第 02 讲角平分线的性质与判定

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人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)

结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
巩固练习
12.3 角的平分线的性质/
到三角形三边距离相等的点是( C ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知方法点拨
12.3 角的平分线的性质/
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
12.3 角的平分线的性质/ 角的平分线的性质角的平分线的判定
归
图形
纳
C P
C P
总
课堂检测
12.3 角的平分线的性质/
能力提升题
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组

《角的平分线的性质(第二课时)》精品教案 2022年公开课一等奖

教学过程设计角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOBB AO C证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OCOC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.想及证明，归纳角平分线的判定定理。

学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

教师引导学生分析，思考，写出证明过程。

教师标准书写格式。

学生应用角的平分线判定定理解题。

概括能力。

使学生明确角平分线判定定理的作用。

稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

稳固本节所学。

BD MC N E A G板书设计2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。

五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。

第2课时角平分线的性质和判定

第2课时角平分线的性质和判定【知识与技能】探索角平分线的性质定理和它的逆定理.【过程与方法】通过探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，增强几何空间意识.【情感与态度】培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.【教学重点】重点是掌握角平分线的性质定理和逆定理.【教学难点】难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.一、导入新知课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本图的图形后，提出思考问题.问题思索：1.为什么所做的OP，就是∠AOB的平分线呢？2.如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D是垂足，根据你学过的知识，从图中你们得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并给出证明.学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下.已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C.求证：PD=PC【证明】∵OP 平分∠AOB.（已知）∴∠AOP=∠BOP （角平分线定义）又∵PC ⊥OA,PD ⊥OB,(已知)∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）在△PCO 和△PDO 中,∵,()(),,AOP BOP PCO PDO OP OP ∠=∠∠⎧⎨=∠=⎪⎪⎩已证（已证）公共边∴△PCO ≌△PDO.(AAS)∴PC=PD.【归纳结论】上面的证明，主要是让大家能通过严谨的推理解决面前感知得到的结论.师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.【教学说明】让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来.二、情境合一，优化思维1.情境思考如图所示，要在T 区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个超市应建在什么地方呢？（在图上标出它的位置，比例尺为1:2000）.引导学生分析、解决问题，这里要特别强调：写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将没有意义.已知：如图所示，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足为点D 、E ，PD=PE.求证：点P 在∠AOB 的平分线上.【证明】经过点P 作射线OP.∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠AOP=∠BOP，∴OP是∠AOC的平分线.∴点P在∠AOB的平分线上.【教学说明】请部分学生上讲台“板演”，然后引导学生去发现新的结论.2.师生共识.由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的.【归纳结论】在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.三、例题讲解课本第145页例题学生活动：参与教师分析，明确证明思路是应用角平分线逆定理进行证明.【证明】过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为M，N，Q.∵BE是∠B的平分线，点P在BE上.∴PQ=PM.同理可证：PN=PM.∴PN=PQ.∴AP平分∠BAC.教师提问：从这个范例中，你能发现什么结论呢？学生活动：思考后回答，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.四、运用新知，深化理解1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证：EB=FC.第1题图第2题图2.求作一点C，使它到∠AOB两边的距离相等，即CM=CN 【参考答案】1.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF(角平分线上点到两边距离相等)且∠BED=∠CFD=90°在Rt△BED与Rt△CFD中∵BD CD ED FD==⎧⎨⎩∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)2.略五、师生互动，课堂小结教师引导下，学生自主总结，主要问题有：1.什么叫角平分线？2.这两个定理之间有何区别？3.你还能得到哪些结论？1.课本第145页练习第2题.2.完成练习册中相应的作业.本节设计了“导入新知——情境合一，优化思维——例题讲解——运用新知——师生互动，课堂小结”五个环节，使学生探索角平分线的性质定理和它的逆定理，经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，发展几何空间意识，培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值.。

角平分线性质与判定

角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点，到角的两边距离相等。

应用格式： ∵ OC 是∠AOB 的平分线，∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ PD=PE【例1】已知：如图，△ABC 中 ∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ，求证：CF=EB 。

证明：∵ AD 平分∠CAB⊥ ，∠ ＝90°（已知）∴ ＝ ( ) 在Ｒt △CDF 和Rt △EDB 中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt △CDF ≌Rt △EDB ( )∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）举一反三：1、已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC, 垂足分别是E,F.求证:EB=FC.2、在△ABC 中，∠B=∠C ，点D 为BC 边的中点，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F 。

求证：点D 在∠A 的平分线上。

【例2】如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB. 求证：DF ＝EF. 证明：∵∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ ＝（角的平分线的性质） ∵∠3＝∠1＋90°，∠4＝∠2＋90°， ∴∠3＝∠4.在△ 和△ 中，_____________,34,PF _______,⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ ≌△ （）. ∴DF ＝EF.F34PDEOA BC121、如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， PN ⊥CD 于N 。

求证：PM=PN 。

2、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上取OA ＝OB ，点P 在OD 上，且PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，求证：PM ＝PN【例3】如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ，求证：BE ＝CF 。

浙教版八年级上册几何部分第2讲角平分线、垂直平分线的性质与判定

第2讲角平分线、垂直平分线的性质与判定板块一、角平分线知识要点：1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.例题精讲例1、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2 在△OBD 与△OAD 中，12OB OAOD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN类题演练1、如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2、如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN例2、如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【解法指导一】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .又∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在△CFA 和△CEA 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧ （自己补充上去）∴△ACF ≌△ACE ∴AF ＝AE 又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°.【解法指导二】在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.（聪明的你，来试一试）类题演练3、在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论。

角的平分线的性质(第2课时)精选教学PPT课件

1．判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( X )
A M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则
OQ是∠AOB 的平分线；
(X )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能ห้องสมุดไป่ตู้明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
应用角平分线性质定理的逆定理
距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．(√ )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．
（1）这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？
S
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．
P NM
变式拓展
变式2 如图，P 点是△ABC
A
的两个外角平分线 BM，CN 的交
点，求证：点 P 在∠BAC 的平分 B
C
线上．
P NM
变式拓展
变式3 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？

初二数学人教版角的平分线的性质第二课时

C
初中数学
证明：识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）．
C ∴EB = FC．
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
初中数学
初中数学
练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
∠PEO ，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
B H
CP
作法：作∠ABC的平分线，交AC于点P．则点P为所求．证明：作PH⊥AB于H． A ∵∠C = 90°，∴PC⊥AC． ∴PC = PH．
PF PH，
E H
∴Rt△PDF ≌ Rt△PEH （HL）．
B ∴∠PDF＝∠PEH.
∴∠PDA = ∠PEO．
初中数学
小结
在我们运用角的平分线的性质处理问题时： 1．熟悉定理及其对应的基本图； 2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是:补全基本图；如:过角平分线上的点向角两边作垂线； 3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．
A
BF
两组
A
HD C
PE G

12.3.2 角的平分线的判定

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
知1－讲
例1 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．
同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
知2－讲
探究思考：想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
总结
知2－讲
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.
知2－练
1 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( B ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
知2－练
2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ___4_∶___5_∶__6____.
知2－练
3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
E
知识点 1 角平分线的判定
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB 于点E，PD= PE ，可以得到什么结论？
O 到一个角的两边的距离相等的点，在这E
B
知1－讲
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,

《角平分线》第二课时

拓展：其他相关面积定理介绍
海伦公式
海伦公式是一个用于求解三角形面积的公式，它基于三角形的三边长。与面积比例定理不同，海伦公式不需要知道三角形的高或角平分线。
三角形中的中线与面积
三角形的中线与面积之间也有密切的关系。中线将三角形分为两个面积相等的子三角形，这一性质在求解某些问题时非常有用。
相似三角形的面积比
小组交流讨论和成果展示
分组交流
讨论互动
将学生分成若干小组，每组选派一名代表汇报本组的实验操作和探究活动成果。
组织各小组之间进行讨论和交流，分享彼此的经验和发现，提出问题和建议。
成果展示
评价反馈
每组准备一份展示材料，包括实验操作和探究活动的照片、记录、分析等内容，向全班展示本组的成果。
教师对学生的实验操作和探究活动进行评价和反馈，肯定优点和指出不足，提出改进意见和建议。
表示方法
若$OC$是$angle AOB$的角平分线，则可以用符号表示为 $angle AOC = angle BOC$。
角平分线基本性质介绍
01
02
03
性质一
角平分线上的点到角两边的距离相等。
性质二
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
性质应用
利用角平分线的性质，可以解决与角平分线有关的距离和角度问题。
05 实验操作和探究活动设计
实验操作：测量和绘制角平分线
准备工具
直尺、量角器、铅笔、橡皮等绘图工具。
绘制角平分线
使用直尺和铅笔，按照角平分线的定义，将给定角平分为两个相等的小角，并绘制出角平分线。
测量角度
使用量角器测量给定角的大小，并标记出来。
注意事项

角平分线的性质和判定

角平分线的性质和判定
一、角平分线的性质：
1、角平分线可以得到两个相等的角。

2、角平分线上的点到角两边的距离相等。

3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

二、判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。

因此根据直线公理。

1角平分线定义
1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

2角平分线画法
方法1
1、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M、N。

2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

3、作射线OP。

射线OP即为角平分线。

方法2
1、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。

2、连接CN与DM，相交于P。

3、作射线OP。

射线OP即为角平分线。

初二讲义角平分线的判定与性质

第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方式梳理】角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在那个角的平分线上。

角平分线的作法（尺规作图）①以点0为圆心，任意长为半径画弧,交OA、0B于C、D两点;②别离以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P：③过点P作射线0P,射线0P即为所求.角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推导已知：0C平分ZMON, P是0C上任意一点，PA丄OH, PB10N,垂足别离为点A、点B. 求证：PA=PB.证明：TPA丄OM, PB丄ON ・・・ZPA0=ZPB0=90° TOC 平分ZMON・・・Z1 = Z2在APAO 和Z\PBO 中，AAPAO^APBO・・・PA=PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）TOP 平分ZMON (Z1 = Z2) , PA丄OM, PB丄ON, •••PA=PB・ 2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上・推导：已知：点P是ZM0N内一点，PA丄0M于A, PB丄ON于B,且PA=PB. 求证：点P在ZH0N的平分线上.证明：连结0P>A=PB<在R tAPAO 和R tAPBO 中, °卩=°»ARtAPAO^RtAPBO (HL)・・・Z1 = Z2・・・0P平分ZMON即点P在ZHON的平分线上.几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）TFA丄OH, PB丄ON, PA=PB AZ1 = Z2 (OP 平分ZMON)【经典例题】例1・已知：如图，ZXABC中，ZC=90° , AD是AABC的角平分线，DE丄AB于E, F在AC上BD二DF,求证:CF二EBC D B例2•已知：如图，AD、BE是AABC的两条角平分线，AD、BE相交于0点求证：0在ZC的平分线上例3•如图AB/7CD, ZB=90° , E是BC的中点。

八年级上册数学第2课时角平分线的判定

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上（OP 平分 ∠AOB）．
你能证明这个结论的正确性吗？
这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
A
M Q O
N
B
判断题：（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；（ ×）
A M Q O N B
判断题：（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm，且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上． A （ √）
M Q
O
N

如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500 m. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
证明：过P 点作PD，PE， PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM 是△ABC的角平分线，点P 在BM 上， ∴PD = PE . 同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
D
F
E
练习1 判断题：（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；（ ×）
1 图上距离解：∵ = 500m 20000
∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
P
如图所示：P点即为所求 ; 理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.
练习2 要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.

角平分线的性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．（1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．21NPF CBA例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．第四部分：思维误区一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

专题教材-第2讲：角平分线专题-讲义

角平分线专题1、掌握角平分线的定义、性质及判定定理；2、掌握与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型；3、掌握角平分线的常见倒角模型及相关结论。

1、角平分线的四大基本模型；2、角平分线的常见倒角模型及相关结论。

角平分线（1）定义：从一个顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线。

（2）角平分线的性质定理：1如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角。

2在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

注意：1在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

2角是以其平分线为对称轴的轴对称图形。

（3）角平分线的判定定理：1在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把这个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线。

2在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

（4）三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等。

类型一：角平分线倒角模型例1.如图所示，把一副三角板（30°，60°，90°和45°，45°，90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于点F，斜边AB交x轴于点G，O是AC的中点，AC＝8.（1）把图（1）中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α（0°≤α＜90°）得图（2）。

此时△AGH 的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F，H，B三点的坐标。

（2）如图（3），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N＋∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值.练习1.如图所示，已知点A是y轴上一动点，B是x轴上一动点，点C在线段OB上，连接AC，AC正好是∠OAB的角平分线，∠ABD＝∠DBx.问动点A，B在运动的过程中，AC与BD 所在直线得夹角是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值.练习2.探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图（1），∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠EDC的数量关系.探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（2），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（3），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系.探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF，如图（4），请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系.本题考查三角形内角和定理，坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积。

《角平分线的判定》课件

应用举例
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假设点不在角平分线上，通过构造反例来证明假设不成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用这个推论来寻找角平分线上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的部分，且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。