高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用典题轻松练(1)

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高考数学二轮总复习函数与方程及函数的应用训练试题

常考问题2 函数与方程及函数的应用(建议用时：50分钟)1．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析由题意知即为方程x 2＋2x ＋a ＝0无实数解，即4－4a ＜0，解得a ＞1. 答案 (1，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．解析当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2 x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0. 答案 03．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．解析在同一坐标系内作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f (x )在[0,2π]上有两个零点．答案 24．(2013·苏州模拟)函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．解析函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32. 答案 325．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解析设直角边为40 cm 和60 cm 上的矩形边长分别为x cm 、y cm ，则40－x 40＝y 60，解得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝－32(x －20)2 ＋600，当x ＝20时矩形的面积最大，此时S ＝600.答案 6006．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，(1)g [f (1)]＝________；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0的实数根的个数有4个，则a 的取值范围是________．解析 (1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2；(2)令f (x )＝t ，则g (t )＝a ，要使原方程有4解，则方程f (x )＝t 在t ＜1时有2个不同解，即函数y ＝g (t )，t ＜1与y ＝a 有两个不同的交点，作出函数y ＝g (t )，t ＜1的图象，由图象可知1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )，t ＜1与y ＝a 有两个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. 答案 (1)－2 (2)⎣⎡⎭⎫1，54 7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]＝________.解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e>0，知x 0∈(2，e)， ∴[x 0]＝2.答案 28．(2013·南师附中模拟)如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为________．解析设正方形的边长为a (a ≥1)，当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点G 的轨迹如图，是由半径均为12的四段圆弧、长度均为a －1四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－14π，所以l －S ＝－a 2＋4a ＋54π－4，a ≥1，由二次函数知识得当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4. 答案 5π49．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．10．(2012·苏北四市调研)如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城．设OA＝x km ，OB ＝y km.(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)·sin 30°＝12xy sin 75 °，即22x (2＋6)＋12y (2＋6)＝6＋24xy ，所以y ＝22x x －2(x ＞2)． (2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy ＝3＋12×x 2x －2＝3＋12(x －2＋4x －2＋4)≥3＋12×8＝4(3＋1)．当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2.故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2.11．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )．解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )·(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )·(18＋2a －3x )．令L ′＝0，得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)． ∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283. 在x ＝6＋23a 两侧，L ′的值由正变负．所以①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时， L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )；②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时， L max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝⎝⎛⎭⎫6＋23a －3－a ⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫6＋23a 2 ＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，所以Q (a )＝⎩⎨⎧9(6－a )，3≤a <92，4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，92≤a ≤5.故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝⎛⎭⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3(万元)．。

2021届高三数学二轮复习函数与方程及函数的实际应用专题能力提升训练理

函数与方程及函数的实际应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )．A ．(1.4,2)B ．(1.1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 3．设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数f (x )( )．A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )．A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知0＜a ＜1，函数f (x )＝a x－|log a x |的零点个数为________．7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)________0(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．8．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t－10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 10．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t .11．(12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．参考答案1．B [根据函数的零点存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果，根据函数的零点存在定理得到f (1)·f (2)＜0.故选B.] 2．D [令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－58<0. 故下一步可断定该根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.]3．D [∵f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝13e－ln 1e ＝1＋13e ＞0，f (1)＝13－ln 1＝13＞0， f (e)＝e 3－ln e ＜0，所以f (x )在(1，e)内有零点．]4．B [在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数是2，选B.]5．B [若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80.] 6．解析分别画出函数y ＝a x(0＜a ＜1)与y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的图象，如图所示．答案 27．解析当x ＝x 0时，f (x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 0－log 3x 0＝0，当0＜x 1＜x 0时，f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 1－log 3x 1＞0，如图所示．答案＞8．解析由函数图象知，1＜x 0＜2.答案 19．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12|t －10| ＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧30＋t 40－t ，0≤t ＜10，40－t50－t ，10≤t ≤20.(2)当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时， y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．10．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数． ∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12.(2)∵0≤t ＜10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，∴t ＝15－172；②当6＜t ≤8时，在区间[t,10]上f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8＜t ＜10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小， ∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0，解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172， 8,9满足条件．11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0；所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ；故当f (2)＞0或f (1)＜0时，方程f (x )＝0仅有一个实根．解得a ＜2或a ＞52.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

【把握高考】高三数学二轮复习专题演练1-2-2第二讲函数与方程及函数的应用.pdf

【把握高考】2013届高三数学二轮复习专题演练1-2-2第二讲函数与方程及函数的应用一、选择题 1．(2012年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，所以有1个零点．答案：B 2．(2012年朝阳区模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 解析：由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得00 D．f(x0)的符号不确定解析：函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，若这个函数有零点，则零点是唯一的，根据函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的及a为函数f(x)的零点可知，在(0，a)上，这个函数的函数值小于零，即f(x0)，故实数a的取值范围是0，f()＝－3－1<0，f()·f(2)<0，故下一步可断定该根在区间(，2)内．答案：(，2) 7．函数f(x)＝的零点个数是________．解析：当x<0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)．所以当x<0时，只有一个零点－2；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－1－2＝－20，所以当x>0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点，故填2. 答案：2 8．(2012年长沙模拟)已知函数f(x)＝，则关于x的方程f[f(x)]＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________(把所有满足要求的命题序号都填上)．解析：依题意知函数f(x)>0，又f[f(x)]＝依据y＝f[f(x)]的大致图象(如图)知，存在实数k，使得方程f[f(x)]＋k＝0恰有1个实根；存在实数k，使得方程f[f(x)]＋k＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②.答案：①② 三、解答题 9．已知函数f(x)＝ex＋ln x，g(x)＝e－x＋ln x，h(x)＝e－x－ln x的零点分别是a，b，c.试比较a，b，c的大小．解析：由f(x)＝ex＋ln x＝0，得ex＝－ln x，但x>0，ex>1，故－ln x>1，即ln x<－1，所以00， 0<e－x<1，故0<－ln x<1，即－1<ln x<0，所以<b0， 0<e－x<1，故0<ln x<1，所以1<c<e. 综上可知a<b<c. 10．对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f(x)＝(x2－2)(x－1)(x∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)＝c恰有两个实根，求实数c的取值范围．解析：根据“”的定义知：当x2－2－(x－1)≤1，即：x2－x－2≤0，得：－1≤x≤2，所以当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－2，同理当x2时，f(x)＝x－1，综上可知：f(x)＝. (1)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)在(－∞，－1)，(0，2]，(2，＋∞)上为增函数；在[－1，0]上为减函数． (2)在(1)中图象所在坐标系中作出函数y＝c的图象，结合图象知：当c∈(－2，－1]∪(1，2]时方程有两个实根． 11．建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°，如图所示，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)要最小．(1)求断面外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？ (2)如防洪堤的高限制在[3，2]的范围内，则断面外周长最小为多少米？解析：(1)由等腰梯形的面积，得6＝(AD＋BC)h，因为AD＝BC＋2·＝BC＋h，所以6＝(2BC＋h)h，即BC＝－h. 设外周长为l，则l＝2AB＋BC＝＋－h＝h＋≥6，当且仅当h＝，即h＝时等号成立．故断面外周长的最小值为6 米，此时，堤高h是米． (2)由(1)，知外周长l＝h＋＝(h＋)，h∈[3，2]．设3≤h10，这说明l是h的增函数，所以当h＝3时，l取得最小值，即lmin＝×3＋＝5(米)．。

2024高考高考数学二轮复习小题专练作业十五函数与方程函数的实际应用理

小题专练·作业(十五) 函数与方程、函数的实际应用1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0 B ．－2,0 C ．12D ．0解析当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，因为x >1，所以此时方程无解。

综上函数f (x )的零点只有0。

故选D 。

答案 D2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点。

f (2)＝1－ln1＝1>0，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83。

因为8＝22≈2.828>e，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0。

又f (4)＝12－ln3<0，所以f (x )在(2,3)内存在一个零点。

故选B 。

答案 B3．若函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析因为函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点，所以m ＋log 2x ＝0在x ≥1时有解，所以m ＝－log 2x ≤－log 21＝0。

故选A 。

答案 A4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3×2x－24，0≤x ≤10，－2x －5＋126，10<x ≤20的零点不行能在的区间为( ) A ．(1,4) B ．(3,7) C ．(8,13)D ．(11,18)解析当0≤x ≤10时，f (x )单调递增，又f (3)＝0，所以当0≤x ≤10时，f (x )有唯一零点x ＝3。

高考数学二轮专题升级训练专题二第2讲函数与方程及函数的应用文(含解析)新人教A版

高考数学二轮专题升级训练专题二第 2 讲函数与方程及函数的应用文（含分析）新人教 A版( 时间 :60分钟满分 :100 分 )一、选择题 ( 本大题共 6 小题 , 每题6分, 共 36分)1.函数f ( x) =+a的零点为 1, 则实数a的值为 ()A.- 2B. -C. D.22.已知a是函数f ( x) =2x- lo x的零点 , 若 0<x0<a, 则f ( x0) 的值知足 ()A. f ( x0) =0B. f ( x0) <0C.f ( x0) >0D. f ( x0) 的符号不确立3.函数f ( x) =2x-x-的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.已知A, B两地相距 150 千米 , 某人开汽车以60 千米/时的速度从A地抵达B地, 在B地逗留 1 时后再以50 千米/时的速度返回A地 , 汽车走开A地的距离x( 千米 ) 与时间t ( 时) 之间的函数表达式是()A.x=60tB.x=60t+ 50tC.x=D.x=5. (2013 ·山东淄博模拟,12) 已知函数 f ( x) =( k∈R),若函数 y=|f ( x) |+k 有三个零点,则实数 k 的取值范围是 ()A.k≤ 2B.- 1<k<0C.- 2≤k<- 1D≤2.k-6. 已知 f ( x)是R上最小正周期为 2 的周期函数 , 且当 0≤x<2 时 , f ( x) =x3-x , 则函数y=f ( x) 的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为()A.6B.7C.8D.9二、填空题 ( 本大题共 3小题 , 每题6分,共18分)7 .若函数f( ) log 2(1)-1 的零点是抛物线2的焦点的横坐标 , 则a=.x =x+x=ay8 .设定义域为 R 的函数f() 则对于x的函数22(x)-3f( ) 1 的零点的个数为.x =y= f x +9. 已知 y 与 x( x≤100)之间的部分对应关系以下表:x1111112345y则 x 和 y 可能知足的一个关系式是.三、解答题 ( 本大题共3小题,共 46分. 解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)10. ( 本小题满分15 分) 已知二次函数f ( x) =ax2+bx+c.(1)若 f ( - 1) =0,试判断函数 f ( x)零点的个数;(2)若 ? x , x∈R, 且x <x , f ( x ) ≠f ( x ), 试证明 ? x∈( x , x), 使f ( x ) =[ f ( x ) +f ( x )]建立 .12121201201211. ( 本小题满分15 分) 某食品厂进行蘑菇的精加工, 每千克蘑菇的成本为20 元 , 而且每千克蘑菇的加工费为 t 元( t 为常数,且2≤t ≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25≤ x≤40),依据市场检查 , 销售量q与 e x成反比 , 当每千克蘑菇的出厂价为30元时 , 日销售量为100 千克.(1)求该工厂的每天收益 y 元与每千克蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式;(2) 若t= 5, 当每千克蘑菇的出厂价x 为多少元时,该工厂每天的收益最大?并求最大值.12. ( 本小题满分16 分) 提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况. 在一般状况下,大桥上的车流速度v(单位:千米 / 时)是车流密度x(单位:辆 / 千米)的函数 . 当桥上的车流密度达到200 辆/千米时 , 造成拥塞 , 此时车流速度为0; 当车流密度不超出20 辆/千米时 , 车流速度为60 千米/时 . 研究表示:当20≤ x≤200时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 .(1)当 0≤x≤ 200 时 , 求函数v( x) 的表达式 ;(2) 当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内经过桥上某观察点的车辆数, 单位 : 辆/时) f ( x) =x·v( x) 能够达到最大 , 并求出最大值. ( 精准到 1 辆/时 )##一、选择题 ( 本大题共 6 小题 , 每题 6 分, 共 36 分)1. B分析 : 由已知得 f(1)=0,即 +a=0, 解得 a=-. 应选B.2. B分析 : 分别作出 y=2x与 y=lo x 的图象如图 , 当 0<x0<a 时,y =2x的图象在 y=lo x 图象的下方 ,因此 f(x0)<0.应选.B3. B分析:由f(0)=20-0-< 0,f(1)=2-1-<0,f(2)=22-2->0,依据函数零点性质知函数的一个零点在区间 (1,2) 内 , 应选B.4. D分析:抵达B地需要=2.5小时,因此当0≤t≤ 2.5时,x=60t;当 2.5<t≤ 3.5时 ,x=150;当 3.5<t≤ 6.5时 ,x=150-50(t-3.5).应选 .D5. D分析 : 由 y=|f(x)|+k=0得 |f(x)|=-k≥ 0, 因此 k≤ 0, 作出函数 y=|f(x)|的图象 ,要使 y=-k 与函数 y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥ 2,即k≤ -2,选D.3依据周期函数的性质, 由 f (x) 的最小正周期为2,可知 y=f(x)在[0,6)上有6个零点,又 f(6)=f(3×2)=f(0)=0,因此 y=f(x)的图象在[0,6]上与x轴的交点个数为7.二、填空题 ( 本大题共 3 小题 , 每题 6 分, 共 18 分)7. 分析 : 令 f(x)=log 2(x+1)-1=0,得函数f(x)的零点为x=1, 于是抛物线x=ay2的焦点的坐标是(1,0), 由于 x=ay 2可化为 y2=x, 因此解得 a=.8.7分析:由y=2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,如图 , 画出 f(x) 的图象 , 由 f(x)=知有4个根,由f(x)=1知有3个根,故共有7个零点.9.y(108-x)=2三、解答题 ( 本大题共 3 小题 , 共 46 分. 解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)10. 解 : (1) ∵ f(-1)=0,∴ a-b+c=0,b=a+c.∵Δ =b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2,当 a=c 时 =0, 函数 f(x) 有一个零点 ; 当a≠c 时, >0, 函数 f(x) 有两个零点 .(2) 证明 : 令 g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x 2)],则g(x 1)=f(x 1)-[f(x1)+f(x2)]=,g(x 2)=f(x 2)-[f(x1) +f(x2)]=,12122<0.(f(x12))∴ g(x ) ·g(x)=-[f(x )-f( x )]) ≠ f(x∴ g(x)=0 在 (x,x) 内必有一个实根 , 即? x ∈ (x ,x),12012使 f(x 0)=[f(x 1)+f(x 2)] 建立 . 11. 解 :(1) 设日销量 q=, 则=100,∴k=100e30, ∴日销量 q=,∴y=(25 ≤x≤ 40) .(2) 当 t=5 时 ,y=, y'= ,由 y'>0, 得 x<26, 由 y'<0, 得 x>26,∴y 在[25,26) 上单一递加 , 在 (26,40] 上单一递减 , ∴当 x=26 时,y max=100e4.当每千克蘑菇的出厂价为26 元时 , 该工厂每天的收益最大, 最大值为100 4元 .e12. 解 : (1) 由题意 : 当 0≤ x≤20 时 ,v(x)=60;当 20<x≤ 200 时, 设 v(x)=ax+b.再由已知得解得故函数 v(x) 的表达式为v(x)=(2) 依题意并由 (1) 可得 f(x)=当 0≤x≤ 20 时 ,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;当 20<x≤ 200 时,f(x)=x(200-x)≤,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号建立.因此 , 当 x=100时 ,f(x)在区间 (20,200]上获得最大值 .综上 , 当 x=100时 ,f(x)在区间 [0,200]上获得最大值≈ 3 333,即当车流密度为100 辆/ 千米时 ,车流量能够达到最大, 最大值约为 3 333 辆 / 时.。

【走向高考】高考数学二轮复习微专题强化习题：函数与方程、函数的应用含答案

第一部分一 4一、选择题1．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 [答案] C[解析] 令f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 13，f (1)＝12－1＝－12<0， f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212－⎝⎛⎭⎫1213<0， f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213－⎝⎛⎭⎫1313>0，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫1223－⎝⎛⎭⎫2313＝⎝⎛⎭⎫1413－⎝⎛⎭⎫2313<0， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫13，12内有零点．2．利民工厂某产品的年产量在150t 至250t 之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240B ．200C ．180D ．160 [答案] B[解析] 依题意得每吨的成本是y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t ，选B. 3．(文)(2014·山东理，8)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 作出函数y ＝f (x )的图象如图，当y ＝kx 在l 1位置时，过A (2,1)，∴k ＝12，在l 2位置时与l 3平行，k ＝1，∴12<k <1.(理)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8[答案] B[分析] 函数y ＝f (x )－sin x 的零点转化函数f (x )y ＝f (x )与y ＝sin x 图象交点――→转化f (x )的范围――→函数f (x )的性质确定f ′(x )的正负――→分类讨论(x －π2)·f ′(x )>0. [解析] ∵(x －π2)f ′(x )>0，x ∈(0，π)且x ≠π2，∴当0<x <π2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，π2)上单调递减．当π2<x <π时，f ′(x )>0，f (x )在(π2，π)上单调递增． ∵当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1. ∴当x ∈[π，2π]时，0≤2π－x ≤π. 又f (x )是以2π为最小正周期的偶函数，知f (2π－x )＝f (x )．∴x ∈[π，2π]时，仍有0<f (x )<1.依题意及y ＝f (x )与y ＝sin x 的性质，在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝sin x 的简图．则y ＝f (x )与y ＝sin x 在x ∈[－2π，2π]内有4个交点．故函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]内有4个零点．4．已知a 、b ∈[－1,1]，则函数f (x )＝ax ＋b 在区间(1,2)上存在一个零点的概率为( ) A.12 B.14 C.18 D.116[答案] C[解析] 如图，由图形可知点(a ，b )所在区域的面积S ＝4，满足函数f (x )＝ax ＋b 在区间(1,2)上存在一个零点的点(a ，b )所在区域面积S ′＝12×12×1×2＝12，故所求概率P ＝124＝18.5．(2015·天津理，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，)函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2[答案] D[解析] 考查求函数解析式；函数与方程及数形结合的思想．由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，得f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x <0，所以y ＝f (x )＋f (2－x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |＋x 2，x <0，4－|x |－|2－x |，0≤x ≤2，2－|2－x |＋(x －2)2，x >2，即y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，y ＝f (x )－g (x )＝f (x )＋f (2－x )－b ，所以y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点等价于方程f (x )＋f (2－x )－b ＝0有4个不同的解，即函数y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个公共点，由图象可知74π，x 1、x 2、x 3、x 4、x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ，设两图象交点横坐标从左向右依次为x 1、x 2、x 3、x 4、x 5，由对称性知x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π，又π<x 5<10，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5∈(π，10)．(理)(2014·百校联考)已知f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20132013，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20132013，设函数F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)，且F (x )的零点均在区间[a ，b ](a 0，f (－1)＝1－1－12－13－14－…－12013<0，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2012，当x ≤0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )＝1－(－x )20131＋x ＝1＋x 20131＋x>0，∴f ′(x )>0在R 上恒成立，∴f (x )在R 上为增函数，又f (－1)f (0)<0，∴f (x )只有一个零点，记作x 1，则x 1∈(－1,0)，g (1)＝1－1＋12－13＋…＋12012－12013>0，g (2)＝1－2＋222－233＋…＋220122012－220132013<0，又当x >0时，g ′(x )＝－1＋x －x 2＋x 3＋…－x 2012＝－1·[1－(－x )2013]1＋x ＝－(1＋x 2013)1＋x<0，∴g (x )单调递减，∴g (x )也只有一个零点，记为x 2，x 2∈(1,2)，F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)有两个不同零点x 3、x 4，x 3∈(－4，－3)，x 4∈(5,6)，又F (x )的零点均在区间[a ，b ]内，且a <b ，b ∈Z ，∴当a ＝－4，b ＝6时，b －a 取最小值10.[方法点拨] 1.求f (x )的零点值时，直接令f (x )＝0解方程，当f (x )为分段函数时，要分段列方程组求解；2．已知f (x )在区间[a ，b ]上单调且有零点时，利用f (a )·f (b )<0讨论；3．求f (x )的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点个数，即方程f (x )＝g (x )的解的个数，一般用数形结合法．4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．7．(文)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)[答案] C[解析] f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，若a >0，则f (x )在(－∞，0)和(2a ，＋∞)上单调递增，在(0，2a )上单调递减，又f (0)＝1，∴f (x )不可能存在唯一零点；由选项知a ＝0不必考虑；a <0时，f (x )在(－∞，2a )和(0，＋∞)上单调递减，在(2a ，0)上单调递增，欲使f (x )落在唯一零点x 0>0，应有极小值f (2a)>0，即a ·(2a )3－3·(2a )2＋1>0，∴a <－2.[点评] 可以用验证法求解．(理)现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①[答案] A[解析] ①y ＝x sin x 为偶函数，对应第一个图；②y ＝x cos x 为奇函数，且x >0时，y 可正可负，对应第三个图；③y ＝x |cos x |为奇函数，且x >0时，y >0，对应第四个图；④y ＝x ·2x 为增函数，对应第二个图，故选A.8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 为( )A.192 B ．9 C.172 D.334[答案] C[解析] 由条件知f (－x )＝f (x ) ①，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1) ②，在②式中给x 赋值x ＋1得f (－x )＝－f (x ＋2)，将①代入得f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4.在②中令x ＝0得f (1)＝0，∴方程f (x )＋1＝f (1)，化为f (x )＝－1，由于f (x )的图象关于点(1,0)对称，当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0，∴当1<x <2时，f (x )>0，令f (x )＝－1，(0<x <1)得x ＝12，即f (12)＝－1，∴f (172)＝f (12＋8)＝f (12)＝－1，故选C.9．(文)已知定义在R 上的函数f (x )的对称轴为x ＝－3，且当x ≥－3时，f (x )＝2x －3.若函数f (x )在区间(k －1，k )(k ∈Z )上有零点，则k 的值为( )A ．2或－7B ．2或－8C ．1或－7D ．1或－8 [答案] A[解析] ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝1>0，∴f (x )在(1,2)上有零点，又f (x )的图象关于直线x ＝－3对称，∴f (x )在(－8，－7)上有零点，∴k ＝2或－7.(理)(2015·长沙一模)使得函数f (x )＝15x 2－45x －75(a ≤x ≤b )的值域为[a ，b ](a <b )的实数对(a ，b )有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．无数对 [答案] B[解析] 配方得f (x )＝15(x －2)2－115，当a ≥2时，函数f (x )在区间[a ，b ]上为单调增函数，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a ，f (b )＝b ，即a ，b 是方程f (x )＝x 的两根，方程化简得x 2－9x －7＝0，易知方程不可能存在两个不小于2的实根；当b ≤2时，函数f (x )在区间[a ，b ]上为单调递减函数，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝b ，f (b )＝a ，即⎩⎨⎧15a 2－45a －75＝b ，15b 2－45b －75＝a ，消元化简得a 2＋a －2＝0，∴a ＝－2或a ＝1，代入原方程组解得满足条件的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，即实数对(－2,1)满足条件；当a <20在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >163B ．a ≥163C ．a <163D ．a ≤163[答案] A[解析] 当x ≤0时，函数y ＝－x 与函数y ＝3x 的图象有一个交点，所以函数y ＝f (x )有一个零点；而函数f (x )在其定义域上只有一个零点，所以当x >0时，f (x )没有零点．当x >0时，f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0得x ＝2，所以f (x )在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝a －163>0，解得a >163.故选A.(理)已知定义域为(－1,1]的函数f (x )，对任意x ∈(－1,0]，f (x ＋1)＝11＋f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12][答案] D[解析] ∵x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，又x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1，又f (x ＋1)＝11＋f (x )，∴x ∈(－1,0]时，f (x )＝1x ＋1－1，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ∈[0，1]，1x ＋1－1， x ∈(－1，0).的图象，由于y ＝m (x ＋1)过定点(－1,0)，∴要使y ＝m (x ＋1)与y ＝f (x )的图象有两个交点，应有0<m ≤12，∴选D.11．(文)如果函数y ＝|x |－2的图象与曲线C ：x 2＋λy 2＝4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．{－1,0}C ．(－∞，－1]∪[0,1)D ．[－1,0]∪(1，＋∞)[答案] A[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥0)，－x －2 (x <0).当λ＝1时，曲线C 与圆x 2＋y 2＝4有三个不同公共点，当0<λ<1时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，满足题设要求，当λ>1时，不满足；当λ<0时，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线斜率k ＝－1λ，由题意应有－1λ≥1，∴－1≤λ<0，综上知－1≤λ<1.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤4，x 2－12x ＋34，x >4.若方程f (x )＝t (t ∈R )有四个不同的实数根x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围为( )A ．(30,34)B ．(30,36)C ．(32,34)D ．(32,36)[答案] C[解析] 设四个实数根满足x 1<x 2<x 3<x 4，则易知0<t <2，∴x 1＝2－t ，x 2＝2t ，由(x －6)2－2＝t 得x －6＝±2＋t ，∴x ＝6±2＋t ，∴x 3＝6－2＋t ，x 4＝6＋2＋t ，∴x 1x 2x 3x 4＝2－t ·2t ·[6－2＋t ][6＋2＋t ]＝36－(2＋t )＝34－t ∈(32,34)，故选C.12．(2015·石家庄市质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ∈[0，1)，4－2x ， x ∈[1，2]，若f (x 0)≤32，则x 0的取值范围是( )A ．(log 232，54)B ．(0，log 232]∪[54，＋∞)C ．[0，log 232]∪[54，2]D ．(log 232，1)∪[54，2][答案] C[解析] 利用分段函数建立不等式组求解．f (x 0)≤32⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x 0<1，2x 0≤32或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 0≤2，4－2x 0≤32解得0≤x 0≤log 232或54≤x 0≤2，故选C.二、填空题13．已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．[答案] 7[解析] 易知在(－32，32)内，有f (－1)＝0，f (0)＝0，f (1)＝0，即f (x )在一个周期内有3个零点，又区间[0,6]包含f (x )的2个周期，而两端点都是f (x )的零点，故f (x )在[0,6]内有7个零点．14．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)．若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.[答案] 1[解析] 由函数图象知，1<x 0<2，∴n ＝1..15．(文)函数f (x )对一切实数x 都满足f (12＋x )＝f (12－x )，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．[答案] 32[解析] 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.(理)已知f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 等于________．[答案] －1[解析] ∵2a ＝3,3b ＝2，∴a ＝log 23，b ＝log 32， ∴f (－1)＝a －1－1－b ＝log 32－1－log 32＝－1<0， f (0)＝a 0－b ＝1－log 32>0， ∴f (x )在(－1,0)内存在零点，又f (x )为增函数，∴f (x )在(－1,0)内只有一个零点，∴n ＝－1. 三、解答题16．(文)设函数f (x )＝13x 3＋a －12x 2－ax ＋a ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝0在(0,2)内恰有两个实数根，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在[t ，t ＋3](t ∈(－3，－2))上的最大值为H (t )，最小值为h (t )，记g (t )＝H (t )－h (t )，求函数g (t )的最小值．[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x －a ＝(x ＋a )(x －1)，令f ′(x )＝0得，x 1＝1，x 2＝－a <0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，从而方程f (x )＝0在区间(0,2)内恰有两个实数根等价于f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0，13)．(3)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－x ＋1，由(1)知f (x )在(－3，－1)上单调递增，(－1,1)上单调递减．所以，当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，所以f (x )在[t ，－1]上单调递增，[－1，t ＋3]上单调递减，因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值H (t )＝f (－1)＝53，而最小值h (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．∵f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故h (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )，而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝13，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝53－13＝43.即函数g (x )在区间[－3，－2]上的最小值为43.(理)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a 、b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．[解析] (1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝1x ＋2ax ＋b .因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值，f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0.当a ＝1时，b ＝－3，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x， f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为(0，12)和(1，＋∞)，单调递减区间为(12，1)． (2)因为f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x，令f ′(x )＝0得，x 1＝1，x 2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1，当12a<0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2，当a >0时，x 2＝12a>0，当12a <1时，f (x )在(0，12a )上单调递增，(12a，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a或x ＝e 处取得，而f (12a )＝ln 12a ＋a (12a )2－(2a ＋1)·12a ＝ln 12a －14a－1<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2；当1≤12a <e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，(1，12a )上单调递减，(12a，e)上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1<x 2＝12a <e 矛盾；当x 2＝12a≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)<0，矛盾．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.。

高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用典题轻松练

函数与方程及函数的应用一、选择题1．(2013·济南模拟)函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2图象的交点为(a ，b )，则a 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1－2＝－1＜0，f (2)＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，从而f (1) f (2)＜0，故选B.【答案】 B2．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零【解析】当x >0时，f (x )＝(15)x－log 3x 是减函数，又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0. 【答案】 C3．(2013·广州模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )．其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】 ∵2a＝3,3b＝2，∴a >1,00，∴f (x )在(－1,0)内有唯一零点，取n ＝－1. 【答案】 B4．(2013·黄冈模拟)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【解析】对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0；又f (1)＝sin π＝0；再由T ＝3，∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0；f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0；f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0；f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (2)＝－f (－2)＝0；f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6，共9个，故选D.【答案】 D5．(2013·烟台模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，－1＜x ≤0，f x －＋1， x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －2B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n－2【解析】 g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x －1＜x ≤0，f x －－x ＋1 x ＞0，当－1＜x ≤0时，由x 3－x ＝0得x ＝0，则x ＝0是函数g (x )的一个零点．当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，则g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝(x －1)3－x ＋1 令g (x )＝0，即(x －1)3－(x －1)＝0得x ＝1，即x ＝1是函数g (x )的一个零点当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，－1＜x －2≤0，g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝f (x －2)－x ＋2＝(x －2)3－(x －2)令g (x )＝0，即(x －2)3－(x －2)＝0得x ＝2，即x ＝2是函数g (x )的一个零点同理可依次得到函数的零点分别为4,5,6…，故选C. 【答案】 C 二、填空题 6．若函数f (x )＝2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝0，得m ＝(12)|x －1|，∵|x －1|≥0，∴0<(12)|x －1|≤1，即0<m ≤1.【答案】 (0,1]7．(2013·宜昌模拟)在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗＝加满油后已行驶距离，可继续行驶距离＝汽车剩余油量当前油耗平均油耗＝指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在10：00～11：00这一小时内________(填上所有正确判断的序号)．①行驶了80公里； ②行驶不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时．【解析】实际用油为7.38(升)，行驶距离＜7.38÷9.6×100＝76.875(公里)，所以①错误，②正确．设L 为已用油量，ΔL 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，ΔS 为一个小时内已行驶的距离⎩⎪⎨⎪⎧L S ＝9.5，L ＋ΔLS ＋ΔS ＝9.6，得L ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS,9.5S ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS ，ΔL ＝0.1S ＋9.6ΔS ，ΔL ΔS ＝0.1S ΔS ＋9.6＞9.6.所以③正确，④错误．⑤由②知错误．【答案】 ②③8．(2013·苏州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．【解析】由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．【答案】 7 三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数． (1)∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由f (2)<0，f (3)>0. ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f (52)＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0，∴x 0∈(52，3)．取x 2＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e 12>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0， ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114且|114－52|＝14≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【解】 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e2x时取等号．∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e. 因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. ∴当m ∈[2e ，＋∞)时，g (x )＝m 有零点． (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其对称轴x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2. 若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点．必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1. 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资利益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．【解】 (1)对于模型y ＝f (x )＝x150＋2，当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数．f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9， ∴f (x )≤9恒成立．但当x ＝10时，f (10)＝115＋2>105，不满足f (x )≤x5.故函数模型y ＝x150＋2不符合公司要求．(2)对于模型y ＝g (x )＝10x －3a x ＋2＝10－3a ＋20x ＋2.当3a ＋20>0，即a >－203时函数递增，为使g (x )≤9对于x ∈[10,1 000]恒成立，即要g (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，即a ≥9823.为使g (x )≤x5对于x ∈[10,1 000]恒成立，即要10x －3a x ＋2≤x 5，即x 2－48x ＋15a ≥0恒成立．即(x －24)2＋15a －576≥0(x ∈[10,1 000])恒成立．又24∈[10,1 000]，故只需15a －576≥0即可，所以a ≥1925.综上，a ≥1925，故最小的正整数a 的值为39.。

(典型题高考数学二轮复习知识点总结函数与方程及函数的应用(K12教育文档)

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函数与方程及函数的应用1．函数的零点与方程的根(1）函数的零点对于函数f（x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F（x）＝f(x）－g(x）的零点就是方程f(x)＝g（x）的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g（x)的图象交点的横坐标．(3）零点存在性定理如果函数y＝f(x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f（b)<0，那么，函数y＝f(x）在区间(a，b)内有零点,即存在c∈(a，b）使得f（c）＝0，这个c 也就是方程f（x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时,也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么,求什么，从中提炼出相应的数学问题;(2）数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；（3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答。

2021-2022年高三数学二轮复习 1-1-3函数与方程及函数的实际应用同步练习理人教版

2021-2022年高三数学二轮复习 1-1-3函数与方程及函数的实际应用同步练习理人教版班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(xx·西安五校第一次模拟考试)“a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：当a <－2时，由f (x )＝ax ＋3＝0，得x ＝－3a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32⊆[－1,2]；由函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0，得x 0＝－3a∈[－1,2]，此时a <－2可能不成立，可能有a ＝3.因此，“a <－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0”的充分非必要条件，故选A.答案：A2．(xx·山东省原创卷八)已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，正实数a ，b ，c 成公差为正数的等差数列，且满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，则x 0与c 的大小关系是( )A ．x 0<cB ．x 0>cC ．x 0≤cD ．x 0≥c解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别画出函数g (x )＝(13)x和h (x )＝log 2x 的图象，由题意知0<a 0D ．f (x 0)的符号不确定解析：f (x )在(0，＋∞)上是增函数且f (a )＝0，又0<x 0<a ，所以f (x 0)<0. 答案：B4．(xx·山东省高考调研卷)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围为( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)解析：依题意得f (1)f (2)<0⇔(a ＋b －1)(4a ＋2b －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<04a ＋2b －1>0a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>04a ＋2b －1<0a >0(不合题意，舍去)，满足不等式组的区域如图阴影部分所示(不包括边界)．令z ＝a －b ，即b ＝a －z .当它经过两直线⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1＝0a ＝0的交点A (0,1)时，－z 取得最大值，即－z max ＝1，即z ≥－1.又不等式组的区域不包括边界，所以z >－1.也就是a －b >－1，故选A.答案：A5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：函数周期为2，画出y 1＝log 4|x |与y 2＝f (x )在(0，＋∞)上的大致图象，又y ＝f (x )－log 4|x |为偶函数，可得答案选D.答案：D6．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续的，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为( )A ．(a ，b )B ．(a ，x 0)C ．(x 0，b )D ．不能确定解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0，则取其对应的端点(a ，x 0)为新的区间．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(xx·聊城模拟(一))若函数f (x )＝e x－a －2x恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f(x)＝e x－a－2x ＝0，得e x＝a＋2x，设y1＝e x，y2＝a＋2x，分别作出y1、y2的图象，观察图象可知a≤0时，两图象只有一个交点．答案：a≤08．(xx·扬州市四星级高中4月联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是________．解析：令y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，y4＝－x，图象如图，则a<c<b.答案：a<c<b9．(xx·大联考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：①高峰时段用电量50及以下部分：50×0.568＝28.4(元)；②高峰时段用电量50～200的部分：150×0.598＝89.7(元)；③低谷时段用电量50及以下的部分：50×0.288＝14.4(元)；④低谷时段用电量50～200的部分：50×0.318＝15.9(元)；∴共用28.4＋89.7＋14.4＋15.9＝148.4(元)．答案：148.410．已知函数f(x)＝a x＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.解析：f(x)＝a x＋x－b的零点x0就是方程a x＝－x＋b的根．设y1＝a x，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝1a＝log32<y2＝1＋b＝1＋log32，∴－1<x0<0，∴n＝－1.答案：－1三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)若a ＝3，求方程f (x )＝0的正根(精确到0.01)．分析：(1)可利用定义证明；(2)利用二分法确定方程的根．单调性的定义证明增函数→方程的根即函数的零点→二分法求函数零点的近似值解：(1)证明：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，又a >1，∴ax 2－ax 1>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0. 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知，当a ＝3时，f (x )＝3x＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上为增函数，且在(0，＋∞)上单调递增，因此f (x )＝0的正根至多有一个，以下用二分法求这一正根：由于f (0)＝－1<0，f (1)＝52>0，取[0,1]为初始区间，用二分法逐次计算．列表如下：区间中点中点函数值 [0,1] 0.5 0.732 [0,0.5] 0.25 －0.084 [0.25,0.5] 0.375 0.322 [0.25,0.375] 0.3125 0.124[0.25,0.3125]0.281250.021[0.25,0.28125] 0.2656 －0.032由于区间0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.点评：(1)用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．(2)用二分法求函数零点的近似值x 0，要求精确度为ε，即零点的近似值x 0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x 0的选取有以下方法：①若区间(a ，b )使|a －b |<ε，则因零点值α∈(a ，b )，所以a (或b )与真值α满足|a －α|<ε或|b －α|<ε，所以只需取零点近似值x 0＝a (或b )；②若区间[a n ，b n ]使|a n －b n |<2ε，取零点近似值x 0＝a n ＋b n2，则|x 0－α|<12|a n －b n |<ε.12．(13分)某汽车生产企业上xx 生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本xx 为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本xx 的年利润比上xx 有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)年销售量关于x 的函数为y ＝3240(－x 2＋2x ＋53)，则当x 为何值时，本xx 的年利润最大？最大利润为多少？解：(1)由题意得，上xx 的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本xx 每辆车的投入成本为10(1＋x )；本xx 每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )；本xx 年销售量为5000(1＋0.4x )，因此本xx 的利润为y ＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·5000(1＋0.4x )＝(3－0.9x )·5000(1＋0.4x )＝－1800x 2＋1500x ＋15000(0<x <1)，由－1800x 2＋1500x ＋15000>15000，解得0<x <56，x 在此范围内，本xx 的年利润比上xx 有所增加．(2)本xx 的利润为f (x )＝(3－0.9x )·3240(－x 2＋2x ＋53)＝3240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)．则f ′(x )＝3240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3，当x ∈(0，59)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(59，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．∴当x＝59时，f (x )取极大值f (59)＝xx0万元，∵f (x )在 (0,1)上只有一个极大值，∴它是最大值，∴当x ＝59时，本xx 的年利润最大，最大利润为xx0万元．]n21502 53FE 叾34282 85EA 藪b O33027 8103 脃27946 6D2A 洪{37769 9389 鎉37323 91CB 釋33304 8218 舘1;。

高考数学专题复习-2.6函数与方程及函数的综合应用-模拟练习题(附答案)

2.6函数与方程及函数的综合应用基础篇考点一函数的零点1.(2023届皖优联盟阶段测试一,4)函数f(x)=x-1-4x+4存在零点的一个区间是()A.0,B.1C. D.2答案C2.(2021吉林延边期末,4)某同学用二分法求方程2x+5x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,设f(x)=2x+5x-8,且计算f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)>0,则该同学下次应计算的函数值为() A.f(0.5) B.f(1.125)C.f(1.25)D.f(1.75)答案C3.(2022哈尔滨呼兰一中检测(二),5)函数f(x)=log2x()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C4.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R上的函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x),(x-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)·f(1)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内() A.没有零点 B.有且仅有1个零点C.至少有2个零点D.可能有无数个零点答案B5.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=e,≤0,lns>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是() A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C6.(2021合肥质监(一),8)设函数f(x)=log2,>0,−s≤0.当∈−4,,方程f(x+1)=k 有唯一解,则实数k的取值范围为() A.(0,3) B.[1,3)C.(0,2)D.[1,2)答案B考点二函数模型及其应用1.(2020课标Ⅲ,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=1+e−0.23(K53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)() A.60 B.63 C.66 D.69答案C2.(2022北京,7,4分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态答案D3.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:1(rp2+22=(R+r)13.设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+p2≈3α3,则r的近似值为()D.答案D4.(2022吉林白山模拟,8)有这样一种说法:一张矩形纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离,但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当厚度超过纸张的长边长时,便不能继续对折了.将一张长边为a,厚度为x的矩形纸沿两个方向不断对折,经过两次对折,长边变为12a,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n满足关系:n≤log.根据以上信息,一张长为40cm,厚度为0.01mm的矩形纸经过对折后的厚度的最大值约为(lg2≈0.3)() A.1.28cm B.2.56cmC.12.8cmD.25.6cm答案B5.(2023届河南名校联考,6)二叉树是计算机中数据结构的一种,是树形结构的一个重要类型,许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式,形式如图,其中节点是包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息,树中所有节点层次的最大值称为树的高度,经实验验证,节点数与树的高度呈指数关系,二叉树的高度h与节点数x的关系为x=eℎ+4.13.6,若经测算,一个二叉树的节点大约有800个,则二叉树的高度约为(ln2≈0.7,ln5≈1.6,结果保留整数)A.14B.16C.18D.20答案D6.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-op−op K的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案①②③综合篇考法一判断函数零点所在区间和零点的个数1.(2022四川攀枝花统考一,7)方程f(x)=f'(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”.如果函数g(x)=ln x+2的“新驻点”为a,那么a的取值范围是()A.0,B.1C. D.2答案B2.(2022兰州西北师大附中期中,12)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)-1,则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1答案B3.(2021东北三省四市教研联合体二模,11)若函数f(x)1|,<2,≥2,则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为() A.3 B.4 C.5 D.6答案B4.(2023届赣南五校期中,14)函数f(x)=e x-x-6的零点所在区间为(n,n+1)(n∈N),则n=.答案25.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时,f(x)恰有2个零点;②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是.答案①②④考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)1.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案C2.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)=3,≥0,−s<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.−∞,−(22,+∞)B.−∞,−(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22)D.(-∞,0)∪(22,+∞)答案D3.(2023届皖优联盟阶段测试一,11)已知函数f(x)3(+1)|,−1<<8,2−10+50,≥8,若函数g(x)=f(x)-a恰好有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则11+12+x3x4的取值范围是() A.(97,101) B.(95,99)C.[97,101)D.[95,99)答案B4.(2019浙江,9,4分)设a,b∈R,函数f(x)<0,3−12(+1)2+B,≥0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则() A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0答案C5.(2022安徽滁州二模,12)已知函数f(x)=ln2,关于x的不等式1-op>0的解集中有且只有一个整数,则实数a的范围是()ln2 B.ln2 D.答案B6.(2023届四川绵阳诊断一,16)已知函数f(x)=2−2−3,≥s−2,<s若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是.答案(-2,1)7.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=−4,≥s2−4+3,<u当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)8.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=1−(−1)2,g(x)=o+2),0<≤1,−12,1<≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案专题综合检测一、选择题1.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,2)下列命题中,错误的命题有()A.函数f(x)=x与g(x)=()2不是同一个函数B.命题“∃x0∈[0,1],02+x0≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”C.设函数f(x)=2+2,<0,2,≥0,则f(x)在R上单调递增D.设x,y∈R,则“x<y”是“(x-y)·y2<0”的必要不充分条件答案C2.(2022湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x-1|)的定义域为() A.(-∞,1) B.(-1,1)C.(0,+∞)D.[0,1)答案A3.(2021陕西宝鸡一模,4)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数.请你估算264大致所在的范围是() (参考数据:lg2=0.30,lg3=0.48)A.(1012,1013)B.(1019,1020)C.(1020,1021)D.(1030,1031)答案B4.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=1+log2(2−p,<1,2K1,≥1,则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6C.9D.12答案C5.(2022昆明第一中学检测,4)给出下列三个条件:①函数是奇函数;②函数的值域为R;③函数图象经过第一象限.则下列函数中满足上述三个条件的是()A.f(x)=14B.f(x)=x+1C.f(x)=sin xD.f(x)=2x-2-x答案D6.(2022安徽江南十校一模,3)已知函数f(x)=2|x|,a=f(log0.53),b=f(log45),c=f则()A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b答案B7.(2021全国Ⅰ卷地区联考,6)函数f(x)=4r2+12的图象关于()A.点(-2,0)对称B.直线x=-2对称C.点(2,0)对称D.直线x=2对称答案B8.(2023届内蒙古赤峰二中月考,7)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时, f(x)=x++1.若函数y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为3,则实数a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4答案D9.(2019课标Ⅲ,7,5分)函数y=232+2−在[-6,6]的图象大致为()答案B10.(2022湖南名校10月联考,7)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,则()A.f(x)的最小值为2B.∃x ∈R ,22+4r3op >2C.f (x )的最大值为2D.∀x ∈R ,22+4r5op>2答案D11.(2016课标Ⅱ,12,5分)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =r1与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑=mi 1(x i +y i )=()A.0B.mC.2mD.4m答案B12.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R ,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221k f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A13.(2022全国乙,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221k ∑=221k f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 二、填空题14.(2023届甘肃武威凉州诊断二,14)[(-2)2]12++4log 22+log 24=.答案1215.(2015山东,14,5分)已知函数f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =.答案-3216.(2023届山西临汾期中,14)函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=f(2-x),f(-x2)=-f(x2+2),当x∈[0,4)时,f(x)=sin则=.答案1217.(2016山东,15,5分)已知函数f(x),≤s2−2B+4s>s其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)18.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=−B+1,<s(−2)2,≥u若f(x)存在最小值,则a的一个取值为;a的最大值为.答案12([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);119.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=+4−+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是.答案−∞,三、解答题20.(2023届甘肃武威凉州诊断二,22)新冠肺炎疫情发生以后,口罩供不应求,某口罩厂日夜加班生产,为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元,每生产x万箱,需另投入成本p(x)万元,当产量不足60万箱时,p(x)=12x2+50x;当产量不小于60万箱时,p(x)=101x+6400-1860,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式;(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得利润最大?解析(1)当0<x<60时,y=100x2+50−400=−12x2+50x-400.当x≥60时,y=100x-101+6400−1860−400=1460−+所以y=−122+50<<60,1460−+,≥60.(2)当0<x<60时,y=-12y+50−400=−12(x-50)2+850,当x=50时,y取得最大值,最大值为850万元.当x≥60时,y=1460-≤1460−300,当且仅当x=6400,即x=80时,y 取得最大值,最大值为1300万元.综上,当产量为80万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1300万元.21.(2023届河南部分重点中学测试,21)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=log2(2x+1)-kx,g(x)=f(x)+2x.(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设h(x)=x2-2mx+5,若存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),求实数m的取值范围.解析(1)由f(x)是定义在R上的偶函数可知log2(2-x+1)+kx-log2(2x+1)+kx=0,即-2kx=log22−+12+1=-x,所以k=12,故f(x)=log2(2x+1)-12x.(2)由(1)知,g(x)=f(x)+2x=log2(2x+1)+32x,易知g(x)在R上单调递增,所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立等价于4x-a·2x+1>-15,即a<4+162恒成立.又4+162=2+162≥8,当且仅当x=2时,等号成立,所以a<8,即实数a的取值范围是(-∞,8).(3)因为存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值.因为g(x)=log2(2x+1)+32x在[0,2]上单调递增,所以当x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1.函数h(x)=x2-2mx+5图象的对称轴为直线x=m,x∈[1,4].当m≤1时,h(x)在[1,4]上单调递增,h(x)min=h(1)=6-2m≥1,解得m≤52,所以m≤1;当1<m<4时,h(x)在[1,m)上单调递减,在[m,4]上单调递增,h(x)min=h(m)=5-m2≥1,解得1<m≤2;当m≥4时,h(x)在[1,4]上单调递减,h(x)min=h(4)=21-8m≥1,解得m≤52.所以m∈⌀.综上,实数m的取值范围是(-∞,2].。

高三数学二轮复习必考问题专项突破2 函数与方程及函数的实际应用理试题

题2 函数与方程及函数的实际应用创作人：历恰面日期： 2020年1月1日1．(2021·)函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )．A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案：B [由f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0及零点定理，知f (x )的零点在区间(－1,0)上．]2．(2021·)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C [令x cos x 2＝0，那么x ＝0，或者x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝ k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，一共有6个零点．]3．(2021·)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B [因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1＜0，f (1)＝12＞0，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域内有唯一零点，选B.]4．(2021·)某消费厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该消费厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析 ∵y ＝f (x )＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81.令y ′＝0，得x ＝9，x ＝－9(舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0，函数f (x )单调递增；当x ＞9时，y ′＜0，函数f (x )单调递减．故当x ＝9时，y 取最大值．答案 9高考对本局部的考察有： (1)①确定函数零点； ②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或者取值范围． (2)函数简单性质的综合考察．函数的实际应用问题． (3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考察．利用函数性质解决相关的最值．题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考察相应函数的图象和性质，主观题考察较为综合，在考察函数的零点、方程根的根底上，又注重考察函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．1．二次函数图象是连接三个“二次〞的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、纯熟掌握．2．关于零点问题，要学会分析转化，可以把与之有关的不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题．3．函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，重点放在信息整理与建模上.必备知识零点存在性定理假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．在处理二次函数问题时，要注意f(x)的几种常见表达形式(1)y＝ax2＋bx＋c；(2)y＝a(x－x1)(x－x2)；(3)y＝a(x－h)2＋k.应根据题目的特点灵敏选用上述表达式．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反应检验答题与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．必备方法1．在求方程解的个数或者者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是根本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，x∈[p，q]的最值问题实际上是研究函数在[p，q]上的单调性．常用方法：(1)注意是“轴动区间定〞，还是“轴定区间动〞，找出分类的HY；(2)利用导数知识，最值可以在端点和驻点处寻找．3．f(x)≥0在[p，q]上恒成立问题，等价于f(x)min≥0，x∈[p，q]．函数零点的判断常考察：①根据函数解析式判断零点所在的区间；②根据函数解析式求零点的个数问题．可采用零点断定定理、数形结合法求解，高考命题有加强的趋势，难度中档偏下．【例1】►(2021·)函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内( )．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点[审题视点][听课记录][审题视点] 将问题转化为判断y＝x与y＝cos x的交点个数．B [在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cos x的图象，如图，由于x＞1时，y ＝x＞1，y＝cos x≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x－cos x＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内只有一个零点．]确定函数零点的常用方法：①解方程断定法，假设方程易求解时用此法；②零点存在的断定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识；③数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解．【打破训练1】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C [当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数有两个零点，选C.]函数思想的应用函数思想在高考中并不单独考察，而往往与导数结合命制压轴性大题，试题围绕二次函数、二次方程及二次不等式的关系展开，解题的关键是从判别式、韦达定理、对称轴、开口方向等方面去考虑结论成立的所有条件，难度较大．【例2】► 二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)假设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，试证明f (x )＝0必有两个实根；(2)假设对x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两不等实根，且必有一个实根属于(x 1，x 2)．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)将条件b ＝－(a ＋c )代入f (x )＝0后，再对f (x )＝0分解因式求根．(2)利用函数与方程的思想构造函数f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，利用函数零点断定定理可知函数在(x 1，x 2)有一零点．证明 (1)假设a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，那么a ＞0，c ＜0，且b ＝－(a ＋c )，所以方程f (x )＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，即a (x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －c a ＝0，那么f (x )＝0有两根x 1＝1，x 2＝c a. (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，g (x 1)＝12[f (x 1)－f (x 2)]，g (x 2)＝12[f (x 2)－f (x 1)]，且x 1＜x 2，f (x 1)≠f (x 2)，所以g (x 1)g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2＜0，即函数g (x )在区间(x 1，x 2)内有零点，那么方程g (x )＝0有一实根属于(x 1，x 2)，由二次函数的性质可知必有另一实根．二次函数问题通常利用二次方程、二次不等式之间的关系来处理，从而使方程问题函数化，函数问题方程化，表达了函数与方程的思想．【打破训练2】 a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，假如函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，务实数a 的取值范围．解当a ＝0时，f (x )＝2x －3，其零点x ＝32不在区间[－1,1]上．当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况： ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ≥0，f －1f 1＝a －5a －1≤0，或者⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＝0，－1≤－12a ≤1.解得1≤a ≤5或者a ＝－3＋72.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝8a 2＋24a ＋4＞0，－1＜－12a ＜1，f 1≥0，f －1≥0或者⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝8a 2＋24a ＋4＞0，－1＜－12a＜1，f 1≤0，f －1≤0，解得a ≥5或者a ＜－3＋72.综上所述，假如函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－3＋72∪[1，＋∞)．函数与方程的综合应用函数综合题的求解往往运用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法将题目逐步化归为根本问题来解决．【例3】► 二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处获得极小值m －1(m ≠0)，设函数f (x )＝g xx. (1)假设曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的间隔的最小值为2，求m 的值； (2)当k (k ∈R )取何值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)利用条件用含m 的式子表示f (x )，再结合点P 到点Q 的最值，利用根本不等式求m 值．(2)将转化为f (x )－kx ＝0，进而求其根，需要根据解题对k ，m 分类讨论．解 (1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，那么g ′(x )＝2ax ＋b ；又y ＝g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行，∴2a ＝2，a ＝1，又g (x )在x ＝－1处获得极小值， ∴g ′(－1)＝0，b ＝2.∴g (－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，∴c ＝m .f (x )＝g x x ＝x ＋m x＋2，设P (x 0，y 0)，那么|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋m x2＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m .∴22m 2＋2m ＝2，∴m ＝2－1或者－2－1.(2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋m x＋2＝0，得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0.当k ＝1时，方程(*)有一个解x ＝－m2，故函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m2，(*)当k ≠1时，方程(*)有两解⇔Δ＝4－4m (1－k )＞0，假设m ＞0，那么k ＞1－1m，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k21－k＝1±1－m 1－kk －1；假设m ＜0，那么k ＜1－1m，故函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m 1－k21－k＝1±1－m 1－kk －1；当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝1k －1.综上：当k ＝1时，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m2；当k ＞1－1m (m ＞0)，或者k ＜1－1m(m ＜0)时，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝1±1－m 1－kk －1；当k ＝1－1m 时，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝1k －1.此题考察了函数的零点、最值、一元二次方程等根底知识，运用导数研究函数的性质的方法，表达了函数与方程，分类与整体的数学思想方法．【打破训练3】 (2021·)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，x －13，x ＜2，假设关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________．解析作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0＜k ＜1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所务实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)函数模型及其应用该类试题以实际生活为背景，通过巧妙设计和整合命制，试题常与函数解析式的求法、函数最值、不等式、导数等知识交汇，多以求最值为高考考向．这类题目对学生的阅读、审题才能、建模才能提出了较高的要求．【例4】► (2021·)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速挪动，速度为v (v >0)，雨速沿E 挪动方向的分速度为c (c ∈R )．E 挪动时单位时间是内的淋雨量包括两局部：①P 或者P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 挪动过程中的总淋雨量．当挪动间隔 d ＝100，面积S ＝32时．(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定挪动速度v ，使总淋雨量y 最少．[审题视点][听课记录] [审题视点] 先求E 挪动时单位时间是内的淋雨量(分两局部：一是P 或者P 的平行面；二是其他面的淋雨量之和)．再分0＜v ≤c 或者c ＜v ≤10两种情况，利用函数的单调性求解．解 (1)由题意知，E 挪动时单位时间是内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0＜v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v －15；当c ＜v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v ＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53c ＋10v －15，0＜v ≤c ，510－3c v ＋15，c ＜v ≤10.①当0＜c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2. ②当103＜c ≤5时，在(0，c ]上y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c. (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字表达比拟长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、根本不等式法及导数法．【打破训练4】 (2021·东北三校二模)一家公司消费某种品牌服装的年固定本钱为10万元，每消费1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内消费该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的消费中所获得的年利润最大．(注：年利润＝年销售收入－年总本钱)解 (1)当0＜x ≤10时，W ＝xR (xxx －x 330－10；当x ＞10时，W ＝xR (xx )＝98－1 0003xx ， ∴W ＝错误!(2)①当0＜x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9. 当x ∈(0,9)时，W ′＞0；当x ∈(9,10]时，W ′＜0，∴当x ＝9时，W 获得最大值，即W m ax ＝8.1×9－130×93－10＝38.6. ②当x ＞10时，W ＝98－错误!≤98－2 错误!＝38，当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W 获得最大值38. 综合①②知：当x ＝9时，W 获得最大值38.6，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的消费中所获的年利润最大．利用导数来研究函数的零点问题利用导数可判断函数图象的变化趋势及单调性，而函数的单调性往往与方程的解交汇命题．因此，可借助导数这一工具来研究函数的零点问题．【例如】► (2021·)函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．[满分是解答] (1)由得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，对于任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，有sin x ＋x cos x ＞0. 当a ＝0时，f (x )＝－32，不合题意；当a ＜0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不连续的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝－32，不合题意；(4分)当a ＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不连续的，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即π2a －32＝π－32，解得a ＝1.综上所述，得f (x )＝x sin x －32.(6分) (2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象是连续不连续的，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有且只有一个零点．(9分) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＞0，g (π)＝－π＜0，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的图象是连续不连续的，故存在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得g (m )＝0. 由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有g ′(x )＜0，从而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 时，g (x )＞g (m )＝0，即f ′(x )＞0，从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 内单调递增，故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－32＞0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，m 上无零点；(12分) 当x ∈(m ，π)时，有g (x )＜g (m )＝0，即f ′(x )＜0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减．又f (m )＞0，f (π)＜0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．(14分)教师叮咛：此题综合考察了导数法判断函数的单调性、最值和函数零点的判断.第1问需对a 分类讨论，利用f ′x 的正负与f x 单调性的关系求得结果.第2问需要经过二次求导，原因是一次求导不能判断其导数的正负，还需第二次求导，再结合零点存在定理判断函数在某个区间内零点存在情况.【试一试】函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x .求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由．解由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1＜0，h (2)＝6－2＞0，那么x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．法一 h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，那么φ′(x )＝6x ＋14x －32. 那么x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，那么φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)＞0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＜0，那么φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点．所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，那么当x ∈(0，x 1)时，φ(x )＜φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )＞φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，那么h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，那么h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点．从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．法二由h (x )＝x (x 2－1－x －12)，记φ(x )＝x 2－1－x －12，那么φ′(x )＝2x ＋12x －32. 当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＞0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，那么φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．。

高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用专题训练(含解析)

高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用专题训练（含解析）一、选择题 1．函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.故选B. 答案 B2．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析由f (0)＝20－0－2<0，f (1)＝2－1－2<0，f (2)＝22－2－2>0，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.答案 B3．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6>0，f (2)＝3－1＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点．答案 C4．(2014·湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3解析求出当x <0时f (x )的解析式，分类讨论解方程即可．令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．答案 D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≤0ln x ，x >0(k ∈R )，若函数y ＝|f (x )|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤2B ．－1<k <0C ．－2≤k <－1D ．k ≤－2解析由y ＝|f (x )|＋k ＝0得|f (x )|＝－k ≥0，所以k ≤0，作出函数y ＝|f (x )|的图象，要使y ＝－k 与函数y ＝|f (x )|有三个交点，则有－k ≥2，即k ≤－2，选D. 答案 D6．x 0是函数f (x )＝2sin x －πln x (x ∈(0，π))的零点，x 1<x 2，则①x 0∈(1，e)；②x 0∈(e ，π)；③f (x 1)－f (x 2)<0；④f (x 1)－f (x 2)>0，其中正确的命题为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析因为f (1)＝2sin1－πln1＝2sin1>0，f (e)＝2sine －π<0，所以x 0∈(1，e)，即①正确．f ′(x )＝2cos x －πx ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，πx >2，f ′(x )<0，当x ＝π2时，f ′(x )＝－2<0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，1<πx <2，cos x <0，f ′(x )<0.综上可知，f ′(x )<0，f (x )为减函数，f (x 1)>f (x 2)，即f (x 1)－f (x 2)>0，④正确．答案 B 二、填空题7．已知0<a <1，函数f (x )＝a x－|log a x |的零点个数为________．解析分别画出函数y ＝a x(0<a <1)与y ＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，图象有两个交点．答案 28．(2014·福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．解析分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2. 答案 29．(2014·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析如图所示，△ADE ∽△ABC ，设矩形的面积为S ，另一边长为y ，则S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 402.所以y ＝40－x ，则S ＝x (40－x )＝－(x －20)2＋202，所以当x ＝20时，S 最大．答案 20 三、解答题10．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝12|x |＋2.(1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x－12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6，因为x ∈R 时，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，故m 的最大值为－34.(2)由(1)知，f ′(x )＝3(x －1)(x －2)，当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ；故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52.∴实数a 的取值范围是(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. B 级——能力提高组1．(2014·湖南卷)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e解析设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 20＋e x 0－12是函数f (x )图象上任意一点，该点关于y 轴的对称点⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20＋e x 0－12在函数g (x )的图象上，则x 20＋e x 0－12＝x 20＋ln(a －x 0)，即ln(a －x 0)＝e x 0－12，∴a ＝x 0＋e e x 0－ 12(x <0)．记h (x )＝x ＋ee x－12＝x ＋1e ee x ，则h ′(x )＝1＋1e ee x ·e x＝1＋1eee x ＋x >0， ∴h (x )在(－∞，0)上是增函数． ∴a <e 12＝e ，故选B.答案 B2．(2014·浙江名校联考)已知函数f (x )＝x 2＋1x2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a 在定义域上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a －2，x ≠0，令x ＋1x＝t ，则t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，由于f (x )有零点，则关于t 的方程t 2＋at ＋a －2＝0在(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有解．∵t ≠－1，∴方程t 2＋at ＋a －2＝0可化为a ＝2－t2t ＋1，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，问题就转化为a ＝2－t 2t ＋1＝－t ＋12＋2t ＋1＋1t ＋1＝－(t ＋1)＋1t ＋1＋2，t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，a ＝－(t ＋1)＋1t ＋1＋2在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是减函数，故当t ≤－2时，a ≥2；当t ≥2时，a ≤－23，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)3．(2014·江苏南京一模)如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x 的取值范围(运算中2取1.4)；(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a 11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×⎣⎢⎡⎦⎥⎤104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2 ＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6，由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15，列表如下：x 9 (9,10) 10 (10,15) 15 f ′(x ) － 0 ＋ 0f (x )↘极小值所以当x ＝即当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．。

高考数学理二轮复习好题汇编(真题+模拟)：函数与方程及函数的应用

函数与方程及函数的应用一、选择题1．(2013·济南模拟)函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2图象的交点为(a ，b )，则a 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1－2＝－1＜0，f (2)＝23－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，从而f (1)f (2)＜0，故选B.【答案】 B2．已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零【解析】当x >0时，f (x )＝(15)x －log 3x 是减函数，又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0. 【答案】 C3．(2013·广州模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )．其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】 ∵2a ＝3,3b ＝2，∴a >1,00， ∴f (x )在(－1,0)内有唯一零点，取n ＝－1.【答案】 B4．(2013·黄冈模拟)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【解析】对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0；又f (1)＝sin π＝0；再由T ＝3，∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0；f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0；f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0；f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (2)＝－f (－2)＝0；f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6，共9个，故选D.【答案】 D5．(2013·烟台模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，－1＜x ≤0，f (x －1)＋1， x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n －2【解析】 g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎨⎧x 3－x －1＜x ≤0，f (x －1)－x ＋1 x ＞0，当－1＜x ≤0时，由x 3－x ＝0得x ＝0，则x ＝0是函数g (x )的一个零点．当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，则g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝(x －1)3－x ＋1 令g (x )＝0，即(x －1)3－(x －1)＝0得x ＝1，即x ＝1是函数g (x )的一个零点当1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，－1＜x －2≤0，g (x )＝f (x －1)－x ＋1＝f (x －2)－x ＋2＝(x －2)3－(x －2)令g (x )＝0，即(x －2)3－(x －2)＝0得x ＝2，即x ＝2是函数g (x )的一个零点同理可依次得到函数的零点分别为4,5,6…，故选C. 【答案】 C二、填空题6．若函数f (x )＝2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝0，得m ＝(12)|x －1|， ∵|x －1|≥0，∴0<(12)|x －1|≤1，即0<m ≤1. 【答案】 (0,1]7．(2013·宜昌模拟)在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗＝加满油后已行驶距离，可继续行驶距离＝汽车剩余油量当前油耗平均油耗＝指定时间内的用油量指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在10：00～11：00这一小时内________(填上所有正确判断的序号)．①行驶了80公里； ②行驶不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时．【解析】实际用油为7.38(升)，行驶距离＜7.38÷9.6×100＝76.875(公里)，所以①错误，②正确．设L 为已用油量，ΔL 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，ΔS 为一个小时内已行驶的距离⎩⎪⎨⎪⎧LS ＝9.5，L ＋ΔLS ＋ΔS ＝9.6，得L ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS,9.5S ＋ΔL ＝9.6S ＋9.6ΔS ，ΔL ＝0.1S ＋9.6ΔS ，ΔLΔS ＝0.1SΔS ＋9.6＞9.6.所以③正确，④错误．⑤由②知错误．【答案】 ②③8．(2013·苏州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．【解析】由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．【答案】 7 三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14. 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数． (1)∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由f (2)<0，f (3)>0. ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f (52)＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0，∴x 0∈(52，3)．取x 2＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e 12>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0， ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114且|114－52|＝14≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间． 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【解】 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e 2x 时取等号． ∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e. 因此g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e. ∴当m ∈[2e ，＋∞)时，g (x )＝m 有零点． (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．如图所示，作出函数g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其对称轴x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2. 若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点．必须有m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1. 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．11．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资利益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y＝10x－3ax＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解】(1)对于模型y＝f(x)＝x150＋2，当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数．f(x)max＝f(1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9，∴f(x)≤9恒成立．但当x＝10时，f(10)＝115＋2>105，不满足f(x)≤x5.故函数模型y＝x150＋2不符合公司要求．(2)对于模型y＝g(x)＝10x－3ax＋2＝10－3a＋20x＋2.当3a＋20>0，即a>－203时函数递增，为使g(x)≤9对于x∈[10,1 000]恒成立，即要g(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，即a≥982 3.为使g(x)≤x5对于x∈[10,1 000]恒成立，即要10x－3ax＋2≤x5，即x2－48x＋15a≥0恒成立．即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1 000])恒成立．又24∈[10,1 000]，故只需15a－576≥0即可，所以a≥192 5.综上，a≥1925，故最小的正整数a的值为39.。

高考数学二轮专题复习训练：专题第讲函数与方程及函数的应用

第3讲函数与方程及函数的应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011·福建改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．2．(2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________.3．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是________．4．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．5．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件． 7．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时f (x )＝|x |，则方程f (x )＝lg|x |的解的个数为______．8．设a >1，函数y ＝|log a x |的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0,1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值为56，则实数a 的值为________． 9．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________．11．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为____________．二、解答题12．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？14．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP ＝x (km)，将y 表示成x 的函数关系式．(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．答案1．－3 2．3或4 3．a >15或a <－1 4．2 5. 326．9 7．18 8．6 9．(0,1) 10．3 11．{0,3,14,30}12．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|) ＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.答总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．13．解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600. (2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．14．解 (1)延长PO 交AB 于Q ，①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO ＝θ(rad)，则OA ＝AQ cos ∠BAO ＝10cos θ，所以OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ，故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10 ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4. ②若OP ＝x (km)，则OQ ＝(10－x ) (km)，所以OA ＝OB ＝(10－x )2＋102＝x 2－20x ＋200. 故所求函数关系式为y ＝x ＋2x 2－20x ＋200 (0≤x ≤10)．(2)选择函数模型①， y ′＝－10cos θ·cos θ－(20－10sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝10(2sin θ－1)cos 2θ，令y ′＝0，得sin θ＝12，因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6. 当θ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′<0，y 是θ的减函数；当θ∈⎝⎛⎦⎤π6，π4时，y ′>0，y 是θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10) (km)．这时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处．。

高考数学专题复习二-2.6函数与方程及函数的综合应用-高考真题练习(附答案)

2.6函数与方程及函数的综合应用考点一函数的零点1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=2−|U,x≤2,(t2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|t2|+1,x≥0,3−2,x<0.函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.2.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=6-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案C∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=64-log24=32-2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为()A.-14,0答案C显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=e x与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=e x+4x-3的零点一定落在区间,又4e-2<0,f=e-1>0.故选C.评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.4.(2011课标理,12,5分)函数y=11−的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8答案D 函数y=11−=-1t1和y=2sinπx 的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,易知y=11−与y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8,由对称性得x 1+x 8=x 2+x 7=x 3+x 6=x 4+x 5=2,∴x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8=8,故选D.5.(2011课标文,12,5分)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x 2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有()A.10个 B.9个C.8个D.1个答案A 在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)和y=|lgx|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A.评析本题考查函数的图象、周期等相关知识,考查学生作图、用图能力,体现了数形结合思想.6.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=2+(4a-3)x +3a,x <0,log (x +1)+1,x ≥0(a>0,且a≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f(x)|=2-3恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是.答案解析∵函数f(x)在R 上单调递减,∴-4t32≥0,0<<1,3≥1,解得13≤a≤34.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-3的图象,如图所示.方程|f(x)|=2-3恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-3的图象恰有两个交点,则需满足3a<2,得a<23,综上可知,13≤a<23.易错警示(1)f(x)在R上单调递减,需满足-4t32≥0,0<<1,3≥1,缺少条件是失分的一个原因;(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.7.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sinxsinπ22的零点个数为.答案2解析f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.8.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①若k=0,则f(x)有两个零点;②∃k<0,使得f(x)有一个零点;③∃k<0,使得f(x)有三个零点;④∃k>0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案①②④解析令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.当k =0时,如图a ,g (x )与h (x )的图象有两个交点,则f (x )有两个零点,故①正确;当k >0时,如图b ,存在h (x )=k 0x +2的图象与函数g (x )=lg x (x >1)的图象相切,此时h (x )与g (x )的图象有两个交点,当0<k <k 0时,g (x )与h (x )的图象有三个交点,则f (x )有三个零点,故④正确;当k <0时,如图c ,g (x )与h (x )的图象最多有两个交点,g (x )与h (x )相切时有一个交点,如图d ,故②正确,③不正确.综上,正确结论的序号为①②④.图a 图b图c 图d解题指导:由f (x )=0得|lg x |=kx +2,令g (x )=|lg x |,h (x )=kx +2,则f (x )零点个数转化为g (x )与h (x )图象的交点个数,再利用图象解决问题.考点二函数模型及其应用1.(2020课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a 1,a 2,…,a 12,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称a i ,a j ,a k 为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称a i ,a j ,a k 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A.5B.8C.10D.15答案C根据已知条件可知原位大三和弦有a1,a5,a8;a2,a6,a9;a3,a7,a10;a4,a8,a11;a5,a9,a12,共5个.原位小三和弦有a1,a4,a8;a2,a5,a9;a3,a6,a10;a4,a7,a11;a5,a8,a12,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.2.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x>200⇒1.12x>2013⇒xlg1.12>lg2013⇒0.05x>0.19⇒x>3.8,故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.3.(2022北京,7,4分,应用性)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态答案D对于A,当T=220,P=1026时,lg P=lg1026=3+lg1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化碳处于固态,∴A错误.对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg128=2+lg1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,∴B错误.对于C,当T=300,P=9987时,lg P=3+lg9.987≈4,由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误.对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg729=2+lg7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临界状态,∴D正确.故选D.4.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)() A.1.2天 B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=0−1=0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即e rt=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln2,即0.38t=ln2,又ln2≈0.69,所以t=ln20.38≈0.690.38≈1.8.故选B.5.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-op−op K的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案①②③命题意图:本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合思想.审题指导:与函数和导数有关的实际应用问题,需要先把实际问题翻译成数学问题,理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与其几何意义联系起来,再逐步对四个结论去伪存真.解题思路:设y=-op−op K,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-o2)−o1)2−1(难点:准确理解表达式的几何意义是解题的关键),由题图易知y甲>y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对;在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对;由计算式-op−op K可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振6.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.答案6;10000解析A=1000=103,A0=0.001=10-3,M=lg103-lg10-3=3-(-3)=6.设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则lgA1-9=lgA2-5,得lgA1-lgA2=4,即lg12=4,∴12=10000.。

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