N ≠?，则实数a的最大值为 ．参考答案：﹣作出函数y=sinx （x≥0）的图象，以及不等式组表示的可行域，由直线x ﹣2y+a=0与y=sinx 相切时，设切点为（m ，sinm ），求出导数和直线的斜率，解方程可得切点和此时a 的值，由图象可得a 的最大值．解：作出函数y=sinx （x≥0）的图象，以及不等式组表示的可行域，当直线x ﹣2y+a=0与y=sinx 相切时，设切点为（m ，sinm ），即有cosm=，解得m=，切点为（，）， 可得a=2×﹣=﹣，由题意可得a≤﹣，即有M∩N≠?， 可得a 的最大值为﹣，故答案为：﹣．15. 若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列，则参考答案： 216. 用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．参考答案：试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。
2023-2024学年上海市闵行区高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年上海市闵行区高二下册3月月考数学模拟试题一、填空题1．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种．【正确答案】14【分析】根据分类加法计数原理可得答案.【详解】解：根据分类加法计数原理可知，共有65314++=种不同的选法．故14.2．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．【正确答案】53【分析】每名旅客都有3种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数.【详解】由于每名旅客都有3种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有53种.故答案为.53本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.3．计算：01220232023202320232023C C C C ++++=L __________.【正确答案】20232【分析】由二项式定理性质可知()1nx +所有二项式系数和为2n ，即可得出结果.【详解】由题意可知()1202C 1C C C nn nn n n n x x x x +=⋅⋅+++⋅+L ，当2023n =时，令1x =，即可得012202320232023202320232023C C C C 2++++=L .故202324．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）.【正确答案】80【分析】先由题意，分别确定从5名男生和4名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果.【详解】从5名男生和4名女生中选出3人，共有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种选法；选出的3人全部都是女生，共有344C =种选法；因此，至少有一名男生的选法有84480-=种.故答案为80本题主要考查组合问题，熟记组合的概念，以及组合数的计算公式即可，属于常考题型.5．若()()342221401214112x x x a a x a x a x +-⋅-=++++ ，则12314a a a a ++++= ______.【正确答案】0【分析】赋值法求二项展开式部分项的系数之和.【详解】令()()()342221401214112f x x x x a a x a x a x =+-⋅-=++++ ，则()001f a ==，()12310411a a a f a a +++=+=+ ，所以()()12314100a a a a f f ++++=-= .故0.6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个．【正确答案】216【分析】分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【详解】当个位是0时，前面四位有45120A =种排法，此时共有120个五位数满足题意；当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有4424A =种排法，所以此时共有424=96⨯个五位数满足题意.所以满足题意的五位数共有120+96=216个.故答案为216本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．在()9a b c ++的展开式中，432a b c 项的系数为_____________.（用数字作答）【正确答案】1260【分析】由()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦，然后利用二项式定理得出含4a 项为()5549C a b c +，然后利用二项式展开式通项求出()5b c +中32b c 项的系数，与59C 相乘即可得出结果.【详解】()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦ ，展开式中含4a 的项为()5549C a b c +，()5b c +中含32b c 项为2325C b c ，因此，()9a b c ++的展开式中432a b c 项的系数为52951260C C =.故答案为1260.本题考查二项展开式的应用，在处理含三项的问题时，可将其转化为两项的和来处理，考查运算求解能力，属于中等题.8．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_____种不同的方法（用数字作答）【正确答案】1260【详解】同色球不加以区分，共有(种)排法．排列与组合.9．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【正确答案】96【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×44A =96种排列、组合及简单计数问题10．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.【正确答案】37【分析】按照所选得6人中所含会划左右桨的人数进行分类，即可得到答案.【详解】第一类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有3333C C 1=种，第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有1322332C C C 12=种，第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，共有132233332C C 2C C 24+=种，则共有1122437++=种.故3711．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________.【正确答案】186【详解】试题分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04){27(06)x y x x y y +=≤≤+≥≤≤234{,{,{321x x x y y y ===∴===，取法为233241464646186C C C C C C ++=.古典概型.12．定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________【正确答案】155【分析】分析出f （x ）的所有可能的取值，得到使f （x ）中f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f （x ）的个数即可．【详解】解：经分析，f （x ）的取值的最大值为x ，最小值为2﹣x ，并且成以2为公差的等差数列，故f （6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．f （12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f （x ）中的f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时，f （1）、f （6）、f （12）的取值只有两种情况：①f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4；②f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4．|f （x +1）﹣f （x ）|＝1（x ＝1，2， (11)，f （x +1）＝f （x ）+1，或者f （x +1）＝f （x ）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为35C =10种．从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为46C =15种．根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．（2）当f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为15C =5种．从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为66C =1种．根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．综上，满足条件的f （x ）共有：150+5＝155种．故填：155．解决本题的难点在于发现f （x ）的取值规律，并找到使f （1）、f （6）、f （12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．二、单选题13．10(1)x -的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（）项.A ．6B ．5C ．4和6D ．5和7【正确答案】A【分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.【详解】因为二项式10(1)x -展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，易知当r ＝5时，10rC 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.故选：A14．将4名新老师安排到,,A B C 三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（）A ．54B ．36C ．24D ．18【正确答案】B【分析】分类讨论,,A B C 分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到,,A B C 三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，【详解】将4名新教师安排到,,A B C 三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：1,1,2，A 学校有两名新老师：2142C C 12=；B 学校有两名新老师：2142C C 12=；C 学校有两名新老师：2142C C 12=所以共有2142363C C =种情况，故选：B.15．已知122332020202020201C 2C 2C 2C 2a =+++++ ，则a 被10除所得的余数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】根据题意得到()10201039101a ===-，再利用二项式定理展开即可得到答案.【详解】()201223320202010202020201C 2C 2C 2C 21239a =+++++=+== ，又因为()()()()10290101928910101010101C 10C 101C 101C 1011a =-=+-+-++-+ ，又因为()()()290101928910101010C 10,C 101,C 101,,C 101--- 都是10的倍数，所以a 被10除所得的余数为1.故选：B16．已知r ，s ，t 为整数，集合A ＝{a |a ＝2r +2s +2t ，0≤r ＜s ＜t }中的数从小到大排列，组成数列{an }，如a 1＝7，a 2＝11，a 121＝（）A ．515B ．896C ．1027D ．1792【正确答案】C（1）由于 r s t 、、为整数且0,r s t ≤<<，下面对t 进行分类讨论:t 最小取2时，符合条件127,11,a a ==同理可得3t =,4t =,……，10t =时符合条件的a 的个数，最后利用加法原理计算即得．【详解】 r s t、、为整数且0,r s t t ≤<<∴最小取2,此时符合条件的数a 有221C =,当3t =时,,s r 可在0,1,2中取,符合条件有的数a 有233C =所以0120130231232227,22211,22213a a a =++==++==++=,同理4t =时,符合条件有的数a 有246C =,……,t n =时,符合条件有的数a 有2n C 222234123++++n n C C C C C += …,且310=120C ,121a 是111n +=的最小值,即10t =时,01101212221027a =++=.故选:C .本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简单表示法,难度较难.三、解答题17．解方程（1）421010x C C +=；（2）4321126n n P P +=.【正确答案】（1）2x =或4x =；（2）4n =【分析】（1）根据421010x C C +=得到24x +=或26x +=，计算得到答案；（2）4321126n n P P +=根据排列公式计算得到答案.【详解】（1）421010x C C +=则24x +=或26x +=，解得2x =或4x =（2）4321126n n P P +=，即(21)(2)(21)(22)126(1)(2)n n n n n n n +--=--化简得到：28631240n n -+=，解得4n =或318n =（舍去）本题考查了解关于排列的方程，漏解是容易发生的错误，意在考查学生的计算能力.18．晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：（1）3个舞蹈节目排在一起；（2）3个舞蹈节目彼此分开；（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【正确答案】（1）4320；（2）14400；（3）6720；（4）37440.【分析】(1)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列.(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置,选三个把舞蹈节目排列.(3)使用倍分法分析:先求出8个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案.(4)先不考虑限制条件，8个节目全排列有种方法前88P 个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有4454P P 用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果.【详解】(1)33664320P P =，(2)535614400P P =，(3)33886720P P =，(4)84485437440P P P -=.本题主要考查的是排列组合公式的应用，以及捆绑法、插空法、倍分法的应用，是基础题.19．（1）已知n的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求n 的值；（2）求8展开式所有的有理项；（3）求8展开式中系数最大的项.【正确答案】（1）8；（2）4112,256x x -；（3）731792x -【分析】（1）先求各项系数和，再求二项式系数和计算求解即可；（2）先写出展开式的通项公式，按照有理项求解即可；（3）根据通项公式求出系数，计算系数最大可得6r =，再应用通项公式求解即得.【详解】（1）令1x =可得，展开式中各项系数之和为(1)n -，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255,8n n n ∴--=∴=，（2）883322188C (2)(2)C r r rr r rrr r T xxx----+=-=- ；当832r r--为整数时，1r T +为有理项，则2r =或8r =所以展开式所有的有理项为：4112,256x x -；（3）设第1r +项最大，且r 为偶数则22882288(2)C (2)C (2)C (2)C r r r r r r r r ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为.8667663238(2)C 1792xx----=20．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.(1)当1a =时，求函数()y f x =在()1,3处的切线方程；(2)讨论()y f x =的单调性；(3)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【正确答案】(1)3y =(2)函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增(3)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，得切线方程；（2）求出函数导数，解关于导函数的不等式即可得出单调区间；（3）根据函数有最小值，只需满足最小值大于0即可得解.【详解】（1）当1a =时，()()233ln 1,21f x x x x f x x x=+-+=+-'，故()10f '=，此时函数()y f x =在()1,3处的切线方程为.3y =（2）由题意，()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2221233232ax ax a x ax f x a x a x x x-++-='=+-=，则当1x a >时，()()0,f x f x '>单调递增；当10x a<<时，()()0,f x f x '<单调递减.故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（3）由（2）知函数()f x 的最小值为1f a ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2110f a a =++>，且()y f x =的图象与x 轴没有公共点，只需()f x 的最小值恒大于0，即10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，故221113ln 10a a a a a ⎛⎫⋅-+> ⎪⎝⎭+，得1e >a ，所以a 的取值范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21．我们称()*n n ∈N 元有序实数组()12,,,n x x x 为n 维向量，12n x x x +++ 为该向量的范数，已知n 维向量()12,,,n a x x x =，其中{}1,0,1,1,2,i x i n ∈-= ，记范数为奇数的n 维向量a的个数为n A ，这n A 个向量的范数之和为n B .(1)求2A 和2B 的值；(2)求2023A 的值；(3)当n 为偶数时，证明.()131n n B n -=⋅-【正确答案】(1)224,4A B ==(2)2023312+(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）类比（1），结合排列组合的知识，二项式定理，求解2023A 即可；（3）类比（2）的考虑方法，可得0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --=⋅+⋅++⋅ ，()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ ，由二项式定理可得312n nA -=，根据组合数的运算性质化简nB 得解.【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，它们的范数依次为1,1,1,1，224,4A B ∴==；（2）当n 为奇数时，在向量()12,,n a x x x =的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，∴可按照含0个数为0,2,4,,1n - 进行讨论：a的n 个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，共有0C 2n n ⋅个，每个a的范数为n ；a 的n 个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，共有22C 2n n -⋅个，每个a的范数为2n -；a 的n 个坐标中含n 1-个0，其余坐标为1或-1，共有1C 2n n -⋅个，每个a的范数为1；0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --∴=⋅+⋅++⋅ ，0221(21)C 2C 2C 2C n n n n n n n n n --+=⋅+⋅++⋅+ ，022(21)22C C C (1)n n n n n n n n --=⋅-⋅++- ，两式相加除以2得：022131C 2C 2C 22n n n n n n n n A --+=⋅+⋅++⋅= 20232023312A +∴=.（3）当n 为偶数时，在向量()123,,,,n a x x x x = 的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1,3,,1n ⋯-进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，共有11C 2n n -⋅个，每个a的范数为n 1-；a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有33C 2n n-⋅个，每个a 的范数为3n -；a 的n 个坐标中含n 1-个0，其余坐标为1或-1，共有1C 2n n -⋅个，每个a的范数为1；所以11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅ ，()()113311232C 2n n n n n n n B n C n C ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ .因为01122(21)C 2C 2C 2C n n n n n n n n n --+=⋅+⋅+⋅++ ，①01122(21)C 2C 2C 2(1)C n n n n n n n n n n ---=⋅-⋅+⋅-+- ，②2-①②得，113331C 2C 22n n n n n ---⋅+⋅+= ，所以312n n A -=.思路一：因为()()()()()11!!C C !!!1!k k n n n n n k n k n n k n k k n k --⇒-=-⋅=⋅=---，所以()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ .()11331111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅ ()123411112C 2C 2C n n n n n n n ------=⋅+⋅++ ()11312312n n n n --⎛⎫-=⋅=⋅- ⎪⎝⎭.思路二：2+①②得，02231C 2C 22n n n n n -+⋅+⋅+= .又因为()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅ ()()10123211113131C 2C 2C 23122n n n n n n n n n n nA n n n --------⎛⎫-+=-⋅+⋅++⋅=⋅-=⋅- ⎪⎝⎭关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题.。
上海市闵行区友爱实验中学高二数学理月考试题含解析
上海市闵行区友爱实验中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设复数z=，是z的共轭复数，则z+=（）A．B．i C．﹣1 D．1参考答案：C【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z===，∴=，则z+==1．故选：D．2. （5分）“x=1”是“x2﹣1=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而充分不条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A3. 将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为( )参考答案：C4. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）（A）2012 （B）2000 （C）2001 （D）2100 参考答案：D5. 若P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0参考答案：A6. 下列函数存在极值的是（）A B C D参考答案：B略7. 设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z 等于（）﹣+iB+iC﹣﹣iD﹣i参考答案：B略8. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是（）A．B．C．D．参考答案：D略9. P(-3,-1)在椭圆的左准线上，过点P且方向向量m = (2，5)的光线，经过直线y = 2反射后，通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为A．B． C．D．参考答案：C10. 在中，分别为角的对边)，则在的形状( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果复数(i是虚数单位)的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于________．参考答案：b＝－＝·＝－i，由复数的实部与虚部互为相反数，得＝，解得.b＝－12. 某桔子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行调查．如果所抽山地是平地的2倍多1亩，则这个桔子园的平地与山地的亩数分别为________、________.参考答案：略13. 若，则定义为曲线的线．已知，，，，则的线为．参考答案：14. 函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________。
上海市闵行区上虹中学高二语文月考试题含解析
上海市闵行区上虹中学高二语文月考试题含解析一、现代文阅读（35分，共3题）1. 阅读下面的文字，完成6—9题。
自本杰明·富兰克林在暴风中升起他们风筝验证闪电现象已经250多年了，科学家们仍对这耀眼的、有时甚至是致命的闪电现象后面的物理因素感到迷惑。
甚至可以说，科学家对宇宙中星体爆炸的了解都要比对闪电的了解多得多。
闪电是如何产生的呢？传统的解释是闪电就是储存在电场中的电荷放电。
在雷雨云中，冰粒子相互碰撞形成电场。
大部分电荷带负电，几千米以下的地面产生正电，最终，两者之间的空气成为电离空气，并传导电荷，或者从云层到云层，或者从云层到地面，从而形成闪电。
但是这样的解释有一个缺陷。
空气只会在大约2500千伏/米的电场中自然离子化。
几百年来，人们用风筝、气球和飞机等危险的测量方法测量了许多雷雨云中的电场。
然而，没有人发现过雷雨云中有强烈到足以使空气电离的电场.被发现的电场强度通常在100千伏/米至400千伏/米之间，还不到形成电离的十分之一。
那么闪电是由什么引起的呢？科学家把眼光投向了13年前俄罗斯科学家提出的一个理论：引起闪电的是来自太空的轰击地球的高能粒子。
这些宇宙高能粒子流被称为宇宙射线，它们是太阳耀斑和远古星球爆炸后留下的残余物。
每平方米的地球大气层每秒钟就受数以千计的宇宙射线的轰击，其中许多宇宙射线跨越了星际距离。
1992年，俄罗斯P·N·列别杰夫物理研究所的亚历克斯·古列维奇提出了宇宙射线可以催生闪电的理论。
当宇宙射线撞击地球大气层时，它可能击中空气分子，使其变成离子，从而产生极为高能的电子。
在接近雷雨云的电场，这样的高能电子可能被加速到接近光速的程度，然后击中其他空气分子并使它们离子化，如此通过连锁反应，产生越来越多的电子。
不断大量涌现的电子使空气电离，导致电荷流动。
古列维奇称之为“逃逸崩溃”。
这个推测最初被人们认为是标新立异的，但现在却成为主流的解释。
2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题一、填空题1．已知等比数列}{n a 中，12452,16a a a a +=+=，则}{n a 的公比为__．【正确答案】2【分析】设公比为q ，再根据题意作商即可得解.【详解】设公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =.故答案为.22．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于___________.【正确答案】48【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可【详解】因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为12448⨯=，故483．直线0mx y -=与直线220x my --=平行，则m 的值是__________．【正确答案】【分析】利用直线的平行条件即得.【详解】∵直线0mx y -=与直线220x my --=平行，∴122m m -=≠--，∴m =.故答案为.m =4．经过两直线2x +y -1=0与x -y -2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________．【正确答案】x +y =0或x -y -2=0【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.【详解】解：联立两直线方程可得：21020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，可得两条直线交点P （1，-1）．①直线经过原点时，可得直线方程为y =-x ；②直线不经过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，把交点P （1，-1）代入可得111a a-+=-，解得a =2．所以直线的方程为x -y-2=0．综上直线方程为：x +y =0或x -y -2=0．故x +y =0或x -y -2=0．5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由22r l πππ==，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以22r l πππ==，解得1r =，所以h =所以圆锥的体积为：1133V Sh π==⨯⨯故该几何体的体积为3，故36．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，空间一点Р到平面α、β和棱l 的距离分别为4和l αβ--的大小为_______________.【正确答案】75 或15【分析】分点P 在二面角l αβ--的内部和外部，利用二面角的定义求解.【详解】当点P 在二面角l αβ--的内部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453075ACB BCP ACP ∠=∠+∠=+= ；当点P 在二面角l αβ--的外部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以所以2212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453015ACB BCP ACP ∠=∠-∠=-= .故75 或157．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．【正确答案】39π【分析】由圆台的体积公式代入求解即可.【详解】由题意知，122,5,3r r h ===，则()()22121211ππ42510339π33V r r r r h =++⨯=++⨯=.故答案为.39π8．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 平行；③CN 与BM 成60 角④DM 与BN 垂直，请写出正确结论的个数为__个．【正确答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断.【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得BM 与ED 是异面直线，故①正确；CN 与BE 平行，故②正确；连接EM ，则BEM △为等边三角形，所以BE 与BM 所成角为60︒，因为//CN BE ，所以CN 与BM 成60︒角，故③正确；对于④，连接CN ，BC ⊥平面CDNM ，DM ⊂平面CDNM ，所以BC DM ⊥，又DM CN ⊥，,,CN BC C CN BC ⋂=⊂面BCN ，所以DM ⊥平面BCN ，BN ⊂平面BCN ，所以DM BN ⊥，故④正确.所以正确结论的个数是4个.故49．若圆222:()0O x y r r +=>上恰有相异两点到直线40x y --=，则r 的取值范围是__．【正确答案】【分析】计算圆心到直线的距离为||d r -.【详解】圆心(0,0)到直线40x y --=的距离d =，因为圆上恰有相异两点到直线40x y --=，所以||d r -即||r r <<故10．过点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.【正确答案】2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程.【详解】设点1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，则OB 为原点O 到直线l 的距离，在直角三角形AOB 中，OA 为斜边，所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，而1212OA k -==-，所以12l k =，所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得：2450x y --=本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.11．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．15【分析】将四边形面积的最小时，等价于圆心C 到直线34130x y ++=的距离最小，求出最小距离，进而利用三角形面积公式求出最小面积.【详解】解：由题意知，A ，B 是切点，是圆心()1,1C ，且圆的半径为1所以221PB PA PC ==-四边形PACB 面积为：221212S PB r PC =⨯⋅=-所以当PC 取最小值时，S 取最小值由点P 在直线上运动可知，当PC 与直线34130x y ++=垂直时PC 取最小值此时PC 为圆心C 到直线34130x y ++=的距离即22314113434PC ⨯+⨯+==+故四边形PACB 最小面积为：224115S =-=故答案为关键点睛：本题的关键是将面积的最值转化为点到直线上点的距离的最值，进而转化为点到直线的距离.12．我们将函数图象绕原点逆时针旋转()02θθπ≤≤后仍为函数图象的函数称为JP 函数，θ为其旋转角，若函数0y x =≤≤⎭为JP 函数，则其旋转角θ所有可取值的集合为___________【正确答案】2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】由解析式可知原函数图象为圆弧AB ，根据函数的定义可知若旋转后不再是函数，则必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，通过图形进行分析可得结果.【详解】02y x =≤≤⎭为如图所示的一段圆弧AB ，其所对圆心角6AOB π∠=，若该函数图象绕原点逆时针旋转θ后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，由图象可知：若6COD π∠=，则当A 点自C 向D 运动（不包含,C D ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若6EOF π∠=，则当A 点自E 向F 运动（不包含,E F ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时35,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴若函数02y x ⎫=≤≤⎪⎪⎭为JP 函数，其旋转角()02θθπ≤≤所有可能值的集合为.2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为.2350,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦13．设10x y -+=，求d =__．【正确答案】【分析】根据d 的表达式可知，其几何意义表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，根据“将军饮马”模型求解即可.【详解】根据题意可得d =，表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，点A 关于直线10x y -+=的对称点为(),C a b ，则满足513351022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩解得4,2a b ==-；所以点A 关于直线10x y -+=的对称点为()4,2C -，如下图所示：则PA PB PB PC BC+=+≥所以()min PA PB BC +==.故14．若,x y R ∈___________.【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为PA QB PQ =++，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，则()min PA QB PQ A B ''++=，最后利用两点间的距离公式即可求得结果.根据两点间的距离公式可知，表示点(),0P x 到点()1,1A 的距离，表示点()0,Q y 到点()1,2B 的距离，表示点(),0P x 到点()0,Q y 的距离，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，PA QB PQ =++，如图，作A 关于x 轴的对称点()1,1A '-，B 关于y 轴的对称点()1,2B '-，的最小值，则需求PA QB PQ ++的最小值，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，即()min PA QB PQ A B ''++==，故答案为二、单选题15．设29n a n =-，则当数列{an }的前n 项和取得最小值时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6【正确答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即()2902190n n -≤⎧⎨+-≥⎩，解得7922n ≤≤，因为n N *∈,故4n =.故选：A.16．已知三条不同的直线a ，b ，c ，两个不同的平面α，β，则下列说法错误的是（）A ．若a α⊥，//αβ，a b ⊥r r ，则b β//或b β⊂B ．若a α⊥，b β⊥，//αβ，则a b⊥r r C ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b⊥r r D ．若a α⊥，⋂=c αβ，//b c ，则a b⊥r r 【正确答案】B【分析】根据线面位置关系逐项判断即可得出答案.【详解】选项A 中，//a ααβ⊥，，可得a β⊥，又//a b b β⊥∴或b β⊂，选项A 正确；选项B 中，//a a ααββ⊥∴⊥，，又b β⊥，则//a b ，选项B 错误；选项C 中，//a a ααββ⊥⊥∴，或a β⊂，又b β⊥//a β∴时，a b ⊥；a β⊂时，a b ⊥，选项C 正确；选项D 中，a c a c ααβ⊥⋂=∴⊥，，又//b c a b ∴⊥，选项D 正确故选：B.17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【正确答案】A【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB==，即()2223xy -+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+==+，所以()22max21168x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+故选：A.18．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，其中12BB =，则三棱锥O ABC -的体积的最大值为（）A ．1B ．3C ．2D ．4【正确答案】A【分析】设,AB a AD b ==，根据长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积和12BB =，可求得外接球的半径2R =，根据基本不等式求得ABCS 的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案；【详解】设,AB a AD b ==，∵长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，12BB =，∴外接球O 的半径2R =，∴22416a b ++=，∴2212a b +=，∴2262a b ab +≤=，∵O 到平面ABC 的距离1112d BB ==，132ABCSab =≤，∴三棱锥O ABC -的体积1131133ABCV S d =⨯⨯≤⨯⨯=．∴三棱锥O ABC -的体积的最大值为1．故选：A ．19．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成AB M '（B '不在平面AMCD 内），连结B D '，N 为B D '的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的个数是（）①//CN 平面AB M '；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③线段CN 长度为定值；④当三棱锥B AMD '-的体积最大时，三棱锥B AMD '-的外接球的表面积是4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】取AB '中点，利用线线平行推出线面平行可判断①；假设垂直，得到AB AD '<不成立，可判断②；由①知//CN MN '，且CN MN '=，可判断③；当平面B AM '⊥平面AMD 时，三棱锥B AMD '-体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断④.【详解】对于①，取AB '的中点N '，连接NN '，则1////,2NN AD CM NN AD CM ''==，所以四边形N MCN '为平行四边形，所以//CN MN '，又MN '⊂平面AB M '，CN ⊄平面AB M '，即//CN 平面AB M '，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得CN AD ⊥，又,AD CD CN CD C ⊥= ，,CN CD ⊂平面CDN ，所以AD ⊥平面CDN ，又DN ⊂平面CDN ，所以AD ⊥DN ，即222AB AD DB ''=+，因为1,2,AB AD AB AD ''==<，所以不可能，故②错误；对于③，由①得CN MN '=，因为AB B M ''⊥，1AB B M ''==，所以2MN '==为定值，所以CN 长度为定值，故③正确；对于④，取AD 的中点H ，当三棱锥B AMD '-的体积最大时，此时平面B AM '⊥平面AMD ，因为MD AM ⊥，MD ⊂平面AMD ，平面B AM ' 平面AMD AM =，所以MD ⊥平面B AM '，又AB '⊂平面B AM '，所以AB MD '⊥，又,B AB M M MD M B '''⊥= ，,D B M M '⊂平面B MD '，所以AB '⊥平面B MD '，B D '⊂平面B MD '，所以A B D B ''⊥，所以H 即为三棱锥B AMD '-的外接球球心，又1HA =，所以外接球的表面积是24π14π⨯=，故④正确.故选：C三、解答题20．已知等差数列{}n a 中，1479,0a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值？【正确答案】(1)()112n a n n N *=-∈(2)5n =【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求出公差，进而可以求出结果；（2）求出数列{}n a 的前n 项和，结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）由1479,0a a a =+=，得11360a d a d +++=，解得2d =-，()()11921112n a a n d n n =+-=--=-，所以数列{}n a 的通项公式()112n a n n N *=-∈.（2）19,2a d ==-，()()()22192105252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+，∴当5n =时，n S 取得最大值.21．在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1)求异面直线PB 与DC 所成角的正切值；(2)求PA 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)53(2)10【分析】(1)由//AB CD 可知PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PDA ，根据线面垂直的性质可得AB PA ⊥，进而求出tan PBA ∠即可；(2)连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，进而可知APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，求出AO 即可得出结果.【详解】（1）由题意知，//AB CD ，所以PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，因为PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，所以AB ⊥平面PDA ，而PA ⊂平面PDA ，所以AB PA ⊥.在Rt PAB 中，106PA AB ===，，所以5tan 3PA PBA AB ∠==，即异面直线PB 与DC 所成的角的正切值为53；（2）连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，由PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥，PD AD ⊥，因为底面ABCD 为边长为6的正方形，所以BD AC ⊥，AC =，又BD PD D PDBD =⊂ ，、平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，所以PA 在平面PAD 内的射影为PO ，APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，又PD =8，AD =6，所以PA =10，12AO AC ==所以在Rt APO 中，sin 10AO APO PA ∠==，即PA 与平面PBD 所成的角的正弦值为10.22．已知直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=.(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得ABO 的面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，2211660x y +-=或922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据ABO 的面积为9，求出m 的值，可得结论.【详解】（1）直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=，即()()4314220m x y x y +-+-+=，令43140x y +-=，可得220x y -+=，求得2x =，2y =，可得该直线一定经过43140x y +-=和220x y -+=的交点()2,2.（2）若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则142,014m A m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1420,32m B m -⎛⎫-⎝⎭，且142014m m ->+，142032m m ->-，∴14m <-，或23m >.则ABO 的面积为1142142921432m m m m --⨯⨯=+-，即()()()227194132m m m ⨯-+-=，即21017200m m --=，∴52m =，或45m =-.故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为2211660x y +-=，或922660x y +-=.23．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为1O 、2O ，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O ．(1)32Ω的体积；(2)若112:1:3PO O O =，求几何体Ω的表面积．【正确答案】(1)78π(2)648525+【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解.【详解】（1）如图可知，过P 、1O 、2O 的截面为五边形ABCPD ，其中四边形ABCD 为矩形，三角形CPD 为等腰三角形，PC PD=在直角1OO D 中，1OD =，132O D =，则22131212OO ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-=32111122O P =-=，其体积为2131328ππ⨯⨯=⎝⎭32122112O O =⨯=，其体积为23314ππ⨯=⎝⎭所以几何体Ω的体积为37488πππ+=（2）若112:1:3PO O O =，设122O O h =，则123h PO =，故213h h +=，35h ∴=在直角1OO D 中，1OD =，135OO =，则22155134O D ⎛⎫⎪⎝⎭=-=故圆锥的底面半径为45，高为125O P =22425555⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆锥的侧面积为45525ππ⨯⨯=圆柱的底面半径为45，高为1265O O =，其侧面积为464825525ππ⨯⨯=所以几何体Ω2484255π⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭24．已知圆C 的圆心C 为（0，1），且圆C 与直线260x y -+=相切．(1)求圆C 的方程；(2)圆C 与x 轴交于A ，B 两点，若一条动直线l ：x ＝x 0交圆于M ，N 两点，记圆心到直线AM 的距离为d ．（ⅰ）当x 0＝1时，求dBN的值．（ⅱ）当﹣2＜x 0＜2时，试问dBN是否为定值，并说明理由．【正确答案】(1)()2215x y +-=(2)（ⅰ）12；（ⅱ）d BN为定值12，理由见解析【分析】（1）求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；（2）（ⅰ）当x 0＝1时，可得直线l ：x ＝1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，则答案可求；（ⅱ）联立直线与圆的方程，求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，整理即可求得d BN为定值12．【详解】（1）圆C 的半径r ==则圆C 的方程为()2215x y +-=；（2）（ⅰ）由()2215x y +-=，取y ＝0，可得2x =±．∴A （﹣2，0），B （2，0），圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，则2200(1)51x y x x x ⎧+-=⎪=⎨⎪=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，∴M （1，3），N （1，﹣1），则直线AM 的方程y ﹣0()()3212x =+--，即20x y -+=．圆心到直线AM 的距离d 2==，|BN|==∴12d BN ==；（ⅱ）由圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，设M （x 0，y 1），N （x 0，y 2），联立220(1)5x y x x ⎧+-=⎨=⎩，解得M（01x ，，N（01x ，，∴直线AM：)02y x =+．圆心（0，1）到直线AM 的距离d =．|BN|=则12 dBN=．∴dBN为定值12．。
上海高二高中数学月考试卷带答案解析
上海高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若直线经过点，方向向量为，则直线的点方向式方程是________.2.若直线与直线垂直，则________.3.若（为虚数单位）是关于的方程（）的一个根，则的值为 .4.与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是________.5.将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.6.在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是 .7.设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________.8.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.9.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.10.如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________.11.设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为___________.12.已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于___________.(不扣分)13.如图，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则的最小值是___________.14.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之和等于，，则由中的所有点所组成的图形的面积是_________.二、选择题1.过点且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．2.若（是虚数单位），则的最小值是（）A．B．C．D．3.动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值4.正方体的面内有一点，满足，则点的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分三、解答题1.已知复数满足：且是纯虚数，求复数.2.已知抛物线.（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.3.如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆柱侧面积等于.（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.4.定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.5.已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:.上海高二高中数学月考试卷答案及解析一、填空题1.若直线经过点，方向向量为，则直线的点方向式方程是________.【答案】【解析】若直线经过，且直线的方向为，则把方程称为直线的点方向式方程，据此代入，解得.【考点】直线的点方向式方程.2.若直线与直线垂直，则________.【答案】【解析】因为，所以，即有【考点】两条直线的位置关系判定.3.若（为虚数单位）是关于的方程（）的一个根，则的值为 .【答案】【解析】因为方程（）是实系数方程，所以它的虚根是以共轭虚数的形式成对出现的.因此由（为虚数单位）是方程的一个根，可知也是此方程的根，所以由韦达定理得，即有.【考点】复数及一元二次方程根的理论.4.与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是________.【答案】【解析】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为（），将点代入得，即有，所以所求方程为，即.【考点】共渐近线的双曲线方程的特点.5.将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.【答案】【解析】首先函数的图象为以原点为圆心，为半径的圆在轴上方的半圆，它绕轴旋转一周所形成的几何体是以原点为球心，为半径的球，故体积为.【考点】球及球的体积计算.6.在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是 .【答案】【解析】在东经圈上有甲、乙两地它们的球面距离就是东经圈这样一个大圆（实际是半个大圆）上甲、乙两地所对的劣弧长，而这两地所对的球心角即为它们的纬度之差，即弧度，从而两地的球面距离是.【考点】球面距离的计算.7.设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________.【答案】【解析】因为一个扇形的半径为，圆心角为弧度，用它做成一个圆锥的侧面，设这个圆锥的底面半径为，高为，依题意圆锥的母线，由，即，所以，从而，进而有该圆锥的体积（）.【考点】圆锥及圆锥的体积计算.8.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.【答案】【解析】设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则=，当时，.【考点】直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.9.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.【答案】【解析】由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.【考点】直线与双曲线的位置关系.10.如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________.【答案】【解析】由椭圆的最长的弦长为米，知椭圆的，设气球的半径为，入射角为的平行光线与底面所成角就为，则有，即，从而气球的表面积为.【考点】球及球的表面积计算.11.设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为___________.【答案】【解析】过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足设为，则为底面的中心，连接并延长交于，则有，连接，则，因此面，从而面面，交线为，过点作的垂线，垂足为，则即为点到侧面，由侧棱与底面成角，知，又，则有，从而，进而，在△中，运用等面积思想有，得.【考点】立体几何中的有关计算.12.已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于___________.(不扣分)【答案】（不扣分)【解析】以为边作正三角形，设线段与椭圆的交点为，则点为边的中点，连接，则，由于△是边长为的正三角形，所以，，由椭圆的定义可知，即有.【考点】椭圆的定义及性质.13.如图，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则的最小值是___________.【答案】【解析】在图2中，连接，由已知条件可求得，，，因为，所以，将直角△和等腰直角△展开在同一平面内，如图，则由余弦定理得，因为，所以的最小值是，空间距离的最小值，经常要通过图形展开，转化为平面图形问题来解决.【考点】空间图形的折叠与展开及距离计算.14.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之和等于，，则由中的所有点所组成的图形的面积是_________.【答案】【解析】因为的中点为坐标原点，由点与点到直线的距离之和等于，可知坐标原点到直线的距离为，则直线即为单位圆的切线，这样所有单位圆的切线就构成了集合，根据表示可知它是由单位圆内部的所有的点所组成的集合，面积即为单位圆的面积.【考点】集合语言及直线与圆的知识.二、选择题1.过点且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将点代入得，即，所以所求直线方程为，故选择.【考点】直线方程及两条直线的位置关系.2.若（是虚数单位），则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】，的最小值是，故选择，也可从两个复数差的模的几何意义考虑.【考点】复数的运算及复数模的几何意义3.动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【答案】【解析】设动圆圆心，半径为，依题意则有①，②，③，由①②得，代入③得，即，所以，因此圆的面积有最小值，故选择.【考点】4.正方体的面内有一点，满足，则点的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】【解析】设，可知，首先不考虑点在面内，只考虑，则点落在以为轴，母线与轴的夹角为的圆锥面上，然后加上点在面这个条件，则点的轨迹是面与圆锥面的交线，而面与轴是平行的，由圆锥曲线的产生来源可知：点的轨迹是双曲线的一部分，故选择.【考点】圆锥曲线的产生及空间想象能力.三、解答题1.已知复数满足：且是纯虚数，求复数.【答案】或者.【解析】求复数，从复数实数化的方法考虑，即求复数的实部和虚部，这样就必须建立关于实部和虚部的方程组，而题目中恰好提供了建立方程的两个条件，只要设（），等价转化一下，即可解决问题.试题解析：设（） 1分① 3分又是纯虚数 5分，且② 7分解①②可得或者 11分或者 12分【考点】复数的概念及运算2.已知抛物线.（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）（）.【解析】（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.试题解析：（1）由，消去整理得： 2分设，则，所以 6分（注：用其他方法也相应给分）（2）设点的坐标为，由边所在的方程过定点，8分所以, 即（） 14分（注:没写扣1分）【考点】1.直线与抛物线；2.求轨迹方程.3.如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆柱侧面积等于.（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）了解圆柱的概念，掌握圆柱体积和侧面积计算公式即能解决此题；（2）求异面直线所成角，经常采用平移法，即通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角来解决问题，此题可通过平移至，转化直线与所成角来处理.试题解析：（1）设圆柱的底面半径为，由题意，. 2分. 6分（2）连接，由于，即为异面直线与所成角 (或其补角)， 8分过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，由圆柱的性质，得为直角三角形，四边形为矩形，，由，由等角定理，得，所以，可解得，在中，，由余弦定理， 13分异面直线与所成角. 14分【考点】1.圆柱的体积与表面积；2.异面直线所成角.4.定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1），相似；（2）；（3），或，.【解析】（1）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（2）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（3）解析几何中的定点、定值问题是有一定难度的，这种带有探究性问题，通常都假设存在，然后去求，若有解则存在，若无解，则不存在，如何求？如何从一个方程中求出多个字母的值，关键依赖于对题意的正确理解和运算能力，通过这道题我们也能悟出此类题的一般的解题规律.试题解析：（1），相似； 4分（2）由，得； 8分（3）设、、、（为常数），将代入，整理得10分则有（＊）由得，即亦即（＊＊）将（＊）代入（＊＊）整理得：12分因为对动直线，总要存在定点，所以上式成立与无关，因此必须有14分得，或，. 16分【考点】1.椭圆的方程与性质；2.解析几何中的定点问题的处理.5.已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）作出解题所需图形，对照图形和双曲线的定义不难解决此问题；（2）按照数量积的定义即需求模和夹角，这都可以通过解析几何的工具性知识在形式上得到表示，然后通过设而不求和整体思想得以解决；（3）通过分析可将等式的证明转化为垂直关系的判定，仍然运用设而不求和整体思想来解决，注意要对直线的斜率是否存在分情况讨论，这样解题才严谨.试题解析：（1）设、的坐标分别为、因为点在双曲线上，所以，即，所以在中，，，所以 2分由双曲线的定义可知：故双曲线的方程为： 4分（2）由条件可知：两条渐近线分别为， 5分设双曲线上的点，设的倾斜角为，则则点到两条渐近线的距离分别为， 7分因为在双曲线上，所以又，从而所以 10分（3）由题意，即证：.设，切线的方程为：，且 11分①当时，将切线的方程代入双曲线中，化简得：所以：又 13分所以 15分②当时，易知上述结论也成立．所以 16分综上，，所以. 18分（注：用其他方法也相应给分）【考点】1.双曲线方程与性质；2.直线与双曲线；3.解析几何中的证明.。