山东省泰安市2018届高三上期末考试数学理试题
2017-2018年山东省济宁市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2017-2018学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x2﹣3x≤0}，B={x|y=lg（2﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|1≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|0＜x≤2}2．（5分）已知，，且，则m=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．（5分）已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．C．2D．34．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得lnx0=1﹣x0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为（）A．76B．96C．146D．1886．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为（）A．B．﹣1C．1D．7．（5分）已知，，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．49．（5分）函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）“a=﹣1”是函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，曲线C2的焦距为2，则曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与抛物线C所围成的图形的面积等于．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为．15．（5分）某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．16．（5分）设函数，则方程f n （x）=0的根为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，，求a的值．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且3S n=1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）若D是AA1的中点，求证：BD∥平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值．20．（12分）如图，点是圆内的一个定点，点P 是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P 在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．21．（12分）设函数f（x）=x+lnx﹣．（1）讨论函数f（x）的单词性；（2）当a=1时，记g（x）=xf（x），是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g （x）有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．23．（10分）设函数f（x）=|x﹣a|+2x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若x≥﹣1时，恒有f（x）≥0成立，求a的取值范围．2017-2018学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x2﹣3x≤0}，B={x|y=lg（2﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|1≤x＜3}C．{x|2＜x≤3}D．{x|0＜x≤2}【解答】解：A={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，B={x|y=lg（2﹣x）}═{x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|0≤x＜2}，故选：A．2．（5分）已知，，且，则m=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵，，∴﹣=（m+2，1），∵，∴=，即m+2=﹣1，得m=﹣3，故选：A．3．（5分）已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1B．C．2D．3【解答】解：∵y=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=，故选：B．4．（5分）命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得lnx0=1﹣x0，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（¬q）C．（¬p）∧q D．（¬p）∧（¬q）【解答】解：当c=0时，ac2＜bc2不成立，则命题p为假命题，当x=1时，ln1=1﹣1=0，则命题q为真命题，则（¬p）∧q为真命题，其余为假命题，故选：C．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为（）A．76B．96C．146D．188【解答】解：根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解可得a1=192，则a2=a1×q=192×=96；即此人第二天走的路程里数为96；故选：B．6．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为（）A．B．﹣1C．1D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设，即y=（）x+z，平移曲线y=（）x+z，由图象可知当曲线y=（）x+z经过点A时，此时z取得最大值，由，解得A（1，1），此时z=1﹣（）1=，故选：D．7．（5分）已知，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，即．∵，∴．∴==．故选：A．8．（5分）已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（）A．16B．9C．5D．4【解答】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则+=2×=1；则a+9b=（a+9b）（+）=10++≥10+2=16；即则a+9b的最小值为16；故选：A．9．（5分）函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数y=﹣2cos2x+cosx+1，x∈[﹣，]，所以函数为偶函数，故排除A，Dy=﹣2cos2x+cosx+1=﹣2（cosx﹣）2+，x∈[﹣，]，因为cosx≤1，所以当cosx=时，y max=，当cosx=1时，y min=0，故排除C，故选：B．10．（5分）“a=﹣1”是函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln（+a）+ln（+a）=0，即ln（+a）（+a）=0，则（+a）（+a）=1，即•=1，则=1即a2﹣（a+2）2x2=1﹣x2，则，得a=﹣1，则“a=﹣1”是函数为奇函数”的充要条件，故选：C．11．（5分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，且两曲线C1，C2的交点连线过曲线C1的焦点F，曲线C2的焦距为2，则曲线C2的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由可线段EF被双曲线C2：的顶点三等分，得2a=，即p=6a∵两曲线C1，C2的交点A连线过曲线C1的焦点，∴A（3a，6a）在双曲线C2：上，∴⇒．∴曲线C2的离心率e满足：e2=，可得e=故选：D．12．（5分）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，∴y=f（x）与y=ax在区间（0，e2）上有三个交点；由函数y=f（x）与y=ax的图象可知，k1==；f（x）=lnx，（x＞1），f′（x）=，设切点坐标为（t，lnt），则=，解得：t=e．∴k2=．则直线y=ax的斜率a∈（，）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与抛物线C所围成的图形的面积等于．【解答】解：方法一：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y 的焦点且与y轴垂直，直线与抛物线的交点（﹣2，1），（2，1），直线l的方程为y=1，如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y=x2的图象和x轴正半轴及直线x﹣=2围成的图形的面积的差的2倍（图中阴影部分的2倍）．即l与C所围成的图形的面积S=4﹣2x2dx=4﹣2×x3=4﹣=．故答案为：．方法二：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，直线与抛物线的交点（﹣2，1），（2，1），则l与抛物线C所围成的图形的面积等于S=2×2dy=2×2×=，∴l与C所围成的图形的面积为，故答案为：．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，A=1，=﹣=，∴T=π，即=π，解得ω=2；由五点法画图知，sin（2×+φ）=1，解得φ=﹣=，∴f（x）=sin（2x+）；将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．15．（5分）某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是正三棱柱，底面是边长为4的等边三角形，正三棱柱的高是．如图，设底面等腰三角形ABC的外心为G，则CG=，∴直三棱柱外接球的半径R=．∴该几何体的外接球的表面积为4πR2=4π×=．故答案为：．16．（5分）设函数，则方程f n （x）=0的根为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．【解答】解：f1（x）=1+x，f2（x）=1+x+=（x+1）（1+），f3（x）=f2（x）+=（x+1）（1+）+=（x+1）[1++]=（x+1）（1+）（1+）．…同理可得：f n（x）=（x+1）（1+）（1+）…（1+）．∴f n（x）=0解为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．故答案为：﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c=5，，求a的值．【解答】（1）由，得，∵sinC≠0，∴，∴，∴，∵，∴，即．（2）由，∴bc=4，∵，∴．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且3S n=1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，3S1=1﹣a1，∴3a1=1﹣a1，∴，当n≥2时，因为3S n=1﹣a n①所以3S n=1﹣a n﹣1②﹣1①﹣②得3a n=a n﹣1﹣a n，∴4a n=a n﹣1，∴．所以数列{a n}是首项为，公比为的等比数列．∴；（2），=，∴，=．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）若D是AA1的中点，求证：BD∥平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值．【解答】（1）证明：连接DC1，BC1，∵D，E分别是AA1，CC1的中点，∵AD=C1E，AD∥C1E，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥DC，∵E，F分别是CC1，BC的中点，∴EF∥BC1，∴平面AEF∥平面BDC1，又BD⊂平面BDC1，∴BD∥平面AEF．（2）解：以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可知：A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），∴，，=（﹣2，0，﹣2），设平面AEF的法向量为，由，得，令z=2，得x=1，y=﹣1，即，设，则=+=+λ=（﹣2，0，﹣2）+λ（0，2，1）=（﹣2，2λ，λ﹣2）．设直线B1M与平面AEF所成角为θ，则=∴当时，．20．（12分）如图，点是圆内的一个定点，点P 是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．【解答】解：（1）因为点Q在BP的垂直平分线上，所以|QB|=|QP|，∴|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=4，从而点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，这时，a=2，，∴b=1，所以曲线C的方程为．（2）由题设知，直线的斜率存在．设直线QE的方程为y=k（x﹣2），Q（x1，y1），E（x2，y2），由，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，因为，x2=2，所以，所以，因为点F，N，Q共线，k FN=k FQ，所以，即，又直线QE与y轴的交点纵坐标为y M=﹣2k，所以，|FM|=|1﹣y M|=|1+2k|，所以|EN|•|FM|=4．21．（12分）设函数f（x）=x+lnx﹣．（1）讨论函数f（x）的单词性；（2）当a=1时，记g（x）=xf（x），是否存在整数t，使得关于x的不等式t≥g （x）有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）=当a＜0时，x∈（0，﹣a）时，f'（x）＜0；x∈（﹣a，+∞）时，f'（x）＞0；当0≤a≤1时，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0；当a＞1时，x∈（0，a﹣1）时，f'（x）＜0；x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＞0；综上，当a＜0时，函数f（x）的单调减区间是（0，﹣a）；单调增区间是（﹣a，+∞）；当0≤a≤1时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；无单调减区间；当a＞1时，函数f（x）的单调减区间是（0，a﹣1）；单调增区间是（a﹣1，+∞）．（2）当a=1时，g（x）=xf（x）=x2+xlnx，g'（x）=2x+lnx+1，可知函数g'（x）单调递增，，，所以存在唯一，使得g'（x0）=0，即g'（x0）=2x0+lnx0+1=0，当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0；所以，记函数，φ（x0）在上递减．所以，即．由，且t为整数，得t≥0．所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0．22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．【解答】解：（1）由，得y=3x+1，由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．（2）由，得x2﹣6x﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=6，AB的中点是，所以M （3，10）， 点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为． 则：|PM |=．23．（10分）设函数f （x ）=|x ﹣a |+2x ．（1）当a=﹣1时，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若x ≥﹣1时，恒有f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）因为|x +1|+2x ≤0， 所以或，即或x ＜﹣1，则不等式f （x ）≤0的解集是 ．（2）因为为增函数，当a ≤﹣1时，3×（﹣1）﹣a ≥0，从而a ≤﹣3， 当a ≥﹣1时，﹣1+a ≥0，从而a ≥1， 综上，a ≤﹣3，或a ≥1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
【Word版解析】山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理试题
试卷类型高三年级质量检测数学试题（理科）2012.11一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin 585︒的值为B. D. 【答案】B【解析】sin 585sin 225sin(18045)sin 452==+=-=-，选B. 2.全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4,4,5U M N ===，则()U C M N ⋃等于 A.{}1,3,5B.{}2,4,6C.{}1,5D.{}1,6【答案】D【解析】{2,3,4,5}M N = ,所以(){1,6}U M N = ð,选D. 3.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数 【答案】D【解析】全称命题的否定式特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”选D.4.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++，所以231923cos 133a b π+=++⨯= ，所以3a b +=C.5.如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，045,105ACB CAB ∠=∠= ，则A 、B 两点的距离为A.B.C.D.2【答案】B【解析】因为045,105ACB CAB ∠=∠= ，所以30ABC ∠=，所以根据正弦定理可知，sin sin AC AB ABC ACB =，即50sin 30sin 45AB=，解得AB =，选B.6.已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B.2-C.2D.1【答案】A【解析】由sin cos αα-=1αα=，即sin()14πα-=，所以2,42x k k Zπππ-=+∈，所以32,4x k k Z ππ=+∈，所以33tan tan(2)tan 144k ππαπ=+==-，选A. 7.在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和S 11等于A.24B.48C.66D.132【答案】D 【解析】由912162a a =+得912212a a =+，即6121212a a a +=+，所以612a =.又11111611()112a a S a +==，所以11611132S a ==，选D.8.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：()()()()()()()2122232422log 1,log 2,log ,log 2f x x f x x f x x f x x =+=+==，则“同形”函数是A.()2f x 与()4f xB.()1f x 与()3f xC.()1f x 与()4f xD.()3f x 与()4f x【答案】A【解析】因为422()log (2)1log f x x x ==+,所以22()log (2)f x x =+,沿着x 轴先向右平移两个单位得到2log y x =的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到422()log (2)1log f x x x ==+，根据“同形”的定义可知选A.9.如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅B.1214PP PP ⋅C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1，则1213133cos302PP PP PP PP ===,121412141cos 60212PP PP PP PP ==⨯=,12151215cos900PP PP PP PP ==,121612161cos1202PPPP PP PP ==- ,所以数量积最大的选A.10.若函数()x xf x ka a -=-（a >0且1a ≠）在（,-∞+∞）上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是【答案】C【解析】1()xxx x f x ka aka a-=-=-是奇函数，所以(0)0f =，即10k -=，所以1k =，即1()x x f x a a =-，又函数1,xx y a y a==-在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知1a >，所以函数()log ()log (1)a a g x x k x =+=+，选C.11.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像 A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】函数的最小周期是π，所以2T ππω==，所以2ω=，所以函数()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移3π得到函数2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=-+=+-，此时函数为奇函数，所以有2,3k k Z πϕπ-=∈，所以23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以当1k =-时，233k ππϕπ=+=-，所以()sin(2)3f x x π=-.由2232x k πππ-=+，得对称轴为512x k ππ=+，当0k =时，对称轴为512x π=，选D. 12.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当()()0,0x f x xf x '>+>（其中()f x '是()f x 的导函数），设1122log 4log 4,,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g ⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >>C.a b c >>D.a c b >>【答案】C【解析】令函数()()F x xf x =，则函数()()F x x f x =为偶函数.当0x >时，'()()'()0F x f x xf x =+>，此时函数递增，则122(log 4)(log 4)(2)(2)a F F F F ==-=-=,b F =,1(lg )(lg 5)(lg 5)5c F F F ==-=，因为0lg512<<，所以a b c >>，选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上. 13.2(2)x x e dx -⎰=___.___.【答案】25e - 【解析】2222200(2)()415x x x e dx x e e e -=-=-+=-⎰.14.设数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且()111,31,2,n n a a S n +===⋅⋅⋅，则24log S 等于__._. 【答案】6【解析】因为113n n n n a S S S ++=-=，所以14n n S S +=，所以数列{}n S 是以111,4S a q ===为公比的等比数列，所以344S =，所以3242log log 46S ==.15.已知函数()11sin cos 244f x x x x =--的图像在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0tan x =___.___.【答案】【解析】函数的导数11'()cos 24f x x x =-+，由0011'()cos 1244f x x x =-+=得001cos 122x x -+=，即0sin()16x π-=，所以02,62x k k Zπππ-=+∈,即022,3x k k Z ππ=+∈.所以022tan tan(2)tan 33x k πππ=+==. 16.已知实数a ，b 满足等式23ab=，给出下列五个关系式中：①0;b a <<②0;a b <<③0;a b <<④0;b a <<⑤.a b =则所有可能．．成立的关系式的序号为___.___.【答案】①②⑤【解析】在同一坐标系下做出函数()2,()3x x f x g x ==的图象如图，由图象可知，①，②，⑤正确.三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,S 22,S 33S 成等差数列，且44027S =求数列{}n a 的通项公式.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，()(),cos ,1m A n A ==，且m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（II ）若2,a ABC =∆b ，c.19.（本小题满分12分）已知集合A 为函数()()()l g 1l g 1f x x x =+--的定义域，集合{}22120B x a ax x =---≥.（I ）若112A B xx ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （II ）求证2a ≥是A B φ⋂=的充分不必要条件.20.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->，直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π. （I ）求ω的值；（II ）求函数()f x 的单调增区间； （III ）若()23f α=，求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.21.（本小题满分13分）如图，在M 城周边已有两条公路12,l l 在O 点处交汇，现规划在公路12,l l 上分别选择P ，Q两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过M 城，已知3,45OM km POM =∠=︒∠MOQ=30°，设,.OP xkm OQ ykm ==（I ）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； （II ）试确定点P 、Q 的位置，使POQ ∆的面积蛤小. 22.（本小题满分13分） 已知函数()()()ln ,10af x x xg x x a x=+=-->. （I ）求函数()()()F x f x g x =+在(]0,e 上的最小值；（II ）对于正实数m ，方程()22mf x x =有唯一实数根，求m 的值.。
山东省泰安市2015届高三上学期期中考试数学试题(理)Word版含答案
高 三 年 级 考 试数 学 试 题（理科）2014.11一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}213A x x =-≤，集合(){}11B x y g x ==-，则A B ⋂等于A.()1,2B.[]1,2C.(]1,2D.[)1,2 2.如果命题“()p q ⌝∨”为真命题，则A.,p q 均为真命题B.,p q 均为假命题C.,p q 中至少有一个为真命题D.,p q 中一个为真命题，一个为假命题3.设sin31cos58,tan32a b c ===o o o ，，则A.a b c >>B.c b a >>C.c a b >>D.b c a >>4.若点()16,2在函数()log 01a y x a a =>≠且的图象上，则tan3a π的值为A. B.3-5.设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 6.给定函数①12y x =，②()12l o g1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是A.①②B.②③C.③④D.①④7.设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan 2α等于 A.247- B.127-C.127D.2478.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若()21121024n n n n a a a n S n +---+=≥-，则等于A.2-B.0C.1D.29.若函数()()()01x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则函数()()log a g x x k =+的图象是10.已知函数()()()()2210ln 2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A.(-∞B.⎛-∞ ⎝C.⎛⎝ D.⎛⎝二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11.已知31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2α= ▲ .12.已知向量a b ，的夹角为45°，且1,2a a b b =-== ▲ .13.由曲线y =，直线2y x y =-及轴所围成的图形的面积为 ▲ .14.数列{}n a 的前n 项和()0.1log 1n S n =+，则101199a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ .15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且在[]()0,2f x =上()1,01s i n ,12x x x x x π⎧-≤≤⎪⎨<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭▲ . 三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()1,42,321A B C --，，，.（I ）求AB AC AB AC ⋅+uuur uuu r uu u r uuu r 及；（II ）设实数t 满足()AB tOC OC -⊥uu u r uu u r uu u r ，求t 的值.17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知24sin 4sin sin 382A B A B AC -+==，，点D 在BC 边上，且12,cos 7BD ADB =∠=.求角C 的大小及边AB 的长.18.（本小题满分12分）已知)()()cos sin ,1,03,a x b x x R ωωω==-<<∈r r ，.函数()f x a b =⋅r r ，若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，则得到()y g x =的图像，且函数()y g x =为偶函数. （I ）求函数()f x 的解析式及其单调增区间；（II ）若12,2263f απαπ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin α的值.19.（本小题满分12分）某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益y 万元与升级改造的投入()10x x >万元之间满足函数关系：21101ln ln1010050y m x x x =-++（其中m 为常数） 若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元.试求该生产线升级改造后获得的最大利润.（利润=生产效益-投入）（参考数据：ln 20.7,ln5 1.6==）20.（本小题满分13分）已知首项都是1的数列{}{}()*,0,n n n a b b n N ≠∈满足113n n n n na b b a b ++=+（I ）令n n na Cb =，求数列{}nc 的通项公式； （II ）若数列{}n b 为各项均为正数的等比数列，且23264b b b =⋅，求数列{}n a 的前n 项和n S .21.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x a x a R =∈.（I ）若曲线()y f x =与曲线()g x =a 的值；（II ）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22f x x a x ≥-++恒成立，求a 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，求证：()112xxe xf x ->-.。
2018-2019学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x02+4x0+6≥0B．∃x0∈R，x02+4x0+6＞0C．∀x∈R，x02+4x0+6＞0D．∃x0∈R，x02+4x0+6≥03．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2，则y＝f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，3）4．（5分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）A．57B．61C．62D．636．（5分）设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则（）A．＝﹣B．＝﹣C．＝﹣D．＝﹣7．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象只将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．当x∈[﹣]时，函数f（x）的最小值为D．函数f（x）在[]上单调递增11．（5分）设F1、F2是双曲线x2﹣＝1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•＝0（O为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（）A．2B．C．3D．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞2，f（0）＝5，则不等式f（x）﹣3e﹣x＞2的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若实数x，y满足，则z＝﹣x+y的最小值为．14．（5分）已知直线l：x﹣y+4＝0与圆x2+y2＝9交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝．15．（5分）若直线y＝ax是曲线y＝2lnx+1的一条切线，则实数a＝．16．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若＝x，＝y，其中x，y∈R，则x+4y的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2a sin（C+）＝．（1）求角A的值．（2）若b＝3，c＝4，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a2＝2，且S n+2＝3S n+3．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S2n．19．（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点E是AB的中点，点F是CD的中点，分别沿DE．BF将△ADE和△CBF折起，使得平面ADE∥平面CBF（点A、C在平面EFDE的同侧），连接AC、CE，如图2所示．（1）求证：CE⊥BF；（2）当AD＝2，且平面CBF⊥平面BFDE时，求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的离心率为，抛物线C2：y2＝﹣4x 的准线被椭圆C1截得的线段长为．（1）求椭圆C1的方程；（2）如图，点A、F分别是椭圆C1的左顶点、左焦点直线l与椭圆C1交于不同的两点M、N（M、N都在x轴上方）．且∠AFM＝∠OFN．证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝alnx﹣x．（1）若f（x）无零点，求实数a的取值范围．（2）若a＝1，证明：当m≤2时，xf′（x）＜e x﹣mx2．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为＝．（1）求曲线C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，与x轴交于点P，求|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣m|，m∈R．（1）当m＝3时，解不等式f（x）≥3．（2）若存在x0满足f（x0）＜2﹣|x0﹣1|，求实数m的取值范围．2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0＜x≤1}；∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．故选：B．2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为∀x∈R，x02+4x0+6≥0．故选：A．3．【解答】解：函数f（x）＝lnx+x2﹣2，是定义域内的连续函数，f（1）＝ln1+1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝ln2+4﹣2＝2+ln2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B．4．【解答】解：tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝tan（（α+β）﹣（β﹣））＝＝＝．故选：C．5．【解答】解：由a n+1＝2a n+1∴a n+1+1＝2（a n+1），∵a1＝1，∴所以{a n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，所以a n+1＝2•2n﹣1＝2n，∴a n＝2n﹣1，∴S n＝（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（2+22+23+…+2n）﹣n，＝﹣n，S n＝2n+1﹣n﹣2．＝2n+1﹣n﹣2．∴当n＝5时，S5＝64﹣5﹣2＝57，故选：A．6．【解答】解：，，∴＝＝．故选：D．7．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．而f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除A；当x→+∞时，＝＝＝＝＝不存在．可得函数f（x）＝的图象大致为B．故选：B．8．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选：C．9．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．∴该几何体的表面积＝++π×12+2π×1×2+＝+1．故选：C．10．【解答】解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）中，A＝，＝，∴T＝π，ω＝＝2，又f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，∴ωx+φ＝2×（﹣）+φ＝kπ，解得φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝；∴f（x）＝sin（2x+）；对于A，y＝cos2x向右平移个单位，得y＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）的图象，且y＝cos（2x﹣）＝cos（﹣2x）＝sin（2x+），∴A正确；对于B，x＝时，f（）＝sin（2×+）＝0，f（x）的图象不关于x＝对称，B错误；对于C，x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）的最小值为﹣，C错误；对于D，x∈[，]时，2x+∈[，]，f（x）是单调递减函数，D错误．故选：A．11．【解答】解：由题意得a＝1，b＝2，∴c＝，F1（﹣，0），F2（，0），e＝．设点P（，m），∵＝（+，m）•（﹣，m）＝1+﹣5+m2＝0，m2＝，m＝±．由双曲线的第二定义得e＝＝，∴|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a+|PF2|＝4，∴λ＝＝＝2，故选：A．12．【解答】解：令F（x）＝e x f（x）﹣2e x﹣3，则F′（x）＝e x[f（x）+f′（x）﹣2]＞0，故F（x）在R递增，又f（0）＝5，故F（0）＝0，则f（x）﹣3e﹣x＞2等价于e x f（x）﹣3＞2e x，即e x f（x）﹣3﹣2e x＞0，即F（x）＞0，又F（0）＝0，函数F（x）在R递增，故F（x）＞0的解是：x＞0，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝﹣x+y得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象知，当直线y＝x+z经过点A时，直线的距离最小，此时z最小，由得，即A（，﹣），此时z＝﹣×﹣＝﹣﹣＝﹣1，故答案为：﹣114．【解答】解：圆心到直线的距离d＝＝，则|AB|＝2＝2＝2，过C作CE∥AB，直线x﹣y+4＝0即y＝x+，则直线的斜率k＝，故其倾斜角α＝30°，则∠ECD＝30°，即cos30°＝＝，即|CD|＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：设切点为（m，n），由y＝2lnx+1的导数为y′＝，可得切线的斜率为k＝＝a，且n＝am＝2lnm+1，解得m＝，a＝．故答案为：．16．【解答】解：如图所示，△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，∵＝x，＝y，∴＝＝x＝，∴＝，同理，＝+（﹣y），∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ（λ＜0），即（﹣x）+＝λ[+（﹣y）]，∴，解得x＝，y＝，∴x+4y＝（1﹣λ）+（1﹣）＝+（﹣λ﹣）≥，当且仅当λ＝﹣即λ＝﹣2时，“＝”成立；∴x+4y的最小值是，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解答】解：（1）△ABC中，2a sin（C+）＝b，∴2sin A sin（C+）＝sin（A+C），∴sin A sin C+sin A cos C＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin A sin C＝cos A sin C，∴tan A＝，∴A＝60°；（2）如图所示，设AD＝x，BC2＝32+42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，CD＝﹣x；由余弦定理得16＝x2+x2﹣2x•x•cos∠ADB，…①9＝x2+﹣2x（﹣x）cos（π﹣∠ADB），…②由①②解得x＝，即AD的长为．18．【解答】解：（1）∵S n+2＝3S n+3，∴n≥2时，S n+1＝3S n﹣1+3．∴a n+2＝3a n．n＝1时，S3＝3S1+3，即1+2+a3＝3+3，解得a3＝3，满足上式．∴n分别为奇数、偶数时都是等比数列，公比为3，首项分别为1，2．∴a2k﹣1＝3k﹣1，a2k＝2×3k﹣1．∴a n＝，k∈N*．（2）S2n＝（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）＝（1+3+32+……+3n﹣1）+（2+2×3+……+2×3n﹣1）＝3×（1+3+32+……+3n﹣1）＝3×＝．19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点F是CD的中点，∴CF＝CB，又∠FCB＝60°，∴△CBF为等边三角形，连接EF，由BF＝CB＝BE，∠EBF＝∠CFB＝60°，得△BEF为等边三角形．取BF的中点O，连接OC，OE，则CO⊥BF，EO⊥BF．∴BF⊥平面COE，则BF⊥CE；（2）解：由（1）知，CO⊥BF，又平面CBF⊥平面BFDE，则CO⊥平面BFDE，又OE⊥BF，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AD＝2，AB＝2AD，∠DAB＝60°，∴B（0，1，0），C（0，0，），A（，﹣1，），D（，﹣2，0），，，．设平面ABC与平面ACD的一个法向量分别为，．由，取z1＝1，得；由，取z2＝﹣1，得．∴cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线C2的准线方程为x＝1，又椭圆C1被准线截得弦长为，∴点（1，）在椭圆上，∴+＝1，①又e＝＝，∴e2＝＝，∴a2＝2b2，②，由①②联立，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C1的标准方程为：+y2＝1，（2）设直线l：y＝kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），把直线l代入椭圆方程，整理可得（2k2+1）x2+4km+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0，即2k2﹣m2+1＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵k FM＝，k FN＝，∵M、N都在x轴上方）．且∠AFM＝∠OFN，∴k FM＝﹣k FN，∴＝﹣，即（kx1+m）（x2+1）＝﹣（kx2+m）（x1+1），整理可得2kx1x2+（k+m）（x1+x2）+2m＝0，∴2k•+（k+m）（﹣）+2m＝0，即4km2﹣4k﹣4k2m﹣4km2+4k2m+2m＝0，整理可得m＝2k，∴直线l为y＝kx+2＝k（x+2），∴直线l过定点（2，0）21．【解答】解：（1）∵f（x）＝alnx﹣x，∴f（x）定义域是（0，+∞）又f′（x）＝﹣1＝，①当a＝0时，无零点；②当a＜0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数，又f（1）＝﹣1当x→0时，f（x）→+∞，所以f（x）有唯一的零点；③当a＞0时，∴f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，∴f（a）＝alna﹣a＜0，则只要lna﹣1＜0，即lna＜1，∴a＜e而a＞0，∴0＜a＜e，综上所述：所求a的范围是[0，e）．（2）a＝1时，f（x）＝lnx﹣x，f′（x）＝﹣1，要证m≤2时，xf′（x）＜e x﹣mx2即1﹣x＜e x﹣mx2，而e x﹣mx2≥e x﹣2x2，问题转化为证明1﹣x＜e x﹣2x2，整理得：e x﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令g（x）＝e x﹣2x2+x﹣1＞0，（x＞0），g′（x）＝e x﹣4x+1，g″（x）＝e x﹣4，故g′（x）在（0，2ln2）递减，在（2ln2，+∞）递增，故g′（x）min＝g′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，g′（0）＝2＞0，g′（2）＞0，故存在a∈（0，2ln2]，b∈（2ln2，2），使得g′（a）＝g′（b）＝0，故当0＜x＜a或x＞b时，g′（x）＞0，g（x）递增，当a＜x＜b时，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）的最小值是g（0）＝0或g（b），由g′（b）＝0，得e b＝4b﹣1，g（b）＝e b﹣2b2+b﹣1＝﹣2b2+5b﹣2＝﹣（b﹣2）（2b﹣1），∵b∈（2ln2，2），故g（b）＞0，故x＞0时，g（x）＞0，原不等式成立．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（β为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2﹣2y﹣3＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝0．∵直线l的极坐标方程为＝．∴＝，即ρcosα+ρsinα＝2，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0．（2）联立，得或，∴可设M（，），N（，），在直线l：x+y﹣2＝0中，令y＝0，得P（2，0），∴|PM|＝＝，|PN|＝＝，∴|PM|•|PN|＝＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）m＝3时，f（x）≥3⇔或或，解得x或x，∴f（x）≥3的解集为{x|x或x}；（2）若存在x0满足f（x0）＜2﹣|x0﹣1|等价于|2x﹣2|+|2x﹣m|＜2有解，∵|2x﹣2|+|2x﹣m|≥|m﹣2|，∴|m﹣2|＜2，解得0＜m＜4，实数m的取值范围是（0，4）．。
山东省泰安市2018届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题扫描版缺答案
试卷类型:A高三第一轮复习质量检测数学试題(理科)2018.3一、选择题:本大题共12小题,毎小趣5分，共60分•在毎小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题日要求的.1. 已知集合 4 =(,0,1,2},集合 R = lyly = 2x -3,xe4|，则 AC\B 零于A. 1 -l.OJlB. | -1 JIC. | -1J,2|0. )0,1,2}2. 若(l-2i)z=5i,则Izl 的值为A. 3B. 5adD. J53. 在务项均为正数的等比数列1叫I 中q = 3•则a 。
+血A.冇最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值34. 卜•表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产最x 与相应的生 产能耗y 的几组对应数据：X4 2 35 y 49m 3954根据上表可得回归方程j =9. 4x +9. 1 ■那么表中m 的值为 A. 27.9 B. 25.5 C. 26.9 D ・ 26 5. 阅渎右側程序框图，运行相应程序,则输岀i 的值为A. 3B. 4C. 5D. 66. 将函数/(*) =«in(2z + ^)的图俾向右平移于个单位，得到甬数 g("的图像•则F 列说法不止确的是• • • A. o 的周期为 TTB. =yC."手是O 的条对称轴D. gM 为奇歯数岛三第一轮复习质供检测数学试题(理)第1页(共4页)(U )从该学科教师健康折数崙于90的5人中随机选取2人介绍养生之逍■求这2人都来自经常进行体育锻炼的概率.-20.(本小題満分12分)已知椭圆C：手♦”】(“>〃)的右焦点为八左顶点为A.右顶点为恥为椭圆的离心率•且命*需=嵩庶中°为原点•(I )求椭圆的方程；(II )设过点F的直线/(直线/与*轴不重合)与椭圆C交于M,N两点，直线AM与交于点T.证刖：「点的横坐标为定值.21.(本小题満分12分)已知因数人％) =lnx + y(a>0).(1 )若函数/(*)有零点•求实数。
山东省泰安市2017-2018学年高三上学期期末考试理数试题
⼭东省泰安市2017-2018学年⾼三上学期期末考试理数试题⼭东省泰安市2018届⾼三年级考试数学试题（理科）2018.1第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}M =，{2,3}N =，则集合()U C N M =（） A.{2}B.{1,3}C.{2,5}D.{4,5}2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，525S =，则8a =（） A.16B.15C.14D.133.已知132a =，32log 3b =，121log 3c =，则（） A.a b c >> B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4.下列命题中正确的是（）A.命题“[0,1]x ?∈，使210x -≥”的否定为“[0,1]x ?∈，都有210x -≤” B.若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则()()p q ?∨?为假命题C.命题“若a 与b 的夹⾓为锐⾓，则0a b ?>”及它的逆命题均为真命题D.命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠” 5.有两条不同的直线m 、n 与两个不同的平⾯α、β，下列命题正确的是（） A.m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥B.m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则//m nC.//m α，m α⊥，且αβ⊥，则//m nD.//m α，//n β，且//αβ，则//m n6.设不等式组104x x y x y ≥??-≤??+≤?表⽰的平⾯区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是（）A.[2,5]B.(,1][3,)-∞-?+∞C.[1,3]D.(,2][5,)-∞?+∞ 7.将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)??>个单位长度，若所得图象过点1 (,)32π，则?的最⼩值为（）A.12πB.6π C.4π D.3π 8. 某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．883π+ B ．1683π+ C.8163π+ D ．16163+π 9.函数cos ()sin x f x x x =-，33[,0)(0,]22x ππ∈-的图象⼤致是（）A. B. C. D. 10.已知函数21()()2xx f x e a e e aex b =+--+，(,)a b R ∈（其中e 为⾃然对数底数）在1x =取得极⼤值，则a 的取值范围是（） A.0a <B.0a ≥C.0e a -≤<D. a e <-11.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，圆2C ：2223204x y ax a +-+=，若双曲线1C 的⼀条渐近线与圆2C 有两个不同的交点，则双曲线1C 的离⼼率的范围是（）A.? ??B.?+∞C.(1,2)D.(2,)+∞12.定义在1[,]ππ上的函数()f x ，满⾜1()()f x f x =，且当1[,1]x π∈时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1[,]ππ上有零点，则实数a 的取值范围是（）A.ln ,0ππ??B.[]ln ,0ππ-C.1ln ,e ππ??-D.1,2e π??--第Ⅱ卷⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的横线上.13.若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________. 14.已知1sin()cos 63παα--=，则cos(2)3πα+=_________. 15.如图所⽰，在平⾏四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂⾜为P ，且1AP =，则AP AC ? =_________.16.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1111a b +=_________.三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量(sin ,cos )a x x =，(cos ,)b x x = ，函数()f x a b =?.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ?中，a ，b ，c 是⾓A ，B ，C 的对边，若()0f C =，02<<，1c =，求ABC ?⾯积的最⼤值.18.已知数列{}n a 满⾜24a =-，35a =-，若{3}n a n +为等⽐数列. （1）证明数列345,,n a a a a 为递增数列；（2）求数列1123{}n n n a a -+-的前n 项和为n S .19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 是矩形，11AB B C ⊥，平⾯1A BC ⊥平⾯11AB C .（1）求证：11AB A B ⊥；（2）若113B C =，4AB =，160ABB ?∠=，求⼆⾯⾓1A AC B --的余弦值.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(1,，焦距为（1）求椭圆E 的标准⽅程；（2）直线:()l y m m R +∈与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交y 轴交于点M ，若tan AMB ∠=-m 的值. 21. .已知函数()ln f x x =.（1）求过点(0,1)P -的()f x 图象的切线⽅程；（2）若函数()()mg x f x mx x=-+存在两个极值点1x ，2x ，求m 的取值范围；（3）当1,12x ??∈时，均有()(2)x f x x x e a <--+恒成⽴，求a 的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数⽅程.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，圆C的⽅程为22((2)4x y +-=，直线l的参数⽅程为13x t y ?=?=+（t为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系. （1）求圆C 和直线l 的极坐标⽅程；（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ?的值.23.选修4-5：不等式选讲. 设函数1()||||f x x m x m=++-. （1）当1m =时，求()4f x ≤的解集；（2）证明：()2f x ≥.⾼三数学试题（理）参考答案及评分标准⼀、选择题1-5：DBCDA6-10：ACACD11、12：AB⼆、填空题13.914.7915.216.199三、解答题17.解：（1）由题意得：2()sin cos f x x x x =，1sin 221)2x x =+，sin(2)3x π=- 令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k z ∈，整理得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k z ∈，∴函数()f x 的单调增区间为5 [,]1212k k ππππ-++，k z ∈. （2）由题意得：()sin(2)03f C C π=-=，∴sin(2)3C π-=，∵02C π<<，∴22333C πππ-<-<，∴233C ππ-=，∴3C π=，由余弦定理可得：2212cos3a b ab ab π+-==，⼜22ab a b ≤+，∴1ab ≤，故1sin 2ABC S ab c ?==≤∴ABC ?18.解：（1）设数列{3}n a n +公⽐为q ，则，323342322a q a +?===+?，⼜216312a a ++==，∴132n n a n -+=，∴123n n a n -=-. 当3n ≥时，1123(1)23n n n n a a n n -+-=-+-+，123410n -=-≥->，∴1n n a a +>，∴数列345,,n a a a a 为递增数列.（2）由题意得：令111123n n nn n n n n a a b a a a a -+++--==111n n a a +=-，∴12n n S b b b =++ ，12231111111()()()n n a a a a a a +=-+-++- ， 1111n a a +=-， 11223(1)n n =---+，1231266n n n n +--=---.19. 证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11AB B C ⊥AB BC ∴⊥⼜四边形11BB C C 是矩形，1BC BB ∴⊥，1AB BB B ?=BC ∴⊥平⾯11AA B B设1AB 与1A B 相交于点E ，1AC 与1AC 相交于点F ，连接EF 11AA B B 与11AAC C 均是平⾏四边形//EF BC ∴，EF ⊥平⾯11AA B B1EF AB ∴⊥，1EF A B ⊥EF ∴⊥⾯11ABB A ，1EF A B ∴⊥⼜平⾯1A BC ⊥平⾯11AB C1A B ∴⊥⾯1ABC 11AB A B ∴⊥（2）以E 为坐标原点，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系E xyz - 由（1）及题设可知，11AA B B 是菱形，160ABB ?∠= 14AB AB ∴==∴(0,0,0)E ，(2,0,0)A，1(0,A -，C1(2,AA ∴=--，(AC =-设平⾯1AAC 的法向量(,,1)m x y =00m AA m AC ??=?∴??=??即20230x x ?--=??-++=??解得：344x y ?=??=-3(,4m ∴=⼜由（1）可知：1AB ⊥平⾯1A BC ∴平⾯1A BC 的法向量(2,0,0)n EA ==cos ,m n m n m n∴<>== ∴⼆⾯⾓1A AC B --20.解：（1）由题意得2c =，所以c =⼜点(1,在椭圆上，所以：222231413a b b a +=??=-??，整理得：42 419120a a -+=，解得：24a =或234a =（舍），∴21b =，∴椭圆的标准⽅程为：2214x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 中点坐标330(,),(0,)C x y M y ，由221,4y m x y ?=+??+=??整理得：229440x m ++-=，∴22)49(44)m ?=-??-，2144160m =->，∴29m <，⼜129x x +=-，212449m x x -?=，∴12329x x x +==-，∴339mx m =+=，∴点AB坐标为(,)99m-，⼜||AB ===∴||AC =⼜0MCmy K -==，∴03m y =-，∴点M 坐标为(0,)3m -，∴|0()(1)|||mm MC --+=||9m =，∵CM 垂直平分AB ，∴2AMB AMC ∠=∠，⼜22tan tan 1tan AMCAMB AMC∠∠==--∠解得tan AMB ∠=或tan 2AMB ∠=-（舍），∴在Rt AMC ?中，||||AC AMC MC ∠====∴2298m m -=，∴1m =或1m =-.21. 解：（1）由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1 '()f x x= 设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线⽅程为001ln 1y x x x =+- 把点(0,1)P -代⼊切线⽅程，得：0ln 0x =， 01x ∴=∴过点(0,1)P -的切线⽅程为：1y x =-（2）因为()()ln m m g x f x mx x mx x x=-+=-+ 所以21'()mg x m x x=--2222x mx m mx x mx x---+==- 令2()h x mx x m =-+要使()g x 存在两个极值点1x ，2x ，则⽅程20mx x m -+=有两个不相等的正数根. ⼜121 0x x m+=>，0m >. 故只需满⾜即可(0)01021()02h m h m>>m <<（3）由于()(2)x f x x x e a <--+在1[,1]2x ∈上恒成⽴. 所以ln (2)x x x e x a +--<在1[,1]2x ∈上恒成⽴. 令()ln (2)x G x x x e x =+--则1'()(2)1x x G x x e e x =+-+- 1(1)()x x e x=--当112x ≤<时，10x -< 令1()x u x e x =-，则21'()0xu x e x =+>∴()u x 在1(,1)2上单调递增⼜1()202u =<，(1)10u e =->所以，存在01(,1)2x ∈便得0()0u x =，即001x e x =，00ln x x ∴=-故当01(,)2x x ∈时，()0u x <，此时'()0G x > 当时0(,1)x x ∈，()0u x >此时'()0G x <.故函数()G x 在01(,)2x 上递增，在0(,1)x 上递减从⽽：min 0()()G x G x =0000ln (2)x x x e x =+--00001(2)x x x x =-+-?- 00212x x =-- 令2()12m x x x =--，1(,1)2x ∈则22222(1)'()20x m x x x -=-=> ∴()m x 在上1(,1)2x ∈单调递增，所以()(1)=-3m x m < 故3a ≥-.22.解：（1）由题意，圆的标准⽅程可整理为：22430x y y +--+=，⼜cos sin x y ρθρθ=??=?，∴圆C 的极坐标⽅程为，2cos 4sin 30ρθρθ--+=，直线l 的参数⽅程可化普通⽅程为：1(33y x x =+-=，30y -=，∴直线l 的极坐标⽅程为6πθ=.（2）把6πθ=代⼊2cos 4sin 30ρθρθ--+=，整理得：2530ρρ-+=，∴123ρρ?=，∴1212||||||||||3OP OQ ρρρρ?=?==.23.解：（1）当1m =时，()|1||1|f x x x =++-，当1x >时，()2f x x =，当()4f x ≤，解得12x <≤，当11x -≤≤时，()2f x =，满⾜()4f x ≤，当1x <-时，()2f x x =-，由()4f x ≤，解得21x -≤<-，综上所述，当1m =时，()4f x ≤的解集为[2,2]-. （2）证明：1()||||f x x m x m=++-， 1||x m x m≥+-+， 1||||m m=+，2≥=，原式得证.。
2024—2025学年山东省泰安市新泰市紫光实验中学高三上学期开学检测数学试卷
2024—2025学年山东省泰安市新泰市紫光实验中学高三上学期开学检测数学试卷一、单选题(★★) 1. 曲线与直线y＝k( x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 2. 直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．或(★) 3. 如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知数列满足，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 若数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 圆关于直线对称，则实数（）A． 1B． -3C． 1或-3D． -1或3(★★) 7. 在等差数列中，已知，，，则（）A． 7B． 8C． 9D． 10(★★★) 8. 已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列各对事件中，、是相互独立事件的有（）A．掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”B．袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”C．分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”(★) 10. （多选）下列说法正确的是（）A．圆的圆心为，半径为B．圆的圆心为，半径为C．圆的圆心为，半径为D．圆的圆心为，半径为(★★★) 11. 下列结论正确的是（）A．已知点在圆上，则的最大值是4B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是三、填空题(★★) 12. 已知，两点到直线的距离相等，则 __________ ．(★★★★) 13. 若对一切恒成立，则的最大值为 __________ . (★★★★) 14. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则 ________ ；若，则________ .四、解答题(★★★) 15. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.(★★★) 16. 已知直线l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得| 取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由.(★★★) 17. 为了庆祝新中国成立75周年，在国庆期间我市某社区举办了一次有奖答题活动．给出10个问题，要求参赛者依次作答10道试题，每答对一题得1分，答错一题或放弃作答扣1分，获得6分（含6分）以上可得奖品．某居民参加了此次答题活动，若该人已经完成了前5道题的作答，且都答对．剩下的每道题他做对的概率均为．(1)当时，求该居民最终恰好得到8分的概率．(2)记该居民答对道题且获得奖品的概率为，求．(★★★) 18. 已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点.(1)若是线段的中点，求直线的方程；(2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值.(★★★) 19. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，且，求的取值范围.。
山东省泰安市2015届高三上学期期末考试数学试题(理科)
山东省泰安市2015届高三上学期期末考试数学试题（理科）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.2015.1【题文】一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.集合{}{}{}3,2,,4a A B a b A B A B ==⋂=⋃，则，则等于A. {}234，， B. {}341，， C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3,4【知识点】集合的并集 A1【答案】 A 解析：因为{}4A B ⋂=，所以24a=，解得2a =，由集合B 可得4b =，所以{}{}3,4,2,4A b ==，{}2,3,4A B ⋃=可得故选A .【思路点拨】由{}4A B ⋂=可得2a =进而得到4b =，即可得到集合A,B ，再由并集定义求得. 【题文】2.已知a R ∈，则“2a a <”是“1a <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分必要条件 A2【答案】 A 解析：因为由2a a <，可得01a <<，所以“2a a <”是“1a <”的充分而不必要条件.故选A. 【思路点拨】找到不等式2a a <的解集为01a <<，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.【题文】3.正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是 A.8 B.16 C.32 D.64 【知识点】等比数列的性质 D3【答案】 C 解析：因为21016a a =且等比数列各项为正，由等比中项可得64a =，而可得3964832a a q ==⨯=.故选C【思路点拨】由等比中项可得64a =，再由等比数列公式可得3964832a a q ==⨯=.【题文】4.已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥：命题001:,22x q x R +∃∈=.则下列判断正确的是 A.p 是假命题B.q 是真命题C.()p q ∧⌝是真命题D.()p q ⌝∧是真命题【知识点】复合命题的真假 A3 【答案】 C 解析：命题4:0,4p x x x ∀>+≥由基本不等式可得为真命题，而命题01:22x q =的解为01x R +=-∉，所以为假命题，由复合命题的真值表可得C 正确.故选C. 【思路点拨】由基本不等式可得命题p 为真命题，解0122x =可得命题q 为假命题，再结合复合命题的真值表可得.【题文】5.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥【知识点】空间中的直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】 D 解析：A. 因为,////m n m n n ααα⊂⇒⊂或，所以不正确；B. ,m n m α⊂⊥不能确定n α与关系，所以不正确；C. ,//m n n m αβ⊂⊂，若两平面相交且,m n 都平行于交线，也可以满足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的所有的面都与此面垂直，所以正确.故选D.【思路点拨】A.中直线还可以在平面内；B.中n α与的关系不能确定；C. 若两平面相交且,m n 都平行于交线，也可以满足；D.由线面垂直的性质定理可得正确.【题文】6.若变量,x y 满足条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的取值范围为A. 5,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 55,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【知识点】线性规划 E5【答案】 A 解析：根据线性条件画出可行域如图：令2,z x y =+可得22x z y =-+由图像可知当过点1,12B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，目标函数有最小值为()152122-+⨯-=-.故选A.【思路点拨】由线性条件画出可行域，目标函数为22x zy =-+是一组平行线，可得当过B 点时为最小值. 【题文】7.下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是A. 1y x =-B. 22y x =+C. 33y x =-D. 1log ey x =【知识点】函数的奇偶性单调性 B3 B4【答案】 B 解析：因为函数,0,1,0x xe x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩当0x >时，()()10,x x xf x e f x e -⎛⎫-<-=== ⎪⎝⎭，当0x <时，()()()10,xxx f x e f x e -⎛⎫->-=== ⎪⎝⎭，所以函数为偶函数，排除A,C ，且在(),0-∞上单调减，排除D.故选B. 【思路点拨】由函数的奇偶性可得为偶函数，由函数的性质可得在(),0-∞上单调减，逐一检验即可. 【题文】8.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减B. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减 C. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增D. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增【知识点】三角函数的图象与性质 C4【答案】 A 解析：由题意可得：()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭因为最小正周期为π，所以可得2ω=，即()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其图象向左平移8π个单位得函数()sin 2sin 2cos 2842y g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由余弦函数图像的性质可得()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减.故选A【思路点拨】由辅助角公式可得()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由最小正周期为π，可得()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由图像的平移变换可得()cos 2g x x =，再由余弦函数图像的性质可得结果.【题文】9.设函数()f x 的零点为()1,422xx g x x =+-的零点为2x ，若()120.25x x f x -≤，则可以是A. ()21f x x =-B. ()24xf x =-C. ()()ln 1f x x =+D. ()82f x x =-【知识点】函数的零点 B9【答案】 D 解析：因为()1310120,0,2120422g g g ⎛⎫⎛⎫=-<=-<=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且函数()g x 为增函数，所以零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，又因为120.25x x -≤，所以可得函数()f x 的零点在区间13,24⎛⎫⎪⎝⎭内，只有D 的零点满足.故选D.【思路点拨】根据零点存在性定理可得()g x 零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，由120.25x x -≤可得函数()f x 的零点在区间13,24⎛⎫⎪⎝⎭内，逐一检验即可. 【题文】10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()0,+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()1,-+∞【知识点】导数的应用 B12 【答案】 B 解析：由题意可得： 即函数()()()()()()1'10'0x x x f x f x f x f x e f x e f x e '>-⇒+->⇒+->为增函数，而()()0011g f =-=-，所以不等式()1x x e f x e >-的解集，即()1x x e f x e ->-的解集为()0,+∞.故选B.【思路点拨】根据()()1,f x f x '>-构造不等式()()'0x x x e f x e f x e +->，既得函数()()x xg x e f x e =-为增函数，由()()0011g f =-=-，可解得不等式解集.【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 【题文】11.已知向量()()()3,1,0,1,,3.2m n k t m n k ==-=-若与共线，则t= ▲ .【知识点】向量共线的坐标表示F2 【答案】 1t =解析：由已知可得()23,3m n -=3t =⨯，解得1t =.故答案为1t =【思路点拨】两向量共线的充要条件：1221x y x y =可求得. 【题文】12.设α为锐角，若4cos sin 6512ππαα⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ▲ . 【知识点】三角变换 C7 【答案】 解析：因为α为锐角，所以可得2663πππα<+<，所以有3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而sin sin sin cos cos sin 12646464πππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故答案为. 【思路点拨】通过凑角由1264πππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的正弦展开式求得. 【题文】13.若()()123f x x f x dx =+⎰，则()1f x dx ⎰= ▲ .【知识点】定积分 B13 【答案】 16-解析：因为()()()()()()13111112000000133333x f x dx x f x dx dx f x dx x f x dx =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰，可得()116f x dx =-⎰.故答案为16-.【思路点拨】因为()1f x dx⎰为一个常数，所以对整个函数求定积分可得()()()()()()131111120000133333x f x dxx f x dx dx f x dx x f x dx =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰，整理即可求得.【题文】14.20y -+=100y --=截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是 ▲ . 【知识点】直线与圆的位置关系 H4【答案】 25π解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即3d =，又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径5r ==，所以圆C 的面积是25π.故答案为25π【思路点拨】根据题意确定圆心在两平行直线的中间，即圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，由两平行直线的距离求得圆心得到直线的距离，进而由勾股定理可得圆的半径.【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .【知识点】三视图 正方体的体积 G2【答案】 32解析：如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，1444322V =⨯⨯⨯=.故答案为32.【思路点拨】由图像的直观图可得，截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半.【题文】三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.） 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2.c A b ⋅= （I ）求角C 的大小；（II ）若b =，ABC ∆2A ，求a 、c 的值.【知识点】解三角形 C8 【答案】（I ）6π；（II ）1.解析：（I ）由2sin 2C A b =可得：2sin cos 2sin C A B A =-即：()2sin cos 2sin C A A C A =+即：2sin cos 2sin cos 2cos sin C A A C A C A =+-整理可得：2sin cos 0C A A =即：(sin 2cos 0A C -=又(),0,,sin 0,cos 6A C A C C ππ∈∴>=∴=； （II ）3,,6b a C π==2111sin ..222ABCSab C a ∴===又2,ABCSA ∴=22sin 4a A ∴=故有：sin 2aA = 即：2sin aA= 由正弦定理可得：,2sin sin sin a c cA C C=∴= 2sin 1c C ∴==，由余弦定理可得：2222cos a b c ab C +-=即：2231 2.a a a +-= 整理可得：222413,1,1a a a a -=∴=∴=【思路点拨】由正弦定理可得2sin cos 2sin C A B A =，再由()sinB sin A c =+化简即可得到cos 6C C π==；由面积公式可得sin 2a A =，有正弦定理可得2sin c C =，由余弦定理可得1a =. 【题文】17.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4,3,AA AB AC BC D ====为AB 的中点，且11AB AC ⊥（I ）求证：11AB A D ⊥；（II ）求二面角1A AC D --的平面的正弦值. 【知识点】线线垂直 二面角 G5 G11【答案】（I ）略：（II . 解析： 如图：三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱1AA ABC ∴⊥平面，又CD ⊂平面ABC 1AA CD ∴⊥又,CD CB D =为AB 中点CD AB ∴⊥又1AA AB A ⋂=，CD ∴⊥平面1AB 又1AB ⊂平面1AB1CD AB ∴⊥又111,AB AC CD AC C ⊥⋂= 1AB ∴⊥平面1ACD 又1A D ⊂平面1ACD 11AB A D ∴⊥（II ）由（I ）知，1AB ⊥平面1ACD ，交1A D 于点E ， ∴过A 作1AF AC ⊥与点F,连接EF1AC ∴⊥平面AEF ，1AC EF ∴⊥ 则AEF ∠为所求二面角1A AC D --的平面角 在1Rt A AD中，112,2,A A AD A D ===1.AA ADAE AD∴==同理可得：11.AA AC AF A C ==sin AE AFE AF ∴∠==故二面角1A AC D --. 【思路点拨】通过证明1CD AB ⊥， 11AB AC ⊥，1AC CD C ⋂=，证明1AB ⊥平面1A CD ，进而得到11AB A D ⊥；过A 作1AF AC ⊥与点F,连接EF ,则AEF ∠为所求二面角1A AC D --的平面角，在1Rt A AD 中，求得AE =，同理可得：AF =即可求得sin AE AFE AF ∠==. 【题文】18.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()21262n n n S S S n n N *++++=-∈.（I ）若数列{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式. （II ）若121a a ==，求50S .【知识点】等差数列的性质 数列求和 D2 D4 【答案】（I ）46n a n =-；（II ）4028.解析：（I ）由题意可得：设数列的公差为d ，当n=1时，123624S S S ++=-= 即()()1121231644a a a a a a a d +++++=+= 整理可得：1322a d +=(1)当2n =时，223462222S S S ++=⨯-=即()()()11112334691022a d a d a d a d +++++=+=(2) 由(1)（2）可得：12,4a d =-= 所以46n a n =-所以等差数列的通项公式为46n a n =-； （II ）因为()21262n n n S S S n n N*++++=-∈(1)所以：当2n ≥时，有()211612n n n S S S n -+++=--(2) （1）-（2）可得：()121262n n n a a a n n ++++=-≥，所以()()()50125012345678484950S a a a a a a a a a a a a a a =+++=+++++++++++()()()21236126612486=+⨯-+⨯-++⨯-⎡⎤⎣⎦()2123648616=+⨯++-⨯⎡⎤⎣⎦4028=【思路点拨】分别令1,2n n ==联立解得12,4a d =-=，即可得46n a n =-；由题意当2n ≥时，有()211612n n n S S S n -+++=--与已知式子做差，可得()121262n n n a a a n n ++++=-≥，得到数列的的每三项和的特点，进而求和.【题文】19.（本小题满分12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y （单位：万元）与投资x （单位：万元）满足：()ln 3f x a x bx =-+（,,,a b R a b ∈为常数），且曲线()y f x =与直线y kx =在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）. （I ）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（II ）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ （参考数据：ln 10 2.303,ln15 2.708,ln 20 2.996,ln 25 3.219,ln 30 3.401======） 【知识点】导数的应用 B12【答案】（I ）()()3ln 30f x x x =+>，()g x =；（II ）当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元.解析：（I ） 函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()'af x b x=- 因为点()1,3在直线y kx =上，故有3k = 又曲线()y f x =与直线3y x =在()1,3处相切，故有：()()'133013f a b f =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩ 所以甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为：()()3ln 30f x x x =+> 由题意可得乙产品的利润与投资资金间的函数关系式为()g x m =， 将点()4,4代入可得2m =，所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式为()g x =； （II ）设甲产品投资x 万元，则乙产品投资（40-x ）万元，且[]10,30x ∈ 则该公司所得利润为：3ln 3y x =++故有'3x y =令'0y >解得1015x ≤< 令'0y <解得1530x ≤<所以15x =为函数的极大值点，也是函数的最大值点，min 3ln15321.124y =++=(万元)所以：当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元.【思路点拨】由已知可得()()'1313f f =⎧⎪⎨=⎪⎩解得30a b =⎧⎨=⎩可得()()3ln 30f x x x =+>，将已知点()4,4代入()g x =()g x =；设甲产品投资x 万元，则乙产品投资（40-x ）万元，且[]10,30x ∈则该公司所得利润为：3ln 3y x =++. 【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为12F F 、，，直线l 与椭圆相交于A 、B两点，且满足121,2OA OB AF AF K K +=⋅=-O 为坐标原点.（I ）求椭圆的方程; （II ）求OA OB ⋅的最值.【知识点】椭圆方程 直线与圆锥曲线 H5 H8【答案】（I ）22184x y +=；（II）. 解析：（I，可得：a =又122a AF AF =+=2,2a c b ∴=∴==所以椭圆方程为：22184x y +=；（II ）设直线AB 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得：()222124280kxkmx m +++-=()()()()222224412288840km k m k m =-+-=-+>2121222428,.1212km m x x x x k k --+==++ 21221211.,22OA OBy y b k k a x x =-=-∴=-21212214212m y y x x k-∴=-=-+ 又()()()2222121212122812m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+ 2224281212km m k k --∴=++，()2222248,42m m k k m ∴--=-∴+= 2212122222844.2121212m m OA OB x x y y k k k--=+=-=-+++ 所以224.2OAOB -=-≤<当k=0(此时22m =满足上式)，即直线AB 平行于x 轴时，.OAOB 最小值为-2， 当斜率不存在时，有2121121221211,,k .k .2OA OB y y y x x y y x x x ====-=- 所以22112x y =将点A 坐标代入椭圆方程，可得：212y = 所以212121.2OAOB x x y y y =+== 所以.OAOB 最大值为2，综上所述：.OAOB 最小值为-2，最大值为2.，可得：a =，由椭圆的定义可得a =可得2121222428,.1212km m x x x x k k --+==++，由221.,2OA OBb k k a =-=-可得121212y y x x =-即21212214212m y y x x k -=-=-+，再由直线可得()()()2222121212122812m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+，列的等式解得2242k m +=，因为2212122222844.2121212m m OA OB x x y y k k k--=+=-=-+++，224.2OAOB -=-≤<，当斜率不存在时，.2OAOB =，所以可得其范围.【题文】21.（本小题满分14分） 设函数()()11ln .22f x m x x m R x=-+∈. （I ）当54m =时，求()f x 的极值； （II ）设A 、B 是曲线()y f x =上的两个不同点，且曲线在A 、B 两点处的切线均与x 轴平行，直线AB 的斜率为k ，是否存在m ，使得1?m k -=若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.【知识点】导数的应用 B12 【答案】（I ）()()()35135=2ln 2,=ln 2.44244f x f f x f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭极大值极小值（II ）故不存在这样的m 使得1k m =-.解析：（I ） 函数()f x 的定义域为()0,+∞()2221'2x mx f x x-+=- （I ）当54m =时，()()222152122'22x x x x f x x x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=-=- 令()'0f x =解得：2x =或12x =所以，当x 变化时，()()',f xf x 变化情况如下表：由上表可知：()()()35135=2ln 2,=ln 2.44244f x f f x f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭极大值极小值（II ）设()()112212,y ,0A x y B x x x ≤< 令()221g x x mx =-+由题意可得()()12''0f x f x <=，所以()()12''0g x g x == 所以12,x x 为方程2210x mx -+=的两个根 故121x x =，且2440m =->即21m >()()121122121111''ln ln 2222f x f x m x x m x x x x -=-+-+- ()()1212ln ln m x x x x =--- 若存在实数m 使得1k m =- 则()()()12121212ln ln 11f x f x m x x k m x x x x --==-=-+--()1212ln ln m x x m x x -=-所以1212n ln 1l x x x x -=-即：1212n ln l x x x x -=-，又1212.1,0,x x x x =<<111112ln 0,01x x x x ∴--=<< 令()12ln ,01h t t t t t=--<<()22121'110h t t t t ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭所以()h t 在()0,1上单调递减， 所以()()10h t h <= 即：11112ln 0,x x x ∴--<与111112ln 0,01x x x x ∴--=<<矛盾 故不存在这样的m 使得1k m =-【思路点拨】对函数求导，令导函数为零，解得零点，由左右单调性判断是否为极值，即可求得极值；令()221g x x mx =-+由题意可得12,x x 为方程2210x mx -+=的两个根，()()12''f x f x -()()1212ln ln m x x x x =---若存在实数m使得1k m =-则()()()12121212ln ln 11f x f x m x x k m x x x x --==-=-+--所以1212n ln 1l x x x x -=-即：1212n ln l x x x x -=-，又1212.1,0,x x x x =<<111112ln 0,01x x x x ∴--=<< 令()12ln ,01h t t t t t=--<<，可证得 ()()10h t h <=，故不存在这样的m 使得1k m =-.。
山东省济宁市2018届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
2017-2018学年上学期济宁市期末统考试题数学（理工类）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ．其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}lg(2)0M x x =-≤，{}13N x x =-≤≤，则M N =UA ．{}3x x ≤B ．{}23x ＜x ＜C ．{}13x x -≤≤ D ．R2．已知三个数20.320.3,log 0.3,2a b c ===，则a ，b ，c 之间的大小关系是A ．b <a <cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a 3．下列说法正确的是 。
A ．命题{:,sin cos p x R x x ∀∈+≤“”，则p ⌝是真命题；B ．命题22230,230x R x x x R x x ∃∈++∀∈++“使得＜”的否定是“＞”；C ．21230x x x =-++=“”是“”的必要不充分条件；D ．“a >l ”是()log (0,1)(0,)a f x x a a =≠+∞“＞在”上为增函数”的充要条件。
4．设向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+b 与a-2b 垂直，则实数m 等于A ．65-B ．65 c ．910 D ．910- 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A πB 2π+C ．πD ．2π6．已知幂函数()y f x =的图象过点，且(2)1f m -＞，则m 的取值范围是A ．m<1或m>3B ．1<m<3C ．m<3D ．m>37.已知函数()y f x =的图象如右图所示，则函数()y f x =的解析式可能是A ．221x y x =--B ．2sin 41x x y x =+ C ．2(2)x y x x e =-D ．1x y nx= 8．在等差数列{}n a 中，3645a a a +=+，且2a 不大于1，则8a 的取值范围是A ．[)9,+∞B. (],9-∞ C ．()9,+∞ D ．(),9-∞9．已知函数()2sin()6f x x πω=+的图象与x 轴交点的横坐标，依次构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数g(x)的图象，则 A ．g(x)是奇函数 B ．g(x)的图象关于直线4x π=-对称 C ．g(x)在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，g(x)的值域是[－2，1] 10．已知双曲线2222:1()x y C a a b-=＞,b ＞0的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点且满足122PF PF =，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，又点M 满足122PF PF =，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，又点M 满足02120MO OP MF N =∠=且uuu r uu u r ，则双曲线C 的离心率为A．3 BCD. 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算421()x dx x+=⎰ . l2．设实数,1021x y x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩满足,向量(2,),(1,1)a x y z b =-=-，若a ∥b ，则实数z 的最大值为 .13．观察下列等式：11S =2235S =+=345615S =++=47891034S =+++=5111213141565S =++++=6161718192021111S =+++++=722232425262728175S =++++++=可得13521n S S S S -++++=L .14．已知函数2,0,()ln(1),0,x ax x f x x x ⎧+≤=⎨+⎩＞若函数()2()F x f x x =-有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．15．已知直线1:40l kx y -+=与直线2:30(0)l x ky k +-=≠分别过定点A 、B ，又12,l l 相交于点M ，则MA MB g 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分1 2分)已知向量(),cos ,(sin ,2cos )()m x x n x x x R ==∈，设函数()1f x m n =⋅-． (I)求函数()f x 的单调减区间；(Ⅱ)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若()2,,A B =34f A B π==边，求边BC ．17．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11111,60ABC A BC CA CB AA BAA BAC -==∠=∠=。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
【全国市级联考】山东省泰安市2018届学年高三上学期期末考试数学文试题(原卷版)
高三年级考试数学试题（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，，，则集合=（）A. B. C. D.2. 等差数列的前项和为，若，，则=（）A. B. C. D.3. 已知，，，则（）A. B. C. D.4. 下列命题中正确的是（）A. 命题“，使”的否定为“，都有”B. 若命题为假命题，命题为真命题，则为假命题C. 命题“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”5. 有两条不同的直线、与两个不同的平面、，下列命题正确的是（）A. ，，且，则B. ，，且，则C. ，，且，则D. ，，且，则6. 若，满足条件，则的最小值为（）A. B. C. D.7. 将函数的图象向右平移个单位长度，若所得图象过点，则的最小值为（）A. B. C. D.8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）......A. B. C. D.9. 函数，的图象大致是（）A. B.C. D.10. 若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.11. 已知双曲线：，圆：，若双曲线的一条渐近线与圆有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）A. B. C. D.12. 定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的横线上.13. 若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是_________.14. 已知，则=_________.15. 如图所示，在平行四边形中，，垂足为，且，则=_________.16. 观察下列各式：，，，，，…，则=_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，，函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，是角，，的对边，若，，，求面积的最大值. 18. 已知数列满足，，若为等比数列.（1）证明数列为递增数列；（2）求数列的前项和为.19. 如图，在四棱柱中，，，为边的中点，底面.求证：（1）平面；（2）平面平面；20. 已知椭圆：经过点，焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于不同的两点、，线段的垂直平分线交轴交于点，若，求的值.21. 已知函数，.（1）当时，求函数的曲线上点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）若有两个极值点，，其中，求的最小值.22. 选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）若圆与直线交于、两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲.设函数.（1）当时，求的解集；（2）证明：.。
山东省泰安市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题(扫描版)(1)
试卷类型:A高三年级考试数学试题（文科）2018. 1一■选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集〃二｛1,2,3,4,51 |3,4,5 丨，N= |2,3|，则集合（匚川）=A. |2|B. (1,31C. |2,5| D・ 14,5}2.等差数列|叫|的前71项和为S”,若a2=3,S5=25,则a8 =A. 16B. 15 C・14 D・133.已知a =2T,6 =log3 -|-,c = logxy,则A. a> b >c B・a>c >b C・c >a > b D・c > b > a4.下列命题中正确的是A.命题M3XG[0,1],使d-1 M0” 的否定为“ Vxe[O,l],都有x2 - 1 wO”B.若命题p为假命题，命题q为真命题，则（~>p） V （-1 g）为假命题C.命题“若才・T>0,则才与方的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D.命题“若x2+x=O,则"0或"-1”的逆否命题为“若％工0且x# -1, 则/+详0”5.有两条不同的直线m、“与两个不同的平面a、0,下列命题正确的是A. m 丄。
，“〃/3,且。
〃0,贝Ijm 丄“B. m 丄a,n 丄0,且a 丄0,贝lj m//nC. m//a,n丄0,且a丄0,贝'J m//nD.皿〃。
,/1〃0,且°〃0,贝9 m〃zi高三数学试题（文）第1页（共4页）12.髙三数学试题（文）第2页（共4页）{x -y+2M0 * + y - 4 WO,则z = 2x -y 的最小值为 )^2A ・一2B. -1 D ・2 7.将函数y = sin2x 的图像向右平移心＞0）个单位长度，若所得图像过点（于，+）C. 1 ，则（p 的最小值为 A IT A ・12 C 旦 D —匕4 U ・3 8. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A. B. c.D ・ 12 24 40 72 ax-4在区间（-1,1）内恰有一个极值点,则实数a 的取值范9-函数人宀蛊龙 弓,0 10. 11. 若函数/&） =x 3+x 围为 A. （1,5） B. ［1,5）C. （1,5］D. （ -a ,1） U （5, +8）已知双曲线0：石-斧1（。
2018年山东省泰安市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）若（1﹣2i）z＝5i，则|z|的值为（）A．3B．5C．D．3．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6＝3，则a4+a8＝（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3 4．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x与相应的生产能耗y的几组对应数据：根据上表可得回归方程，那么表中m的值为（）A．27.9B．25.5C．26.9D．265．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．g（x）的周期为πB．C．的一条对称轴D．g（x）为奇函数7．（5分）以为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2﹣y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）a＝（﹣cos x）dx，则（ax+）9展开式中，x3项的系数为（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 10．（5分）如图，平面四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD＝2，点E在对角线AC上，AC＝4，AE＝1，则的值为（）A．17B．13C．5D．111．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠P AQ＝60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），函数y＝f（x﹣1）是奇函数，当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f'（x）]＜0，则不等式xf（x ﹣1）＞f（0）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）设函数f（x）＝，则f（﹣6）+f（log211）＝．14．（5分）已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是．15．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）对任意数列A：a1，a2，a3，…，a n，…，定义△A为数列a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，a n+1﹣a n，…，如果数列A使得数列△（△A）的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若的取值范围．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上∠BAC＝∠CAA1＝60°，且AB＝AC＝AA1＝2．（I）求证：B1C⊥A1B；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C﹣B的余弦值．19．（12分）体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．某学校数学学科共有30位教师，其中60%的人经常进行体育锻炼．经体检调查，这30位教师的健康指数（百分制）的数据如下：经常锻炼的：65，76，80，75，92，84，76，86，87，95，68，82，72，94，7l，89，83，77缺少锻炼的：63，58，85，93，65，72，59，91，63，67，56，64（I）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系”？（Ⅱ）从该学科教师健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中经常进行体育锻炼的人数的分布列和数学期望．附：．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，右顶点为B，e为椭圆的离心率，且，其中O为原点．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l（直线l与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线AM与BN交于点T．证明：T点的横坐标为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx．（I）求函数f（x）的图象在点x＝1处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣f（x+2）+x，证明：g'（x）＞0；（Ⅲ）求证：．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2＝2x，且直线l与圆C交于A、B两点．（I）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l与圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）求△OAB的面积（O为坐标原点）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m|+|2x﹣3|（m∈R）．（I）当m＝﹣3时，解不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若存在x∈[2，4]，使得f（x）≤3成立，求m的取值范围．2018年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}＝{﹣5，﹣3，﹣1，1}，则A∩B＝{﹣1，1}．故选：B．2．（5分）若（1﹣2i）z＝5i，则|z|的值为（）A．3B．5C．D．【解答】解：由（1﹣2i）z＝5i，得，则|z|的值为．故选：D．3．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6＝3，则a4+a8＝（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a6＝3，∴，∴a4+a8＝．当且仅当q＝1时上式等号成立．故选：A．4．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x与相应的生产能耗y的几组对应数据：根据上表可得回归方程，那么表中m的值为（）A．27.9B．25.5C．26.9D．26【解答】解：由题中表格数据，计算＝×（4+2+3+5）＝3.5，代入回归直线方程═9.4x+9.1中，计算＝9.4×3.5+9.1＝42，即＝×（49+m+39+54）＝42，解得m＝26．故选：D．5．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i＝1，a＝2；经第二次循环得到i＝2，a＝5；经第三次循环得到i＝3，a＝16；经第四次循环得到i＝4，a＝65满足判断框的条件，执行是，输出4故选：B．6．（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．g（x）的周期为πB．C．的一条对称轴D．g（x）为奇函数【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝sin（2x﹣）＝sin2x的图象，所以：对于A：函数的最小正周期为，对于B：，对于D：g（﹣x）＝﹣g（x）故函数为奇函数．当x＝时，g（）＝不是对称轴．故选：C．7．（5分）以为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2﹣y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，y＝代入双曲线x2﹣y2＝2，可得x＝±，∵△MNF为正三角形，∴p＝×2，∵p＞0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y，故选：D．8．（5分）a＝（﹣cos x）dx，则（ax+）9展开式中，x3项的系数为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：a＝（﹣cos x）dx＝＝﹣1，则（ax+）9即＝﹣，的通项公式T r+1＝＝x9﹣2r．令9﹣2r＝3，交点r＝3．∴x3项的系数＝＝﹣．故选：A．9．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．10．（5分）如图，平面四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD＝2，点E在对角线AC上，AC＝4，AE＝1，则的值为（）A．17B．13C．5D．1【解答】解：由题意可知CE＝3，∠BCE＝60°，∴EB＝，∴cos∠BEC＝，∴cos∠BED＝2cos2∠BEC﹣1＝．∴．故选：D．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠P AQ＝60°，且，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由＝3，可得Q（3m，），圆的半径为r＝|PQ|＝＝2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得＝﹣，解得m＝，r＝．A到渐近线的距离为d＝＝，则|PQ|＝2＝r，即为d＝r，即有＝•．可得＝，e＝＝＝＝．另解：可得△P AQ为等边三角形，设OP＝x，可得OQ＝3x，PQ＝2x，设M为PQ的中点，可得PM＝x，AM＝＝x，tan∠MOA＝＝＝，则e＝＝．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），函数y＝f（x﹣1）是奇函数，当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f'（x）]＜0，则不等式xf（x ﹣1）＞f（0）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意设g（x）＝（x+1）f（x），则g′（x）＝f（x）+（x+1）f′（x），∵当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，∴当x＜﹣1时，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，∵函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，∴函数f（x﹣1）的图象关于点（0，0）中心对称，则函数f（x﹣1）是奇函数，令h（x）＝g（x﹣1）＝xf（x﹣1），∴h（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）递增，由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递减，∵h（1）＝f（0），∴不等式xf（x﹣1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1），即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1，∴不等式的解集是（﹣1，1），故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）设函数f（x）＝，则f（﹣6）+f（log211）＝．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣6）＝1+log28＝4，f（log211）＝＝，∴f（﹣6）+f（log211）＝．故答案为：．14．（5分）已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是5．【解答】5 由条件可知：z＝x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z＝﹣5，|z|max＝5，解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由解得M（﹣1，3），由条件可知：z＝x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z＝﹣5，|z|max＝5，故答案为：5．15．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为+．【解答】解：由三视图可得：该几何体为左右两部分组成，左边为圆锥，右边为三棱锥．∴该几何体的体积V＝+＝+．故答案为：+．16．（5分）对任意数列A：a1，a2，a3，…，a n，…，定义△A为数列a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，a n+1﹣a n，…，如果数列A使得数列△（△A）的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝100．【解答】解：设序列△A的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，则它的第n项为d+（n﹣1），因此数列A的第n项，a n＝a1+（a k+1﹣a k）＝a1+d+（d+1）+…+（d+n﹣2）＝a1+（n﹣1）d+（n﹣1）（n﹣2），则a n是关于n的二次多项式，其中n2的系数为，∵a12＝a22＝0，∴必有a n＝（n﹣12）（n﹣22），则a2＝（2﹣12）（2﹣22）＝100，故答案为：100．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若的取值范围．【解答】解：（I）由，化简可得：即a2﹣b2+c2＝ac∴cos B＝＝．∵0＜B＜π，∴B＝．（Ⅱ）由（I）可知B＝．b＝1，正弦定理：，可得：a＝2sin A，c＝2sin C那么＝2sin A﹣4sin C═2sin A﹣4sin（）＝2sin（A﹣）．∵∴A﹣则﹣1＜2sin（A﹣）≤2故得的取值范围是（﹣1，2]．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上∠BAC＝∠CAA1＝60°，且AB＝AC＝AA1＝2．（I）求证：B1C⊥A1B；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD、AB1，∵A1D⊥AC，∠CAA1＝60°，AC＝AA1，∴D是AC的中点，又AB＝AC，∠BAC＝60°，∴BD⊥AC，∵A1D∩BD＝D，∴AC⊥平面A1BD，∴AC⊥A1B，又AA1B1B是平行四边形，AB＝AA1，∴AB1⊥A1B，∵AC∩A1B＝A，∴A1B⊥平面AB1C，∴B1C⊥A1B．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC、DB、DA1两两垂直，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），∴＝（0，1，），设B 1（x0，y0，z0），则＝（），∵，∴，∴B 1（，1，），∴＝（，2，），＝（0，2，0），设平面AB1C的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，﹣1），∴cos＜＞＝＝，∴二面角A﹣B1C﹣B 的余弦值为．19．（12分）体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．某学校数学学科共有30位教师，其中60%的人经常进行体育锻炼．经体检调查，这30位教师的健康指数（百分制）的数据如下：经常锻炼的：65，76，80，75，92，84，76，86，87，95，68，82，72，94，7l，89，83，77缺少锻炼的：63，58，85，93，65，72，59，91，63，67，56，64（I）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系”？（Ⅱ）从该学科教师健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中经常进行体育锻炼的人数的分布列和数学期望．附：．【解答】解：（Ⅰ）∵＞7.879．∴有99.5%的把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系；（Ⅱ）设这2人中爱好体育锻炼的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2， 其中：P （ξ＝0）＝，P （ξ＝1）＝，P （ξ＝2）＝．∴ξ的分布列为：E （ξ）＝0×．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F ，左顶点为A ，右顶点为B ，e 为椭圆的离心率，且，其中O 为原点．（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l （直线l 与x 轴不重合）与椭圆C 交于M ，N 两点，直线AM 与BN 交于点T ．证明：T 点的横坐标为定值． 【解答】解：（I ）由题意可知：＝，整理得：a ＝2c ，又a 2＝3+c 2，∴a ＝2，c ＝1．∴椭圆的方程为：+＝1．（II）证明：当直线l与x轴垂直时，M（1，），N（1，﹣），∴直线AM方程为：y＝x+1，直线BN的方程为：y＝x﹣3，解方程组，得T（4，3）．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y＝kx﹣k（k≠0），联立方程组，消元得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，∴直线AM的方程为：y＝（x+2），直线BN的方程为：y＝（x﹣2），令（x+2）＝（x﹣2），即（x1﹣1）（x2﹣2）（x+2）＝（x1+2）（x2﹣1）（x﹣2），∴x＝＝2•＝2•＝4．综上，T点的横坐标为定值4．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx．（I）求函数f（x）的图象在点x＝1处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）＝e x﹣f（x+2）+x，证明：g'（x）＞0；（Ⅲ）求证：．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得函数f（x）的图象在点x＝1处的切线斜率为1，且f（1）＝0，即有函数f（x）的图象在点x＝1处的切线方程为y＝x﹣1；（Ⅱ）证明：g（x）＝e x﹣f（x+2）+x＝e x﹣（x+2）ln（x+2）+x导数为g′（x）＝e x﹣1﹣ln（x+2）+1＝e x﹣ln（x+2），可令h（x）＝e x﹣ln（x+2），导数h′（x）＝e x﹣，由h′（x）在（﹣2，+∞）递增，且h′（﹣1）＜0，h′（0）＞0，h′（x）在（﹣2，+∞）有唯一零点x0∈（﹣1，0），当﹣2＜x＜x0时，h′（x）＜0；当x＞x0时，h′（x）＞0，当x＝x0时，h（x）取得最小值，h′（x0）＝0，即e＝，即ln（x0+2）＝﹣x0，故h（x）≥h（x0）＝+x0＝＞0，即g'（x）＞0；（Ⅲ）证明：由e x＞ln（x+2），令x＝，即e＞ln（+2），由此可知，当n＝1 时e0＞ln2，当n＝2 时，e﹣1＞（ln3﹣ln2）2，当n＝3时，e﹣2＞（ln4﹣ln3）3，…当n＝n时，e﹣n+1＞[ln（n+1）﹣lnn]n．综上：e0+e﹣1+e﹣2+…+e﹣n+1＞ln2+（ln3﹣ln2）2+（ln4﹣ln3）3+…+[ln（n+1）﹣lnn]n．而e0+e﹣1+e﹣2+…+e﹣n+1＝，∴ln2+（ln3﹣ln2）2+（ln4﹣ln3）3+…+[ln（n+1）﹣lnn]n＜（1﹣）＜．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2＝2x，且直线l与圆C交于A、B两点．（I）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l与圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）求△OAB的面积（O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．转换为直角坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ﹣2＝0．圆C的方程为x2+y2＝2x，转换为极坐标方程为：ρ＝2cosθ．（Ⅱ）原点到直线：x﹣y﹣2＝0的距离为：d＝．则：直线与圆建立方程组：，解得：A（1，﹣1），B（2，0）则：|AB|＝，＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m|+|2x﹣3|（m∈R）．（I）当m＝﹣3时，解不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若存在x∈[2，4]，使得f（x）≤3成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x+m|+|2x﹣3|（m∈R）．当m＝﹣3时，函数f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣3|（m∈R）．由于：f（x）＜9，则：|x﹣3|+|2x﹣3|＜9，所以：，或，或，解得：﹣1＜x＜5．（Ⅱ）存在x∈[2，4]，使得f（x）≤3成立，即：存在x∈[2，4]使得：|x+m|≤6﹣2x，所以：x∈[2，4]使得，，即：，解得：﹣4≤m≤0．第21页（共21页）。
山东省泰安市2017-2018学年高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
高三年级考试数学试题（理科）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集：，「，则集合匚（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知••• 了门工“厂故选D2. 等差数列的前项和为，若：，，贝U =（）A. B. C. D.【答案】B5城4【解析】设公差为，由- •可得;X •-.•.坷■ l*d■ 2，则% ■听十7d ■ 15故选B£2=i 13. 已知，‘ G.,，•，则（）a i 3A. a > b > cB.C.c > a > bD.c》bA 日【答案】Ci i 2- J0= i<a = 2^<2^ = 5/2，b = log3^ < log3l = 0 ,1J~ 3c = log^ = log23 > log2V8 =㊁2-Si ■:故选C4. 下列命题中正确的是（）A. 命题“七7|：「.丨丨，使”的否定为“ '心三丨「，都有”B. 若命题.•为假命题，命题为真命题，则J.：：：—-；-为假命题C. 命题“若与的夹角为锐角，则及它的逆命题均为真命题D. 命题“若才• m则或---I ”的逆否命题为“若且y T，贝y ”【答案】D【解析】选择A:命题“.・：[•丨| ,使十|工口”的否定为“.农：丁「.1| ,都有：，|「”；选项B：,珀为真命题；选项C：“若;I-]' ：1 ,则与的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选D5. 有两条不同的直线•、I】与两个不同的平面、，下列命题正确的是（）A. ，加；且皿■込，则山'JB. ，::丄.，且，则C. u •，二丄‘••，且-|:,则in itD. i「.，I：•，且「•，则l J【答案】A【解析】对于，由，，且皿I得u ,故正确；对于，由：：：_，：.：：_|「.丄|・得..故错误；对于，由，，且，得.或心门相交或异面，故错误；对于，由，，且得••得关系可以垂直，相交，平行，故错误.故选Af x> 16. 设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取（x y < 4值范围是（）A. I " -- IB. - - I I --C.丨…1D. : I ■■■■川【答案】A【解析】满足不等式组的可行域如图所示•••阴影部分满足不等式组的平面区域，联立.二［_门解得'、•••点 '联立解得:•••点..•••直线恒过点2-0 " 1-0•••观察图像可知，当直线在y 一二：T和y - T： T之间时，才会存在内的点•••故选A点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想•需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得•7C 17. 将函数■- 的图象向右平移応，二个单位长度，若所得图象过点辽£ ,贝U的最小值为（）兀兀兀兀A. B. C. D.【答案】C7E 1 2兀 1 2冗兀【解析】移动后■- -II- - - -ir- - 一经过点，则.k；.，解之得3 2 3 2 3 67T、兀 •丁或卞=. ' 412■/ I.- ■■■■.7T•吳最小值为4故选C点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换 的规律：（1）把函数的图像向左平移八个单位长度，则所得图像对应的解析式为••：..：•、il ■ |，遵循“左加右减”；（2 ）把函数' 「I 》，图像上点的纵坐标保持不变，横坐 标变为原来的6倍（0>0），那么所得图像对应的解析式为8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（三棱锥的高为2,底面为底边长为 4的等腰直角三角形，因此体积为1.1] s，选A.23 235兀::二 I ； ---, 6 9.函数 = A. B.C. D.，:3 兀1 y = K-x).16D. —+ 16 兀【答案】 【解析】 几何体为一个半圆柱与一个三棱锥的组合体，其中半圆柱底面为半径为2的半圆,高为4, 主视图C. _ + ]翫AA.【答案】C【解析】由可得函数为奇函数，图像关于原点对称，可排除7C t•••时，故选C点睛：由解柄式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置,由函数的值域，判断图象的上下位直；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的命偶性,判断图象的对称性；④由函数的周期件,判断图象的循环往复•10. 已知函数（其中为自然对数底数）在取得极大值，则的取值范围是（）A. a < 0B. a > 0C. -e < a < 0D. a < -e【答案】D【解析】由题意可知“；•” + [-：”-：：•：： A当时，若，则仏：|；,若，则••• 在处取极小值，不符合题意当?■. < <时，令「:厂:;,得：-•或:：i为使I 在. I处取极大值，贝则旳：「'，即- ■■■■■'--故选D2 2立X Y 7 7 J 勺严11. 已知双曲线：，圆：，若双曲线的一条渐a2 tr 4近线与圆有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）A. B. —■ C. D. 十【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为厂：；：即-乙，圆可化简为鶯：〒：7''' =；：•「，圆心为，半径为T双曲线的一条渐近线与圆有两个不同的交点则■■■■ ，即双曲线的离心率--'a 3•••双曲线的离心率范围为 、工-3 J故选A点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据：E ：的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等1 1 112.定义在 上的函数 ，满足 ：，且当 时，11■ ■-，若函数 -口舄「X3T在| 上有零点，则实数的取值范围是（）【答案】B因为S ，且当 时,f(x) = Inx ，在坐标系中画出函数 的图象如图: 因为函数；■•：」'；■■■： 与 轴有交点, 所以直线.7 - 与函数的图象有交点, 由图得，直线?与 的图象相交于点 11 ■'即有h ,T — ■: -审It由图象可得，实数的取值范围是： ■. |;|故选：B.ab| 1____ < - ，即A. |B. .T I <C.D.【点睛】本题考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，数形结合思想，分段函数，属于中档题，解决本题的重点是根据函数的性质求出函数的解析式，再利用数形结合x的思想即可得出的范围，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化第U卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的横线上•13. 若抛物线x2= 4y上的点A到焦点的距离为10,则氏到兀轴的距离是______________________ .【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为•••抛物线厂二灯上的点到焦点的距离为10•••点至I」轴的距离是i-心故答案为9兀 1 兀14. 已知sin(--a)- co跑=；，则cos(2a 卜-)= .D 3 J1【答案】9丸 1 石啤1【解析】/ ，贝y6 2 2 6 37T ?7 7-. - ，故选答案为7.15. 如图所示，在平行四边形血8中，"丄BD，垂足为F，且心=I，则心•心= ______________________________【答案】2如图，延长过作延长线的垂线［三,所以.在.的方向投影为，又-:- ■■-所以，:/ ,\7 ，二二点睛：本题中采用向量数量积的几何意义解题，作出.在的方向投影，由为.中点,可知I '：. 「，所以根据数量积的几何意义可知，■•■—”- .--.I：:16. 观察下列各式：w -- ：_ - ".，：「，：，=..,；「t" ：,；「『了，？：：. = 11 ,…，贝U= ________ .【答案】199【解析】通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，因此丨、卜二「: 4 -' ;，' I」.…故答案为199点睛：归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质•二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）•常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•-»—6 --•-17. 已知向量.■，：：、••.「.、■, I；：.宀二■■ ■'.■■ ■'< ■,函数= 3（1 ）求的单调递增区间；"ZE（2）在—二中，，，是角，，的对边，若，，，求上/三二面积的最大值.31 5 . 石【答案】（1）单调增区间为丨. F k-T l，—■■■ （2）—兀〈3【解析】试题分析：（1）由三角函数恒等变换应用化简函数解析式可得h ：；. - \-J得，再由余弦定理得出 小的范围，即可求出面积的最大值• 试题解析：(1)由题意得：i! ：^ •,、',— 2 、 27U兀 兀令^, E ,,23 2—―门兀5x整理得：..，I :三,is n7E、•函数 的单调增区间为 ,•(2)由题意得：- ,兀\i'3: , •/ ,27C2-,33 3__ 科 r 7T由余弦定理可得：I: :■I 丽 丽二 ，•••m 面积的最大值为.418.已知数列 满足 ， ，若. ' 为等比数列.(1 )证明数列为递增数列;2 -3(2)求数列.的前项和为.由 L T '：、、—21+W _ 2 <- 兀一3可解得 的单调递增区间;t兀—(2)由，可【答案】⑴见解析⑵2n -3n-l211_1-6n-6【解析】试题分析：(1)设数列：公比为•.，由叫一!, ，可得，从而得到数列的通项公式，再根据当时，：可得数列匕宀先宀「-为递增数列；(2)令a, -I 3 x3 4试题解析：⑴设数列•'公比为，则.、，••• 、.当-时，：”「：：' ■> - ■：>■'" <：," •飞! 一 :',•- ,数列为递增数列.2n_1-3 %+j-a n 1 1(2)由题意得：令a n+ 1 斗冉一1 %+12T, -3n - I2 2,l-3(n- 1) T0"1- 6n-6%'斗+1，根据数列的性质，禾U用裂项相消法即可求出•点睛：本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和, 属于中档题•裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向, 突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧:(3) = ：■ -(4)' (2n-))(2n + 1) 2 2n-l 2n + 1 ? v⑵■ i: I:I _ 1n(n+ l)(n + 2) 2吶7) m十加十丹此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误•19.如图，在三棱柱二：”中，四边形二二..-亠是矩形，宀；丄,平面平面.S^bj +b2- ■ b L1=•「I ■ S 1(1)求证：;(2 )若m「•：，求二面角沢汽二三的余弦值•【答案】⑴见解析(2)【解析】试题分析：(1 )由工；壬宀，圧吕二，可推出•心 X,再由四边形芟工二是矩形可得「「丄「山，从而可证平面\ •，设与:;厂相交于点，与相交于点，连接生，可证三F 平面，结合平面平面即可证明J I ；「；( 2)以三为坐标原点，建立空间直角坐标系；--，求得平面的法向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得出余弦值•试题解析：(1)在三棱柱■■- ' ■:' I中•「BC/TB L C］，AB 丄B］C］^AB 丄BC又四边形三三二二是矩形「•BC 丄BE］，AB riBE］= BEC I.平面岛二设与相交于点，与相交于点F，连接'"—匸：-了与几【匸人均是平行四边形三刁匚二：，2F 平面弘：』|：•:+：EF 丄2］，EF 丄岛］B'面-EF 1 A T B又平面平面I面八三:「・ABi IA J B（2 ）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系卜由（1）及题设可知，是菱形，|<|<,冲^•AB = AB1= 4■■- E©啦），蛆ZQO）,均（0,-胡®, C（0,2角）•「-=-、• >■ ：-：：■".：：<，: - ■ j设平面的法向量讥叵心=0 即f -2x-W = 0Im AC = 0 ?l-2x + 2屈+ 3 = 0又由（1）可知：止h丄平面■-平面的法向量:匸」… mF 3雨讥COS < 111,11 > =〜_ = ----------|m||n| 14> ；7■-二面角产-「--r的余弦值为——点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；（2 ）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角. 但在解题解得:（1）求椭圆 的标准方程； （2 ）直线丨\:Til.”, i - U ：与椭圆［.交于不同的两点 、L ,线段」」的垂直平分线交 轴交于点J ,若".「：，求:T.的值.2【答案】⑴（2） Ji I 或--I .4-【解析】试题分析：（1）根据题意可知•，将点「带入椭圆方程后联立方程组即可求得 ，即可得到椭圆得标准方程；⑵ 设■■- - ：■■ | 1，线段讥•中点坐标叮、:m;y = + mx 2 2_ 整理得：飲S 观亦卄钿'-4 = 0,结合韦达定理，线段 AB 的中点亡坐标，由可得点⑴坐标，再由线段J ：止的垂直平分线交 轴交于点⑴及:m E，求得从而求出门的值.试题解析：（1）由题意得.■■：--■：，所以 .， 又点在椭圆上，1 4—+ —=] / b 2 ' b 2 = ?-3整理得：（舍），二=I•••椭圆的标准方程为: (2)设；-:-| 1 " ■ > ，线段中点坐标y =返 K + m才 2 .整理得：9x 2 + 8 J5mx + 4m 2 - 4 = 0 ,了+y 7{{20. 已知椭圆：所以：； 经过点 a 2 tr焦距为• ••二一「！小一 -■ - - ■ ■x21..已知函数：宀 h --. (1) 求过点的 图象的切线方程；m(2)若函数… 存在两个极值点 ，，求门的取值范围;x i + x2_ 4 寸 2m. 11. . .. ... ■ ' . .2 9.•〔；、ii'i ',•••线段.的中点 坐标为m.•.点丨；|坐标为.•n.-亠.I ■2tan^AMC又i... •一.: I ■■、I - tan%AMC解得I ； ' .「:或I -I/. -■ I ■■■- 一.•.在 RtAAMC 中，EAMC =(3 )当I 时，均有i,.,; V ,>■ ■:，■- a 恒成立，求的取值范围•【答案】 ⑴ -I (2) In ：； (3)':二【解析】试题分析：(1)设切点坐标为|■■<： l 'i -/ ,则切线方程为，根据点 坐&标，即可求出，从而得到切线方程；(2)对 求导，令:. nr/- .■-，要使 存在h(0)>0'1齐—> 0两个极值点呵,x 2，则方程tnx^ - x I m = 0有两个不相等的正数根，从而只需满足 2m 即1可；(3) 由 i!.、-： .、- ：〕、U 「在■_ | 上恒 成立可得 1「.】、：>：「在■ ■_ | 上恒 成立，令.；. <! Iny :丫"'%，求出•的单调性，可得出•的最大值，即可求得的取值 范围•试题解析：(1)由题意得，函数 的定义域为V.十〜，X1设切点坐标为，则切线方程为 '■: ln -'u 1把点 代入切线方程，得：，•・吨=1■-过点；I I - 1 :的切线方程为：令I.「、： IIL . - •、 一::要使存在两个极值点，，则方程HI有两个不相等的正数根I又，••h(0)>0 ! 1—> 0故只需满足 2m 即可I好。
2017-2018学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
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2017-2018 学年山东省泰安市高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1． 【解答】解：全集 U＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，3}，则集合∁UN＝{1，4，5}，M＝{3， 4，5}， 集合（∁UN）∩M＝{4，5}． 故选：D． 2． 【解答】解：∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， a2＝3，S5＝25，
C．﹣e≤a＜0
11． （5 分）已知双曲线 C1：
＝1（ a＞0，b＞0） ，圆 C2：x +y ﹣2ax+ a ＝0，
若双曲线 C1 的一条渐近线与圆 C2 有两个不同的交点，则双曲线 C1 的离心率的范围 是（ A． （1， ） ） B． （ ，+∞） C． （1，2） D． （2，+∞）
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12． （5 分）定义在
上的函数 f（x） ，满足
，且当
时，
f（x）＝lnx，若函数 g（x）＝f（x）﹣ax 在 是（ A． ） B．[﹣πlnπ，0] C．
上有零点，则实数 a 的取值范围
D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填写在答题卡相应的横线 上． 13． （5 分）若抛物线 x ＝4y 上的点 A 到焦点的距离为 10，则 A 到 x 轴的距离是 14． （5 分）已知 ，则 ＝ ． •
19． （12 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，四边形 BB1C1C 是矩形，AB⊥B1C1，平面 A1BC⊥平面 AB1C1． （I）求证：AB1⊥A1B；
2017-2018学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{3，4，5}，N＝{2，3}，则集合（∁U N）∩M＝（）A．{2}B．{1，3}C．{2，5}D．{4，5}2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝3，S5＝25，则a8＝（）A．13B．14C．15D．163．（5分）已知a＝，b＝log3，c＝，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）下列命题中正确的是（）A．命题“∃x∈[0，1]，使x2﹣1≥0”的否定为“∀x∈[0，1]，都有x2﹣1≤0”B．若命题p为假命题，命题q为真命题，则（¬p）∨（¬q）为假命题C．命题“若•＞0，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D．命题“若x2+x＝0，则x＝0或x＝﹣1”的逆否命题为“若x≠0且x≠﹣1，则x2+x≠0”5．（5分）关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n6．（5分）设不等式组，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．27．（5分）将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，若所得图象过点，则φ的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．24πC．D．72π9．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）＝x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5）B．[1，5）C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）11．（5分）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0），圆C2：x2+y2﹣2ax+a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）12．（5分）定义在上的函数f（x），满足，且当时，f（x）＝lnx，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在上有零点，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣πlnπ，0]C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）若抛物线x2＝4y上的点A到焦点的距离为10，则A到x轴的距离是．14．（5分）已知，则＝．15．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝1，则•＝．16．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a11+b11＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量，函数．（I）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若面积的最大值．18．（12分）已知数列{a n}满足a2＝﹣4，a3＝﹣5，若{a n+3n}为等比数列．（I）证明数列a3，a4，a5…a n…为递增数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．（12分）如图，在四棱柱ABC﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2AB＝2BC，M为边AD 的中点，CB1⊥底面ABCD．求证：（I）C1M∥平面AA1B1B；（Ⅱ）平面BMB1⊥平面ACB1．20．（12分）已知椭圆经过点，焦距为．（I）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴交于点M，若的值．21．（12分）已知函数f（x）＝2alnx，g（x）＝f（x）+x﹣．（I）当a＝1时，求函数f（x）的曲线上点（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤1时，求g（x）的单调区间；（III）若g（x）有两个极值点的最小值．请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]；22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，求|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数（I）当m＝1时，求f（x）≤4的解集；（Ⅱ）证明：f（x）≥2．2017-2018学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，3}，则集合∁U N＝{1，4，5}，M＝{3，4，5}，集合（∁U N）∩M＝{4，5}．故选：D．2．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝3，S5＝25，∴，解得a1＝1，d＝2．∴a8＝1+7×2＝15．故选：C．3．【解答】解：∵1＜a＝＜，b＝log 3＜0，c＝＝log23＞＝，∴c＞a＞b．故选：C．4．【解答】解：命题“∃x∈[0，1]，使x2﹣1≥0的否定为“∀x∈[0，1]，都有x2﹣1＜0”，故A错误；命题p为假命题，命题q为真命题，则（￢p）∨（￢q）为真命题，故B错误；命题“若•＞0，则与的夹角为锐角”原命题为假，它的逆命题为真，故C错误；命題“若x2+x＝0，则x＝0或x＝﹣1”的逆否命题为“若x≠0且x≠﹣1，则x2+x≠0”；故D正确故选：D．5．【解答】解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；当n∥β且α∥β时，存在直线l⊂α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n⊂α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；故选：C．6．【解答】解：由不等式组，作出可行域如图：化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过点A时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故选：A．7．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点（，），∴sin（﹣2φ）＝，即﹣2φ＝+2kπ，或+2kπ，k∈Z，∵φ＞0，∴φ的最小值为．故选：C．8．【解答】解：由题意可知几何体的左侧是三棱锥，右侧是半圆柱，如图：由题意可知几何体的体积为：+＝．故选：C．9．【解答】解：函数满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈（0，）时，，故排除D，故选：C．10．【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，解得1＜a＜5，另外，当a＝1时，函数f（x）＝x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a＝5时，函数f（x）＝x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B．11．【解答】解：双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0），渐近线方程y＝±x，即bx ±ay＝0，圆C2：x2+y2﹣2ax+a2＝0，（x﹣a）2+y2＝，圆心（a，0），半径a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则＜a，即c＞2b，则c2＞4b2＝4（c2﹣a2），即c2＜a2，双曲线C1的离心率e＝＜，由e＞1，∴双曲线C1的离心率的范围（1，），故选：A．12．【解答】解：因为当时，f（x）＝lnx，所以x∈（1，π]时，，所以f（）＝﹣lnx，此时，故f（x）＝﹣lnx，x∈（1，π]．所以f（x）在上的图象如图，要使函数g（x）＝f（x）﹣ax在上有零点，只要直线y＝ax与f（x）的图象有交点，由图象可得，k OA≤a≤0，其中，所以使函数g（x）＝f（x）﹣ax在上有零点，则实数a的取值范围是[﹣πlnπ，0]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应的横线上．13．【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1）根据抛物线定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，∴y p+1＝10，求得y p＝9，故答案为：914．【解答】解：∵，∴sin cosα﹣cos sinα﹣cosα＝﹣sinα﹣cosα＝﹣sin（α+）＝，∴sin（α+）＝﹣；∴＝1﹣2sin2（α+）＝1﹣2×＝．故选：．15．【解答】解：设AC，BD交点为O，则＝2•＝2•AP•AO•cos∠P AO＝2AP2＝2．故答案为：2．16．【解答】解：等式的右边对应的数为1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第11项．∴对应的数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，第11项为199，故答案为：199．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）向量，∴函数＝sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣（cos2x+1）＝sin（2x﹣）﹣；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由题意得，f（C）＝sin（2C﹣）﹣＝0，∴sin（2C﹣）＝，∵0＜C＜，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，解得C＝；又c＝1，由余弦定理得a2+b2﹣1＝2ab cos＝ab，且2ab≤a2+b2，∴ab≤1，∴△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝ab sin≤，即△ABC面积的最大值是．18．【解答】解：（I）证明：设等比数列{a n+3n}的公比为q，可得q＝＝＝2，则a1+3＝＝1，则a n+3n＝2n﹣1，即有a n＝2n﹣1﹣3n，当n≥3时，a n+1﹣a n＝2n﹣3（n+1）﹣2n﹣1+3n＝2n﹣1﹣3≥4﹣3＝1，即a n+1＞a n，可得数列a3，a4，a5…a n…为递增数列；（Ⅱ）＝＝﹣，前n项和S n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣﹣＝﹣．19．【解答】证明：（Ⅰ）∵在四棱柱ABC﹣A 1B1C1D1中，B1C1BC，M为AD中点，∴BC∥AM，∴B1C1∥AM，又AD＝2BC，∴BC＝AM，∴B1C1＝AM，∴四边形B1C1MA是平行四边形，∴C1M∥B1A，又B1A⊂平面AA1B1B，C1M⊄平面AA1B1B，∴C1M∥平面AA1B1B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形BCMA为平行四边形，且AM＝AB，∴四边形BCMA是菱形，∴BM⊥AC，又CB1⊥底面ABCD，∴CB1⊥BM，∴BM⊥平面ACB1，∴平面BMB1⊥平面ACB1．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2c＝2，即c＝，又点（1，﹣）在椭圆上，则，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆E的标准方程为+y2＝1，（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标为（x3，y3），M（0，y0），联立，整理得：9x2+8mx+4m2﹣4＝0，∴△＝（8m）2﹣4×9×（4m2﹣4）＝144﹣16m2＞0，∴m2＜9由韦达定理：x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴x3＝（x1+x2）＝﹣，∴y3＝x3+m＝，∴点C的坐标为（﹣，），又|AB|＝＝•＝•，∴|AC|＝•，又k MC＝＝﹣，∴y0＝﹣，∴|MC|＝[0×+（﹣）•（﹣1）+m]＝|m|，∵CM垂直平分AB，∴∠AMB＝2∠AMC，又tan∠AMB＝＝﹣2，解得tan∠AMC＝或tan∠AMC＝﹣（舍去），∴在Rt△AMC中，tan∠AMC＝＝＝＝，整理可得9﹣m2＝8m2，解得m＝1或m＝﹣121．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝2lnx，故f′（x）＝（x＞0），∴f′（e）＝，又f（e）＝2，故过切点（e，f（e））的切线方程为：y＝（x﹣e）+2，即y＝x；（Ⅱ）由题意得：g（x）＝2alnx+x﹣，x＞0，∴g′（x）＝+1+＝，令△＝4a2﹣4，①当﹣1≤a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）递增，②当a＜﹣1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜﹣a﹣或x＞﹣a+，令g′（x）＜0，解得：﹣a﹣＜x＜﹣a+，综上，﹣1≤a≤1时，g（x）在（0，+∞）递增，当a＜﹣1时，函数在（0，﹣a﹣），（﹣a+，+∞）递增，在（﹣a﹣，﹣a+）递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知g′（x）＝，x＞0，由题意知：x1，x2是方程x2+2ax+1＝0的两个根，∴x1•x2＝1，x1+x2＝﹣2a，∴x2＝，∴2a＝﹣x1﹣，∴g（x1）﹣g（x2）＝g（x1）﹣g（）＝2[x1﹣﹣（x1+）lnx1]，令H（x）＝2[x﹣﹣（x+）lnx]，∴H′（x）＝2（﹣1）lnx＝lnx，当x∈（0，]时，H′（x）＜0，∴H（x）在（0，]上递减，∴H（x）min＝H（）＝，即g（x1）﹣g（x2）的最小值是．请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]；22．【解答】解：（Ⅰ）圆C的方程为，转换为：，转换为极坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）把代入，得到：ρ2﹣5ρ+3＝0，所以：ρ1+ρ2＝5，ρ1•ρ2＝3，所以：|OP|•|OQ|＝|ρ1•ρ2|＝3．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）m＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，当x＞1时，f（x）＝2x，由f（x）≤4，解得：1＜x≤2，当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2，满足f（x）≤4，当x＜﹣1时，f（x）＝﹣2x，由f（x）≤4，解得：﹣2≤x＜﹣1，综上，m＝1时，f（x）≤4的解集是[﹣2，2]；（Ⅱ）证明：f（x）＝|x+m|+|x﹣|≥|x+m﹣x+|＝|m+|≥2＝2，原式得证．。
山东省济宁市2018届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)
2017-2018学年度高三教学质量检测数学(理工类)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|30A x x x =-?，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B =I ( ) A.{}|02x x ?B.{}|13x x ?C.{}|23x x <?D.{}|02x x <?2.已知(),3a m =r ，()2,2b =-r，且()a b b -r r r ∥，则m =( )A.3-B.1-C.1D.33.已知函数()()()log 320,1a g x x a a =-+>?的图象经过定点M ，若幂函数()f x x a =的图象过点M ，则a 的值等于( )( ) A.1-B.12C.2D.34.命题p ：若a b <，则c R "?，22ac bc <；命题q ：00x $>，使得00ln 1x x =-，则下列命题中为真命题的是( ) A.p q ÙB.()p q 谪C.()p q 刭D.()()p q 刭?5.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为( ) A.76B.96C.146D.1886.已知实数,x y 满足条件001x y x y x ì-?ïï+?íï£ïî，则12xz y 骣琪=-琪桫的最大值为( )A.32-B.1-C.1D.127.已知3cos 2pa 骣琪+=琪桫，22p pa 骣琪-<<琪桫，则sin 3p a 骣琪+=琪桫( ) A.323- B.323+ C.63- D.63+ 8.已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( )A.16B.9C.5D.49.函数22cos cos 1y x x =-++，,22x p p轾?犏犏臌的图象大致为( )ABCD10.“1a =-”是函数()2ln 1xf x a x 骣琪=+琪+桫为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的顶点三等分，且两曲线12,C C 的交点连线过曲线1C 的焦点F ，曲线2C 的焦距为211，则曲线2C 的离心率为( ) 2B.3211 22 12.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.10,e骣琪琪桫B.211,e e 骣琪琪桫C.222,e e 骣琪琪桫D.221,e e 骣琪琪桫二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与抛物线C 所围成的图形的面积等于.14.函数()()sin f x A x w j =+0,0,2A pw j 骣琪>><琪桫的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6p个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 .15.某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为.16.设函数()()()()()()()1121211112123123n x x x x x x x x x n x f x n++++++-=+++++创创创?………，则方程()0n f x =的根为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 3cos sin 3c A a C c +. (1)求角A 的大小；(2)若5b c +=，3ABC S =△a 的值.18.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且31n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=×，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ^平面ABC ，ABC △为等腰直角三角形，90BAC =∠°，且12AB AA ==，,E F 分别是1,CC BC 的中点.(1)若D 是1AA 的中点，求证：BD ∥平面AEF ；(2)若M 是线段AE 上的任意一点，求直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值. 20.如图，点()3,0B是圆()22:316A x y ++=内的一个定点，点P 是圆A 上的任意一点，线段BP的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆A 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点()2,0E ，()0,1F ，直线QE 与y 轴交于点M ，直线QF 与x 轴交于点N ，求EN FM ×的值. 21.设函数()()2ln a a f x x x a R x-=+-?. (1)讨论函数()f x 的单词性；(2)当1a =时，记()()g x xf x =，是否存在整数t ，使得关于x 的不等式()t g x ³有解？若存在，请求出t 的最小值；若不存在，请说明理由.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为31x ty t ì=ïí=+ïî(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin r q q =.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，点P 的极坐标为6p，求PM 的值.23.设函数()2f x x a x =-+.(1)当1a =-时，求不等式()0f x £的解集；(2)若1x ?时，恒有()0f x ³成立，求a 的取值范围.2017-2018学年度高三教学质量检测数学(理工类)试题参考答案一、选择题1-5:AABCB 6-10:DAABC 11、12：DD二、填空题13.83 14.sin 26y x p 骣琪=-琪桫15.1003p 16.1,2,3,,n ----… 三、解答题17.(1)cos sin A a C +cos sin sin C A A C C +，∵sin 0C ¹sin A A +∴12sin 2sin 23A A A p 骣琪+=+琪桫桫∴sin 3A p 骣琪+琪桫 ∵4,333A p p p 骣琪+?琪桫，∴233A p p+=， 即3A p =.(2)由11sin sin 223ABC S bc A bc p ==△，∴4bc =，∵()222222cos 2534133a b c bc b c bc bc p =+-=+--=-?，∴a .18.解：(1)当1n =时，1131S a =-，∴1131a a =-，∴114a =， 当2n ³时，因为31n n S a =-① 所以1131n n S a --=-②①－②得13n n n a a a -=-，∴14n n a a -=，∴114n n a a -=. 所以数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列.∴1111444n nn a -骣骣琪琪=?琪琪桫桫；(2)()()122122111log log 22111log log 44n nn n n b a a n n ++===轾×--+骣骣臌琪琪×琪琪桫桫()11114141n n n n 骣琪==-琪++桫， ∴1111111114223341n T n n 轾骣骣骣骣犏琪琪琪琪=-+-+-++-琪琪琪琪犏+桫桫桫桫臌…()1114141n n n 骣琪-=琪++桫. 19.解：(1)连接1DC ，1BC ，∵,D E 分别是11,AA CC 的中点，∴1AD C E =，1AD C E ∥，四边形ADCE 是平行四边形， 所以AE DC ∥，因为,E F 分别是1,CC BC 的中点，所以1EF BC ∥， 所以平面AEF ∥平面1BDC ， 又BD Ì平面1BDC ，所以BD ∥平面AEF ；(2)以A 为坐标原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 可知：()0,0,0A ，()12,0,2B ，()0,2,1E ，()1,1,0F ， ()0,2,1AE =u u u r ，()1,1,0AF =u u u r， 设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r，由00n AE n AF ì?ïíï?îr u u u r r u u u r ，得200y z x y ì+=ïí+=ïî，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为()1,1,2n =-r，设(),,M x y z ，AM AE l =u u u u r u u u r，所以()(),,0,2,1x y z l =，得0x =，2y l =，z l =，即()0,2,M l l =， 所以()12,2,2B M l l =--u u u u r，设直线1B M 与平面AEF 所成角为q ，则111sin cos ,n B M n B M n B M q ×=<>=×r u u u u r r u u u u rr u u u u r当25l =时，()max sin q 20.解：(1)因为点Q 在BP 的垂直平分线上，所以QB QP =，∴4QA QB QA QP +=+=，从而点Q 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，这时，2a =，c 1b =， 所以曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题设知，直线的斜率存在.设直线QE 的方程为()2y k x =-，()11,Q x y ，()22,E x y ， 由()22214y k x x y ì=-ïïíï+=ïî，得()222214161640k x k x k +-+-=，因为212216414k x x k -=+，22x =，所以2128214k x k-=+， 所以222824,1414k k Q k k 骣--琪琪++桫，因为点F ，N ，Q 共线，FN FQ k k =， 所以222411148214N k x k k ---+=-+，即()222218221144N k k x k k k --==+++， 又直线QE 与y 轴的交点纵坐标为2M y k =-， 所以4221N EN x k =-=+，112M FM y k =-=+， 所以4EN FM?.21.解：⑴()22221'1a a x x a a f x x x x -++-=++=()()21x a x a x ++-当0a <时，()0,x a ?时，()'0f x <；(),x a ?+?时，()'0f x >；当01a ＃时，()0,x ??时，()'0f x >；当1a >时，()0,1x a ?时，()'0f x <；()1,x a ?+?时，()'0f x >；综上，当0a <时，函数()f x 的单调减区间是()0,a -；单调增区间是(),a -+?；当01a ＃时，函数()f x 的单调增区间是()0,+?；无单调减区间；当1a >时，函数()f x 的单调减区间是()0,1a -；单调增区间是()1,a -+?.(2)当1a =时，()()2ln g x xf x x x x ==+，()'2ln 1g x x x =++，可知函数()'g x 单调递增，1'2ln 202g 骣琪=->琪桫，14'ln 6063g 骣琪=-<琪桫， 所以存在唯一011,62x 骣琪Î琪桫，使得()0'0g x =，即()000'2ln 10g x x x =++=，当()00,x x Î时，()'0g x <；()0,x x ??时，()'0g x >；所以()()()222000000000min ln 21g x g x x x x x x x x x ==+=+--=--，记函数()2000x x x j=--，()0x j 在11,62骣琪琪桫上递减.所以()01126g x j j骣骣琪琪<<琪琪桫桫，即()037436g x -<<-. 由34t ?，且t 为整数，得0t ³. 所以存在整数t 满足题意，且t 的最小值为0. 22.解：(1)由31x ty t ì=ïí=+ïî，得31y x =+，由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin r q q =，得22cos 2sin r q r q =， 所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =. (2)由2312y x x yì=+ïíï=î，得2620x x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以126x x +=，AB 的中点是1212,22x x y y 骣++琪琪桫， 所以()3,10M ，点P 的极坐标为6p，所以点P 的直角坐标为(. 23.解：(1)因为120x x ++?， 所以10310x x ì+?ïí+?ïî或1010x x ì+<ïí-?ïî，即113x-＃-或1x <-， 则不等式()0f x £的解集是 1|3x x 禳镲?睚镲铪.(2)因为()()()3x a x a f x x a x a ì-?ï=í+?ïî为增函数， 当1a ?时，()310a ?-?，从而3a ?， 当1a ?时，10a -+?，从而1a ³， 综上，3a ?，或1a ³.。