2017-2018 人教版中考压轴题汇编 2.2 由面积产生的函数关系问题
人教版中考压轴题汇编 2.2 由面积产生的函数关系问题
（3）在（2）的条件下，联结 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心， 与 BC 相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
例 5 2017 河北省中考第 26 题
（1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD； （2）求(m＋n)与 x 的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出 过程），并写出这个最小值．
函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若⊙P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，求 AP 的长；
（3）若⊙C 的半径等于 1，且⊙P 与⊙C 的公共弦长为 2 ，求 AP 的长．
图1
备用图
例 2 2017 黄冈市中考第 25 题
如图 1，在四边形 OABC 中，AB//OC，BC⊥x 轴于点 C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点 P 从 O 出发，沿着 x 轴正方向以每秒 2 个单位长度的速度移动．过点 P 作 PQ 垂直于直线 OA， 垂足为 Q．设点 P 移动的时间为 t 秒（0＜t＜2），△OPQ 与四边形 OABC 重叠部分的面积为 S．
的图像与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 y 1 x2 bx c 的图像上，且该二次函数图 8
像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形． （1）试求 b、c 的值，并写出该二次函数的解析式； （2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问： ①当 P 运动到何处时，由 PQ⊥AC？ ②当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？
中考数学复习典型题型专题讲解第10讲---由面积产生的函数关系问题
中考数学复习典型题型专题讲解第10讲由面积产生的函数关系问题例1 上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以P A为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1 备用图思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN2，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cos A＝14，所以AB＝16，BC＝415设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝14AP＝14x，PE15AP15．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝1115(4)224x x -⨯＝21515162x x -+． 定义域是0＜x ＜8．（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ． 因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ． 由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m ＝44154+415⨯＝302157-．此时AE ＝3021547--＝21527-，AP ＝4AE ＝81587-．图2 图3（3）如图4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为MN ，MN 与CP 交于点G ． 由于CM ＝CN ＝1，MN ＝2，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG ＝NG ＝2． 如图5，作CH ⊥AB 于H ，由AC ＝4，那么AH ＝1，CH 2＝15． 所以CP ＝22CH PH +＝215(1)x +-．因此PG ＝2215(1)x +--（如图4）． 如图4，在Rt △PNG 中，由勾股定理，得222222(15(1))()22x x =+--+． 整理，得2x 2－64x ＋257＝0．解得132510x -=，232+510x =（舍去）．图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得151(16)4x x =-．解得8158x -=．例2黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC 中，AB //OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A (1,－1)，B (3,－1)，动点P 从O 出发，沿着x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P 作PQ 垂直于直线OA ，垂足为Q ．设点P 移动的时间为t 秒（0＜t ＜2），△OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S ．（1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点M 的坐标； （2）用含t 的代数式表示点P 、Q 的坐标；（3）如果将△OPQ 绕着点P 按逆时针方向旋转90°，是否存在t ，使得△OPQ 的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S 与t 的函数关系式．图1思路点拨1．△OPQ 在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P ，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论． 满分解答（1）由A (1,－1)、B (3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x ＝1，点O 关于直线x ＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点A (1,－1)，得－3a ＝－1． 解得13a =．所以2114(4)(2)333y x x x =-=--．顶点M 的坐标为4(2,)3-． （2）△OPQ 是等腰直角三角形，P (2t , 0)，Q (t ,－t )．（3）旋转后，点O ′的坐标为(2t ,－2t )，点Q ′的坐标为(3t ,－t )． 将O ′(2t ,－2t )代入1(4)3y x x =-，得122(24)3t t t -=⨯-．解得12t =． 将Q ′(3t ,－t )代入1(4)3y x x =-，得13(34)3t t t -=⨯-．解得t ＝1．因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．图2 图3（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPF A ．此时AF ＝2t －2． 此时S ＝1(222)1212t t t +-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEF A ． 此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ． 所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？ 如图4，(22)l t =+．如图5，4222l t =-+ 如图6，(42)22l t =-+．例3 菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大． 满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8． 因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--． （2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ． 由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+． 所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？” 除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例4广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比． 满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)．所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ． 所以2()ADE ACBS AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m ADAEm-==．因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADES CD m S ADm∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m∆-=⨯=-+=--+．当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以313sin 13B =在Rt △BEH 中，93132713sin 2EH BE B =⋅==．当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例5 河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2图3 图4答案 探究 AH ＝12，AC ＝15，S △ABC ＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ． （2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=． 由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14． 所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14． 发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565． 例6 淮安市中考第28题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨 1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-． 于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-， 211422233NHQ S NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+． 所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =． 如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9【强化训练】1.（巴中31）在平面直角坐标系中，二次函数)0(42≠-+=a bx ax y 的图像与x 轴交于A （-2，0）、C （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D.（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图2，点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中0>m ，0<n ），连结PB 、PD 、BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标.2．（临清市模拟25）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c+=2经过A（-3，y+axbx0）、B（1，0）、C（0，3），顶点为D，点P是线段AD上的一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果点P的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，求出点P'的坐标，并判断点P'是否在该抛物线上.。
2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案
1.6 因动点产生的面积问题例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1例3 2017年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC 的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．图1例4 2017年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 5 2017年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1例 6 2017年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1例7 2017年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题答案例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个． 思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值． 满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下：设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +． 因此PD －PF ＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ．因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++． 因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6．如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值．2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =． 所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--． （2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35． 在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ． 所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+． 因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是910。
2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案
1.6 因动点产生的面积问题例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题答案例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +． 因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ． 因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++． 因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6． 如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是910。
中考压轴题分类专题讲解10---由面积产生的函数关系问题
3 / 14
图1
思路点拨 1 △OPQ 在旋转前后保持等腰直角三角形的形状 2 试探取不同位置的点 P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论
满分解答
1 由 A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线 x＝1，点 O 关于直线 x＝1 的
对称点为(4,0)
于是可设抛物线的解析式为 y＝ax(x－4)，代入点 A(1,－1)，得－3a＝－1
相似
例 5 河北省中考第 26 题
9 / 14
如图 1，图 2，在△ABC 中，AB＝13，BC＝14， cos
ABC
=
5 13
探究 如图 1，AH⊥BC 于点 H，则 AH＝_____，AC＝______，△ABC 的面积 S△ABC＝
________
拓展 如图 2，点 D 在 AC 上 可与点 A、C 重合），分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线，
4
4
4
4
1 / 14
所以
y＝S△PCD＝
1 2
CD
PE
＝
1 2
(4
1 2
x)
×
15 4
x
＝
15 16
x2
+
15 2
x
定义域是 0＜x＜8
2 若 P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距 PF＝PE
因此四边形 AEPF 是正方形 如图 3），设正方形的边长为 m
由 S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得 AC
中考压轴题分类专题讲解 第 10 讲 由面积产生的函数关系问题
例 1 上海市徐汇区中考模拟第 25 题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90 ，AC＝4，cosA＝ 1 ，点 P 是边 AB 上的动点，以 PA
中考数学压轴题专项汇编专题30函数与面积2
D E专题30函数与面积破解策略解决函数与面积问题的常用方法有1．割补法当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图：AAA DCBB BDC C△S ABC＝△S ABD＋△S BCD S四边形ABCD＝△S ABC＋△S ACD S四边形ABCD＝S四边形ADCE＋△S BCEAACBDE BF M C N△S ABC＝S梯形AEFC－△S AEB－△S CBF S四边形ABCD＝△S ABD＋S梯形BDNM－△S BCM－△S DCN一般步骤为：（1）设出要求的点的坐标；（2）通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减；（3）列出关于所设参数的方程求解；（4）检验是否每个坐标都符合题意．2．等积变换法利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：C D E mA Bn直线m∥直线n△S ABC＝△S ABD＝△S ABE例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换，yDCBO A E x△S ABC＝△S ABD＝△S ABE一般步骤：（1）设出直线表达式，两条平行的直线k值相等；（2）通过已知点的坐标，求出直线表达式；（3）求出题中要求的点；（4）检验是否每个坐标都符合题意．3、铅锤法三角形的铅垂高指无论三角形怎么放，上方顶点到下方顶点的纵向距离（不是两点之间的距离，而是指两点之间上下距离，左右横向不用考虑）．在平面直角坐标系中经常向x轴y轴作垂线，然后利用铅锤法，如图一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）向x轴y轴作垂线对图形进行分割，利用铅锤法表示图形面积；（3）根据题意列方程求解；（4）检验是否符合题意．4．等比转换法若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底的，可以将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高的，可以将面积比转化为图形的对应底的比一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）将图形的面积比转化为图形的线段比；（3）列方程，求出参数；（4）检验是否符合题意．2x中2x与双曲线y=例1如图，直线y=（1）求k的值1kx与双曲线y=(k>0)交A、B两点，且点A的横坐标为4，2x（2）若双曲线y=kx(k>0)（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=kx(k>0)）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．解（1）∵点A横坐标为4，把x＝4代入y=1得y＝2，∴A（4，2），∵点A是直线y=1∴k＝4×2＝8；kx(k>0)）的交点，（2）解法一：如图，∵点C在双曲线上，当y＝8时，x＝1，∴点C的坐标为（1，8）．过点A．C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．∵S矩形ONDM＝32，△S ONC＝4，△S CDA＝9，△S OAM＝4．∴△S AOC＝S矩形ONDM−△S ONC−△S CDA−△S OAM＝32−4−9−4＝15；解法二：如图，过点C．A分别做x轴的垂线，垂足为E．F，∵点C在双曲线y＝8x上，当y＝8时，x＝1，∴点C的坐标为（1，8）．∵点C．A都在双曲线y＝8x上，∴△S COE＝△S AOF＝4，∴△S COE＋S梯形CEFA＝△S COA＋△S AOF．∴△S COA＝S梯形CEF A．∵S梯形CEFA＝12×（2＋8）×3＝15，∴△S COA＝15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP＝OQ，OA＝OB，∴四边形APBQ是平行四边形，∴△S POA＝S平行四边形APBQ×14＝14×24＝6，∴1∴1得 P （m ，8m ），过点 P 、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E ．F ，∵点 P 、A 在双曲线上，∴△S POE ＝△S AOF ＝4，若 0＜m ＜4，如图，∵△S POE ＋S 梯形 PEFA ＝△S POA ＋△S AOF ，∴S 梯形 PEFA ＝△S POA ＝6． 8（2＋）⋅（4−m ）＝62m∴m 1＝2，m 2＝−8（舍去），∴P （2，4）；若 m ＞4，如图，∵△S AOF ＋S 梯形 AFEP ＝△S AOP ＋△S POE ，∴S 梯形 PEFA ＝△S POA ＝6． 8（2＋）⋅（m −4）＝6，2m解得 m 1＝8，m 2＝−2（舍去）， ∴P （8，1）．∴点 P 的坐标是 P （2，4）或 P （8，1）．例 2 如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴为直线 x ＝2，且与 x 轴交于 A 、B 两点，且与 x 轴交于 A 、B两点．与 y 轴交于点 C ．其中 AI （1，0），C （0，－3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在抛物线上运动（点 P 异于点 △A ）．当 PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点 P 的坐标；解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为．（2）①令，解得∴B（3，0）当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1，0），代入求得．∴直线AP的解析式为解方程组，得∴点所以－8a ＝－3，解得 a = ．b ＝－2a ＝－ ．所以抛物线的表达式为 y = x 2 - x - 3 ．当点 P 在 x 轴下方时，如图 1设直线交 y 轴于点 ，把直线 BC 向下平移 2 个单位，交抛物线于点得直线的解析式为 ，，解方程组，得∴综上所述，点 P 的坐标为：，例 3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 + bx - 3（a ≠0）与 x 轴交于 A （－2，0），B （4．0）两点，与 y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的表达式；（2）点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，在线 段 BC 上以每秒 1 个电位长度的速度向点 C 运动，其中一个点到达终点时．另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，问：运动多少秒时，△PBQ 的面积最大，晟大面 积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在点 K ．使 △S CBK ∶△S PBQ ＝5∶2？若存在，求点 K 的坐标；若不存在，请说明理由．yAPB xO QC解 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A （－2，0），B （4，0）两点，所以 y ＝a （x ＋2）（x －4）＝ax 2－2ax － 8a ．3 3 3 3 84 8 4（2）如图 1．过点 Q 作 QH ⊥x 轴于点 H ．在△R t BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5．sin B＝．在△R t BQH中，BQ＝t．所以QH＝BQ·sin B＝t．所以△SPBQ ＝139(t-1)2+2BP·QH＝（6－3t）×t＝-10．10．如图3，在x轴上点B的右侧取一点D．使得BD＝1⎛112BP，则点D的坐标为⎝2,0⎪，yA P HB xOQC图13535125109因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是9（3）方法一：等比转化法当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，点P的坐标为（1，0），BQ＝1．如图△2，因为PBC与△PBQ是等高三角形，所以△SPBC ∶△SPBQ＝BC∶BQ＝5∶1．yA PB xO CQK图2当△SCBK ∶△SPBQ＝5∶2时，△SPBC∶△SCBK＝2∶1．因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比是2∶1．⎫⎭3 ( x + 2)(x - 4)⎪ ．由 设点 K 的坐标为 x , - 3 ( x + 2)(x - 4) ，得 8 = = ．DE BO 11 4 ）或（3， - ）．，得 △S CBK ＝ ．如图 4．过点 K 作 x 轴的垂线交 BC 于点 F ，设点 K 的坐标为 x , x 2 - x - 3 ⎪ ．3 4由于点 F 在直线 BC 上，所以点 F 的坐标为 x , x - 3 ⎪ ． 所以 KF ＝ x - 3⎪ - x 2 - x - 3⎪ = - x 2 + x ．所以 △S CBK ＝ ⨯ 4 ⨯ - x 2 + x ⎪ = ，解得 x = 1 ， x = 3 ．28243 4yAPBxOQDCK′ K图3过点 D 作 BC 的平行线交抛物线于点 K ，过点 K 作 KF ⊥x 轴于点 E ．⎛ ⎫ ⎝ 8 ⎭KE CD 3 2- x整理得 x 2 - 4x + 3 = 0 ．解得 x = 1 ， x = 3 ．12所以点 K 的坐标为（1， -方法二：铅垂法27 158 8由 △S CBK ∶△S PBQ ＝5∶2，△S PBQ ＝⎛ 3 ⎫ ⎝8⎭9 9 10 4yAP B xOQFCK图4⎛ 3 ⎫ ⎝ 4 ⎭⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ 3 3 ⎝ 4 ⎭ ⎝ 8 ⎭8 2△CBK 被 KF 分割为△CKF 和△BKF ．它们以 FK 为底的高的和为 OB ＝4．1 ⎛ 3 3 ⎫ 9所以点 K 的坐标为（1， - 27 ）或（3， - ）． 【答案】（1）存在，点 D 的坐标为 , ⎪ ，△S BCD 取最大值 ；（2）存在，点 Q 的坐标为（2，3）， , 2 2或 2 ⎪⎪ ．⎭ ⎝ 2 , （ 则 △S BCD ＝S 梯形 DCOH ＋△S BDH －△S BOC ＝－ t 2＋t ＝－ ⎛ t -⎫⎪ +从而当 t ＝ 3 ⎛ 3 15 ⎫ 时，△S BCD 取得最大值等，此时点 D , ⎪ ． 两直线与抛物线的交点即为满足条件的点 Q ，所以点 Q 为 Q 1 （2，3），Q 22⎪⎪ ，Q 3 ⎛ 3 - 17 3 + 17 ⎫ ⎪⎪2 2158 8进阶训练1．如图，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 与 x 轴交于 A （－1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点 C ，抛物线的 对称轴与抛物线变于点 P ．与直线 BC 相交干点 M ，连结 P B ．（ 1）位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D ．使得△BCD 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． （2）抛物线上是否存在点 △Q ，使得 QMB 与△PMB 的面积相等？著存在．求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由．yPCMxAOB⎛ 3 15 ⎫ 27 ⎝ 2 4 ⎭8⎛ 3 + 17 3 17 - ⎝⎫ ⎛ 3 - 17 3 + 17 ⎫ ⎪⎪ ⎭【提示】 1）由题意可得 y ＝－x 2＋2x ＋3．设 D （t ，－t 2＋2t ＋3）．作 DH ⊥x 轴于点 H ， 222 ⎝2⎭83 9 3 3 2 27．2⎝ 2 4 ⎭⎛3+173-17⎫⎭,⎝⎭10,⎝22．如图，抛物线 y ＝ x 2 - x - 2 与 T 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的负半轴交于点 C ，【提示】（1）设点 P 的坐标为 m , m 2 - m - 2 ⎪ ，如图，过点 P 作一轴的平行线，交 BC 于点 F ，则可得点 F 的坐标为 m , m - 2 ⎪ ． 可得 FP ＝－ m 2 + 2m ，从而 S ＝ PF ·OB ＝－（m －2）2＋4，此时 0＜S ≤4； （ 3 2 ＝yPDCMxAOB1 32 2P 是 x 轴下方抛物线上的一个动点（不与点 C 重合）．连结 P B ．P △C ．设 PBC 的面积为 S ， （1）求 S 的取值范围；（2）若△PBC 的面积 S 为正整数，则这样的△PBC 共有个．yxA OCB【答案】 1）0＜S ＜5；（2）11 个，⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭①当点 P 在 BC 下方的抛物线上时．1 12 2②当点 P 在 BC 上方、x 轴下方的抛物线上时．S 最大＝△S ABC 5．此时 0＜S ＜5，即得解．（2）点 P 在 x 轴下方、BC 上方时，面积为 1，2，3，4 的三角形各一个；点 P 在 BC 下方时，面积为 1，2，3 的三角形各 2 个，面积为4 的三角形为 1 个，共 11 个满足条件的 △P B C ．11【答案】 c 2= ．可得 d ＝2c ． c 2 - 1 1 BB ' ⋅ P 'F ⨯ 4 ⨯ d 2 - 2yxA OCF BP3．如围，抛物线 E ：y ＝x 2 经过点 A （1，m ），以原点为顶点的抛物线 E 2 经过点 B （2，2），点 A ，B 关于 y 轴的对称点分别为点 A ′，B ′．P 为第一象限内的抛物线 E 1 上与点 A 不重台的一点，连结 OP 并 延长与抛物线 E 2 相交于点 △P ′，求 PAA ′与 △P ′BB ′的面积之比． y E 1E 2P′PB′BA′Ax△SP AA '=1 ． △SP 'BB '4【挺示】易得点 A （1，1）．抛物线 E 2 表达式为 y ＝12Ox 2 ．如图，过点 P 作 PC ⊥x 轴，垂足为 C ，PC 交直线AA '于点 E ；过点 P ′作 P ′D ⊥x 轴，垂足为 D ．P 'D 交直线 BB ′于 点 F ．依题意可设 P （c ，c 2），P ′（d ，12d 2 ）．其中 c ＞0，c ≠1．因为 tan ∠POC ＝tan ∠P 'O D ．则 1d 2 2c d△S P AA ' △S P 'BB ' 1 1AA ' ⋅ PE ⨯ 2 ⨯ c 2 - 1 = 2 = 2 = = ．1 1 12 ⨯ 2c 2 - 2 4 2 2 212y E1E2P′PB′B FA′A E xO C D13。
(挑战2013)中考数学 压轴题第六版精选 2.2 由面积产生的函数关系问题
2.2 由面积产生的函数关系问题例1 2012年某某省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值X 围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1 动感体验请打开几何画板文件名“12某某22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比． 满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ． 所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=． 而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ， 所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值X 围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE mAD AE m-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD mS AD m∆∆-==． 所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以313sin 13B = 在Rt △BEH 中，93132713sin 2EH BE B =⋅==． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．例2 2012年某某省中考第26题如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值X围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12某某26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．图3 图4答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝12mx，S△CBD＝12nx．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得118422mx nx+=．所以168m nx+=．由于AC边上的高565BG=，所以x的取值X围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值X围是x＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．例3 2011年某某市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B 运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11某某28”，拖动点F 由P 向B 运动，可以体验到，点E 在向A 运动时，正方形EFGH 越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E 折返以后，正方形EFGH 的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S 的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11某某28”，拖动点F 由P 向B 运动，可以体验到，点E 在向A 运动时，正方形EFGH 越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E 折返以后，正方形EFGH 的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S 的最大值在六边形这个时段．思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择． 满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4． （2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-． 于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-，211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭．③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为110275，此时14625t=．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t的临界时刻是这样求的：如图8，当H落在AC上时，2AE t=-，2EH EF t==，由2324tt=-，得611t=．如图9，当G落在AC上时，2AF t=+，2GF EF t==，由2324tt=+，得65t=．图8 图9例4 2011年某某省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q 从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C —B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t 秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值X 围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？图1 动感体验请打开几何画板文件名“11某某26”，拖动点P 由O 向A 运动，可以体验到，点Q 先到达终点．从S 随t 变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S 随t 变化的图象是“N ”字型，由四段组成．请打开超级画板文件名“11某某26”，拖动点P 由O 向A 运动，可以体验到，点Q 先到达终点．点击按钮“函数表达式”， S 随t 先增大后减少。
2018年中考压轴题汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案
2.2 由面积产生的函数关系问题例1 2018上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1 备用图例2 2017黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD ＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2例6 2017淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图12.2 由面积产生的函数关系问题答案例1 2018上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交．思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝2，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cos A＝14，所以AB＝16，BC＝415．设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝14AP＝14x，PE＝154AP＝154x．所以y＝S△PCD＝12CD PE⋅＝1115(4)224x x-⨯＝21515162x x-+．定义域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ． 由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m ＝44154+415⨯＝302157-．此时AE ＝3021547--＝21527-，AP ＝4AE ＝81587-．图2 图3（3）如图4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为MN ，MN 与CP 交于点G ． 由于CM ＝CN ＝1，MN ＝2，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG ＝NG ＝22． 如图5，作CH ⊥AB 于H ，由AC ＝4，那么AH ＝1，CH 2＝15． 所以CP ＝22CH PH +＝215(1)x +-．因此PG ＝2215(1)2x +--（如图4）． 如图4，在Rt △PNG 中，由勾股定理，得222222(15(1))()22x x =+--+． 整理，得2x 2－64x ＋257＝0．解得1325102x -=，232+5102x =（舍去）．图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得151(16)44x x =-．解得81587x -=．例2 2017黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得13a=．所以2114(4)(2)333y x x x=-=--．顶点M的坐标为4(2,)3-．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入1(4)3y x x=-，得122(24)3t t t-=⨯-．解得12t=．将Q ′(3t ,－t )代入1(4)3y x x =-，得13(34)3t t t -=⨯-．解得t ＝1．因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．图2 图3（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA ．此时AF ＝2t －2．此时S ＝1(222)1212t t t +-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEFA ． 此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？ 如图4，(222)l t =+．如图5，4222l t =-+． 如图6，(422)522l t =-+-．例3 2017菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)． 由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8． 因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)． 将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--． （2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠PAQ ＝cos ∠ACO ＝45． 当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例4 2017广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB ∆∆=． 而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=． m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE mAD AE m-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m ∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818． 此时E 是AB 的中点，92BE =． 如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以3313sin 1313B ==． 在Rt △BEH 中，93132713sin 21326EH BE B =⋅=⨯=． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例5 2017河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=． 探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D 由A 向C 运动，观察(m ＋n )随x 变化的图象，可以体验到，D 到达G 之前，(m ＋n )的值越来越大；D 经过G 之后，(m ＋n )的值越来越小．观察圆与线段AC 的交点情况，可以体验到，当D 运动到G 时（如图3），或者点A 在圆的内部时（如图4），圆与线段AC 只有唯一的交点D ．图3 图4答案 探究 AH ＝12，AC ＝15，S△ABC＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=．由于AC边上的高565BG ，所以x的取值范围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．例6 2017淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．（2）①如图1，当611t＜≤时，2EF t=．所以24S t=．②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-． 于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-，211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =． 如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9。
面积产生的函数关系
由面积产生的函数关系问题例1 2013年菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？” 除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =例2 2012年广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例3 2012年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？思路1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ 的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？图1思路1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线P A的同侧．设运动的时间为t秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图1思路1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．4．本题运算量很大，多用到1∶2。
[中考数学压轴题的解题策略12讲之十一]由面积公式产生的函数关系问题
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AF = AO ⋅ AC = x2 + 9
3
12
第三步 整理变形
AO ⋅ AC x2 + 9
AE =
=
x
4x
AO ⋅ AC x2 + 9
AF =
=
3
12
1
1 x2 + 9 x2 + 9 − x4 + 270x2 − 81
S = 3x − AE ⋅ AF = 3x − ×
⋅
=
2
2 4x 12
设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米） 表示成关于x的函数；
三三角角形形的的面面积积策策略略：： 确确定定底底，，构构造造高高．． 已已知知高高，，计计算算底底．． 相相似似三三角角形形的的面面积积比比．．
多多边边形形的的面面积积策策略略：：割割；；补补．．
09金山25
动点D，AD＝x， AB＝3
AO = 1 AC,垂线交AD于E,交AB于F 4
设五边形BCDEF的面积为S，求S关于x的函数解析式， 并写出自变量x的取值范围．
小结
基本没有障碍， 只需计算细心。
步步为赢！
CN DN
S△ADN
y=D是矩形，其中 AB=2米，BC=1米；上部CDG是 等边三角形，固定点E为AB的中 点．△EMN是由电脑控制其形状 变化的三角通风窗（阴影部分均 不通风），MN是可以沿设施边框 上下滑动且始终保持和AB平行的 伸缩横杆．
第一步 确定方法，寻找矛盾
割补
用x表示DN
第二步 解决矛盾
相似 三角形
4 = 4 − x CN = x − 1 x2 DN = 4 − x + 1 x2
挑战中考数学压轴题图形运动中由面积产生的函数关系问题
由面积产生的函数关系问题例1 20XX年上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以P A为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为2，求AP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN≈1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交．思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN2，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝4，cos A＝14，所以AB＝16，BC＝415设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝14AP＝14x，PE＝154AP＝154x．所以y＝S△PCD＝12CD PE⋅＝1115(4)224x x-⨯＝21515162x x-+．定义域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ． 由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m ＝44154+415⨯＝302157-．此时AE ＝3021547--＝21527-，AP ＝4AE ＝81587-．图2 图3（3）如图4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为MN ，MN 与CP 交于点G ． 由于CM ＝CN ＝1，MN ＝2，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG ＝NG ＝2． 如图5，作CH ⊥AB 于H ，由AC ＝4，那么AH ＝1，CH 2＝15． 所以CP ＝22CH PH +＝215(1)x +-．因此PG ＝2215(1)2x +--（如图4）． 如图4，在Rt △PNG 中，由勾股定理，得222222(15(1))()22x x =+--+． 整理，得2x 2－64x ＋257＝0．解得132510x -=，232+510x =（舍去）．图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得151(16)4x x =-．解得8158x -=．例2 20XX年黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得13a=．所以2114(4)(2)333y x x x=-=--．顶点M的坐标为4(2,)3-．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入1(4)3y x x=-，得122(24)3t t t-=⨯-．解得12t=．将Q′(3t,－t)代入1(4)3y x x=-，得13(34)3t t t-=⨯-．解得t＝1．因此，当12t=时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如图3）．图2 图3 （4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2．②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPF A．此时AF＝2t－2．此时S＝1(222)121 2t t t+-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEF A ． 此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？ 如图4，(222)l t =+．如图5，4222l t =-+ 如图6，(422)522l t =-+．例3 20XX 年菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)． 由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8． 因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)． 将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--． （2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45． 当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例4 20XX 年广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ， 所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE mAD AE m-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD mS AD m∆∆-==． 所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以sinB ==在Rt △BEH 中，9sin 2EH BE B =⋅==． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例5 20XX 年河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．图3 图4答案探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝12mx，S△CBD＝12nx．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得118422mx nx+=．所以168m nx+=．由于AC边上的高565BG=，所以x的取值范围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．例6 20XX年淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-． 于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-， 211422233NHQ S NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭． ③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+． 所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =． 如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9。
2018年中考压轴题汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案
由面积产生的函数关系问题例上海市徐汇区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点是边上的动点，以为半径作⊙．（）若⊙与边的另一个交点为，设＝，△的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（）若⊙被直线和直线截得的弦长相等，求的长；（）若⊙的半径等于，且⊙与⊙的公共弦长为，求的长．图备用图例黄冈市中考第题如图，在四边形中，，⊥轴于点，(,－)，(,－)，动点从出发，沿着轴正方向以每秒个单位长度的速度移动．过点作垂直于直线，垂足为．设点移动的时间为秒（＜＜），△与四边形重叠部分的面积为．（）求经过、、三点的抛物线的解析式，并确定顶点的坐标；（）用含的代数式表示点、的坐标；（）如果将△绕着点按逆时针方向旋转°，是否存在，使得△的顶点或在抛物线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（）求出与的函数关系式．图例菏泽市中考第题如图，△是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图像与轴、轴的交点，点在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点使四边形能构成平行四边形．（）试求、的值，并写出该二次函数的解析式；（）动点从到，同时动点从到都以每秒个单位的速度运动，问：①当运动到何处时，由⊥？②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？图例广东省中考第题如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，联结、．（）求和的长；（）点从点出发，沿轴向点运动（点与点、不重合），过点作的平行线交于点．设的长为，△的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（）在（）的条件下，联结，求△面积的最大值；此时，求出以点为圆心，与相切的圆的面积（结果保留π）．图例河北省中考第题如图，图，在△中，＝，＝，．探究如图，⊥于点，则＝，＝，△的面积△＝．拓展如图，点在上（可与点、重合），分别过点、作直线的垂线，垂足为、．设＝，＝，＝．（当点与点重合时，我们认为△＝）（）用含，或的代数式表示△及△；（）求(＋)与的函数关系式，并求(＋)的最大值和最小值；（）对给定的一个值，有时只能确定唯一的点，指出这样的的取值范围．发现请你确定一条直线，使得、、三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图图例淮安市中考第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点在上，＝．点、同时从点出发，分别沿、以每秒个单位长度的速度向点、匀速运动，点到达点后立刻以原速度沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止．在点、运动过程中，以为边作正方形，使它与△在线段的同侧．设、运动的时间为秒(＞)，正方形与△重叠部分的面积为．（）当＝时，正方形的边长是；当＝时，正方形的边长是；（）当＜≤时，求与的函数关系式；（）直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，最大？最大面积是多少？图由面积产生的函数关系问题答案例上海市徐汇区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点是边上的动点，以为半径作⊙．（）若⊙与边的另一个交点为，设＝，△的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（）若⊙被直线和直线截得的弦长相等，求的长；（）若⊙的半径等于，且⊙与⊙的公共弦长为，求的长．图备用图动感体验请打开几何画板文件名“徐汇”，拖动点在上运动，观察的度量值，可以体验到，≈的时刻只有一个，与圆心距相交．思路点拨．△的底边上的高，就是弦对应的弦心距．．若⊙被直线和直线截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．．⊙的半径等于，公共弦＝，那么△是等腰直角三角形．在四边形中，利用勾股定理列关于（⊙的半径）的方程．满分解答（）如图，在△中，＝，＝，所以＝，＝．设弦对应的弦心距为，那么＝＝，＝＝．所以＝△＝＝＝．定义域是＜＜．（）若⊙被直线和直线截得的弦长相等，那么对应的弦心距＝．因此四边形是正方形（如图），设正方形的边长为．由△＝△＋△，得·＝(＋)．所以＝＝．此时＝＝，＝＝．图图（）如图，设⊙与⊙的公共弦为，与交于点．由于＝＝，＝，所以△是等腰直角三角形，＝＝．如图，作⊥于，由＝，那么＝，＝．所以＝＝．因此＝（如图）．如图，在△中，由勾股定理，得．整理，得－＋＝．解得，（舍去）．图图考点伸展第（）题也可以这样计算：由于＝＝，由＝，得．解得．例黄冈市中考第题如图，在四边形中，，⊥轴于点，(,－)，(,－)，动点从出发，沿着轴正方向以每秒个单位长度的速度移动．过点作垂直于直线，垂足为．设点移动的时间为秒（＜＜），△与四边形重叠部分的面积为．（）求经过、、三点的抛物线的解析式，并确定顶点的坐标；（）用含的代数式表示点、的坐标；（）如果将△绕着点按逆时针方向旋转°，是否存在，使得△的顶点或在抛物线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（）求出与的函数关系式．图动感体验请打开几何画板文件名“黄冈”，拖动点从开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点′和点′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨．△在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．．试探取不同位置的点，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（）由(,－)、(,－)，可知抛物线的对称轴为直线＝，点关于直线＝的对称点为()．于是可设抛物线的解析式为＝(－)，代入点(,－)，得－＝－．解得．所以．顶点的坐标为．（）△是等腰直角三角形，(, )，(,－)．（）旋转后，点′的坐标为(,－)，点′的坐标为(,－)．将′(,－)代入，得．解得．将′(,－)代入，得．解得＝．因此，当时，点′落在抛物线上（如图）；当＝时，点′落在抛物线上（如图）．图图（）①如图，当＜≤时，重叠部分是等腰直角三角形．此时＝．②如图，当＜≤时，重叠部分是等腰梯形．此时＝－．此时＝．图图③如图，当＜＜时，重叠部分是五边形．此时＝＝－．所以＝＝－(－)＝－．所以＝．图考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长与之间有怎样的函数关系？如图，．如图，．如图，．例菏泽市中考第题如图，△是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图像与轴、轴的交点，点在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点使四边形能构成平行四边形．（）试求、的值，并写出该二次函数的解析式；（）动点从到，同时动点从到都以每秒个单位的速度运动，问：①当运动到何处时，由⊥？②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？图动感体验请打开几何画板文件名“菏泽”，拖动点由向运动，观察随变化的图像，可以体验到，当最小时，点恰好是的中点．请打开超级画板文件名“菏泽”，拖动点由向运动，观察随变化的图像，可以体验到，当最小时，点恰好是的中点．思路点拨．求抛物线的解析式需要代入、两点的坐标，点的坐标由点的坐标得到，点的坐标由＝可以得到．．设点、运动的时间为，用含有的式子把线段、、的长表示出来．．四边形的面积最小，就是△的面积最大．满分解答（）由，得()，()．由于、关于对称，所以(－)，＝．因为，＝，所以()．将(－)、()分别代入，得解得，＝－．所以该二次函数的解析式为．（）①设点、运动的时间为．如图，在△中，＝，＝－＝－，∠＝∠＝．当⊥时，．所以．解得．图图②如图，过点作⊥，垂足为．由于△＝，△＝，所以四边形＝△－△＝．所以当＝时，四边形的最小值是．考点伸展如果把第（）①题改为“当运动到何处时，△是直角三角形？”除了⊥这种情况，还有⊥的情况．这时，所以．解得（如图所示）．图例广东省中考第题如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，联结、．（）求和的长；（）点从点出发，沿轴向点运动（点与点、不重合），过点作的平行线交于点．设的长为，△的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（）在（）的条件下，联结，求△面积的最大值；此时，求出以点为圆心，与相切的圆的面积（结果保留π）．图动感体验请打开几何画板文件名“广东”，拖动点由向运动，观察图象，可以体验到，△的面积随的增大而增大，△的面积随变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，在的中点时，△的面积最大．思路点拨．△与△相似，面积比等于对应边的比的平方．．△与△是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（）由，得(－)、()、(,－)．所以＝，＝．（）如图，因为，所以△∽△．所以．而，＝，所以．的取值范围是＜＜．图图（）如图，因为，所以．因为△与△是同高三角形，所以．所以．当时，△的面积最大，最大值为．此时是的中点，．如图，作⊥，垂足为．在△中，＝，＝，所以．在△中，．当⊙与相切时，．所以．考点伸展在本题中，△与△能否相似？如图，虽然∠＝∠，但是∠＞∠≥∠，所以△与△不能相似．例河北省中考第题如图，图，在△中，＝，＝，．探究如图，⊥于点，则＝，＝，△的面积△＝．拓展如图，点在上（可与点、重合），分别过点、作直线的垂线，垂足为、．设＝，＝，＝．（当点与点重合时，我们认为△＝）（）用含，或的代数式表示△及△；（）求(＋)与的函数关系式，并求(＋)的最大值和最小值；（）对给定的一个值，有时只能确定唯一的点，指出这样的的取值范围．发现请你确定一条直线，使得、、三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图图动感体验请打开几何画板文件名“河北”，拖动点由向运动，观察(＋)随变化的图象，可以体验到，到达之前，(＋)的值越来越大；经过之后，(＋)的值越来越小．观察圆与线段的交点情况，可以体验到，当运动到时（如图），或者点在圆的内部时（如图），圆与线段只有唯一的交点．图图答案探究＝，＝，△＝．拓展（）△＝，△＝．（）由△＝△＋△，得．所以．由于边上的高，所以的取值范围是≤≤．所以(＋)的最大值为，最小值为．（）的取值范围是＝或＜≤．发现、、三点到直线的距离之和最小，最小值为．例淮安市中考第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点在上，＝．点、同时从点出发，分别沿、以每秒个单位长度的速度向点、匀速运动，点到达点后立刻以原速度沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止．在点、运动过程中，以为边作正方形，使它与△在线段的同侧．设、运动的时间为秒(＞)，正方形与△重叠部分的面积为．（）当＝时，正方形的边长是；当＝时，正方形的边长是；（）当＜≤时，求与的函数关系式；（）直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，最大？最大面积是多少？图动感体验请打开几何画板文件名“淮安”，拖动点由向运动，可以体验到，点在向运动时，正方形越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点折返以后，正方形的边长为定值，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“淮安”，拖动点由向运动，可以体验到，点在向运动时，正方形越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点折返以后，正方形的边长为定值，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，的最大值在六边形这个时段．思路点拨．全程运动时间为秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（）当＝时，＝；当＝时，＝．（）①如图，当时，．所以．②如图，当时，，，．于是，．所以．③如图，当时，，，．所以．图图图（）如图，图，图，图，重叠部分的最大面积是图所示的六边形，的最大值为，此时．图图图考点伸展第（）题中的临界时刻是这样求的：如图，当落在上时，，，由，得．如图，当落在上时，，，由，得．图图。
2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案
1.6 因动点产生的面积问题例1 2021年河南省中考第23题如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A, 点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点),过点P作PFLBC于点F.点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(-4,0),联结PD、PE、DE.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜测：对于任意一点P, PD与PF的差为定值.请你判断该猜测是否正确,并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：假设将“使△ PDE的面积为整数〞的点P记作“好点〞, 那么存在多个“好点〞,且使△ PDE的周长最小的点P也是一个“好点〞.请直接写出所有“好点〞的个数,并求出△PDE周长最小时“好点〞的坐标.图1备用图如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx— 3 (aw0)与x轴交于A(—2, 0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B 出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当^ PBQ存在时,求运动多少秒时^ PBQ的面积最大,最大面积是多少？(3)当^ PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S ACBK :S APBQ=5:2,求点K的坐标.1 O如图1,抛物线y=—x +bx+c 〔b、c是常数,且c< 0〕与x轴交于A、B两点2〔点A在点B的左侧〕,与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为〔一1,0〕.（1）b=,点B的横坐标为〔上述结果均用含c的代数式表示〕；〔2〕连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点 E.点D是x轴上一点,坐标为〔2,0〕,当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点, 连结PB、PC.设4PBC 的面积为S.①求S的取值范围；②假设△ PBC的面积S为正整数,那么这样的^ PBC共有个.图1如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为将此三角板绕原点 O 逆时针旋转90.,得到三角形 ABO. (1) 一抛物线经过点 A'、B'、B,求该抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点 △ ABO 面积的4倍？假设存在,请求出点 P 的坐标；假设不存在, (3)在(2)的条件下,试指出四边形 PB'A'B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0), P,使四边形PB AB 的面积是 请说明理由；如图1 ,在平面直角坐标系中,直线y=1x+1与抛物线y=ax2+bx—3 交于A、B 两2点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3 .点P是直线AB下方的抛物线上的一动点 (不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDLAB于点D.(1)求a、b 及sin / ACP 的值；(2)设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；②连结PB,线段PC把4PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9 ： 10?假设存在,直接写出m的值；假设不存在,请说明理由.图1例6 2021年南通市中考第28题如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=m(x>0)交于点B(2,1).过点P( p, p-1)(p x>1)作x轴的平行线分别交曲线y=m(x> 0)和y=_m(xv 0)于M、N两点.x x(1)求m的值及直线l的解析式；(2)假设点P在直线y=2上,求证：△ PMB^A PNA;(3)是否存在实数p,使得S AAMN =4S AAMP?假设存在,请求出所有满足条件的p的值；假设不存在,请说明理由.例7 2021年广州市中考第25题如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0), (0,1).点D是线段BC上1的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y = —— x + b交折线OAB于点E.2(1)记^ ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时,假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1, 试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积是否发生变化？假设不变,求出重叠局部的面积；假设改变,请说明理由.1.6 因动点产生的面积问题答案例1 2021年河南省中考第23题如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A, 点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点),过点P作PFLBC于点F.点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(-4,0),联结PD、PE、DE.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜测：对于任意一点P, PD与PF的差为定值.请你判断该猜测是否正确,并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：假设将“使△ PDE的面积为整数〞的点P记作“好点〞, 那么存在多个“好点〞,且使△ PDE的周长最小的点P也是一个“好点〞.请直接写出所有“好点〞的个数,并求出△PDE周长最小时“好点〞的坐标.B_ r c] B c图1 备用图动感体验请翻开几何画板文件名“ 15河南23〞,拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动,观察S随P变化的图像,可以体验到, “使△ PDE的面积为整数〞的点P共有11个.思路点拨1 .第(2)题通过计算进行说理.设点P的坐标,用两点间的距离公式表示PD、PF 的长.2 .第(3)题用第(2)题的结论,把^ PDE的周长最小值转化为求PE+PF的最小值.总分值解答3 1)抛物线的解析式为y = —1 x2 +8 .84 2)小明的判断正确,对于任意一点P, PD-PF = 2.说理如下：1 c 1 C设点P的坐标为(x, --X2+8),那么PF =y F-y P= -X2 .8 82 2 1 2 22122122 1 2而FD= X +( -― x +8 -6) = x +(— x -2) = (- x +2),所以FD = - X + 2 .8 8 8 8因此PD — PF=2为定值.(3) “好点〞共有11个.在△ PDE中,DE为定值,因此周长的最小值取决于F D+P E的最小值. 而PD + PE=〔PF+2〕+PE=〔PF + PE〕 + 2,因此当P、E、F 三点共线时,△ PDE 的周长最小〔如图2〕.此时EF,x轴,点P的横坐标为一4.所以△ PDE周长最小时,“好点〞P的坐标为〔— 4, 6〕.图2 图3考点伸展第〔3〕题的11个“好点〞是这样求的：如图3, ^!^结OP > 那么S/\PDE=S/\ POD + $△ POE —$△ DOE .1 1 1 2由于 * POD —— OD 〔—x P〕= —3x , --8A POE OE y P= —— x +16,S A DOE—12,所以2 2 41 2 1 2 1 2S APDE= -3x--x +16—12=—— x —3x+4 = --〔x + 6〕 +13. 4 4 4因此8是x的二次函数,抛物线的开口向下,对称轴为直线x=—6.如图4,当—8<x< 0时,4W8W13.所以面积的值为整数的个数为10.1当8=12时,万程一〔x+6〕2+13 =12的两个解—8, —4都在—8WxW0范围内.4所以“使△ PDE的面积为整数〞的“好点〞P共有11个.s随P _图4例2 2021年昆明市中考第23题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx— 3 (aw0)与x轴交于A(—2, 0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当^ PBQ存在时,求运动多少秒时^ PBQ的面积最大,最大面积是多少？(3)当^ PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S ACBK :S APBQ=5:2,求点K的坐标.动感体验请翻开几何画板文件名“ 14昆明23〞,拖动点P从A向B运动,可以体验到,当P运动到AB 的中点时,△ PBQ的面积最大.双击按钮“△ PBQ面积最大〞,再拖动点K在BC 下方的抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,有两个时刻面积比为 2.5.思路点拨1. APBQ的面积可以表示为t的二次函数,求二次函数的最小值.2. APBQ与^ PBC是同高三角形, 4PBC与^ CBK是同底三角形,把^ CBK与^ PBQ 的比转化为△ CBK与^ PBC的比.总分值解答(1)由于抛物线与x轴交于A(—2, 0)、B(4, 0)两点,所以y= a(x+2)(x-4).所以—8a=- 3.解得a=3 .8所以抛物线的解析式为y =3(x +2)(x -4) =3x2--x-3.8 8 4(2)如图2,过点Q作QH^x轴,垂足为H.在Rt^BCO 中,OB = 4, OC=3,所以BC=5, sinB= 3 .53在RtABQH 中,BQ = t,所以QH = BQsinB= 3 t5所以S APBQ= 1BP QH =1(6 —3t)M3t =-— (t -1)2 +—.2 2 5 10 10由于△ PBC 与△ CBK 是同底三角形,所以对应高的比为2： 1.如图4,过x 轴上的点D 画CB 的平行线交抛物线于 K,那么PB : DB= 2 : 由于点K 在BC 的下方,所以点 D 在点B 的右侧,点D 的坐标为(U 0).2,过点K 作KE^x 轴于E.设点K 的坐标为(x 3(x +2)(x _4)).,8考点伸展第(3)题也可以这样思考:由 S AQBK : S APBQ = 5 ： 2, S APBQ =--,得 S AQBK =-104如图5,过点K 作x 轴的垂线交BC 于F.设点K 的坐标为 33 由于点F 在直线BC: y=—x-3上.所以点F 的坐标为(x,- x -3).44所以 KF = (—x —3) —(~x2 — — x —3) = —— x2 x .4 8 4 8 2△ CBK 被KF 分割为△ CKF 和△ BKF ,他们的高的和为 OB = 4. 所以 S ACBK = - x 4( —— x 2 +'x)=—.解得 x= 1,或 x= 3. 2 82 4由于0wtw2,所以当t=1时,△ PBQ 的面积最大,最大面积是 (3)如图 当S A 10当△ PBQ 的面积最大时,t=1,此时P 是AB 的中点,P(1,0), BQ=1.3,由于△ PBC 与^ PBQ 是同高三角形, S PBC : S APBQ = BC : BQ= 5 :CBK : S A PBQ = 5 ： 2 时,SA PBC : S A CBK = 2 ： 1 o1.1. 3-(x 2)( x-4) 由生二CO,得J --------------- DE BO 9——x 2 3.整理,得 x 2- 4x+ 3= 0.4 解得x= 1,或x=3.所以点/ 3 2 (KJ o图2K 的坐标为(1,_27)或(3,—竺).例3 2021年苏州市中考第29题如图1,抛物线y=1x2+bx+c (b、c是常数,且c< 0)与x轴交于A、B两点2(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(一1,0).(1) b=,点B的横坐标为 (上述结果均用含c的代数式表示)；(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点, 连结PB、PC.设4PBC 的面积为S.①求S的取值范围；②假设△ PBC的面积S为正整数,那么这样的^ PBC共有个.图1动感体验请翻开几何画板文件名“ 13苏州29〞,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与ACOB保持相似.点击按钮“ C、D、E三点共线〞,此时△ EHD^ACOD.拖动点P从A 经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.请翻开超级画板文件名“ 13苏州29〞,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与ACOB保持相似.点击按钮“ C、D、E三点共线〞,此时△ EHD^ACOD.拖动点P从A 经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.思路点拨1 .用c表示b以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB = 2OC.2 .当C、D、E 三点共线时,△ EHA^A COB, △ EHD^A COD .3 .求^ PBC面积的取值范围,要分两种情况计算, P在BC上方或下方.4 .求得了S的取值范围,然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正整数值, 再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.总分值解答1 . …,,一,(1) b=c+—,点B的横坐标为一2c.21 2 1 1 一1(2)由y =~x +(c 十±)x+c =3(x+1)(x+2c),设E(x,- (x +1)(x +2c)).过点E 作EH ,x 轴于H.由于 OB=2OC,当 AE 〃BC 时,AH = 2EH.所以 x+1 =(x+1)(x+2c).因此 x=1—2c.所以 E(1—2c,1—c).(3)①当P 在BC 下方时,过点 P 作x 轴的垂线交 BC 于F. 直线BC 的解析式为y =1 x —2 .21 0 3 一 . 11 O设 P(m, 5m --m -2),那么 F(m,- m -2), FP = m +2m.1 __ __2 2所以 $△ PBC = S APBF + S A PCF = 3 FP(x B —x C ) =2FP =—m +4m=—(m — 2) +4.因此当P 在BC 下方时,△ PBC 的最大值为4. 当P 在BC 上方时,由于 SA ABC=5,所以SA PBCV5. 综上所述,0VSV 5.②假设△ PBC 的面积S 为正整数,那么这样的^ PBC 共有11个.考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中,4PBC 的面积为整数,依次为 (5) , 4, 3, 2, 1, (0), 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, (0).当P 在BC 下方,S= 4时,点P 在BC 的中点的正下方,F 是BC 的中点. 如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点 O 逆时针旋转90.,得到三角形 ABO. (1) 一抛物线经过点 A'、B'、B,求该抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点 P,使四边形PBAB 的面积是 △ ABO 面积的4倍？假设存在,请求出点 P 的坐标；假设不存在,请说明理由； (3)在(2)的条件下,试指出四边形PB'A'B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.当C 、D 、E 三点在同一直线上时, 里=里,所以 1一.二/DH整理,得2c 2+3c — 2 = 0.解得c=—2或DO 1 c ——2 -2c-1 2(舍去).动感体验请翻开几何画板文件名“ 12荷泽21〞,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PBAB是等腰梯形时,四边形PBA'B的面积是^ ABO面积的4倍.请翻开超级画板文件名“ 12荷泽21〞,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PBAB是等腰梯形时,四边形PBA'B的面积是^ ABO面积的4倍.思路点拨1 .四边形PB'A'B的面积是^ ABO面积的4倍,可以转化为四边形PBOB的面积是△ ABO面积的3倍.2 .联结PO,四边形PBOB可以分割为两个三角形.3 .过点向x轴作垂线,四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.总分值解答(1) 4AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A'、B的坐标分别为(—1,0)、(0, 2). 由于抛物线与x 轴交于A'(—1,0)、B(2, 0),设解析式为y=a(x+1)(x-2), 代入B'(0, 2),得a=1.所以该抛物线的解析式为y=—(x+ 1)(x- 2) = —x2 + x+2.(2) S>A AB O= 1 -女口身乏S 四边形PB A B= 4 S AA B O= 4, UB 么> S 四边形PB OB= 3 S A A B O = 3.如图2,作PDXOB,垂足为D.设点P的坐标为(x, — x2+x+ 2).1 1 o 1 . 1 oS弟形PB,OD ^DO(B'O PD) -x(2-x2x 2)- -x31x22x .一1 1 o 1 Q 3 0S PDB =,DB PD =1(2 -x)(-x2x 2) =2x3-3x22.2 2 2 2所以 S 四边形 PB'A'D = S 梯形PB'OD +Sg DB = —X +2x+2 - 解方程一 x 2+ 2x+ 2=3,得 x1=x 2=1. 图2 图3 图4〔3〕如图3,四边形PBAB 是等腰梯形,它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰 梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.考点伸展第(2)题求四边形PB 0B 的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.- 1… 1八S P B ,O = — B 0 x P = — 2x = x -2 2 1 1 22S P BO= - BO y P =- 2( -x x 2) - -x x 2 -所以 S 四边形 PB'A'D =S 揖B'O +S ABO =—x+2x+2・作△ AOB'关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E 的坐标为〔1, 2〕.而矩形£30口与4人03'、ABOP 是等底等高的,所以四边形 EB'A'B 的面积是^ ABO 面积的4倍.因此点E 就是要探求的点 P.如图1 ,在平面直角坐标系中,直线 y=1x +1与抛物线 y=ax2+bx —3 交于 A 、B 两2甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点 P:所以点P 的坐标为〔1 , 2〕.点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3 .点P是直线AB下方的抛物线上的一动点〔不与点A、B重合〕,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDLAB于点D.〔1〕求a、b 及sin / ACP 的值；〔2〕设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；②连结PB,线段PC把4PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9 ： 10?假设存在,直接写出m的值；假设不存在,请说明理由.图1动感体验请翻开几何画板文件名“ 12河南23〞,拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动,可以体验到,PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一局部,当C是AB的中点时,PD 到达最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9： 10,也可以是10：9.思路点拨1 .第〔1〕题由于CP//y轴,把/ ACP转化为它的同位角.2 .第〔2〕题中,PD=PCsinZ ACP,第〔1〕题已经做好了铺垫.3 . APCD与4PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.4 .两个三角形的面积比为9 ： 10,要分两种情况讨论.总分值解答1(1)设直线y=1x+1与y轴交于点E,那么A( —2,0), B(4,3), E(0,1).2在Rt^AEO 中,OA = 2, OE=1,所以AE =# .所以sin/AEO：2^55 由于PC//EO,所以/ ACP = Z AEO.因此sin/ACP=R55将A( —2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx— 3,得14a -2b - 3二0,16a 4b -3=3.解得a=l,b=」・2 21 2 1 八1(2)由P(m,-m _.m_3),C(m,.m+1),1 12 1 1 2得PC =(-m+1)_(—m ——m-3)=——m +m+4 -2 2 2 22 5 所以PD =PC sin. ACP PC =5 所以PD的最大值为9叵.5 2.51 2 八5 / 、、2 9.5 ----- (--m m 4) =_——(m -1) ------------------- .5 2 5 5(3)当S A PCD :S A PCB=9： 10 时, m = 5；2当S APCD : S^ PCB= 10 : 9时,mW考点伸展第〔3〕题的思路是：△DN与BM的比.PCD与4PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高而DN =PDcos PDN =PD cosZACP = — ^^5(-- m2+m + 4) = -- (m + 2)(m — 4),5 5 2 5①当SxPCD :S A PCB②当S A PCD 'S APCB1 9 5 =9・10时,——(m +2)(m -4) = 一(4 -m) -斛得m =- -5 10 2 =10：9时,」(m +2)(m -4) = 10(4 -m) -解得m =—5 99E如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=m(x>0)交于点B(2,1).过点P( p, p-1)(p x>1)作x轴的平行线分别交曲线y=m(x> 0)和y=_m(xv 0)于M、N两点. x x(1)求m的值及直线l的解析式；(2)假设点P在直线y=2上,求证：△ PMB^A PNA;(3)是否存在实数p,使得S AAMN =4S AAMP?假设存在,请求出所有满足条件的p的值；假设不存在,请说明理由.个¥图1动感体验请翻开几何画板文件名“ 11南通28〞,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,当直线MN经过(0, 2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形；△ AMN和△ AMP是两个同高的三角形,MN = 4MP存在两种情况.思路点拨1 .第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中.2 .第(3)题把伞AMN = 4S"MP转化为MN = 4MP,根据点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.总分值解答(1)由于点B(2, 1)在双曲线y=m上,所以m = 2.设直线l的解析式为y = kx + b, x.... 一 . k f k =1代入点A(1, 0)和点B(2, 1),得k b 0,解得<K l,所以直线l的解析式为y=x-1.2k b =1. b =-1.(2)由点P(p, p—1)(p>1)的坐标可知,点P在直线y = x—1上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3, 2).此时点M的坐标为(1 , 2),点N的坐标为(一1, 2).由P(3, 2)、M(1, 2)、B(2, 1)三点的位置关系,可知△ PMB为等腰直角三角形.由P(3, 2)、N(-1, 2)、A(1, 0)三点的位置关系,可知△ PNA为等腰直角三角形.所以△ PMB^A PNA.〔3〕 △ AMN 和^ AMP 是两个同高的三角形,底边 MN 和MP 在同一条直线上.当 S AAMN = 4 S A AMP 时,MN = 4MP .①如图3,当M 在NP 上时,X M -X N =4(X P -X M ).得x =1 +、历 或x =1-M 〔此时点 22 ②如图 4 ,当 M 在 NP'2 _〔 一2〕〕 =4」'-2 -X〔 _1〕隔导x =1+"或X 」一行〔此时点P 在x 轴下方,舍去〕.此 x 〔 x 〕 x 〔〕 2 21.5 考点伸展在此题情景下,△ AMN 能否成为直角三角形？情形一,如图5, / AMN = 90° ,此时点 M 的坐标为〔1, 2〕,点P 的坐标为〔3, 2〕.情形二,如图6, / MAN = 90 ° ,此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半.不存在/ ANM = 90°的情况.因此隆_〔__2〕〕=4'〔x —1〕—工卜解 P 在x 轴下方,舍去〕 的延长线上时, .此时p = X M - X N = 4(X M — Xp).如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为〔3,0〕, 〔0,1〕.点D是线段BC上1的动点〔与端点B、C不重合〕,过点D作直线y = —— x + b交折线OAB于点E.2〔1〕记^ ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；〔2〕当点E在线段OA上时,假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1, 试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积是否发生变化？假设不变,求出重叠动感体验请翻开几何画板文件名“ 10广州25〞,拖动点D由C向B运动,观察S随b变化的函数图象,可以体验到, E在OA上时,S随b的增大而增大；E在AB上时,S随b的增大而减小.双击按钮“第〔3〕题〞,拖动点D由C向B运动,可以观察到,E在OA上时,重叠局部的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第〔2〕题〞可以切换.思路点拨1 .数形结合,用b表示线段OE、CD、AE、BE的长.2 .求△ ODE的面积,要分两种情况.当E在OA上时,OE边对应的高等于OC;当E 在AB边上时,要利用割补法求^ ODE的面积.3 .第〔3〕题中的重叠局部是邻边相等的平行四边形.4 .图形翻着、旋转等运动中,计算菱形的边长一般用勾股定理.总分值解答1〔1〕①如图2,当E在OA上时,由y = ——x+b可知,点E的坐标为〔2b,0〕, OE=2b.此2一一一1 一一1时$= S A ODE=—OE OC= —M2bM1=b.2 21②如图3,当E在AB上时,把y=1代入y = ——x + b可知,点D的坐标为〔2b—2,1〕,2―—,一… 1 3、_ CD = 2b—2, BD = 5-2b.把x= 3 代入y = ——x+b 可知,点E 的坐标为〔3, b——〕, AE2 2, 3 _ 5 ,一=b , BE =一—b .此时2 2S= S 矩形OABC —$△ OAE- S；A BDE —W OCD= 3-1 3(b-3) -^(5-b)(5-2b) -1 1 (2b-2)2 5=-b +-b .(2)如图4,由于四边形O i A i B i C i与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM = DN,那么重叠局部是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.作DHLOA,垂足为H ,由于CD=2b—2, OE=2b,所以EH =2.设菱形DMEN的边长为m.在RtA DEH中,DH = 1, NH= 2-m, DN = m,所以12 +2 2 5 一 (5)(2-m) =m .解得m=—.所以重叠局部菱形DMEN的面积为一.4 4图2 图3 图4考点伸展把此题中的矩形OABC绕着它的对称中央旋转, 如果重叠局部的形状是菱形〔如图5〕,那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示；最大面积为5,如图7所示.3。
《挑战压轴题中考数学：精讲解读篇》 第二部分 图形运动中的函数关系问题 2.2由面积公式产生的函数关系问题
2.2 由面积公式产生的函数关系问题例 8 2014年衡阳市中考第28题二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点为A(－3,0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△PAC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？图1 图2例 9 2014年呼和浩特中考第25题如图1，已知直线l的解析式为112y x=-，抛物线y = ax2＋bx＋2经过点A(m, 0)，B(2, 0)，D5 (1,)4三点．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P(x, y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形P AFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．图1如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O 出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1例 11 2014年无锡市中考第28题如图1，已知点A(2, 0)、B(0, 4)，∠AOB的平分线交AB于C．一动点P从O出发，以每秒2个单位的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求点C的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MNC与△AOB重叠部分的面积为S，①试求S关于t的函数关系式；②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图像，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．图1 图2如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，点E 为线段CD 上的一个动点（不与点C 重合），△BCE 关于BE 的轴对称图形为△BFE ，连结CF ，设CE ＝x ，△BCF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2．（1）当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，求x 的值；（2）使用x 表示21S S ，并写出x 的取值范围； （3）当△BFE 的外接圆与AD 相切时，求21S S 的值．图1例 13 2014年长春市中考第24题如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点O 为对角线BD 的中点．点P 从点A 出发，沿折线AD -DO -OC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ．设正方形PQMN 与△ABD 重叠部分的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．（1）求点N 落在BD 上时t 的值．（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围；（3）当点P 在折线AD -DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN 平分△BCD 面积时t 的值．图1例 14 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C，求AP的长．图1 备用图例 15 2015年上海市长宁区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－2的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，交抛物线于点P．（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC＝CP，求四边形OEPD的面积S关于t的函数关系式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当△ADE的面积等于2S时，求t的值．图1如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向点B 匀速运动；同时动点N 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA 向点A 匀速运动．过线段MN 的中点G 作边AB 的垂线，垂足为G ，交△ABC 的另一边于点P ，连结PM 、PN ．当点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t ＝________秒时，动点M 、N 相遇；（2）设△PMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）取线段PM 的中点K ，连结KA 、KC ．在整个运动过程中，△KAC 的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．图1例 17 2015年山西省中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线W 的函数表达式为241642121y x x =-++．抛物线W 与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l 经过C 、D 两点．（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的函数表达式；（2）将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W ’，设抛物线W ’的对称轴与直线l 交于点F ．当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出此时抛物线W ′的函数表达式；（3）如图2，连结AC 、CB ．将△ACD 沿x 轴向右平移m 个单位（0＜m ≤5），得到 △A ’C ’D ’．设A ’C ’交直线l 于点M ，C ’D ’交CB 于点N ，连结CC ’、MN ．求四边形CMNC ’的面积（用含m 的代数式表示）．图1 图2将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A(3,0)，点B(0, 1)，点O(0, 0)．过边OA上的动点M（点M不与点O、A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点为A’．设OM＝m，折叠后的△AMN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（1）如图1，当点A’与顶点B重合时，求点M的坐标；（2）如图2，当点A’落在第二象限时，A’M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（3）当S＝3时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2例 19 2015年武汉市中考第22题已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图1，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．图1。
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2.2 由面积产生的函数关系问题例1 2018上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cos A＝14，点P是边AB上的动点，以P A为半径作⊙P．（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C，求AP的长．图1 备用图例2 2017黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5 cos13ABC∠=．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图12.2 由面积产生的函数关系问题答案例1 2018上海市徐汇区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C ，求AP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P 在AB 上运动，观察MN 的度量值，可以体验到，MN ≈1.41的时刻只有一个，MN 与圆心距CP 相交．思路点拨1．△PCD 的底边CD 上的高，就是弦AD 对应的弦心距．2．若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C 的半径等于1，公共弦MN ，那么△CMN 是等腰直角三角形．在四边形CMPN 中，利用勾股定理列关于x （⊙P 的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt △ABC 中， AC ＝4，cos A ＝14，所以AB ＝16，BC ＝设弦AD 对应的弦心距为PE ，那么AE ＝14AP ＝14x ，PE AP x ．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝11(4)224x x -⨯＝2162x x -+． 定义域是0＜x ＜8．（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ． 因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m此时AE ＝4-，AP ＝4AE图2 图3（3）如图4，设⊙C 与⊙P 的公共弦为MN ，MN 与CP 交于点G ．由于CM ＝CN ＝1，MN ，所以△CMN 是等腰直角三角形，CG ＝NG ． 如图5，作CH ⊥AB 于H ，由AC ＝4，那么AH ＝1，CH 2＝15．所以CP PG 4）．如图4，在Rt △PNG 中，由勾股定理，得222(22x =+．整理，得2x 2－64x ＋257＝0．解得1x =，2x =（舍去）．图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF ，得1(16)4x x =-．解得x =．例2 2017黄冈市中考第25题如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P 从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得13a=．所以2114(4)(2)333y x x x=-=--．顶点M的坐标为4(2,)3-．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入1(4)3y x x=-，得122(24)3t t t-=⨯-．解得12t=．将Q′(3t,－t)代入1(4)3y x x=-，得13(34)3t t t-=⨯-．解得t＝1．因此，当12t =时，点O ′落在抛物线上（如图2）；当t ＝1时，点Q ′落在抛物线上（如图3）．图2 图3（4）①如图4，当0＜t ≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ ．此时S ＝t 2． ②如图5，当1＜t ≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPF A ．此时AF ＝2t －2．此时S ＝1(222)1212t t t +-⨯=-．图4 图5③如图6，当1.5＜t ＜2时，重叠部分是五边形OCEF A ． 此时CE ＝CP ＝2t －3．所以BE ＝BF ＝1－(2t －3)＝4－2t ．所以S ＝221111(32)1(42)28222t t t +⨯--=-+-．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l 与t 之间有怎样的函数关系？如图4，(2l t =+．如图5，42l t =-+如图6，(42l t =-+．例3 2017菏泽市中考第21题如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P 由A 向D 运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，当S 最小时，点Q 恰好是AC 的中点．思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)． 由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8． 因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)． 将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--． （2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45．当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例4 2017广东省中考第22题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E 由A 向B 运动，观察图象，可以体验到，△ADE 的面积随m 的增大而增大，△CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在AB 的中点时，△CDE 的面积最大．思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ， 所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE mAD AE m-==． 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD mS AD m∆∆-==． 所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以sin B == 在Rt △BEH中，9sin 2EH BE B =⋅==． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例5 2017河北省中考第26题如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=． 探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D 由A 向C 运动，观察(m ＋n )随x 变化的图象，可以体验到，D 到达G 之前，(m ＋n )的值越来越大；D 经过G 之后，(m ＋n )的值越来越小．观察圆与线段AC 的交点情况，可以体验到，当D 运动到G 时（如图3），或者点A 在圆的内部时（如图4），圆与线段AC 只有唯一的交点D ．图3 图4答案 探究 AH ＝12，AC ＝15，S△ABC＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．例6 2017淮安市中考第28题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．（2）①如图1，当611t＜≤时，2EF t=．所以24S t=．②如图2，当66115t＜≤时，2EF EH t==，2AE t=-，33(2)44NE AE t==-．于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-，211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭．③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =． 如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9。