【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册《二次函数与一元二次方程》知识点梳理

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华师大版-数学-九年级上册-第二十二章一元二次方程

第二十二章一元二次方程错误！嵌入对象无效。

应知一、基本概念一元二次方程：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一元二次方程的根：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．【注意】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的解，还要检验这些根是否符合题意，符合题意的才真正是实际问题的解．二、基本法则1. 解一元二次方程的方法直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

配方法：配方法是将一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）变形为()nm x 2=+的形式，然后求解的方法。

其理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x2. 解一元二次方程的步骤①因式分解法解一元二次方程的步骤：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零，可各解得一个根。

华东师大版初三数学上册一元二次方程知识点-2019年学习文档

华东师大版初三数学上册一元二次方程知识点只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，查字典数学网整理了一元二次方程知识点，具体内容请看下文。

知识点
1.一元二次方程得一般形式特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式。

2.“a≠0”是一元二次方程的一个重要组成部分，也是它的一个判断标准之一，但b、c可以为0。

若没有出现bx，则b=0;没有出现c，则c=0。

3.可以通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤得到一元二次方程得一般形式。

【一元一次方程的解】
1.一元二次方程的解(根)的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。

又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。

2.一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。

这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量。

ax12+bx1+c=0(a≠0)，ax22+bx2+c=0(a≠0)
3.对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说当判别式
△=b2-4ac>0时方程有两个解△=b2-4ac=0时方程有一个解△=b2-4ac
一元二次方程知识点的全部内容就是这些，预祝大家在新学期可以更好的学习。

【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册22-1认识一元二次方程-概念

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册22-1认识一元二次方程-概念______年______月______日____________________部门2．1 认识一元二次方程（一）课题21世纪教育网 2.1 认识一元二次方程课型新授课教学目标1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。

通过“未铺地毯区域有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。

教学重点一元二次方程的概念教学难点如何把实际问题转化为数学方程学情分析本课通过丰富的实例：未铺地毯区域有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。

学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。

通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。

教学后记教学内容及过程教师活动学生活动一、通过实例引入新课1．在开始新的一个单元的时候，要向学生讲清楚本单元的主要内容和总体目标，这样可以让学生对本单元的内容做到整体把握和概览。

2．进人本单元的第一节：认识一元二次方程?板书课题，明确本节课的中心任务。

3．播放“未铺地毯区域有多宽”的课件，说明题目的条件和要求，课件要求制作得精美并且可以清楚得显示出各个量之间的关系。

4．给学生时间思考：如何明确并用数学式子表示出题目中的各个量？5．让学生回答他们的答案是什么，1．认真听讲，对本单元(一元二次方程)有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。

2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；3．很有兴趣地观看课件，对“未铺地毯区域有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。

2019精选教育华东师大版年九年级数学上册22.1 一元二次方程课件 (共29张PPT).ppt

3x2x20 二次项系数： 3 ,一次项系数： 1 ,常数项： 2
27 x 3 2 x2;
2x2+ 7x30 二次项系数： 2 ,一次项系数： 7 ,常数项： 3
2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
1 3 x2 x 2; 27x 3 2x2; 3 x 2 x 1 3 x x 2 0; 4 2x x 1 3 x 5 4.
2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
1 3 x 2 x 2;
m 1 x 2 3 x 5 m 4 0有一根为 2 ,求 m .
解：将x 2代入原方程，
得4m1 65m 4 0,
解得m 6.
练习
（1）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解：
① 2 x x 1 4 x 1 2 ， 1 ， 1 ， 2 ; √√
解：去括号，得 3 x 2 3 x 2 x 4 8 ,
化简，得 3 x 2 5 x 1 2 0 . 二次项系数是 3，一次项系数是 5，常数项是 12.
巩固练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说
明理由.
1 3x 2 1 x2;2 y y 5;
2.补充作业（选做）
（1）一元二次方程 2x24x10的二次项
系数、一次项系数及常数项之和为
.
（2）试判断关于 x 的方程 x2-kx2xk1x
是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、

华东师大版初三数学上册《一元二次方程的解法4.一元二次方程根的判别式》(华东师大版)

华东师大版初三数学上册《22一元二次方程是中学数学的要紧内容之一，在初中数学中占有重要地位。

我们从知识的进展来看，学生通过一元二次方程的学习，能够对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。

初中数学中，一些常用的解题方法、运算技巧以及要紧的数学思想，在本章教材中都有比较多的表达、应用和提升。

我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

专门多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。

而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，第一就要学会一元二次方程的解法。

解二次方程的差不多策略是将其转化为一次方程，这确实是降次。

本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的差不多原理并把握其具体方法。

【知识与能力目标】1.能运用根的判别式，判定方程根的情形和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范畴.【过程与方法目标】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度价值观目标】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探究、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确明白得与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、知识回忆用配方法一元二次方程20(a 0)ax bx c ++=≠【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情形，回忆已有知识.二、摸索探究，猎取新知观看解题过程，能够发觉:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c 的值，然后求出b2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.我们回忆一元二次方程求根公式的推导过程发觉：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:1x =2x ;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-2ba ;（3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例.不解方程判定下列方程的根的情形： (1)232302x x --=(2)2162490x x -+= (3)290x -+=(4)2231028x x x x +=+解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x2-（2m -3）x+m+1=0,（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：（1）m ＜14且m ≠-1;（2）m=14;（3）m ＞14 .【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化明白得1.方程x2-4x+4=0的根的情形是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B3.假如一元二次方程2m x-4x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范畴时( )A.m＜4B.m＜4且m≠0C.m＜1D.m＜1且m≠04. k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x ＋9＝0有两个不相等的实数根？5.已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0（1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当k取何值时，方程没有实数根？【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情形（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.略。

华师大版数学九年级上册课件：22.1一元二次方程

１、概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是２，这样的整式方程叫做一元二次方程。
２、一般形式 ax2 bx c 0, (a 0)
小结
一
概念ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
元
一元，二次，整式方程
二
次
方
一般形式
ax2+bx+c=0,(a ≠0)
程
22.1一元二次方程
问题１：绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多１０米，那么绿地的长和宽各为多少？
一元
二次
整式方程
问题２：学校图书馆去年年底有图书５万册，预计到明年年底增加到7.2万册。示这两年的年平均增长率。
一元
二次
整式方程
一元二次方程

华师大版2019秋九年级数学上册专题 3.类比归纳专题：一元二次方程的解法

类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一一元二次方程的一般解法方法点拨：形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二一元二次方程的特殊解法一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程：（1）x 2－5x －6＝0；（2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14，两边开平方，得x －52＝±14，即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2，两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2）＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1）＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3）＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5；当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.。

【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册《一元二次方程》参考教案

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册《一元二次方程》参考教案______年______月______日____________________部门教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识．数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．难点：根的作用的理解．关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、情境引入【问题情境】问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、探索新知【活动方略】学生活动：请口答下面问题．（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【设计意图】主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．三、范例点击例1 将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号得，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．【活动方略】学生活动：学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．【设计意图】进一步巩固一元二次方程的基本概念．例2 猜测方程的解是什么？【活动方略】学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【设计意图】探究一元二次方程根的概念以及作用．四、反馈练习课本P4 练习1、2题补充习题：1．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）；（2）．【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.五、应用拓展例3：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17 ≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．例4：有人解这样一个方程．解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？由得到x+5=1或x－1=7，应该是x+5=1且x－1=7，同时成立才行，此时得到x=－4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的．【活动方略】教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。

华师大版九年级上册2一元二次方程课件

m2=1所以m3+2 m2+202X=1+202X=202X
练习
例1 判断
①x2＋y－6＝0；（
1
2
②x ＋

＝2；（
③x2－x－2＝0；（
判断一个方程是否是一元
）
二次方程，有两个关键点：
）
整理前是整式方程且只含
一个未知数；
）
④x2－2＋5x3－6x＝0；（
⑤2x2－3x＝2(x2－2) （
ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
课堂小结
本节课的内容是什么？你有哪些收获或困惑？只含
有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，
叫做一元二次方程；（2）一元二次方程的一般情势是
:ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0).其中ax2叫做二
次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次
探索新知
问题1：新型冠状病毒传播速度很快，如果一个人感染了经过
两轮传播后一共有169人被感染，请问平均一个人传染几个？
分析：设一个人传染了x个人，经过两轮一共有 x2个人感染。
由题意得x2=169视察这个方程：有几个未知数？未知数最高
次数？
问题2：一乡村要搭建一块面积为900平方米的矩形养鸡场，
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5x－1)2＝x＋3化成一般情势ax2＋bx＋c＝0
后，若a＝2，则b＋c的值是________．
一元二次方程的
解（根）
1. 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做
一元二次方程的根(解)．
2. 要点精析：
项系数；c叫做常数项。

华师版九年级数学上学期《二次函数》整章电子课本

第27章二次函数要用长20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y =x (20-2x ).试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？§27.1 二次函数问题1 （本章导图中的问题）如图27.1.1，要用总长为20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB 的长为x m ，先取x 的一些值，算出矩形的另一边BC 的长，进而得出矩形的面积y m 2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2） x 的值是否可以任意取？试指出它的取值范围.（3）我们发现，当AB 的长（x ）确定后，矩形的面积（y ）也就随之确定，y 是x 的函数，试写出这个函数的关系式．问题2图27.1.1某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 分析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元（0≤x ≤2），该商品每天的利润为y 元，y 是x 的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y ＝x （20－2x ）（0＜x ＜10）即 y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）问题2中的函数关系式为y ＝（10－x －8）（100＋100x ）（0≤x ≤2），即 y ＝－100x 2＋100x ＋200 （0≤x ≤2）. 观察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数（quadratic function ）．练习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm ．（1）当它的一条直角边长为4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；（2）设这个直角三角形的面积为S cm 2，其中一条直角边长为x cm ，求S 关于x的函数关系式．2. 已知正方体的棱长为x cm ，它的表面积为S cm 2，体积为V cm 3．（1）分别写出S 与x 、V 与x 之间的函数关系式；（2）这两个函数中，哪个是x 的二次函数？习题27.11. 设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3．（1）分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式；（2）这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1）求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2）求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m 2）（第4题）§27.2 二次函数的图象与性质回顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y＝ax2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数y＝ax2的图像与性质．例1画二次函数y＝x2的图象．解列表．在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图27.2.1所示．图27.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y ＝x 2、y ＝2x 2的图象，可以看出：当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a ＞0时，函数y ＝ax 2具有这样的性质：当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝0时，函数 y＝ax 2取得最小值，最小值y ＝0．思考观察函数y ＝－x 2、y ＝－2x 2的图象，试作出类似的概括，当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2有些什么特点？它反映了当a ＜0时，函数y ＝ax 2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2；（2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1）抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2）抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1）当半径r 分别为2、2.5、3时，求圆的面积S （π取3.14）；（2）画出函数S ＝πr 2的图象．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质问题1试研究二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象．分析将函数关系式配方，得y ＝2（x －1）2＋1．我们设法寻求它与y ＝2x 2图像的联系．为此，先看几个简单的例子．例2在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图像．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图27.2.2所示．图27.2.2观察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概括通过观察，我们发现：当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1．反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质：当x_____时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最____值，最____值y＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y＝2x2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？3.试说出函数y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图27.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图27.2.3观察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思考这两个函数的图象之间有什么关系？概括通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质．思考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系．在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系．试一试（1）填写下表．（2）从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3）进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1）在图27.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y ＝2（x －1）2 的图象作比较．（2）试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1）在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2）分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？3.你能说出函数y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析因为 y ＝－21x 2＋x －25＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象．解列表．画出的图象如图27.2.4．图27.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2．做一做（1）请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2）通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4；（2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2；（4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y ＝2x 2＋4x ；（2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7；（4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4；（2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1；（4） y ＝x 2－4x ＋7．应用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题．问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图27.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x -＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-=1.5．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．练习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4；（2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ；（4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ；（6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）图27.2.53. 求二次函数的函数关系式问题2如图27.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图27.2.6分析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图27.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）．（1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是y ＝－0.2x 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式．例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值．例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注意求二次函数的关系式，常运用待定系数法.首先应根据已知条件，写出适当的形式．练习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2）已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；（3）已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？3.将抛物线3212+--=x x y 向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 习题27.21. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1；（4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2． 2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．（1）y ＝x 2－3x －4；（2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1；（4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ；（6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标．（1）y ＝4x 2－4x ＋1；（2）y ＝－4x 2－9；（3）y ＝－4x 2＋3x ；（4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；（2）已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；（3）已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)§27.3 实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题．问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图27.3.1（1）所示．图27.3.1根据设计图纸已知：在图27.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图27.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D 的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？问题3 画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴交点的坐标是什么？（2）当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程432--=x x y 有什么关系?（3）你能从中得到什么启发? 试一试根据问题3的图象回答下列问题．（1）当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？（2）能否用含有x 的不等式来描述（1）中的问题？练习1. 画出函数y ＝x 2－2x －1的图象，求方程x 2－2x －1＝0的解．（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和的图象321+=x y ，如图27.3.3，认为它们交点A 、 B 的横坐标－23和2就是原方程的解．图27.3.2图27.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论．做一做利用图27.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．（1） x 2＋x －1＝0（精确到0.1）；（2） 2x 2－3x －2＝0．习题27.31. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约1.6m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中在运动员前4 m 处（即OC ＝4）达到最高点，最高点高为3.2 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？（精确到0.1米）2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1）写出售价x （元/件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式；（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 3. 利用函数的图象求下列方程的解．（1） x 2＋x －12＝0；（2）2x 2－x －3＝0． 4. 利用函数的图象求下列方程组的解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=;,23212x y x y （2）⎩⎨⎧-=--=.,132x x y x y图27.3.4 (第1题)小结一、知识结构二、概括1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题．2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增加而增加（或减小）？何时函数取得最大（小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）．3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数y＝ax2（a≠0）的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数）的形式，抓住它与y＝ax2的图象之间的联系来研究．要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法．复习题A组1.填写表中的空格．2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．（1） y ＝1－3x 2；（2） y ＝x 2－4x ＋5；（3） y ＝x 2－6x ；（4） y ＝－3x 2＋6x －1．3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y ＝x 2－2x －4；（2） y ＝1＋6x －x 2；（3） y ＝－x 2＋4x ；（4） y ＝41x 2－x ＋4．4. 已知函数y ＝2x 2－3x －2．（1）画出函数的图象；（2）观察图象，说出x 取哪些值时，函数的值为0． 5. 填空：（1）抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____ ________；（2）抛物线y ＝－2x 2＋5x －3与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____ ________．6. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点（－1，0），求a 的值，并写出这条抛物线的顶点坐标.7. 求满足下列条件的对应的二次函数的关系式．（1）抛物线经过（2，0）、（0，－2）和（－2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标是（6，－4），且过点（4，－2）．B 组8. 已知二次函数y ＝（x －2）2－1．（1）先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象；（2）观察图象确定：x 取什么值时，① y ＝0；② y ＞0；③ y ＜0． 9. 说出下列函数的图象是将抛物线y ＝3x 2经过怎样的平移得到的．（1）232-=x y ；（2）2)21(3-=x y ；（3）4)21(32+-=x y ；（4）y ＝3x 2－6x ．．10. 观察下面的表格．（1）求a 、b 、c 的值，并在表内的空格中填上正确的数；（2）设y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的顶点坐标与对称轴． 11. 若抛物线y ＝x 2－x －2经过点A （3，a ）和点B （b ，0），求点A 、点B ．12. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）间有下述的函数关系式：s ＝0.01x ＋0.002x 2．现该车在限速140 km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ．请推测刹车时，汽车是否超速？C 组13. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ．求这个门洞的高度．（精确到0.1 m ）(第13题)（第14题）14. 如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m ．（1）建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2）若该运动员身高1.8 m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m 处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？15. 某市经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分．（1）试求出过A 、C 、D 三点的二次函数的关系式（2）利用（1）的结果，分别求出当x ＝2和x ＝5时该二次函数的函数值，并分别与点B 、点E 的纵坐标比较；（3）利用（1）中的二次函数的关系式预测该开发区第6年的财政收入可能达到的数值．（精确到0.1亿元）（4）(第15题)。

【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册《二次函数y=ax^2的图象和性质》参考教案

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册《二次函数y=ax^2的图象和性质》参考教案______年______月______日____________________部门教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称【探究 l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.2．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象.12学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1 下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是 .（2）函数y=x2，y=，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.解：（1）可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=x2，x轴下方的为y=-2x2【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a<0时，开口向下.|a|越大，开口越小.（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x<0时，y的值随x的增大而变化的情况解：(1)将x=1，y=2代入y=ax2中，得2=a×12 ∴a=2.(2)根据函数y=2x2知x<0时y随x的增大而减小.【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x<0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小..（五）当堂检测反馈1. 抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是 y轴 .抛物线y=-x2的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是 y轴 .2. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 .【分析】a与-2互为相反数3. 在同一坐标系中：①y=，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大的是①，最小的是③y=2x2，开口向下的是②y=-x2.解：∵||<|-1|<|2|,∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小.∵函数y=-x2中，二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下.4. 二次函数y=2x2， y=-2x2 ，y=的图象共同点是①顶点相同，都是原点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2, ∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,即a=,.∴y=x2, ∴当x>0时，y随x的增大而增大.作业。

华师大版数学九年级下册同步课件：2第2课时二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系

2
∴方程2x2-2=5x+1的解是x1=-,x2=3.
(2)整理得2x2-5x-3=0,
因式分解,得(2x+1)(x-3)=0.
解得x1=-
1 2
,x2=3.
课堂小结
判别式△=b2-4ac
△>0
△＝0
△＜0
二次函数 y=ax2+bx+c （a>0）
的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）
一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根. (1)用描点法作二次函数 y= ax2+bx+c的图象；
(2)视察估计二次函数 y= ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标；
(3)确定方程ax2+bx+c=0的解;
随堂演练
1.抛物线y=-x 2 +4x-4与坐标轴的交点个数为( C )
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
视察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求. 但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.

华师大版-数学-九年级上册-22.1 一元二次方程第2课时教案

一元二次方程教学目标：知识技能目标通过探索，学会解决有关营销的问题和平均比变化率的问题.过程性目标经历探索过程，培养合作学习的意识，体会数学与实际生活的联系.情感态度目标通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.重点和难点：重点：列一元二次方程解决实际问题.难点：寻找实际问题中的相等关系.教学过程：一、创设情境我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q元，比去年同期增长x%；环境污染比去年降低y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．二、探究归纳例1 阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2．解设原值为1，平均年增长率为x，则根据题意得2)1(12=+⨯x解这个方程得12,1221--=-=xx．因为122--=x不合题意舍去，所以%4.4112≈-=x．答这两年的平均增长率约为41.4%．探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：原数（1 ＋平均增长率）n=_______________。

（n为相距时间）原数（1 －平均减少率）n= ________________。

例2、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）课堂练习1.某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率．（精确到0.1%）2、某种服装，平均每天可销售20件，若每件降价1元，则每天可多售5件。

华东师大版数学九年级上册22章第一节认识一元二次方程-概念 (共18张PPT)

2020/7/22
☞ 做一做
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
2020/7/22
☞ 做一做
挑战自我
解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图
案的长（为8－2x） m,宽为（5－2x）m,根据题意,可得方
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6 如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6m;
6m xm
根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2 ＝102
2020/7/22你能化简这个方程吗?
☞ 回顾与思考
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二
次方程的一般形式，其中ax２， bx ， c分别称为二次项、
一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
2020/7/22
☞ 探索思考
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
x2 ＋ (x＋1)2 ＋ (x＋ 2)2 ＝(x＋3)2 ＋ (x＋4)2 .
你能化简这个方程吗?
2020/7/22
☞ 做一做
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法中考一元二次方程及其解法聚焦素材 (新版)华东师大版

中考一元二次方程及其解法聚焦一元二次方程及解法是中学数学的重要内容，与解法有关的问题更是中考的必考内容，为了帮助大家了解这部分知识在中考中的考查形式及求解方法，在“知己”的基础上“知彼”，现结合中考试题将这部分知识考查情况归纳如下：一、基础篇(一)概念例1（盐城市）已知x=1是一元二次方程x2－2mx+1=0的一个解，则m的值是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或－1析解：本题考查了一元二次方程根的定义，按照根的定义首先将x=1代入该方程解得m=1，故选A。

点评：此类题求解一般将所给的解直接代入所给方程，从而转化为解待定系数的方程。

注意二次项的系数不为0。

(二)一元二次方程的解法1、配方法例2（淮安市）方程x2+4x=2的正根为（）A．2－6 B．2+6 C．－2－6 D．－2+6析解：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解，原方程配方得：（x+2）2=2+4=6，解这个方程得：x+2=±6,x1=－2+6,x2=－2－6，由此可得这个方程的正根是－2+6，故选D。

2、公式法例3（福州市）解方程：x2+8x+1=0析解：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解，这里a=1，b=8，c=1，则b2－4ac=82－4×1×1=60,所以x=2608±-=21528±-=－4±15,则x1=－4+15,x2=－4－15.3、因式分解法例4（天门市）方程x（x+3）=（x+3）的根为（）A、x1=1,x2=3B、x1=1,x2=－3C、x=1D、x=－3析解：本题等号的两边都有x+3，故知适合用因式分解法来解，原方程移项得：x（x+3）－（x+3）=0，提取公因式x+3得：（x －1）（x+3）=0，解得x 1=1，x 2=－3。

点评：解一元二次方程关键是方法的选择。

当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。

【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册22-2-2-1用配方法求解一元二次方程

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册22-2-2-1用配方法求解一元二次方程______年______月______日____________________部门2．2 用配方法求解一元二次方程（二）课题2．2用配方法求解一元二次方程（二）课型新授课教学目标1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程． 2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．教学重点用配方法求解一元二次方程．教学难点理解配方法．教学方法讲练结合法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。

3、解方程：（1）x 2+4x+3=0 （2）x 2―4x+2=0二、新授： 1、例题讲析：例3：解方程：3x 2+8x―3=0分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。

解：两边都除以3，得： x 2+83 x―1=0移项，得：x 2+83 x = 1配方，得：x 2+83 x+(43 )2= 1+(43 )2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方）学生回答 21世纪教育网演板(x+43 )2=(53 )2即：x+43 =±53所以x 1=13 ，x 2=―32、用配方法解一元二次方程的步骤：21世纪教育网（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根。

3、做一做：一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系： h=15 t―5t 2小球何时能达到10m 高？21世纪教育网三、巩固：练习：P39随堂练习四、小结：1、用配方法解一元二次方程的步骤。

[来源:21世纪教育网]（1）化二次项系数为1；（2）移项；（3）配方：（4）求根。

华师大版-数学-九年级上册-22.1 一元二次方程教案

22.1一元二次方程教学目标：1．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.3．会用试验的方法估计一元二次方程的解.教学重难点：1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”.2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性.教学过程：一做一做：1．问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【解析】我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x (x ＋10)＝900整理可得x 2＋10x －900=0. （1）2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.【解析】设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x )＝5(1＋x )2万册.可列得方程5（1＋x ）2=7.2,整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2）3．思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.02=++c bx ax那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：（1）都是整式方程;（2）只含有一个未知数;（3）未知数的最高次数是2.二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0). 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项.三、例题讲解与练习巩固例1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由. （1）（2）（3）（4）【答案】（2）是一元二次方程.例2. 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）; （2）（x -2）(x +3)=8; （3）【解析】一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.例3. 方程（2a —4）x 2—2bx +a =0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？本题先由同学讨论，再由教师归纳.【答案】当a ≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b ≠0时是一元一次方程；例4. 已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+3x -5m +4=0有一根为2，求m .【解析】一根为2即x =2,只需把x =2代入原方程.练习：1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项（1）; （2） 2x (x -1)=3(x -5)-4;（3）【答案】（1）2x 2+3x -2=0; 二次项系数2、一次项系数3和常数项-2（2）2x 2-5x +19=0 二次项系数2、一次项系数-5和常数项192ax bx 3523-=+x x 42=x 2112x x x =-+-22)2(4+=-x x y y =262)2()43)(3(+=-+x x x 02=++c bx ax x x 3222-=()()()()2311222-+=+--y y y y（3）2y 2-7y +6=0 二次项系数2、一次项系数-7和常数项62.关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？【答案】在m ≠3时是一元二次方程；在m =3且n ≠0时是一元一次方程3.已知x =0是关于的一元二次方程（k - 1）x 2+3kx +4 -4︱k ︳=0的解，求k .【答案】k =-1.四、小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.五、作业：0)3(2=++-m nx x m 02=++c bx ax。

【初中教育】2019华师大版初中数学九年级(初三)上册《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(2)》参考教案

——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019华师大版初中数学九年级（初三）上册《二次函数y=ax^2＋bx＋c的图象和性质（2）》参考教案______年______月______日____________________部门【教学任务分析】教学目标知识技能1.利用类比法探索待定系数法解二次函数的具体步骤.2.总结待定系数法求二次函数解析式的类型.过程方法经历待定系数法求二次函数解析式的探究过程，体会数学建模的思想.经历总结交流待定系数法的类型，培养学生的合作意识.情感态度通过探索和总结，让学生体会到学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．重点1.利用类比法探索待定系数法解二次函数的具体步骤.2.总结待定系数法求二次函数解析式的类型.难点利用类比法探索待定系数法解二次函数的具体步骤.【教学环节安排】环节教学问题设计教学活动设计情境引入1.完成下列各题（1）已知正比例函数经过点（2,6），求正比例函数解析式？（2）已知一次函数经过点（0,4）（7,10），求一次函数的解析式？2.请你观察正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b的解析式，找出解析式中的系数，结合做过的题目，分析如果要确定正比例函数和一次函数解析式，分别需要几个点，列几个方程，为什么？独立完成题目，组内核对答案.总结交流利用待定系数法求正比例函数和一次函数分别需要几个点，列几个方程，为什么？自主探数学活动一练习1.我们学习了几种形式的二次函数解析式，分别写出来，猜想它们分别需要几个点才能求出解析出示练习1，放给学生，让学生们在组内自己讨论解决，鼓励学生勇于表究合作交流式？练习2.（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-8），求抛物线的解析式？（2）已知抛物线的对称轴是y轴，顶点是（0,2），且经过点（1，3），求抛物线的解析式？（3）已知二次函数顶点在x轴上，且对称轴为x=2，经过（1,3）点，求抛物线的解析式？小组数学活动1——归纳练习2是通过二次函数的特点求出二次函数解析式的，通过练习请你归纳：若题目中给出顶点坐标为原点，应先设二次函数解析式为____________;若题目中给出对称轴为y轴，则应设二次函数解析式为___________;若题目中给出顶点在x轴上，则应设二次函数解析式为_______________________.数学活动二练习3.如果一个二次函数的图象经过（-1,10）（1,4）（2,7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.小组数学活动2——归纳练习3是通过三个点求出二次函数解析式达、善于表达、乐于表达的习惯，培养学生独立解决问题的能力.并动手完成.出示练习2，类比正比例函数和一次函数的待定系数法，先独立完成.教师利用学案出示小组数学活动1，学生要先独立思考，然后在小组里交流，教师选择一个小组进行展示.其他小组若有不同意见，待其说完，进行补充.练习4，选一个小组到黑板上进行板练，并由板练的小组进行讲解.讲解完成后，在小组里和的，因此我们把它称之为“三点式”，通过练习请你归纳：若题目中给出了三个点，应先设二次函数的解析式为____________，然后________________________,最后求出a、b、c，写出解析式.数学活动三练习4.如果一个二次函数的顶点为(2,4)且经过点（4,10），能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.小组数学活动3——归纳练习4是借助顶点式解析式的特点，求出解析式，因此我们把它称之为“顶点式”通过练习请你归纳：若题目中给出了顶点，应先设二次函数的解析式为___________,然后_________,最后求出解析式. 你的同伴进行交流，总结“三点式”待定系数法的一般步骤.完成小组数学活动2.练习6，选一个小组到黑板上进行板练，并由板练的小组进行讲解.讲解完成后，在小组里和你的同伴进行交流，总结“顶点式”待定系数的一般步骤.完成小组数学活动3.尝试应用1.抛物线的顶点坐标是（1，2），且经过点（0，1）求出这个二次函数的解析式.2.二次函数经过（1,0），（0,3）对称轴x= -1.求出这个二次函数的解析式.教师利用学案出示题目，要求学生独立完成.教师选择三个小组到黑板上练习，并由板练的小组进行讲解.3.一个二次函数的图象经过（0,0）（-1，,1）（1,9）三点，求这个二次函数的解析式.成果展示总结课堂上利用到的待定系数法的类型；“三点式”和“顶点式”的步骤.（1）先在小组里进行交流，形成统一意见.（2）把组内的意见在课堂上进行展示.教师组织小组交流并参与到其中.教师组织进行课堂展示.补偿提高1.已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过（2,8）求二次函数解析式.2.已知抛物线2222y x m m=+-的最小值为-1，根据下列条件求m的值①抛物线经过原点②抛物线的最小值为-13.已知二次函数的图象与x轴交于A（-2,0）B（4,0）两点，与y轴交于点C（0,4）求二次函数解析式；学生独立完成，针对前几个环节出现的问题，学生进行针对性的补偿.做完后在小组里进行交流，核对答案.作业设计必做：课本第42页第9题，第10题.选做：如图所示，二次函数2y ax bx c=++的图象经过A,B,C三点.（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出作业设必做题和选做题，体现要求的层次性，以满足不同学生的需要.必做题学生做到作业此二次函数的表达式.（2）求出抛物线的顶点坐标和对称轴. 上，教师进行批改；选做题学生根据自己掌握的情况，进行选择性完成.y C5A x4 -1-3B。