高一数学等比数列等比数列的前n项和同步达纲练习人教版

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高中数学(人教版必修5)：等比数列的前N项和专项练习

n 项的和为
________．
n＋ 2 [答案 ] 4－ 2n－1
[解析 ]
设
24 6
2n
Sn＝ 2＋ 22＋ 23 ＋ …＋ 2n
①
1 246
2n
2Sn ＝22 ＋ 22 2 2
2 2n
1 2n
(1－2)Sn＝ 2＋ 22＋ 23＋ 24＋ … ＋ 2n － 2n＋1＝ 2－ 2n－1－ 2n＋ 1.
[解析 ] (1) 证明：由 an＋2 ＝ 2an＋1－ an＋ 2 得
an＋2－ an＋ 1＝ an＋1－ an＋ 2.
即 bn＋1＝ bn＋ 2.
又 b1＝ a2－ a1＝ 1.
所以 { bn} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
(2)由 (1)得 bn＝ 1＋2( n－ 1)＝ 2n－ 1，
5 B．6
1 C． 6
1 D． 30
[答案 ] B
1
11
[解析 ]
an＝ n
n＋1
＝
n－
n＋
， 1
111111111
15
∴S5＝ 1－2＋ 2－ 3＋ 3－ 4＋ 4－5＋ 5－ 6＝ 1－ 6＝ 6.
6．数列 { an} 中，已知对任意 n∈N *，a1＋ a2＋ a3＋…＋ an＝ 3n－ 1，则 a21＋ a22＋ a23＋…＋ a2n等
n＋ 2 ∴Sn＝ 4－ 2n －1 . 8．已知数列 a1＋ 2，a2＋ 4，…， ak＋ 2k，…， a10＋ 20 共有 10 项，其和为 240，则 a1＋ a2 ＋…＋ ak＋…＋ a10＝________. [答案 ] 130 [解析 ] 由题意，得 a1＋ a2＋ … ＋ ak＋ … ＋a10＝ 240－ (2＋ 4＋… ＋ 2k＋… ＋ 20)＝ 240－ 110

人教版高三数学必修五等比数列的前n项和同步测试题

人教版高三数学必修五等比数列的前项和同步测试题【同步达纲练习】一、选择题.在等比数列｛｝中，等于( ).已知等比数列｛｝的公比31，且…，则…等于( ).一个等比数列，它的前项和，其中、、为常数且≠，≠且≠，则、、必须满足( ).等比数列｛｝的前项和为，若，，则等于( ).一个等比数列｛｝的首项为，公比，从第项到第项(＜)的和为，则的值为( ).数列｛｝是由实数构成的等比数列，…，则数列｛｝中( ).任一项均不为 .必有一项不为.至多有有限项为 .或无一项为，或有无穷多项为.计算机的成本不断降低，若每隔年计算机价格降低31，现在的价格是元，则年后，价格降低为( )元元元元.数列，，，…，…的前项和等于( ).一个等比数列｛｝共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为( ) .56 .65.已知等比数列｛｝中，·，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前项和为( )() .419-n . 4)19(3-n 二、填空题.已知…,则()…() ..在等比数列｛｝中，若，公比，则 .… ..等比数列首项为，公比为，从前项的和开始大于.三、解答题.已知等比数列｛｝的首项＞，公比＞.设数列｛｝的通项(∈)，数列｛｝、｛｝的前项和分别为与，试比较与的大小..已知数列｛｝为等差数列，公差≠，其中1k a ,2k a ,…, n k a 恰为等比数列，若，，，求…的值..设数列｛｝的前项和(∈)，数列｛｝满足：，且，()求通项.()求｛｝前项的和.【素质优化训练】.设数列｛｝的前项和，求证：是数列｛｝为等比数列的充要条件..数列｛｝为等比数列，项数为偶数且各项为正数.如果该数列所有项的和为偶数项的和的倍，且·().问数列｛｝的前多少项的和最大?【生活实际运用】.某种果树至少要培植五年才可以开始采果，有一农户于年初利用边角地种植了一批这种果树，年开始采果，当年的产量为千克，年至年连续年每年的产量平均比上一年增加还多千克，从年起，由于管理等方面的原因导致产量开始下降，且平均每年比上一年减少，据估计这种情况还会继续下去.()年，该农户采得这种水果多少千克?()如果用表示该农户从年起的(∈)年内采得这种水果的总量，试求出用表示的的表达式，并据此计算，到年，该农户共采得这种水果多少千克?(精确到千克).某君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄，若存入银行年利率为，若购某种股票年红利为，不考虑物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份公司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行.()求某君购股票或储蓄年后所拥有人民币总额与的函数关系式；()问经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等?()参考答案：【同步达纲练习】一、二、或aa --1111三、°＞215-时，＞，得＞ °215-时，，得.°＜＜215-时，＜，得＜. ..解：() ()().【素质优化训练】.略 .前项的和最大.【生活实际运用】.解：()年的产量(千克) ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤--⋅-)7.(1091633020577)6(,44868)23(4486n n n n n 到年底的总产量·109≈(千克). .解：()设某君有人民币元，若长期储蓄，则年后人民币总额为()，即·. 若购买股票，则年后利息和红利总额为［()()…()］ 06.01)06.01(24.0++x 即().()由·()，得34，两边取以为底的对数，得 06.1lg 3lg 4lg -0253.04771.06020.0-≈. 即大约经过年，股票与储蓄拥有的人民币相等.。

【配套K12】高中数学第2章数列 2.3 等比数列第3课时等比数列的前n项和同步练习新人教

【成才之路】2016年春高中数学第2章数列 2.3 等比数列第3课时等比数列的前n 项和同步练习新人教B 版必修5一、选择题1．已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510[答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2.∴S 8＝－281－2＝29－2＝510.2．(2014·全国大纲理，10)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] C[解析] 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是a n ＝2×(52)n －4，设b n ＝lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S 8＝b 1＋b 82＝－3lg 52＋lg2＋4lg522＝4.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ，a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12，a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48，由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192[答案] B[解析] 公式q 3＝a 5a 2＝2439＝27，q ＝3，a 1＝a 2q＝3，S 4＝－341－3＝120.5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5 C ．3116 D ．158[答案] C[解析] 显然q ≠1，∴－q 31－q＝1－q 61－q ，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴{1a n}是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－1251－12＝3116. 6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝27，则S 9＝( ) A ．81 B ．72 C ．63 D ．54[答案] C[解析] ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∴9,18，S 9－27成等比数列， ∴182＝9(S 9－27)，∴S 9＝63.故选C ．二、填空题7．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.[答案] 15[解析] 设数列{a n }的首项为a 1，则S 4＝a 11－f(124,1－12)＝158a 1，a 4＝a 1·(12)3＝18a 1， ∴S 4a 4＝158a 118a 1＝15. 8．(2015·湖南理，14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.[答案] 3n －1[解析] ∵3S 1,2S 2，S 3成等差数列，∴2×2(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3，∴a 3＝3a 2，∴q ＝3.又∵等比数列{a n }，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.三、解答题9．在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求数列{a n }的前8项和． [解析] 解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n ＝a 1qn －1，由已知条件得a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24，① a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64，∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去．将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.当q ＝2时，得a 1＝1，所以S 8＝a 11－q 81－q ＝255；当q ＝－2时，得a 1＝－1，所以S 8＝a 11－q 81－q＝85.解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得a 24＝a 3·a 5＝64，∴a 4＝±8，a 6＝24＋a 4＝24±8. 因为{a n }是实数列，所以a 6a 4＞0，故舍去a 4＝－8，而a 4＝8，a 6＝32，从而a 5＝±a 4·a 6＝±16. 公比q 的值为q ＝a 5a 4＝±2，当q ＝2时，a 1＝1，a 9＝a 6q 3＝256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，a 9＝a 6q 3＝－256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝85. 10．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝1，S 8＝17，求S n . [解析] 设{a n }公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 41－q＝1a 11－q 81－q＝17，两式相除并化简，得q 4＋1＝17，即q 4＝16. ∴q ＝±2.∴当q ＝2时，a 1＝115，S n ＝115－2n1－2＝115(2n－1)；当q ＝－2时，a 1＝－15，S n ＝－15[1－－n]1＋2＝115[(－2)n－1]．一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B ．73 C ．83 D ．3[答案] B[解析] ∵S 6S 3＝3，∴S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝2， ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比，∴S 9－S 6S 3＝22， ∴S 9＝4S 3＋S 6＝7S 3，∴S 9S 6＝7S 33S 3＝73，∴选B ． 2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12[答案] C[解析] 当q ＝1时，满足题意．当q ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7a 11－q 31－q＝21，解得q ＝－12，故选C ． 3．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9 C ．63 D ．7或63[答案] D[解析] 由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列， ∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(21－S 10)2＝S 10(49－21)， ∴S 10＝7或63.4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n)D ．323(1－2－n )[答案] C[解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14，又a 1·a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－14n]1－14＝323(1－4－n)．二、填空题5．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. [答案] 13(4n－1)[解析] ∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3－1＝2， ∴公比q ＝2.又∵数列{a 2n }也是等比数列，首项为a 21＝1，公比为q 2＝4， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝－4n1－4＝13(4n－1)． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________.[答案] －65[解析] S n ＝－4－4－4＋…＋(－1)n －1(4n －3)，∴S 22＝－4×11＝－44，S 11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，∴S 22－S 11＝－65. 三、解答题7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解析] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2， ∴q ＝1不满足题意． ∴2a 11－q 31－q＝a 1＋a 11－q 21－q，解得q ＝－12.(2)由(1)知q ＝－12，又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3，∴a 1＝4. ∴S n ＝4[1－－12n]1＋12＝83[1－(－12)n]． 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝632.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝72a 11－q 61－q＝632，解得q ＝2，a 1＝12.∴a n ＝a 1qn －1＝2n －2.(2)b n ＝6n －61＋log 22n －2＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7，∴数列{b n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7＝－56n ＋12n (n －1)×7＝72n 2－1192n .。

人教A版高中数学必修五2.5等比数列前n和同步检测.docx

2.5等比数列前n 和同步检测一、选择题1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( )A.218 B ．218- C. 178 D ．178- 答案：A解析：解答：设公比为q ，首项1a ，因为a 5＝－2，a 8＝16，所以4171=-2,16,a q a q ⎧⎪⎨=⎪⎩解得q ＝－2，a 1＝－18.所以S 6＝()6112118a q q -=-.选A.分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2 答案：A解析：解答：设首项1a ，因为S 5＝()5111a q q--，所以()()()511-2=441-2a --，解得a 1＝4，故选A.分析：根据等比数列的等比数列的前n 项和公式，代入即可． 3．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )． A ．4 B ．5C. 45D.15答案：B解析：解答：设公比为q ，首项1a ，当n=1时，a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ， a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知2411555t t ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.故选B.分析：根据等比中项的性质m +n =2p ，则a m a n =a p a p ，，代入即可． 4.已知等比数列｛a n ｝的公比q=31，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于( ) A.100B.90C.60D.40答案：B解析：解答：设公比为q ，首项1a ，因为a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2 +a 4+…+a 100=q （a 1+a 3+a 5+…+a 99）=160302⨯=, a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100=90,故选B.分析：根据数列的连续的奇数项与偶数项的关系，即可解此题．5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．29答案：B解析：解答：设数列{a n }的公比为q ，首项1a ，则a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝43a q ＝16，S 5＝()511311a q q-=-.故选：C分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 6、若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则a 0+a 1+a 2+…+a 9的值为（） A 、2047 B 、1062 C 、1023 D 、531答案：B解析：解答：解：由于a+3a=4a=2×4，解得a=2，故a 0+a 1+a 2+…+a 9=20+21+22+…+29=()()101011121023112a q q--==--．故选C ．故选：C分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 7、等比数列{a n }的前n 项之和为S n ，公比为q ，若S 3=16且112819a q =-，则S 6=（） A 、14 B 、18 C 、102D 、144答案：A解析：解答：因为S 3=16，112819a q =-则()311161a q q-=-，将()112819a q =-代入()311161a q q-=-，化简得3918q -=，解得,1643a =12q =-，所以6664113214112S ⎛⎫⎛⎫⨯-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选A分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 8.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1na }的前5项和为( )A.158或5 B. 3116或5 C. 3116D.158答案：A解析：解答：若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1. 由9S 3＝S 6得()()361111911a q a q qq--⨯=--，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以数列{1na }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为5511123111612s ⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-.故选C. 分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 9、已知{a n }是等比数列，2512,,4a a ==则1223341n n a a a a a a a a +++++=……（） A.16（n --41） B. 16（n --21） C.332（n --41） D. 332（n --21）答案：C解析：解答：由33255212,,24a a a a q q ====，解得12q =，数列{}1n n a a +仍是等比数列：其首项是128,a a =公比为14，所以1223341n n a a a a a a a a +++++=……()181432141314n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--．.故选C.分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 10、在等比数列{a n }中，前7项和S 7=16，又a 12+a 22+…+a 72=128，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+a 7=（） A 、8B 、132C 、6D 、72答案：A解析：解答：∵S 7=()711161a q q-=-，∴a 12+a 22+…+a 72=()2141211a q q --=()()77111111a q a q q q--⋅--=128，即()71181a q q-=-则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+a 7=（a 1﹣a 2）+（a 3﹣a 4）+（a 5﹣a 6）+a 7 =a 1（1﹣q ）+a 1q 2（1﹣q ）+a 1q 4（1﹣q ）+a 1q 6=()()612111a q q q ---+a 1q 6=()71181+a q q+=；故选A分析：把已知的前7项和S 7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列{a n 2}是首项为a 1，公比为q 2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a 12+a 22+…+a 72=128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出()7111+a q q+的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出()7111+a q q+的值代入即可求出值．11、设s n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0则52S S =（）A 、﹣11B 、﹣8C 、5D 、11答案：A解析：解答：设公比为q ，由8a 2+a 5=0，得8a 2+a 2q 3=0，解得q=﹣2，所以5521111S q S q-==--．故选A ．分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 12、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若633,S S =则96SS =（） A 、2 B 、73 C 、83D 、3答案：B解析：解答：设公比为q ，则63633111S q q S q-==+-=3所以q 3=2，所以93962611271123S q S q --===--．故选B ．分析：首先由等比数列的前n 项和公式列方程，并解得q 3，然后再次利用等比数列的前n 项和公式则求得答案．13、在等比数列{a n }（n ∈N *）中，若1411,8a a ==，则该数列的前10项和为（） A 、8122-B 、9122-C 、10122-D 、11122-答案：B解析：解答：设公比为q ，由314411111,,,882a a a a q ====则所以q=，所以10109111221212s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--．故选B ．分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式求前10项和即可．14、在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为s n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则s n 等于（） A 、2n+1﹣2B 、3n 2C 、2nD 、3n ﹣1答案：C解析：解答：因数列{a n }为等比，则a n =2qn ﹣1，因数列{a n +1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n +1）（a n+2+1） ∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2∴a n +a n+2=2a n+1∴a n （1+q 2﹣2q ）=0 ∴q=1,即a n =2，所以s n =2n ，故选C ．分析：根据数列{a n }为等比可设出a n 的通项公式，因数列{a n +1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q ，进而根据等比数列的求和公式求出s n ．15．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3 B.4 C ．5 D.6 答案：C解析：解答：由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝+1m m a a ＝－2，又S m ＝11m a a q q--＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C ．分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式，反求出m 即可．二、填空题16．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，前4项和为40.求数列{a n }的通项公式：答案：a n ＝3n －1解析：解答：解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＝10，前4项和为40，则211231111+10,40,a a q a a q a q a q ⎧=⎪⎨+++=⎪⎩解得11,3,a q =⎧⎨=⎩∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1. ∴等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.分析：先根据等比数列的前n 项和公式，再由等比数列的通项公式求出公比q ，求出a n 即可． 17．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．答案：170解析：解答：S 8－S 4＝q 4·S 4＝24·10＝160，S 8＝170.答案：170 分析：先根据等比数列的前n 项和“片段和”的性质，即可求出s 8即可18．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则该数列的前4项和为__________．答案：30解析：解答：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q＝2，故S 4＝421212⨯--＝30.答案：30分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式即可 19、已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是．答案：(][),13,-∞-+∞U解析：解答：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞U 故答案(][),13,-∞-+∞U ；分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式即可20、等差数列{a n }前n 项和S n ，a 1=2，S 10=110，若()*12=log nn a b n N ∈，则数列{b n }的前n 项和为．答案： 11134n⎛⎫-⎪⎝⎭解析：解答：∵等差数列{a n }中，a 1=2，S 10=110，∴1091021102d ⨯⨯+=，解得d=2，∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，∵()*12=log n n a b n N ∈，21111,,2444n nn b b q ⎛⎫⎛⎫∴==∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭公比 ∴数列{b n }的前n 项和11144114nn T ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=11134n⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：11134n ⎛⎫-⎪⎝⎭．分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．21．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ；答案：依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12(2)若a 1－a 3＝3，求S n .答案：由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝11281=1--13212n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ 解析：分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．22.已知等比数列{a n }满足38312,,8a a ==记其前n 项和为.n S （1）求数列{a n }的通项公式a n ；答案：设等比数列{a n }的公比为q ，因为38312,,8a a ==则2117112,148,32,8a q a q a q ⎧=⎪==⎨=⎪⎩解得，所以1111482n n n a a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭（2）若93,n s n =求答案：93n s =Q ，()1148112196111212n n nna q s q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 由196193,52n n s n ⎡⎤⎛⎫=-==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解得解析：分析：本题考查等比数列的通项公式，求前n 项和，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．23．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13 成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；答案：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋322d⨯＝a 1＋3d ＋6. 所以a 1＝3.因为a 1，a 4，a 13成等比数列，所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2，即3(3＋12d )＝(3＋3d )2. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．答案：由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，21+112122n n n n c c +++=＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝81414n --（）＋n ＝232-83n +＋n .解析：分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．24. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（1）求{}n a 的通项公式；答案：设等差数列{}n a 的公差为d.因为432a a -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？答案：设等比数列{}n b 的公比为q .因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =.所以6b 与数列{}n a 的第63项相等解析：分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.25、已知数列},{n a 定义倒均数是*,11121N n na a a V nn ∈+++=Λ （1）若数列}{n a 的倒均数是21+=n V n ，求数列的通项公式n a 答案：21+=n V n ， 2111121+=+++∴n n a a a n Λ当2≥n 时2)1()1(1112121-+-=+++-n n a a a n Λ即2111221nn a a a n +=++++ΛΛ n a n =∴1 ，11111===∴a n na n 时*)(111N n na a n ∈=∴=∴ （2）若等比数列,,211}{n n V q b 其倒数为公比为的首项为=-问是否存在正整数m ，使得当16,-<≥n V m n 时恒成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由. 答案：∵2111=-=q b }1{nb ∴是首项为－1，公比为2的等比数列nn n b b b V n n n n 2121)21(111121-=---=+++=∴Λ 不等式162116-<--<n V nn 即n n 1612>-∴令1)1(162)1(1162)(1-+-=+--=+n n f n n f n n则162)()1(-=-+nn f n f& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷当)()1(4n f n f n ≤+≤时即0)1()2()3()4()5(<<<<=f f f f f当Λ<<<>+≥)7()6()5()()1(5f f f n f n f n 时又033)6(<-=f 015)7(>=f故当7≥n 时有0)(>n f即1612>-n 恒成立，因此存在正整数m ，使得*)(N n m n ∈≥时16-<n V 恒成立且m 的最小值为7.解析：分析：本题考查数列的通项公式，等比数列前n 和的综合应用，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．。

《等比数列前n项和》同步训练题

实用文档《等比数列前n 项和》同步训练题一、选择题1、已知公比为q ()1≠q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为（） A. nn S q B. n n q S C. 11-n n q S D. 121-n n q a S2、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（）A. b a 81,8B. b a 641,64 C. b a 1281,128 D. b a 2561,2563、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为（）A. 54B. 64C. 3266D. 32604、已知等比数列{}n a 中，132-⨯=n n a ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和为（）A. 13-nB. ()133-nC.()1941-n D. ()1943-n5、若等比数列{}n a 的前n 项和r S n n +=2，则=r （）实用文档A. 2B. 1C. 0D. 1-6、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值为（）A. a 41.1B. a 51.1C. ()a 11.1105-D. ()a 11.1115-7、在等比数列{}n a 中，55,551==S a ，则公比q 等于（）A. 4B. 2C. 2-D. 2-或48、在等比数列中，3,6432321-=++=++a a a a a a ，则=++++76543a a a a a （） A.811 B. 1619 C. 89 D. 43二、填空题9、已知实数c b a ,,成等差数列，4,1,1+++c b a 成等比数列，且15=++c b a 。

求c b a ,,。

实用文档10、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求公比q 。

人教版高中数学必修五等比数列的前n项和同步练习题

课时训练13 等比数列的前n 项和一、等比数列前n 项和公式的应用1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于( )A.31B.33C.35D.37答案:B解析:∵S 5=1,∴a 1(1-25)1-2=1,即a 1=131.∴S 10=a 1(1-210)1-2=33.2.设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A .S n =2a n -1 B .S n =3a n -2 C .S n =4-3a n D .S n =3-2a n答案:D解析:S n =a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q=1-23a n 1-23=3-2a n ,故选D .3.(2015福建厦门高二期末,7)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若27a 2-a 5=0,则S4S 2等于( )A.-27B.10C.27D.80答案:B解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则27a 2-a 2q 3=0,解得q=3,∴S4S 2=a 1(1-q 4)1-q ·1-qa 1(1-q 2)=1+q 2=10.故选B . 4.(2015课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 答案:6解析:∵a n+1=2a n ,即a n+1a n=2, ∴{a n }是以2为公比的等比数列.又a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.5.设数列{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列,则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= .答案:15解析:由数列{a n }首项为1,公比q=-2,则a n =(-2)n-1,a 1=1,a 2=-2,a 3=4,a 4=-8,则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+2+4+8=15.二、等比数列前n 项和性质的应用6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( ) A.180 B.108 C.75 D.63答案:D解析:由性质可得S 7,S 14-S 7,S 21-S 14成等比数列,故(S 14-S 7)2=S 7·(S 21-S 14).又∵S 7=48,S 14=60,∴S 21=63. 7.已知数列{a n },a n =2n ,则1a 1+1a 2+…+1a n= .答案:1-12n解析:由题意得:数列{a n }为首项是2,公比为2的等比数列,由a n =2n ,得到数列{a n }各项为:2,22,…,2n ,所以1a 1+1a 2+…+1a n=12+122+…+12n .所以数列{1an}是首项为12,公比为12的等比数列.则1a 1+1a 2+…+1a n=12+122+…+12n =12[1-(12)n]1-12=1-12n . 8.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n-1=128,S n =126,求n 和q. 解:∵a 2a n-1=a 1a n ,∴a 1a n =128.解方程组{a 1a n =128,a 1+a n =66,得{a 1=64,a n =2,①或{a 1=2,a n =64.②将①代入S n =a 1-a nq 1-q =126,可得q=12,由a n =a 1q n-1,可得n=6. 将②代入S n =a 1-a n q1-q=126,可得q=2,由a n =a 1q n-1可解得n=6. 综上可得,n=6,q=2或12.三、等差、等比数列的综合应用9.已知数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,设c n =a b n ,T n =c 1+c 2+…+c n ,当T n >2 013时,n 的最小值为 ( )A.7B.9C.10D.11答案:C解析:由已知a n =2n-1,b n =2n-1,∴c n =a b n =2×2n-1-1=2n -1.∴T n =c 1+c 2+…+c n =(21+22+…+2n )-n=2×1-2n 1-2-n=2n+1-n-2.∵T n >2 013,∴2n+1-n-2>2 013,解得n ≥10, ∴n 的最小值为10,故选C .10.已知公差不为0的等差数列{a n }满足S 7=77,a 1,a 3,a 11成等比数列. (1)求a n ;(2)若b n =2a n ,求{b n }的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),由S 7=7(a 1+a 7)2=77可得7a 4=77,则a 1+3d=11 ①.因为a 1,a 3,a 11成等比数列,所以a 32=a 1a 11,整理得2d 2=3a 1d.又d ≠0,所以2d=3a 1 ②,联立①②,解得a 1=2,d=3,所以a n =3n-1.(2)因为b n =2a n =23n-1=4·8n-1,所以{b n }是首项为4,公比为8的等比数列. 所以T n =4(1-8n )1-8=23n+2-47.(建议用时:30分钟)1.在等比数列{a n }中,a 1=3,a n =96,S n =189,则n 的值为( )A.5B.4C.6D.7答案:C解析:显然q ≠1,由a n =a 1·q n-1,得96=3×q n-1.又由S n =a 1-a nq 1-q ,得189=3-96q1-q .∴q=2.∴n=6.2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1,S 3,S 2成等差数列,则{a n }的公比等于( ) A.1 B.12C.-12D.1+√52答案:C解析:设等比数列{a n }的公比为q ,由2S 3=S 1+S 2,得2(a 1+a 1q+a 1q 2)=a 1+a 1+a 1q ,整理得2q 2+q=0, 解得q=-12或q=0(舍去).故选C .3.等比数列{a n }中,a 3=3S 2+2,a 4=3S 3+2,则公比q 等于( ) A .2 B .12C .4D .14答案:C解析:a 3=3S 2+2,a 4=3S 3+2,等式两边分别相减得a 4-a 3=3a 3即a 4=4a 3,∴q=4. 4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2=( ) A .11 B .5 C .-8 D .-11答案:D解析:设等比数列的首项为a 1,公比为q ,则8a 1q+a 1q 4=0,解得q=-2.∴S5S 2=a 1(1-q 5)1-q a 1(1-q 2)1-q=1-q 51-q 2=-11.5.设{a n }是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ,Z ,则下列等式中恒成立的是 ( )A.X+Z=2YB.Y (Y-X )=Z (Z-X )C.Y 2=XZD.Y (Y-X )=X (Z-X )答案:D解析:S n =X ,S 2n -S n =Y-X ,S 3n -S 2n =Z-Y ,不妨取等比数列{a n }为a n =2n , 则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列,∴(Y-X )2=X (Z-Y ),整理得D 正确.6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 . 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n =2(1-2n )1-2=2(-1+2n )≥100,∴2n ≥51, ∴n ≥6.7.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1a n}的前5项和为 . 答案:3116解析:易知公比q ≠1.由9S 3=S 6,得9×a 1(1-q 3)1-q=a 1(1-q 6)1-q, 解得q=2.∴{1a n}是首项为1,公比为12的等比数列.∴其前5项和为1-(12)51-12=3116. 8.在等比数列{a n }中,若a 1=12,a 4=-4,则公比q= ;|a 1|+|a 2|+…+|a n |= . 答案:-2 2n-1-12解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以q=-2;等比数列{|a n |}的公比为|q|=2,则|a n |=12×2n-1,所以|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=12(1+2+22+…+2n-1)=12(2n -1)=2n-1-12. 9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=4,a 3+a 4=17. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +2,证明数列{b n }是等比数列并求其前n 项和T n . (1)解:设等差数列{a n }的公差为d.由题意知{a 3+a 4=a 1+2d +a 1+3d =17,a 2=a 1+d =4,解得a 1=1,d=3,∴a n =3n-2(n ∈N *).(2)证明:由题意知,b n =2a n +2=23n (n ∈N *),b n-1=23(n-1)=23n-3(n ∈N *,n ≥2),∴b nb n -1=23n 23n -3=23=8(n ∈N *,n ≥2),又b 1=8,∴{b n }是以b 1=8,公比为8的等比数列.∴T n =8×(1-8n )1-8=87(8n -1).10.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R ),且1a 1,1a 2,1a 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)对n ∈N *,试比较1a 2+1a 22+1a 23+…+1a 2n 与1a 1的大小. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可知(1a 2)2=1a 1·1a 4, 即(a 1+d )2=a 1(a 1+3d ),从而a 1d=d 2, 因为d ≠0,∴d=a 1=a. 故通项公式a n =na. (2)记T n =1a 2+1a 22+…+1a 2n ,因为a2n=2n a,所以T n=1a (12+122+…+12n)=1 a ·12[1-(12)n]1-12=1a[1-(12)n].从而,当a>0时,T n<1a1;当a<0时,T n>1a1.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。

人教版高中数学必修5同步练习,等比数列的前n项和(二)

人教版高中数学同步练习§2.5 等比数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q；当q ＝1时，S n ＝na 1.2n 项和的性质：(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .3．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.2．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1) 答案 D解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158 答案 C解析若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)．5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30 答案 C解析 q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.6．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.aγ(1＋γ)5万元答案 B解析设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.二、填空题 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.8．在等比数列{a n }中，已知S 4＝48，S 8＝60，则S 12＝________________________________________________________________________. 答案 63解析方法一 ∵S 8≠2S 4，∴q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝48 ①a 1(1－q 8)1－q ＝60 ②由②÷①得1＋q 4＝54，∴q 4＝14③将③代入①得a 11－q ＝64，∴S 12＝a 1(1－q 12)1－q＝64(1－143)＝63.方法二因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ，所以S 12＝(S 8－S 4)2S 4＋S 8＝(60－48)248＋60＝63.9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 729解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝3，q ＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝36＝729(只)．10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为________．答案 (1＋q )12－1解析设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂第一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨． 12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n >13，于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >65732.两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg 65732，即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.能力提升13．有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a 解析用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1a，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2，依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1a . 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1＋5.5)2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求a n还是求S n的问题．。

数学：2.5等比数列前n项和(同步练习)

2. 5《等比数列前n 项和》（第二课时）作业1、在等比数列中，3,6432321-=++=++a a a a a a ，则=++++76543a a a a a （） A. 811 B. 1619 C. 89 D. 43 2、在等比数列{}n a 中，55,551==S a ，则公比q 等于（）A. 4B. 2C. 2-D. 2-或43、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值为（）A. a 41.1B. a 51.1C. ()a 11.1105-D. ()a 11.1115-4、若等比数列{}n a 的前n 项和r S n n +=2，则=r （） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1-5、已知等比数列{}n a 中，132-⨯=n n a ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和为（）A. 13-nB. ()133-nC. ()1941-nD. ()1943-n 6、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为（）A. 54B. 64C. 3266D. 3260 7、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（）A. b a 81,8 B. b a 641,64 C. b a 1281,128 D. b a 2561,256 8、已知公比为q ()1≠q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为（）A. nnS q B. n n q S C. 11-n n q S D. 121-n n q a S 9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求公比q 。

10、已知实数c b a ,,成等差数列，4,1,1+++c b a 成等比数列，且15=++c b a 。

高中数学 2.5.1 等比数列前n项和的求解同步训练新人教版必修5

2．5 等比数列的前n 项和 2．5.1 等比数列前n 项和的求解►基础达标1．等比数列{a n }的通项公式是a n ＝n⎛⎫ ⎪⎝⎭12，则前3项和S 3的值为( )A.38B.58C.78D.98解析：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78.故选C.答案：C2．1和4的等差中项和等比中项分别是( )A ．5,2B ．5，－2 C.52，4 D.52，±2解析：1和4的等差中项为1＋42＝52，等比中项为±1×4＝±2.故选D.答案：D3．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A. －6(1－3－10)B.19(1－3－10)C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)答案：C4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案：C5．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．解析：设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17知q ≠1，所以得a 1q 4－1q －1＝1，①a 1q 8－1q －1＝17.②由①、②式得q 8－1q 4－1＝17，整理得q 4＋1＝17，解得q 4＝16.所以q ＝2或q ＝－2.将q ＝2代入①式得a 1＝115，所以a n ＝2n －115；将q ＝－2代入①式得a 1＝－15，所以a n ＝－1n ×2n －15.►巩固提高6．等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B.13(2n －1)C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：令n ＝1得a 1＝1；当n ≥2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，得a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1，两式相减得a n ＝2n －2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n －1)．故选D.答案：D7．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N)，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1)C.27(8n ＋3－1)D.27(8n ＋4－1)解析：依题意，f (n )为首项为2，公比为8的数列的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D.答案：D8．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…前n 项和等于________．解析：数列通项公式为a n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2n ＋1－n －29．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案：(－2)n －110．已知等差数列{a n }及等比数列{b n }，其中b 1＝1，公比q <0，且数列{a n ＋b n }的前三项分别为2、1、4.(1)求a n 及q ；(2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和P n .解析：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 1＋b 1＝2，a 2＋b 2＝1，a 3＋b 3＝4，∴a 1＋1＝2，a 1＋d ＋q ＝1，a 1＋2d ＋q 2＝4.解得：a 1＝1，q ＝－1或3，∵q <0，∴q ＝－1，d ＝1.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)＝n .(2)记数列{a n }及{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则S n ＝na 1＋n n －12d ＝12n (n ＋1)，T n ＝b 11－q n 1－q ＝1－－1n 1－－1＝1－－1n2.当n 为偶数时，T n ＝0；当n 为奇数时，T n ＝1，故当n 为偶数时，P n ＝S n ＝12n (n ＋1)＝12n2＋12n ；当n 为奇数时，P n ＝S n ＋1＝12n (n ＋1)＋1＝12n 2＋12n ＋1.1．在等比数列中，有五个元素：a1，q，n，a n，S n，其中a1与q是两个基本的量，数列中其他各项可以用a1与q表示，由通项公式、前n项和公式及已知条件列出方程及方程组是解决这一类问题的基本方法．2．等比数列求和时小心分公比q＝1与q≠1讨论．3．研究数列时很多时候需要从通项上入手，从第n项是什么着手，这种方法对于解决问题很有好处．。

高一数学等差数列等差数列的前n项和同步达纲练习人教版

数学等差数列等差数列的前n 项和【同步达纲练习】一、选择题1．在等差数列}a {n 中，公差是21，且60a a a 10042=+++ ，则10021a a a +++ 等于( ) A ．120 B ．95 C ．150 D ．1252．设等差数列前n 项和为n S ．400S 100S 2010==，，则30S 等于( )A ．800B ．900C ．1000D ．11003．已知421a a a a ，，，3成等差数列，且41a a 、是方程03x 6x 22=+-的根，则32a a +等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如果f(n ＋1)＝f(n)＋1，且f(100)＝101，那么f(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．45．}a {n 是等差数列，且48a a a a 111032=+++，则76a a +等于( )A ．12B ．16C ．20D ．246．在首项是31，公差是－4的等差数列中，与0最靠近的项是第( )A ．8项B ．9项C ．10项D ．11项7．在等差数列}a {n 中，m a n a n m ==，，则n m a +等于( )A ．m －nB ．m ＋nC ．22n m -D ．08．设x 是a 、b 的等差中项，2x 是22b a -与的等差中项，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －3b ＝0C ．0b a 22=+D ．(a ＋b)²(a －3b)＝0 9．}a {n 中，4a a 32a n 1n 1-==+，，n S 是其前n 项和，则n S 的最大值是( )A ．144B ．148C ．152D ．15610．设M ＝{m|m ＝7n ，n ∈N ，且100<m<200}，则集合M 中所有元素的和是( )A ．2100B ．2101C ．2105D ．2107二、填空题1．已知1＋4＋7＋…＋x ＝117．则x ＝_____________．2．一个等差数列的前4项之和为26，最后4项之和为110，所有项之和为187，则此数列的项数是_____________．3．若a 、b 、c 成等差数列，a ＋b ＋c ＝9，35c b a 222=++，则公差d ＝_____________．4．两个等差数列54321a a a a a ，，，，和654321b b b b b b ，，，，，中21b a =，55b a =，则2346a a b b --＝_____________．5．在等差数列}a {n 中，21a a a 642=++，231a a a 642=⋅⋅，则8a ＝_____________．6．}a {n 是等差数列，10S 100S 10010==，，则110S ＝_____________．7．}a {n 是等差数列，公差是21，且145S 100=，则99531a a a a ++++ ＝_____________． 8．在凸多边形中，各内角的度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，它的边数是_____________．9．在三位数中，7的倍数的数总和是_____________．10．}a {n 是等差数列，5a a a 321=++，10a a a 543=++，则987a a a ++＝_____________．三、问答题1．已知：}a {n 是等差数列．求证：，，，765543321a a a a a a a a a ++++++也是等差数列．2．已知：数列}a {n 的前n 项和2n )a a (S n 1n ⋅+=．求证：}a {n 是等差数列．3．在100和300之间，既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数有多少个？求它们的和．4．}a {n 是等差数列，m1a n 1a n m ==，．n S 是前n 项和，求n m S +．5．在等差数列2，5，8，…，(3n －1)中，每相邻两项间插入3个数，构成新的等差数列．(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？(3)求新数列的通项公式．6．已知数列{2n －14}，求前n 项和的最小值．7．数列}a {n 中，，，，，10987a 654a 32a 1a 4321+++=++=+==求这个数列的通项公式．8．公差为4的等差数列}a {n 中，首项的平方与其余各项的和不大于100．试求该数列最多有多少项？参考答案【同步达纲练习】一、1．B 提示：d 5060a a a 9931⨯-=+++ ． 2．B 提示：注意10S ，1020S S -，2030S S -成等差．3．C 提示：注意3241a a a a +=+ 4．B 5．D 6．B 7．D8．D 提示：消去x ，建立a 、b 关系式．9．A 10．D 提示：求出最小元素和最大元素．二、1．25 提示：x ＝3n －2．2．11 3．d ＝±2 4．38 提示：列出两个数列的公差满足的关系． 5．15或－1 提示：列出1a 和d 的方程．6．－110 7．60 8．4 9．70336 10．20三、1．证明：)a a a ()a a a (1n 2n 21n 23n 22n 21n 2+-+++++-++是常数2．先求出n a ，再证明1n n a a --是常数3．共77个．其和为23217提示：先求出2的倍数的个数及其和；再求出3的倍数的个数及其和；再求出6的倍数的个数及其和． 4．mn2)1n m )(n m (S n m +++=+ 5．(1)45项；(2)8项；(3)45n 43a n +=6．－42 提示：求前6项的和．7．2)1n (n a 2n += 提示：搞清n a 中的第一个数与最后一个数． 8．最多8项。