北师大版中考复习几何初步与三角形 第四章 第四节 考点要点训练
北师大版初中数学九年级上-册第四章相似三角形(复习)(共29张PPT)精选全文
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相似三角形及其应用
解 析 ∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，
∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
故选A.
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相似三角形及其应用
探究二 相似三角形的性质及其应用
命题角度： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
例3 如图22－4，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且 ∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 ，AF＝4 ，求AE的长．
图22－4
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相似三角形及其应用
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探究四 位似 命题角度： 1. 位似图形及位似中心定义； 2. 位似图形的性质应用； 3. 利用位似变换在网格纸里作图．
例 4 在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)，F(－2，－2)，
以原点 O 为位似中心，相似比D为12，把△EFO 缩小，则点 E 的对应
点 E′的坐标是( )
A．(－2，1)
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相似三角形及其应用
探究五 相似三角形与圆
命题角度： 1. 圆中的相似计算； 2. 圆中的相似证明． 例5 如图22－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB. (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
北师大版中考复习：几何初步和三角形
中考复习：几何初步及三角形【考纲要求】1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性.【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1．直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).要点诠释：1）．直线的两种表示方法：(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.2)．直线和点的两种位置关系(1)点在直线上(或说直线经过某点)；(2)点在直线外(或说直线不经过某点).3).直线的性质：过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A 是射线上一点；(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.3.线段直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：1)．线段的表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；(2)用一个小写字母表示，如线段a.2)．线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).3)．线段的中点：线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.4)．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.考点二、角1．角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边. 要点诠释：1）．角的表示方法：(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.2）．角的分类：(1)按大小分类：锐角----小于直角的角(0°＜＜90°)；直角----平角的一半或90°的角(=90°)；钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°)．(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.3）．角的度量：(1)度量单位：度、分、秒；(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.4）．角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.2．角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．垂线（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.要点诠释：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.考点四、平行线1．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.2．平行公理及推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.3．性质：(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行，同位角相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.4．判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.考点五、命题、定理、证明1．命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.(2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.2．公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.3．证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.考点六、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6．三角形具有稳定性.考点七、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点诠释：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.【典型例题】类型一、几何初步1．判断下列语句是不是命题①延长线段AB( )．②两条直线相交，只有一交点( )．③画线段AB的中点( )．④若|x|=2，则x=2( )．⑤角平分线是一条射线( )．【思路点拨】判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.【答案与解析】①③两个语句都没有作出判断，所以①不是②是③不是④是⑤是.【总结升华】本题考查学生对命题概念的理解.举一反三：【变式】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B.类型二、三角形2．如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心；(2)O为内心；(3)O为垂心；分别求∠BOC 的度数.【思路点拨】明确三角形的外心，内心，垂心的定义和性质.【答案与解析】∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A =116°；(2)O为内心时，∠BOC=90°+∠A=119°；(3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.【总结升华】理解三角形外心和内心的定义，熟悉圆周角定理，记住三角形两内角的平分线的夹角等于90度与第三个角一半的和，是解决本题的关键．举一反三：【变式】【几何初步及三角形专题二 8】【答案】50°.3．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．【思路点拨】分别写出前三个图形的正三角形的个数，并观察出后一个图形比前一个图形多分割出四个小的正三角形，依此类推即可写出第n个图形的正三角形的个数，进而得出第5个图中正三角形的个数．【答案与解析】图①有１个正三角形；图②有（１＋４）个正三角形；图③有（１＋４＋４）个正三角形；图④有（１＋４＋４＋４）个正三角形；图⑤有（１＋４＋４＋４＋４）个正三角形；…．所以共有17个.【总结升华】这是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.举一反三：【变式】一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( )．A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】B.4．与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( )．A.二条中线的交点B. 二条高线的交点C.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点【思路点拨】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．【答案】D.【解析】三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.【总结升华】考点：线段垂直平分线的定理.举一反三：【变式】【几何初步及三角形专题二 9】【答案】A.类型三、综合运用5．如图：已知，△ABC中，∠A=50°(1)如图(1)，点O是∠ABC和∠ACB的平分线交点，则∠BOC=_____；(2)如图(2)，点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线交点，则∠BPC=____；(3)如图(3)，点M是外角∠BCE和∠CBF的平分线交点，则∠BMC=____. 【思路点拨】本题涉及知识点是三角形内角和定理；三角形的外角性质．【答案与解析】图(1)中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)图(2)中，∠BPC=∠PCE-∠PBC图(3)中，∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB).【总结升华】本题考查角平分线，三角形内角和，外角和内角关系等多个知识点，常采用建立方程或直接推理的方法.6．探索在如图-1至图-3中，△ABC的面积为a.(1)如图-1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，若△ACD的面积为S1，则S1=____(用含a的代数式表示)；(2)如图-2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE，若△DEC的面积为S2，则S2=____(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图-2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF(如图-3)，若阴影部分的面积为S3，则S3=____(用含a的代数式表示)；（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF(如图-3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____倍．【思路点拨】灵活运用等底同高的两三角形面积相等来解决问题．【答案与解析】（1）∵BC=CD，∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；连接AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a；（3）结合（2）得：S3=2a×3=6a；（4）扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．【总结升华】本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程，解题思想方法的感悟，体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．举一反三：【变式】去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图)，求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m2？【答案】第一次扩展后的阴影面积为6a=6×10=60(m2)第二次扩展后的阴影面积为42a=42×10=420(m2)两次扩展后阴影部分面积共为480 m2.中考总复习：几何初步及三角形—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，下列说法不正确的是( ).A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段ACC．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段2．如图，标有角号的7个角中共有____对内错角，____对同位角，____对同旁内角.( )A.4、2、4B.4、3、4C.3、2、4D.4、2、33．把一张长方形的纸片按下图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，则∠EMF的度数是( ).A.85°B.90°C.95°D.100°4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影面积等于( ).A.2cm2B.1cm2C.cm2D.cm25．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=1000，则的值为( ).A.130°B.135°C.140°D.150°6. △ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（）.A. B. C. D.二、填空题7．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，则∠D=________．8.如图所示，AB∥CD，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E的度数为________．9．已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b―c|+|b―a―c|―|c+b―a|=____________. 10．已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB三等分线分别交于点D、E，若∠A=n°，则∠BDC=___, ∠BEC=___.11．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_____三角形；若∠A+∠B ＜∠C，则此三角形是_____三角形.12．如图所示，∠ABC与∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.三、解答题13．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=75°，求∠BFD度数.14．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．15．已知：如图，D、E是△ABC内的两点.求证：AB+AC＞BD+DE+EC.16.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】重点考查垂线段的定义.2.【答案】A.3.【答案】B.【解析】因为折叠，所以∠1=∠2，∠3=∠4，又因为∠1=∠2+∠3+∠4=180°，所以∠EMF=∠2+∠3 =90°.4.【答案】B.【解析】∵D，E分别为边BC，AD的中点，∴S△ABD= S△ADC =2cm2 ,S△ABE= S△AEC =1cm2∴S△BEC=2cm2又因为F分别为边CE 的中点，所以S△BEF= S△BCF =1cm2.5.【答案】C.6.【答案】B.【解析】∵2x>6,∴x>3.二、填空题7．【答案】35°.8．【答案】12°.9．【答案】3a―b―c.【解析】∵a、b、c是△ABC的三边,∴a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a。
北师大版七年级下册数学第四章知识点详细归纳附第四章测试卷及参考答案
北师大版七年级下册数学第四章知识点详细归纳附第四章测试卷及参考答案第四章三角形@考点归纳1. 三角形三边关系一、三角形 2.三角形内角和定理(1).角平分线3. 三条重要线段 (2). 中线(3).高线1.全等图形的概念2.全等三角形的性质（1）.SSS三角形 (2).SAS二、全等三角形 3.全等三角形的判定 (3).ASA(4).AAS(5).HL（适用于RtΔ）4.全等三角形的应用利用全等三角形测距离三、作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt Δ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
北师大版七年级数学下册第四章 三角形 小结与复习
按边分
4. 直角三角形的两个锐角互余.
三边各不相等 的三角形
等腰三角形 等边三角形
5. 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边； 三角形任意两边之差小于第三边.
6.三角形的三条角平分线交于一点； 三角形三条中线交于一点；
三角形的三条高所在的直线交于一点.
二. 全等三角形 1. 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等 SSS AAS 2. 全等三角形的判定 ASA SAS 3. 三角形的稳定性的依据：SSS
知识点三 三角形的角平分线、中线、高
例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，
点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面
积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，
则 S△ADF－S△BEF＝___2_____．
解析：因为点
所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
方法总结
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；
高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积 的比等于高的比．
针对训练
3.如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高， A
若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度 E 数是 20 °，∠FBC 的度数是 40 °.
考点讲练
知识点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼 成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三 条线段应取多长？ 解： 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，得 8－3 < a < 8 + 3，所以 5 < a < 11.
北师大版中考数学专题复习——几何初步与三角形
相等
成比例 相似比
相等
相似比 成比例
相似比的平方
相等 对应成比例 对应成比例
相等
相似比
相似比
相似比的平方
典型例题
4．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点M在边AB上，且AM＝3， 点N在边AC上．当AN＝__2_或__4._5___时，△AMN与原三角形相似．
核心考点：三角形相似的判定方法与性质 数学思想： 分类讨论
②过点①过点A作AE∥DC交BD于点E，交BC于点F,证明△ADE ∽
△BCD可得 AE DE ,再由AE=CD可得出结论。 BD CD
方法规律：
（1）做辅助线的方法：作平行线，可模仿第一问的方法。 （2）翻折问题的关键：找出对应线段、对应角. （3）遇乘积，化比例。 （4）等线段替换。
考点五 锐角三角函数
平行公理及其推 __有__且_只__有__一条直线与这条直线平行
论
2.推论：平行于同一条直线的两条
直线平行
平行线的性质与 判定
1.同位角__相__等___⇔两直线平行 2.内错角相等⇔两直线___平_行___ 3.同旁内角___互_补__ ⇔两直线平行
典型例题
1.(2019·泰安)如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2＋∠3＝( C )
典型例题
1.(2020·四川南充)如图，点A，B，C在正方形网格的 格点上，则sin∠BAC＝( B )
D
核心考点：锐角三角函数的定义 方法规律：构造直角三角形
中考链接
5.（2020菏泽中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,点D为AB 边的2 中点，连接CD，若BC=4，CD=3，则cos∠DCB的值为 .
全等三角的性质与判定
北师大版初中数学第四章三角形复习课件共57张PPT
6、已知△ABC的边长分别为a，b，c，化简
|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ）
A． 2a
B． ﹣2b
C． 2a+3b
D． 2b﹣2c
7、若a，b，c是△ABC的三边，则化简
|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|的结果是
（）
A． ﹣a﹣b﹣c B． a+b+c
C． a+b﹣c
D． a﹣b+c
三角形知识结构图
三角形的边(三边关系)
与三角形有 关的线段
高 中线
三角形内角和
角平分线
三角形
三角形的外角 全等三角形
一、三角形的边、角及主要线段
考点1． 三角形的三边关系: (1)三角形的任何两边之和大于第三边；
(2)三角形的任何两边之差小于第三边． 应用：
（1）判断三条已知线段a、b、c能否
组成三角形; 当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形． （2）确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和．
C
F
21
B
E A
3．如图：点E是正方形ABCD的边CD上一 点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF,说 明DE=BF的理由．
A
D
E
FB
C
4．如图，BE=CD，∠1=∠2，则 AB=AC吗？为什么？
A
D
E
1
2
B
C
5.如图所示，在等边△ABC中，点D、E分 别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE 交于点F，则∠DFC的度数为_________
隐含条件AB=AB
变式1：如图，已知∠C=∠D，请你添加一个条件 ___________，使得 △ABC≌△ABD
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件
=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点， 且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定 方法
应用
黄金分割
角角 边角边 边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适． 利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位 置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′
北师大版七年级数学下册第4章 三角形复习课4
BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE＝AD＋BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE＝AD－BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
三布置作业
P110-113复习题
教学反思
(2)正确运用全等三角形判定方法来解决问题,注意不能应用“SSA”.
(3)要考虑多解问题,如:涉及三角形高的问题,要分高在三角形的内部和外部;
没有图的几何题往往是多解问题等.
2.易错题赏析：
(1)已知△ABC与△DEF全等,∠A＝70°,∠B＝30°,∠D的度数为（）
A. 70°B. 30° C. 80° D.无法确定
2如图,已知点E,C在线段BF上,BE＝CF,AB∥DE,∠ACB＝∠F.
求证:△ABC≌△DEF．
3将一张矩形片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图③的形式,使点B,F,C,D在同一条直线上．
(1)求证:AB⊥ED；
(2)若PB＝BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.
(2)已知△ABC的高为AD,∠BAD＝70°,∠CAD＝20°,求∠BAC的度数．
(3)如图,已知△ABC中,AB＝AC,D，E分别是AB,AC的中点,且CD＝BE,
△ADC与△AEB全等吗?说说理由.
二解决综合性习题
1.已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,如图摆放使得一直角边重合,连接BD,CE.求∠BFC的度数
课题
最新北师大版九年级中考数学总复习第四章几何初步与三角形知识点+练习试题
九年级中考数学几何初步与三角形知识点+练习试题直线端点，射线有端点，线段有端点。
直线的性质：两点确定一条直线。
线段的性质：两点之间，线段最短。
两点之间线段的，叫做两点间的距离。
角的定义：角是由公共端点引出的两条射线组成。
1度=60分；1分=60秒周角、平角、直角的关系是：l周角=2平角=4直角=360°对顶角、互为补角、互为余角、邻补角：对顶角相等。
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
三线八角：（同位角、内错角、同旁内角指的是两个角的位置关系，和大小无关。
）同位角：内错角：同旁内角：在平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，最短。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
在同一平面内，两条直线的位置关系分：相交和平行。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线平行平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
命题：对一件事情做出判断。
命题由和两部分组成，真命题、假命题、逆命题。
假设法。
1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B=∠ADE，则下列结论正确的是（）A. ∠A和∠B互为补角B. ∠B和∠ADE互为补角C. ∠A和∠ADE互为余角D. ∠AED和∠DEB互为余角3、如图，以A 为公共端点的两条线段AB 、AC 互相垂直，点B 、D 、C 在同一条直线上，AD ⊥BC，则图形中能表示点到直线的距离的线段有______条4、下列命题中是真命题的有 个。
（1）不相交的两条直线叫平行线；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（4）垂直于同一直线的两直线平行；（5）同一平面内，两条直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直．5、如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别相交于A ，B 两点，AC ⊥AB 交b 于点C ，∠1＝40°，则∠2的度数是( )6、如图，直线l 1∥l 2，等腰直角△ABC 的两个顶点A 、B 分别落在直a b线l1、l2上，∠ACB＝90°，若∠1＝15°，则∠2的度数是（）7、如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）。
北师大版九年级上册第四章《相似三角形》复习资料：知识点 例题
相似三角形一、知识要点【比例】1、如果a∶b=c∶d ,那么组成比例的四个数a,b,c,d叫做__________，其中_________为外项，_______为内项. ________为前项，__________为后项.2、四条线段a,b,c,d中，如果_______________,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称__________.3、黄金分割的定义：______________________________________________.4、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.5、比例的基本性质：（1）、基本性质：如果___________________,那么___________________ 。
（2）、合比性质：如果___________________,那么___________________ 。
（3）、等比性质：如果___________________,那么___________________。
（4）、更比性质：如果___________________,那么___________________ 。
（5）、反比性质：如果___________________,那么___________________ 。
【相似】1、定义：(1)、相似多边形：________________________________叫做相似多边形。
(2)、相似三角形：___________________________________叫做相似三角形。
(3)、相似比：_____________________________叫做相似比.2、性质：（1）、相似三角形对应角_____，对应边______ ,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都________相似比。
（2）、相似多边形的周长比等于_______，面积比等于___________.3、判定:(1).______________________________的两个三角形相似；(2).______________________________的两个三角形相似；(3).______________________________的两个三角形相似；(4).定义法:___________________________的两个三角形相似。
北师大版中考复习第四章 几何初步与三角形(基础+拔高)含答案
第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．若一个角为65°，则它的补角的度数为( )A．25° B．35° C．115° D．125°2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为( )A．20° B．60° C．70° D．160°3．如图所示，点P到直线l的距离是( )A．线段PA的长度 B．线段PB的长度C．线段PC的长度 D．线段PD的长度4．如图所示，某同学的家在A处，星期日她到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助她选择一条最近的路线( )A．A→C→D→B B．A→C→F→BC．A→C→E→F→B D．A→C→M→B5．下列命题为真命题的是( )A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B．若AM＝BM，则点M为线段AB的中点C．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行6．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )A．∠4，∠2 B．∠2，∠6C．∠5，∠4 D．∠2，∠47．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC_____∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)8．如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝_______．9．已知∠AOB＝45°，OC是∠AOB的一条三等分线，则∠AOC的度数是___________．10．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．11．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b 于点D，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )A．50° B．70° C．80° D．110°12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )A．50° B．70°C．75° D．80°13．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝_______．14．如图，将一副含有45°和30°的两个三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB的度数为________．15．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.(1)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．(2)拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)，其中区域③④位于直线AB上方，P 是位于以上4个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求证明)．16．阅读下面的材料【材料一】异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．(2)特点：既不相交，也不平行．(3)理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”．③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．例如：在长方体ABCDA1B1C1D1中，棱A1D1所在直线与棱AB所在直线是异面直线，棱A1D1所在直线与棱BC所在直线就不是异面直线．【材料二】我们知道“由平行公理，进一步可以得到如下结论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．”其实，这个结论不仅在平面内成立，在空间内仍然成立．利用材料中的信息，解答下列问题：(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，与棱A1A所在直线成异面直线的是( ) A．棱A1D1所在直线B．棱B1C1所在直线C．棱C1C所在直线D．棱B1B所在直线(2)在空间内，两条直线的位置关系有________、________、________．(重合除外)(3)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F分别为BC，AB的中点．求证：EF∥A1C1.参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B7．＞8.80°9.15°或30°10．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝54°.∵BC平分∠ABD，∴∠CBD＝∠ABC＝54°.∵∠1＝54°，∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠1＝72°.∵∠BDC＝∠2，∴∠2＝72°.【拔高训练】11．C 12.B13．85°14.180°15．解：(1)①∠AED＝70°.②∠AED＝80°.③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC.证明：如图，延长AE交DC于点F.∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD.∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED＝∠EFD＋∠EDF＝∠EAB＋∠EDC.(2)当点P在区域①时，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；当点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；当点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB－∠PFC；当点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC－∠PEB.【培优训练】16．解：(1)B(2)相交平行异面(3)证明：如图，连接AC.∵E，F分别为BC，AB的中点，∴EF∥AC.∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，∴四边形A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC，∴EF∥A1C1.第二节三角形的有关概念及性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B．1，2，4C．2，3，4 D．2，3，52．下列图形具有稳定性的是( )3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )A．30° B．40°C．60°D．70°4．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )A．线段DEB．线段BEC．线段EFD．线段FG5．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为_______．6．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE.若DE＝3，则线段BC 的长等于_____．7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是______．8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC ＝60°，∠ABE＝25°.求∠DAC的度数．9．已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )A．75° B．80°C．85° D．90°11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝_____．12．(2019·原创题)如图，在△ABC中，E是底边BC上一点，且满足EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若S△ABC＝15，则S△ADF－S△BEF＝________．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．14．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．参考答案【基础训练】 1．C 2.A 3.A 4.B 5．40° 6.6 7.13 8．解：∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°. ∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－50°＝40°， ∴∠DAC ＝∠BAC－∠BAD＝60°－40°＝20°. 【拔高训练】9．B 10.A 11.7 12.5213．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A ＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.【培优训练】14．解：应用：①若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB＝∠PBC. ∵CD 为等边三角形的高， ∴AD ＝BD ，∠PCB＝30°， ∴∠PBD＝∠PBC＝30°， ∴PD＝33DB ＝36AB ， 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC. ③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝AD ，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°. 探究：∵BC＝5，AB ＝3， ∴AC＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2＋32＝(4－x)2， 解得x ＝78，即PA ＝78.②若PA ＝PC ，则PA ＝2.③若PA ＝PB ，由图知，在Rt △PAB 中，PA 为直角边，PB 为斜边， ∴PA≠PB.综上所述，PA ＝2或78.第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD3．下列说法正确的是( )A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等4．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝12，AC＝8，则CD的长为( )A．5.5 B．4C．4.5 D．35．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B ＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的结论有( )A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝_____．7．现有A，B两个大型储油罐，它们相距 2 km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A，B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5 km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有_____种．8．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：CB＝CD.9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，点C的坐标为(－1，0)，点A的坐标为(－4，3)，求点B的坐标．10. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并延长交边BC于M′，N′两点，则图中的全等三角形共有( )A．2对B．3对C．4对D．5对11．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( )A．15 B．12.5C．14.5 D．1712．如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为__________________．13．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②∠BAD＝∠CAD；③△ABD和△ACD的面积相等；④BF∥CE；⑤△BDF≌△CDE.其中正确的是________．14. 已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.(1)求证：BD＝CE；(2)求证：∠M＝∠N.15．如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD ＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.(1)求证：△ABF≌△EDA；(2)延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.16．如图，点B，F，C，E在同一直线上，∠A＝∠D，BF＝CE，AB∥DE.求证：AC∥DF.参考答案【基础训练】1．B 2.D 3.C 4.B 5.B 6．5 7.48．证明：∵∠1＝∠2， ∴∠ACB＝∠ACD. 在△ABC 与△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD，AC ＝AC ，∴△ABC≌△ADC(AA S )， ∴CB＝CD.9．解：如图，过点A ，B 分别作AD⊥x 轴于点D ，BE⊥x 轴于点E ，则∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE. 在△ADC 和△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC ＝CB ，∴△ADC≌△CEB(AA S )， ∴CD＝BE ，AD ＝CE.∵点C 的坐标为(－1，0)，点A 的坐标为(－4，3)， ∴OC ＝1，CE ＝AD ＝3，OD ＝4，∴CD＝OD －OC ＝3，OE ＝CE －OC ＝3－1＝2， ∴BE＝3，∴点B 的坐标是(2，3)． 【拔高训练】 10．C 11.B12．(3，4)或(3，－4)或(0，－4) 13.①③④⑤ 14．证明：(1)在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE. (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE， ∴∠BAN＝∠CAM. ∵△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠C. 在△ACM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠C＝∠B，AC ＝AB ，∠CAM＝∠BAN， ∴△ACM≌△ABN， ∴∠M＝∠N.15．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD ，AD ＝BC ，∠ABC＝∠ADC. ∵BC＝BF ，CD ＝DE ， ∴BF＝AD ，AB ＝DE.∵∠ADE＋∠ADC ＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF， ∴△ABF≌△EDA.(2)如图，延长FB 交AD 于点H.∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°. ∵△ABF≌△EDA， ∴∠EAD＝∠AFB. ∵∠EAD＋∠FAH＝90°， ∴∠FAH＋∠AFB＝90°， ∴∠AHF＝90°，即BF⊥AD. ∵AD∥BC，∴BF⊥BC. 【培优训练】16．证明：∵BF＝CE ，∴BF＋FC ＝FC ＋CE ， ∴BC＝EF.∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF. 在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠ABC＝∠DEF，BC ＝EF ，∴△ABC≌△DEF(AA S )， ∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF.第四节等腰三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列三角形，不一定是等边三角形的是( )A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形2．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)3．若实数m，n满足|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．12 B．10C．8 D．10或84．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC等于( )A．10° B．12.5°C．15° D．20°5．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°6．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝_______．7．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于______°.8．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝_____cm.9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )A．4 B．5 C．6 D．711．如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论：①∠ADC＝15°；②AF＝AG；③AH＝DF；④AF＝(3－1)EF.其中正确结论的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．112．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k ＝12，则该等腰三角形的顶角为______度．13．已知：如图，△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过O 点的直线分别交AB ，AC 于点D ，E ，且DE∥BC.若AB ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，则△ADE 的周长为__________．14．如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME∥AD，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F. (1)求证：AE ＝AF ； (2)求证：BE ＝12(AB ＋AC)．15．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．参考答案【基础训练】1．D 2.D 3.B 4.C 5.D 6．30° 7.65 8.69．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D 为AC 的中点， ∴AD＝DC.在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt △ADE≌Rt △CDF(HL )， ∴∠A＝∠C， ∴BA＝BC. ∵AB＝AC ， ∴AB＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形． 【拔高训练】 10．D 11.B 12．36 13.14 cm14．证明：(1)∵DA 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AD∥EM，∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.(2)如图，作CG∥EM，交BA 的延长线于G.∵EF∥CG ，∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE. ∵∠AEF＝∠AFE，∴∠G＝∠ACG， ∴AG＝AC.∵BM＝CM ，EM∥CG，∴BE＝EG ， ∴BE＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．【培优训练】15．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或20°或80°. (2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个； ②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B＝(180－x 2)°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x°. 当180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x2≠x， 即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x≠60时，∠B 有三个不同的度数．第五节 直角三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是( )A．(32＋8)cm B．10 cmC．14 cm D．无法确定5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为( )A．3 2 B．3 3C．6 D．6 26．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为____________．7．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝__________．8．如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP＝________．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，EF＝2，则AC＝________．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，CE是△ABC的角平分线．(1)求∠DCE的度数；(2)若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC.11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC ＝2，则EF 的长度为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D ，AF 平分∠CAB，交CD 于点E ，交CB 于点F.若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( )A.32B.43C.53D.8513．如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∠D＝α，则∠BEF 的度数为___________(用含α的式子表示)．14．如图，四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB ＝3，CD ＝1，则边BC ＝_______．15．如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝________．16．如图，∠MAN＝90°，点C 在边AM 上，AC ＝4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E.当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_______．17．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.(1)如图1，求证：CD⊥AB；(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．18．如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．若AM ＝3，MN ＝5，则BN 的长为________________________．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.A 4.B 5.D6．130°或90° 7.3－1 8.522 9.810510．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB 于D ， ∴∠DCB＝90°－∠B＝60°. ∵CE 平分∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠DCB－∠ECB＝60°－45°＝15°. (2)证明：∵∠CEF＝135°，∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠CEF＋∠ECB＝180°， ∴EF∥BC. 【拔高训练】 11．B 12.A13．270°－3α 14.33－2 15.154或307 16.43或417．(1)证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B， ∴∠ACD＝34°.由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°， ∴∠BCD ＝56°.由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°. ②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°， ∠BCD＝90°－n°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.【培优训练】 18．4或34第六节 解直角三角形及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．cos 30°的值等于( ) A.22 B.32C ．1 D. 3 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为( ) A ．3 B.13 C.1010 D.310103．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米4．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于( )A.35B.45C.34D.435．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于( )A ．100sin 35°米B ．100sin 55°米C ．100tan 35°米D ．100tan 55°米6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1＝22，则∠2的度数为( )A ．120°B ．135°C ．145°D ．150°7．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝1213，则tan B 的值为________．8．如图，已知△ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos C 的值为________．9．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为_______m _(结果保留整数，3≈1.73)10．某条道路上有学校，为了保证师生的交通安全，通行车辆限速为40千米/时，在离道路100米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区(如图)．在△ABP中，∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C 在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A>32，则下列各式成立的是( )A ．cos A>12B ．sin B<12C ．tan B> 3D ．tan A< 313．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度(或坡比)为i ＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )A ．21.7米B ．22.4米C．27.4米D．28.8米14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AO D＝_____．15．△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC的面积是_________．16.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A，B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B 的北偏东30°的方向上，且AB＝10 km.(1)求景点B与C的距离；(2)为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．(结果保留根号)17．为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)18．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝3 2×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin15°的值是______________．参考答案【基础训练】1．B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.B 7.512 8.229.300 10．解：如图，作PC⊥AB 于点C.在Rt △APC 中，tan ∠PAC＝PC AC ，则AC ＝PCtan ∠PAC ＝1003≈173(米)．同理，BC ＝PCtan ∠PBA ＝PC ＝100(米)，则AB ＝AC ＋BC ＝273(米)． ∵40千米/时＝1009米/秒，则273÷1009≈24.6(秒)．答：车辆通过AB 段的时间在24.6秒内时，可认定为超速． 11．解：如图，由题意知∠MAC＝30°，∠NBC＝15°，∴∠BAC ＝60°，∠ABC＝75°， ∴∠C＝45°.过点B 作BE⊥AC，垂足为E. 在Rt △AEB 中，∵∠BAC＝60°，AB ＝100米，∴AE＝cos ∠BAC·AB＝12×100＝50(米)，BE ＝sin ∠BAC·AB＝32×100＝503(米)．在Rt △CEB 中，∵∠C＝45°，BE ＝503米， ∴CE＝BE ＝503米，∴AC＝AE ＋CE ＝50＋503≈137(米)． 答：旗台与图书馆之间的距离约为137米． 【拔高训练】 12．B 13.A14．2 15.153或21 316．解：(1)由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°， ∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB ＝10 km ， 即景点B ，C 相距的路程为10 km . (2)如图，过点C 作CE⊥AB 于点E.∵BC＝10 km ，C 位于B 的北偏东30°的方向上， ∴∠CBE＝60°.在Rt △CBE 中，CE ＝32BC ＝53(km )．17．解：由题意可得∠FED＝45°.在Rt △DEF 中，∵∠FDE＝90°，∠FED＝45°， ∴DE＝DF ＝1.8米，EF ＝2DE ＝925(米)．∵∠AEB＝∠FED＝45°，∴∠AEF＝180°－∠AEB－∠FED＝90°. 在Rt △AEF 中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝39.3°＋45°＝84.3°， ∴AE＝EF·tan ∠AFE≈925×10.02＝18.0362(米)．在Rt △ABE 中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°， ∴AB＝AE·sin ∠AEB≈18.0362×22≈18(米)．答：旗杆AB 的高度约为18米． 【培优训练】 18.6－24第七节 相似三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．两三角形的相似比是2∶3，则其面积之比是( ) A.2∶ 3 B ．2∶3 C ．4∶9 D ．8∶272．已知2x ＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( ) A.x y ＝32 B.x 3＝2y C.x y ＝23 D.x 2＝y 33．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( ) A ．3 cm B ．4 cm C ．4.5 cm D ．5 cm4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )5．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是( )A. 3B.32C.334D ．2 37．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC 的值是( )A ．3∶2B ．4∶3C ．6∶5D ．8∶58．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为_________．9．如图所示，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE ，交CD 于点F ，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：_____________________.10．周末小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示，则河宽AB＝______m.11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．12．制作一块3 m ×2 m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )A ．360元B ．720元C ．1 080元D ．2 160元13．如图，△ABC，△FGH 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，F 点在DE 上，G ，H 两点在BC 上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG∶GH∶HC＝4∶6∶5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？( )A ．2∶1B ．3∶2C ．5∶2D ．9∶414．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE∥BD，且交AB 于点E ，GF∥AC，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是( )A.AB AE ＝AG ADB.DF CF ＝DG ADC.FG AC ＝EG BDD.AE BE ＝CF DF15．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是( )A．①②③ B．①C．①② D．②③16．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD ＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝_______m.17．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为________．18．已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝12，CD＝8，求△ABC的面积．。
北师大初中数学中考总复习：几何初步及三角形--知识讲解(基础)【精品】.doc
中考总复习：几何初步及三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高,了解三角形的稳定性.【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1．直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).要点诠释：1）．直线的两种表示方法：(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.2)．直线和点的两种位置关系(1)点在直线上(或说直线经过某点)；(2)点在直线外(或说直线不经过某点).3).直线的性质：过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.3.线段直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：1)．线段的表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；(2)用一个小写字母表示，如线段a.2)．线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).3)．线段的中点：线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.4)．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.考点二、角1．角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边. 要点诠释：1）．角的表示方法：(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.2）．角的分类：(1)按大小分类：锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);直角----平角的一半或90°的角(=90°);钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.3）．角的度量：(1)度量单位：度、分、秒；(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.4）．角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.2．角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．垂线（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.要点诠释：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.考点四、平行线1．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.2．平行公理及推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.3．性质：(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行，同位角相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.4．判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.考点五、命题、定理、证明1．命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.(2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.2．公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.3．证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.考点六、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6．三角形具有稳定性.7. 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.要点诠释：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.【典型例题】类型一、直线、射线及线段1．数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( )A.a-bB.a+bC.│a-b│D.│a+b│【思路点拨】根据数轴上两点之间的距离公式即可解决问题．【答案】C.【解析】本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.【总结升华】解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.2．有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？【思路点拨】先求得单程的车票数，再求出往返的车票数即可．【答案与解析】线段有10条；车票需要2×10=20种.【总结升华】在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.举一反三：【变式】如图，点A、B、C在直线上，则图中共有______条线段.【答案】3.类型二、角3．如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有______对，互补的角有______对.【思路点拨】先要确定等角，再根据角的性质进行判断.【答案与解析】互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.【总结升华】在本题目中，当图中的角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.举一反三：【变式】【答案】70°.类型三、相交线与平行线4．（2015春•南京校级月考）如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的等量关系为．【思路点拨】通过观察图形，可作出一条辅助线即平行线，从而把问题化难为易.【答案】∠α+∠β﹣∠γ=180°.【解析】解：如图，过点E作EF∥AB，∴∠1+∠γ=∠β，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠α=180°，∴∠α﹣∠γ=180°﹣∠β，∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．故答案为：∠α+∠β﹣∠γ=180°．【总结升华】本题考点：平行线的性质.举一反三：【变式】（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交【答案】B.类型四、三角形5．（2014•怀化模拟）三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜8 D．1＜a＜4【思路点拨】本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【答案】C.【解析】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，∴2a﹣2＜6+8，即a＜8，任意两边之差小于第三边，∴2a﹣2＞8﹣6，即a＞2，∴2＜a＜8，故选：C．【总结升华】涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.举一反三：【变式】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.【答案】∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c＜0， b-a-c＜0∴=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.6. 下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于两个内角的和；(3)三角形中最大的内角不能小于60°；(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )A.0 个B.1个C.2个D.3个【思路点拨】认真阅读各小题提供的已知条件，依据三角形的分类方法，然后根据三角形内角和为180°进行分析解答．【答案】B.【解析】(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确；(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以只有(2)错，故选B. 【总结升华】本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.举一反三：【变式】【答案】15°.。
北师大版数学九年级上册 第4章相似三角形复习
A
角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C
D B
“A”型
边：AB ∥ CD
E
AD AE DE .
AB AC BC AB AC
面积： SADE DE 2.
SABC BC
6．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP， 要使△ACP∽△ABC，只需添加的条件是什么？（ 只要写出一种合适的条件）
A 1:9
D
E
O
B
C
4、 两相似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两相似三角形的相似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ，面积比为 9：16
E
AB∶AE
∵∠A＝∠A ∴△AED∽△ABE
C ∴∠AED＝∠ABE∵∠ABE＝∠BCE
∴ ∠AED＝∠BCE
∴DE∥BC
∴∠DEB＝∠EBC ∵∠ABE＝∠BCE
∴ △EBC∽△DEB
3、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相 似？
A
D
GF
B
CE
四、小结：本节课你有什么收获？
五、作业
完成课本复习题
四、课堂反馈：
1、如图，在
ABCD中，E是BC上一点，
BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则
北师大版九年级上册数学 第四章复习第四章复习教案1(2)
第四章 图形的相似【知识回顾】一、成比例线段1、比例线段的概念：在四条线α、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的比例等于另外两条线段的比，即)::(d c b a dcb a ==或，那么这四条线段α、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2、线段的比例中项：在比例式cbb a =（或c b b a ::=）中，b 叫做α和c 的 。
3、比例的性质①基本性质：。
bd bc ad d cb a 内项之积等于外项之积:)0(≠=⇒= ②合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=。
③等比性质：)0(≠+++=++++++⇒===n d b ba n db mc a n md c b a 。
4. 黄金分割如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC二、相似三角形的判定与性质1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2、相似三角形的判定方法（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。
北师大初中数学中考总复习：几何初步及三角形--知识讲解(提高)【精品】.doc
中考总复习：几何初步及三角形—知识讲解（提高）【考纲要求】1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性.【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段1．直线代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).要点诠释：1）．直线的两种表示方法：(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.2)．直线和点的两种位置关系(1)点在直线上(或说直线经过某点)；(2)点在直线外(或说直线不经过某点).3).直线的性质：过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.3.线段直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：1)．线段的表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；(2)用一个小写字母表示，如线段a.2)．线段的性质：所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).3)．线段的中点：线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.4)．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.考点二、角1．角的概念：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边. 要点诠释：1）．角的表示方法：(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.2）．角的分类：(1)按大小分类：锐角----小于直角的角(0°＜＜90°)；直角----平角的一半或90°的角(=90°)；钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°)．(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.3）．角的度量：(1)度量单位：度、分、秒；(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.4）．角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.2．角的平分线：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线1．对顶角(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.(2)性质：对顶角相等.2．邻补角(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.(2)性质：邻补角互补.3．垂线（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.要点诠释：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.4．同位角、内错角、同旁内角(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.考点四、平行线1．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.2．平行公理及推论：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.3．性质：(1)平行线永远不相交；(2)两直线平行，同位角相等；(3)两直线平行，内错角相等；(4)两直线平行，同旁内角互补；(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.4．判定方法：(1)定义；(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；(4)内错角相等，两直线平行；(5)同旁内角互补，两直线平行；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.考点五、命题、定理、证明1．命题：(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.(2)命题的结构：题设+结论=命题；(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.2．公理、定理：(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.3．证明：用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.考点六、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边. 6．三角形具有稳定性.考点七、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点诠释：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.【典型例题】类型一、几何初步1．判断下列语句是不是命题①延长线段AB( )．②两条直线相交，只有一交点( )．③画线段AB的中点( )．④若|x|=2，则x=2( )．⑤角平分线是一条射线( )．【思路点拨】判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.【答案与解析】①③两个语句都没有作出判断，所以①不是②是③不是④是⑤是.【总结升华】本题考查学生对命题概念的理解.举一反三：【变式】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B.类型二、三角形2．（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．证明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【思路点拨】直接根据三角形的三边关系进行解答即可．【答案与解析】证明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．故答案为：OA+OD＞AD；OD﹣OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】【答案】50°.3．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．【思路点拨】分别写出前三个图形的正三角形的个数，并观察出后一个图形比前一个图形多分割出四个小的正三角形，依此类推即可写出第n个图形的正三角形的个数，进而得出第5个图中正三角形的个数．【答案与解析】图①有１个正三角形；图②有（１＋４）个正三角形；图③有（１＋４＋４）个正三角形；图④有（１＋４＋４＋４）个正三角形；图⑤有（１＋４＋４＋４＋４）个正三角形；…．所以共有17个.【总结升华】这是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.举一反三：【变式】一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( )．A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】B.4．（2015·陕西校级期末）到三角形三个顶点距离相等的点是三角形( )的交点．A.三个内角平分线B. 三边垂直平分线C.三条中线D.三条高【思路点拨】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．【答案】B.【解析】三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.【总结升华】考点：线段垂直平分线的定理.举一反三：【变式】【答案】A.类型三、综合运用5．如图：已知，△ABC中，∠A=50°(1)如图(1)，点O是∠ABC和∠ACB的平分线交点，则∠BOC=_____；(2)如图(2)，点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线交点，则∠BPC=____；(3)如图(3)，点M是外角∠BCE和∠CBF的平分线交点，则∠BMC=____.【思路点拨】本题涉及知识点是三角形内角和定理；三角形的外角性质．【答案与解析】图(1)中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)图(2)中，∠BPC=∠PCE-∠PBC图(3)中，∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB).【总结升华】本题考查角平分线，三角形内角和，外角和内角关系等多个知识点，常采用建立方程或直接推理的方法.6．探索在如图-1至图-3中，△ABC的面积为a.(1)如图-1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，若△ACD的面积为S1，则S1=____(用含a的代数式表示)；(2)如图-2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE，若△DEC 的面积为S2，则S2=____(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图-2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF(如图-3)，若阴影部分的面积为S3，则S3=____(用含a的代数式表示)；（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF(如图-3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____倍．【思路点拨】灵活运用等底同高的两三角形面积相等来解决问题．【答案与解析】（1）∵BC=CD，∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；连接AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a；（3）结合（2）得：S3=2a×3=6a；（4）扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．【总结升华】本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程，解题思想方法的感悟，体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．举一反三：【变式】去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图)，求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m2？【答案】第一次扩展后的阴影面积为6a=6×10=60(m2)第二次扩展后的阴影面积为42a=42×10=420(m2)两次扩展后阴影部分面积共为480 m2.。
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要题随堂演练
1．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
2．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝5，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为( )
A．2 2 B．2 3
C. 5
D. 6
4．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．
5．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C 处．若AE＝3，则BC的长是____．
6．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．
7．如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：M是BE的中点．
参考答案
1．B 2.A 3.C
4．80° 5. 3 6.19 2
7．证明：如图，连接BD.
∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，
∴∠DBC＝12∠ABC＝12
×60°＝30°，∠ACB＝60°. ∵CE＝CD ，∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED ，∴△BDE 为等腰三角形．
又∵DM⊥BC，∴M 是BE 的中点．。