广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三上学期

广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三年级期中考试理科数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C ．2D ．23-2.设i 为虚数单位，复数i z i +=-1)2(，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.下列四种说法正确的是（ ）①函数()f x 的定义域是R ，则“,(1)()x R f x f x ∀∈+>”是“函数()f x 为增函数”的充要条件；②命题“1,03x x R ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭”的否定是“1,03xx R ⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭”；③命题“若x=2，则0232=+-x x ”的逆否命题是真命题；④p：在△ABC 中，若cos2A=cos2B ，则A=B ；q ：y=sinx 在第一象限是增函数，则q p ∧为真命题．A.①②③④B. ②③C.③④D.③4、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为 ( )．A ．0 B.π6 C.π4 D.π35．设函数f (x )=log a x （a ＞0且a ≠1）的定义域为（41，+∞），则在整个定义域上，f (x )＜2恒成立的充要条件充是（ ） A ．0＜a ＜21 B ．0＜a ≤ 21 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ≥21且a ≠1 6．若等比数列{}n a 的首项为23，且441(12)a x dx =+⎰，则公比等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．－27.在等比数列{}n a 中，47562,8a a a a +==-，则110a a +=( ) A. 7 B. 5 C. -5 D. -7 8．设f (n )=cos(2n π+4π)，则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+ f (2006)=（ ）A ．-2B ．C ．0 D9、下列命题中的真命题是 ( )．A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x<3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 10.已知函数23log (1)1,10()32,0x x f x x x x a-+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1]B .⎡⎣C ．[1，2] D.⎤⎦11.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，21+=+n n S a ，则满足1012<n n S S 的n 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712.设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1，＋∞) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13、已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.14.(121x dx -=⎰．15．设平面上的动点P （1，y ）的纵坐标y等可能地取-用ξ表示点P 到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ= . 16.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(32*∈+=N n b a n n ，若}{n b 的前n 项和为)13(23-=nn S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 .三.解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m =(cosA ，sinA)，n =(1，0)，且向量m +n 为单位向量，求： （Ⅰ）角A ； （Ⅱ）cos()3b c a C π-+.18. （本小题满分12分）在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2A π≠，且3sinAcosB+12bsin2A=3sinC ． （I ）求a 的值； （Ⅱ）若A=23π，求△ABC 周长的最大值．19．（本小题满分12分）设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a n b n }的前n 项和T n .20. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)ϕ=>a x a x. （Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123nne e ++++≥ 成立.22. （本小题满分12分）已知函数xxx f ln 1)(+=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若mx x xf x g +=)()(在区间],0(e 上的最大值为3-，求m 的值； （3）若1≥x 时，有不等式1)(+≥x kx f 恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案：1.A2.D3.D4.B5.B6.C7.D8.A9.B10.B11.A12.A 13、－1 14.232π+ 15． 115；16、),1813(+∞17.解：（Ⅰ）∵ m +n =(cosA+1，sinA) 为单位向量，∴ (cosA+1)2+sin 2A=1 ，即2 cosA+1=0，得cosA=-21，∴ A=23π. ……………………………… 4分（Ⅱ）∵ A=23π，∴ B+C=3π ，即B=3π-C ，结合正弦定理得：cos()3b c a C π-+=sin sin sin cos()3B C A C π-+=sin()sin 3sin cos()3C CA C ππ--+3sin -C C12(cos )22cos()3π+C C C=2cos()3cos()3C C ππ++=2.18.解：（I ）∵3sinAcosB+12bsin2A=3sinC ，∴3sinAcosB+12bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB ，.…………3分∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；.…………5分（Ⅱ）由正弦定理可得32sin sin sin3b cB C π==，∴b=，c=………7分∴C △ABC=3+sinB+sinC ）=3+（3π﹣C ）+sinC]=3+（3π+C ）…8分∵0＜C ＜3π，∴3π＜3π+C ＜23π＜sin （3π+C ）≤1，.…………10分∴△ABC 周长的最大值为3+19. 解 (1)由已知，得b 7＝27a ，b 8＝28a ＝4b 7， 有28a ＝4×27a ＝272a ＋. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .（6分）(2)函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －22a ＝(22a ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意知，a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ＝2－12n －1－n2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以T n ＝2n ＋1－n －22n. 20. （1）1n =时，11a = ————————1分2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得11()(2)0n n n n a a a a --+--=102n n n a a a ->∴-= ，，∴{}n a 为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. ……………………6分 （2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+ 111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++ ，——————10分1,n T ∴< 又111230,n n n T a a T -≥=>∴， 综上213n T ≤<成立. 21.解：（Ⅰ）2111()()[]|()x xx a aaa x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； ………… 3分（Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->，22()1()(0)x x a x af x x x x x---'=-=>，∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=，∴ 11ln 1x x -≥=-，即 11ln ln e x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n = 得111e e ≥，122e e ≥，13e e ≥，…，1e e n≥，将以上各式相乘，得：1111!ne en ++++≥ 22.（1）易知)(x f 定义域为),0(+∞，2ln )('xxx f -=，令0)('=x f ，得1=x .当10<<x 时，0)('>x f ；当1>x 时，0)('<x f .∴)(x f 在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数. ————————3分（2）∵mx x x g ++=ln 1)(，xm x g 1)('+=，],0(e x ∈， ①若0≥m ，则0)('≥x g ，从而)(x g 在],0(e 上是增函数，∴02)()(max ≥+==me e g x g ，不合题意. ②若0<m ，则由0)('>x g ，即mx 10-<<， 若e m≥-1，)(x g 在],0(e 上是增函数，由①知不合题意. 由0)('<x g ，即e x m ≤<-1. 从而)(x g 在)1,0(m -上是增函数，在],1(e m -为减函数，∴)1ln()1()(max mm g x g -=-== - 3，∵e em <=-311，∴所求的3e m -=. ————————8分（3）∵1≥x 时，1)(+≥x kx f 恒成立， ∴11ln ln )()1(+++=+≥xx x x x f x k ， 令11ln ln )(+++=x x x x x h ， ∴2ln )('xxx x h -=恒大于0，∴)(x h 在),1[+∞为增函数， ∴2)1()(min ==h x h ，∴2≤k。