第十四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
第二十一届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
１ １ １ ＋ ） ＋ … ＋ （ｋ－１ ＋…＋ ｋ） ＋ …， １ ６ ２ ＋１ ２ 不难看出 ， 每一个括号内的值都大于 １ ． 这是 ２ １ １ １ ｋ ｋ －１ 因为 ，ｋ－１ ＋ ｋ－１ ＋…＋ ｋ 中有２ －２ ＋２ ２ ＋１ ２ ２
ｋ －１ 项． 除了最 后 一 项 外 ， 其它各项都大于１ ＝２ ｋ． ２
（ ） １ （ ） ２
２ ２ ２ ２ （ （ ） ｘ－ ａ ｂ ｚ－ ｃ ｒ ３ ｙ－ ３ ）＋ （ ３ ）＋ （ ３ ）＝ ３ 对这三个关 于 （ ｘ， ｚ）的 联 立 方 程 求 解 就 ｙ，
由此可以得到 １＋ １ １ … １ ＋ ＋ ＋ ｋ ２ ３ ２
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 其中 Ａ＝ ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ Ｂ＝ １－ ２＋ ２－ １＋ ２－ １＋ ２－ １， ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 便可 ｒ ｒ ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ １－ ３＋ ３－ １＋ ３－ １＋ ３－ １是 实 常 数， 解出用 ｚ 表示的 （ ｘ， ． ｙ）
五月 晚 ２ ０ ８ ９ １ ２ ８ １ ３ ３ ７ ０ 无 无 ３ １ １ １ １ ２ ８ ３ ０ ５ ７ ３ ８ ４ ８ ４ １ １ ９ ２ １ １ ６ １ ８ ４ ８ ７ ９ ９ ２ ２ ０ ３ ３ ４ ９ 早 ２ ４ ８ ９ ２ ６ ８ ６ ３ ９ ５ ４ 无 无 ４ ０ ５ ２ ３ ３ ６ ８ ６ ６ ５ ４ ２ ７ ２ ０ ３ ７ ２ ５ １ ５ ２ ３ ４ １ １ ９ ８ ０ ８ ７ ３ ４ ５ ９
六月 晚 ２ ２ ５ １ ４ １ １ １ １ ０ ３ ５ ４ ４ 无 无 ３ ０ ５ １ ６ ３ ７ ６ ３ ６ ０ １ ７ ２ ２ ５ ０ ４ ８ １ ３ ２ ９ ０ ８ ３ ３ ８ ４ ３ ５ ４ ９
第十四届全国大学生数学竞赛初赛(补赛二)试题及参考解答
第十四届全国大学生数学竞赛初赛(补赛二)试题及参考解答(非数学类, 2023年3月5日)一、 填空题(本题满分30分，每小题6分) （1）极限22231lim13(21)→∞⎡⎤+++-=⎣⎦ n n n .【解】 利用定积分的定义，得2122223011114lim 13(21)4lim 4d 23→∞→∞=⎛⎫⎡⎤+++-=-== ⎪⎣⎦⎝⎭∑⎰ n n n k k n x x n n nn . （2）设函数()f x 在1=x 的某一邻域内可微，且满足(1)3(1)42()+--=++f x f x x o x ，其中()o x 是当0→x 时x 的高阶无穷小，则曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为.【解】 由于()f x 在1=x 处可微，因而连续，故对所给等式求极限0→x ，可得2(1)4-=f ，所以(1)2=-f . 仍由所给等式，得(1)(1)(1)(1)()32+---+⋅=+-f x f f x f o x x x x，两边取极限0→x ，并根据导数的定义，得4(1)2'=f ，所以1(1)2'=f . 因此，曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)(1)'-=-y f f x ， 即 250--=x y .（3）设()=y y x 是初值问题31,(0)0(0)21，''--=⎧⎨'=⎩'=y y y y y 的解，则()=y x .【解】 对于齐次微分方程230'-=''-y y y ，其特征方程2302λλ--=的根为13λ=，21λ=-，所以230'-=''-y y y 的通解为312e e -=+x x y C C .经观察，非齐次微分方程231'-=''-y y y 的一个特解为013=-y . 所以，方程的通解为312()e e 13--=+x x y x C C .又由(0)0(0)1，'==y y 解得，113=C ，20=C ，因此()313()e 1=-x y x .（4）设可微函数(,)=z z x y 满足2222∂∂+=∂∂z z x y z x y ，又设=u x ，11=-v y x，【解】 由=u x ，11=-v y x 解得=x u ，1=+u y uv ，且11=-w z u，所以 2222111111⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-=-⋅+=-⋅+⋅+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭w z z x z y u u z u z u u z x u y u u222222111111(1)(1)⎛⎫⎛⎫∂∂+-∂∂=-+⋅+=-+⋅+ ⎪ ⎪∂∂+∂∂+⎝⎭⎝⎭z z uv uv z z z x y uv u z x y uv u 222222222211111⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-+⋅+=-++=- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭z z y z z x y z x y u u z u x y u u.因此2114==∂=-∂u v w u . （5）设0>a ，则均匀曲面2222++=x y z a (0,0,0)≥≥≥x y z 的重心坐标为.【解】 记所给曲面为∑，并设∑的面密度为常数μ， ∑的重心坐标为(,,)x y z ，由于∑的质量为221482πμπμ=⋅=a M a ，所以212dd μπ∑∑==⎰⎰⎰⎰z z S z S M a .设∑的外法向量与z 轴正向的夹角为γ，则cos γ=za，所以 2222221d cos d d d 42γπππππ∑∑∑====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰a z z S S x y a a a a a . 根据对称性，2==a x y ，因此曲面的重心坐标为,,222⎛⎫⎪⎝⎭a a a .二、(本题满分14分) 设函数202320()e d 1-=+⎰xxt f x t t ，正整数2023≤n ，求导数()(0)n f .【解】 令202320()d 1=+⎰xt F x t t ，则20232()1'=+x F x x，202222024222023(1)2()(1)+-''=+x x x F x x ，所以(0)(0)(0)0'''===F F F . ------------------- 5分对()e ()-=x f x F x 利用Leibniz 公式，再代入0x =得()()()(0)e(1)()(1)(0)---====-=-∑∑nnn xn kkk n k k k nn k k x fC Fx C F .------------------- 4分欲求()(0)k F ，对22023(1)()'+=x F x x 两边求1-k 阶导数，并利用Leibniz 公式，得2()(1)(2)2023(1)(1)()2(1)()(1)(2)()()---++-+--=k k k k x F x k xF x k k F x x ，代入0x =，并注意到2023≤≤k n ，得()(2)(0)(1)(2)(0)-=---k k F k k F . 由此递推，得(2)1(0)(1)(21)!(0)0-''==--= k k F k F ， (2+1)(0)(1)(2)!(0)0'==-= k k F k F ，因此，()()(0)(1)(0)0-==-=∑nn n k k k n k f C F . ------------------- 5分三、(本题满分14分) 设函数()f x 在区间(0,1)内有定义，+lim ()0→=x f x ，且+0()()3lim0→-=x x f x f x. 证明：+0()lim 0→=x f x x . 【证】 根据题设条件得，对于任意非负整数k ，有10()()33lim 03++→-=k k x kx xf f x .------------------- 4分令0,1,2,,1=- k n ，并求和，可得1001()(()()1333lim lim 033++→→=--=⋅=∑n n k k k x x k kx x x f x f f f x x . ------------------- 5分因此，有()(()3α-=n xf x f x x ，其中()x α是当0+→x 时的无穷小.对上式取极限n →∞，并利用条件+lim ()0→=x f x ，得()()α=f x x x . 所以 00()limlim ()0α→→==x x f x x x. ------------------- 5分四、(本题满分14分) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0=f ，(1)2=f . 证明：存在两两互异的点123,,(0,1)ξξξ∈，使得12()(2ξξ''≥f f .【证】 令()()2=-+F x f x x ，则()F x 在[0,1]上连续，且(0)2=-F ，(1)1=F .根据连续函数介值定理，存在3(0,1)ξ∈使得3()0ξ=F ，即33()2ξξ=-f .------------------- 5分在区间3[0, ]ξ，3[,1]ξ上分别利用Lagrange 中值定理，存在13(0, )ξξ∈，23(,1)ξξ∈，使得313()(0)()0ξξξ-'=-f f f ， 且323()(1)()1ξξξ-'=-f f f ， 即3132()ξξξ-'=f ，323()1ξξξ'=-f ， ------------------- 5分 所以3123321()()111ξξξξξ-''==+≥--f f ， 因此，存在两两互异的点123,,(0,1)ξξξ∈，使得12()(2ξξ''≥f f .------------------- 4分五、(本题满分14分) 设()f x 是[1,1]-上的连续的偶函数，计算曲线积分：()22d =+⎰LI x f x y ，其中曲线L 为正向圆周222+=-x y y .【解】 取圆的圆心角θ作参数，则曲线L ：22(1)1++=x y 的参数方程为：cos ,1sin θθ=+=x y (02)θπ≤≤. 因为d sin d ,d cos d θθθθ=-=x y ，所以22001sin (sin )d (cos )cos d |sin |ππθθθθθθθ-=-+⎰⎰I f .------------------- 4分其中第一项为22100(1sin )sin d (1sin )d (1sin )d 4|sin |ππππθθθθθθθθ--==--+-=⎰⎰⎰I ，------------------- 5分第二项为2220(cos )cos d (cos )cos d (cos )cos d (cos )cos d (cos())cos()d (cos )cos d (cos )cos d 0,ππππππππθθθθθθθθθθθθππθθθ==+=+++=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I f f f f f t t tf f t t t因此，原积分 124=+=I I I . ------------------- 5分六、(本题满分14分) 设函数30ln(1)()d 1sin -+=+⎰xt t f x t e t，(0)>x ，证明级数11()∞=∑n f n 收敛，且1115()36∞=<<∑n f n . 【解】 利用不等式：当(0,1]x ∈时，2ln(1)2-≤+≤x x x x ，sin ≤x x ，可得2232300ln(1)111()d d 1sin 1212631-⎛⎫⎛⎫+=≥-=->⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰xx t t t x x x f x t t t e t x x x， ------------------- 3分且2300ln(1)1()d d 1sin 2-+=≤=+⎰⎰xx t t f x t t t x e t ， ------------------- 3分 所以21111111111111()133(1)3131∞∞∞∞====⎛⎫>==-= ⎪++⎝⎭+∑∑∑∑n n n n n f n n n n n n. ------------------- 4分221111115(2266π∞∞==≤=⋅<∑∑n n f n n . 综合上述，级数11(∞=∑n f n 收敛，且1115(36∞=<<∑n f n . ------------------- 4分。
2023-2024学年北京十四中高一(上)期中数学试卷和答案
2023北京十四中高一（上）期中数 学2023.11出题人：高一备课组 审核人：高一备课组注意事项1．本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．答题不得使用任何涂改工具.第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ）A. {}2x x ≤ B. {}1x x ≥- C. {}1x x >- D. {}x x >2. 方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）A.()(){}1,1,1,1--- B.()(){}1,1,1,1-C. ()(){}1,1,1,1-- D. ∅3. 已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ）A. 1x ∀>，210x ->B. 1x ∀>，210x -≤C. 1x ∃>，210x -≤ D. 1x ∃≤，210x -≤4. 设,,R a b c ∈，且a b >，则（ ）A. 22ac bc > B.11a b< C. 22a b > D. 33a b >5. 已知0x >，0y >，22x y +=，则xy 的最大值是（ ）A.14B. 12C.49D. 16. 已知11x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么()2f =（ ）A. -1B. 12-C. 12D. 17. 函数()21f x x x=-的零点个数是（ ）A.0B. 1C. 2D. 38. 已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设函数()24,4,1, 4.2x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞ B. []1,4 C. [)4,+∞ D. (][),14,-∞⋃+∞10. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >>第二部分二、填空题共5小题．11.函数1()f x x=+的定义域为________．12. 若关于x 的方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，则实数=a ______．13. 已知函数()3,0,1,0.1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩若()02f x =，则实数0x =______；函数()f x 的值域为______14. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1．能够说明“若()f x 在区间[]0,1上的最大值为()1f ，则()f x 是增函数”为假命题的一个函数是_________．15. 调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg ，则额外奖励x 分（x 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x =时，若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 的最大值为___________.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 设全集U =R ，集合{}250A x x x =+>，集合{}4B x x m =-<，其中R m ∈．（1）当2m =时，求A B ⋂，()U A B ð；（2）若BA ⊆，求m 的取值范围．17. 已知函数()226f x x ax a =-++，其中R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象与直线5y x =交点的坐标；（2）若函数()f x 有两个不相等的负实数零点，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 在()2,+∞上不单调，求a 的取值范围．18. 已知a ，b 都是正实数，（1）试比较33+a b 与22ab a b +的大小，并证明；（2）当1a b +=时，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．19. 已知函数()261xf x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数()f x 在()0,1上单调递增；（3）画出函数()f x 的图像，并直接写出函数()f x 的值域．20. 某机床厂今年年初用98万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （N x *∈，单位：年）之间的函数关系式为：2210t x x =+．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）使用若干年后，对该机床的处理方案有两种：①当盈利额达到最大值时，以12万元价格再将该机床卖出．②当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格再将该机床卖出；研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．21. 设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．参考答案第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】利用并集的定义可求A B ⋃.【详解】[)1,A B =-+∞ ,故选：B 2. 【答案】C【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可.【详解】由2202x y x y +=⎧⎨+=⎩，消去x 得222y =，解得1y =±，所以方程组的解为11y x =⎧⎨=-⎩或11y x =-⎧⎨=⎩，所以方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集()(){}1,1,1,1--.故选：C 3. 【答案】B【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B 4. 【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，以及函数3y x =的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0c =时，可得22ac bc =，所以A 不正确；对于B 中，由11b a a b ab--=，因为a b >，则0b a -<，但ab 符号不确定，所以B 错误；对于C 中，例如1,2a b ==-，可得22a b <，所以C 错误；对于D 中，由函数3y x =为单调递增函数，所以33a b >，所以D 正确.故选：D.5. 【答案】B【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于0x >，0y >，22x y +=，所以22x y +=≥，故12xy ≤，当且仅当2x y =，即11,2y x ==时等号成立，故选：B 6. 【答案】D【分析】根据题意，令12x =，代入即可求解.【详解】由函数11x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，令12x =，可得()1221112f ==-.故选：D.7. 【答案】B【分析】令()0f x =求出方程的解，即可判断.【详解】令()0f x =，即210x x-=，解得1x =，所以函数()21f x x x=-有且仅有一个零点1.故选：B 8. 【答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若()2f x x =，则()00f =，此时()f x 为偶函数，充分性不成立；若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，则()00f =恒成立，必要性成立；∴函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.9. 【答案】D【分析】根据函数图象即可求解.【详解】作出函数的图象如下：当12a +≤时，即1a ≤，()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，当4a ≥时，()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，故a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞，故选：D10. 【答案】C【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <，同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <，同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <，所以132x x x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．第二部分二、填空题共5小题．11. 【答案】(,0)(0,2]-∞ 【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则200x x -≥⎧⎨≠⎩，故2x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为(,0)(0,2]-∞ ，故答案为：(,0)(0,2]-∞ .12. 【答案】1-【分析】设方程的两根分别为12,x x ，结合二次函数的性质得到1212,x x a x x a +==，且a<0或4a >，再由方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，列出方程，即可求解.【详解】设20x ax a -+=的两根分别为12,x x ，可得1212,x x a x x a +==，且22()440a a a a ∆=--=->，解得a<0或4a >，因为方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，所以2222121212()223x x x x x x a a +=+-=-=，解得1a =-或3a =（舍去），所以1a =-.故答案为：1-.13. 【答案】 ①. 1- ②. (],3-∞【分析】根据分段函数的性质，令032x +=、0121x =+解之即可；结合33(0)x x +≤≤和101(0)1x x <<>+即可求出函数的值域.【详解】当00x ≤时，032x +=，解得01x =-；当00x >时，0121x =+，解得012x =-（舍去），所以01x =-；当0x ≤时，33x +≤；当0x >时，1011x <<+，所以函数()f x 的值域为(,3]-∞.故答案为：1-；(,3]-∞.14. 【答案】()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈（答案不唯一）【分析】利用二次函数的性质写出一个函数即可【详解】对于函数()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()()1014f f ==，所以()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()1014f f ==，但是函数在[]0,1上不具有单调性，故命题“若()f x 在区间[]0,1上的最大值为()1f ，则()f x 是增函数”为假命题.故答案为：()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈（答案不唯一）15. 【答案】 ①. 13 ②. 36【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以0.1可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元，分0100t ≤<、100t ≥两种情况讨论，计算()f t 的表达式，结合()0.340.4f t t ≤⨯可求得x 的最大值.【详解】①若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130+=分，故该家庭该月积分卡能兑换1300.113⨯=元；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元.若0100t ≤<时，()0.10.340.40.136f t t t t =<⨯=恒成立；若100t ≥时，()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯，可得()min 0.3636x t ≤=.故x 的最大值为36.故答案为：①13；②36.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）{}06A B x x ⋂=<<，(){}56U A B x x ⋃=-≤<ð （2）{9m m ≤-或}4m ≥【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A ，解绝对值不等式求出集合B ，再根据集合的运算法则计算可得；（2）由B A ⊆，可得45m +≤-或40m -≥，解得即可.【小问1详解】由250x x +>，即()50x x +>，解得0x >或5x <-，所以{5A x x =<-或}0x >，则{}50U A x x =-≤≤ð，由4x m -<，即44x m -<-<，解得44m x m -<<+，所以{}44B x m x m =-<<+，当2m =时，{}26B x x =-<<，所以{}06A B x x ⋂=<<，(){}56U A B x x ⋃=-≤<ð.【小问2详解】因为{}44B x m x m =-<<+且B A ⊆，所以45m +≤-或40m -≥，解得9m ≤-或4m ≥，即m 的取值范围为{9m m ≤-或}4m ≥.17. 【答案】（1）()2,10，()3,15 （2）{}62a a -<<- （3）{}2a a >【分析】（1）由0a =得()265f x x x =+=，解方程即可；（2）利用转化的思想可知方程()0f x =有两个不相等的负实数根12,x x ，进而()21212Δ44606020a a x x a x x a ⎧=-+>⎪=+>⎨⎪+=<⎩，解之即可；（3）根据二次函数的性质可得2a >，即可求解.【小问1详解】当0a =时，()26f x x =+，由()265f x x x =+=，即2560x x -+=，解得12x =，23x =所以函数()f x 的图象与直线5y x =的交点为()2,10，()3,15；【小问2详解】若函数()f x 有两个不相等的负实数零点12,x x ，则方程()0f x =有两个不相等的负实数根12,x x ，有()21212Δ44606020a a x x a x x a ⎧=-+>⎪=+>⎨⎪+=<⎩，解得62a -<<-所以a 的取值范围是{}62a a -<<-；【小问3详解】依题意：二次函数()226f x x ax a =-++的对称轴方程为x a =，则2a >，即a 的取值范围是{}2a a >．18. 【答案】（1）3322a b ab a b +≥+，证明见详解 （2）证明见详解【分析】（1）利用做差法可得答案；（2）利用基本不等式可得答案．【小问1详解】结论：3322a b ab a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立.证明：()()()()33223232a baba b a ab b a b+-+=-+-()()()()22222a a b b b a a b a b =-+-=+-，因为a ，b 都是正数，所以()()20a b a b +-≥，当且仅当a b =时，等号成立，即3322a b ab a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立；【小问2详解】因为a ，b ，c 都是正数，且1a b +=，所以11111122a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5259b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立．19. 【答案】（1）()f x 是奇函数，证明见详解 （2）证明见详解 （3）图像见详解，[]3,3-【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）根据函数单调性的定义即可求解，（3）根据描点法即可求解.【小问1详解】函数()f x 是奇函数，证明如下：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()2266()11x xf x f x x x ---===--++所以函数()f x 是奇函数．【小问2详解】任取1x ，()20,1x ∈且12x x <则()()()()()()211212122222121261661111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1201x x <<<，所以210x x ->，1210x x -<，即()()()()2112221261011x x x x xx --<++从而()()12f x f x <所以函数()f x 在()0,1上单调递增【小问3详解】由于()()()()11212900,,13,2,32555f f f f f ⎛⎫=====⎪⎝⎭，故描点可得图象为，函数()f x 的值域为：[]3,3-20. 【答案】（1）224098,(N )y x x x *=-+-∈ （2）3（3）方案（2）比较合理，理由见详解【分析】（1）根据题意，即可得到使用x 年后数控机床的盈利额为y 的函数关系式；（2）由（1）中y 与x 之间的函数关系式，令0y >，列出不等式，即可求解；（3）根据题意，求得每种方案的总盈利，比较大小，即可得到结论.【小问1详解】解：由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为2210t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，可得y 与x 之间的函数关系式()22502109824098,(N )y x x x x x x *=-+-=-+-∈．【小问2详解】解：由（1）知：2*24098,()y x x x =-+-∈N令0y >，可得2240980x x -+->，解得1010x -<<+，因为N x *∈，所以317x ≤≤且N x *∈，故从第3年开始盈利.【小问3详解】解：由（1）知2*24098,()y x x x =-+-∈N 因为22240982(10)102102y x x x =-+-=--+≤，所以按第一方案处理总例如为10212114+=万元；又由98982404024012yx x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当982x x =时，即7x =时，等号成立，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12730114⨯+=万元；由于第二方案使用的时间短，则选第二方案较为合理.21. 【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7 （3）不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题(解析版)
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题考试时间:8:00-9:20填空题(1-8题每题8分，第9题16分，第10，11题每题20分，共120分)1．设整数集合{}12345A a a a a a =，，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为{}30,15,10,6,5,3,26,10,15B =------，，则集合A =.2．已知函数()201ln 102x x f x x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，，若关于x 的方程()()f f x m =恰有三个不相等的实数根123,,x x x 且满足123x x x <<，则()1229ln 4x x ++的取值范围是.3．从1,2,,2024 中任取两个数()a b a b ≤，，则37a b +的值中，个位数字为8的数有个.4．设复数z 满足32i 6z -=，令21107457iz z z z -+=-+，则1z 的最大值是.5．已知函数()*,1,,,N ,,,x x f x q q x p q p q p q p p ⎧⎪=+⎨=∈>⎪⎩若为无理数若其中且互质，则函数()f x 在区间89,910⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值为.6．对于0c >，若非零实数a b ，满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大，则342a b c -+的最小值为.7．已知函数()44cos sin sin4f x x x a x b =++-，且π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数.若方程+=0在[]0,π上有四个不同的实数解1234，，，x x x x ，则12344x x x x f +++⎛⎫ ⎪⎝⎭的平方值为.8．已知{}1,2,,2625A ⊆ ，且A 中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则A 的最大值为.9．设多项式202320240()i i f x x cx ==+∑，其中{}1,0,1i c ∈-.记N 为()f x 的正整数根的个数（含重根）.若()f x 无负整数根，N 的最大值是.10．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 上的一点，且11,A EF =为截面1A BD 上的动点，则AF FE +的最小值等于.11．数列{}n a 定义如下：设()()2!!2024!n n n +写成既约分数后的分母为(),n A n a 等于()2A n 的最大质因数，则n a 的最大值等于.2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛二试试题考试时间:9:40-12:3012．设,,a b c 是三个正数，求证：++13．如图所示，锐角ABC V 的三条高线AD ，BE ，CF 交于点H ，过点F 作//FG AC 交直线BC 于点G ，设 CFG 的外接圆为O O ，与直线AC 的另一个交点为P ，过P 作//PQ DE 交直线AD 于点Q ，连接OD ，OQ .求证:OD OQ =.14．有n 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.15．设12n a a a ，，，为n 个两两不同的正整数且12n a a a 恰有4048个质因数.如果12n a a a ，，，中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n 的最大值.1．{}2,1,1,3,5--【分析】依据总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积去分析集合A 中的各元素即可.【详解】A 中所有三元子集共有35C 10=个，A 中的每个元素在这些三元子集中均出现了10365⨯=次，故()()()()()()()612345301510653261015a a a a a =-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯，1234530a a a a a =，因为集合B 中的元素有6个负数4个正数，故集合A 中的元素有2个负数3个正数，所以1234530a a a a a =，不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，三个元素之积绝对值最大时，34530a a a =-，121a a =-，又A 为整数集合，所以11a =，21a =-或者11a =-，21a =；三个元素之积绝对值最小时，1232a a a =，又121a a =-，所以32a =-，4515a a =，因为集合A 中的元素有2个负数3个正数，故4a 、5a 均为正整数，所以43a =，55a =，故{}2,1,1,3,5A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的子集，关键是理解题目的意思，并从“总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积”这些不同的角度去分析集合A 中的各元素.2．11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】求出嵌套函数解析式4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩，作出其图象，得到0ln 2m ≤<，化简得()121ln 229221ln 4ln 2x x m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++ ⎪⎝⎭，设右边为新函数，根据其单调性得到范围.【详解】当2x <-时，则20x +<，则()()224f f x x x =++=+，当20x -≤<时，022x £+<，则()()()11ln 21ln 222f f x x x ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当0x ≥时，()()11ln ln 1122f f x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩方程(())f f x m =恰有三个不相等的实数根等价于直线y m =与函数(())y f f x =的图象有三个不同交点，因此0ln 2m ≤<.此时14x m +=且21ln 22x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14x m =-，()2ln 4ln 2x m +=+，从而()121ln 22921221ln 4ln 2ln 2x m x m m ⎛⎫- ⎪++==- ⎪+++ ⎪⎝⎭，设()1ln 2221ln 2h m m ⎛⎫- ⎪=- ⎪+ ⎪⎝⎭，则其在[0,ln 2)上单调递增，因此()1229ln 4x x ++的取值范围是11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用分段函数的解析式求出()()y f f x =的表达式，然后利用转化法、数形结合思想进行求解.。
北京第十四中2022年高三数学理联考试题含解析
北京第十四中2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则下列说法不正确的为（）A．函数的最小正周期为B．在单调递减C. 的图象关于直线对称D．将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象参考答案：D2. 设函数，则=（）A.13B.19C.37D.49参考答案：D3. 甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。
若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是( )A.甲B.乙C.丙D.丁参考答案：C4. 以下命题正确的是（）（A）当从1，2，3，4，5中任取两个数和为偶数时，则所取这两个数分别为偶数的概率为（B）线性相关的两个变量的回归方程为，则变量成正相关，相关系数为（C）“若，则或”的逆命题为假命题（D）复数，则参考答案：A5. 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为()．A．a<b<c B．b<c<a C．c <a< b D．a<c<b 参考答案：C6. 空间几何体的三视图如所示,则该几何体的体积为( )A．B．C．D．参考答案：C略7. 已知的夹角是（）A．30° B．45° C．90° D．135°参考答案：B8. 已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（?R P）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴?R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（?R P）∩Q=（1，2），故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9. 已知是函数的两个零点，且，则（）A.B. C. D.参考答案：C10. 把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A． B． C． D．参考答案：D 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面向量，，且，则向量与的夹角为．参考答案：12. 下列结论：①若命题命题则命题是假命题；②已知直线则的充要条件是；③命题“若则”的逆否命题为：“若则”其中正确结论的序号是_____________.（把你认为正确结论的序号都填上）参考答案：(1)(3)略13. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为参考答案：2略14. 设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③函数是“似周期函数”；④如果函数是“似周期函数”，那么“”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）参考答案：1,3,4．15. △ABC中，若tan B·tan C=5,则的值为.参考答案：略16. 已知函数f （x ）=是奇函数，则sinα= ．参考答案：﹣1【考点】余弦函数的奇偶性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用奇函数的定义可得sin（x+α）=﹣cosx，故可取α=﹣，从而得到sinα=﹣1．【解答】解：根据函数f（x）=是奇函数，可得sin（x+α）=﹣cosx，故可取α=﹣，故sinα=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式，属于基础题．17. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是．参考答案：7500【考点】程序框图．【分析】此框图为循环结构，故可运行几次寻找规律求解．s=0，k=1；s=3，k=3；s=3+9，k=5；s=3+9+15，n=7；以此类推直到n=50结束，故S=3+9+15+…，共50项，计算可得答案．【解答】解：由此框图可知，此题等价于S=3+9+15+…+297=．故答案为：7500．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年北京第十四中高三数学文联考试题含解析
2021年北京第十四中高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合，，若，则的值为（）．A．B．C．D．参考答案：D∵，，，∴，∴．故选．2. 某市乘坐出租车的收费办法如下：用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. 用数字组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. B. C.D.参考答案：C若四位数中不含0，则有种；若四位数中含有一个0，则有；种若四位数中含有两个0，则有种，所以共有种，选C.4. 己知{}是各项均为正数的等比数列，A．80 B．20 C．32 D．参考答案：A5. 在的对边分别为，若成等差数列，则A. B. C.D.参考答案：C因为成等差数列，所以，根据正弦定理可得，即，即，所以，即，选C.6. 若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A． B．C．D．参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可得sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosα+sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．7. 已知集合，，则A∩B=（）A．{－1,0} B．{0} C．{－1} D．参考答案：C因为成立，所以属于集合，属于集合，又因为不成立，不成立，所以不属于集合，不属于集合，综上可得，故选C.8. 在△ABC所在的平面内，点P0、P满足=，，且对于任意实数λ，恒有，则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AC=BC D．AB=AC参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得 P0、P、A、B 四点共线，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），根据恒有，可得x2﹣4（a+1）x+a+1≥0 恒成立，由判别式△≤0，解得a=0，可得点C在AB的垂直平分线上，从而得出结论．【解答】解：∵=，，∴P0、P、A、B 四点共线，以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），则A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0），∵恒有，∴（2﹣x，0）?（a﹣x，b）≥（1，0）?（a﹣1，b）恒成立，即（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立，即 x2﹣（a+2）x+a+1≥0 恒成立，∴判别式△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0，解得a2≤0，∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，∴CA=CB，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．9. 下列结论中正确的是（）①命题：的否定是；②若直线上有无数个点不在平面内，则；③若随机变量服从正态分布，且，则；④等差数列的前n项和为，若，则A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D10. 如图所示的三棱柱，其正（主）视图是一个边长为2的正方形，俯视图是一个正三角形，则该三棱柱侧（左）视图的面积为A. B.C. D.4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集是.参考答案：12. 已知[x] 表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2. x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则[x0]等于________.参考答案：2略13. 某一几何体的三视图如图所示，其中圆的半径都为1，则这该几何体的体积为.参考答案：14. 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且，现有以下判断：①；②若BD1⊥平面PAC，则；③周长的最小值是；④若为钝角三角形，则的取值范围为，其中正确判断的序号为______.参考答案：①②④【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得，由此判断②正确.将和展开成平面，由此求得的最小值，进而求得三角形周长的最小值，由此判断③错误.先求得为直角三角形时的值，由此确定的取值范围【详解】在正方体中，平面，又平面，故，①正确；由平面，在中，,由于，由射影定理得,即，,可得，故②正确；将和展开，可得的最小值为，又，故③错误；利用平面，可得当为直角三角形时，，故当为钝角三角形时，的取值范围为，④正确.所以正确判断为①②④.故答案为：①②④【点睛】本小题主要考查正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考查距离和的最值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.15. 设i 是虚数单位，则复数等于．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =．故答案为：．16. 已知函数（>0）的图像与y 轴交与P ，与x 轴的相邻两个交点记为A ，B ，若△PAB 的面积等于，则 ；参考答案：17. 口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
第十四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
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第 十 四 届 北 京 高 中 数 学 知 识 应 用 竞 赛 初 赛 试 题 及 参 考 解 答
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速 度 拍 摄 足 球 比赛 画 面 ． 们 亲 呢 地 称 它 为 “ 猫 ” 这 人 飞 ， 是 近 几 年 使 用 的 一 项新 技 术 ， 使 世 界 杯更 为 生 动 ， 它 在 刚 闭 幕 的 亚 运 会 上 也 使 用 了这 项 技 术 ． 种 摄 影 技 术 这 是 靠 四根 钢 索 协 调 动 作 来 完 成 的 ， 术 关 键 是 建 立 协 技 调牵引 ３ 立体的 比 小 包 装 的 合 算 ．如 某 种 品 牌 的 牙 大 棱 膏 ， 量 ３ 的 每 支 ２．０元 ／ ， 量 １ ０克 的 每 支 质 Ｏ克 ５ 支 质 ２
（ 满分 ２ Ｏ分 ） 们 常 常 会 发 现 在 商 店 里 买 同 一 我
８５ ． ０元 ．
行 比较 ． 说 明 取 舍 数 据 的原 因 ； 并 （ ） 这些 学 校 给 出一 个 排 名 顺 序 ． 说 明 你 的排 ２对 应
名 原 则 和方 法 ．
座 率 比较 低 ， 造成 空 间 的 浪 费 ． 导 致 这 种 浪 费 的 主要 而
原 因 就 是 那 里 的过 道 太 窄 ， 利 于 人 的 流 动 ． 为 合 适 不 较 的过道宽度在 ０８ ． ｍ一 １ ２ 之 间 ． ．ｍ 如 果 可 以适 当增 减 桌 椅 ， 么 ， 何 摆 放 座 椅 ， 那 如 使 得 人 员 的 容 纳 量 与 原 来 相 当 ， 时 提 高 通 道 的 通 畅 程 同 度 ， 出你 的 改进 方 案 ， 明理 由 ． 给 说
北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
参考答案：
四、解要估算2000年18岁的人口数．由于2000年的统计资料我们还不能按集到，我们根据以往的统计数据进行推算．即根据2Q00年以前，如 1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的数据进行推
算。
这里给出两种估算方法．一种是用年总人口数除以平均寿命，再根据人口分布情况进行调节，从而推算出18岁的人口数。
另一种我们以1998年的人口统计数据为依据，即根据1998年16岁的人口数来估算2000年18岁的人口数． 1998年中国人口统计年鉴中全国分年龄、性别的人口数表显示：1998年全国16岁人口总数为22010千人．全国分年龄、性别的死亡人口状况表显示：1998年16岁到17岁、17岁到18岁人口的死亡率分别为1.21％，1.16％。
假设每年的死亡率是个常数，则我们可以做如下的估算：
1999年17岁的人口数等于1998年16岁的人口数减去这些人成长到17岁的过程中死亡的人数．这些死亡人数由1998年16岁的人口数乘以17岁的死亡率得到．
即22010-22010×I．21％=21983（千人）．
2000年18岁的人口数等于1999年17岁的人口数减去这些人成长到18岁的过程中死亡的人数。
这些死亡人数由1999年17岁的人口数乘以18岁的死亡率得到．
即21983-21983×1.16％o=21957（千人）．
2000年18岁的人口数为21957千人．
注：从不同的资料中收集到的数据差异可能很大．只要说清楚资料的来源，并且数据处理方式合理，就可以认为答案正确，得满分．如果自己假设一些数据作为资料来源，最多给5分；若仅是数据处理方式不当，可以给7分。
2005-09-26。
2022年北京第十四中学分校高三数学理测试题含解析
2022年北京第十四中学分校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 参考答案：C略2. 如图，正方体的棱长为1，中心为，，，则四面体的体积为（）A．B． C. D．参考答案：D3. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C4. （5分）（2015?陕西一模）设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A． B．（﹣∞，1] C． D．参考答案：【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．解：由A中y=lg（3﹣2x），得到3﹣2x＞0，解得：x＜，即A=（﹣∞，），由B中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴B=（﹣∞，1]，则A∩B=（﹣∞，1]．故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5. 函数的图象大致是参考答案：A6. 已知实数满足约束条件，则的最大值是（）A．2 B．0 C．-10 D．-1 5参考答案：【知识点】简单的线性规划E5B解析：实数满足约束条件对应的平面区域如图为ABO对应的三角形区域，当动直线经过原点时，目标函数取得最大值为z=0，所以选B..【思路点拨】由x,y满足的约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合寻求取得最值的点，再代入目标函数求最值.7. 四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，△是边长为3的等边三角形.若，则球的表面积为（A）（B）（C）（D）参考答案：C略8. 已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是（）A． B．C． D．参考答案：C9. 已知在椭圆方程+=1中，参数a，b都通过随机程序在区间（0，t）上随机选取，其中t＞0，则椭圆的离心率在（，1）之内的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】CF：几何概型；K4：椭圆的简单性质．【分析】不妨设a＞b，求出a，b满足的条件，作出图形，根据面积比得出答案．【解答】解：不妨设a＞b，∵e==∈（，1），∴＜＜1，解得0＜＜，即0＜＜，∴0＜b＜a，作出图象如下：∴椭圆的离心率在（，1）之内的概率为P==，故选：A．10. 已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1||MF2|=8，则该椭圆的方程是（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1参考答案：C【考点】椭圆的标准方程．【分析】设|MF1|=m，|MF2|=n，根据MF1⊥MF2，|MF1||MF2|=8，|F1F2|=2，利用勾股定理，椭圆的定义，求出a，可得b，即可求出椭圆的方程．【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，∵MF1⊥MF2，|MF1||MF2|=8，|F1F2|=2，∴m2+n2=20，mn=8，∴（m+n）2=36，∴m+n=2a=6，∴a=3，∵c=，∴b=2，∴椭圆的方程是+=1．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是．参考答案：（1，2）【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】分析二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象和性质，可得不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）（2﹣x）的图象是开口朝上，且与x轴交于点（1，0），（2，0），故当1＜x＜2时，y=（x﹣1）（2﹣x）＞0，故不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（1，2），故答案为：（1，2）12. 如图所示程序框图，输出的结果是．参考答案：4本程序框图中循环体为“直到型”循环结构，第1次循环：，，；第2次循环：，，；第3次循环：，，；结束循环，输出．13. 给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数是用来刻画回归效果的，的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）.参考答案：②④⑤14. 在边长为1的正三角形ABC中，，，若，则λ的值为．参考答案：3【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】由确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=，即可求出λ的值．【解答】解：由题意画出图象如右图：∵，∴D为BC的中点，则=（+），∵，∴==﹣，∴=﹣=﹣﹣=（1﹣）﹣，∵=，∴（+）[（1﹣）﹣]=﹣，∴（1﹣）﹣+（1﹣）﹣=﹣，∴（﹣）﹣+（1﹣）=，∴（﹣）×1×1×﹣1+（1﹣）=，解得λ=3，故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．15. (几何证明选讲选做题)如图,是⊙O上的四个点,过点B的切线与的延长线交于点E.若,则参考答案：16. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2=7，S7=﹣7，则a7的值为．参考答案：﹣13．【分析】由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组由通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=7，S7=﹣7，∴，解方程组可得，∴a7=a1+6d=11﹣6×4=﹣13故答案为：﹣13．17. 设函数是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
北京第十四中学高三数学理月考试卷含解析
北京第十四中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数若关于x的方程f（x）=x+a有且只有两个实根，则实数a的范围是A (2,4)B [3,4]C D参考答案：B2. 已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是（）A．命题“∧”是真命题B．命题“（┐）∧”是真命题C．命题“∧（┐）”是真命题D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B略3. 已知的终边在第一象限，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件参考答案：D略4. 阅读如图所示的程序框图，若输入变量n为100，则输出变量S为（A）2500 （B）2550 （C）2600 （D）2650参考答案：B5. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（）A．和6 B．和6 C．和8 D．和8参考答案：D6. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°参考答案：C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，可得圆锥的母线是底面半径的2倍，进而得到圆锥侧面展开图的扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥的侧面积为：πrl，圆锥的底面面积为：πr2，∴若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线l是底面半径r的2倍，即l=2r，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为α，则2πl=2πr，即α=180°，故选：C【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥中，侧面展开图的扇形的圆心角α满足：α：360=r：l=S底：S侧是解答的关键．7. 已知集合，，，则的子集共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个参考答案：B8. 函数的图象大致为A．B．C．D．参考答案：C9. 若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是( )参考答案：D略10.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为3， 3， 7，则输出的s =（ ）A ．9B ．21 C. 25 D ．34参考答案：C程序运行过程如下： 第一次循环：， 第二次循环：， 第三次循环：，此时跳出循环，输出的s 值为25. 本题选择C 选项.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 点M （x ，y ）是不等式组表示的平面区域内一动点，定点是坐标原点，则的取值范围是 ．参考答案：[0，18] 略12. 设△ABC的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a, b, c ，若△ABC 的面积为S = a 2－(b －c)2，则= .参考答案：4易知：，又S = a 2－(b －c)2=，所以，所以=4.13. 计算（lg2）2+lg2?lg50+lg25= ．参考答案：2【考点】4H ：对数的运算性质．【分析】将式子利用对数的运算性质变形，提取公因式，化简求值．【解答】解：原式=2 lg5+lg2?（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2） =2 lg5+2 lg2=2； 故答案为2．14. 已知二次函数的值域为，则的最小值为 。
第十四届应用竞赛初赛试题及参考解答
第十四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答一、（满分20分）我们常常会发现在商店里买同一种商品，大包装的比小包装的合算。
如某种品牌的牙膏，质量30克的每支2.50元/支，质量120克的每支8.50元。
如果不考虑运输成本，假设一支牙膏的价格=（牙膏的生产成本＋包装成本）（1＋固定比例的商业利润率），而生产成本与商品的重量成正比，包装成本与商品包装的表面积成正比，商业的固定利润率为20%。
（1）分析下面的结果有何不妥：设220克牙膏的合理价格为x 元，于是有220120120308.508.50 2.50x −−=−−解得：x =15.17（元）（2）请你给出一种方式，计算出一支220克的这种牙膏的合理价格.（3）给出该商品的单位质量的价格C 与质量M 的关系，说明当M 增加时C 会减少。
（4）到市场上做一个调查，对照（2）中的方式，看看是否符合实际，若不符合，请给出适当的分析。
解：（1）问题在于，求解用的是线性模型，价格11152y x =+，其中x 是牙膏的质量（克）。
这样把牙膏的生产成本和包装成本等同地看成了x 的一次函数，随着x 的增加而等幅度的增加。
这与题目中“包装成本与商品包装的表面积成正比”不符合。
（2）可以将不同规格但同种的商品外包装看作是相似的，由题设，商品的价格=1.2×（牙膏的生产成本＋包装成本）；又，生产成本∝商品的质量M ，包装成本∝商品的表面积S ，商品的体积V ∝M 。
于是S ∝23V ∝23M 。
可设：合理价格y =a ×M +b ×23M ，其中a ，b 是待定系数。
由同种商品的两种规格的已知价格可定出a ，b ，于是解方程组23233030 2.501201208.50a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得a ≈0.05，b ≈0.1，于是y =0.05×M +0.1×23M 。
取M =220时得：y =14.64(元)，这是我们所要的结果，也就是220克的同种牙膏售价14.64元。
2021-2022学年北京市第十四中学高二上学期期中考试数学试卷含详解
2021北京十四中高二（上）期中数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1.过()2,0-和()0,2两点的直线的斜率是（）A.1B.1- C.π4D.3π42.圆()2224x y -+=的圆心坐标和半径分别为（）A.()0,2,2B.()2,0,2 C.(2,04),- D.()2,0,43.已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为A. B.C.6D.84.在空间直角坐标系中，点P (1，2，-3)关于坐标平面xOy 的对称点为（）A.(-1，-2，3)B.(-1，-2，-3)C.(-1，2，-3)D.(1，2，3)5.已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，且a b ∥，那么b = （）A. B.6C.9D.186.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的值是（）A.0B.2C.2- D.2±7.两圆1C ：2226260x y x y ++--=和圆2C ：224240x y x y +-+-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（）A.25 B.35C .13D.239.已知直线l 的方程为20x my -+=，则直线l （）A.恒过点()2,0-且不垂直x 轴B .恒过点()2,0-且不垂直y 轴C.恒过点()2,0且不垂直x 轴D.恒过点()2,0且不垂直y 轴10.已知向量(1,,2)a x = ，(0,1,2)b = ，(1,0,0)c = ，若a ，b ，c共面，则x 等于（）A .1- B.1C.1或1-D.1或011.若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A.)1,++∞B.)1C.()1- D.()1+12.已知点M (a ，b )，(ab ≠0)是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是2ax by r +=那么（）A.l //m 且m 与圆C 相切B.l ⊥m 且m 与圆C 相切C.l //m 且m 与圆C 相离D.l ⊥m 且m 与圆C 相离二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．13.已知点A （1,1,-4），B （2,-4,2），C 为线段AB 上的一点，且AC ＝12AB，则C 点坐标为____________________．14.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()14,0F ，()24,0F -，并且该椭圆上一点M 到点1F ，2F 的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为________.15.已知圆C ：224x y +=，直线m 的倾斜角为60︒且与圆C 相切，则切线m 的方程为____________________．16.在ABC 中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -，给出ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.条件①ABC 周长为10②ABC 面积为10③ABC 中，90A ∠︒＝方程2125C y ：＝()22240C x y y +≠：＝3C ：()221095x y y +≠＝则满足条件①轨迹方程为______；满足②的轨迹方程为______；满足③轨迹方程为______（用代号123C C C 、、填入）.17.已知点()2,0M -，()2,0N ，直线l ：340x y m +-=上存在点P ，满足PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是________.18.如图，在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且1//A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为__．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.19.已知圆M 过点(A ，()10B ,，()3,0C -．（1）求圆M 的方程；（2）设直线l 经过点()0,2，且与圆M 相交于A ，B 两点，且AB =，求直线的方程．20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，AF BE ，AF ⊥平面ABCD ，且22AB BE AF ===．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（3）求点A 到平面CDE 的距离．21.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是3，求m 的值；（3）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．22.已知椭圆C ：22142x y +=，（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(0,M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.2021北京十四中高二（上）期中数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1.过()2,0-和()0,2两点的直线的斜率是（）A.1B.1- C.π4D.3π4【答案】A【分析】由斜率公式2121y y k x x -=-可得.【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率02120k -==--.故选：A2.圆()2224x y -+=的圆心坐标和半径分别为（）A.()0,2,2B.()2,0,2C.(2,04),- D.()2,0,4【答案】B【分析】根据圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>形式直接确定出圆心和半径.【详解】因为圆的方程为：()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，半径2r =，故选B.【点睛】本题考查给定圆的方程判断圆心和半径，难度较易.圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，其中圆心是(),a b ，半径是r .3.已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为A.B.C.6D.8【答案】A 【分析】利用222a b c =+，求得a 的值.【详解】由于222a b c =+，所以22428,a a =+==故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.4.在空间直角坐标系中，点P (1，2，-3)关于坐标平面xOy 的对称点为（）A.(-1，-2，3)B.(-1，-2，-3)C.(-1，2，-3)D.(1，2，3)【答案】D【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可.【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy 对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，所以点P (1，2，-3)关于坐标平面xOy 的对称点为(1，2，3).故选：D5.已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，且a b ∥，那么b = （）A. B.6C.9D.18【答案】A【分析】根据空间向量共线的充要条件求出,x y 的值，然后代入模的计算公式即可求解.【详解】因为a b ∥，且向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =- ，所以3121x y-==-，解得：6,3x y ==，所以b == ，故选：A.6.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的值是（）A.0 B.2C.2- D.2±【答案】B【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.【详解】由题意可知0a ≠，因为直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，所以1142a a -=≠，解得2a =，故选：B7.两圆1C ：2226260x y x y ++--=和圆2C ：224240x y x y +-+-=的位置关系是（）A.外离B.相交C.外切D.内含【答案】B 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，进而求出圆心距，根据圆心距12C C 满足121212r r C C r r -<<+，可判断出两圆的位置关系.【详解】圆1C 的标准方程是22(1)(3)36x y ++-=，圆心是1(1,3)C -，半径是16r =，圆2C 的标准方程是22(2)(1)9x y -++=，圆心是2(2,1)C -，半径是23r =，所以两个圆心的距离是125C C =，所以1239C C <<，即121212r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：B.8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（）A.25B.35C.13D.23【答案】D【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线1A E 与BC 所成的角即可．【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)，则1(2,1,2),(2,0,0)A E BC =--=-所以111cos ,||||A E BCA E BC A E BC ⋅<>=42323==⨯，所以异面直线1A E 与直线BC 所成角的余弦值为23，故选：D ．9.已知直线l 的方程为20x my -+=，则直线l （）A.恒过点()2,0-且不垂直x 轴B.恒过点()2,0-且不垂直y 轴C.恒过点()2,0且不垂直x 轴D.恒过点()2,0且不垂直y 轴【答案】B【分析】由直线l 的方程，令0y =，对m 分类讨论即可求解.【详解】由直线l 的方程为20x my -+=，令0y =，解得2x =-．∴直线恒过点()2,0-，若0m ≠，则直线()12y x m=+不垂直y 轴，若0m =，则直线2x =-不垂直于y 轴，综上所述，恒过点()2,0-且不垂直y 轴.故选：B ．10.已知向量(1,,2)a x = ，(0,1,2)b = ，(1,0,0)c = ，若a ，b ，c共面，则x 等于（）A.1-B.1C.1或1- D.1或0【答案】B【分析】根据向量共面关系a mb nc =+，建立坐标等式即可得解.【详解】向量(1,,2)a x =，(0,1,2)b =，(1,0,0)c =，由a，b，c共面，a mb nc =+，即(1,,2)(0,1,2)(1,0,0)(,,2)x m n n m m =+=122n x m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1x m n ===，1x ∴=．故选：B ．11.若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A.)1,++∞B.)1C.()1- D.()1+【答案】A【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围．【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行，且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线，圆222x y r +=的圆心为原点，原点到直线20x y --=的距离为d ==∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为1d '=，又 圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>，即1r >+，实数r 的取值范围是)1,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．12.已知点M (a ，b )，(ab ≠0)是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是2ax by r +=那么（）A.l //m 且m 与圆C 相切B.l ⊥m 且m 与圆C 相切C.l //m 且m 与圆C 相离D.l ⊥m 且m 与圆C 相离【答案】C【分析】根据弦与圆心和中点连线垂直的关系求得直线l 的斜率，从而判断与直线m 的关系；由圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系.【详解】由直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线MC 与直线l 垂直，即1MC l k k ⋅=-，由MC b k a =知，l a k b=-，则l //m ，又圆心到直线m的距离为2d =，由点M 在圆内知，222a b r +<，则2d r =>，即m 与圆C 相离.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．13.已知点A （1,1,-4），B （2,-4,2），C 为线段AB 上的一点，且AC ＝12AB，则C 点坐标为____________________．【答案】33(,,1)22--【分析】设C （x ，y ，z ），由已知条件，可推得(1,1,4)AC x y z =--+ ，(1,5,6)AB =-，再结合向量的相等性准则，即可求解．【详解】设C (,,)x y z ，A （1,1,-4），B （2,-4,2），(1,1,4)AC x y z ∴=--+ ，(1,5,6)AB =-12AC AB = ，11251243x y z ⎧-=⎪⎪⎪∴-=-⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得32321x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴C 点坐标为33(,,1)22--.故答案为：33(,,1)22--.14.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()14,0F ，()24,0F -，并且该椭圆上一点M 到点1F ，2F 的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为________.【答案】221259x y +=【分析】由1210MF MF a +==，可求出a ，由焦点坐标可得到c 的值，进而结合222b a c =-，可求出2b ，即可得到椭圆的方程.【详解】设椭圆的方程为22221x y a b+=，因为1210MF MF +=，所以210a =，即5a =，又4c =，所以22222549b a c =-=-=，所以椭圆方程为221259x y +=.故答案为：221259x y +=.15.已知圆C ：224x y +=，直线m 的倾斜角为60︒且与圆C 相切，则切线m 的方程为____________________．【答案】40y --=40y -+=【分析】根据已知条件，先设出直线m 的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解．【详解】由直线m 的倾斜角为60︒，设直线m的方程为y t +0y t -+=，而圆C ：224x y +=的圆心(0,0)C ，半径2r =，由直线m 与圆C2=，解得4t =-或4t =，所以切线m40y --=40y -+=.40y --=或40y -+=.16.在ABC 中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -，给出ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.条件①ABC 周长为10②ABC 面积为10③ABC 中，90A ∠︒＝方程2125C y ：＝()22240C x y y +≠：＝3C ：()221095x y y +≠＝则满足条件①轨迹方程为______；满足②的轨迹方程为______；满足③轨迹方程为______（用代号123C C C 、、填入）.【答案】①.3C ②.1C ③.2C 【分析】①中可转化为A 点到B C 、两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知A 点到BC 距离为常数，轨迹为两条直线；③中90A ∠︒＝，可用向量法求得轨迹方程．【详解】①ABC 的周长为10，即10AB AC BC ++＝，因为4BC ＝，所以6AB AC BC +＝＞，故动点A 的轨迹为以B C 、为焦点的椭圆，则2222,3,5c a b a c ===-=，且点A 不在x 轴上，所以轨迹方程为()221095x y y +≠＝与3C 对应；②ABC 的面积为10，所以1102BC y ⋅=，即5y ＝，即225y =，与1C 对应；③因为90A ∠︒＝，所以()()222,2,40AB AC x y x y x y ⋅=-----=+-= ，且点A 不在x 轴上，即()2240x y y +=≠，与2C 对应.故答案为：3C ；1C ；2C 17.已知点()2,0M -，()2,0N ，直线l ：340x y m +-=上存在点P ，满足PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是________.【答案】[]10,10-【分析】由PM PN ⊥，可知点P 在以MN 为直径的圆上，可求出该圆的方程，又点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可，即可列出关系式，求出m 的取值范围.【详解】因为PM PN ⊥，所以点P 在以MN 为直径的圆上，该圆的圆心为()0,0O ，半径为2，圆的方程为224x y +=，又因为点P 在直线l 上，所以点P 在直线l 和圆224x y +=的交点处，若点P2≤，即10m ≤，解得1010m -≤≤.故答案为：[]10,10-.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是根据PM PN ⊥，得出点P 在以MN 为直径的圆上，结合点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.18.如图，在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且1//A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为__．【答案】43【分析】由正三棱柱的性质，结合线面平行、线面垂直分析知：P 在连接侧棱1BB ，1CC 中点的线段l 上，Q 在过l 与平面MBC 垂直的平面与面ABC 相交的线段m 上，过P 作1//PD BB 交BC 于D ，连接QD ，若PQ 交面BMC 于E ，连接ED ，应用已知线段长度、相关角的大小，结合勾股定理求A 到BC 的距离、QD ，即可确定Q 的轨迹为线段m 过ABC 的重心且与BC 平行的线段，进而求其长度.【详解】 P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P 平面BCM ，∴P 点的轨迹是过1A 点与平面MBC 平行的平面与侧面11BCC B 的交线，即：连接侧棱1BB ，1CC 中点的线段l ，Q 是底面ABC 内的动点，PQ ⊥面BCM ，∴Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与面ABC 相交的线段m ，过P 作1//PD BB 交BC 于D ，连接QD ，若PQ 交面BMC 于E ，连接ED ，易知1,,,,A P D Q E 共面，且BC ⊥面PDQ ，即∠EDQ 为M -BC -A 的平面角，如上图，∴PD QD ⊥，而1AM =，而A 到BC 的距离d =6EDQ π∠=，故3PDE π∠=，∵1PD =，即1cos 2ED PD PDE =⋅∠=，而3cos 3ED QD EDQ ==∠，∴13QD d =，即Q 所在线段m 过ABC 的重心且与BC 平行，由正三棱柱111ABC A B C -中棱长均为2，故线段m 的长为：24233⨯=，故答案为：43.【点睛】关键点点睛：应用线面平行、线面垂直的性质，判断P 、Q 运动轨迹的特征，结合几何体的性质，在三角形中应用线段长、角度大小及勾股定理，确定Q 点轨迹的位置.三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.19.已知圆M 过点(A ，()10B ,，()3,0C -．（1）求圆M 的方程；（2）设直线l 经过点()0,2，且与圆M 相交于A ，B 两点，且AB =，求直线的方程．【答案】（1）22(1)4x y ++=（2）0x =或324y x =+【分析】（1）利用向量0CA AB ⋅= ，得CA AB ⊥，进而可求出圆心和半径，得到圆C 的方程；（2）由已知，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，列出相应方程，即可求出直线l 的斜率，进而得到直线l 的方程.【小问1详解】(4,0)BC =-，4BC = ，CA = ，(1,AB = ，且0CA AB ⋅=，得CA AB ⊥，故BC 为直径，BC 的中点即为圆的圆心，半径为2r =，故圆心为()1,0M -，所以，圆M 的方程为22(1)4x y ++=【小问2详解】设圆心到直线的距离为d，则AB ==，解得1d =，对于直线l ，当直线l 的斜率不存在时，l 为0x =，满足AB =当直线l 的斜率存在时，设l 为2y kx =+，故1d ==，解得34k =，故此时l 为324y x =+；综上，直线的方程为0x =或324y x =+20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，AF BE ，AF ⊥平面ABCD ，且22AB BE AF ===．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（3）求点A 到平面CDE 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）π6（3【分析】（1）连结BD ，设AC BD O = ，设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，推导出四边形AOGF 为平行四边形，从而AC FG ∥，由此能证明//AC 平面DEF ．（2）以A 为原点，,AD AB AF ,所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 与平面CDE 所成角的大小．（3）利用向量法可求点A 到平面CDE 的距离【小问1详解】连结BD ，设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则OG BE ，且12OG BE =．由已知AF BE ∥，且12AF BE =，所以AF OG ∥，AF OG =．所以四边形AOGF 为平行四边形．所以AO FG ，即AC FG ∥．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，所以//AC 平面DEF ．【小问2详解】由已知AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,AD AB AF ,两两垂直，以A 为原点，,AD AB AF ,所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图），因为22AB BE AF ===，所以()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()0,2,2E ，()0,0,1F ，所以()2,2,0AC = ，()0,2,0CD =- ，()2,0,2CE =- ，设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得20220y x z -=⎧⎨-+=⎩，取1x =，得()1,0,1n = ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则21sin cos ,2222AC n θ==⨯ ，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．即直线AC 与平面CDE 所成角为π6．【小问3详解】()2,2,0AC = ，平面CDE 的一个法向量为()1,0,1n = ，则点A 到平面CDE的距离AC n d n ⋅=== 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角大小的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题．21.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【分析】（1）推导出BC ⊥平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明⊥AE 平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以BC ⊥平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以⊥AE 平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，33=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅=,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．22.已知椭圆C ：22142x y +=，（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(0,M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.【答案】（1）2（2）24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）最大值P 的坐标是(0,【分析】（1）根据已知条件，求出a ，c ，再结合离心率公式，即可求解；（2）先求出直线m 的方程，联立直线与椭圆方程可得，求解x ，即可推得另一个交点B 的坐标；（3）设()00,P x y ，因为P 在椭圆上，所以符合椭圆方程，再根据距离公式得到PM ，结合椭圆的有界性得到PM 的最大值及此时点P 的坐标.【小问1详解】因为224,2a b ==，所以2,a b c ====所以椭圆的离心率2c e a ==.因为直线m 过椭圆左顶点()2,0A -，且斜率为1，所以直线m 的方程为2y x =+，联立222142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得23840x x ++=，解得1222,3x x =-=-，所以点B 的坐标为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭.【小问3详解】设()00,P x y ，因为P 在椭圆上，所以2200142x y +=即220042x y =-，因为(0,M ，所以PM ====，因为0y ≤≤，所以当0y =时，PM 取得最大值P 的坐标是(0,.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题（1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解.。
2025届北京十四中高三适应性调研考试数学试题含解析
2025届北京十四中高三适应性调研考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．设不等式组030x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．17243．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ） A ．55π B ．255πC ．455πD ．855π4．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．5．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ） A ．长轴在y 轴上的椭圆 B ．长轴在x 轴上的椭圆 C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线6．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎭B ．3⎛ ⎝⎭C ．5⎛ ⎝⎭D ．6⎛ ⎝⎭7．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．22log log b a <B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <8．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．89．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．310．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．11．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ） A ．22B ．1 C ．0D ．2-12．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．35二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。