有限元法实际应用中若干问题的讨论
有限元 接触 有限滑移 小滑移
有限元接触有限滑移小滑移简介有限元方法是一种基于数值计算的工程分析方法，用于求解连续介质力学问题。
接触问题是指两个或多个物体之间存在接触并产生相互作用的情况。
在接触问题中，有时会出现滑移现象，即两个物体之间存在相对滑动。
而小滑移是指在接触问题中，滑动幅度相对较小的情况。
本文将详细介绍有限元方法在接触问题中的应用，以及如何考虑有限滑移和小滑移现象。
有限元方法在接触问题中的应用有限元方法通过将结构离散化为一个个小单元，利用单元间的节点连接关系建立整个结构的数学模型，并通过求解该模型得到结构的应力、位移等信息。
在接触问题中，可以使用有限元方法来模拟物体之间的接触行为。
常见的接触问题包括刚性-刚性接触和刚性-弹性接触。
刚性-刚性接触指两个刚体之间存在接触，并且不考虑变形；而刚性-弹性接触则考虑了至少一个物体的弹性变形。
在有限元方法中，接触问题可以通过引入接触算法来处理。
常用的接触算法包括节点投影法、增广拉格朗日法和无网格法等。
这些算法能够考虑接触面上的力、位移和形状等信息，并将其应用于有限元模型中进行求解。
有限滑移和小滑移现象在接触问题中，当两个物体之间存在相对滑动时，就产生了滑移现象。
有时候，滑动幅度很小，被称为小滑移。
小滑移是一种常见的现象，在许多工程领域都有应用。
有限滑移是指在有限元分析中考虑接触问题时引入的一种特殊技术。
通过引入摩擦系数和界面力来模拟物体之间的摩擦行为，并考虑相对位移导致的接触力变化。
在实际工程中，小滑移和有限滑移现象常常同时存在。
因此，在进行有限元分析时需要同时考虑这两种情况，并合理选择适当的模型和参数。
如何考虑有限滑移和小滑移现象要考虑有限滑移和小滑移现象，可以采取以下步骤：1.定义接触面和接触区域：首先需要确定物体之间的接触面和接触区域，在有限元模型中进行建模。
2.引入摩擦系数：根据实际情况，选择适当的摩擦系数来模拟物体之间的摩擦行为。
摩擦系数可以是常数，也可以是与位移或速度相关的函数。
弹性力学及有限元法：第2章 弹性力学中的若干典型问题及基本解法的讨论
2
2.1 平面问题
平面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题 都可以简化为平面问题来进行求解。平面问题一般可以分为两类， 一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。
平面应力问题
平面应变问题
3
2.1.1 平面应力问题
平面应力问题的特征：
（1）所研究的对象在z方向上的尺寸很小（即呈平板状）；
x y
2 xy
I3 0
因此，求解平面应力状态下主应力的方程为
3 I1 2 I2 0 解出的平面应力状态下的主应力具体为式
1, 2
x
y
2
[(
x
y
2
)2
1
2 xy
]
2
3 0
7
（2.6） （2.7） （2.8）
8
2.1.2 平面应变问题
平面应变问题的特征：
（1）如图2-2所示，当物体z方向上的 y
对于轴对称问题，采用圆柱坐标r、、z比采用直角坐标x、y、
z方便得多。这是因为，当以弹性体的对称轴为z轴时（如图2-3所 示），则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和 z的
函数，而与无关（即不随变化）。
z
(a)
o
x
13
2.2 空间轴对称问题
C
dz
PB
z
A
r
dr
d
o
d
r
r
z
z
r
z r z
dz
C
Z
z
z z
dz
r
z
r
r
z
dr
dz
r rz
R
有限元法的发展现状及应用
有限元法的发展现状及应用本文将介绍有限元法的发展现状及其在各个领域中的应用。
有限元法是一种数值分析方法，通过将连续的物理问题离散化，将其转化为有限个离散的单元进行分析，从而得到近似的数值解。
有限元法是一种将连续域问题离散化为有限个单元体的数值分析方法。
这些单元体通常由节点连接，节点之间通过插值函数建立关系。
通过对单元体进行力学分析，可以得到节点力与节点位移的关系，进而建立整体结构的力学方程。
通过求解这些方程，可以得到结构在外部载荷作用下的位移、应力、应变等物理量。
有限元法的发展可以追溯到20世纪50年代，当时工程师们开始尝试将连续问题离散化，并将其应用于结构分析和设计中。
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用。
其主要优点包括：可以处理复杂几何形状和材料属性问题，能够进行非线性分析和动态响应分析，并且可以方便地与其他数值方法和实验方法进行耦合。
然而，有限元法也存在一些缺点，如需要建立大量模型、计算量大、对计算机硬件要求高等。
有限元法被广泛应用于各个领域，如机械、土木、化工、冶金等。
在机械领域，有限元法被用于分析各种机械零件的力学性能，如齿轮、轴、弹簧等。
例如，通过对汽车齿轮进行有限元分析，可以优化其结构设计，提高齿轮的强度和寿命。
在土木领域，有限元法被用于分析建筑结构的静动力响应、地震反应等问题。
例如，利用有限元法对上海东方明珠电视塔进行抗震分析，可以优化其结构设计，提高结构的抗震性能。
在化工领域，有限元法被用于模拟化学反应过程、流体流动等问题。
例如，利用有限元法对化工反应器进行模拟分析，可以优化反应器的设计和操作条件。
在冶金领域，有限元法被用于研究金属材料的热处理过程、熔融金属的流动等问题。
例如，利用有限元法对钢铁冶炼炉进行模拟分析，可以优化冶炼工艺参数，提高钢材的性能和质量。
随着计算机技术的不断发展，有限元法的应用前景越来越广阔。
未来，有限元法将面临更多的挑战和发展机遇。
例如，随着人工智能技术的发展，可以利用机器学习等先进技术对有限元模型进行优化和自动化，提高计算效率和精度。
有限元法实际应用中若干问题的讨论
位移插值函数的构造
选择单元位移函数的一般原则
（3）选择多项式应由低阶到高 阶，尽量选取完全多项式以提高 单元的精度。由于项数限制不能 选取完全多项式时，选择的多项 式应具有坐标的对称性。并且一 个坐标方向的次数不应超过完全 多项式的次数。
在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密 的网格，在应力变化平缓的区域可布置较稀疏的网格。这样可 以同时满足精度和效率两方面的要求。这一原则的实施要求分 析者在分析前，对问题的应力分布特点应该有基本的了解。在 一般情况下，为了使计算结果达到必要的精度，可以采用以下 一些措施： 粗糙的网格足以用来预测趋势。 对应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。 采用自适应网格剖分。
选用高阶单元可提高计算精度因为高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数所以当结构形状不规则应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元
有限元法原理及应用
第四章 有限元法实际应用中若干问题 的讨论
有限元法实际应用中若干问题的讨论
目的：掌握有限元法实际应用中模型建立、求 解、计算结构处理与改善所面临的问题。
网格数量
杆单元：单元内部应力是一样的，即使分得再细 也不会改变精度。相反如果将一根构件分成多个 杆，就会变成不稳定结构。
网格疏密
疏密不同的网格主要用于应力分析(包括静应力和动应力)， 而计算固有特性时则趋于采用较均匀、规则的网格形式。 这是因为固有频率和振型主要取决于结构刚度分布，而且 还取决于质量分布，同时不存在类似应力集中的现象。 对称结构尽量使用对称的网格。对称结构若使用不对称的 网格可能导致错误的模态分析结果。采用均匀网格可使结 构刚度矩阵和质量矩阵的元素不致相差太大，可减小数值 计算误差，提高模态计算精度。
有限元法在数学建模中的应用
有限元法在数学建模中的应用有限元法是数学建模中非常重要的一种技术，它广泛应用于工程、物理、材料等领域。
本文将重点探讨有限元法在数学建模中的应用，介绍有限元法的基本原理以及在实际问题的求解中如何使用有限元法。
一、有限元法基本原理有限元法是一种计算数值解的方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
有限元法的基本思想是将一个复杂的物理问题分解成许多小的单元，每个单元内近似为均匀的物理特性，然后利用这些小单元之间的相互作用来描述整个问题的行为。
具体而言，将一个有限区域分割成若干个小的有限元，形成一个有限元网格。
然后在每个有限元内选择一种适当的插值函数和数学方法，利用有限元法求解方程，计算各节点处的场量值。
最终通过将所有单元的解拼接成总体解来解决整个大型问题。
二、有限元法的应用在数学建模中，有限元法被广泛应用于求解各种物理问题。
以下几个问题是常见的应用场景。
1、弹性力学问题弹性力学问题涉及到力学中物体变形和应力分布的关系。
例如，通过有限元法求解一个材料的弹性力学问题，即在一定的边界条件下，计算出其内部的应力和变形分布等参数。
有限元法可以将复杂的材料变形和应力分布问题简化为有限元之间的局部线性问题。
在每个单元内用局部多项式函数近似表示物理量，并将各单元之间的信息连接起来，最终得到整个材料的应力和变形信息。
2、流体力学问题流体力学问题涉及到流体的流动、压力分布以及物体受到的阻力等问题。
通过有限元法求解流体力学问题，可以计算流体内部的压力、速度、流量等重要参数。
常见的有限元法方案包括有限元、有限体积法和有限差分法。
3、电磁场问题电磁场问题涉及到电磁波传播、电荷分布等问题。
通过有限元法求解电磁场问题，可以计算电荷、电势、磁场等电磁参数。
例如，有限元法可用于计算电磁波在介质中的传播和反射，以及导体中的电流分布。
三、有限元法在实践中的应用在实际应用中，有限元法需要通过软件来实现计算。
较为流行的有限元软件包有ANSYS、Comsol、ABAQUS等。
有限元法在实际中的应用
有限元法在实际中的应用英文回答：Finite element method (FEM) is a widely used numerical technique for solving engineering problems. It is based on dividing a complex domain into smaller, simpler elements, and then approximating the solution within each element. FEM has numerous applications in various fields, such as structural analysis, heat transfer, fluid dynamics, and electromagnetics.In structural analysis, FEM can be used to determine the behavior of a structure under different loading conditions. For example, if we want to analyze the stress distribution in a bridge, we can divide the bridge into smaller elements and apply appropriate boundary conditions. By solving the resulting system of equations, we can obtain the stress distribution and identify potential areas of failure.In heat transfer analysis, FEM can be used to study the temperature distribution in a system. For instance, if we want to analyze the cooling of an electronic device, we can divide the device into smaller elements and apply appropriate heat transfer equations. By solving the resulting equations, we can determine the temperature distribution and ensure that the device operates within safe limits.In fluid dynamics, FEM can be used to simulate the flow of fluids in complex geometries. For example, if we want to analyze the airflow around an aircraft wing, we can divide the wing surface into smaller elements and apply appropriate fluid flow equations. By solving the resulting equations, we can obtain the velocity and pressure distribution, which can help in optimizing the wing design for better aerodynamic performance.In electromagnetics, FEM can be used to analyze the behavior of electromagnetic fields in different devices. For instance, if we want to analyze the magnetic field distribution in a transformer, we can divide thetransformer into smaller elements and apply appropriate electromagnetic equations. By solving the resulting equations, we can determine the magnetic field distribution and ensure that the transformer operates efficiently.Overall, FEM is a versatile method that can be applied to a wide range of engineering problems. It allows engineers to obtain accurate and reliable results by dividing complex problems into simpler elements and solving them numerically. Its ability to handle complex geometries and boundary conditions makes it a valuable tool in engineering design and analysis.中文回答：有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种广泛应用于解决工程问题的数值技术。
有限元法在实际中的应用
有限元法在实际中的应用英文回答：Finite element method (FEM) is a numerical technique widely used in engineering and scientific fields for solving complex problems. It is particularly useful for analyzing structures and systems that involve the interaction of different physical phenomena, such as stress analysis, heat transfer, fluid flow, and electromagnetic fields.One of the most common applications of FEM is in structural analysis. Engineers use FEM to simulate the behavior of structures under different loading conditions and optimize their designs. For example, when designing a bridge, FEM can be used to determine the stresses and deformations in the bridge under various loads, such as the weight of vehicles or wind forces. This helps engineers ensure that the bridge is safe and can withstand the expected loads.Another application of FEM is in heat transfer analysis. FEM can be used to model the temperature distribution in a system and predict how heat is transferred within it. Thisis useful in designing cooling systems for electronic devices, optimizing energy efficiency in buildings, and analyzing thermal stresses in materials.FEM is also widely used in fluid dynamics. It can simulate the flow of fluids in pipes, channels, and around objects, allowing engineers to study the behavior of fluids and optimize the design of hydraulic systems. For example, FEM can be used to analyze the flow of water in a dam and predict potential problems, such as excessive pressure or turbulence.In the field of electromagnetic analysis, FEM is usedto study the behavior of electromagnetic fields and their interactions with materials. It can be used to design and optimize electromagnetic devices, such as motors, transformers, and antennas. For example, FEM can be used to analyze the magnetic field distribution in a transformerand determine the optimal design to minimize losses and improve efficiency.Overall, FEM is a powerful tool that enables engineers and scientists to solve complex problems by dividing them into smaller, more manageable elements. It providesaccurate and reliable results, allowing for better understanding and optimization of various systems and structures.中文回答：有限元法（FEM）是一种广泛应用于工程和科学领域的数值技术，用于解决复杂问题。
第九章有限元法中相关问题的处理
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有限元法的云计算：通过云计算 平台，实现有限元法的分布式计 算，提高计算资源的利用率。
有限元法的多物理场耦合：利用 高性能计算技术，实现多物理场 的耦合计算，拓展有限元法的应 用领域。
多物理场耦合的有限元法
简介：多物理场 耦合的有限元法 是有限元法的一 个重要发展方向， 它将多个物理场 进行耦合分析， 能够更准确地模 拟复杂系统的行
网格划分
定义：将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互连接 的单元组成的离散域
目的：将连续的物理场问题转化为离散的数值问题，以便进行计算 求解
类型：一维线划分、二维面划分、三维体划分
原则：保证离散化的物理量与原连续域的物理量在总体上保持一致 性
单元选择
线性单元：适用 于求解线性问题
二次单元：适用 于求解非线性问 题
支持。
不确定性量化方法与有限元法结合
简介：不确定性量化方法与有限元法的结合是未来发展的重要方向，旨在 提高有限元分析的可靠性和精度。
优势：结合不确定性量化方法，有限元法可以更好地处理模型参数的不确 定性，提高预测结果的可靠性和精度。
应用场景：适用于各种工程领域，如结构分析、流体动力学和热力学等， 为复杂系统的分析和设计提供更准确的解决方案。
数值分析基础
有限元法的数学基础包括数值分析、线性代数和微分方程等学科知识。
数值分析主要研究数值计算、误差分析和稳定性等方面，为有限元法的实 施提供数学基础。
线性代数是有限元法中矩阵运算的基础，通过线性方程组的求解，可以得 到离散化后的系统刚度矩阵和载荷向量。
微分方程是描述物理现象的基本数学工具，有限元法通过将连续的物理场 离散化为有限个单元，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
机械设计中有限元分析的几个关键问题【摘要】有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，能够帮助工程师们评估和改进其设计方案。
本文将讨论有限元分析的基本原理，常见的有限元分析软件，材料特性在分析中的重要性，边界条件的设置以及模型的网格划分。
这些内容都是机械工程师在进行有限元分析时需要掌握的关键问题。
我们还将探讨有限元分析在机械设计中的应用以及未来发展，以及在面对挑战时可能带来的机遇。
通过深入理解并掌握这些关键问题，工程师们可以更好地利用有限元分析技术来提高产品的性能和质量，从而为机械设计领域的发展做出更大的贡献。
【关键词】机械设计、有限元分析、重要性、应用、软件、基本原理、材料特性、边界条件、模型、网格划分、未来发展、挑战、机遇1. 引言1.1 机械设计中有限元分析的重要性在机械设计中，有限元分析是一种非常重要的工具。
通过有限元分析，工程师们可以模拟和分析机械结构在不同工况下的应力、变形和疲劳等情况，从而优化设计方案，提高产品的性能和可靠性。
有限元分析可以帮助工程师们更好地理解机械结构的工作原理，预测和解决潜在的设计问题，提高设计效率和减少成本。
在现代机械设计中，由于产品设计复杂度和工作环境的多样性不断增加，有限元分析的重要性也日益凸显。
通过有限元分析，工程师们可以在设计阶段就对产品进行多方面的性能评估，避免在实际制造和使用过程中出现意外问题。
在激烈的市场竞争中，产品的性能和质量往往决定了企业的竞争力，而有限元分析可以帮助企业更好地把握市场需求，提升产品品质，实现可持续发展。
有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，是现代工程设计不可或缺的一部分。
通过深入研究和应用有限元分析技术，我们可以提高产品的性能和可靠性，降低设计风险，为企业创造更大的经济效益和社会价值。
1.2 有限元分析在机械设计中的应用有限元分析在机械设计中的应用非常广泛，可以帮助工程师解决各种复杂的结构力学问题。
其中包括但不限于以下几个方面：1. 结构强度分析：有限元分析可以用来评估结构的强度和刚度，帮助工程师设计出更加安全可靠的机械结构。
浅析有限元法及其在现代机械工程中的应用
浅析有限元法及其在现代机械工程中的应用前言：有限元法是GAE技术的重要组成部分。
它建立在现代计算机技术的基础之上。
随着计算机技术的不断发展，有限元法已经成为了一种适用于多个技术领域的、高效化、可靠化的数值分析技术。
在有限元法应用于现代机械工程领域以后，人们可以借助离散化处理措施，将分析对象分成多个有限单元，进而根据实际需求与计算精度确定单元总量，开展问题分析。
一、有限元法的特点与计算步骤（一）有限元法的特点有限元法在现代机械工程领域具有适应性强、应用优势大的特点。
在电磁场分析方面，有限元法可以为耦合场分析的实施提供保障。
早期的有限元法是变分原理发展的产物[1]。
它主要应用于泊松方程与拉普拉斯方程描绘的物理场中，随着流体力学研究的发展，加权余数法与最小二乘法与有限元法之间的结合，让有限元法的应用范围得到了拓展。
通过对有限元法与常规力学方法进行比较，有限元软件在形式多样的几何体的模拟过程中发挥着重要的作用。
与之相关的前处理技术与后处理技术均具有着技术优良的特点。
基于有限元法的问题解决步骤可以呈现出标准化、系统化的特点。
有限元法各个单元所包含的插值函数也可以发挥出简化数学处理过程的作用。
（二）有限元法的不足之处有限元法存在着计算用时长、资源消耗多的问题。
在实际应用中，有限元法也无法往往难以对无线求解域问题进行有效解答。
现阶段常用的有限元算法建立在网络自适应技术的基础之上，应用者需要根据已有经验确定时间、密度等因素。
有限元法虽然适用于工程问题的解决过程，但是在未能对工程问题进行正确理解的情况下，使用者往往难以对结构模型进行正确约束，也难以有效引入边界条件，进而给结构模型建设工作带来不利的影响。
（三）有限元法的计算步骤结构离散化是有限元法的核心思想。
一般情况下，在机械工程领域，有限元法的应用步骤涉及到了以下内容：一是，物理离散化；二是，单元特征的分析；三是，单元组建与集合；四是，未知节点位移情况的求解。
物理离散化是有限元分析的基础要素。
有限元法基本原理及应用教学设计
有限元法基本原理及应用教学设计一、引言有限元法作为结构力学、流体力学、热力学等学科中最常用的数值分析方法之一，已经广泛地用于工程领域。
本文将介绍有限元法的基本原理，并结合教学实践，提出一些应用场景下的教学方法。
二、有限元法基本原理有限元法是一种通过将连续体分割成一系列互相联系的单元，再在每个单元内进行局部近似的方法。
其基本步骤如下：1.确定问题的几何形状，将其离散化为有限数量的单元。
2.寻找适当的函数形式，用于单元内的场函数近似。
3.根据边界条件、本构关系等确定模型中所需的参数。
4.利用有限元法求解离散模型中的场函数，获得结果。
其中，第一步和第二步是离散化的过程，第三步是确定问题的物理参数，第四步是利用有限元方法来求解局部近似的结果。
三、教学设计3.1 教学目标通过本教学，学生应该能够：1.理解有限元法的基本原理。
2.能够根据问题特点选择有限元法模型，熟练掌握其求解方法。
3.能够独立地完成一定的有限元法计算，掌握基本的讨论和分析技巧。
3.2 教学内容教学内容的设计应该以让学生掌握有限元法的基本原理和中小型有限元法计算实验为主。
具体包括：1.有限元法基本概念和基本原理。
2.有限元法求解流程。
3.有限元法中力学问题的处理方法。
4.有限元法计算程序的操作实践及其调试过程。
3.3 教学方法教学方法应该根据教学目标和教学内容来选择。
具体而言，可以采用以下教学方法：1.讲授法：介绍有限元法的基本理论、公式、步骤等。
2.组织实践：每个学生都可以应用所学的有限元法计算流程，通过校内实践检验所得结果，加深学习效果。
3.讨论演示法：引导学生根据教材内容和实践结果展开讨论，举一反三，形成总结性的详细讨论分享现象，并进行比较，以及某些特殊情况的讨论。
4.自学法：学生在自习时间用充足的学习资料在当地的工程和计算机实验室研读，掌握有限元法的道理和方法。
3.4 教学评估教学评估应包括考试成绩和实际计算结果。
在学年末进行考试，考试的内容应该包括基本理论和实践的实际应用以及进行有限元法计算产生结果的分析。
有限元法及应用总结
2021/5/27
5
4.有限元法涉及的内容有哪些？
有限元法在数学和力学领域所依据的理论； 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误
差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。
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5.有限元法的分类
• 有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元 法是非线性有限元法的基础，二者不但在 分析方法和研究步骤上有类似之处，而且 后者常常要引用前者的某些结果。
• 在有限元力法中，选节点力作为未知量；
• 在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位 移，另一部分基本未知量为节点力。
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*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线 弹性动力学分析两方面。
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非线性有限元
非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代
求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比
《有限元法及应用》总结
串讲
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1
1.有限元的作用是什么？
1）减少模型试验的数量；
• 计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的
试验。
2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器 官移植，比如人造膝盖。
有限元法的基本原理和应用
有限元法的基本原理和应用前言有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值分析方法，用于求解工程和物理问题。
它能够将一个复杂的问题分解为许多小的、简单的部分，通过数学方法将这些部分逼近为连续函数，并进行求解。
本文将介绍有限元法的基本原理和应用。
基本原理1.离散化：有限元法将连续域分解为多个离散的小单元，这些小单元称为有限元。
离散化可以将复杂问题简化为易于处理的小部分。
每个有限元由节点和单元组成，节点是问题解的近似点，单元是在节点周围定义的几何形状。
2.变量表示：在有限元法中，通过数学函数对变量进行近似表示。
常用的近似函数有线性、二次、三次等。
通过选择合适的形状函数，可以有效地近似解决问题。
3.形成方程：根据物理方程，将离散域中每个有限元的贡献进行求和，形成一个整体方程。
这个整体方程可以是线性方程、非线性方程、常微分方程等。
通过求解这个整体方程，可以得到问题的解。
应用领域有限元法广泛应用于各个领域，包括但不限于： - 结构分析：有限元法可以用来模拟和分析工程结构的强度、刚度和振动等特性。
通过对结构进行有限元分析，可以预测和优化结构的性能。
- 热传导：有限元法可以用来模拟物体内部的温度分布和热传导过程。
通过对热传导问题进行有限元分析，可以优化物体的热设计和散热能力。
- 流体力学：有限元法可以用来模拟和分析流体的流动和压力分布。
通过对流体力学问题进行有限元分析，可以优化管道、风扇等设备的设计。
- 电磁场：有限元法可以用来模拟和分析电磁场的分布和电磁设备的性能。
通过对电磁场问题进行有限元分析，可以优化电磁设备的设计和电磁干扰问题。
有限元法的优点和局限性•优点：有限元法适用于复杂的几何形状和边界条件，并可以考虑多物理场耦合。
它具有较高的灵活性，可以适应各种问题的求解。
•局限性：有限元法的计算精度和效率受到离散化精度和网格剖分的影响。
对于高度非线性和大变形问题，有限元法可能需要更多的时间和计算资源。
关于ANSYS多物理场求解器MFX若干问题的讨论
关于ANSYS多物理场求解器MFX若干问题的讨论【摘要】本文主要围绕ANSYS多物理场求解器MFX展开讨论，首先介绍了研究背景和研究目的。
然后详细阐述了MFX求解器的概述，包括其优势和应用领域，同时也指出了MFX求解器在实际应用中存在的问题及解决方案。
探讨了MFX求解器的发展趋势，并提出了未来的发展方向。
通过对MFX求解器的全面分析，文章得出结论并总结了该求解器在多物理场领域的重要性和潜力，为未来研究和应用提供了有益的启示。
.【关键词】ANSYS, 多物理场求解器, MFX, 求解器概述, 优势, 应用领域, 问题, 解决方案, 发展趋势, 未来发展方向, 总结.1. 引言1.1 研究背景ANSYS是一家全球知名的工程仿真软件公司，其开发的多物理场求解器MFX已经成为工程界中不可或缺的重要工具。
随着科技的不断发展和应用领域的不断扩大，对于工程仿真软件的需求也日益增加。
MFX求解器作为ANSYS公司的一项重要产品，拥有强大的多物理场计算能力，可以同时处理流体力学、结构力学、电磁场等不同物理场的耦合问题。
其优越的性能和精准的计算结果，受到了众多工程师和科研人员的青睐。
随着工程问题的复杂性不断增加，MFX求解器也面临着一些挑战和问题。
在处理耦合问题时可能会出现收敛困难、计算速度慢等情况，影响了仿真结果的准确性和可靠性。
研究MFX求解器的问题及解决方案，对于提高其性能和应用范围具有重要意义。
本文将重点讨论MFX 求解器的优势、应用领域以及存在的问题，并探讨未来发展方向，以期为工程仿真软件的进一步发展提供参考和借鉴。
1.2 研究目的研究目的是通过深入探讨ANSYS多物理场求解器MFX的相关问题，进一步了解其工作原理及优势特点，探讨其在工程领域中的应用情况，并针对存在的问题提出相应的解决方案。
通过对MFX求解器的发展趋势进行分析和预测，为未来MFX求解器的优化和改进提供一定的参考和建议。
最终旨在为工程技术人员提供更加准确、高效的多物理场仿真工具，推动工程领域的发展和进步。
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。
它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。
有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤：1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。
模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。
2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。
有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。
整个问题区域被划分为许多单元。
3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。
有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。
4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。
常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。
5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。
这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。
6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。
常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。
7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。
这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。
有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。
它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。
在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。
在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。
有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。
它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。
同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。
第三章 有限元法应用中的若干问题
有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特
别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。
有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工
处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
第三章 有限元法应用中的若干问题
有限元模型的建立
单元划分的基本原则
有限元分析过程及位移解的下限性质
应力计算结果的性质和处理
第一节 有限元模型的建立
应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的 得到可靠性的结果，其分析过程的有效性和计算结 果的可靠性成为有限元法的两大核心问题。 它涉及到合理的有限元模型的建立，恰当的分析方 案和计算方法的选择以及对计算结果的正确解释和 处理这三个方面。 对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立 合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形 状的选择以及网格的安排和布置。
由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后
进行重分析，直至满足精度要求为止。
2、疏密网格的过渡 在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏
密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密
划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。
1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元 形状不好而影响局部的精度； 2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形 式的单元而带来不便； 3）采用多节点约束方法过渡。
4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。 5）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节 点。 6）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元 法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。
有限元法应用中的若干问题
3.4有限元位移解的下限性质
❖ 在用有限元位移法求解弹性力学问题时,要应用最 小位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解， 其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。
❖ 位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分， 具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度 限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单 元的变形进行了约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加 大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实 际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每一点）将小 于精确解。
有限元的收敛条件（续）
❖ 3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下， 单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变 位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体 位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体 位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移 和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。
4.1应力近似解的性质
❖ 我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近 似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应 变能一般地总是小于精确解的应变能。因此，得到的位移解 总体上偏小。
❖ 分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应 力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正 好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个 特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。
❖
ε=Bae σ=Dε=D Bae
❖ ae为节点位移矩阵
❖ 应变矩阵B是插值函数N对坐标进行求导后得到的矩阵。求导 一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得 到的应变ε和应力σ精度较位移u降低了，即利用以上两式 得到的ε和σ的解答可能具有较大的误差。
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在对称载荷作用下，自由端两对称节点1、2的挠度值本 应相等。但若分图b所示的不对称网格，计算出的 y1=0.0346,y2=0.0350。若改用图c所示的网格，则y1和 y2完全相同。
网格分界面和分界点
结构中的一些特殊界面和特殊点应分为网格边界或节点以便定义 材料特性、物理特性、载荷和位移约束条件。 即应使网格形式满足边界条件特点，而不应让边界条件来适应网 格。 常见的特殊界面和特殊点有材料ห้องสมุดไป่ตู้界面、几何尺寸突变面、分布 载荷分界线(点)、集中载荷作用点和位移约束作用点等。
有限元法原理及应用
第四章 有限元法实际应用中若干问题 的讨论
有限元法实际应用中若干问题的讨论
目的：掌握有限元法实际应用中模型建立、求 解、计算结构处理与改善所面临的问题。
主要内容(2学时)
位移插值函数的构造 网格划分 改善应力结果的方法
位移插值函数的构造
位移模式：用于近似描述单元内各点的位移变化规律，可被 转化成单元节点位移的插值函数形式，即位移插值函数。 可参照Pascal三角形按照一定的原则选择。
选择单元位移函数的一般原则 （1）待定系数应与节点位移 DOF 数相等。 （2）在选取多项式时，必须要选 择常数项和完备的一次项。
（位移模式中的常数项和一次项可以 反映单元刚体位移和常应变的特性。 这是因为当划分的单元数趋于无穷时， 即单元缩小趋于一点，此时单元应变 应趋于常数。）
位移插值函数的构造
网格数量
网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般 来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也 会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。 •曲线1表示结构中的位移随网格数量收敛的一般曲线，曲线2代表 计算时间随网格数量的变化。可以看出，网格较少时增加网格数 量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网 格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而 计算时间却有大幅度增加。 •具体应用时，应注意增加网格的经济性。比较两种网格划分的计 算结果，如果两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反 则停止计算。
选择单元位移函数的一般原则
（3）选择多项式应由低阶到高 阶，尽量选取完全多项式以提高 单元的精度。由于项数限制不能 选取完全多项式时，选择的多项 式应具有坐标的对称性。并且一 个坐标方向的次数不应超过完全 多项式的次数。
三维问题多项式函数构成的帕斯卡四面体
有限元法实际应用中若干问题的讨论
目的：掌握有限元法实际应用中模型建立、求 解、计算结构处理与改善所面临的问题。
主要内容(2学时)
位移插值函数的构造 网格划分 改善应力结果的方法
网格剖分
网格剖分是有限元方法中最关键的问题之一，涉及到基本 理论知识很深，主要是从事计算机图形和计算数学方面的人在 研究。从工程应用角度出发，我们必须把握以下的原则： 网格疏密的合理布置 或者采用性能优越的单元
在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布置较密 的网格，在应力变化平缓的区域可布置较稀疏的网格。这样可 以同时满足精度和效率两方面的要求。这一原则的实施要求分 析者在分析前，对问题的应力分布特点应该有基本的了解。在 一般情况下，为了使计算结果达到必要的精度，可以采用以下 一些措施： 粗糙的网格足以用来预测趋势。 对应力变化激烈的区域局部加密网格进行重分析。 采用自适应网格剖分。
提高计算精度的 h 方法和 p 方法
h-method：不改变各单元上基底函数的配置情况，只通 过逐步加密有限元网格来使结果向正确解逼近。 特点：由于不用高阶多项式作基底函数，因而数值稳定性 和可靠性较好。
提高计算精度的 h 方法和 p 方法
p-method：保持有限元的网格剖分固定不变，增加各单元 上基底函数的阶次，从而改善计算精度。 特点：由于不用高阶多项式作基底函数，存在数值稳定性问 题。但收敛性优于 h方法。（多项式的阶次不能太高 <9）
网格数量
杆单元：单元内部应力是一样的，即使分得再细 也不会改变精度。相反如果将一根构件分成多个 杆，就会变成不稳定结构。
网格疏密
疏密不同的网格主要用于应力分析(包括静应力和动应力)， 而计算固有特性时则趋于采用较均匀、规则的网格形式。 这是因为固有频率和振型主要取决于结构刚度分布，而且 还取决于质量分布，同时不存在类似应力集中的现象。 对称结构尽量使用对称的网格。对称结构若使用不对称的 网格可能导致错误的模态分析结果。采用均匀网格可使结 构刚度矩阵和质量矩阵的元素不致相差太大，可减小数值 计算误差，提高模态计算精度。
位移协调性
位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为 保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点， 而不应是内点或边界点。 相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质。否则，单元之间须 用多点约束等式或约束单元进行约束处理。
左图中（a）、（b） 改变了结构质量的对 称分布，应避免。（c） 是比较理想的结果。 (a)(b)(c)
网格剖分
从表中可见，结果与整体划分很细网 格的结果相近。但是．这种局部细划 网格的模拟与应用很细网格的分析相 比大大节省了计算需要的CPU时间：
单元阶次
许多单元都具有线性、二次和三次等形式，其中二次和三次形 式的单元称为高阶单元。 选用高阶单元可提高计算精度，因为高阶单元的曲线或曲面边 界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可 更高精度地逼近复杂场函数，所以当结构形状不规则、应力分 布或变形很复杂时可以选用高阶单元。但高阶单元的节点数较 多，在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模要大 得多，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时间。
网格数量
在决定网格数量时应考虑分析数据的类型。 实体单元： 1、在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格 数量可以少一些。如果需要计算应力，则在精度要求 相同的情况下应取相对较多的网格。 2、在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计 算位移响应多。 3、在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低 阶模态，可以选择较少的网格，如果计算的模态阶次 较高，则应选择较多的网格。
网格质量
网格质量是指网格几何形状的合理性。 质量好坏将影响计算精度，质量太差的网格甚至会中止计算。 直观上看，网格各边或各个内角相差不大、网格面不过分扭 曲、边节点位于边界等份点附近的网格质量较好。
常见的畸形网格
网格质量
较差的网格
同一实体不同的网格划分
网格质量
当结构形状对称时，其网格也应最好划分为对称网格