浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷 (理科)
绍兴一中高二第一学期期中数学试卷(理科)
绍兴一中高二数学期中考试卷（理科）一.选择题（每小题4分，共40分）1.空间直线a 、b 、c ，平面α，则下列命题中真命题的是 （ ） A. 若a ⊥b,c ⊥b,则a//c;B. 若a//c,c ⊥b,则b ⊥a;C. 若a 与b 是异面直线, a 与c 是异面直线, 则b 与c 也是异面直线.D. 若a//α ，b//α，则a// b;答案：B2. 下列几何体各自．．的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案：D3. 已知O 为空间直角坐标系的原点，以下能使向量,,OA OB OC 共面的三点,,A B C 的坐标是（ ）A. A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)B. A (1，2，3)，B (3，0，2)，C (4，2，5)C. A (1，1，0)，B (1，0，1)，C (0，1，1)D. A (1，1，1)，B (1，1，0)，C (1，0，1)答案：B4. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） ABC．3D．5答案：D5. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A.2123πcm 3 B. 70πcm 3 C. 3263πcm 3 D. 100πcm 3 答案：A正视图侧视图6. 设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是 ( ). A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥ 答案：C7. 在三棱锥P —ABC 中，所有棱长均相等，若M 为棱AB 的中点，则PAAC D答案：C8. 已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ）A．12C答案：D9．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( ). （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C'∠=（C ）CA '与平面A BD '所成的角为30（D ）四面体A BCD '-的体积为13答案：B10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关. 其中正确判断的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 答案：BCBPMAB CD BDA '俯视图二. 填空题（每小题3分，共21分）11．表面积为27π的半球体的体积是 ． 答案：36π12. 对于平面 , αβ和直线 m ，试用 “ ⊥ ” 和 “ // ”构造条件 使之能推出 m ⊥β 答案：, //m ααβ⊥13. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.答案：3 13．某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为2cm （制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）.答案：4160014. 如图，两矩形ABCD 、ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成角分别为300、450, M 、N 分别为DE 与DB 的中点，且MN=1.线段AB 的长为 . 解： 24822=-=-=EB AE AB ．16. 如图在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,A B A D A A B A D'===∠=，60BAA DAA ''∠=∠= ，则AC '的长是解：||AC '=17．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ． 解：18 三.解答题18. （本小题满分9分）B如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， 45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；解：（Ⅰ）证明： //AB CD ，又AB ⊄平面PCDCD ⊂平面PCD ∴AB ∥平面PCD ……… 4分(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，…… 5分∴BC ⊥平面PAC…………9分19. （本小题满分10分）已知四棱锥P —ABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点。
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知两个等差数到和的前n项和分别为和，且，则=（）A . 3B . 4C . 5D . 62. （2分）若且，则是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角3. （2分） (2020高二上·林芝期末) 等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该列的第（）项A . 60B . 61C . 62D . 634. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则 +的最小值为（）A . 8B . 12C . 16D . 205. （2分） (2016高一下·老河口期中) 已知x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当x12+x22取最小值时,实数m的值是（）A . 2B .C . －D . －16. （2分）在△ABC中，已知，∠A＝120°，则a等于（）A .B . 6C . 或6D .7. （2分）在各项都为正数的等比数列中，首项，则为（）A . 21B . 4C . 84D . 88. （2分）若△ABC的三个内角满足tanAtanBtanC＞0，则△ABC是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 任意三角形9. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（）A .B .C .D .10. （2分）在中,内角A,B,C的对边分别是，若，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2016高二上·西湖期中) 在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为________．12. （1分）(2018·上海) 记等差数列的前n项和为Sn ，若，则S7=________。
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的准线方程是，则a的值为（）A . 4B . -4C .D .2. （2分）命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A . 若ab=0，则a=0B . 若a≠0，则ab≠0C . 若ab=0，则a≠0D . 若ab≠0，则a≠03. （2分） (2018高二上·扶余月考) 若 , ，满足则等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·益阳期中) 设p：或；q：或则是的条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分又不必要5. （2分）直线与椭圆相交于A,B两点，该椭圆上点P使的面积等于6，这样的点P共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）(2017·太原模拟) 已知双曲线Γ：﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx﹣kc．若k= ，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k= ，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（）A . （1，2）B . （1，4）C . （2，4）D . （4，16）7. （2分）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A .B . 5C .D .8. （2分）正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·湖州期中) 如图，已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ，F2 ， |F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A . 3B . 2C .D .10. （2分）若椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣=1共焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±2x11. （2分）(2019·景德镇模拟) 已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左右焦点，若外接圆面积与其内切圆面积之比为 .则双曲线的离心率为（）A .B . 2C . 或D . 2或312. （2分）椭圆的焦距为（）A . 10B . 5C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019·鞍山模拟) 已知抛物线C：的焦点F为椭圆的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作，垂足为B ，若直线BF的斜率，则的面积为________．14. （1分） (2016高二上·河北期中) 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围________．15. （1分） (2016高二上·德州期中) 在空间直角坐标系中，设A（m，1，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=2 ，则m=________．16. （1分）(2020·南通模拟) 在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为________.三、解答题 (共6题；共47分)17. （2分） (2018高二上·江苏期中) 已知命题表示双曲线，命题。
浙江省绍兴市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷(I)卷
浙江省绍兴市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为（）A . 1B .C .D .2. （2分） (2019高一下·通榆月考) 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是（）A . 6B . 3C . 6D . 123. （2分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣，）B . （﹣， 0）∪（0，）C . [﹣，]D . （﹣∞，﹣）∪（，+∞）4. （2分） (2018高二上·武邑月考) 直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于（）A . －1B . 1C . ±1D . －5. （2分）在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（）A . 1B . 2C . 3D .6. （2分）虚数(x-2)+yi中x,y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A .B .C . ［-,］D . [-,0）∪（0,]7. （2分）(2018·肇庆模拟) 已知，，，四点均在以点为球心的球面上，且，， .若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为（）A . 1B . 2C . 4D . 88. （2分）点（）在圆+－2y－4=0的内部，则a的取值范围是（）A . －1<a<1B . 0<a<1C . –1<a<D . －<a<19. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A .B .C .D .10. （2分）两个定点A、B间距离为6，动点P到A、B距离平方差为常数λ，动点Q到A、B两点距离平方和为26，且Q轨迹上恰有三个点到P的轨迹的距离为1，则λ值可为（）A . 12B . 24C . 4D . 1二、填空题 (共5题；共6分)11. （2分） (2019高二上·南湖期中) 直线l1 ， l2的斜率k1 ， k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2 ，则m＝________.若l1∥l2 ，则m＝________.12. （1分） (2019高一上·武威期末) 正方体的表面积是96，则该正方体的体积为________.13. （1分） (2018高一上·阜城月考) 直线经过原点和，则它的倾斜角是________．14. （1分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在长方体中， 3 cm， 2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为________cm3 ．15. （1分） (2018高二上·海安期中) 已知集合集合，则中元素的个数为________.三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分） (2019高二上·伊春期末) 在直角坐标系中，以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆的圆心的坐标为半径为 ,直线的参数方程为为参数) （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；直线的普通方程;（Ⅱ）若圆C和直线相交于A，B两点，求线段AB的长.17. （10分） (2017高二上·荔湾月考) 如图，在直角梯形中，，，，是中点，将沿折起，使得面．（1）求证：平面平面．（2）若是的中点，求三棱锥的体积．18. （10分） (2016高二下·友谊开学考) 已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m=﹣6时，求圆心和半径；（2）若曲线C表示的圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且，求m的值．19. （10分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知圆C： .（1）若直线过定点，且与圆C相切，求方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D方程.20. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。
浙江省高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设命题p：任意x＞0，都有x2+x≥0，则非p为（）A . 存在x＞0，使得x2+x≥0B . 存在x＞0，使得x2+x＜0C . 任意x≤0，都有x2+x＜0D . 任意x≤0，都有x2+x≥02. （2分）命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（）A . “若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等”B . “若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形”C . “若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形”D . “若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形”3. （2分）已知三条直线a,b,c,若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么直线a和c的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 平行、相交或异面4. （2分） (2019高二上·青冈月考) 已知甲：或，乙：，则甲是乙的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二下·黄冈期末) 下列判断错误的是（）A . 若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21B . 若n组数据（x1 ， y1）…（xn ， yn）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1C . 若随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（5，），则Eξ=1D . “am2＜bm2”是“a＜b”的必要不充分条件6. （2分）(2019·普陀模拟) 若a、b、c表示直线，、表示平面，则“ ”成立的一个充分非必要条件是（）A . ，B . ，C . ，D . ，7. （2分） (2016高二上·安徽期中) 给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α③已知a，b是异面直线，α，β为两个平面，若a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α，则α∥β④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分）(2017·南昌模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·湖南月考) 在中，，，，若使绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·西宁模拟) 已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一下·广东期末) 如图的正方体中，二面角的大小是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·河南模拟) 三棱锥D﹣ABC中，AB=CD= ，其余四条棱长均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为（）A . 14πB . 7πC . 21πD . 28π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·普陀模拟) 已知，，且，，，则 ________14. （1分） (2016高一下·武城期中) 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα= ；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④ 是函数的一条对称轴方程；⑤函数的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是________（填序号）．15. （1分）(2017·南通模拟) 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是________cm．16. （1分）已知正方体的棱长为1，F，E分别为AC和BC′的中点，则线段EF的长为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）已知 =（cosx，sinx）， =（sinx+ ，cosx+ ，设f（x）= ．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）已知m∈R，p：∃x∈R使不等式f（x）≥m2+2m成立；q：函数y=lg（x2+2mx+1）的定义域为R．若“p 或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18. （5分） (2019高二上·思明期中) 已知：；：函数在区间上有零点.（Ⅰ）若，求使为真命题时实数的取值范围；（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.19. （5分）(2017·蚌埠模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AAl ， A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF，M为AB中点（Ⅰ）证明：EF⊥平面CME；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20. （10分） (2017高二上·清城期末) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．21. （10分）如图在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E为PA的中点．（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；（2）求点E到平面PBC的距离．22. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，N为AC中点．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得面MNQ平行面PAD，若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。
浙江省绍兴一中高二数学上学期期中试题 理
期中测试试题卷 高二（理科）数学第I 卷（共30分）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的．1.已知直线:320140l x y ++=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 30︒ 2.下列命题错误．．的是（ ） A ．命题“2320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“21,320x x x ≠-+≠若则” B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”C ．“0a b ⋅=r r ”是“0a =r r 或0b =r r ”的必要不充分条件D ．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真3.过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是( )A .210x y --=B .210x y -+=C .220x y +-=D .210x y +-=4.已知两个平面α、β，直线α⊂a ，则“βα//”是“直线a β//”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个四面体的顶点在空间直角坐系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，0），（0，0，1）， （0，1，0），（1，1，1），画该四面体三视图中的正视图时，以zOy 平面为投影面，则得到的正视图可为（ ）6.对于命题p 和命题q ，则“p q 且为真命题”的必要不充分条件是（ ）A. p q ⌝⌝或为假命题B. p q ⌝⌝且为真命题C. p q 或为假命题D. p q 或为真命题 7.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A.110B.25302 8.已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A ．βα//，且α//lB ．βα⊥，且β⊥lC ．α与β相交，且交线平行于D ． α与β相交，且交线垂直于l9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A ．3[B ．6[C ．623D ．2[,1]3 10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点1P ,2P 分别是线段AB ,1BD (不包括端点)上的动点,且线段12P P 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值为（ ） A.481 B. 241 C.81 D.121第Ⅱ卷 非选择题部分 （共70分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11.)4,2,4(--=a ，)2,3,6(-=b ，则=+⋅-)2()32(b a b a ；12. 直线过点P(5,6)，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线方程为__________________________；13. 若直线(m 2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是 ； 14. 已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ；15. 正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接的球表面积为____________ ；16.四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ；17.已知四棱锥，其底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示。
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）数学中无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，如： 88，454，7337，43534等都是回文数，体现对称美，读起来还真有趣！那么六位的回文数共有（）个.A . 800B . 810C . 900D . 10002. （2分） (2019高二上·南充期中) 下列函数为偶函数的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知等差数列，若，则的前7项的和是（）A . 112B . 51C . 28D . 184. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知向量，，若，则实数（）A .B .C . 3D .5. （2分） (2019高二上·南充期中) 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A . 8B . 9C . 10D . 126. （2分） (2019高二上·南充期中) 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A . 恰有1个白球和全是白球B . 至少有1个白球和全是黑球C . 至少有1个白球和至少有2个白球D . 至少有1个白球和至少有1个黑球7. （2分） (2019高二上·南充期中) 某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 108. （2分） (2019高二上·南充期中) 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（）A . 7.2B . 7.16C . 8.2D . 79. （2分） (2019高二上·南充期中) 若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为，例如 .如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的（）A . 8B . 18C . 23D . 3810. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知一个样本为x，1，y，5，其中x,y是方程组的解，则这个样本的标准差是（）A . 2B . 5C .D .11. （2分） (2019高二上·南充期中) 过点斜率为k的直线l与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·南充期中) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·四川期中) 点关于点的对称点的坐标为________．14. （1分） (2019高二上·南充期中) 圆关于直线对称的圆的标准方程是________.15. （1分） (2019高二上·南充期中) 已知直线平行，则________16. （1分） (2019高二上·南充期中) 已知A,B两点分别在两直线，上运动，是线段AB的中点，且，则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知椭圆C:,过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】 平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。
浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷
浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A . 开口向上，焦点为(0,1)B . 开口向上，焦点为C . 开口向右，焦点为(1,0)D . 开口向右，焦点为2. （2分） (2017高一上·济南月考) 已知是异面直线，平面，平面，直线满足，且，则（）A . ，且B . ，且C . 与相交，且交线垂直于D . 与相交，且交线平行于3. （2分）(2017·芜湖模拟) 设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A . 仅有一个B . 有有限多个C . 有无限多个D . 不存在4. （2分）在平面直角坐标系xOy中，己知圆C在x轴上截得线段长为，在y轴上截得线段长为.圆心C的轨迹方程是（）B .C .D .5. （2分） (2019高三上·西湖期中) 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①，②CF与EN所成的角为,③ //MN ，④二面角的大小为 ,其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）设圆和圆是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是（）①②③④⑤A . ①③⑤B . ②④⑤C . ①②④7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 过双曲线﹣ =1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足是恰在线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .8. （2分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到平面A1C1的距离是直线BC的距离的2倍，点M是棱BB1的中点，则动点P所在曲线的大致形状为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2 ．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为________ ．10. （1分）(2016·天津模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．11. （2分） (2018高二上·浙江月考) 平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是________，其方程是________.12. （1分） (2016高二上·如东期中) 过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M 为线段AB的中点，则直线l的方程为________13. （1分）(2018·荆州模拟) 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．14. （1分）如图，某流动海洋观测船开始位于灯塔B的北偏东θ（0＜θ＜）方向，且满足2sin2（+θ）﹣cos2θ=1，AB=AD，在接到上级命令后，该观测船从A点位置沿AD方向在D点补充物资后沿BD方向在C 点投浮标，使得C点于A点的距离为4 km，则该观测船行驶的最远航程为________ km．15. （1分） (2019高二上·丽水期中) 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．三、解答题 (共5题；共35分)16. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD．17. （5分）(2017·石家庄模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（x﹣1）2+y2=1（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点F（1，0）．18. （10分） (2018高二上·阜城月考) 已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率是 .（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是，求直线的方程.19. （5分）(2012·福建) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．20. （10分） (2017高二下·普宁开学考) 已知F1、F2分别为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线F2M与F2N的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共35分) 16-1、18-1、18-2、19-1、第11 页共12 页20-1、20-2、第12 页共12 页。
浙江省高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·宝坻期中) 已知集合，，则（）A . [2,3]B .C .D .2. （2分）(2016·诸暨模拟) 命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是（）A . “∀x≥1，x2＜1”B . “∀x＜1，x2≥1”C . “∃x0＜1，x2≥1”D . “∃x0≥1，x2＜1”3. （2分）函数的零点所在的大致区间是（）A . (1,2)B .C . 和(3,4)D . (2.3)4. （2分）(2017·合肥模拟) 锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A . （5，6]B . （3，5）C . （3，6]D . [5，6]5. （2分）(2017·黄陵模拟) 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB 的面积达最大值时，θ=（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·定州期中) 设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为，此四边形内任一点P到第i条边的距离为，若，则.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为，若,则（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·宜宾月考) 设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为A .B .C .D .9. （2分）(2019·临川模拟) 等差数列前项和为，，则（）A . 15B . 20C . 25D . 3010. （2分）(2018·临川模拟) 已知，，点满足，则的最大值为（）A . -5B . -1C . 0D . 111. （2分）(2020·梅河口模拟) 直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于两点，交y轴于C点，若，则该椭圆的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高三上·长宁期中) 若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（）A . ab≤1B . a2+b2≥2C . + ≤D . ≥2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） {an}是等比数列，an＞0，a3a6a9=4，则log2a2+log2a4+log2a8+log2a10=________14. （1分）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为________.15. （1分）(2018·徐州模拟) 如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为________．16. （1分）(2019·北京) 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知命题和命题．若“ 且”与“非”同时为假命题，求实数的值．18. （10分） (2020高二上·吉林期中) 四棱锥中，⊥平面，四边形是矩形，点是的中点， =2 =4 ，（1）证明：∥平面；（2）求与平面所成角的正切.19. （10分）(2017·凉山模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos2C+2 cosC+2=0．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为 sinAsinB，求c的值．20. （10分） (2018高二上·黑龙江月考) 已知数列是等比数列，，是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．21. （10分） (2020高二上·徐州期末) 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是 k为常数).记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？22. （5分） (2020高二上·那曲期末) 已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试卷含解析
春晖2023-2024学年第一学期高二数学期中试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线:1l y x =+，则该直线的倾斜角是（）A.π4B.π3 C.2π3D.3π4【答案】A 【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】设该直线倾斜角为[)()0,παα∈，由题意可知πtan 1tan 4α==，故π4α=.故选：A2.圆221:(2)(1)9C x y -++=与圆222:(2)(2)8C x y ++-=的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切D.外离【答案】B 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可.【详解】圆221:(2)(1)9C x y -++=的圆心1(2,1)C -，半径13r =，圆222:(2)(2)8C x y ++-=的圆心2(2,2)C -，半径2r =所以125C C ==，121233r r r r +=+-=-1233C C -<<+，故两圆相交.故选：B.3.过(1,1),(2,1)-两点的直线方程为（）A.210x y --=B.230x y -+=C.230x y +-=D.230x y +-=【答案】C 【解析】【分析】根据两点式方程直接求解即可.【详解】解：∵直线过两点(1,1)和(2,1)-，∴直线的两点式方程为(1)1(1)y ----＝212x --，整理得230x y +-=.故选：C.4.平面α的一个法向量()2,0,1n =，点()1,2,1A -在α内，则点()1,2,3P 到平面α的距离为（）A.B.2C.5D.10【答案】C 【解析】【分析】由点到平面距离的向量法计算．【详解】(2,0,2)PA =--，cos ,10n PA n PA n PA⋅<>==-所以点()1,2,3P 到平面α的距离为31065cos ,105d PA n PA =<>==．故选：C ．5.“221a b +>”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案.【详解】直线20ax by ++=与圆221x y +=相交2214d a b ⇔=⇔+><，显然，221a b +>推不出224a b +>，而224a b +>可推出221a b +>，故是必要不充分条件.故选：B.6.已知双曲线C 的焦点与椭圆E ：221167y x +=的上、下顶点相同，且经过E 的焦点，则C 的方程为（）A.22197x y -= B.221916y x -=C.22197y x -= D.221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】设双曲线方程为22221y x a b-=，由题意算出22,a b 即可.【详解】椭圆E ：221167y x +=，上、下顶点分别为()0,4，()0,4-，上、下焦点分别为()0,3，()0,3-.因为双曲线C 的焦点与E 的上、下顶点相同，且经过E 的焦点，设双曲线方程为22221y x a b -=，则有3a =，4c =，2227b c a =-=，所以双曲线C 的方程为22197y x -=.故选：C7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3，P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=12PF F △的周长为（）A. B.2+ C.4+ D.4【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得,a c ，结合双曲线的定义求得12PF PF +，由此求得12PF F △的周长.【详解】由题意可得1b =，c =，即有1233e a ==，可得a =2c =，P 为双曲线右支上一点，可得122PF PF a -==，又()()22121212PF PF PF PF PF PF -=-+=⋅可得12PF PF +=则12PF F △的周长为24c +=+故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题.8.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若1ABF 为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.63B.66 C.2D.33【答案】D 【解析】【分析】根据1ABF 是正三角形，此时AB x ⊥轴，结合椭圆定义，求得三边长，再由22b AF a=，求得a ，b 间的关系，从而求得离心率.【详解】因为1ABF 是正三角形，所以11BF AF AB ==，AB x ⊥轴.设2AF x =，则112BF AF a x ==-，222AB AF x ==，故22a x x -=，解得23ax =，从而2223a BF AF ==.将x c =代入椭圆方程可得22bAF a =，因此223a b a =，得2223b a =，故椭圆的离心率3c e a ===，故选：D.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线()1110l x a y +-+=：，直线2220l ax y ++=：，则下列结论正确的是（）A.1l 在x 轴上的截距为1-B.2l 过定点()0,1-C.若12l l //，则1a =-或2a =D.若12l l ⊥，则23a =【答案】ABD【解析】【分析】根据直线截距的定义可判定A ，由直线方程可求定点判定B ，利用两直线的位置关系可判定C 、D .【详解】由()1110l x a y +-+=：易知01y x =⇒=-，故A 正确；由22200,1l ax y x y ++=⇒==-：，故B 正确；若两直线平行，则有()121a a ⨯=-且121a ⨯≠⨯，解得1a =-，故C 错误；若两直线垂直，则有()212103a a a ⨯+⨯-=⇒=，故D 正确.故选：ABD10.关于曲线C ：222220x y mx y m +-++=，下列说法正确的是（）A.若曲线C 表示圆，则1m ≠B.若1m =，曲线C 表示两条直线C.若2m =，过点()1,1与曲线C 相切的直线有两条D.若3m =，则直线0x y +=被曲线C截得弦长等于【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆的一般方程的特点，结合圆的性质和圆的弦长公式逐一判断即可.【详解】A ：222222220()(1)(1)x y mx y m x m y m +-++=⇒-++=-，所以当曲线C 表示圆时，有101m m -≠⇒≠，所以本选项说法正确；B ：当1m =时，由A 可知：22(1)(1)01x y x -++=⇒=且1y =-，所以当1m =时，曲线C 表示点(1,1)-，因此本选项说法不正确；C ：当2m =时，由A 可知：22(2)(1)1x y -++=，因为22(12)(11)1-++>，所以点()1,1在圆22(2)(1)1x y -++=外面，所以过点()1,1与曲线C 相切的直线有两条，因此本选项说法正确；D ：当3m =时，由A 可知：22(3)(1)4x y -++=，圆心(3,1)-到直线0x y +=距离为：=所以弦长为：=，因此本选项说法正确，故选：ACD11.设椭圆C :2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（）A.离心率2e =B.12PF PF +=C.12PF F △面积的最大值为1D.直线0x y +=与以线段12F F 为直径的圆相切【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的定义、性质及直线与圆的位置关系一一判定选项即可.【详解】由椭圆方程可知椭圆离心率为2e ==，故A 错误；由椭圆定义可知12PF PF +=，故B 正确；当P 在上下顶点时12PF F △1=，故C 正确；以12F F 为直径的圆的圆心为原点，半径为1r ==，而圆心到直线0x y +=的距离1d r ===，即与直线相切，故D 正确.故选：BCD12.矩形ABCD 中，=2AB ，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，若1cos 3θ=，则下列结论正确的有（）A.四面体ABCD 的体积为3B.点B 与D 之间的距离为C.异面直线AC 与BD 所成角为45°D.直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为3【答案】ACD【解析】【分析】分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，利用向量法求出BD =，可判断B ，由题可得CD ⊥平面ABD ，然后利用棱锥的体积公式可得3V =可判断A ，利用向量法求出,AC BD判断C ，根据等积法结合条件可得直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值判断D.【详解】分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=，由已知可得，1,2EB FD AE CF EF =====，因为BD BE EF FD =++ ，所以222||()BD BD BE EF FD ==++2222BE EF FD BE FD=+++⋅343)8θ=+++-=，所以BD =，故B 错误；因为2AB CD ==，AD BC ==所以22212CD BD BC +==，即CD BD ⊥，同理AB BD ⊥，又CD AD ⊥，,,AD BD D AD BD =⊂ 平面ABD ，则CD ⊥平面ABD ，所以四面体ABCD 的体积为111223323ABD V S CD =⨯=⨯⨯⨯= ，故A 正确；由题可得，30CAD ∠=︒，60CAB ∠=︒，则()AC BD AC AC AD AB AD A AC B⋅=⋅-=⋅-⋅442cos 608=⨯-⨯︒=︒，则cos2,AC BDAC BDAC BD⋅==⋅，得,45AC BD=︒，所以异面直线AC与BD所成的角为45︒，故C正确；设点D到平面ABC为d，则D ABC C ABDV V--=，所以11123323ABCS d d⋅=⨯⨯⨯=，所以3d=，设直线AD与平面ABC所成角为α，则263sin3dADα===，故D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1F，2F是椭圆C：22194x y+=的两个焦点，点M在C上，则12MF MF⋅的最大值为________．【答案】9【解析】【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF+=，结合基本不等式即可求得12MF MF⋅的最大值.【详解】∵M在椭圆C上∴12236MF MF+=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF+=≥129MF MF⋅≤，当且仅当123MF MF==时取等号.故答案为：9.14.在平面直角坐标系内，点()1,1A-关于直线:10l x y-+=对称的点B的坐标为___________.【答案】()2,2-【解析】【分析】设对称点B为(),m n，根据直线AB l⊥，又AB中点在直线l上，列方程求解,m n，即可得点B的坐标.【详解】解：设对称点B 为(),m n ，则可得AB l ⊥，又直线:10l x y -+=的斜率为1所以1111AB l m k k n +⋅=⨯=--，即0m n +=①又AB 中点11,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，所以111022m n +--+=，即40m n -+=②联立①②解得：2,2m n =-=，所以点B 的坐标为()2,2-.故答案为：()2,2-.15.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．【答案】5【解析】【分析】根据P ，A ，B ，C 四点共面，由PA xPB yPC =+求解.【详解】解：因为()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以PA xPB yPC =+ ，则122332x y x y x y λ=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得115x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：516.若对于一个实常数t ，恰有三组实数对(),a b满足关系式1a b t ++==，则t =______.【答案】1【解析】【分析】根据点到直线的距离和代数式的几何意义求解即可.【详解】由10a b t ++==≥，若0=t ，则需0a b ==与1a b t ++=矛盾，所以0t >，由1a b t ++=，得点(),a b 到直线10x y ++=的距离为=t =，得点(),a b 在圆222x y t +=上，根据题意恰有三组实数对(),a b满足关系式1a b t ++=，等价于圆222x y t +=上恰有三个点满足到直线10x y ++=，圆心()0,0到直线10x y ++=的距离为22=，则需圆的半径2t >，过()0,0作OH ⊥直线10x y ++=于H ，交圆于P ，则,22OH PA t ==-，则要使圆222x y t +=上恰有三个点满足到直线10x y ++=，有)1112PA t t t =-=⇒=⇒=+故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l 的方程为240x y +-=，若直线2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥.（1）求直线1l 和直线2l 的交点坐标；（2）已知不过原点的直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线3l 的方程.【答案】（1）()2,1（2）250x y +-=【解析】【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式先求得2l ，联立方程计算交点即可；（2）利用截距式计算即可.【小问1详解】设直线1l 和直线2l 的斜率分别为12,k k ，由题意知112k =-，∵12l l ⊥，∴22k =．又因为直线2l 在x 轴上的截距为32，所以直线2l 过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线2l 的方程为322y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2l :230x y --=.联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，即交点为()2,1.【小问2详解】因直线3l 不过原点，设其在x 轴上的截距为a ，方程为12x y a a+=，因为过()2,1，所以2112a a +=，解得52a =，所以直线3l 的方程250x y +-=.18.已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r .（1）若a kb +r r 与2a b + 共线，求实数k 的值；（2）若a kb +r r 与2a b + 所成角是锐角，求实数k 的范围．【答案】（1）12k =（2）{1k k >-且12k ≠}．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示计算即可；（2）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可.【小问1详解】由已知可得(1,1,2)a kb k k +=- ，2(1,2,2)a b += ．因为a kb +r r 与2a b + 共线，所以112122k k -==，解得12k =．【小问2详解】由(1)知(1,1,2)a kb k k +=- ，2(1,2,2)a b += ．所以()(2)(1,1,2)(1,2,2)1240a kb a b k k k k +⋅+=-⋅=-++> ，∴1k >-．又当12k =时，a kb +r r 与2a b + 共线，所以实数k 的范围为{1k k >-且12k ≠}．19.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）222220x y x y +++-=；（2）1x =或512190x y -+=.【解析】【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PA =，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设(),P x y ，由||||PA PO ==，化简得222220x y x y +++-=，所以P 点的轨迹C 的方程为222220x y x y +++-=.【小问2详解】由（1）知，轨迹C ：22(1)(1)4x y +++=表示圆心为(1,1)C --，半径为2的圆，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，圆心(1,1)C --到直线l 的距离为2，l 与C 相切；当直线l 的斜率存在时，设():21l y k x -=-，即20kx y k -+-=，2=，解得512k =，因此直线l 的方程为51901212x y -+=，即512190x y -+=，所以直线l 的方程为1x =或512190x y -+=.20.如下图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，又2PA =.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）设22AD AB ==，AB AD ⊥，//AD BC ，平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为255，求BC 的长．【答案】（1）2（2）14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质判定线面垂直即证PA ⊥平面ABCD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【小问1详解】如图，在平面ABCD 中取一点E ，并过点E 分别作直线a AD ⊥，b AB ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，a ⊂平面ABCD ，所以a ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA a ⊥．同理因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，b ⊂平面ABCD ，所以b ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，所以PA b ⊥，又a b E = ，,a b ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，即点P 到平面ABCD 的距离为2PA =.【小问2详解】如图所示，以A 点为原点，分别以,,AD AB AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设()0BC t t =>，则()()()()0,1,0,2,0,0,0,0,2,,1,0B D P C t ，∴()0,1,2PB =- ，()2,0,2PD =- ，()2,1,0DC t =- ，(),0,0BC t = ．设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则200m PB y z m BC tx ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令10,2z x y =⇒==，得()0,2,1m = ．同理，设平面PCD 的法向量为(),,n p q r = ，有()22020n PD p r n DC t p q ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12,1p q t r =⇒=-=，即()1,2,1n t =- ．由题意知5m n m n ⋅==⋅ ，解得14t =，所以BC 的长为14．21.已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.【答案】（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】【分析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M 计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x，又因为双曲线过点M ，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m +=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，112A F =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ，2A P ，2A Q ，1AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，求2F PQ △面积的取值范围．【答案】22.2211612x y +=23.（i ）34-；（ii）0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合离心率与焦点到顶点的距离计算即可得；（2）（i ）设出直线，联立后消去x 得与y 有关的韦达定理后求解即可得；（ii ）借助（i ）中的结论，将2F PQ △面积用未知数表达后结合换元法借助函数性质求最最值即可得.【小问1详解】由于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，故12c a =，又112A F a c =-=，所以4a =，2c =，22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.【小问2详解】（i ）设l 与x 轴交点为D ，由于直线l 交椭圆Ｃ于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），故直线l 的的斜率不为0，直线l 的方程为x my t =+，联立2211612x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则222(34)63480t y mty m +++-=，则2248(1216)0t m ∆=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，又1(4,0)A -，2(4,0)A ，故122211111222111134444163PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---，同理123434QA QA k k k k ==-．（ii ）因为()142353k k k k +=+，则2323335()443k k k k --=+，23232335()43k k k k k k +-⋅=+．又直线l 交与x 轴不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k =-．所以121294420y y x x ⋅=---，1212209(4)(4)0y y ty m ty m ++-+-=，于是221212(920)9(4))(9(4)0t y y t m y y m +++-+-=，222226(920)9(4)9(4)03483434m t t m mt t t m -+⋅+-+--+⋅=+，整理得2340m m --=，解得1m =-或4m =，因为P 、Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同交点，因此1m =-，直线l 恒过点(1,0)D -，此时122634t y y t +=+，1224534y y t -=+，21222222122122133451845()4()42223434346F PQ t t y y y y y F D t t t y -+=⋅-=--++++△S ，245t λ+=，由直线l 交与x 轴不垂直可得5λ>，故222218457272134313F PQ t t λλλλ+===+++△S ，因为7213y λλ=+在5,)+∞上为减函数，所以2F PQ △面积的取值范围为5(0,)2.【点睛】本题关键在面积的表示及运算，结合换元法解决最后分式不等式的范围问题.。
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·张家口月考) 已知命题所有的幂函数图象都过，则为（）A . 所有的幂函数图象都不过B . 所有的幂函数图象不都过C . 存在一个幂函数，它的图象不过D . 存在一个函数图象过，它不是幂函数2. （2分）给定下列四个命题：①，使5x0+1=0成立；②已知命题，那么命题为:，使2x<0；③若两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面平行；④若两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行.其中真命题个数是A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分） (2015高二下·会宁期中) 等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A . 12B . 24C . 16D . 484. （2分） (2018高一下·金华期末) 设实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·枣庄模拟) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（）A . |a7|＞|a8|B . |a7|＜|a8|C . |a7|=|a8|D . |a7|=06. （2分）(2018·榆林模拟) 已知，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为（）A . 5B . 4C . 2D . 18. （2分） (2017高二上·河南月考) 设，则的充要条件是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·湘潭模拟) 已知Tn为数列的前n项和，若n＞T10+1013恒成立，则整数n的最小值为（）A . 1026B . 1025C . 1024D . 102310. （2分）在等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A . 12B . 24C . 36D . 4811. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，则等比数列的公比（）A . 可以取无数个值B . 只可以取两个值C . 只可以取一个值D . 不存在12. （2分）(2016·浙江文) 如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ，n∈N* ， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ，n∈N* ，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A . {Sn}是等差数列B . {Sn2}是等差数列C . {dn}是等差数列D . {dn2}是等差数列二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在等比数列{an}中，，公比q=2，数列{bn}是等差数列，且b7=a5 ，则b3+b11=________．14. （1分）(2019·大庆模拟) 已知点为的重心，，，，则的最小值为________．15. （1分）(2018·南充模拟) 在数列中，若( ，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；② 是等方差数列；③若是等方差数列，则( ，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为________(写出所有正确命题的序号).16. （1分）(2018·荆州模拟) 设数列满足，，若使得，则正整数 ________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二上·吉安期中) 命题p：∀x∈R，ax2+ax﹣1＜0，命题q： +1＜0．（1）若“p或q”为假命题，求实数a的取值范围；（2）若“非q”是“α∈[m，m+1]”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18. （10分） (2016高一上·渝中期末) 已知f（x）=x|x﹣a|（a∈R）．（1）若a=1，解不等式f（x）＜2x；（2）若对任意的x∈[1，4]，都有f（x）＜4+x成立，求实数a的取值范围．19. （10分）(2018·内江模拟) 的内角的对边分别为，已知 .（1）求；（2）若，点在边上，，求的长.20. （15分）建造一个容积为240m3 ，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m2 ，池底的造价为350元/m2 ，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？21. （10分）己知等差数列中，前n项和为Sn ，且满足S3=6，a4=4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和为Tn ．22. （10分） (2019高一下·余姚月考) 数列的前n项和为，且， .（1）证明；（2）求的通项公式；（3）设，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题含解析
上虞2023学年第一学期高二数学期中测试（答案在最后）注意事项：1.考试时间：120分钟；2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合要求）1.若直线l 经过坐标原点和()3,3-，则它的倾斜角是（）A.45-︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，进而可求得该直线的倾斜角．【详解】由题意可知，直线l 的斜率为30130k --==--，设直线l 的倾斜角为θ，则0180θ︒≤<︒，显然90θ≠︒，所以tan 1θ=-，得135θ=︒．故选：C ．2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2c 的值为（）A.9B.11或9- C.11- D.9或11-【答案】B 【解析】【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c 的值.【详解】解： 直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为∴=，解得：c=11或c=-9.故选B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.3.方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则实数a 的值为A.0B.1C.1-D.2【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到a 的值，从而可得到不能表示圆时a 的值.【详解】方程22210x y ax y +-++=能表示圆，则22()2410a -+-⨯>，解得20a >，即0a ≠.所以，若方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则0a =.故选A.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.4.若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.5.已知R m ∈，则“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m 的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠，所以“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件.6.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(3)2x y -+=上，则ABP 面积的最小值为（）A.6B.C.12D.【答案】A 【解析】【分析】确定A ，B 两点坐标，再根据点到直线距离确定P 到AB 距离的最小值，进而求得三角形面积的最小值.【详解】(3,0)A -，(0,3)B -，∴AB ==，圆22(3)2x y -+=的圆心到直线30x y ++=的距离d ==∴P 到AB 距离的最小值为，∴ABP 面积的最小值为162⨯=，故选：A.7.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角最大时的正弦值为（）A.12B.2C.2D.5【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，()()111,0,0,0,1,0,,022B C N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ，sin PN nPN nθ⋅∴==⋅，当12λ=时，max (sin )5θ=，此时角θ最大．故选：D．8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于AB 两点，P 为AB 的中点，1134|,tan 2F P AB APF =∠=，则该椭圆的离心率为（）A.12B.2C.2D.【答案】B 【解析】【分析】在1AF P △中，由余弦定理可得1AF 的长度，进而根据边的关系得1AF P △为直角三角形，根据焦点三角形即可得,a c 关系.【详解】设20AB x,x =>则AP BP x ==，所以114|=2F P AB F P x =⇒由于13tan 02APF ∠=>，所以1APF ∠为锐角，故1cos APF ∠=在1AF P △中，由余弦定理得132AF x ==，因此22211AF AP PF +=,故1AF P △为直角三角形，所以152BF x ===，由1AF B △的周长为35242223a x x x x a =++Þ=，所以121322AF x a,AF a AF a,===-=故1222F F c e ==Þ=，故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下面四个结论正确的是（）A.向量(),0,0a b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=B.若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线C.已知向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，若//a b，则2x =-D.任意向量a ，b满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 【答案】ABC 【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A ，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B ，根据空间向量共线的坐标表示可判断C ，利用数量积的定义判断D.【详解】对于A ：因为0,0a b ≠≠r r r r，a b ⊥ ，则0a b ⋅=，正确；对于B ：因为1344PC PA PB =+ ，则11334444PC PA PB PC -=-，即3AC CB = ，又AC 与CB有公共点，所以,,A B C 三点共线，正确；对于C ：因为向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，//a b，所以存在R λ∈，使得b a λ=，即()()2,,41,1,x x λ-=，则2114x x λλλ-=⨯⎧⎪=⨯⎨⎪=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩，正确；对于D ：()a b c ⋅⋅ 表示平行于c 的向量，()a b c ⋅⋅表示平行于a 的向量，当a 与c不平行时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅ 一定不成立，错误.故选：ABC10.关于直线l ：0ax y a ++=，以下说法正确的是（）A.直线l 过定点()1,0-B.若1a =-，直线l 与20x y +-=垂直C.a<0时，直线l 不过第一象限D.0a >时，直线l 过第二，三，四象限【答案】ABD 【解析】【分析】利用分离参数法、直线的斜截式方程以及两直线垂直的判定求解.【详解】直线l ：0ax y a ++=可变形为：(1)0a x y ++=，由100x y +=⎧⎨=⎩解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()1,0-，故A 正确；当1a =-，直线l ：10x y -+-=，所以l 与直线20x y +-=的斜率之积为1-，即两直线垂直，故B 正确；对于C 选项，直线l ：0ax y a ++=可变形为：=--y ax a ，当a<0时，0a ->，直线l 经过第一，二，三，象限，故C 错误；对于D 选项，直线l ：=--y ax a ，当0a >时，0a -<，直线l 经过第二，三，四象限，故D 正确；故选：ABD ．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知12(1,1),(1,0),(1,0)A F F -，若动点P 满足124PF PF +=，则（）A.存在点P ，使得21PF =B.12PF F △面积的最大值为C.对任意的点P ，都有2||3PA PF +> D.有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆为22143x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-，验证C 选项；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数.【详解】由题知，点P 的轨迹是2a =，1c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =，椭圆方程为22143x y +=，当点P 为椭圆右顶点时，21PF a c =-=，故A 正确；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，为1212F F b ⋅=B正确；2112244PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==因43<，故C 错误；设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1,A F坐标知，1AF =1AF 的方程为210x y -+=，则1322=，解得00220x y --=或00240x y -+=，联立002200220143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200230y y -=，则90∆=>，因此存在两个交点；同理可得直线00240x y -+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ABD12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD 与直线1C M 始终是异面直线B.存在点M ，使得1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.H 为线段1AA 的中点，//MH ACE 平面【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，当M 位于1BD 中点时，AD 与1C M 共面；对于选项B 和D 可采用空间向量计算，对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，易证所以四面体EMAC 的体积为定值，由面面平行的判定定理得出平面1//BHD 平面AEC ，进而可得//MH 平面AEC .【详解】解：对于A 选项，连接1AC 交1BD 与O ，当点M 在O 点时，直线AD 与直线1C M 相交，故A 选项不正确；对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故C 选项正确；以D 为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B对于B 选项，存在点M ，使得1B M AE ⊥，则()2,0,1AE =-，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+---=--- ，[]0,1λ∈，所以14220AE B M λλ⋅=+-= ，得13λ=，故当M 满足12D M MB =时，1B M AE ⊥，故B 选项正确；对于D 选项，连接1,,,,AE CE AC BH D H ，如下图所示：因为H 为AA 1的中点，E 为DD 1的中点，所以1//,//,CE BH D H AE 1,,AE CE E BH D H H ⋂=⋂=所以平面1//BHD 平面AEC ，MH ⊂平面1BHD ，所以//MH 平面AEC ，故D 选项正确；故选：BCD.第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线1:20l mx y +-=与直线2:21l y x =-平行，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】直线1l 的方程可化为2y mx =-+，因为12//l l ，则2m -=，解得2m =-.故答案为：2-.14.椭圆C ：22214x y m+=的焦距为4，则C 的长轴长为____________【答案】【解析】【分析】设椭圆的长轴长为2a ，由题意有2a >，22242m a ==+，即可得出．【详解】设椭圆的长轴长为2a ，由椭圆22214x y m+=的焦距为4，可得2a >．因此椭圆的焦点只能在y 轴上，可得22242m a ==+，解得a =所以椭圆C的长轴长为2a =.故答案为：15.设A 为圆2220x y x +-=上的动点，PA 是圆的切线且||1PA =，则P 点的轨迹方程是_________【答案】22(1)2x y -+=【解析】【分析】根据切线长可以求得P 点到圆心的距离，代入距离公式即可求得.【详解】由圆2220x y x +-=的方程可知，圆心为(1,0)，半径1r =，PA 是圆的切线且||1PA =，则点P设(,)P x y=，化简得22(1)2x y -+=.故答案为：22(1)2x y -+=16.已知点()00,P x y ，直线:0l Ax By C ++=，且点P 不在直线l 上，则点P 到直线l 的距离d =；类比有：当点()00,P x y 在函数()y f x =图像上时，距离公式变为d =，根据该公式可求33x x ++-+的最小值是____________【答案】4【解析】【分析】依题意可得，33x x+--+=，令y=+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，再结合图象进行求解.【详解】解：依题意可得，33x x+-+，令y=()2210x y y+=≥，该方程表示以()0,0为圆心，以1为半径的半圆，表示该半圆上的点到直线1:30l x y-+=的距离，表示该半圆上的点到直线2:30l x y+-=的距离，+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，如图所示：结合图象，当点P 运动到点(0,1)M 时，此时d 取得取小值，则min 0310312222+--+==d 则223131x x x x +-+-+-的最小值为224=.故答案为：4.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线l 过点P (2，3)，根据下列条件分别求出直线l 的方程:（1）直线l 的倾斜角为120°；（2）在x 轴、y 轴上的截距之和等于0.【答案】（13x +y -3-23；（2）3x -2y =0或x -y +1=0.【解析】【分析】（1）由倾斜角求出斜率，利用直线的点斜式方程即得解；（2）分经过原点时和不过原点两种情况讨论，分别设直线为y kx =，x a +-ya=1(a ≠0)，代入点坐标即得解【详解】（1）由直线l 的倾斜角为120°，可得斜率k =tan 120°=3，由直线的点斜式方程可得，y -3=3(x -2)，化简得直线l 3+y 3（2）当直线l 经过原点时，在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，符合题意，此时直线l 的方程为y =32x ，即3x -2y =0；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a +ya-=1(a ≠0).因为P (2，3)在直线l 上，所以2a +3a-=1，解得a =1-，则直线l 的方程为x -y +1=0.综上所述，直线l 的方程为3x -2y =0或x -y +1=0.18.已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程.【答案】（1）22(1)4x y -+=（2）0x =或3480x y +-=【解析】【分析】（1）根据题意，设AB 的中点为D ，求出D 的坐标，求出直线CD 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，由圆心的位置分析可得a 的值，进而计算可得r 的值，据此分析可得答案；（2）设F 为MN 的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB K K ⨯=-，得1CD K =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =-+，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=；（2）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==，圆心C 到直线l 的距离||1d CF ===，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =，解得34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，11CD CC ==，设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuur r ．（1）用a ，b ，c表示1AC 并求出1AC 的长度；（2）求异面直线1AC 与DA 所成角的余弦值．【答案】（1）1()AC a b c =-++ ，1||AC = ；（2）3．【解析】【分析】（1）根据已知条件所给基底，利用向量的线性运算表示即可；（2）写出向量DA b =，代入公式求夹角即可.【小问1详解】因为11CA CD DA AA a b c =++=++ ，所以1()AC a b c =-++ .1AC ===.【小问2详解】由（1）可知，1()AC a b c =-++ ，DA b =，则1()cos ,()a b c bA C DA a b c b -++⋅<>==-++⋅11111116223-⨯⨯--⨯⨯=-，因为异面直线夹角的范围为(0,2π，故异面直线1AC 与DA所成角的余弦值为3.20.已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，且椭圆C 过点3,12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是椭圆C 上任意一点，求1211PF PF +的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]1,4.【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合椭圆的性质得出椭圆C 的标准方程；（2）由定义得出1211PF PF +()21424PF =--+，结合椭圆的性质得出1211PF PF +的取值范围．【小问1详解】已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，设椭圆C 的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，且c =22223a b c b =+=+①，又椭圆C 过点3,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以221314a b +=②，联立①②解得224,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=；【小问2详解】12121211PF PF PF PF PF PF ++=()()()221111111244424424a PF a PF PF PF PF PF PF ====---+--+，又1a c PF a c -≤≤+，即122PF ≤≤+，当12=PF 时，()2124PF --+最大，为4；当12PF =2+时，()2124PF --+最小，为1，即()2141424PF ≤≤--+，即121114PF PF ≤+≤，所以1211PF PF +的取值范围为[]1,4．21.如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.(1)求证:AE ∥平面DCF;(2)当AB 的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?【答案】(1)证明略(2)当AB 为时，二面角A—EF—C 的大小为60°【解析】【详解】方法一（1）过点E 作EG ⊥CF 交CF 于G ，连接DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以AD EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF.（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°,FG=1,又因为CE⊥EF,所以CF=4,从而BE=CG=3.于是BH=BE·sin∠BEH=.因为AB=BH·tan∠AHB=×=，所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.方法二如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.设AB=a，BE=b，CF=c，则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.故AE∥平面DCF.（2）因为=（-，c-b，0），=（，b，0）.·=0，||=2，所以解得所以E（，3，0），F（0，4，0）.设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，则n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.又因为BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），所以|cos〈n,〉|=解得a=.所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △的面积为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN 的面积为定值.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式2c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式21222b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k x kmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意0∆>，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则2c a =①过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以212322b c a ⨯⨯=②把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a =所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=>||MN ==，O 到直线MN的距离d =，所以OMN21214||||214SMN d m k ∆=⋅==⋅+22||||||12m m m m m=⋅=⋅=，即OMN 的面积为定值1（ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12yx =，代入椭圆方程，解得22M ⎫⎪⎪⎭，此时OMN的面积为122122⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.综上可知，OMN 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形．。
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知是等差数列的前项和，若，，则（）A . 5B . 10C . 15D . 202. （2分）若，则下列说法正确的是（）A . 若a>b,则a-c>b-cB . 若a>b，则C . 若ac<bc，则a<bD . 若a>b，则3. （2分）在等差数列中，以表示数列的前n项和，则使达到最大值的n是（）A . 18B . 19C . 20D . 214. （2分）在平面直角坐标系中，已知若目标函数的最大值是10，则实数t的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）已知数列满足，，则等于（）A .B .C . 0D .6. （2分） (2019高三上·凤城月考) 在中三条边，，成等差数列,且，，则的面积为（）A .B .C .D .7. （2分）设等差数列的前n项和为，若，则（）A . 54B . 45C . 36D . 278. （2分） (2016高一下·辽源期中) 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3 ，则AC=（）A . 4B . 2C .D .9. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·洛阳期中) 已知锐角三角形的三边分别为，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·辽源期中) 在正项数列{an}中，a1=2，点（，）（n≥2）在直线x ﹣ y=0上，则数列{an}的前n项和Sn等于（）A . 2n﹣1﹡B . 2n+1﹣2C . 2 ﹣D . 2 ﹣12. （2分）在，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A . b = 10，A = 45°，B = 70°B . a = 60，c = 48，B = 100°C . a = 7，b = 5，A = 80°D . a = 14，b = 16，A = 45°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为________．14. （1分）已知x＞0，y＞0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是________．15. （1分） (2016高一上·如皋期末) 已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为________．16. （1分）(2018·凉山模拟) 设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二上·阳朔月考) 已知，不等式的解集是，（1）求的解析式；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．18. （10分） (2016高二上·辽宁期中) 设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．19. （10分） (2017高二上·平顶山期末) 已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+ px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC= ，求p的值．20. （10分） (2017高一下·承德期末) 等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．21. （5分）(2018高二上·阜阳月考) 在中，角A,B,C 的对边分别是，已知（1）求角B的大小（2）求三角形ABC的面积。
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合P={x|-2x3},Q={x|2x4}，则P Q=（）A . 【3.4）B . （2,3】C . （-1,2）D . （-1,3】3. （2分）若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A . 1B . -C . -D . -24. （2分） (2015高三上·滨州期末) 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A .B .C .D .5. （2分）（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）等于（）A . 88B . 22C . 44D . 2226. （2分） (2017高二上·阳朔月考) 在中，，，，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·海南模拟) 已知锐角的外接圆的圆心为，半径为，且，则等于（）A .B .C .D .8. （2分）在等差数列中，，前n项和为，且，则（）A . -2012B . 2012C . -2013D . 20139. （2分） (2016高二上·宣化期中) 如果执行程序框图，那么输出的S=（）A . 2450B . 2500C . 2550D . 265210. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（）A . =1.23x+4B . =1.23x﹣0.08C . =1.23x+0.8D . =1.23x+0.0811. （2分）(2017·武邑模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A . y=2xB . y=C . y=|x|D . y=﹣x2+1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·齐齐哈尔模拟) 已知实数满足条件若的最小值为 ,则实数 ________．14. （1分）直线x+y+1=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦长为________15. （1分） (2015高三上·河北期末) 对于数列{an}，定义Hn= 为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1 ，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ，若Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为________ ．16. （1分）已知x2+y2﹣2ax+4y﹣6=0的圆心在直线x+2y+1=0上，那么实数a等于________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，1 求C的大小；18. （10分）(2017·成都模拟) 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率．20. （10分） (2015高二上·昌平期末) 在直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．（1）求证：OC1∥平面AB1D1（2）求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1（3）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．21. （10分）(2017·自贡模拟) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn ．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn ，求{cn}的前n项和Sn ．22. （10分） (2019高二上·上海期中) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，若点在矩形区城内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败，已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进.（1）如图建系，求的轨迹方程；（2）记与的夹角为，，如何设计的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功？（3）若与的夹角为，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度，才能挑战成功？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
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浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二上·沈阳期末) 抛物线的准线方程为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高二上·榆林期末) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2017高二上·襄阳期末) 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）
A . m与n重合
B . m与n平行
C . m与n交于点（，）
D . 无法判定m与n是否相交
5. （2分） (2016高二上·射洪期中) 圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）
A . 1条
B . 2条
C . 3条
D . 4条
6. （2分）下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高二下·韶关期末) 如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）
A . 32
B . 42
C . 52
D . 63
8. （2分）“”方程“表示双曲线”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 既不充分也不必要条件
D . 充分必要条件
9. （2分）椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点．则|ON|等于（）
A . 2
B . 4
C . 8
D .
10. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1 ， F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A .
B . ﹣1
C . +1
D .
11. （2分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，椭圆与双曲线的离心率分别为的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）(2012·山东理) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）
A . + =1
B . + =1
C . + =1
D . + =1
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________ 所．
14. （1分）中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E：x2+y2﹣4x+3=0的圆心，一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点，则椭圆C的标准方程为________
15. （1分）设抛物线x2=4y的焦点为F，经过点P（1，4）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则||+||=________ ．
16. （1分）设命题p：函数f(x)=lg（）的值域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，如果命题p和q不全为真命题，则实数a的取值范围是________
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （5分）直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
18. （10分）(2016·新课标Ⅰ卷文) [选项4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（1）
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）
直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|= ，求l的斜率．
19. （5分） (2017高二下·邢台期末) 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周
自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．
（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
（Ⅱ）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；
（Ⅲ）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．
20. （10分） (2017高二下·汪清期末) 已知椭圆的离心率为，右焦点为．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）若过点且斜率为1的直线与此椭圆相交于两点，求的值．
21. （10分）(2020·河南模拟) 在极坐标系中,直线的极坐标方程为．以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为 ,（为参数）．（1）请写出直线的参数方程;
（2）求直线与曲线交点的直角坐标．
22. （10分）(2018·江西模拟) 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以点为圆心，以3为半径的圆与以点为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.设点，在中， .
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率分别为，，求的值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12、答案：略
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共50分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
20-2、21-1、21-2、22-1、
22-2、。