2015高中数学 1.7定积分的简单应用课件(人教A版选修2-2)

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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2-2

排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解，得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=

2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2

3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+

人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件

[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y＝x 与y＝cx 由题意知
1 1 的交点为c ，c2.
2 1 ＝3.∴c＝2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标．
(1)(2014· 山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2 ) B．4 2 D．4
(2)由y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S＝________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y＝4x，由 3 y ＝ x .
[答案] C
) B．gt2 0 1 2 D．6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v＝v(t)(v(t)≥0)，那么
b 从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程是 v(t)dt，

a

故应选 C.
2 4．若两曲线y＝x 与y＝cx (c＞0)围成的图形的面积是 3 ，
2 3
则c＝________.
[解析]
y＝2x，解方程组 2 y ＝ x ，
得x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为 S＝ 2xdx－ x
2 0 2 0
2
2 2 dx＝x 0
1 3 4 2 －3x 0 ＝3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面积．

高中数学-定积分在几何中的应用-课件

求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积 S＝________.

高中数学人教A版选修2-2课件 1-7 定积分的简单应用第13课时《定积分的简单应用》

解析：(1)由v(t)＝8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程为
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1328.
a
成的曲边梯形的面积．
【练习1】曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是
() A．2
B．3
5 C.2
D．4

3

3
解析：S＝ 2 a
cosxdx＋|

2
cosxdx|＝

2

0
cosxdx－

2
cosxdx＝sinx|

2 0
－
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
变式探究2 (1)一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)
的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m
3
(3t2－2t＋4)dt＝()－(8
2
－4＋8)＝18.
答案：(1)B (2)D
考点三利用定积分计算变力做功例3 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，由弹簧伸长到
30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
∴W＝∫00.1250xdx＝25x2|00.12＝0.36(J)．答案：0.36 J

高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用

2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解方法一如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用

极限
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积分求解平面图形的面积，如求解由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求解变力做功、液体静压力等问题中涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领域的应用，如求解由需求曲线和价格曲线围成的面积所表示的消费者剩余或生产者剩余等。

2015高中数学 1.7定积分的简单应用课件(人教A版选修2-2)(1)

2．如图所示，求曲线 y＝ x与直线 y＝2－x，y＝－1x 所 3
围成的图形的面积．
解：由y＝ x， y＝ 2－ x，
y＝ x， y＝－13x，
y＝ 2－ x， y＝－13x，
得交点坐标分别为 (1,1)， (0,0)， (3，－ 1)，
∴S＝01 x－－13xdx
＋13
2－
x－－1x 3
dx
S＝04(y＋
4－1y2)dy＝ 2
(1y2 2
＋
4y－16y3)|40＝430.
方法归纳需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
1．定积分在几何中的应用从几何上看，如果在区间 [a ， b] 上函数 f(x)_____连__续________且___恒__有__f_(_x_)≥__0___，那么定积分
ab f(x)dx 表示直线 x ＝ a ， x ＝ b ， y ＝ 0 和曲线
_____y_＝__f_(x_)_____所围成的____曲__边__梯y＝ex，y＝e－x 及 x＝1 所围成的图形面积．
解：
作图，并由y＝e x， y＝e － x，
解得交点 (0,1)．
所求面积为01
(e
x－e
－x
)dx＝(ex＋
e－
x)|10
＝
e＋1－ e
2.
计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S. (链接教材P57例2)
几何体的结构特征计算由直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x以及 x 轴所围图形的面积 S. (链接教材 P57 例 2) [解] 法一：作出直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x的草图．

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张

n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，让得失利弊犹如花开花谢那样自然，不计较，也不刻意执着；让生命中各种的喜怒哀乐，就像风儿一样，来了，不管是清风拂面，还是寒风凛冽，都报以自然的微笑，坦然的接受命运的馈赠，把是非曲折，都当作是人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1

高中数学人教A版选修2-2第一章 1.7定积分的简单应用课件

4
[(4
2
y)
1 2
y2 ]dy
(4 y
1 2
y2
1 6
y3 ) |42
18
练习 3：计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
(0,0), (2,4), (3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
y x2
图2.如图
y
y f2(x)
oa
bx
b
A1 a f ( x)dx
图y3.如图
a
b
0
x
y f (x)
b
A3 a f ( x)dx
y f1( x)
oa
bx
b
A2 a [ f2 ( x) f1( x)]dx
图4.如图
y
y f2(x)
a
0
bx
b y f1( x)
A4 a [ f2 ( x) f1( x)]dx
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
(1)
(2)
b
(1) S a f (x)dx
oa c b x
(3)
b
(2) S a f (x)dx
b
c
(3) S c f (x)dx a f (x)dx
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点

人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件

0 0
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0， cosxdx＝0，
0 0
所以C不成立，故应选C.
3．下列值等于1的是(
1 A． xdx
0
)
1 B． (x＋1)dx
0
C． 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x ＝ __________________ ； [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x ＝
a
f(x)dx f(x)dx＋__________ (其中a<c<b)．
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·＋ ·＋…＋ 3·. n n n n n n i 1 . ＝ n3· n i＝1
n
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(3)取极限：
i 1 nn＋1 1 n 3 1 2 3 ·＝ 4 i ＝ 4 n n n n 2 i ＝1 i＝1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝ 4 ，x轴所围成的平面区域的面积用积分表示为________．

高二数学,人教A版选修2-2, 1.7 定积分,的简单应用,课件

第一章导数及其应用
1.7.1
定积分在几何中的应用
自学引导
1.通过具体实例，理解定积分的几何意义． 2．会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.
课前热身
定积分的几何意义．由三条直线x＝a，x＝b(a<b)，x轴及一条曲线y＝ f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝________.
变式训练 3 设 f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x＋2， (1)求 y＝f(x)的表达式； (2)求 y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．
得交点
P(1，－1)和Q(9,3)．故所求面积为 x－3 S＝ [ x－(－ x)]dx＋ ( x－ 2 )dx
1 9
0
1
＝2
1 0
x 3 xdx＋ ( x－2＋2)dx
9 1
1 2 3 ＝2·x 3 20
2 3 x2 3 ＋( x －＋ x) 3 2 4 2 1
a
b b ∴S＝| f(x)dx|＝－ f(x)dx.

a

a
图3
③如图3所示，当a≤x≤c时，
c f(x)<0， f(x)dx<0，

a
当c≤x≤b时，
b f(x)>0， f(x)dx>0，

c
c b ∴S＝| f(x)dx|＋ f(x)dx
b
答案
f(x)dx
a
名师讲解
1.几种典型的平面图形的面积的计算 (1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a<b)及y＝0所围成平面图形的面积S.

人教版数学高二选修2-2讲义1.7定积分的简单应用

1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用1．会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2．会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分与平面图形面积的关系阅读教材P 56～P 58“练习”以上部分，完成下列问题．曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系：(1)如图1-7-1①，阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛0a g (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝_____.① ②图1-7-1(2)如图1-7-1②，阴影部分的面积为S ＝______________.所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．【答案】 (1)⎠⎛0a [f (x )－g (x )]d x (2)⎠⎛0b [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛ba [f (x )－c (x )]d x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y＝sin x，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，与x轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛π22πsin x d x.()(2)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为⎠⎛1x3d x＋⎠⎛12(2－x)d x.()(3)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为⎠⎛-22(4－x2)d x.() 【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 定积分在物理中的应用阅读教材P58～P59“练习”以上部分，完成下列问题．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为____________________.【答案】 1.⎠⎛ab v(t)d t 2.W＝⎠⎛ab F(x)d x一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.【解析】由题意可知，力F(x)所作的功W＝⎠⎛13F(x)d x＝⎠⎛13(4x－1)d x＝(2x2－x)|31＝14 J.【答案】14[小组合作型]利用定积分求平面图形的面积(1)由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A.53B ．1 C.52 D.23(2)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图1-7-2所示)的面积为43，则k ＝________ .图1-7-2【自主解答】 (1)由图可知，所求面积S ＝⎠⎛-10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪ 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝56＋16＝1.(2)由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.【答案】 (1)B (2)2求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．[再练一题]1．(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A．2 2 B．4 2C．2 D．4(2)由直线y＝12，y＝2，曲线y＝1x及y轴所围成的封闭图形的面积是()【导学号：62952056】A．2ln 2 B．2ln 2－1C.12ln 2 D.54【解析】(1)由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛2(4x－x3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x2－14x4⎪⎪⎪2＝4.(2)由题知，x的范围为[0,2]．所以S＝12×32＋⎠⎜⎛1221x d x－32×12＝⎠⎜⎛1221x d x＝ln 2－ln12＝2ln 2.【答案】(1)D(2)A求变速直线运动的路程、位移2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求点P 从原点出发，当t ＝6时，点P 离开原点的路程和位移．【精彩点拨】解不等式v (t )>0或v (t )<0→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移【自主解答】由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.1．求变速直线运动的物体的路程(位移)(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t . (2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．(3)注意路程与位移的区别．2．求变力做功的方法(1)要明确变力的函数F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算． (3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位换为焦耳．[再练一题]2．在上例题设条件不变的情况下，求P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【解】依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．[探究共研型]变力作功问题探究一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成60°方向做直线运动，则由x ＝1 m 运动到x ＝3 m 时F (x )做的功为多少J .【提示】 W ＝⎠⎛13F (x )cos 60°d x ＝⎠⎛1312F (x )d x ＝⎠⎛1312(5－x 2)d x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3| 31＝23(J )．如图1-7-3所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ，C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，C D ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5，0≤x ≤90，20，90<x ＜120，(单位：N )，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在C D 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)图1-7-3【精彩点拨】先求出在AB 段、BC 段上拉力F 沿运动方向的分力，再利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 求出各段上功的大小．【自主解答】在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°.由变力做功公式得：W ＝⎠⎛050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30° d x ＋⎠⎛5090⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪ 500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x ⎪⎪⎪9050＋600 ＝1 1254 3＋4502＋600≈1 723(J)．所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J.求变力所做功的步骤1．根据物理学的实际意义，求出变力F (x )的表达式．2．由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )，因此，求功之前应求出位移的起始位置与终止位置．3．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，求出变力F (x )所做的功．[再练一题]3．在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功．【解】设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ，所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛00.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪ 0.10＝10(J)．1．求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]【解析】如图，作出三个函数y ＝e x ，x ＝2，y ＝1的图象，由三者围成的曲边梯形如图阴影部分，若选择x 的积分变量，则积分区间应为[0,2]．【答案】 B2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m /s )的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 m【解析】 s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m )．【答案】 B3．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.【解析】由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.【答案】 49 5．一物体在变力F (x )＝36x 2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功.【导学号：62952057】【解】由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1⎪⎪⎪188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J ．。

1.7 定积分的简单应用课件-高中数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用

下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8处运动到x＝18处，求
力F(x)在这一过程中所做的功．解：由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在[8,18] 上的定积分，从而
18
W＝18F(x)dx＝－36x－1
8
8
＝(－36×18－1)－(－36×8－1)
＝(－2)－－92＝52(J)．
从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为52 J.
0
0
3
3
xdx－ 2 sin xdx＝－cos x ＋cos x 2 ＝3.
0
(4)上下之差：
若在区间[a，b]上 f(x)＞g(x)，则曲线 f(x)与 g(x)所围成
的图形的面积 S＝b[f(x)－g(x)]dx. a 例（2）：求由曲线 y2＝x，y＝x3 所围图形的面积 S.
解：作出曲线 y2＝x，y＝x3 的草图，如右图所示，所求面积为图中阴影部分
A．46 m
B．46.5 m
C．87 m
D．47 m
解析：s＝6 3
(3t＋2)dt＝32t2＋2t 6
3
＝(54＋12)－227＋6＝46.5(m). 答案：B
3．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝________. 解析：图形如右图所示，
S＝1x2dx－114x2dx
0
0
＝134x2dx 0
a
问题3：如何求阴影的面积S? 提示：S＝S1－S2.
[导入新知]
平面图形的面积
由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围
图形的面积．
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 b[f(x)－g(x)]dx

( 人教A版)高中数学选修22：1.7.2定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
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探究一求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
0
答案：45 J
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 6:43:55 PM
即在 t＝4 s 时运动的路程为 4 m.
探究二求变力做的功 [典例 2] 如图所示，一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B， C 运动到 D，其中 AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力 F＝14x＋5，0≤x≤90，在 AB 段运动时 F 与运动方向成 30°
20，90≤x≤120. 角，在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°，在 CD 段 F 与运动方向相同，求物体由 A 运动到 D 所做的功．
[解析] 设活塞活动的距离为 x m，则活塞受到的压强为： P＝8V0＝0.01π800.8－x…………………………………………………………………3 分从而活塞受到的压力为： F＝PS＝0.01π800.8－x×0.01π＝0.88－0 x，……………………………………………6 分 ∵温度保持不变，气体的体积缩小一半． ∴活塞的位移为 0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为 W＝0.40.88－0 xdx＝[－80ln(0.8－x)]00.4 ＝80ln 2.

2015高中数学 1.7定积分的简单应用 课件(人教A版选修2-2)

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2