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2017-2018年江苏省泰州市靖江市高二上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年江苏省泰州市靖江市高二（上）期中数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．2．（5分）若命题p：“log2x＜0”，命题q：“x＜1”，则p是q的条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）3．（5分）已知函数f（x）=，则=．4．（5分）椭圆上横坐标为2的点到左焦点的距离为．5．（5分）对于函数f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则实数x0=．6．（5分）双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=．7．（5分）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是．8．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为．9．（5分）已知抛物线的方程为y=﹣2x2，则它的焦点坐标为．10．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）开区间（a，b）内的极大值点有个．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，原点到直线l的距离为，则此双曲线的离心率等于．12．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，f（2）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．13．（5分）已知点Q（3，）及抛物线y2=4x上一动点P（x，y），则x+|PQ|的最小值是．14．（5分）已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共8小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（10分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）椭圆经过A（2，），B（，）；（2）与双曲线C1：有公共渐近线，且焦距为8的双曲线C2方程．17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣ax2（其中a是实数），且f'（1）=3．（1）求a的值及曲线y=f（x）在点Q（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．18．（10分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．19．（10分）直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1相交于A、B两点．（1）求AB的长；（2）当a为何值时，以AB为直线的圆经过坐标原点？20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0），若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．（1）求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；（2）求p的取值范围．21．（14分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y=﹣3分别交于点M、N．（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（2）求线段MN长的最小值；（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．2017-2018学年江苏省泰州市靖江市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为：，故答案为：2．（5分）若命题p：“log2x＜0”，命题q：“x＜1”，则p是q的充分不必要条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）【解答】解：因为命题p：“log2x＜0”，所以0＜x＜1，显然命题p：“log2x＜0”，⇒命题q：“x＜1”，x∈q时x不一定满足p；所以p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．（5分）已知函数f（x）=，则=4．【解答】解：根据题意，f（x）=，则其导数f′（x）==，则===4，故答案为：44．（5分）椭圆上横坐标为2的点到左焦点的距离为．【解答】解：设满足条件的点为P（2，m），可得，解之得m=±，得P（2，±），∵椭圆中，a2=16，b2=7，∴c==3，可得椭圆的左焦点为F（﹣3，0）．由此，|PF|==，即点P到左焦点的距离为．故答案为：．5．（5分）对于函数f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则实数x0=e．【解答】解：根据题意，函数f（x）=xln x，则其导数f′（x）=（x）′ln x+x（lnx）′=lnx+1，若f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解可得x0=e，故答案为：e．6．（5分）双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2，则=1．【解答】解：由题意知：e1=，e2=，∴=+=1，故答案为：1．7．（5分）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是．【解答】解：依题意可知b=1，a=2∴c==∴准线方程为y=±=或x=±=∴椭圆中心到其准线距离是故答案为．8．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为 5.5．【解答】解：如图可知f（4）=5，f'（4）的几何意义是表示在x=4处切线的斜率，故，故f（4）+f'（4）=5.5．故答案为：5.59．（5分）已知抛物线的方程为y=﹣2x2，则它的焦点坐标为（0，﹣）．【解答】解：抛物线的方程为y=﹣2x2，化为x2=﹣y，∴=．因此焦点为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．10．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）开区间（a，b）内的极大值点有2个．【解答】解：由导函数的图象可知，在（a，b）内，与x轴有四个交点，第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，则函数f（x）在开区间（a，b）内极大值点有2个．故答案为：2．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，原点到直线l的距离为，则此双曲线的离心率等于或．【解答】解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为=，∴ab=，∴25a2b2=4c4，∴25a2（c2﹣a2）=4c4，∴25a2c2﹣25a4=4c4，∴4e4﹣25e2+25=0，解得e=或．故答案为：或．12．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，f（2）=0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则其导数g′（x）=f（x）+xf'（x），又由当x＞0时，f（x）满足f（x）+xf'（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，若f（2）=0，则g（2）=2f（2）=0，函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（0，2）上，g（x）=xf（x）＜0，在（2，+∞）上，g（x）=xf（x）＞0，又由x＞0，则有在（0，2）上，f（x）＜0，在（2，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则在（﹣2，0）上，f（x）＞0，在（﹣∞，﹣2）上，f（x）＜0，综合可得：不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）13．（5分）已知点Q（3，）及抛物线y2=4x上一动点P（x，y），则x+|PQ|的最小值是4．【解答】解：用抛物线的定义：抛物线焦点F（1，0），准线x=﹣1，设P到y轴的距离为d，|FQ|==5 x+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=5﹣1=4（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故x+|PQ|的最小值是4．故答案为：414．（5分）已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+为减函数，由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），若若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，令g′（x）=e x﹣3a=0，则e x=3a，即x=ln3a，若ln3a≤1，即3a≤e，此时g（x）＞g（1）=e﹣3a，此时由e﹣3a≤2a得：≤a≤，若ln3a＞1，即3a＞e，g（x）=（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[，+∞）故答案为：[，+∞）．二、解答题：本大题共8小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（10分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．16．（10分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）椭圆经过A（2，），B（，）；（2）与双曲线C1：有公共渐近线，且焦距为8的双曲线C2方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为：Ax2+By2=1（A≠B），则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴椭圆标准方程为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（若直接设椭圆标准方程，不讨论得3分）（2）因与双曲线C 1：有公共渐近线，故设C2方程为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）则①当λ＞0时，标准方程为：∴a2=5λ，b2=3λ则c2=8λ∴∴∴λ=2故双曲线C2方程为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）②当λ＜0时，标准方程为：∴a2=﹣3λ，b2=﹣5λ则c2=﹣8λ∴∴∴λ=﹣2故双曲线C2方程为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣ax2（其中a是实数），且f'（1）=3．（1）求a的值及曲线y=f（x）在点Q（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2﹣2ax，∴f'（1）=3﹣2a=3∴a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴f（x）=x3，点Q（1，1）∴点Q（1，f（1））处的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）由（1）得：f'（x）=3x2≥0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴f（x）在区间[0，2]上为递增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当x=2时，f（x）在区间[0，2]上的最大值8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（10分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）命题q：即不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）19．（10分）直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1相交于A、B两点．（1）求AB的长；（2）当a为何值时，以AB为直线的圆经过坐标原点？【解答】解：（1）由∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵相交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴△=（2a）2﹣4•（a2﹣3）•2＞0，∴且∴，（*）∴（且）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）利用韦达定理及弦长公式类似给分，若没有范围扣（1分）．（2）由（1）中（*）式得：，∵以AB为直线的圆经过坐标原点∴=0，∴x1x2+y1y2=0∴x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0 即（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=0∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴a=±1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0），若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．（1）求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；（2）求p的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，∴直线l是线段PQ的垂直平分线∴PQ的斜率为﹣1，设PQ的方程为：y=﹣x+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x M，y M），由∴x2﹣2（p+b）x+b2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴，∴x1+x2=2（p+b），∴x M=（p+b），∴M（p+b，﹣p）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又∵M在直线l上，∴p+b﹣（﹣p）﹣2=0，∴b=2﹣2p．∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）中（*）式：x2﹣2（p+b）x+b2=0及b=2﹣2p∴x2﹣2（2﹣p）x+（2﹣2p）2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵相交于P、Q两点∴△=（4﹣2p）2﹣4•（2﹣2p）2＞0∴3p2﹣4p＜0，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）21．（14分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y=﹣3分别交于点M、N．（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（2）求线段MN长的最小值；（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【解答】解：（1）由题设+y2=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．所以，直线AP的斜率k1=，PB的斜率为k2=．又点P在椭圆上，所以+y2=1（x0≠0），从而有k1•k2=•﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由题设可以得到直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．所以，直线AP与直线l的交点，直线PB与直线l的交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）于是，又k1•k2=﹣，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）≥2=，等号成立的条件是，解得．故线段MN长的最小值是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）设点Q（x，y）是以MN为直径的圆上的任意一点，则=0，故有．又k1•k2=﹣，所以以MN为直径的圆的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）令，解得．所以，以MN为直径的圆恒过定点（或点）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

江苏省泰州市高二上学期期中数学试卷

江苏省泰州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二上·雅安月考) 若直线过第一、三、四象限，则（）A . a<0,b<0B . a<0,b>0C . a>0,b>0D . a>0,b<02. （2分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A . 3：1B . 2：1C . 1：1D . 1：23. （2分）(2018·河南模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .4. （2分）设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A . m⊥α，m⊥β，则α∥βB . m∥n，m⊥α，则n⊥αC . m⊥α，n⊥α，则m∥nD . m∥α，α∩β=n，则m∥n5. （2分）如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间的最大距离为（）A . 1+B . 2+C . 1+D . 2+6. （2分）已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列推理中正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·深圳模拟) 已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·北京期中) 如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为（）A .B .C .D . 1二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2017高一下·南京期末) 直线y= x﹣2的倾斜角大小为________．10. （1分）(2017·奉贤模拟) 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是________．11. （1分）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D 折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.12. （1分） (2015高一上·西安期末) 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为________ cm3 ．13. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________．14. （1分） (2017高一下·保定期末) 一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．15. （1分）边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上，则四棱锥O﹣ABCD的体积是________三、解答题 (共5题；共55分)16. （10分）(2018·全国Ⅰ卷理) 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且 .（1）证明：平面平面 ;（2）求与平面所成角的正弦值.17. （10分） (2016高二上·大庆期中) 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|= ，求椭圆C的方程．18. （10分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， O是下底面对角线AC和BD的交点，求证：（1）B1O∥平面A1DC1（2）平面A1DC1⊥平面BB1D1D．19. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2 ，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）异面直线PD与AC所成的角．20. （15分） (2018高一下·双鸭山期末) 如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。

2023-2024学年江苏省泰州市靖江高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省泰州市靖江高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若两直线3x +2y ﹣1＝0与2x +ay ﹣8＝0互相垂直，则实数a 的值为（） A ．﹣3B ．3C ．−23D ．322．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x +√3y −3=0的夹角为60°，则θ的值为（） A ．30°或150° B ．60°或0°C ．90°或30°D ．60°或180°3．双曲线x 29−y 24=1与直线y =−23x +m （m ∈R ）的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或24．若a ∈{−2，−1，0，12，34，1}，则方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a ﹣1＝0表示的圆的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．45．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 1的周长为4√6，则椭圆的方程为（） A ．x 23+y 2=1 B ．x 23+y 22=1 C ．x 26+y 24=1 D ．x 212+y 28=16．若直线l ：kx ﹣y +3k ＝0与曲线C ：√1−x 2=y −1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（） A ．(12，34]B ．[12，34)C ．(0，34)D ．(0，34]7．设F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1＞b 1＞0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2＞0，b 2＞0）的公共焦点，曲线C 1，C 2在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝60°，若椭圆的离心率e 1∈[√33，1)，则双曲线的离心率e 2的取值范围是（） A ．(1，√2]B ．(1，√3]C ．[√3，+∞)D ．[√2，+∞)8．斜拉桥是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|P i P i +1|（i ＝1，2，3，⋯，9）均为4m ，拉索下端相邻两个锚的间距|A i A i +1|（i ＝1，2，3，⋯，9）均为18m ．最短拉索的锚P 1，A 1满足|OP 1|＝84m ，|OA 1|＝78m ，以B 10A 10所在直线为x 轴，OP 10所在直线为y 轴，则最长拉索B 10P 10所在直线的斜率为（）A ．13B ．12C ．4239D ．62129二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分） 9．已知直线l 1：x +y +2＝0，l 2：x ﹣y ﹣6＝0，l 3：x +y ﹣2＝0，则（） A ．l 1在x 轴上的截距为2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2的交点坐标为（2，﹣4）D ．l 1，l 3之间的距离为√210．记S n 为公差d 不为0的等差数列{a n }的前n 项和，则（） A ．S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等差数列 B ．S 33，S 66，S 99成等差数列C ．S 9＝2S 6﹣S 3D ．S 9＝3（S 6﹣S 3）11．已知A （1，1），B （4，2），P 为圆C （x ﹣4）2+（y ﹣1）2＝4上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．以AB 为直径的圆与圆C 相交所得的公共弦所在直线方程为3x ﹣y ﹣7＝0B ．若点P （4，3），则△P AB 的面积为32C ．过点B 且与圆C 相切的圆的圆心轨迹为圆D ．|P A |2+|PB |2的最小值为18−3√1012．设抛物线y 2＝8x 的顶点为O ，焦点为F ，点M 是抛物线上异于O 的一动点，直线OM 交抛物线的准线于点N ，下列结论正确的是（） A ．若|MF |＝4，则O 为线段MN 的中点 B ．若|MF |＝8，则|OM|=4√5C ．若|MF |＝8，则|OM |＝3|ON |D ．存在点M ，使得MF ⊥NF三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．已知直线l ：（m +1）x ﹣2（m +2）y +3m +1＝0恒过点P ，点Q 在直线x +y +1＝0上，则|PQ |的最小值为．14．已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设直线x +√3y −√3=0与两坐标轴的交点分别为A ，B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足|AP |＝|BP |，则r 的值为．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3a 4＝117，a 2+a 5＝22．则数列{a n }的通项公式是；若数列{b n }满足b n =S nn+c ，且{b n }为等差数列，则c 的值是． 16．已知直线l ：kx ﹣y ﹣2k +1＝0与椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）交于A 、B 两点，与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1交于C 、D 两点．若存在k ∈[﹣2，﹣1]，使得AC →=DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17．（10分）倾斜角为60°的直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点．（1）求抛物线的准线方程；（2）求△OAB 的面积（O 为坐标原点）． 18．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=6a n −4a n +2(n ∈N)，且a 1＝3．（1）求a 2，a 3，a 4；（2）证明：数列{1a n−2}是等差数列．19．（12分）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A ，B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C ，D ．已知梯形的高是40厘米，C ，D 两点间的距离为40厘米．（1）以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系，求横梁AB 的长度；（2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米）20．（12分）已知M （x ，y ），A （1，2），B （﹣2，﹣1），且|MA|=√2|MB|，点Q （﹣2，2）．（1）求|MQ |的最大值和最小值；（2）求y−2x−2的最大值和最小值；（3）求y ﹣x 的最大值和最小值．21．（12分）已知双曲线C 经过点Q(4√33，1)，且渐近线方程为y =±√32x ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 的左顶点，过点P （﹣2，3）作直线交双曲线C 于M 、N 两点，试问，直线AM 与直线AN 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点距离为√3，若以k为斜率的直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设坐标原点O 到直线l 的距离为√32，求△AOB 面积的最大值；（3）若线段AB 的垂直平分线过点（1，0），求k 的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市靖江高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若两直线3x +2y ﹣1＝0与2x +ay ﹣8＝0互相垂直，则实数a 的值为（） A ．﹣3B ．3C ．−23D ．32解：由题意可知，两直线垂直，则3×2+2a ＝0，得a ＝﹣3．故选：A ．2．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x +√3y −3=0的夹角为60°，则θ的值为（） A ．30°或150°B ．60°或0°C ．90°或30°D ．60°或180°解：由直线x +√3y −3=0得直线斜率为k =−√33，∴直线x +√3y −3=0的倾斜角为150°，又直线l 与直线x +√3y −3=0的夹角为60°， ∴直线l 的倾斜角θ＝90°或30°．故选：C ． 3．双曲线x 29−y 24=1与直线y =−23x +m （m ∈R ）的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或2解：由双曲线x 29−y 24=1，得到a ＝3，b ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，当m ＝0时，直线y =−23x 与双曲线没有公共点；当m ≠0时，直线y =−23x +m 与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，综上，双曲线x 29−y 24=1与直y =−23x +m （m ∈R ）的公共点的个数为0或1，故选：C ．4．若a ∈{−2，−1，0，12，34，1}，则方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a ﹣1＝0表示的圆的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题意可知：a 2+（2a ）2﹣4（2a 2+a ﹣1）＝﹣3a 2﹣4a +4＞0⇒（3a ﹣2）（a +2）＜0，解之得−2＜a ＜23，又a ∈{−2，−1，0，12，34，1}，所以a ∈{−1，0，12}．故选：C ． 5．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 1的周长为4√6，则椭圆的方程为（） A ．x 23+y 2=1 B ．x 23+y 22=1 C ．x 26+y 24=1 D ．x 212+y 28=1解：因为过F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，所以由椭圆的定义可知，△ABF 1的周长为4a =4√6，所以a =√6．又因为e =c a =√33，所以c =√2，所以b 2＝a 2﹣c 2＝4，则椭圆的方程x 26+y 24=1，故选：C ．6．若直线l ：kx ﹣y +3k ＝0与曲线C ：√1−x 2=y −1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（） A ．(12，34]B ．[12，34)C ．(0，34)D ．(0，34]解：直线kx ﹣y +3k ＝0化成y ＝kx +3k ，可得它必定经过点A （﹣3，0），而曲线C ：√1−x 2=y −1，可变形整理为x 2+（y ﹣1）2＝1（y ≥1），B （﹣1，1）， ∴该曲线是以（0，1）为圆心，半径为1的圆位于直线y ＝1上部的部分，设直线与圆相切时的斜率为k 2，直线过点（﹣1，1）与圆有两个交点时的斜率为k 1．可得当直线kx ﹣y +3k ＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k 满足k 1≤k ＜k 2．由圆心（0，1）到直线kx ﹣y ﹣3k ＝0的距离d =|1−3k|√1+k =1，解得k 2=34，而k 1=1−0−1+3=12，由此可得12≤k ＜34．故选：B ．7．设F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1＞b 1＞0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2＞0，b 2＞0）的公共焦点，曲线C 1，C 2在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝60°，若椭圆的离心率e 1∈[√33，1)，则双曲线的离心率e 2的取值范围是（） A ．(1，√2]B ．(1，√3]C ．[√3，+∞)D ．[√2，+∞)解：设|MF 1|＝s ，|MF 2|＝t ，由椭圆的定义可得s +t ＝2a 1，由双曲线的定义可得s ﹣t ＝2a 2，解得s ＝a 1+a 2，t ＝a 1﹣a 2，由∠F 1MF 2＝60°，可得s 2+t 2﹣2st cos60°＝4c 2，即s 2+t 2﹣st ＝4c 2，即为a 12+3a 22=4c 2，由离心率的公式可得，1e 12+3e 22=4，由椭圆的离心率e 1∈[√33，1)，则可得e 12∈[13，1），即有e 22=34−1e 12∈（1，3]，解得e 2∈（1，√3]．故选：B ．8．斜拉桥是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|P i P i +1|（i ＝1，2，3，⋯，9）均为4m ，拉索下端相邻两个锚的间距|A i A i +1|（i ＝1，2，3，⋯，9）均为18m ．最短拉索的锚P 1，A 1满足|OP 1|＝84m ，|OA 1|＝78m ，以B 10A 10所在直线为x 轴，OP 10所在直线为y 轴，则最长拉索B 10P 10所在直线的斜率为（）A ．13B ．12C ．4239D ．62129解：如图，以O 为原点建系，根据题意，最短拉索的锚P 1，A 1满足|OP 1|＝84m ，|OA 1|＝78m ，且|P i P i +1|（i ＝1，2，3，⋯，9）均为4m ，拉索下端相邻两个锚的间距|A i A i +1|（i ＝1，2，3，⋯，9）均为18m ，则|OA 10|＝|OA 1|+|A 1A 10|＝78+9×18＝240m ，即点A 10（240，0），同理B 10（﹣240，0），又|OP 10|＝|OP 1|+|P 1P 10|＝84+9×4＝120，即点P 10（0，120），所以k B 10P 10=120−00+240=12，即最长拉索所在直线的斜率为12．故选：B ．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分） 9．已知直线l 1：x +y +2＝0，l 2：x ﹣y ﹣6＝0，l 3：x +y ﹣2＝0，则（） A ．l 1在x 轴上的截距为2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2的交点坐标为（2，﹣4）D ．l 1，l 3之间的距离为√2解：令y ＝0，易得l 1在x 轴上的截距为﹣2，A 错误．由1×1+1×（﹣1）＝0，得l 1⊥l 2，B 正确．由{x +y +2=0，x −y −6=0，得{x =2，y =−4，所以l 1，l 2的交点坐标为（2，﹣4），C 正确．易得l 1∥l 3，则l 1，l 3之间的距离为√12+12=2√2，D 错误．故选：BC ．10．记S n 为公差d 不为0的等差数列{a n }的前n 项和，则（） A ．S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等差数列 B ．S 33，S 66，S 99成等差数列C ．S 9＝2S 6﹣S 3D ．S 9＝3（S 6﹣S 3）解：∵（S 6﹣S 3）﹣S 3＝（a 4+a 5+a 6）﹣（a 1+a 2+a 3）＝（a 4﹣a 1）+（a 5﹣a 2）+（a 6﹣a 3）＝3d +3d +3d ＝9d ，（S 9﹣S 6）﹣（S 6﹣S 3）＝（a 7+a 8+a 9）﹣（a 4+a 5+a 6）＝（a 7﹣a 4）+（a 8﹣a 5）+（a 9﹣a 6）＝3d +3d +3d ＝9d ，∴S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等差数列，故选项A 正确； ∵S n ＝na 1+n(n−1)2d ， ∴S n n =a 1+(n−1)2d ， ∴S 33=a 1+d ，S 66=a 1+52d ，S 99=a 1+4d ，∴2×S 66=S 33+S 99，即S 33，S 66，S 99成等差数列，故选项B 正确；∵S 9+S 3﹣2S 6＝9a 1+36d +3a 1+3d ﹣2×（6a 1+15d ）＝9d ≠0， ∴S 9＝2S 6﹣S 3不成立，即选项C 错误；∵S 9﹣3（S 6﹣S 3）＝9a 1+36d ﹣3×（6a 1+15d ﹣3a 1﹣3d ）＝0， ∴S 9＝3（S 6﹣S 3）成立，即选项D 正确；故选：ABD ．11．已知A （1，1），B （4，2），P 为圆C （x ﹣4）2+（y ﹣1）2＝4上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．以AB 为直径的圆与圆C 相交所得的公共弦所在直线方程为3x ﹣y ﹣7＝0B ．若点P （4，3），则△P AB 的面积为32C ．过点B 且与圆C 相切的圆的圆心轨迹为圆D ．|P A |2+|PB |2的最小值为18−3√10解：A ：由A （1，1），B （4，2），则其中点为M(52，32)，所以r =|MA|=√(52−1)2+(32−1)2=√102，则圆M 的标准方程为(x −52)2+(y −32)2=52，化为一般式方程为x 2+y 2﹣5x ﹣3y +6＝0①，又圆C 的一般式方程为x 2+y 2﹣8x ﹣2y +13＝0②，而|MC|=√(4−52)2+(1−32)2=√102∈(2−√102，2+√102)， ①﹣②得3x ﹣y ﹣7＝0为两圆相交弦所在的直线方程．故A 正确；B：由直线AB的方程为x﹣3y+2＝0，则点P到直线AB的距离d=10=3√1010，∴S△PAB=12|AB|⋅d=32．故B正确；C：由图可知，设过点B且与圆C内切的圆的圆心为Q，且切点为D，则|QB|+|QC|＝|QD|+|QC|＝|CD|＝R＝2＞|BC|＝1满足椭圆定义，故圆心Q的轨迹为椭圆．故C错误；D：设P（x，y），|PA|2+|PB|2=(x−1)2+(y−1)2+(x−4)2+(y−2)2=2[(x−52)2+(y−32)2]+5，则(x−52)2+(y−32)2可转化为圆C上动点P（x，y）到定点(52，32)的距离的平方，所以(x−52)2+(y−32)2的最小值为d min=(2−√102)2=132−2√10，故(|PA|2+|PB|2)min=2×(132−2√10)+5=18−4√10．故D错误．故选：AB．12．设抛物线y2＝8x的顶点为O，焦点为F，点M是抛物线上异于O的一动点，直线OM交抛物线的准线于点N，下列结论正确的是（）A．若|MF|＝4，则O为线段MN的中点B．若|MF|＝8，则|OM|=4√5C．若|MF|＝8，则|OM|＝3|ON|D．存在点M，使得MF⊥NF解：抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），准线为x＝﹣2，A选项，|MF|＝4，所以x M＝4﹣2＝2，y M2=8×2=16，y M＝±4，不妨设M（2，4），则直线OM的方程为y＝2x，令x＝﹣2，得y＝﹣4，所以N（﹣2，4），所以O是线段MN的中点，所以A选项正确；BC选项，|MF|＝8，所以x M＝8﹣2＝6，y M2=8×6=48，y M=±4√3，则|OM|=√62+(4√3)2=2√21，B选项错误；不妨设M(6，4√3)，则直线OM的方程为y=4√36x=2√33x，令x＝﹣2，得y=−4√33，所以N(−2，−√33)，所以|ON |=√(−2)2+(−4√33)2=2√213，所以|OM |＝3|ON |，C 选项正确； D 选项，设N （﹣2，t ）（t ≠0），则直线ON 的方程为y =t−2x ，由{y =t−2x y 2=8x，消去y 得t4x 2=8x ，解得x ＝0或x =32t 2，当x =32t 2时，y =t −2×32t 2=16−t ，则M （32t 2，16−t ），而F （2，0），所以MF →=(2−32t 2，16t )，NF →=(4，−t)，MF →•NF →=8−128t 2−16=−128t2−8≠0，所以不存在点M ，使得MF ⊥NF ，即D 选项错误．故选：AC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．已知直线l ：（m +1）x ﹣2（m +2）y +3m +1＝0恒过点P ，点Q 在直线x +y +1＝0上，则|PQ |的最小值为5√22．解：直线l ：（m +1）x ﹣2（m +2）y +3m +1＝0恒过点P ，故m （x ﹣2y +3）+（x ﹣4y +1）＝0，故{x −2y +3=0x −4y +1=0，解得{x =−5y =−1，故P （﹣5，﹣1）；所以点P 到直线x +y +1＝0的距离d =|−5−1+1|√1+1=5√2=5√22，即|PQ |的最小值为5√22．故答案为：5√22． 14．已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设直线x +√3y −√3=0与两坐标轴的交点分别为A ，B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足|AP |＝|BP |，则r 的值为12．解：根据题意易得A(√3，0)，B(0，1)，PA =PB ，∴P 在AB 的垂直平分线上，又k AB =−√33， ∴AB 中垂线的斜率为√3，又AB 的中点为(√32，12)，由点斜式方程得y −12=√3(x −√32)，化简得y =√3x −1，又P 在圆O ：x 2+y 2＝r 2满足条件的P 有且仅有一个， ∴直线y =√3x −1与圆相切，∴r =d =13+1=12，故答案为：12．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3a 4＝117，a 2+a 5＝22．则数列{a n }的通项公式是 a n ＝4n ﹣3 ；若数列{b n }满足b n =S nn+c ，且{b n }为等差数列，则c 的值是 −12，0 ．解：（1）设公差为d （d ＞0），由等差数列的性质可得， a 2+a 5＝a 3+a 4＝22，又a 3a 4＝117，设解得a 3＝9，a 4＝13，即有d ＝a 4﹣a 3＝4，a 1＝9﹣2×4＝1，则a n ＝1+（n ﹣1）×4＝4n ﹣3；（2）由（1）知，S n =n +n(n−1)2×4=2n 2−n ，由b n =S n n+c =2n 2−n n+c ，可得b 1=11+c ，b 2=62+c ，b 3=153+c由b n 是等差数列，可得2b 2＝b 1+b 3即2c 2+c ＝0，解得c =−12或c ＝0，当c =−12时，b n ＝2n 为等差数列，满足要求；当c ＝0时，b n ＝2n ﹣1为等差数列，满足要求．故答案为：（1）a n ＝4n ﹣3；（2）c =−12，0． 16．已知直线l ：kx ﹣y ﹣2k +1＝0与椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）交于A 、B 两点，与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1交于C 、D 两点．若存在k ∈[﹣2，﹣1]，使得AC →=DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是 (0，√22] ．解：直线l ：kx ﹣y ﹣2k +1＝0，即为k （x ﹣2）+1﹣y ＝0，可得直线恒过定点（2，1），圆C 2：(x −2)2+(y −1)2=1的圆心为（2，1），半径为1，且C ，D 为直径的端点，由AC →=DB →，可得AB 的中点为（2，1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，由x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝2，可得k =y 1−y 2x 1−x 2=−2b2a 2，由﹣2≤k ≤﹣1，即有12≤b 2a 2≤1，则椭圆的离心率e =c a =√1−b2a2∈(0，√22]．故答案为：（0，√22]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17．（10分）倾斜角为60°的直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点．（1）求抛物线的准线方程；（2）求△OAB 的面积（O 为坐标原点）．解：（1）已知抛物线C ：y 2＝4x ，此时抛物线C 的焦点在x 轴上且p ＝2，则抛物线的准线方程为x ＝﹣1；（2）易知抛物线C 的焦点F （1，0），因为倾斜角为60°的直线l 经过抛物线焦点，所以直线AB 的方程为y =√3(x −1)，联立{y =√3(x −1)y 2=4x ，消去y 并整理得3x 2﹣10x +3＝0，解得x 1=13，x 2=3，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+3×|3−13|=163，因为点O 到直线y =√3(x −1)的距离为d =√32，则S △OAB =12|AB|⋅d =12×163×√32=4√33．18．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=6a n −4a n +2(n ∈N)，且a 1＝3．（1）求a 2，a 3，a 4；（2）证明：数列{1a n−2}是等差数列．解：（1）因为a n+1=6a n −4a n +2(n ∈N)，a 1＝3，所以a2=6a1−4a1+2=145，a3=6a2−4a2+2=83，a4=6a3−4a3+2=187．（2）证明：因为a n+1=6a n−4a n+2(n∈N)，所以a n+1−2=6a n−4a n+2−2=6a n−4−2a n−4a n+2=4a n−8a n+2，则1a n+1−2=a n+24a n−8=a n−2+44(a n−2)=14+1a n−2，故1a n+1−2−1a n−2=14，又a1＝3，所以1a1−2=1，所以数列{1a n−2}是首项为1，公差为14的等差数列．19．（12分）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D．已知梯形的高是40厘米，C，D两点间的距离为40厘米．（1）以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系，求横梁AB的长度；（2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米）解：（1）根据题意，建系如图，设梯形下底与y轴交于点M，设抛物线的方程为：x2＝2py（p＜0），由题意知D（20，﹣40），将其代入抛物线方程中解得：p＝﹣5，∴x2＝﹣10y，取y=−20⇒x=±10√2，即A(−10√2，−20)，B(10√2，−20)，|AB|=20√2≈28(cm)，∴横梁AB的长度约为28cm．（2）由题意得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点，设l RQ ：y +20=k(x −10√2)(k ＜0)，{y +20=k(x −10√2)x 2=−10y⇒x 2+10kx −100(2+√2k)=0，则Δ=100k 2+400(2+√2k)=0⇒k =−2√2，即l RQ ：y =−2√2x +20，得Q(5√2，0)，R(15√2，−40)⇒|OQ|=5√2，|MR|=15√2，|RQ|=30√2，梯形周长为2(5√2+15√2+30√2)=100√2≈141(cm)， ∴制作梯形外框的用料长度约为141cm ．20．（12分）已知M （x ，y ），A （1，2），B （﹣2，﹣1），且|MA|=√2|MB|，点Q （﹣2，2）．（1）求|MQ |的最大值和最小值；（2）求y−2x−2的最大值和最小值；（3）求y ﹣x 的最大值和最小值．解：（1）由题意，因为|MA|=√2|MB|，所以√(x −1)2+(y −2)2=√2√(x +2)2+(y +1)2，整理得（x +5）2+（y +4）2＝36，所以点M 的轨迹为以（﹣5，﹣4）为圆心，6为半径的圆．所以点（﹣5，﹣4）到Q （﹣2，2）的距离为√(−5+2)2+(−4−2)2=3√5，所以|MQ |的最小值为3√5−6，最大值为3√5+6．（2）设y−2x−2=k ，则kx ﹣y ﹣2k +2＝0，由题意kx ﹣y ﹣2k +2＝0与（x +5）2+（y +4）2＝36有交点，所以√k 2+1=√k 2+1≤6，解得0≤k ≤8413，所以y−2x−2的最大值为8413，最小值为0．（3）设y ﹣x ＝b ，则x ﹣y +b ＝0，当直线与圆相切时，截距b 取到最值，所以√2=6，解得b =1−6√2或b =1+6√2，所以y ﹣x 的最大值为1+6√2，最小值为1−6√2．21．（12分）已知双曲线C 经过点Q(4√33，1)，且渐近线方程为y =±√32x ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 的左顶点，过点P （﹣2，3）作直线交双曲线C 于M 、N 两点，试问，直线AM 与直线AN 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解：（1）由渐近线方程为y =±√32x ，可设双曲线方程为x 24−y 23=λ(λ≠0)，将点Q(4√33，1)代入双曲线方程中可得(4√33)24−13=λ⇒λ=1，故双曲线方程为x 24−y 23=1；（2）由题意可知：直线MN 有斜率，设其方程为y ＝kx +b ，联立直线与双曲线方程{x 24−y 23=1y =kx +b⇒(3−4k 2)x 2−8kbx −4b 2−12=0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8kb3−4k 2，x 1x 2=−4b 2−123−4k2，Δ=48b 2−192k 2+144，由于A （﹣2，0），则k AM =y1x 1+2，k AN=y 2x 2+2，所以k AM +k AN =y 1x 1+2+y2x 2+2=y 1(x 2+2)+y 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=(kx 1+b)(x 2+2)+(kx 2+b)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2kx 1x 2+(2k+b)(x 1+x 2)+4b(x 1+2)(x 2+2)，将x 1+x 2=8kb 3−4k2，x 1x 2=−4b 2−123−4k2代入可得：k AM +k AN =2kx 1x 2+(2k+b)(x 1+x 2)+4bx 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k −4b 2−123−4k 2+(2k+b)8kb3−4k2+4b−4b 2−123−4k 2+28kb3−4k2+4=3b−6k −b 2+4kb−4k2=3(b−2k)−(b−2k)2=−3b−2k ，由于点（﹣2，3）在直线y ＝kx +b 上，所以3＝﹣2k +b ，此时Δ＝48b 2﹣192k 2+144＝48（12+12k ），只需要k ＞﹣1，即可满足Δ＞0，因此k AM +k AN =−3b−2k=−1，故直线AM 与直线AN 的斜率之和为定值﹣1．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点距离为√3，若以k 为斜率的直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设坐标原点O 到直线l 的距离为√32，求△AOB 面积的最大值；（3）若线段AB 的垂直平分线过点（1，0），求k 的取值范围．解：（1）由题设，可得{c a =√63a 2=b 2+c 2=3，则{a 2=3b 2=1c 2=2，故椭圆C 的方程为：x 23+y 2=1；（2）设直线l ：y ＝kx +m ，则√1+k 2=√32，故4m 2＝3（1+k 2），联立{x 23+y 2=1y =kx +m，消去y 可得：（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0，故Δ＝36k 2m 2﹣12（m 2﹣1）（1+3k 2）＞0，即1+3k 2＞m 2，设点A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ），所以x A +x B =−6km 1+3k2，x A x B=3(m 2−1)1+3k2，则|AB|=√1+k 2⋅|x A −x B |=√1+k 2⋅√(x A +x B )2−4x A x B =√1+k 2⋅√12(1+3k 2−m 2)1+3k2，所以△AOB 面积S =12×√32×|AB|=34⋅√(1+k 2)(1+9k 2)1+3k2=34⋅√1+49k 2+1k 2+6≤34⋅√142√9k ⋅1k2+6=√32，仅当9k 2=1k2，即k 2=13，k =±√33时等号成立，所以△AOB 面积最大值为√32；（3）设AB 中点为G(x A +x B 2，y A +y B 2)，由（2）知：x A +x B =−6km1+3k2，则y A +y B =k(x A +x B )+2m =2m −6k 2m 1+3k2=2m 1+3k2，所以G(−3km 1+3k2，m 1+3k2)，因为线段AB 的垂直平分线过（1，0），则m1+3k 2−3km 1+3k 2−1=−1k，整理得﹣1﹣3k 2＝2km ，所以（1+3k 2）2＝4k 2m 2，由（2）知：1+3k 2＞m 2，所以（1+3k 2）2＜4k 2（1+3k 2），则k 2＞1，解得k ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．。

高二数学上学期期中试题 69(共11页)

邗江区2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期期中试题一、选择题〔此题一共12小题,每一小题5分,一共60分.〕1、设是等差数列的前项和，假设，那么〔〕A．5 B．7 C．9 D．112、假设，那么以下不等式中正确的选项是〔〕A． B． C． D．3、等比数列中，,,,那么〔〕A． B．C． 7 D． 64、不等式的解集为〔〕A. B. C. D.5、“〞是“方程表示焦点在轴上的椭圆〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6、不等式ax2＋bx＋1＞0的解集是，那么a＋b的值是〔〕A．5 B．－5 C．－7 D．77、椭圆的焦距是，那么的值是〔〕A．9 B．23 C．9或者23 D．或者8、n S是数列(shùliè){}n a的前项和，假设，那么=〔〕A． B． C． D．9、，假设恒成立，那么实数m的取值范围是〔〕A． B． C． D．10、椭圆，直线过的一个焦点，那么C的离心率为〔〕A. B． C． D．11、数列{}n a满足，那么的最小值为〔〕A. B． C． D．12、n S是数列{}n a的前项和，，且满足，，，那么的最小值为〔〕A． B． C． D．二、填空题〔此题一共(yīgòng)4小题，每一小题5分，一共20分〕13、命题“，使得〞的否认是▲ .14、假如椭圆上一点到焦点的间隔等于10，那么点P到另一个焦点的间隔是▲ .15、数列是等比数列，数列是等差数列，那么▲.16、那么的最大值为▲ .三、解答题〔此题一共6题，第17题10分，第18~22题每一小题12分，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17、〔本小题满分是10分〕（1）m为何实数时，关于x的方程有两个不等实根？〔2〕设实数x满足，求的最小值，并求对应的x的值。

18、〔本小题满分是12分〕，其中(q ízh ōng)〔1〕假设，都是真命题，求x 的取值范围；〔2〕假设是的充分不必要条件，务实数m 的取值范围19、〔本小题满分是12分〕等差数列{}n a 的各项均为正数，，前n 项和为n S . 等比数列中，，且．〔1〕求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；〔2〕求．20、〔本小题满分是12分〕为迎接运会，某体育馆需要重新铺设塑胶跑道.每毫米厚的跑道的铺设本钱为10万元，跑道平均每年的维护费C〔单位：万元〕与跑道厚度x 〔单位：毫米〕的关系为.假设跑道厚度为10毫米，那么平均每年的维护费需要9万元.设总费用为跑道铺设费用与10年维护费之和.f x的表达式；〔1〕求的值与总费用()f x最小，并求最小值. 〔2〕塑胶跑道铺设(pū shè)多厚时，总费用()21、〔本小题满分是12分〕在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，离心率〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕直线与椭圆G交于两点，直线与椭圆G交于两点，且，如下图．①证明：；②求四边形的面积的最大值．22、〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，〔〕．〔1〕证明数列是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式；〔2〕设，求数列{}n b 的前n 项和；〔3〕数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？假设存在，求出一组符合条件的项；假设不存在，说明理由．2021—2021学年度第一学期期中测试卷高二数学参考答案一、选择题 1 2 3456789 10 11 12ACD A B C C A DCBC二、填空题 13. 14.14 15.16.三、解答题 17.解：〔1〕得出……………………4分〔2〕……8分当且仅当，即时，最小值为1……10分18.解：〔1〕当3m =时，因为(y īn w èi)都为真，所以……………………6分〔2〕:25p x <<:3q m x m <<因为p 是q 的充分不必要条件，所以，即 (12)分19.解：〔1〕设等差数列{}n a 的公差为，，{}n b 的等比为q ，那么，依题意有，解得，或者〔舍去〕，……4分故，．………………6分〔2〕，…………8分…………10分．…………12分20.解：〔1〕依题意(tí yì)，时，，解得，2分，3分，4分〔定义域没写扣分〕6分〔2〕由〔1〕得， 7分，9分当且仅当即时取最小值， 11分答：当12x 毫米时，总费用()f x最小，最小值为180万元. 12分21、解：〔1〕设椭圆G的方程为〔a＞b＞0〕∵左焦点为F1〔﹣1，0〕，离心率e=22．∴c=1，a=，b2=a2﹣c2=1椭圆(tuǒyuán)G的HY方程为：． -----3分〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕①证明：由消去y得〔1+2k2〕x2+4km1x+2m12﹣2=0，x1+x2=，x1x2=；|AB|=；-----5分同理|CD|=，由|AB|=|CD|得，∵m1≠m2，∴m1+m2=0 -----7分②四边形ABCD是平行四边形，设AB，CD间的间隔d=∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =---------------------------------10分=.所以(suǒyǐ)当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2 ------12分22.解：〔Ⅰ〕因为23n n S a n =-，所以，那么，所以，，数列{3}n a +是等比数列，…………3分，，所以．………………4分〔Ⅱ〕，…………5分，令，①，②①－②得，，，…………7分所以．…………8分〔Ⅲ〕设存在，且，使得成等差数列，那么，即，…………10分即，，为偶数(ǒu shù)，而为奇数，所以1222p s r +=+不成立，故不存在满足条件的三项．…… 12分内容总结（1）假设不存在，说明理由．2021—2021学年度第一学期期中测试卷高二数学参考答案一、选择题二、填空题13. 14.14 15. 16.三、解答题17.解：〔1〕得出（2）|AB|=。

2023-2024学年江苏省泰州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（） A ．x =12 B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣13．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1D ．x 216+y 225=14．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（）A ．56B ．65C ．23D ．325．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（） A ．4B ．1C ．12D ．146．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（） A ．a 2023＝26B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+1898．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−1210．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√212．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为． 15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54；（2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0．（1）求顶点C 的坐标．（2）求直线BC 的方程．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9．（1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ；（3）设∁n =(a n+4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°解：因为直线√3x −3y −2=0的斜率为√33，故直线的倾斜角为30°．故选：C ．2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（） A ．x =12B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣1解：根据题意，抛物线的标准方程为y 2＝2x ，则其焦点在x 轴正半轴上，且p ＝1，则其准线方程为x =−12，故选：C ． 3．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1 D ．x 216+y 225=1解：双曲线x 216−y 29=1，双曲线的焦点（±5，0），则椭圆的顶点（±5，0），双曲线顶点为（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），可得a ＝5，c ＝4，则b ＝3，所以椭圆方程为：x 225+y 29=1．故选：B ．4．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（）A ．56B ．65C ．23D ．32解：因为正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，所以a 4•a 6＝6，a 4+a 6＝5，解得a 4＝3，a 6＝2，a 5a 7=a 4a 6=32．故选：D ．5．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（）A ．4B ．1C ．12D ．14解：由题意可设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），P （x ，y ），则m 2﹣n 2＝6，x 2﹣y 2＝6，即有y 2﹣n 2＝x 2﹣m 2，即y 2−n 2x 2−m 2=1，由k P A =y−nx−m ，k PB =y+nx+m ，可得k P A •k PB =y 2−n 2x 2−m 2=1，而k P A ＝2，所以k PB =12．故选：C ．6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m解：取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则C （4，﹣4），设抛物线方程x 2＝﹣2py （p ＞0），将点C 代入抛物线方程得p ＝2， ∴抛物线方程为x 2＝﹣4y ，行车道总宽度AB ＝6m ，∴将x ＝3代入抛物线方程，y ＝﹣2.25m ， ∴限度为6﹣2.25﹣0.5＝3.25m ．故选：C ．7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（） A ．a 2023＝26 B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+189解：由题意，可知新数列{a n }为：在每项都为1的常数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间等比数列{2n }的前n 项，故新数列{a n }：1，21，1，21，22，1，21，22，23，1，21，22，23，24，… 可将数列{a n }进行分组，第1组为1，21，共2项，第2组为1，21，22，共3项，第3组为1，21，22，23，共4项，第4组为1，21，22，23，24，共5项，… 第n 组为1，21，22，…，2n ，共n +1项， ∴前n ﹣1组一共有2+3+4+…+n ＝（1+2+3+4+…+n ）﹣1 =n(n+1)2−1项， ∵当n ＝63时，63×642−1＝2015＜2023，当n ＝64时，64×652−1＝2079＞2023，∴a 2023在数列{a n }的第64组的第2023﹣2015＝8个， ∴a 2023＝28﹣1＝27，故选项A 错误；同理，a 2024在数列{a n }的第64组的第2024﹣2015＝9个，故a 2024＝29﹣1＝28，故选项B 错误；∴S 2023＝a 1+a 2+…+a 2023＝（1+21）+（1+21+22）+（1+21+22+23）+...+（1+21+...+262）+（1+21+ (27)=1−221−2+1−231−2+1−241−2+⋯+1−2631−2+1−281−2＝（22﹣1）+（23﹣1）+（24﹣1）+…+（263﹣1）+（28﹣1）＝（22+23+24+…+263）﹣62+28﹣1=22−2641−2−62+256﹣1＝264+189，故选项C 错误，选项D 正确．故选：D ．8．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8解：由题意设P （n 24，n ），A （﹣2，0），B （2，0），|PB||PA|=√(n 24−2)2+n 2√(n 24+2)2+n 2=√n 416+4n 416+4+2n 2=√1+n 216+4n 2，当n 216+4n2取得最小值时，|PB||PA|取得最小值，n 216+4n 2≥2√n216⋅4n 2=1，当且仅当n 216=4n2，即n =±2√2时，取等号．此时P （2，±2√2），则点P 到坐标原点的距离为：√4+8=2√3．故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12解：因为l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0，可得l 2与l 3相交，联立{3x −2y −5=06x +y −5=0，解得x ＝1，y ＝﹣1，即两条直线的交点（1，﹣1），且l 2的斜率为k 2=32，直线l 3的斜率k 3＝﹣6，要使三条直线不能围成三角形，则l 1∥l 2或l 1∥l 3或直线l 1过（1，﹣1），所以−3m =32或−3m =−6或3×1+m （﹣1）﹣1＝0，解得m ＝﹣2或m =12或m ＝2．故选：ABC ．10．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列解：A ．若{a n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ，为常数，则{A n }是等差数列，故A 正确，B ..若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ，即{a n }的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，则整体{a n }不一定是等差数列，故B 错误，C ．若{a n }是等比数列，设公比为q ，则当q ＝﹣1时，A n ＝a n +a n +1＝0，则{A n }不是等比数列，故C 错误，D …若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，a 2n ﹣a 2（n ﹣1）＝a 2n ﹣a 2n ﹣2＝2d ，则{a 2n }都是等差数列，故D 正确，故选：AD ．11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√2解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x ，y ），则x 1+x 2＝2x ，y 1+y 2＝2y ，∵x 12+y 12=9，x 22+y 22=9，∴x 12+x 22+y 12+y 22=18，即(x 1+x 2)2−2x 1x 2+(y 1+y 2)2−2y 1y 2=18，∴x 1x 2+y 1y 2＝2x 2+2y 2﹣9①， ∵点P （4，0）满足的P A ⊥PB ， ∴PA →⋅PB →=0，∵PA →=(x 1−4，y 1)，PB →=(x 2−4，y 2)，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+y 1y 2＝0，即x 1x 2+y 1y 2＝4（x 1+x 2）﹣16＝8x ﹣16②，结合①②可得，2x 2+2y 2﹣9＝8x ﹣16，即(x −2)2+y 2=12，（另解：设AB 的中点M （x ，y ），由OM ⊥AB ，可得OM 2+MB 2＝OB 2，而MP ＝MA ＝MB ，即OM 2+MP 2＝OB 2，即x 2+y 2+（x ﹣4）2+y 2＝9，化为（x ﹣2）2+y 2=12），故中点M 的轨迹方程为(x −2)2+y 2=12，圆心为（2，0），半径为√22，则|OM |的最大值为√(2−0)2+(0−0)2+√22=2+√22，则|OM |的最小值为√(2−0)2+(0−0)2−√22=2−√22， ∴|OM |的取值范围为[2−√22，2+√22]．故选：AC ．12．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|解：设|QF 2|＝t ，则|PF 2|＝2t ，|PF 1|＝2t +2a 0，|QF 1|＝t +2a 0，在△PF 1Q 中，由余弦定理|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ，得(t +2a 0)2=(2t +2a 0)2+9t 2−2(2a 0+2t)⋅3t ⋅cos60°，化简得a 0＝3t ，|PF 1|＝2t +2a 0＝8t ＝4|PF 2|，D 正确；又2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝10t ，所以a ＝5t ，又|QF 1|＝t +2a 0＝7t ，则△PF 1Q 的周长为8t +3t +7t =18t =185a ，A 错误； △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得4c 2＝（8t ）2+（2t ）2﹣2×8t ×2t ×cos60°，所以c =√13t ，因此双曲线的离心率为e 1=c a 0=√13t 3t =√133，B 正确；椭圆的离心率为e 2=c a =√13t 5t =√135，C 正确，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 4√3 ．解：∵双曲线的方程为x 2m 2+8−y 24−m 2=1，∴a 2＝m 2+8，b 2＝4﹣m 2，（m 2＜4）， ∴c 2＝a 2+b 2＝12，∴c ＝2√3， ∴双曲线的焦距为2c ＝4√3．故答案为：4√3．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 27 ．解：作出与已知直线平行且与圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9相切的直线，切点分别为P 1、P 2，如图所示：则动点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动时，若C 与点P 1重合时， △ABC 面积达到最小值；而C 与点P 2重合时，△ABC 面积达到最大值， ∵直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A （4，0）、B （0，3）两点，可得|AB |=√42+32=5，∴△ABC 面积的最大值和最小值之和为：S =S △ABP 2+S △ABP 1=12|AB |（d 2+d 1）=52（d 2+d 1），其中d 2、d 1分别为点P 2、点P 1到直线AB 的距离， ∵P 1、P 2是圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9的两条平行切线，设圆心到直线的距离为d ，∴点P 2、点P 1到直线AB 的距离之和等于2d ，即d 2+d 1＝2d ＝2×|15+4×6−12|√3+4=542，因此△ABC 面积的最大值和最小值之和为52（d 2+d 1）=52×542=27．15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为57．解：依题意，由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，则该抛物线的准线过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ，则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝sin ∠F 1PQ =|PQ||PF 1|=57，故答案为：57．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是500243，至少需要前 8 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．解：根据题意，设第n 个正方形的边长为a n ，则a 1＝3，∵每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， ∴A 2B 1=23a 1，B 1B 2=13a 1，又由∠A 2B 1B 2＝90°，∴A 2B 2=√A 2B 12+B 1B 22=√49a 12+19a 12=√53a 1，即a 2=√53a 1，同理可得a n+1=√53a n ，即数列{a n }是首项为3，公比为√53的等比数列， ∴a 7=a 1×(√53)6=3×125729=125243，∴第7个正方形的周长是4a 7=500243， ∵a n =a 1×(√53)n−1=3×(√53)n−1，∴第n 个正方形的面积为a n 2=9×(59)n−1，∴前n 个正方形的面积之和S ＝9[1+59+(59)2+⋯+(59)n−1]＝9×1×[1−(59)n]1−59=814[1﹣（59）n ]，令814[1−(59)n ]＞2得，(59)n ＜181，两边取常用对数得，nlg 59＜lg181，变形可得：n ＞lg81lg9−lg5=4lg32lg3−lg5≈7.48，故至少需要前8个正方形的面积之和超过20．故答案为：500243；8．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54；（2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．解：（1）因为该双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54，所以{2a =8e =c a=54，解得a ＝4，c ＝5，则b 2＝c 2﹣a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 216−y 29=1；（2）当双曲线焦点在x 轴上时，因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{ba =22b =4，解得a ＝1，b ＝2，则双曲线的标准方程为x 2−y 24=1；当双曲线焦点在y 轴上时，因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{a b =22b =4，解得a ＝4，b ＝2，则双曲线的标准方程为y 216−x 24=1．综上所述，双曲线的标准方程为x 2−y 24=1或y 216−x 24=1．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0．（1）求顶点C 的坐标．（2）求直线BC 的方程．解：（1）∵边AC 上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0 ∴k AC •k BH ＝﹣1， ∴k AC ＝﹣2，∵△ABC 的顶点A （5，1），∴直线AC 方程；y ﹣1＝﹣2（x ﹣5），即2x +y ﹣11＝0 与2x ﹣y ﹣5＝0联立，{2x +y −11=02x −y −5=0，解得：{x =4y =3．∴顶点C 的坐标为（4，3）．（2）∵CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，设点M （m ，2m ﹣5）∵M 是AB 中点，A （5，1）， ∴B （2m ﹣5，4m ﹣11）∵B （2m ﹣5，4m ﹣11）在BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0上 ∴2m ﹣5﹣2（4m ﹣11）﹣7＝0，解得：m =53，所以B(−53，−133)， ∴BC 的方程为：y −3=2217(x −4)，即22x ﹣17y ﹣37＝0．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9．（1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长．解：（1）不妨设A （x ，y ），因为点A 在抛物线上，所以y 2＝2px （p ＞0），因为点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9，所以AF =9+p2=12，解得p ＝6；（2）由（1）知抛物线C ：y 2＝12x ，焦点F （3，0），此时直线l 的方程为y ＝x ﹣3，联立{y 2=12x y =x −3，消去y 并整理得x 2﹣18x +9＝0，此时Δ＝182﹣4×9＞0，不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理得x 1+x 2＝18，则|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+p ＝18+6＝24．20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．解：（1）由a n a n+1=16n ，a 1=2，可得a 2＝8，由a n+1a n+2=16n+1，又a n a n +1＝16n ，上面两式相除得：a n+2a n=16，可得数列{a n }的奇数项和偶数项均为公比为16的等比数列，则a 2k =8×16k−1=24k−1，即a n =22n−1， a 2k−1=2×16k−1=24k−3，即a n =22n−1，综上所述，{a n }的通项公式为：a n =22n−1；（2）由题设及（1）可知：b n ={22n−1，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，S 2n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+⋯+b 2n ）＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 1+2+b 3+4+b 5+6+⋯+b 2n ﹣1+2n ）＝2（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（2+4+6+⋯+2n ）＝2（21+25+29+⋯+24n ﹣3）+（2+4+6+⋯+2n ）=2×2(1−16n )1−16+n(2n+2)2=4(16n−1)15+n(n +1)．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ；（3）设∁n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）数列{a n }的首项为a 1，公差为d 的等差数列，数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，整理得：{a 1+2d =2a 1+d +1S 3=3a 1+3×22d =a 1+3d +2，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝2n ﹣1．递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列．所以公比q ＞1．利用2×(b 1q)⬚=b 1+(b 1q 2−4)，解得q ＝3或﹣1（﹣1舍去），故b n =3n−1，（2）由（1）得：令c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1，所以T n =1×30+3×31+...+(2n −1)⋅3n−1①， 3T n =1×31+3×32+...+(2n −1)⋅3n ②，①﹣②得：−2T n =1+2×[3×(3n−1−1)3−1]−(2n −1)⋅3n ，故T n =(n −1)⋅3n +1．（3）由于C n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1=2n+3(n 2+n)⋅3n =1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n，所以A n =11×30−12×31+...+1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n =1−1(n+1)⋅3n ，由于A n ≥λn+1恒成立，即1−1(n+1)⋅3n ≥λn+1恒成立，故λ≤n +1−13n ，由于函数f （x ）=x +1−13x 为增函数，故f(x)min =f(1)=2−13=53，所以λ≤53，故λ的最大值为53．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围．解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），可得{c a =2√23a =3a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =1，c =2√2，故椭圆C 的标准方程为：x 29+y 2＝1；（2）直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，由（1）得：x 29+y 2＝1，因为直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，由题可知，直线l 斜率为0时，k 1k 2＞0，所以直线l 的斜率不为0，设直线l ：x ＝my +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程{x =my +n x 29+y 2=1，得（m 2+9）y 2+2mny +n 2﹣9＝0，所以Δ＝4m 2n 2﹣4（m 2+9）（n 2﹣9）＝36（m 2﹣n 2+9），且y 1+y 2=−2mn m 2+9，y 1•y 2=n 2−9m 2+9，所以k 1k 2=y 1x 1+3⋅y 2x 2+3=y 1y 2(my 1+n+3)(my 2+n+3)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=n 2−99(n+3)2=n−39(n+3)=−29，解得n ＝﹣1，此时Δ＝36（m 2+8）＞0恒成立，所以直线l 的方程为x ＝my ﹣1，直线l 过定点（﹣1，0），此时y 1+y 2=2m m 2+9，y 1y 2=−8m 2+9，所以|PQ|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+m 2⋅√4m 2(m 2+9)2+32m 2+9=6√(m 2+1)(m 2+8)m 2+9，令t ＝m 2+9≥9，所以|PQ|=6√(t−8)(t−1)t 2=6√8t2−9t +1，令u =1t，则t ∈（0，19]，故|PQ |＝6√8u 2−9u +1在(0，19]上单调递减，故|PQ |的取值范围为[4√23，6）．。

江苏省泰州二中2022学年高二数学上学期期中考试试题

江苏省泰州二中2022-2022学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．1．直线的斜率是方程2310x x --=的两根，则的位置关系是 2．以两点A-3,-1和B5,5为直径端点的圆的方程是 3 椭圆2241x y +=的焦距长是_________________4．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的三角形的面积是 =42的焦点坐标为____________6．直线－3=0被圆（2）2（－2）2=2截得的弦长等于 7若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是 8如果方程022=++++k y x y x 表示一个圆，则的取值范围是1)1()2(22=-+-y x 1,2对称的圆的方程为10 若椭圆的一个顶点与两个焦点构成直角三角形,则该椭圆的离心率是___________ 11 直线:230l x my ++=过椭圆C ：221010x y +=的一个焦点,则m 的值是__________12已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点，过的直线与椭圆交于Ｍ、Ｎ两点，则△ＭＮ的周长为___________13．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y x =±，且双曲线过点(2,1)P ,则双曲线的标准方程为、B 分别在图中抛物线x y 42=及椭圆13422=+y x 的实线上运动，若∥轴，点N 的坐标为（1，0），则三角形ABN 的周长的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）1和2相交；（2）1⊥2；（3）116 （本小题满分14分）（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是焦距的3倍，并且一个顶点为62,3--1C pxy 22=2C 22221x y a b-=1C 2C 2(3M 1C 2C12(5,2),(6,0),(6,0)P F F -12,F F 12,,P F F y x =''12',,P F F ''12,F F 223为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=T AF 1∠。

江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中模拟检测数学试题含答案

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设 p：实数 x 满足 x2﹣4ax﹣5a2＜0，a＞0，q：实数 x 满足 x2﹣5x+6＜0．
（1）若 a＝1，A=x | x p ，B=x | x q ，求 A B ;
（2）若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
A．
B．﹣
C．
D．﹣
7.在正项等比数列{an}中，a1＝1，前三项的和为 7，若存在 m，n∈N*使得
的最小值为（ A．
） B．
C． 3 2
D． 5 4
，则 1 + 4 mn
1
1 001 S2n 11 8.已知数列{an}的首项 a1＝1，前 n 项的和为 Sn，且满足 2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则满足1 000＜ Sn ＜10
A． a3 ＝13
B．数列{ an + 3 }是等比数列
C． an ＝4n﹣3
D．
11.设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，并且满足条件 a1＞1，
a9a10
＞1，
a9 a10
−1 −1
＜0，则下列结论正确的是（
）
A．0＜q＜1 C．Sn 的最大值为 S10 12. 下列结论不正确的是（）
的是（） A．当点 P 不在 x 轴上时，△PF1F2 的周长是 6 B．当点 P 不在 x 轴上时，△PF1F2 面积的最大值为 C．存在点 P，使 PF1⊥PF2 D．PF1 的取值范围是[1，3] 10. 数列{an}是首项为 1 的正项数列，an+1＝2an+3,Sn 是数列{an}的前 n 项和，则下列结论正确的是（）

2021-2022学年江苏省泰州市高二(上)期中数学试卷-附答案详解

2021-2022学年江苏省泰州市高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分） 1. 经过A(−2,0)，B(−5,3)两点的直线的倾斜角( )A. 45°B. 135°C. 90°D. 60°2. 已知直线l ：ax +y −2+a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A. 1B. −1C. 2或1D. −2或13. 抛物线y =2x 2的焦点坐标是( )A. (18,0)B. (0,18)C. (0,12)D. (12,0)4. 已知椭圆C ：x 2+y 22=1的焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的动点，则下列结论正确的是( )A. |PF 1|+|PF 2|=2B. △PF 1F 2面积的最大值是√2C. 椭圆C 的离心率为√62D. 以线段F 1F 2为直径的圆与直线x +y −√2=0相切5. 若入射光线所在直线的方程为√3x −y −4=0，经x 轴反射，则反射光线所在直线的方程是( )A. y =−√3x −4B. y =−√3x +4C. y =√33x +1 D. y =−√33x −1 6. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率是( )A. 13B. 12C. √22 D. √327. 已知圆C 1：x 2+y 2−kx +2y =0与圆C 2：x 2+y 2+ky −2=0的公共弦所在直线恒过点P(a,b)，且点P 在直线mx −ny −2=0上，则mn 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (14,1]C. [14,+∞)D. (−∞,14]8. 不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足k AB ⋅k OM =2，则顶点在坐标原点O ，焦点在x 轴上，且经过点P(a,√b)的抛物线方程是( )A. y 2=4xB. y 2=2xC. y 2=√2xD. y 2=√22x二、多选题（本大题共4小题，共12.0分）9. 已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P 使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )A. y =x +1B. y =2C. y =43xD. y =2x +110. 已知双曲线W ：x 22+m−y 2m+1=1.( )A. m ∈(−2,−1)B. 若W 的顶点坐标为(0,±√2)，则m =−3C. W 的焦点坐标为(±1,0)D. 若m =0，则W 的渐近线方程为x ±√2y =011. 过直线x +y =4(0<x <4)上一点P 作圆O ：x 2+y 2=4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴分别交于点M ，N ，则( )A. 点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B. 四边形PAOB 面积的最小值为4C. |AB|的最小值为2√2D. |OM|+|ON|的最小值为412. 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作d(P,l).已知线段l 1：x =−1(−2≤y ≤2)，l 2：x =1(−2≤y ≤0)，点P 为平面上一点，且满足d(P,l 1)=d(P,l 2)，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点F(1,0)且|AF|=54，|BF|=√262，则( )A. 曲线C 关于x 轴对称B. 点A 的坐标为(14,1) C. 点B 的坐标为(32,52)D. △FAB 的面积为1916三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知两条直线l 1：3x +2ay −1=0，l 2：ax −y +2=0，若l 1⊥l 2，则a = ______ ． 14. 已知F 为抛物线C ：x 2=8y 的焦点，P 为C 上一点，M(−4,3)，则|PF|+|PM|的最小值是______ ． 15. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，|F 1F 2|=4，点Q(2,√2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______ ．16.已知曲线C1：y2=2px(p>0)的焦点F与曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的右焦点重合，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2=−2px(p>0)与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(1)已知一圆的圆心C在直线x+2y−1=0上，且该圆经过(3,0)和(1,−2)两点，求圆C的标准方程；(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=√32，求m的值．18.已知圆C1：(x−1)2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+m=0．(1)若圆C1与圆C2恰有3条公切线，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，若直线x+√2y+n=0被圆C2所截得的弦长为2，求实数n的值．19.已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，其左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，求△PF1F2的面积；(3)若直线l：y=kx+√2与C的右支有两个不同的交点，求k的取值范围．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P(5,a)为抛物线C上一点，且|PF|=8．(1)求抛物线C的方程：(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0,−3)，求直线l的方程．(3)设D(1,2)，过点(3,−2)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点D不重合).设直线DM，DN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．21.已知双曲线C：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于2√33，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若PM2+PN2=5，求椭圆E 的方程．22.已知a>b>0，如图，曲线Γ由曲线C1：x2a2+y2b2=1(y≤0)和曲线C2：x2a2−y2b2=1(y>0)组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点．(1)若F2(2,0)，F3(−6,0)，求曲线Γ的方程；(2)如图，作斜率为正数的直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；(3)对于(1)中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C，D，求△CDF1面积的最大值．答案和解析1.【答案】B=−1．【解析】解：经过A(−2,0)，B(−5,3)两点的直线的斜率为：0−3−2+5直线的倾斜角为：135°．故选：B．求出直线的斜率，然后求解倾斜角．本题考查直线的向量与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】C【解析】解：a=0时，直线l为y−2=0，此时不满足题意；a≠0时，令y=0，得到直线l在x轴上的截距为2−a，a令x=0，得到直线l在y轴上的截距是2−a，=2−a，即a2−3a+2=0，根据题意得：2−aa解得：a=2或a=1．则a的值是2或1．故选：C．讨论a=0和a≠0时，求得直线l两坐标轴上的截距相等时a的值．本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用．把抛物线y=2x2化为标准方程是解题的突破口，属于基础题目．把抛物线y=2x2化为标准方程，求出p值，确定开口方向，从而得到焦点的坐标．【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y，∴p=14，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为(0,18)，故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义判断A；三角形的面积的最大值判断B；求解离心率判断C；利用点到直线的距离与圆的半径比较即可判断D．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解答】解：椭圆C：x2+y22=1的焦点在y轴上，a=√2，所以|PF1|+|PF2|=2√2，所以A不正确；△PF1F2面积的最大值：12×2c×b=12×2×1=1，所以B不正确；椭圆的离心率为：e=ca =√2=√22，所以C不正确；原点O到直线x+y−√2=0的距离为：√2√2=1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+ y−√2=0相切，正确，即D正确．故选：D．5.【答案】B【解析】解：由题意知，反射光线所在直线的斜率为−√3，在直线√3x−y−4=0中，令y=0，则x=√3，所以入射光线所在直线与x轴的交点坐标为(√30)，所以反射光线所在直线的方程是y−0=−√3(x√3)，即y=−√3x+4．故选：B．经x轴反射的两条光线的斜率互为相反数，再求出入射光线与x轴的交点，然后由点斜式即可写出反射光线所在直线的方程．本题考查直线中的对称问题，直线的方程，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：如图，由于BF ⊥x 轴，故x B =−c ，y B =b 2a，即B(−c,b 2a)，设P(0,t)，又A(a,0)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(−a,t)=√2(−c,b 2a−t)．∴a =√2c ， ∴e =c a=√22，故选：C ．先求出点A ，B 的坐标，设出点P 的坐标，利用AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到a 与c 的关系，从而求出离心率．本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由圆C 1：x 2+y 2−kx +2y =0，圆C 2：x 2+y 2+ky −2=0，得圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线方程为k(x +y)−2y −2=0，求得定点P(1,−1)，又P(1,−1)在直线mx −ny −2=0上，m +n =2，即n =2−m ． ∴mn =(2−m)m =−(m −1)2+1，∴mn 的取值范围是(−∞,1]．故选：A ．求出定点P 的坐标，推出m +n =2，然后利用二次函数的性质求解mn 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系的应用，函数的性质的应用，是中档题．8.【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 12a 2−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，即y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=b2a2，即y1−y2x1−x2⋅y1+y22−0x1+x22−0=b2a2，则k AB⋅k OM=2=b2a2，得ba=√2，即b=√2a，设抛物线方程为y2=2px，则(√b)2=2pa=b，即2pa=√2a，得p=√22，则抛物线方程为y2=√2x，故选：C．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用点差法建立方程，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查抛物线方程的求解，利用点差法以及斜率个数进行转化是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查新定义，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．由题意得，要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|=4，求出点M到各条直线的距离，可得答案．【解答】解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|=4，即点M(5,0)到直线的距离小于或等于4．点M(5,0)到直线y=x+1的距离为3√2>4，不满足条件；点M(5,0)到直线y=2的距离为2<4，故满足条件；点M(5,0)到直线4x−3y=0的距离为√42+32=4，故满足条件；点M(5,0)到直线y=2x+1的距离为√22+1=11√55>4，故不满足条件，故选：BC．10.【答案】BD【解析】解：因为方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，所以(2+m)(1+m)>0，解得m>−1或m<−2，故A错误；若W的顶点坐标为(0,±√2)，则−m−1=(√2)2，解得m=−3，故B正确；当m>−1时，c2=(2+m)+(m+1)=2m+3，当m<−2时，c2=−(2+m)−(m+1)=−2m−3，故C不正确；若m=0，则W的标准方程为x22−y2=1，渐近线方程为x±√2y=0，故D正确．故选：BD．根据双曲线的方程，分析顶点，焦点，渐近线方程．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对A：在四边形PAOB中，∠AOB不一定是直角，故A错误；对B：连接PO，由题可得Rt△PAO≌Rt△PBO，所以四边形PAOB的面积S=2×12×PA⋅OA=2PA=2√PO2−4，又PO的最小值为点O到直线x+y=4的距离，即2√2，所以四边形PAOB面积最小为2√8−4=4，故B正确；对C：设P(a,b)，则以线段OP为直径的圆的方程为x(x−a)+y(y−b)=0，与圆O的方程x²+y²=4相减，得ax+by=4，即直线AB的方程为ax+by=4，又点P在直线x+y=4上，所以a+b=4，即b=4−a，代入直线AB中得a(x−y)+ 4y−4=0，即a(x−y)+4y−4=0，令x=y，则4y−4=0，得x=1，y=1，所以直线AB过定点C(1,1)，则OC=√2，故AB的最小值为2√4−2=2√2，故C正确；对D：在ax+by=4中，令x=0，得y=4b ，令y=0，得x=4a，即M(4a,0)，N(0,4b)，所以|OM|+|ON|=4a +4b，因为P(a,b)在x+y=4(0<x<4)上，所以a+b=4且0<a<4，则4a+4b=(a +b)(4a+4b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅ab=4，当且仅当a =b =2时取等号，所以|OM|+|ON|的最小值为4，故D 正确；故选：BCD ．对A ：由动点及圆的性质即可判断；对B ：连接PO ，利用切线的性质将四边形的面积用|PO|表示，进而利用点到直线的距离公式求解；对C ：由点A ，B 在以OP 为直径的圆上可求得直线AB 的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可求解；对D ：先由直线AB 的方程得到M ，N 的坐标，进而得到|OM|+|ON|=4a +4b ，最后结合基本不等式即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想，基本不等式应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：l 1：x =−1(−2≤y ≤2)为线段SQ ，l 2：x =1(−2≤y ≤0)为线段FR ，又d(P,l 1)=d(P,l 2)，①当−2≤y ≤0时，由题意可得，点P 在y 轴上； ②当y <−2时，d(P,l 1)=PQ ，d(P,l 2)=PQ ，此时点P 在y 轴上；③当0≤y ≤2时，d(P,l 1)为点P 到x =−1的距离，d(P,l 2)=PF ，此时点P 的轨迹是一条抛物线，准线方程为x =−1，所以p =2，故抛物线的标准方程为y 2=4x ； ④当y >2时，d(P,l 1)=PS ，d(P,l 2)=PF ，此时点P 在SF 的中垂线上，而S(−1,2)，F(1,0)，中点坐标为(0,1)，所以k SF =2−1−1=−1，所以点P 在直线y =x +1上，故选项A 错误；又AF =54，所以x A +1=54，解得x A =14，故点A 的坐标为(14,1)，故选项B 正确；因为|BF|=√262>|FT|，又点B 在y =x +1上，联立方程组{y =x +1(x −1)2+y 2=(√262)2，可得x =32,y =52，所以点B 的坐标为(32,52)，故选项C 正确； k AB =52−132−14=65，故直线AB 的方程为y =65(x −14)+1，则直线AB 与x =1的交点坐标为G(1,1910)，所以S △FAB =S △FGA +S △FGB =12×1910×(1−14)+12×910×(32−1)=1916，故选项D 正确．故选：BCD ．先确定l 1和l 2对应的图象，然后对y 进行分类讨论，分别研究点P 的轨迹，然后对各个选项进行逐一分析判断即可．本题考查了动点轨迹的综合应用，考查了抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解，直线与直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】0【解析】解：当a =0时，l 1：3x −1=0，l 2：−y +2=0，l 1⊥l 2．当a ≠0时，k 1=−32a ，k 2=a ，若l 1⊥l 2.则k 1⋅k 2=−32a ×a =−1，上式显然不成立． ∴若l 1⊥l 2，则a =0．两条直线垂直：斜率存在时斜率乘积为−1；一条直线斜率不存在，另一条斜率为0.求解即可．本题考查两条直线垂直的判定，容易疏忽一条直线斜率不存在，另一条斜率为0的情况，属基础题．14.【答案】√17【解析】解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点F(0,2)，由题意可得M 在抛物线的外部，连接MF ，交抛物线于P ，则|PF|+|PM|≥|MF|=√(−4)2+(3−2)2=√17，故答案为：√17．由题意可得M 在抛物线的外面，|PF|+|PM|的最小值为|MF|，进而求出其最小值．本题考查抛物线的性质及线段的最小值的求法，属于中档题．15.【答案】92【解析】解：由题意可得c =2，F 1(−2,0)，F 2(2,0)，2a =|QF 1|+|QF 2|=√(2+2)2+(√2−0)2+√(2−2)2+(√2−0)2=4√2， ∴椭圆方程为：x 28+y 24=1．设P(x,y)，则x 2=8−2y 2，(−2≤y ≤2)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,√2−y)⋅(−2−x,−y)=x 2−4+y 2−√2y =−y 2−√2y +4=−(y +√22)+92≤92．∴则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为92．故答案为：92．由题意可得椭圆方程为：x 28+y 24=1.，设P(x,y)，则x 2=8−2y 2，(−2≤y ≤2)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,√2−y)⋅(−2−x,−y)=x 2−4+y 2−√2y =−y 2−√2y +4，利用二次函数性质即可求解．本题考查了椭圆的方程、性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．16.【答案】1+√2【解析】【分析】本题考查双曲线、抛物线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．求得抛物线C 1的焦点，由题意可得p =2c ，再设A(m,n)，m ，n >0，B(m,−n)，C(−m,−n)，D(−m,n)，根据四边形ABCD 的面积为2p 2，结合抛物线方程，可得m =c ，n =2c ，代入双曲线方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得所求值．【解答】解：曲线C 1：y 2=2px(p >0)的焦点F(p2,0)，因为F 与曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点重合，所以c =p2，①由对称性设A(m,n)，m ，n >0，B(m,−n)，C(−m,−n)，D(−m,n)，由四边形ABCD 的面积为2p 2，可得4mn =2p 2，即2mn =p 2，② 且n 2=2pm ，③由①②③可得m =c ，n =2c ，代入双曲线的方程可得c 2a 2−4c 2b 2=1，由e =ca 及b 2=c 2−a 2，可得e 2−4e 2e 2−1=1，化为e 4−6e 2+1=0，解得e 2=3+2√2，可得e =1+√2．故答案为：1+√2．17.【答案】解：(1)点(3,0)和(1,−2)的中垂线方程为：x +2y −1=0，圆心必在弦的中垂线上，联立{x +y −1=0x +2y −1=0，解得C(1,0)，半径r =0−(−2)=2，∴圆C 的标准方程为：(x −1)2+y 2=4； (2)由x 2+(m +3)y 2=m(m >0)，得x 2m+y 2m m+3=1，由于m >0，故m >mm+3，即椭圆的焦点在x 轴上，且a 2=m ，b 2=mm+3，c 2=m −m m+3=m 2+2mm+3， e =c a =√m+2m+3=√32，即m 2−m =0，又m >0，故m =1．【解析】(1)求出AB 的中垂线方程为x −y −1=0，联立两直线方程求得圆心坐标，进一步求出半径，则圆C 的标准方程可求；(2)化椭圆方程为标准方程，求得a 与b 的值，结合隐含条件求得c ，再由离心率e =√32列式求m 的值．本题考查圆的方程的求法，考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)圆C 1：(x −1)2+y 2=1的圆心C 1(1,0)，半径r 1=1，圆C 2：x 2+y 2−8x +m =0的圆心C 2(4,0)，半径r 2=√16−m ，由圆C 1与圆C 2恰有3条公切线，可得两圆外切，则|C 1C 2|=r 1+r 2，即1+√16−m =3，解得m =12：(2)圆C 2：x 2+y 2−8x +12=0的圆心为(4,0)，半径为2，由直线x +√2y +n =0被圆C 2所截得的弦长为2，可得2=2√4−d 2(d 为圆心C 2到直线x +√2y +n =0的距离)，解得d =√3，则d =√3=√3，解得n =−1或−7．【解析】(1)分别求得两圆的圆心和半径，由题意可得两圆外切，可得两圆的圆心距等于半径之和，解方程可得所求值；(2)由直线和圆相交的弦长公式，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求值．本题考查两圆的位置关系，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意知，c =2，又双曲线C 的一个焦点到渐近线的距离为1，不妨取焦点为(c,0)，见解析方程为y =ba x ，即bx −ay =0，则√b 2+a 2=b =1， ∴a 2=c 2−b 2=3． ∴双曲线C 的标准方程为x 23−y 2=1；(2)不妨设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，得√x 02+y 02=√x 02+x 023−1=2，解得x 0=√152，y 0=12． ∴S △PF 1F 2=12⋅|F 1F 2|⋅y P =12×4×12=1；(3)设直线l 与曲线C 与右支的两交点为A ，B ，且A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +√2x 2−3y 2=3，消去y 可得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0，由题意可得Δ=72k 2+36(1−3k 2)>0，x 1+x 2=6√2k1−3k2>0，x 1x 2=−91−3k 2>0，即为{1−3k 2<0k <01−k 2>0，解得−1<k <−√33，∴k ∈(−1,−√33).【解析】(1)由已知可得c ，再由双曲线C 的一个焦点到渐近线的距离为1求得b ，结合隐含条件可得a ，则双曲线的方程可求；(2)不妨设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由已知求得P 点坐标，再由三角形面积公式求解； (3)设直线l 与曲线C 与右支的两交点为A ，B ，且A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 的方程与双曲线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，二次方程实根的分布，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由抛物线定义可知：|PF|=5+p2=8，解得：p =6，∴抛物线C 的方程为：y 2=12x ．(2)由抛物线方程知：F(3,0)，设直线l ：x =my +3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程{y 2=12x x =my +3，得：y 2−12my −36=0，∴y 1+y 2=12m ，y 1y 2=−36，∵以线段AB 为直径的圆过点Q(0,−3)，∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴x 1x 2+(y 1+3)(y 2+3)=(my 1+3)(my 2+3)+(y 1+3)(y 2+3) =(m 2+1)y 1y 2+(3m +3)(y 1+y 2)+18=−36(m 2+1)+12m(3m +3)+18=36m −18=0，解得：m =12， ∴直线l 的方程为：x =12y +3，即2x −y −6=0．(3)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线MN 的方程为x −3=t(y +2)，代入抛物线方程得 y 2−12ty −24t −36=0．所以Δ=144t 2+96t +144>0，y 1+y 2=12t ，y 1y 2=−24t −36．所以k 1⋅k 2=y 1−2x 1−1⋅y 2−2x 2−1=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2−(x 1+x 2)+1，因为y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=−48t −32． x 1x 2−(x 1+x 2)+1=(y 1y 2)2144−112[(y 1+y 2)2−2y 1y 2]+1=12t 2+8t ，所以k 1⋅k 2为定值−4．【解析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得p ，从而得到结果．(2)设直线l ：x =my +3，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可构造方程求得m ，从而得到直线方程．(3)设过点Q(3,−2)的直线l 的方程为x −3=t(y +2)，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1⋅k 2的值．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)为双曲线上任意一点，则x 12m 2−x 22n 2=1①双曲线的顶点为B(−m,0)，C(m,0)，由题设知k AB ⋅k AC =y 1x1+m⋅y 1x 1−m =19，故x 12=9y 12+m 2，代入①式可得(9m 2−1n 2)y 12=0．又A 为双曲线上任意一点，故9m 2−1n 2=0，所以m =3n ，双曲线的渐近线方程为y =±13x ． (2)由椭圆E 的离心率e =c a=√1−b 2a 2=2√33，可得a =3b ，故椭圆方程为x 29b2+y 2b 2=1，即x 2+9y 2=9b 2(b >0)．设P(x 0,y 0)，M(x M ,y M )，则x 02+9y 02=9b 2.②不妨设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，消去y ，利用②式整理得x 2+(3y 0−x 0)x −3x 0y 0=0，即(x −x 0)(x +3y 0)=0，故x M =−3y 0，从而y M =13(x M −x 0)+y 0=−13x 0.所以M(−3y 0,−13x 0)．而直线PN 的方程为y =−13(x −x 0)+y 0，同理可求得N(3y 0,13x 0)．于是PM 2+PN 2=5可得(−3y 0−x 0)2+(−13x 0−y 0)2+(3y 0−x 0)2+(13x 0−y 0)2=5，整理得x 02+9y 02=94．结合②式可得b 2=14，所以椭圆E 的方程为x 2+9y 2=94，即49x 2+4y 2=1．【解析】(1)设A(x 1,y 1)为双曲线上任意一点，则x 12m 2−x 22n 2=1，通过斜率乘积推出x 12=9y 12+m 2，得到m =3n ，即可求解双曲线的渐近线方程．(2)利用离心率推出a =3b ，椭圆方程为x 29b 2+y 2b 2=1，设P(x 0,y 0)，M(x M ,y M )，则x 02+9y 02=9b 2.设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，推出x M =−3y 0，求出M 的坐标，求解N 的坐标，利用PM 2+PN 2=5，求解椭圆E 的方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由题意得F 2(2,0)，F 3(−6,0)，所以{a 2+b 2=36a 2−b 2=4，解得{a 2=20b 2=16，则曲线Γ的方程为：x 220+y 216=1(y ≤0)和x 220−y 216=1(y >0)．(2)由题意曲线C 2的渐近线为：y =±ba x ，设直线l ：y =ba (x −m)，由{y =ba (x −m)x 2a 2+y 2b 2=1，得2x 2−2mx +(m 2−a 2)=0，所以△=4m 2−8(m 2−a 2)>0，解得：−√2a <m <√2a ，又由数形结合知a ≤m <√2a. 设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，则x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−a 22，所以x 0=m 2，y 0=−bm2a ，所以y 0=−ba x 0，即点M 在射线y =−b ax,x ∈[a 2,√2a2)上．(3)由(1)得，曲线C 1：x 220+y 216=1(y ≤0)，点F 4(6,0)，设直线l 1的方程为：x =ny +6(n >0)，由{x =ny +6x 220+y 216=1，得(5+4n 2)y 2+48ny +64=0，所以△=(48n)2−4×64×(5+4n 2)>0⇒n 2>1，设C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，所以y 3+y 4=−48n 5+4n 2，y 3y 4=645+4n 2，所以|y 3−y 4|=√(y 3+y 4)2−4y 3y 4=16√5⋅√n 2−15+4n2，所以△CDF 1面积S =12|F 1F 2||y 3−y 4|=12×8×16√5⋅√n 2−15+4n2=64√5×√n2−15+4n 2，令t =√n 2−1>0，所以n 2=t 2+1，所以S =64√5t 4t 2+9=64√54t+9t≤16√53当且仅当t =32，即n =√132时取等号，所以△CDF 1面积的最大值为16√53．【解析】(1)利用椭圆的焦距与双曲线的焦距，列出a，b的方程组然后求解a、b，得到曲线Γ的方程．(2)由题意曲线C2的渐近线为：y=±ba x，设直线l：y=ba(x−m)，联立直线与椭圆方程，由数形结合知a≤m<√2a.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，利用韦达定理推出点M的轨迹方程即可．(3)由(1)得，曲线C1：x220+y216=1(y≤0)，点F4(6,0)，设直线l1的方程为：x=ny+6(n>0)，联立直线与椭圆方程，设C(x3,y3)，D(x4,y4)，利用韦达定理，转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可．本题考查椭圆方程的求法，双曲线方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

2022-2022年高二上册期中考试数学试卷(江苏省泰州中学)

2022-2022年高二上册期中考试数学试卷（江苏省泰州中学）填空题已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______ ．【答案】【解析】∵，∴或，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，则，∴，故答案为.填空题分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】试题分析：直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.解答题已知（），定义.（1）求函数的极值（2）若，且存在使，求实数的取值范围；（3）若，试讨论函数（）的零点个数.【答案】(1) 的极大值为，极小值为；(2) ；(3)当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导有，利用导函数研究函数的极值可得的极大值为，极小值为；(2)原问题转化为不等式在上有解，构造新函数（），据此讨论可得.(3)结合（1）的结论有在上的最小值为，分类讨论：①当时，在上无零点.②当时，在上有一个零点.③当时，在上有两个零点.试题解析：（1）∵函数，∴令，得或，∵，∴，列表如下：极大值极小值∴的极大值为，极小值为.（2），∵存在使，∴在上有解，即在上有解，即不等式在上有解，设（），∵对恒成立，∴在上单调递减，∴当时，的最大值为.∴，即.（3）由（1）知，在上的最小值为，①当，即时，在上恒成立，∴在上无零点.②当，即时，，又，∴在上有一个零点.③当，即时，设（），∵，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的，使得.Ⅰ.当时，∵，∴且为减函数，又，，∴在上有一个零点；Ⅱ.当时∵，∴且为增函数.∵，∴在上有一个零点；从而在上有两个零点.综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点.填空题双曲线的顶点到其渐近线的距离等于____________.【答案】【解析】试题分析：不妨设顶点为,一条渐近线为即,点直线的距离为.填空题已知函数，函数，（），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】对函数f(x)求导可得：，令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：x1f′(x)−+f(x)单调递减−4单调递增−3所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数。

江苏省泰州市高二上学期数学期中考试试卷

江苏省泰州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018·吉林模拟) 设集合，则（）A.B.C.D. 2. （2 分） (2018 高二上·北京期中) 若 a>b>c 且 a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是（） A . ac>bc B . ab>bc C . ab<bc D . ac<bc 3. （2 分）在等比数列{an}中，an＞0，若 a1a2a3…a2012=22012 ，则 a2a2011=（） A.2 B.4 C . 21005 D . 210064. （ 2 分）为函数A.2的最小正周期为（），则第1页共9页B.4 C. D. 5. （2 分） (2018·银川模拟) 已知向量，且，则等于（）A.B. C. D. 6. （ 2 分） (2019 高一下 · 湖北期中 ) 在，则角的大小是（） A. B. C. D.中，角的对边分别为.已知7. （2 分） (2019 高二上·集宁期中) 若数列，则 a5－a4＝（）A.B.－C.D. 8. （2 分）将正整数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右 n 列的数，比第2页共9页如，若，则有（）A. B. C. D.9. （2 分）等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ，且 A.，则 = （）B.C.D. 10. （2 分）已知 A.的三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，且，则角 C 等于（）B. 或 C.D. 11. （2 分）在 A.中，已知,则角 A 等于（）第3页共9页B. C. D.12. （2 分） (2018 高一下·四川月考) 在等比数列（）中，A . 11B.9C.7D . 12二、填空题 (共 4 题；共 4 分)，若，则13. （1 分）在中，，，，则 =________ ．14. （1 分） (2016 高一下·邵东期中) sin75°的值为________．15.（1 分）(2019 高一下·上杭月考) 在三角形 ________中，，，，则16. （1 分） (2017 高二上·浦东期中) 已知数列{an}的前 n 项的和 Sn=3n2+2n+1，则 an=________．三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2018 高一上·南昌月考) 集合（1）求；，集合．（2）若全集，求．18. （10 分） (2017 高二上·浦东期中) 设等差数列{an}满足 a3=5，a10=﹣9．（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值．第4页共9页19. （10 分） (2018·江西模拟) 已知，，分别为 .（1）若，求的值；的内角，，的对边，（2）设，且，求的面积.20. （10 分） (2017 高一下·承德期末) 等比数列{an}中，已知 a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式 an；（2）若 a3，a5 分别是等差数列{bn}的第 4 项和第 16 项，求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn．21. （10 分） (2016 高一下·桐乡期中) 已知在锐角△ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，且（b﹣2c） cosA=a﹣2acos2 ．（1）求角 A 的值；（2）若 a= ，则求 b+c 的取值范围． 22. （10 分） (2017·顺义模拟) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ．若对∀ n∈N* ，总∃ k∈N* ，使得 Sn=ak ，则称数列{an}是“G 数列”．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，其首项 a1=1，公差 d=﹣1．证明：数列{an}是“G 数列”；（Ⅱ）若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n（n∈N*），判断数列{an}是否为“G 数列”，并说明理由；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“G 数列”{bn}和{cn}，使得 an=bn+cn（n∈N*）成立．第5页共9页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、 18-2、 19-1、 19-2、 20-1、第7页共9页20-2、 21-1、 21-2、第8页共9页22-1、第9页共9页。

7学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中考试试题一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位．．．．．．．置上．．． 1、已知复数23z i =-，则复数z 的虚部为．2、命题：“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是．3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．4、双曲线221y x -=的渐近线方程为．5、抛物线2y x =的焦点坐标为．6、观察下列各式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，从中归纳出一般结论：． 7、焦点在x 轴上，离心率45e =，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为．8、已知函数y =A ，集合{}|B x x a =≤，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上，定点Q 的坐标为()5,0Q ，则线段PQ 长度的最小值为．10、已知121212,,||||1,||z z C z z z z ∈==+=12||z z -= ．11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是．13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点，若点M 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为．14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ，交y 轴于点D ，P 为AC 中点，定点Q 满足：对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥，则Q 点的坐标为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分14分）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m -=++--，当m 为何值时，分别满足下列条件：（1）z R ∈；（2）z 对应的点位于复平面第二象限．16、（本题满分14分）已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--． (1)p ⌝是q ⌝的什么条件？(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．17、（本题满分14分）设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点，M 是椭圆C 上一点，且直线2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求椭圆C 的方程．18、（本题满分16分）如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个水池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数(220y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．（1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程；（2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19、（本题满分16分）设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θπ∈．（1）用数学归纳法证明：()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+；（2）已知z i =，试利用（1）的结论计算10z ；20、（本题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为22()0y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于,E F 两点．（1）求此椭圆的方程；（2）若6ED DF =，求斜率k 的值；（3）求四边形AEBF 面积的最大值．江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中试题参考答案一、填空题：1、3-；2、2,10x R x x ∃∈--≤；3、1-；4、y x y x ==-和；5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；6、()()213521*n n n N ++++-=∈ ；7、221259x y +=；8、4a >；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、825580x y +-=；14、()3,0- 二、解答题：15、解（1）2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩， ............................................................ 2分3m ∴=- ...................................................................................................................... 6分（2）复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+-⎪-⎝⎭， ........................... 8分依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩.................................................................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞- .................................................................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或，222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或. .......................................................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤， ........................................................................................... 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． ............................................................................. 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝：1x a x a ≤≥+或. .......................................................................................... 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件． ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或. ................................................................ 12分∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. ............................................................. 12分17、解：（1）记c =，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,b M c a⎛⎫⎪⎝⎭，则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=， ...................................................................... 4分2213,2()2c ca c ac e e a a∴-=⇒====-或舍去； .......................................... 6分（2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则22||44b MF a =⇒=①， .......... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭， .............................................. 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ......................................................... 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=． ................................................................... 14分18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭， .................................................................................................. 2分:129220l x y +-=， ............................................................................................. 6分(2)()2,2M t t -+，过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--，即222y tx t =-++，令2y =得2t x =，故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭； ....... 8分令0y =，得122t x =+，又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． ........................................................................ 10分所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ........................... 14分当且仅当1t =时取等号，即1t =时max 2S =． .................................................. 16分19、（1）证明：1当1n =时，左边=右边=cos sin i θθ+，所以命题成立； ..... 2分2 假设当n k =时，命题成立，即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， ......... 4分则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k kx i i i θθθθθ++=++()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)k i k i k k i k k k i k θθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ 1n k ∴=+当时，命题成立； ................................................................................ 6分综上，由1 和2可得，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ ................................ 8分（2）122cos sin 266z i i i ππ⎫⎛⎫===+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ................................. 12分1010551cos sin cos sin 66332z i i ππππ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭ .............................. 16分20、解（1）)由题意，22a c a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ................................ 2分故椭圆的方程为2214x y +=． ......................................................................... 4分（2）由（1）得，直线AB 的方程为220x y +-=．()222241444y kxk x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩． ........................................................................ 6分设()()1111,,,E x kx F x kx --，()00,D x kx，且1x =．则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+，因为6ED DF = ，所以()01106x x x x -=--，即1057x x =-=， .. 8分所以D ⎛⎫在直线AB220+-=，化简得2242560k k -+=，解得23k =，或38k =． ......................................... 10分（3）AB =,E F 到直线AB 距离之和最大．E F d d +=........................................................ 12分421k +====14分因为0k >，所以E F d d +≤=，当且仅当14k k =，即12k =时取“＝”号．所以max 12S ==16分。

2021-2022学年江苏泰州中学高二上学期期中考试数学试卷

江苏省泰州中学2021-2022学年度第一学期高二年级期中质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

130y -+=的倾斜角是 ( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．150︒2．抛物线上一点到其焦点的距离为3．则抛物线的方程为 A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ．D ．4．圆221:260O x y x y +-+=和圆222:60O x y x +-=的公共弦AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A ．2330x y -+=B ．2350x y --=C ．3290x y --=D ．3270x y -+=5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用周长为72的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线的右焦点为，若以为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为2:2C y px =0(1,)y C ()24y x =28y x =212y x =216y x =221(0)y x m m+=≠(3,0)F ()y =±4y x =2y x =±12y x =±ABCD ττABCD τ22221(0)x y a b a b+=>>()2218116x y +=2211681x y +=22110064x y +=22164100x y +=2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>F (OF O C C C ()春雨教育A 7．已值为A 8．在经过A二、目要9．如选项A B C D 10．关于A B C D ．已知点在为．2在直角坐标系过点P ．定点．[0，2] 选择题：本要求。

2022-2023学年江苏省泰州市高二年级上册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．圆222440x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别为（） A ．(1,2)-，3 B ．(1,2)-，3 C ．(1,2)-，9 D ．(1,2)-，9【答案】A【分析】将圆方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径. 【详解】由方程222440x y x y ++--=可得22(1)(2)9x y ++-=，故圆心坐标为(1,2)-，半径为3．故选：A.2．已知直线3430x y -+=与直线6140x my +-=平行，则它们之间的距离是（） A ．175B ．2C ．1710D ．12【答案】B【分析】先根据线线平行公式可得8m =-，再根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】直线3430x y -+=与直线6140x my +-=平行， ∴614343m -=≠-，解得8m =-，故直线6140x my +-=为直线68140x y --=，化简得3470x y --=， ∴2=．故选：B ．3．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．30,,44πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】画出坐标系，连接,,PB PB AB ，结合斜率变化可知，tan PA PB k k α≤≤，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[)0,απ∈，则12101PA k -+==--，11102PB k --==-， ∵直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，∴tan PA PB k k α≤≤，即ta 11n α-≤≤， ∴30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：A ．4．若方程24x b x +=-有两个实数解，则实数b 的取值范围为（） A ．[2,22]- B ．(0,22]C ．(22,22)-D ．[2,22)【答案】D【分析】题目转化为函数24y x =-与y x b =+有两个公共点，画出函数图像，根据图像计算得到答案.【详解】方程24x b x +=-有两个实数解即函数24y x =-与y x b =+有两个公共点，曲线24y x =-表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点），如图所示．由图形知，当直线y x b =+经过点(0,2)时，直线与曲线有2个公共点，此时有2b =；2=，解得b =或b =-.结合图形可得实数b 的取值范围是[2,．故选：D5．若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则（） A ．14m =B ．18m =C ．4m =D ．8m =【答案】B【分析】由抛物线的定义求解即可【详解】因为抛物线2y mx =的标准方程为21x y m=，其准线方程为14y m =-，由于抛物线上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，由抛物线的定义可得，1244m+=，解得18m =．故选：B6．已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则144是该数列的第（）项． A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】C【分析】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，即可得144所对应项数.【详解】由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和,所以这个数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，所以144是该数列的第12项．故选：C ．7．设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且3BF OB =，则C 的离心率为（）A B C D 【答案】A【分析】首先求出2a b cr +-=，由3BF OB =，通过运算得到22b a c =+，再利用,,,e a b c 之间的关系得到关于e 的方程，解出e 即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为：by x a=±，即0bx ay ±=，(),0F c ∴到渐近线的距离为22bc FH b b a==+，22OH c b a ∴=-=，则直角三角形FOH 的内切圆的半径2a b cr +-=，如图，设三角形的内切圆与FH 切于M ，则2a b c MH r +-==，3BF OB =，可得34FM BF c ==，342a b c BF MH c FH b +-∴+=+==，即22b a c =+，则2222244444b c a c ac a =-=++，所以228430a ac c +-=，由e ca=，23e 4e 80∴--=， e 1>，227e +∴=. 故选：A.8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】C【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点(),x y 到定点与定直线之比为常数5e m=果.【详解】已知方程可以变形为()2222321x y m x y y -+=-++()22123x y x y m++=-+其表示双曲线上一点(),x y 到定点()0,1-与定直线230x y -+=之比为常数e = 又由1e >，可得05m <<，故选：C.二、多选题9．下列说法中，正确的有（）A ．点斜式()11y y k x x -=-可以表示任何直线B ．直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C ．直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y -+=D ．点()21P ，到直线的()130ax a y a +-++=的最大距离为【答案】BD【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A ；直接令0x =求解直线在y 轴上的截距判断B ；结合关于直线0x y -=对称的点的关系求解判断C ；结合直线过定点()4,3Q -求解即可判断D. 【详解】解：对于A 选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；对于B 选项，令0x =得=2y -，所以直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，正确；对于C 选项，由于点(),x y 关于直线0x y -=对称的点为(),y x ，所以直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y --=，故错误；对于D 选项，由于直线()()()13130ax a y a a x y y +-++=++--=，即直线过定点()4,3Q -，所以点()21P ，到直线的()130ax a y a +-++=的最大距离为PQ =. 故选：BD10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知412a =，140S >，150S <，则下列结论正确的是（） A ．70a < B ．2437d -<<- C ．784S = D ．设n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则0n T >时，n 的最大值为27【答案】BC【分析】由已知求得80a <，70a >，解公差为d 的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可. 【详解】∵140S >，150S <，∴()()1147814702a a a a +=+>，()1158151502a a a +=<， ∴780a a +>，80a <，∴70a >，A 选项错误；又∵412a =，即1123a d =-，∴ 78448434247041240a a a d a d d a a d d +=+++=+>⎧⎨=+=+<⎩ ，解得2437d -<<-，B 选项正确； ∵()177477842a a S a +===，故C 选项正确；因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以1(1)2n n n S na d -=+，即112n S n a d n -=+，由11n n S S n n --=-11111222n n d a d a d ---⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设112n n S n b a d n -==+，因为当14n ≤时，0n S >，当15n >时，0n S <，所以当14n ≤时，0n b >，当15n >时，0n b <，所以1272714272702b b T b +=⨯=>，1282812715281421424222b b T a d d +⎛⎫⎛⎫=⨯=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2437d -<<-，所以28T 可能为正数，也可能为负数，所以D 选项不正确．故选：BC ．11．已知圆22:(1)(1)4M x y +++=，直线:20+-=l x y ，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（） A ．四边形MAPB 面积的最小值为4 B ．线段AB的最小值为C ．当直线AB 的方程为0x y +=时，APB ∠最小D ．若动直线1//l l ，1l 且交圆M 于C 、D两点，且弦长CD ∈，则直线1l 横截距的取值范围为2,0)(4,2)⋃- 【答案】ABD【分析】由切线性质PA AM ⊥，PB MB ⊥，PA PB =，由点到直线距离公式求得圆心M 到直线l 的距离，结合四边形MAPB 面积计算判断AB ，当AB 方程为0x y +=时，由对称性求得AB ，求出APB ∠，然后再取一特殊值得出APB ∠比此时的小可判断C ，由CD 弦长求出圆心到弦CD 的距离的范围，从而设直线方程为0x y m ++=后可求得m 的范围，从而可得横截距范围判断D ．【详解】圆22:(1)(1)4M x y +++=的圆心(1,1)M --，半径为2r =，可知||||2MA MB ==，PA AM ⊥，||PA2MAPB APM S S =△12||||2AM PA =⨯⨯⨯=当||PM 取最小值时，四边形MAPB 面积取得最小值，此时||PM ==所以四边形MAPB 面积的最小值为4=，故A 正确；又圆心(1,1)M --到直线l 的距离d ==所以当MAPB S 取得最小值时，1||2MAPB S AB =⨯⨯可得||MAPB AB =，故||AB 4=B 正确；当直线AB 的方程为0x y +=时，1AB k =-，1OMk =，则1AB OMk k ⋅=-，所以直线AB 与直线OM 垂直，又O 是AB 中点，||||2MA MB ==，||OM =所以||AB =222||||||MA MB AB +=，所以MA MB ⊥，易得四边形MAPB 是正方形，此时APB ∠=90︒，而当4PM =时，直角三角形中21sin 42APM ∠==，30APM ∠=︒，6090PB ∠=︒<︒，故C 错误；设M 到直线1l 的距离为1d ，因为||CD ∈，且22211||4CD r d =-，所以22211||4d r CD =-，则1(1d ∈，设1:0l x y m ++=，所以1<<|2|2m -<，解得(0,2(24)m ∈⋃，所以直线1l 的横截距m -的取值范围为2,0)(4,2)⋃-，故D 正确．故选：ABD ．12．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有公共的焦点1F ，2F ，设P 是1C ，2C 的一个交点，1C 与2C 的离心率分别是1e ，2e ，则下列结论正确的有（）A ．221212PF PF b b ⋅=+B ．12F PF △的面积12S b b =C ．若12π3F PF ∠=，则2212124e e +=D ．1221tan2F PF b b ∠= 【答案】ABD【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解.【详解】设12F PF θ∠=，12||2F F c =，又∵222221122c a b a b =-=+，即22221212a a b b -=+，又∵1212+=PF PF a ，1222PF PF a -=，令12PF PF >， ∴112=+PF a a ，212=-PF a a ，∴2222121212PF PF a a b b ⋅=-=+，故A 正确；()2222222212121222221212124224cos 22PF PF c a a c b b PF PF b b b b θ+-+--===⋅++，1222122sin b b b b θ=+， 1212121sin 2F PF S PF PF b b θ=⨯⋅⋅=△，故B 正确；当12π3F PF ∠=时，221222121cos 2b b b b θ-==+，得22123b b =，∴2212222212212a a e e c c +=+2222122223234c b b b c c+-==+<，故C 不正确．设12F PF θ∠=，证明椭圆2212211:1x y C a b +=的焦点三角形面积为1221tan 2PF F S b θ=△，记1PF m =，2PF n =，在12F PF △中，由余弦定理有：2222122cos 4m n mn F F c θ+-==， ∴22()2(1cos )4m n mn c θ+-+=，又由椭圆定义有：12m n a +=，∴()222112(1cos )44mn a c b θ+=-=；∴2121cos b mn θ=+，又∵121sin 2PF F S mn θ=△，∴1221sin 1cos PF F b S θθ=+△ 2122sin cos 2212cos 12b θθθ=+- 21tan2b θ=，设12F PF θ∠=，证明双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的焦点三角形面积为1222tan 2PF F b S θ=△，记1PF m =，2PF n =，在12F PF △中，由余弦定理有：2222122cos 4m n mn F F c θ+-==， ∴22()2(1cos )4m n mn c θ-+-=，又由双曲线定义有：22m n a -=，∴()222222(1cos )44mn c a b θ-=-=；∴2221cos b mn θ=-，又∵121sin 2PF F S mn θ=△，∴1222sin 1cos PF F b Sθθ=- 2222sin cos 22112sin 2b θθθ=-+ 22tan2b θ=，由122221tan2tan 2PF F b S b θθ==△2222211tan tan 22b bb b θθ⇒=⇒=，故D 正确．故选:ABD ．三、填空题13．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则22a =_______．【答案】3-【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可.【详解】根据题意，可设等差数列{}n a 的公差为d ，又由135105a a a ++=，则33105a =，即335a =， 24699a a a ++=，则4399a =，即433a =，则公差432d a a =-=-，则223(223)35383a a d =+-=-=-，所以223a =-．故答案为：3-14．写出与圆221x y +=和圆22(2)(1x y -+-=都相切的一条切线方程_______．【答案】1x =（10x -=20y -+=20y --=，20x +=任选一个答案均可）【分析】设切线方程为0x by c ，由直线与两相切可得221c b =+①，|2|c ++=，联立求解即可得答案.【详解】解：圆221x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆22(2)(1x y -+-=的圆心坐标为(2,，半径为1，显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ，11=，故221c b =+①，|2|c ++，联立①②解得01b c =⎧⎨=-⎩或b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以直线方程有4条，分别为10x -=20y -+=20y --=或20x +=．故答案为：1x =（10x -=20y -+=20y --=或20x +=任选一个答案均可）．15．已知椭圆22:12x C y +=，点P 为直线2x y +=上一动点，过点P 向椭圆作两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点_______．【答案】11,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求得过椭圆上一点处的切线方程，再根据题意，求得AB 的方程，即可由相交直线系方程，求得直线恒过的定点.【详解】若过椭圆C 上任意一点()(,,m n m ≠作切线，则其斜率存在，不妨设其为()y n k x m -=-，联立椭圆方程可得：()()()222214220k x k n km x n km ++-+--=，则()()()222216421220k n km k n km ⎡⎤=--+--=⎣⎦，即()2222210m k mnk n --+-=，又该方程()()2222224421488m n m n m n =---=+-因为2222m n +=，则0=，故可得()222222222mn mn mn m k m nn m ====----，故此时过椭圆C 上一点(),m n 的切线方程为()2my n x m n-=--，即()22220mx ny m n +-+=，22mx ny +=，即12mxny +=；当m =(),m n 的切线方程也满足12mxny +=，综上所述，过椭圆上任意一点(),m n 的切线方程为：12mxny +=；设()00,P x y ，则002x y +=，()11,A x y ，()22,B x y ，则切线PA 的方程为1112x x y y +=，切线PB 的方程为2212xx y y +=，又点P 在,PA PB 上，故102010201,122x x x xy y y y +=+=，可得A 、B 都在直线0012x x y y +=上，即()00212x x x y +-=，02102x y x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，令02210x y y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，故直线AB 过定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：11,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中直线恒过定点的问题，处理问题的关键是熟练掌握过椭圆上一点的切线方程的推导以及其形式，属综合困难题.16．已知抛物线2:8M x y =，直线:2l y kx =+与抛物线交于A ，D 两点，与圆：22:430N x y y +-+=交于B ，C 两点（A ，B 在第一象限），则||2||AC BD +的最小值为_______．【答案】942+##429+【分析】分别在0k =，0k ≠时，结合抛物线的性质证明111||||2AF DF +=，结合图象可得||2||||2||3AC BD AF DF +=++，再利用基本不等式求其最小值.【详解】因为抛物线M 的方程为28x y =，所以抛物线M 的焦点为(0,2)F ，准线=2y -，则直线2y kx =+过抛物线的焦点F ，当0k =时，联立2y =与28x y =可得，4x =± 所以||||4AF DF ==，则111||||2AF DF +=；当0k ≠时，如图，过A 作AK y ⊥轴于K ，设抛物线的准线交y 轴于E ，则||||||EK EF FK =+||cos ||p AF AFK AF =+∠=，得||1cos pAF AFK =-∠，则11cos ||AFKAF p-∠=，同理可得11cos ||AFKDF p+∠=，所以1121||||2AF DF p +==，化圆N ：22430x y y +-+=为22(2)1x y +-=，则圆N 的圆心为F ，半径为1， ||2||AC BD +=||12(||1)AF DF +++||2||3AF DF =++2(||2||)AF DF =+113||||AF DF ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭||2||233||||AF DF DF AF ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭||2||2323||||AF DF DF AF ⎛≥+⋅+ ⎝942=+||2|AF DF =且111||||2AF DF +=时等号成立，即2DF =2AF =+ 所以||2||AC BD +的最小值为9+故答案为：9+四、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n n a a d +=+，（*N n ∈，0d <），若312S =，353525100a a a a +--=．求：(1)数列{}n a 的通项公式； (2)n S 的最值．【答案】(1)28n a n =-+ (2)最大值12，无最小值．【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可（2）利用等差数列求和公式表示出n S ，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）由1n n a a d +=+，（*N n ∈，0d <），知{}n a 为等差数列，公差为d ，设首项为1a ，由312S =，353525100a a a a +--=，得()()()()111113312242254100a d a d a d a d a d +=⎧⎨++++-+-=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩或162a d =⎧⎨=-⎩，因为0d <，所以162a d =⎧⎨=-⎩，故28n a n =-+．（2）当28n a n =-+时，162a d =⎧⎨=-⎩，()()216272n n n S n n n -=+⨯-=-+，所以当3n =或4时，n S 有最大值3412S S ==，n S 无最小值．18．已知的ABC 顶点(1,2)A ，(3,2)B -，直线BC(1)求过点A ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)求角B 的角平分线所在直线方程．【答案】(1)20x y -=或30x y +-=；20y ++=或30x ++=．【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况，根据截距相等得到直线方程为1x ya a+=，代入点得到直线方程.（2）考虑点C 位于直线AB 下方和上方两种情况，计算倾斜角得到斜率，得到直线方程.【详解】（1）①当所求直线过原点时，设直线方程为y kx =，直线过点A ，2k =，故方程为20x y -=； ②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，所以设所求直线方程为1x ya a +=，因为直线过点A ，所以121a a+=，解得3a =，所以所求直线方程为30x y +-=；综上，满足条件的直线方程为20x y -=或30x y +-=；（2）因为ABC 的顶点(1,2)A ，(3,2)B -，直线BC所以直线AB 方程为2y =，直线BC 的倾斜角为60︒，①当点C 位于直线AB 下方时，120ABC ∠=︒，设此时其角平分线为BD ，则角平分线BD 的倾斜角为120︒，其斜率为所以角平分线BD 方程为23)y x -=+20y ++=； ②当点C 位于直线AB 上方时，60ABC ∠=︒，设此时其角平分线为BE ，则角平分线BE 的倾斜角为30︒所以角平分线BE 方程为23)y x -=+，即30x ++；所以角B 20y ++=或30x ++=． 19．直线l 经过抛物线28y x =焦点F ,且与抛物线相交于()11,A x y ,()22,B x y 两点,通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D . (1)若直线l 的斜率为2,求线段AB 的长; (2)求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴. 【答案】(1)10(2)证明见解析【分析】(1)根据题意得到直线AB 的方程,与抛物线方程联立,依据抛物线的定义和韦达定理即可求出弦长;(2)设直线OA 的方程,令2x =-得到D y ;设直线AB 的方程,联立抛物线的方程,根据韦达定理求出2y ,证明2D y y =即可.【详解】（1）∵抛物线28y x =的焦点(2,0)F ,准线方程为2x =-, ∴直线AB 的方程为24y x =-,联立方程28y x =,得2640x x -+=, 则126x x +=,124x x =,∴12||||||410AB AF BF x x =+=++=;（2）设直线OA 的方程为:1118y y x x x y ==, 令2x =-,可得116D y y =-, 设直线AB 的方程为:2x my =+,联立方程28y x =,得28160y my --=, ∴1216y y =-, ∴2116y y =-, ∴2D y y =,∴直线DB 平行于x 轴,即直线DB 平行于抛物线的对称轴.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，左右焦点分别为1F 、2F ，圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，直线:l y x m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为14-．(1)求椭圆E 的方程；(2)若1m =，试问E 上是否存在P 、Q 两点关于l 对称，若存在，求出直线PQ 的方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=；(2)存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．【分析】（1）由椭圆定义知2a 为两圆半径之和，由点差法可得22OM AB b k k a⋅=-，求出2b ，从而得到椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为y x t =-+，根据PQ 中点在直线l 上求得t 值，注意检验直线PQ 与椭圆有两个交点.【详解】（1）因为圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，所以213a =+，2a =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y ，22112222222211x y a b x y a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①－② ()()01201222220x x x y y y a b --⇒+=， 201220120y y y b a x x x -⇒+⋅=-22OM AB b k k a ⇒⋅=-， 222114b b a⇒-=-⇒=，则椭圆E 的方程：2214x y +=；（2）假设存在P 、Q 两点关于l 对称，设直线PQ 的方程为y x t =-+，()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 中点(),N N N x y ， 22225844044y x tx xt t x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩， ()226420440t t ∆=-->t ⇒<< 34425N x x t x +==，5N t y =，即4,55t t N ⎛⎫⎪⎝⎭，由N 在l 上，451553t t t =+⇒=-，此时(t ∈，故存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．21．已知双曲线C过点P ⎫⎪⎝⎭,Q . (1)求双曲线C 的标准方程;(2)已知(3,4)A ,过点1,03⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线C 交于不同两点M 、N ,设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ,求证:12k k +为定值.【答案】(1)2212y x -=(2)证明见解析【分析】(1)设双曲线C 的方程为221(0)mx ny mn -=>,将P ⎫⎪⎝⎭,Q 代入求解即可; (2)由题意易得直线l 的斜率存在,设()11,M x y ,()22,N x y ,直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,联立直线l 与双曲线方程,化简12k k +的式子,结合韦达定理即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线C 的方程为221(0)mx ny mn -=>,将P ⎫⎪⎝⎭,Q 代入上式得:312221m n m n ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩, 解得112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）设()11,M x y ,()22,N x y , 由题意易得直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为13y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入2212y x -=整理得, ()22221896180k xk x k -+--=,∴21226189k x x k +=--,212218189k x x k+=--,21890k -≠且0∆>, 则1212124433y y k k x x --+=+--121211443333k x k x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-- 1281124333k k x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()1212126824339x x k k x x x x +-⎛⎫=+- ⎪-++⎝⎭ ()()2222266189824318189189k k k k k k k ---⎛⎫=+- ⎪--++-⎝⎭8324334k k ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故123k k +=为定值.22．长为4的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，线段AB 的中点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，并说明其形状；(2)过点(0,2)M 作两条直线分别与曲线C 交于P 、Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率之积为2-，线段PQ 的中点为D ，求证：存在定点E ，使得||DE 为定值，并求出此定值．【答案】(1)224x y +=，是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； (2)证明见解析，此定值为13．【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为2y kx =+与224x y +=联立求出222422,11k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，由MQ 的斜率为2k -，同理求出222828,44k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.根据对称性可知，判断出PQ 过20,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由直角三角形的性质判断出10,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭为OF 的中点||DE 为定值.【详解】（1）∵OA OB ⊥，P 为线段AB 中点， ∴1||||22OP AB ==，设(,)P x y ，则222x y +=，即224x y +=. 则曲线C 是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；（2）根据题意，直线MP 的斜率存在且不为0，MP 设斜率为k ，则直线方程为2y kx =+代入224x y +=中，整理得()22140k x kx ++=，故241P k x k =-+，22221P k y k -=+，即222422,11k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为直线MP ，MQ 的斜率之积为2-，所以MQ 的斜率为2k -，同理：222828,44k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 根据对称性可知，直线PQ 所过定点在y 轴上，不妨令2222222814k k k k --=++，得22k =，此时23P Q y y ==-，即PQ 过20,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2222033PF QFk k k k k k ---=-=，所以PQ 过定点20,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.连接OD ，在圆O 中，由垂径定理可得：OD PQ ⊥.当D 、F 不重合时，即OD DF ⊥，所以ODF △为直角三角形，取OF 的中点10,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11||||23DE OF ==．当D 、F 重合时，取OF 的中点10,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11||||23DE OF ==也成立．故存在定点E ，使得||DE 为定值，此定值为13．。

江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷含解析

江苏省2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 经过原点，且经过另两条直线2310x y ，460x y --=的交点，则直线l 的方程为（） A ．20x y += B ．20x y += C ．20x y -=D ．20x y -=2．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）A ．7B ．9C ．21D ．423．椭圆221259x y +=与221925x y k k+=--(0<k <9)的（）A ．长轴的长相等B ．短轴的长相等C ．离心率相等D ．焦距相等4．若两条直线()2(2)340m x m m y ++-+=和2(3)10x m y +-+=互相平行，则m 的值为（） A ．3B ．4-或4C ．3或4-D ．3或45．设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆22:1C x y +=相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则AOB 的面积的最小值为（）A．1B 2C D ．26．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为 A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．若直线:l y x b =+与曲线y b 的取值范围是（）A ．{b b -<∣B ．{2b b <<∣C ．{222}b b <∣D ．{}2bb =±∣8．已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．0二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B ．经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +-= C ．若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则2m >-D ．圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -+=的距离都等于1 10．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（） A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM 的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1111．设椭圆22:132x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则（）A ．12PF PF +=B ．CC ．12PF F △D ．C 上有且只有4个点P ，使得12PF F △是直角三角形12．已知直线l ：20ax by r +-=与圆C ：222x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为_______．14．已知数列{an }满足an ＋2＝－an (n ∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{an }的前2017项的和为_______15．已知向量13=(-,),=22a OA ab - OB a b =+，若OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB 的面积为________．四、双空题16．已知抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且23AB FA =-，则抛物线的准线方程为________；BF 的值为________．五、解答题17．已知{an }是公差不为零的等差数列，a 5＝17，a 1，a 2，a 7成等比数列． (1)求数列{an }的通项公式；(2)将数列{an }与{3n }的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn }，求数列{bn }的前n 项和Sn ．18．求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x 轴上，半径为5，且过点()2,3A -； (2)经过点()4,5A --、()6,1B -，且以线段AB 为直径； (3)圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点()2,1-； (4)圆心在直线x -2y -3=0上，且过点()2,3A -，()2,5B --．19．若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从∈12θθπ+=；∈12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：(1)1k ，2k 满足的关系式；(2)若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；(3)在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．20．已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程． 21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为2，且16.FA OA ⋅= (1)求抛物线的方程；(2)过点(8,0)M 作直线l 交抛物线于,B C 两点，设1122(,),(,)B x y C x y ，判断OB OC ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点坐标为(，长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 不过点(0,1)P 且与椭圆C 交于A B 、两点，从下面∈∈中选取一个作为条件，证明另一个成立.∈直线PA PB 、的斜率分别为12,k k ，则121k k ⋅=；∈直线l 过定点5(0,)3-.参考答案：1．B【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.【详解】联立方程2310460x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩ 所以两直线的交点为()2,1-，所以直线的斜率为101202--=--，则直线l 的方程为：12y x =-，即20x y +=.故选：B 2．C【解析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.3．D【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的2c ，由此确定正确选项.【详解】椭圆221259x y +=与221925x y k k+=-- (0<k <9)的焦点分别在x 轴和y 轴上，前者a 2＝25，b 2＝9，则c 2＝16，后者a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，则216c =．显然只有D 正确．故选：D 4．C【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：因为直线()2(2)340m x m m y ++-+=和2(3)10x m y +-+=互相平行，所以()()223(2)131(2)14m m m m m ⎧-+=⨯-⎪⎨⨯+≠⨯⎪⎩，解得3m =或4m =-；故选：C 5．A【分析】根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标(,0)A a ，(0,)B b ，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出2ab ≥，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值.【详解】依题意，设(,0)A a ，(0,)B b ，直线l 与圆22:1C x y +=相切于点P ，P 位于第一象限则直线过一、二、四象限，即0a >，0b >，则直线方程为1x ya b+=，化简得bx ay ab +=，直线与圆相切，故圆心到直线的距离1d r ===，ab ≥，∈2ab ≥，当且仅当a b ==.∈s 112AOB S ab =≥.即三角形面积最小值为1 故选：A.【点睛】本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型. 6．D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是b y x a=2b a =∈，抛物线2y =的准线是x =c =2227a b c +==∈，由∈∈联立解得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩为22143x y -=．故选D ．考点：双曲线的标准方程． 7．C【分析】求出直线与曲线相切时实数b 的值，再结合图象，即可得到答案；【详解】化简方程y 224(0)x y y +=≥，方程224(0)x y y +=≥对应的曲线为以()0,0为圆心，以2为半径的圆在x 轴上方的部分（含点()2,0,()2,0-）；当直线y x b =+与半圆相切时，2=0b >，所以b =，当直线过点()2,0-时，2b =，所以实数b 的取值范围为2,⎡⎣，故选：C.8．B【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【详解】设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得 22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个. 故选：B.9．CD【分析】由直线的两点式方程可判断A ，利用直线的截距式方程可判断B ，由二元二次方程表示圆的条件可判断C ，利用直线和圆的位置关系可判断D.【详解】对于A ，由当12x x =或12y y =时，过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程不能表示为112121y y x x y y x x --=--，故A 错误；对于B ，经过点()1,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程还有2y x =，故B 错误；对于C ，若方程22220x y x y m +-+-=表示圆，则()()222240m -+-->即2m >-，故C 正确；对于D ，圆224x y +=的圆心为原点()0,0，半径为2，圆心到到直线:0l x y -+=的距离为1d =，则圆224x y +=上有且只有三点到直线:0l x y -的距离都等于1，故D 正确.故选：CD. 10．BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A ，联立直线与抛物线方程，消元，由0∆=判断B ，设点(),P x y ，表示出2PM ，根据二次函数的性质判断C ，根据抛物线的定义转化求出PMF △的周长的最小值，即可判断D.【详解】解：抛物线C ：214y x =，即24x y =，所以焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，故A 错误；由2141y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即2440x x -+=，解得()24440∆=--⨯=，所以直线1y x =-与C 相切，故B 正确；设点(),P x y ，所以()()22222441621212x P y y y y M =+-=-+=-+≥，所以min PM =C 正确；如图过点P 作PN 准线，交于点N ，NP PF =，5MF =，所以5611PFMCMF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=，当且仅当M 、P 、N 三点共线时取等号，故D 正确；故选：BCD 11．ACD【分析】根据椭圆的方程求得,,a b c 的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，椭圆22:132x y C +=，可得1a b c ==，根据椭圆的定义，可得122PF PF a +==A 正确；根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为c e a ==，所以B 不正确；由椭圆的几何性质，可得12PF F S最大值为1211222S F F b =⋅⨯=⨯，所以C 正确；因为以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，联立方程组22221132x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理得23x =-，即方程组无解，所以以点P 为直角顶点的12PF F △不存在；过1F 作x 的垂线，交椭圆C 于12,P P 两点，此时可得直角112PF F 和212P F F ；过2F 作x 的垂线，交椭圆C 于34,P P 两点，此时可得直角312P F F △和412P F F ，综上可得，椭圆上有且仅有4个点使得12PF F △为直角三角形，所以D 正确. 故选：ACD. 12．ABD【分析】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ：∈点A 在圆C 上，∈222a b r +=， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r ==，∈直线与圆C 相切，故A 选项正确；对于选项B ：∈点A 在圆C 内，222a b r ∴+<， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =>，∈直线与圆C 相离，故B 选项正确；对于选项C ：∈点A 在圆C 外，∈222a b r +>， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r =<，∈直线与圆C 相交，故C 选项错误；对于选项D ：∈点A 在直线l 上，∈222a b r +=， ∈圆心()0,0C 到直线l的距离为d r ==，∈直线与圆C 相切，故D 选项正确．故选：ABD ． 13．13【分析】设点B 为椭圆的左顶点，由题得AM AFBQ BF=，化简即得解. 【详解】设点B 为椭圆的左顶点，由题意知AM∈BQ ，且AM ＝12BQ, ∈AM AF BQ BF =，则12a ca c-=+求得a ＝3c ，即e ＝13．故答案为13【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14．1【分析】推导出数列的周期为4，再求和即可【详解】an ＋2＝－an ，42n n n a a a ++∴=-=，则数列周期为4，又314212341,2,0a a a a a a a a =-=-=-=-∴+++= 则2017项的和为()123415041a a a a a ⨯++++= 故答案为1【点睛】本题考查数列求值，准确推得周期是关键，是基础题 15．1【分析】根据向量的垂直推出1a b =＝，继而求得||||2OA OB ==式求得答案.【详解】由题意，得112a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA OB ⊥，||||OA OB =,由OA OB ⊥得22()()0a b a b a b -⋅+=-=，所以1a b =＝，由||||OA OB =得||||a b a b -=+，故22||a b a b -=+，所以·0a b ＝，所以222||||2a b a b +=+=，所以|||||2OA OB ==112OABS =, 故答案为：1 16． 1x =-32【分析】根据焦点坐标可得12p=，求得p 的值即可求解；由已知条件可得2AF FB =，取AF 的中点为C ，分别过点A ，C ，F ，B 作准线的垂线，设BN t =，则2AM t =，根据抛物线的定义以及梯形中位线的性质即可求解.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，则12p=， ∈2p =，所以抛物线方程为24y x =，准线为1x =-.如图取AF 的中点为C ，分别过点A ，C ，F ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，Q ，P ，N ．由23AB FA =-可知2AF FB =，由抛物线的定义可得：AM AF =，BN BF =，所以2AM BN =．设BN t =，则2AM t =，又2PF =，2PF BN CQ =+，所以4CQ t =-，又2PF AM CQ +=，即()2224t t +=-，解得32t =，所以32BF =．故答案为：1x =-；32【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据2AF FB =以及2PF =结合抛物线的定义、梯形中位线的性质列方程. 17．(1)an ＝4n －3(2)9(91)8=-n n S【分析】（1）由517a =及127,,a a a 成等差数列建立等式求解即可；（2）根据条件求出数列239n nn b ==，再求和即可.(1)设等差数列的公差为d ，d ≠0，由条件得()()12111417,6,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解之得11,4,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为an ＝4n －3． (2)设4n －3＝3m ，则n ＝334+m ＝(41)34-+m ＝()()111144 (14134)m mm m m m m m m C C C ----+-+-+，当m ＝2k ，k ∈N *时，(－1)m mm C ＋3＝4，所以n ∈N *，当m ＝2k －1，k ∈N *时，(－1)m mm C ＋3＝2，所以n ∈N *，所以239n nn b ==，所以9(19)9(91)198n nn S -==--．18．(1)()22225x y ++=或()22625x y -+= (2)()()221329x y -++= (3)()()22122x y -+=+ (4)()()221210x y +++=【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程. （1）设圆的标准方程为()2225x a y -+=．因为点()2,3A -在圆上，所以()()222325a -+-=，解得a =-2或a =6，所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=．（2）设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，由题意得4612a -+==，5132b --==-；又因为点()6,1-在圆上，所以()()222611329r =-+-+=．所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=．（3）设圆心为(),2a a -．因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-解得a =1．所以所求圆的圆心为()1,2-，半径r =所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+．（4）设点C 为圆心，因为点C 在直线230x y --=上，故可设点C 的坐标为()23,a a +．又该圆经过A 、B 两点，所以CA CB =．a =-2，所以圆心坐标为()1,2C --，半径r = 故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=． 19．(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】（1）依题意11tan k θ=，22tan k θ=，若选∈利用诱导公式计算可得；若选∈根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线1l 、2l ，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）按照函数的平移变换规则将直线1l 进行平移变换，即可求出1k ，从而求出直线1l 的方程，即可求出a ，再根据（1）求出直线2l 的方程，即可求出b 的值；（1）解：依题意11tan k θ=，22tan k θ=，且1θ，2θ均不为0或2π，若选∈12θθπ+=，则12θπθ=-，则()122tan tan tan θπθθ=-=-，即120k k +=；若选∈12l l ⊥，则121k k（2）解：依题意直线1l ：()111y k x -=-，直线2l ：()211y k x -=-，又1l 过(),2A a ，所以()1121k a -=-且1a ≠，即()111k a =-且1a ≠，又2l 过()2,B b ，所以()2211b k -=-且1b ≠，即21b k -=且1b ≠；若选∈，则120k k +=，所以121b k k -==-，即()()111b a =--且1a ≠、1b ≠；若选∈，则121k k ，所以()()21111b a k k -⨯=-⨯，即2b a +=且1a ≠、1b ≠；（3）解：直线1l ：()111y k x -=-，将直线1l 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到()14121y k x -⎡⎤-=-+⎣⎦，即11215x y k k --=+，所以1152k k -+=-，解得112k =，此时直线1l ：()1112y x -=-，所以()1112a =-，解得3a =；若选∈，则212k =-，此时直线2l ：()1112y x -=--，所以121b -=-，解得12b =；若选∈，则22k =-，此时直线2l ：()121y x -=--，所以12b -=-，解得1b =-； 20．420x y --=或1x =【分析】当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=．，即17k k -=-，解得4k =，则直线方程420x y --=．又所求直线的斜率不存在时，方程为1x =，适合题意．∈所求直线的方程为420x y --=或1x =．21．(1)28y x = (2)是，0【分析】（1）根据题意，设抛物线的方程为：22(0)y px p =>，则,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，(A ，进而根据16FA OA ⋅=得4p =，进而得答案；（2）直线l 的方程为8x ky =+，进而联立方程，结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案. (1)解：由题意，设抛物线的方程为：22(0)y px p =>，所以点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，点A 的坐标为(2,，因为16FA OA ⋅=，所以(2,2,162p ⎛-⋅= ⎝，即4416p p -+=，解得4p =.所以抛物线的方程为：28y x = (2)解：设直线l 的方程为8x ky =+，则联立方程288y xx ky ⎧=⎨=+⎩得28640y ky --=，所以128y y k +=，1264y y ⋅=-，因为1122(,),(,)OB x y OC x y ==，所以12121112(8)(8)OB OC x x y y ky ky y y ⋅=+=+++221212(1)8()6464(1)88640k y y k y y k k k =++++=-++⋅+=.所以OB OC ⋅为定值0. 22．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由条件可得22224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解出即可；（2）选∈证∈，当直线l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+，然后由121k k ⋅=可算出53m =-，即可证明，选∈证∈，设l ：53y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得()12240341k x x k +=+，()12264941x x k =+，然后可算出121k k ⋅=.(1)由条件可得22224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆方程为2214x y +=(2)选∈证∈：当直线l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+ 由121k k ⋅=得1212111y y x x --⋅= 即1212(1)(1)0y y x x ---=，即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+--=所以()221212(1)1()(1)0k x x k m x x m -+-++-=代入()222224(1)8(1)1()(1)04141m kmk k m m k k --+--+-=++ 所以()()222224(1)(1)81(41)10m k k m m k m ----++-= 所以()224410m m ---= 解得：1m =（舍去），53m =-所以直线过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，设l ：,x s = (,),(,)A s t B s t -所以2214s t +=，由121k k ⋅=得111t t s s ---⋅= 所以221s t +=，即224s s =，解得0s =所以直线0x =（不符合题意，舍去）综上：直线过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭，选∈证∈：由题意直线l 的斜率存在，设l ：53y kx =- 1122(,),(,)A x y B x y由221453x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得224064(41)039k x kx +-+= 则()12240341k x x k +=+，()12264941x x k =+ 所以2121212121212121288864()()()113339kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅== ()()()2222648406439941341164941k k k k k k ⋅-⋅+++==+.。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。