【名师一号届高考数学大一轮总复习第六章不等式、推理与证明计时双基练基本不等式文北师大版-课件
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_3基本不等式课件理新人教A版
[解析] (1)由 lg 2x＋lg 8y＝lg 2 得，lg 2x＋3y＝lg 2， ∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y) ＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时，等号成立.
(2)y＝1＋3x＋
1 x－1
＝3(x－1)＋
1 x－1
＋4.令x－1＝t，t≥1，∴y＝3t＋
跟踪训练 (1)(2018·湖南期末)函数y＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若
定点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，则3m＋n的最小值为( )
A．13
B．14
C．16
D．12
解析：由题意知A(1,3)，
点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，∴m1 ＋3n＝1.
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(4)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
[三基自测]
1．(必修5·习题3.4A组改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有 最小 值是2 p(简记：
积定和最小 )． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有 最大值是p42(简记：
和定积最大 )．
4．几个常用的重要结论： (1)ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋1a≥2(a＞0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a＜0，当且仅当a＝－1时 取等号)．
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式课
（全国通用）2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课时分层训练文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课时分层训练文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用）2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课时分层训练文新人教A版的全部内容。
课时分层训练（三十二)不等式的性质与一元二次不等式A组基础达标（建议用时:30分钟）一、选择题1．已知a>b，c〉d，且c,d不为0，那么下列不等式成立的是( ）A．ad〉bc B．ac>bdC．a－c〉b－d D．a＋c>b＋dD［由不等式的同向可加性得a＋c〉b＋d。
]2．已知函数f（x)＝错误!则不等式f（x）≥x2的解集为（)【导学号：31222197】A．［－1，1］B．［－2,2］C．[－2，1] D．［－1，2]A［法一：当x≤0时,x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①当x〉0时,－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为［－1，1]．]3．设a，b是实数，则“a>b〉1”是“a＋错误!>b＋错误!”的( )【导学号：31222198】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A[因为a＋错误!－错误!＝错误!，若a〉b〉1，显然a＋错误!－错误!＝错误!>0，则充分性成立，当a＝错误!，b＝错误!时，显然不等式a＋错误!〉b＋错误!成立，但a〉b〉1不成立，所以必要性不成立．］4．（2016·吉林一模)已知一元二次不等式f（x）<0的解集为错误!，则f（e x）〉0的解集为( )A．{x|x〈－1或x〉－ln 3｝B．｛x|－1〈x〈－ln 3｝C．{x|x>－ln 3} D．｛x|x<－ln 3}D[设－1和错误!是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，∴a＝－错误!＝错误!,b＝－1×错误!＝－错误!，∵一元二次不等式f（x)〈0的解集为错误!，∴f(x)＝－错误!＝－x2－错误!x＋错误!，∴f（x）>0的解集为x∈错误!。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.4 基本不等式课件 理 高三全册数学课件
2021/12/8
第三十一页，共四十六页。
(2)因为函数 g(x)＝logax＋1(a>0 且 a≠1)的定点为(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2＝1，所以m1 ＋1n＝ m1 ＋1nm2 ＋n2＝12＋12＋2nm＋2mn≥1＋2 2nm·2mn＝2，当且仅当2nm＝ 2mn，即 m2＝n2 时取等号，所以m1 ＋1n的最小值为 2.
解析：f(x)≤－2 时，f(x)max＝－4.
－x·－1x－2＝－4，当且仅当 x＝－1
2021/12/8
第十一页，共四十六页。
4．(2018·天津卷)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋81b的最
1 小值为 4 .
解析：由 a－3b＋6＝0，得 a＝3b－6，所以 2a＋81b＝23b－6＋213b ≥2 23b－6×213b＝2×2－3＝14，当且仅当 23b－6＝213b，即 b＝1 时等 号成立．
2021/12/8
第二十六页，共四十六页。
2021/12/8
第二十七页，共四十六页。
9 (2)f(x)＝8cos29x＋16＋cos22x－1＝cos28x＋2＋cos22x＋2－32，因
9 为 cos2x＋2>0，所以 f(x)≥2×34－32＝0，当且仅当cos28x＋2＝
cos22x＋2，即 cos2x＝－12时等号成立，所以 x 的最小正值为 n＝π3，
2021/12/8
第三十二页，共四十六页。
课外拓展
拓视野 提能力 冲刺名校
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 64 基本不等式课件 理
A．60 件
B．80 件
C．100 件
D．120 件
2021/12/13
第三十四页，共四十六页。
解析 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是80x0元，仓 储费用是8x元，总的费用是80x0＋8x≥2 80x0·8x＝20，当且仅当80x0＝8x，即 x ＝80 时取等号。故选 B。
答案 B
值为27。
答案
7 (1)2
2021/12/13
第二十三页，共四十六页。
(2)已知 x＋3y＝1(x>0，y>0)，则 xy 的最大值是________。
解析 (2)因为 x>0，y>0，所以 xy＝13·x·3y≤13x＋23y2＝112，当且仅当 x
＝3y＝12时， 等号成立，故 xy 的最大值是112。
2021/12/13
第三十五页，共四十六页。
对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确 挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的 范围，然后再利用基本(均值)不等式求最值。
2021/12/13
第三十六页，共四十六页。
【变式训练】 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器 生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关 系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________ 万元。
)
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
2021/12/13
第二十页，共四十六页。
解析 (2)因为 x>2，所以 x－2>0，所以 f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6.4基本不等式课件理
命题趋势
基本不等式：a＋2 b≥ ab 基本不等 (a≥0，b≥0) 式及其应 (1)了解基本不等式的证明
用 过程. (2)会用基本不等式解决简
单的最大(小)值问题.
对基本不等式的考查，主 要是利用不等式求最值， 5 年 22 考 且常与函数、数列、解析 几何等知识结合在一起 进行考查.
第四页，共33页。
2
基础自主梳理
第五页，共33页。
「基础知识填一填」
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；(2)ab＋ba≥2(a，b 同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
对于 D，因为 ab>0， 所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2. 答案：D
第十页，共33页。
2．(2017 届郑州模拟)设 a>0，b>0，若 a＋b＝1，则a1＋b1的最小值是( )
A．2
B．14
C．4
D．8
解析：由题意a1＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ba×ab＝4，当且仅当ab＝ba，
第二十七页，共33页。
(2)∵x>0，a>0， ∴f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a， 当且仅当 4x＝ax， 即 4x2＝a 时，f(x)取得最小值． 又∵f(x)在 x＝3 时取得最小值， ∴a＝4×32＝36. 答案：(1)－83，＋∞ (2)36
第二十八页，共33页。
求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值 范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不 等式，体现了主元与次元的转化．
近年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标35基本不等式(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标35 基本不等式编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标35 基本不等式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标35 基本不等式的全部内容。
第35讲基本不等式[解密考纲］考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．在解答题中也渗透基本不等式的应用．一、选择题1．已知f(x)＝x＋错误!－2(x〈0)，则f（x)有（C)A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4解析∵x＜0，∴f(x)＝－错误!－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝错误!，即x＝－1时，取等号．2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( C）A．a＋b≥2错误!B．错误!＋错误!〉错误!C．错误!＋错误!≥2D．a2＋b2〉2ab解析∵ab＞0，∴错误!＞0，错误!＞0，∴错误!＋错误!≥2错误!＝2，当且仅当a＝b时取等号．3．若a≥0,b≥0，且a(a＋2b)＝4,则a＋b的最小值为( C）A． 2 B．4C．2 D．2错误!解析∵a≥0,b≥0,∴a＋2b≥0,又∵a(a＋2b)＝4,∴4＝a(a＋2b)≤a＋a＋2b24，当且仅当a＝a＋2b＝2时等号成立．∴（a＋b)2≥4，∴a＋b≥2.4．函数y＝^错误!（x〉1）的最小值是（A）A．2错误!＋2 B．2错误!－2 C．2错误!D．2解析∵x＞1,∴x－1＞0。
∴y＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝x－1＋错误!＋2≥2错误!＋2＝2错误!＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．5．若正数a，b满足a＋b＝2，则错误!＋错误!的最小值是( B)A．1 B．错误!C．9 D．16解析错误!＋错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!≥错误!(5＋2错误!）＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，b＋1＝2(a＋1)时取等号，故选B．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a〈b)，其全程的平均时速为v,则( A）A．a〈v〈错误!B．v＝错误!C．错误!<v<错误!D．v＝错误!解析设甲、乙两地相距s,则平均速度v＝错误!＝错误!.又∵a＜b，∴错误!＞错误!＝a.∵a＋b＞2错误!，∴错误!＜错误!＝错误!,∴a＜v＜错误!.二、填空题7．设P(x，y）是函数y＝错误!(x〉0)图象上的点，则x＋y的最小值为__2错误!__.解析因为x＞0，所以y＞0,且xy＝2。
高考数学大一轮复习-第六章 不等式与推理证明 第4课时 基本不等式课件 理 北师大版
(2) 依 题 意 得 ， P→A ·(P→B ＋ P→C ) ＝ 2 P→A ·P→D ＝ － 2| P→A |·| P→D |≥ － 2|P→A|＋2 |P→D|2＝－|A→2D|2＝－12，当且仅当|P→A|＝|P→D|＝12时取等号， 因此P→A·(P→B＋P→C)的最小值是－12，选 D.
0＜x≤16， (2)由限制条件知0＜16x2≤16， ∴1018≤x≤16. 设 g(x)＝x＋10x01018≤x≤16， 由函数性质易知 g(x)在1018，16上是增函数， ∴当 x＝1018时此时16x2＝16，
g(x)有最小值，即 f(x)有最小值 1 296×1018＋88010＋12 960＝38 882(元)． ∴当长为 16 米，宽为 1018米时，总造价最低，为 38 882 元．
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第4课时 基本不等式
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．基本不等式
如果 a、b 都是正数，那么a＋2 b≥
ab，当且仅当a＝b 时，等 a＋b
号成立，称上述不等式为基本不等式．其中 2 称为 a、b 的算
答案：D
2．已知 x>0，y>8.
证明：∵x>0，y>0，z>0，
∴yx＋xz≥2 xyz>0，xy＋yz≥2 yxz>0，
xz＋yz≥2 zxy>0，
∴yx＋xzxy＋yzxz＋yz≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
的条件．
解析 当x＝12时，x2＋14＝x即lgx2＋14＝lgx，故A不正确． 运用基本不等式时需保证一正、二定，三相等，而当x≠kπ(k ∈Z)时，sin x正负不定，故选项B不正确． 由x2＋1＝(|x|)2＋1≥2|x|可知选项C正确． 当x＝0时，x2＋1 1＝1，故D错． 答案 C
届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.3 基本不等式课件 文 北师大版
1．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.a1＋b1>
2 ab
C.ba＋ab≥2
D．a2＋b2>2ab
解析 因为 ab>0，即ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2
ab×ba＝2。当且仅
当ba＝ab时取等号。 答案 C
2．若 x>0，y>0，且 x＋y＝13，则 xy 的最大值为( )
解法二：由 x＋3y＝5xy，得 x＝5y3－y 1， ∵x>0，y>0，∴y>51。
1 ∴3x＋4y＝5y9－y 1＋4y＝153＋95·y－5 15＋4y－15≥153＋2 当 y＝12时取等号， ∴(3x＋4y)min＝5。
3265＝5，当且仅
解析
错误。cos x≠co 4 s x。
(4)x>0 且 y>0 是x y＋y x≥2 的充要条件。(
)
解析 (5 )若
√ 错误。x y＋y x≥2 的充要条件是 xy>0。
a≠0，则 a 2 ＋a 12的最小值为 2 。(
)
解 (3)析 函数正 f(确 x)＝ 。 c 因 os为 x＋ a≠ co 4 0 s ， x， 所 x以 ∈0 a ， 2 >π 2 0的 ，最 故小 a2 值 ＋ 等 a 12 ≥ 于2 4 。 。(
变式训练 2 (1)(2015·湖南卷)如果实数 a，b 满足a1＋b2＝ ab，那么 ab
的最小值为( )
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析 由已知a1＋b2＝ ab，可知 a，b 同号，且均大于 0。 由 ab＝1a＋2b≥2 a2b，得 ab≥2 2。 即当且仅当1a＝2b，即 b＝2a 时取等号，故选 C。 答案 C
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式课件 文
时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C．
12/11/2021
(2)由 x＞0，得x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2 x1·1x＋3＝15，当且仅当
x＝1 时，等号成立．则 a≥15，故选 A．
(3)∵正实数 x，y 满足 2x＋y＝2，
则2x＋1y＝12(2x＋y)2x＋1y＝125＋2xy＋2yx≥125＋2× 当且仅当 x＝y＝23时取等号．
)
(3)x>0，y>0 是xy＋xy≥2 的充要条件．
()
(4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a．
()
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
12/11/2021
答案
2．(教材改编)设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
[常用结论] 重要不等式链
若 a≥b＞0，则 a≥
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
12/11/2021
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的
打“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2．
()
(2)函数 f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，π2的最小值等于 4． (
12/11/2021
解析答案
5．若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2 的最小值为________．
2 2 [由 xy＝1 得 x2＋2y2≥2 2x2y2＝2 2. 当且仅当 x2＝2y2 时等号成立．]
12/11/2021
解析答案
课堂 题型全突破
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 基本不等式练习 理-课件
第六章 不等式、推理与证明 6.4 基本不等式练习 理[A 组·基础达标练]1．[2016·孝感调研]“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >b >0⇒a 2＋b 2>2ab 充分性成立，ab <a 2＋b 22⇒a ≠b ，a ，b ∈R ，故不必要，故选A.2．[2016·广州综合测试一]已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 C解析 由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2x ＋1 ·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号，故选C.3．[2015·黄浦二模]已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋ba≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析 当a ，b 都为负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 正确．4．[2015·绵阳一诊]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1B ．6C ．9D ．16答案 B解析 解法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)·(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1＝2×3＝6.(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”) 解法二：因为1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10＝b a ＋9a b ＋1＋9－10≥2b a ·9a b ＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”)． 解法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6(当且仅当b ＝4时取“＝”)． 5．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( ) A ．有最大值－6 B ．有最小值6 C ．有最大值2 D ．没有最小值答案 B解析 ∵x >4，∴y ＝x ＋1x －4＝(x －4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4＋4≥2 x －4 ⎝⎛⎭⎪⎫1x －4＋4＝6，当且仅当x －4＝1x －4，此时x ＝5，故选B. 6．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6答案 C解析 由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y＝5(x >0，y >0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y≥15⎝⎛⎭⎪⎫13＋212y x·3x y＝15(13＋12)＝5.当且仅当12y x ＝3xy，即x ＝2y 时，等号成立， 此时由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝12.故选C.7．[2016·洛阳月考]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋a8b 的最小值为________．答案 1解析 依题意得1a ＋a 8b ＝a ＋b 2a ＋a 8b ＝12＋b 2a ＋a 8b ≥12＋2b 2a ×a8b＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b 2a ＝a 8b a ＋b ＝2即a ＝2b ＝43时取等号，因此1a ＋a8b的最小值是1.8．[2015·南昌模拟]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 9＝x ＋3y ＋xy ＝x ＋3y ＋13·(x ·3y )≤x ＋3y ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，所以(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 所以x ＋3y ≥6或x ＋3y ≤－18(舍去)． 当且仅当x ＝3y ＝3时取“＝”．9．已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，ab 的最大值为________．答案 14解析 圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心为(2，－1)， 因为直线过圆心，所以2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1. 所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以ab 的最大值为14.10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[B 组·能力提升练]1．[2015·青岛一模]在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)． 则函数f (x )＝(e x)*1ex 的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 B解析 依题意可得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x ＋1e x ＝e x＋1e x ＋1≥2e x·1ex ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x)*1ex 的最小值为3，选B.2．[2015·唐山二模]若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．9 B ．2 3 C ．3 2 D ．2 6答案 D解析 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc .∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c ＝263时取等号，∴a ＋b ＋c ≤2 6.3．已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．答案 2 2解析 ∵a >b >0，∴a －b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝ a －b 2＋2ab a －b＝a －b ＋2a －b≥2 a －b ·2a －b＝2 2. 当且仅当a －b ＝2a －b，即a ＝b ＋2时等号成立． 4．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x，x ∈N *，g (x )在(0,22]上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增，且g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83. 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞. 5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x x ＋1 ＋900]x＋1800×6＝900x＋9x ＋10809≥2900x·9x ＋10809＝10989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)∵不少于210吨，每天用面粉6吨， ∴至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元则y 2＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.9＝900x＋9x ＋9729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝x 2－x 1 100－x 1x 2x 1x 2.∵x 2>x 1≥35，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0,100－x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x，当x ≥35时为单调递增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值， 此时(y 2)min ＝704887<10989.∴该厂应接受此优惠条件．。
高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 第35讲 不等式的性质与基本不等式课件 文 新人教A
第35讲 不等式的性质与基本不等式
【学习目标】 掌握不等式的性质和基本不等式a＋2 b≥ ab (a，b≥0)，会应用不等式的性质进行数或式的大 小比较，会利用不等式的性质研究不等关系，会 应用基本不等式求解简单的最值问题．
【基础检测】
1．设 a<b<0，则下列不等式中不能成立的是( B )
ab A.d>c
ab ab B.d<c C.c>d
ab D.c<d
【解析】因为 c<d<0，所以－c>－d>0，所以 －1d>－1c>0.又 a>b>0，所以－ad>－bc，所以da<bc， 故选 B.
【点评】(1)对于不等式的性质，关键是理解 和运用，要弄清每一条性质的条件和结论，注意 条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发 生变化；不等式的性质包括“单向性”和“双向 性”两种情况，“单向性”主要用于证明不等式， “双向性”主要用于解不等式，因为解不等式必 须是同解变形，因而要准确把握不等式的性质．
(2)传递性：a>b，b>c⇒__a_>_c__； (3)可加性：a>b⇔__a_＋__c_>_b_＋__c___；a>b，c>d ⇒___a_＋__c_>_b_＋___d__；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒__a_c_>_b_c__；a>b，c<0⇒ ___a_c<__b_c_；a>b>0，c>d>0⇒__a_c_>_b_d__；
(2)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b， ③a>0>b，④a>b>0，能推出1a<b1成立的有( C )
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第3讲 基本不等式课件 文 北师大版
本题利用不等式把条件等式转化为关于所求 式子的不等式来解决，体现了转化思想和换元方法的应用．
1.已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
最小值是( B ) A．3 C.92
B．4 D．121
解析:法一：因为 x>0，y>0，
所以 2xy＝x·(2y)≤x＋22y2， 所以 8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋x＋22y2.
，即 1
x＝3
时等号成立．
5．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地 的最大面积是__2_5_m__2__． 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10，
所以 S＝xy≤x＋2 y2＝25，当且仅当 x＝y＝5 时取等号．
考点一 利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择 题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角 度：
第六章 不等式、推理与证明
第3讲 基本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：__a_≥_0_，__b_≥_0___． (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b___时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋ b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为___2_____，几何平均
[解] (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 0<x<8 时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋1x00－38－3＝35－x＋10x0.
－13x2＋4x－3，0<x<8， 所以 L(x)＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计时双基练三十六 基本不等式A 组 基础必做1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4解析 ∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －x ＋1 －x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号。
答案 C2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，即lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0≤1x 2＋1≤1，故不成立。
答案 C3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析 ∵0<x <1，∴1－x >0。
∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34。
当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号。
答案 B4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2。
∵x >2，∴x －2>0。
∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 x －2 ·1x －2＋2＝4。
当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立。
又f (x )在x ＝a 处取最小值。
∴a ＝3。
答案 C5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x >1，∴x －1>0。
∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －13x －1＋2＝23＋2。
当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号。
答案 A6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4。
答案 B7．已知2x ＋2y＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为________。
解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx＝8。
当且仅当x y ＝y x，即x ＝y ＝4时取等号。
答案 88．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处。
解析 设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x 。
费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立。
答案 59．(2016·南昌模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________。
解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，又∵t >0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6。
答案 610．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1。
求证：1a ＋1b ＋1c≥9。
证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号。
11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20。
求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值。
解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy 。
∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，取等号。
因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10。
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1。
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1。
(2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20 ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，取等号。
由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103。
∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020。
B 组 培优演练1．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8D ．9解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0。
∴2a ＋b ＝1。
又∵a >0，b >0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋2 2b a ×2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号。
故选D 。
答案 D2．已知0<x <1，则1x ＋11－x 的最小值是________。
解析 ∵0<x <1，∴0<1－x <1。
∴1x ＋11－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋11－x (x ＋1－x )＝2＋x 1－x ＋1－x x ≥4，当且仅当x ＝12时，取等号。
故1x ＋11－x的最小值是4。
答案 43．(2015·重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________。
解析 因为a ，b >0，a ＋b ＝5，所以(a ＋1)＋(b ＋3)＝9。
令x ＝a ＋1，y ＝b ＋3，则x ＋y ＝9(x >1，y >3)，于是a ＋1＋b ＋3＝x ＋y ，而(x ＋y )2＝x ＋y ＋2xy ≤x ＋y ＋(x ＋y )＝18，所以x ＋y ≤32，此时x ＝y ，即a ＋1＝b ＋3，结合a ＋b ＝5可得a ＝3.5，b ＝1.5，故当a ＝3.5，b ＝1.5时，a ＋1＋b ＋3的最大值为32。
答案 3 24．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10。
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。
由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据： 2取1.4)。
解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10。
当0≤x ≤4时，由648－x －4≥4，解得0≤x ≤8，所以此时0≤x ≤4。
当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8， 所以此时4<x ≤8。
综上可得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天。
(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－ x －6 －1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 14－x －a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4。
因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4。
令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6。