广东省金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三下学期联考数学(文)试题

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广东省佛山市第一中学2015届高三10月月考数学(文)试题 Word版含答案

佛山一中2015届10月考（文科）数学试题2014-10-12一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A ＝{x |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >1}，则A ∩B 为( )A ．B ．(2,3]C ． 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 1x x >01x x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e )B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e )3．已知R x ∈，则“4|2||1|>-++x x ”是“2-<x ”的（） A . 充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b5．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2 (a <b )，并且α、β是方程f (x )＝0的两个根(α<β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )A ．α<a <b <βB ．a <α<β<bC ．a <α<b <βD ．α<a <β<b 6．在ABC ∆中, 已知向量)72cos ,18(cos 00=AB , )27cos 2,63cos 2(00=AC , 则BAC ∠cos 的值为 A ．0 B ．21 C ．22 D ．23 7.若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．C ．{2}D ．∪[43，83] B ．(－13，1]∪∪∪[12，43)∪[43，3)9．函数x x y cos +=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．10．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.)1,3(- B. ]1,3[- C. ),1()3,(+∞--∞ D. ),1[]3,(+∞--∞ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是12．已知函数)2(+x f 是定义在),(∞+∞-上的奇函数. 当)2,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),2(∞+∈x 时，=)(x f13．设函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且满足(2)()f x f x -=-对一切x ∈R 恒成立，当-1≤x ≤1时，3()f x x =．则下列四个命题：①()f x 是以4为周期的周期函数； ②()f x 在上的解析式为3()(2)f x x =-；③()f x 在33(,())22f 处的切线方程为3450x y +-=；④()f x 的图像的对称轴中有x =±1.其中正确的命题是（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l :132x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，则BC 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)当]32,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与最小值及相应的x 的值.17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5 女 10 合计 50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率．下面的临界值表供参考：2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.63 57.87910.828（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）yOx12 －13 5 －218．（本小题满分14分）如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点．（I ）证明：DE //平面ABC ；（II ）若21==BC BB ，求三棱锥BC A A 1-的体积的最大值。

广东省佛山市高考数学一模试卷文(含解析)

广东省佛山市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（∁R N）=（）A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]3．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．12 B．24 C．8 D．5．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．26．（5分）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是（）A．①、③B．②、④C．①、④D．②、③7．（5分）某校2015届高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.78．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF1的周长为（）A．16 B．20 C．21 D．269．（5分）已知f（x）=x﹣x2，且a，b∈R，则“a＞b＞1”是“f（a）＜f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）A．45 B．55 C．90 D．100二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）如果f（x）=，那么f[f（2）]=．12．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为．13．（5分）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为．（其中cos48.19°取近似值）三、几何证明选讲14．（5分）如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=2，MC=1，则CD=．四、坐标系与参数方程15．在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求f（）．（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．17．（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）资料如下：（图1和表1）2014年11月份AQI数据日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48日期11 12 13 14 15 16 17 18 19 20AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45表12014年11月份AQI数据频率分布表分组频数频率[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120）[120，140]表2（Ⅰ）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI＜100时，空气质量为优良）．试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1（n∈N），且a1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）设bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜（n∈N）．20．（14分）已知点M（2，1），N（﹣2，1），直线MP， NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．21．（14分）设函数f（x）=的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为﹣；（Ⅲ）当x≠a时，若不等式||+k|x﹣a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．广东省佛山市2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式===2﹣i，故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（∁R N）=（）A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出N的补集，从而求出其与M的交集．解答：解：∵集合M={x∈R|0＜x＜2}=（0，2），N={x∈R|x＞1}=（1，+∞）∴∁R N=（﹣∞，1]∴M∩∁R N=（（0，2）∩[1，+∞）=（0，1]故选：D．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．3．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2考点：函数奇偶性的性质；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=的图象关于原点对称，得到函数y=f（x）是R上的奇函数，根据奇函数的定义求出a的值即可．解答：解：令y=f（x），∵函数y=的图象关于原点对称，∴函数y=f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）====﹣=﹣f（x）=﹣，∴a=﹣1，故选：B．点评：本题考查了函数的奇偶性，是一道基础题．4．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．12 B．24 C．8 D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=0时，z=3x+y取得最大值为12．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中O（0，0），A（4，0），B（，），C（0，8）设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，0）=12故选：A．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．解答：解：由单位向量的夹角为45°，则•=1×1×cos45°=，由⊥（λ﹣），可得，•（λ﹣）=0，即λ﹣=0，则﹣1=0，解得λ=．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是（）A．①、③B．②、④C．①、④D．②、③考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：作图题．分析：我们可以从正方体去观察理解，①从空间两条直线的位置关系判断．②由线面垂直的性质定理判断；③从两平面的位置关系判断；④由射影的条数判断．解答：解：①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面．不正确；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质定理知正确；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，可能平行，也可能相交，不正确；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B点评：本题主要考查了两直线的位置关系，两平面的位置关系及线面垂直的性质定理，斜线，垂线，射影等概念，作为客观题要多借助空间几何体来判断．7．（5分）某校2015届高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案解答：解：来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用，A，B表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，AB共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，2A，2B，3A，3B共6种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P==0.6故选：C．点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．8．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF1的周长为（）A．16 B．20 C．21 D．26考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长．解答：解：由双曲线的方程可知a=4，则|AF1|﹣|AF2|=8，|BF1|﹣|BF2|=8，则|AF1|+|BF1|﹣（|BF2|+|AF2|）=16，即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+16=|AB|+16=5+16=21，则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26，故选D．点评：本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A，B到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键．9．（5分）已知f（x）=x﹣x2，且a，b∈R，则“a＞b＞1”是“f（a）＜f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据二次函数的性质分别判断其充分性和必要性．解答：解：画出函数f（x）=x﹣x2的图象，如图示：，由图象得：f（x）在（，+∞）递减，∴a＞b＞1时，f（a）＜f（b），是充分条件，反之不成立，如f（0）=0＜f（）=1，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了充分必要条件，是一道基础题．10．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）A．45 B．55 C．90 D．100考点：归纳推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．解答：解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为T n，则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A点评：本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）如果f（x）=，那么f[f（2）]=1．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据x的范围，分别求出相对应的函数值，从而得到答案．解答：解：∵f（2）=0，∴f（0）=1，即f[f（2）]=1，故答案为：1．点评：本题考查了分段函数问题，考查了函数求值问题，是一道基础题．12．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为或1．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由点到直线的距离公式可得=，即|4m﹣1|=3，解得m=或1．故答案为：或1．点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．13．（5分）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为．（其中cos48.19°取近似值）考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：求出AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB．解答：解：依题意知，在△ACD中，∠A=30°由正弦定理得AC==2在△BCE中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC==3在△ABC中，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB=10∴AB=．故答案为：．点评：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．三、几何证明选讲14．（5分）如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=2，MC=1，则CD=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由切割线定理，得MA2=MC•MD，由此能求出CD．解答：解：由已知得MA=，∵MA是切线，MCD是割线，∴MA2=MC•MD，∵MC=1，∴3=1×（1+CD），解得CD=2．故答案为：2．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．四、坐标系与参数方程15．在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求f（）．（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．专题：作图题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意先解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x﹣），从而可求f（）的值．（2）先求范围2x﹣∈[﹣，]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．解答：解：（1）依题意得=π，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣），∴f（）=sin（）=sin cos﹣cos sin==（2）∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]，列表如下：2x﹣﹣﹣π﹣0x ﹣﹣﹣f（x）0 ﹣1 0 1画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象如下：由图象可知函数y=f（x）在（﹣，）上的单调递减区间为（﹣，﹣），（，）点评：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）资料如下：（图1和表1）2014年11月份AQI数据日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48日期11 12 13 14 15 16 17 18 19 20AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45表12014年11月份AQI数据频率分布表分组频数频率[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120）[120，140]表2（Ⅰ）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI＜100时，空气质量为优良）．试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用数据计算2013年与2014年的11月优良率是多少，比较数据信息得出结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，如下；分组频数频率[20，40） 2[40，60）7[60，80）12[80，100）5[100，120） 1[120，140] 3；根据频率分布表，画出频率分布直方图如下；（Ⅱ）支持，理由如下：2013年11月的优良率为：，2014年11月的优良率为：，∴；∴利用数据信息得出“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”．点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD的体高，由V D﹣PAC=V P﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．解答：（Ⅰ）证法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD．证法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，又AM∩DM=M，AM⊂平面AMD，DM⊂平面AMD，所以PC⊥平面AMD，又AD⊂平面AMD，所以PC⊥AD．（Ⅱ）解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，证明如下：取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，所以A，Q，M，D四点共面．（Ⅲ）解：点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，所以△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得，又，所以，解得，所以点D到平面PAM的距离为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四点共面的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1（n∈N），且a1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）设bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜（n∈N）．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，从而=，由此能证明数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由a n=2n﹣1，S n=n+=n2，得bn===，由此利用裂项求和法能证明T n＜（n∈N）．解答：（1）证明：∵4S n=（2n﹣1）a n+1+1，①∴n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，②①﹣②，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，n≥2∴（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，∴=，∴a n==1×=2n﹣1，∴a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）解：∵数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=2n﹣1，S n=n+=n2，∴bn====，n≥2∴T n＜（1+++…+）=．∴T n＜（n∈N）．点评：本题考查数列{a n}为等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．20．（14分）已知点M（2，1），N（﹣2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出P点坐标，依题意得列关于P点坐标的方程，化简后得答案；（Ⅱ）证法一、设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求出直线BC的方程，和抛物线方程联立后由判别式等于0可证直线BC与曲线E相切．证法二：设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求得直线BC的斜率，然后利用导数求出抛物线在过C点的切线的斜率，可得直线BC与曲线x2=4y过点C的切线重合，即说明直线BC与曲线E相切．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），依题意得，化简得x2=4y（x≠±2），∴曲线E的方程为x2=4y（x≠±2）；（Ⅱ）结论：直线BC与曲线E相切．证法一：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，令x=0，则，∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），直线BC的斜率为，直线BC的方程为，即，代入x2=4y得，，即，，∴直线BC与曲线E相切．证法二：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，令x=0，则，∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），直线BC的斜率为，由x2=4y得，得，，过点C的切线的斜率为，而，∴k=k1，∴直线BC与曲线x2=4y过点C的切线重合，即直线BC与曲线E相切．点评：本题考查了曲线方程的求法，考查了圆与圆锥曲线的综合，考查了直线与圆的位置关系，对于（Ⅱ）的第二种证明方法，运用了利用导数研究过曲线上某点的切线的斜率，体现了导数在解题中的广泛应用，该题属中高档题．21．（14分）设函数f（x）=的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为﹣；（Ⅲ）当x≠a时，若不等式||+k|x﹣a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义，令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，构造函数，利用导数求出即可；（Ⅲ）原不等式可化为，在分类讨论，继而求出实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣∞，a）∪（a，+∞），…（1分）对f（x）求导得：，…（2分）由f'（x）＞0得x＞a+1；由f'（x）＜0得x＜a或a＜x＜a+1，…（4分）所以f（x）在（﹣∞，a），（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（6分）令得 e a+2+a3+6a2+12a+7=0…①令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，…（8分）令h（t）=e t+t3﹣1，则h'（t）=e t+3t2＞0，…（9分）故h（t）是R上的增函数，又h（0）=0，因此0是h（t）的唯一零点，即﹣2是方程①的唯一实数解，故存在唯一实数a=﹣2满足题设条件．…（10分）（Ⅲ）因为，故不等式可化为，令x﹣a=t，则t≠0，…（11分）且有…（12分）①若t＜0，则，即，此时k≥0；②若0＜t≤1，则，即，此时k≥1；③若t＞1，则，即，此时k≥1．故使不等式恒成立的k的取值范围是[1，+∞）．…（14分）点评：本题考查了导数和函数单调性的关系，以及导数的几何意义，以及不等式恒成立的问题，培养了学生的转化能力，属于中档题。

【解析】广东省佛山市2015届高三第一次教学质量检测(一模)数学文试题Word版含解析

2015年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．2﹣i D．2+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：原式===2﹣i，故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知集合M={x∈R|0＜x＜2}，N={x∈R|x＞1}，则M∩（∁R N）=（）A．[1，2）B．（1，2）C．[0，1）D．（0，1]【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出N的补集，从而求出其与M的交集．【解析】：解：∵集合M={x∈R|0＜x＜2}=（0，2），N={x∈R|x＞1}=（1，+∞）∴∁R N=（﹣∞，1]∴M∩∁R N=（（0，2）∩[1，+∞）=（0，1]故选：D．【点评】：本题考查了集合的运算，是一道基础题．3．（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D． 2【考点】：函数奇偶性的性质；函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数y=的图象关于原点对称，得到函数y=f（x）是R上的奇函数，根据奇函数的定义求出a的值即可．【解析】：解：令y=f（x），∵函数y=的图象关于原点对称，∴函数y=f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）====﹣=﹣f（x）=﹣，∴a=﹣1，故选：B．【点评】：本题考查了函数的奇偶性，是一道基础题．4．（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．12 B．24 C．8 D．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=0时，z=3x+y取得最大值为12．【解析】：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中O（0，0），A（4，0），B（，），C（0，8）设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，0）=12故选：A．【点评】：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．【解析】：解：由单位向量的夹角为45°，则•=1×1×cos45°=，由⊥（λ﹣），可得，•（λ﹣）=0，即λ﹣=0，则﹣1=0，解得λ=．故选B．【点评】：本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是（）A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③【考点】：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：作图题．【分析】：我们可以从正方体去观察理解，①从空间两条直线的位置关系判断．②由线面垂直的性质定理判断；③从两平面的位置关系判断；④由射影的条数判断．【解析】：解：①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面．不正确；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质定理知正确；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，可能平行，也可能相交，不正确；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B【点评】：本题主要考查了两直线的位置关系，两平面的位置关系及线面垂直的性质定理，斜线，垂线，射影等概念，作为客观题要多借助空间几何体来判断．7．（5分）某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）A．0.35 B．0.4 C．0.6 D．0.7【考点】：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解析】：解：来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用，A，B表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A，1B，23，2A，2B，3A，3B，AB共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A，1B，23，2A，2B，3A，3B共7种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P==0.7故选：D【点评】：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．8．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF1的周长为（）A．16 B．20 C．21 D．26【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长．【解析】：解：由双曲线的方程可知a=4，则|AF1|﹣|AF2|=8，|BF1|﹣|BF2|=8，则|AF1|+|BF1|﹣（|BF2|+|AF2|）=16，即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+16=|AB|+16=5+16=21，则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26，故选D．【点评】：本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A，B到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键．9．（5分）已知f（x）=x﹣x2，且a，b∈R，则“a＞b＞1”是“f（a）＜f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据二次函数的性质分别判断其充分性和必要性．【解析】：解：画出函数f（x）=x﹣x2的图象，如图示：，由图象得：f（x）在（，+∞）递减，∴a＞b＞1时，f（a）＜f（b），是充分条件，反之不成立，如f（0）=0＜f（）=1，不是必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了二次函数的性质，考查了充分必要条件，是一道基础题．10．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）A．45 B．55 C．90 D．100【考点】：归纳推理．【专题】：等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．【解析】：解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为T n，则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A【点评】：本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）如果f（x）=，那么f[f（2）]=1．【考点】：函数的值．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：根据x的范围，分别求出相对应的函数值，从而得到答案．【解析】：解：∵f（2）=0，∴f（0）=1，即f[f（2）]=1，故答案为：1．【点评】：本题考查了分段函数问题，考查了函数求值问题，是一道基础题．12．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为或1．【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：直线与圆．【分析】：利用点到直线的距离公式即可得出．【解析】：解：由点到直线的距离公式可得=，即|4m﹣1|=3，解得m=或1．故答案为：或1．【点评】：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．13．（5分）如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为．（其中cos48.19°取近似值）【考点】：解三角形的实际应用．【专题】：应用题；解三角形．【分析】：求出AC，通过正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB．【解析】：解：依题意知，在△ACD中，∠A=30°由正弦定理得AC==2在△BCE中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC==3在△ABC中，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB=10∴AB=．故答案为：．【点评】：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．三、几何证明选讲14．（5分）如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=2，MC=1，则CD=2．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：几何证明．【分析】：由切割线定理，得MA2=MC•MD，由此能求出CD．【解析】：解：由已知得MA=，∵MA是切线，MCD是割线，∴MA2=MC•MD，∵MC=1，∴3=1×（1+CD），解得CD=2．故答案为：2．【点评】：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．四、坐标系与参数方程15．（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：计算题．【分析】：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．【解析】：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：【点评】：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求f（）．（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．【考点】：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【专题】：作图题；三角函数的图像与性质．【分析】：（1）依题意先解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x﹣），从而可求f（）的值．（2）先求范围2x﹣∈[﹣，]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．【解析】：解：（1）依题意得=π，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣），…2分∴f（）=sin（）=sin cos﹣cos sin==…4分（2）∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]，列表如下：2x﹣﹣﹣π﹣0x ﹣﹣﹣f（x）0 ﹣1 0 1画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象如下：由图象可知函数y=f（x）在（﹣，）上的单调递减区间为（﹣，﹣），（，） (12)分【点评】：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：μg/m3）资料如下：（图1和表1）2014年11月份AQI数据日期1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48日期11 12 13 14 15 16 17 18 19 20AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117日期21 22 23 24 25 26 27 28 29 30AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45表12014年11月份AQI数据频率分布表分组频数频率[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）[100，120）[120，140]表2（Ⅰ）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI＜100时，空气质量为优良）．试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用数据计算2013年与2014年的11月优良率是多少，比较数据信息得出结论．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，填写2014年11月份AQI数据的频率分布表，如下；分组频数频率[20，40）2[40，60）7[60，80）12[80，100）5[100，120） 1[120，140] 3（3分）；根据频率分布表，画出频率分布直方图如下；（6分）（Ⅱ）支持，理由如下：2013年11月的优良率为：，…（8分）2014年11月的优良率为：，…（9分）∴；…（11分）∴利用数据信息得出“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”．…（12分）【点评】：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求点D到平面PAM的距离．【考点】：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD 的体高，由V D﹣PAC=V P﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．【解析】：（Ⅰ）证法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD．…（4分）证法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，又AM∩DM=M，AM⊂平面AMD，DM⊂平面AMD，所以PC⊥平面AMD，又AD⊂平面AMD，所以PC⊥AD．…（4分）（Ⅱ）解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，证明如下：…（6分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，所以A，Q，M，D四点共面．…（8分）（Ⅲ）解：点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．…（9分）在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，所以△PAC的面积，…（10分）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得…（11分），又，所以，…（13分）解得，所以点D到平面PAM的距离为．…（14分）【点评】：本题考查异面直线垂直的证明，考查四点共面的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1（n∈N），且a1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）设bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜（n∈N）．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由已知得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，从而=，由此能证明数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由a n=2n﹣1，S n=n+=n2，得bn===，由此利用裂项求和法能证明T n ＜（n∈N）．【解析】：（1）证明：∵4S n=（2n﹣1）a n+1+1，①∴n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，②①﹣②，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n，n≥2∴（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，∴=，∴a n==1×=2n﹣1，∴a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）解：∵数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=2n﹣1，S n=n+=n2，∴bn====，n≥2∴T n＜（1+++…+）=．∴T n＜（n∈N）．【点评】：本题考查数列{a n}为等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．20．（14分）已知点M（2，1），N（﹣2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC 为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．【考点】：圆与圆锥曲线的综合．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设出P点坐标，依题意得列关于P点坐标的方程，化简后得答案；（Ⅱ）证法一、设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求出直线BC的方程，和抛物线方程联立后由判别式等于0可证直线BC与曲线E相切．证法二：设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求得直线BC的斜率，然后利用导数求出抛物线在过C点的切线的斜率，可得直线BC与曲线x2=4y过点C的切线重合，即说明直线BC与曲线E相切．【解析】：解：（Ⅰ）设P（x，y），依题意得，化简得x2=4y（x≠±2），∴曲线E的方程为x2=4y（x≠±2）；（Ⅱ）结论：直线BC与曲线E相切．证法一：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，令x=0，则，∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），直线BC的斜率为，直线BC的方程为，即，代入x2=4y得，，即，，∴直线BC与曲线E相切．证法二：设C（x0，y0），则，圆A的方程为，令x=0，则，∵y0＞0，y＜0，∴y=﹣y0，点B的坐标为（0，﹣y0），直线BC的斜率为，由x2=4y得，得，，过点C的切线的斜率为，而，∴k=k1，∴直线BC与曲线x2=4y过点C的切线重合，即直线BC与曲线E相切．【点评】：本题考查了曲线方程的求法，考查了圆与圆锥曲线的综合，考查了直线与圆的位置关系，对于（Ⅱ）的第二种证明方法，运用了利用导数研究过曲线上某点的切线的斜率，体现了导数在解题中的广泛应用，该题属中高档题．21．（14分）设函数f（x）=的导函数为f'（x）（a为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2））处的切线斜率为﹣；（Ⅲ）当x≠a时，若不等式||+k|x﹣a|≥1恒成立，求实数k的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义，令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，构造函数，利用导数求出即可；（Ⅲ）原不等式可化为，在分类讨论，继而求出实数k的取值范围．【解析】：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣∞，a）∪（a，+∞），…（1分）对f（x）求导得：，…（2分）由f'（x）＞0得x＞a+1；由f'（x）＜0得x＜a或a＜x＜a+1，…（4分）所以f（x）在（﹣∞，a），（a，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（6分）令得e a+2+a3+6a2+12a+7=0…①令a+2=t，则有e t+t3﹣1=0，…（8分）令h（t）=e t+t3﹣1，则h'（t）=e t+3t2＞0，…（9分）故h（t）是R上的增函数，又h（0）=0，因此0是h（t）的唯一零点，即﹣2是方程①的唯一实数解，故存在唯一实数a=﹣2满足题设条件．…（10分）（Ⅲ）因为，故不等式可化为，令x﹣a=t，则t≠0，…（11分）且有…（12分）①若t＜0，则，即，此时k≥0；②若0＜t≤1，则，即，此时k≥1；③若t＞1，则，即，此时k≥1．故使不等式恒成立的k的取值范围是[1，+∞）．…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数单调性的关系，以及导数的几何意义，以及不等式恒成立的问题，培养了学生的转化能力，属于中档题。

广东省实验中学、广东广雅中学、佛山市第一中学高二数

广东省实验中学、广东广雅中学、佛山市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末三校联考试题（扫描版）2015学年高二下学期期末省实、广雅、佛山一中三校联考理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1～12 DBCAB CAADD A A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 32 14. 0 15. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 16. 72三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）解：（1）由已知得cos()cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=——1分即sin sin 3sin cos 0A B A B -= ——2分因为sin 0A ≠，所以sin 3cos 0tan 3B B B -=⇒=——3分因为0B π<< ——4分所以3B π=——5分（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅ ——6分所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a = ——8分所以1133sin 212222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅= ——10分 18.（本题满分10分）解:（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.——2分由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+. ——3分当1n =时，112a S == ——4分当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. ——5分综上可知,数列{}n a 的通项公式2n a n =. ——6分（2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+.所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. ——8分 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦. ——10分 19.（本题满分12分）解：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ——2分因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >= ——3分所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. ——4分（2）X 的可能取值为0,1,2,3 ——5分271)31()0(3===X P ， ——6分92)31)(32()1(213===C X P ——7分94)32)(31()2(223===C X P ——8分 278)32()3(3===X P ——9分X123P271 92 94 278因为~(3,)3X B ， ——11分所以2()323E X np ==⨯= ——12分xyzO20．（本题满分12分）解：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD ==Q 且,AB AD =AC BD ∴⊥ ——2分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BDEF ——4分 DE ⊂Q 平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C =I ,DE ∴⊥平面ABCD ——6分（2）1//,,2EF BD EF BD =Q 且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形//,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD ——8分分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(3,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1)A -- 设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =u r ，由00m AF m EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rg u r u u u rg 得(1,0,1)m =u r ——9分设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =r，由00n CF n EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u r g 得(1,0,3)n =-r ——10分所以62cos ,m nm n m n-<>==u r ru r r g u r r 即平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为624- ——12分 21．（本题满分12分）解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>，离心率22,22c e a ==，—1分又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,2,1c a b ===， ——2分 ∴椭圆C 的方程是2212y x +=. ——3分（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. ——4分由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0. ——5分因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. ——6分当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ——7分由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=. ——8分设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩——9分又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-u u r u u r，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+u u r u u r——10分 ()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,= ——11分TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ——12分22.（本题满分14分）解：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xa x x x a x f +-=-=2'22)(； ——1分当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数； ——2分当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a上是减函数；——3分综上所得，①0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；——4分（2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意； ——5分当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意；—6分 ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ，即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意； ——7分综上所得，a 的取值范围是e a 2≤； ——8分（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ——9分 ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>， ——10分即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x ——12分令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F ∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立，即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证. ——14分。

金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三联考文科数学试题

图 1金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三联考数学(文科) 试题（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=（）A. {x|-1＜x≤3}B. φC. {x|x=3}D. {x|2≤x ﹤3}2. 复数iaiz -=3在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知数列{}n a 满足)2(2,111≥+==-n n a a a n n ，则=7a （） A.53 B.54C.55D.1094．已知一棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（） A ．8 B ．16 C ．32 D ．485．对于函数2(),f x x mx n =++若()0,()0f a f b >>，则函数()f x 在区间(,)a b 内（）A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点 6．曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．2e B ．22eC ．24e D ．292e7. 下列程序框图(图2)的输出结果为（）A.20132012B. 20131C.20142013 D. 20141图2图 38. 设,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则关于θ的方程1cos 2tan θθ-=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．39. 点P 到图形E 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形E 的距离.已知点(1,0)A ,圆C :2220x x y ++=,那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（）A. 双曲线的一支B. 椭圆C. 抛物线D. 射线 10．定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．（a →+b →）与a →垂直，且⎥b →⎢=2⎥a →⎢，则a →与b →的夹角为 12. 若等比数列{a n }的前项n 和为S n ，且S 4S 2 = 5，则S 8S 4 =13．已知函数21()(2),()(1,2)1x x x f x x g x a a x x -+==>-≥≥．①若[)02,x ∃∈+∞，使0()f x m =成立，则实数m 的取值范围为；②若[)12,x ∀∈+∞，[)22,x ∃∈+∞使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点3π4,2A ⎛⎫⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，且2,1,PA PB ==则AB 的长为 .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图4,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A ,且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,3ππα.将角α的终边按逆时针方向旋转6π,交单位圆于点B .记),(),,(2211y x B y x A . (Ⅰ)若411=x ,求2x ; (Ⅱ)分别过,A B 作x 轴的垂线,垂足依次为,C D .记△AOC 的面积为1S ,△BOD 的面积为2S .若21S S =,求角α的值.17.（本小题满分12分）从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图5：（1）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数为多少；（2）在样本中，若学校决定身高在185cm 以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm 以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．18．（本小题满分14分）如图6，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，点P 、 M 、N 分别为BC 1、CC 1、AB 1的中点．（1）求证：PN//平面ABC ；（2）求证：A 1M ⊥平面AB 1C 1；（3）求点M 到平面AA 1B 1的距离．cm ）图5 图6图419（本题满分14分）已知数列{}n a 满足1331(,2)n n n a a n N n *-=+-∈≥且395a =。

广东省广雅中学、佛山一中、汕头金山2015届高三下学期开学联考语文试题【附答案】

广东省广雅中学、佛山一中、汕头金山2015届高三下学期开学联考语文试题本试卷共11页，24小题，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回。

一、本大题4小题，每小题3分，共12分。

1．下列词语中加点的字，每对读音全都相同的一组是A．炽．热／翅．膀妃嫔．／濒．临叱咤．风云／姹．紫嫣红B．晋．升／浸．透气概．／慷慨．秩．序井然／卷帙．浩繁C．氓．隶／盟．誓提．防／河堤．猝．不及防／一蹴．而就D．殷．红／胭．红绮．丽／畸．形数．见不鲜／横槊．赋诗2. 下面语段中画线的词语，使用不恰当．．．的一项是莫言在中国文坛上虽非出类拔萃，但其文学才华和艺术创造力令人瞩目。

他的小说创作以乡土气息和农民本位为主线，塑造了余占鳌、上官氏、西门闹等率情任性的农民形象。

小说《丰乳肥臀》，运用不同凡响的艺术概括力，通过上官鲁氏这个母亲的遭遇，把中国人尤其是中国女性所遭受的苦难和母亲的伟大与宽容淋漓尽致地展现出来。

纯以文学水平而言，莫言获奖实至名归。

A．出类拔萃B．任性C．尤其D．实至名归3. 下列句子中，没有语病．．．．的一项是A．任航在中沙之战出现失误后，“中卫经验不足”的论调短暂地出现了。

不过那场比赛从未在正赛上出任过双中卫之一的任航也仅仅是犯了一个错误。

B．我国经济正在向形态更高级、分工更复杂、结构更合理的阶段演化，经济发展进入新常态。

而品牌经济是以品牌为核心带动经济发展、整合经济要素的高级经济形态，是一个国家或地区综合实力和竞争力的重要体现。

佛山市2015届普通高中高三教学质量检测(二)(文数)

佛山市2015届普通高中高三教学质量检测（二）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{|11}x Z x ∈-≤≤的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．82．若复数z 满足(1)i z i -=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量(1,0)a =-，13(,2b =，则向量a 与b 的夹角为（） A ．6π B ． 3π C ．23π D ． 56π4．由不等式组22024010x y x y x --≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩确定的平面区域记为M ，若直线320x y a -+=与M 有公共点，则a 的最大值为（）A ．3-B ．1C ．2D ．4 5．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值。

若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（A ． 8B ．15C ． 29D ．366．不可能以直线12y x b =+作为切线的曲线是（） A ．sin y x = B ．1y x= C ．ln y x = D ． xy e =7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若)cos cos b A a B -=，则A=（）A ．12π B ． 6π C ． 4π D ．3π8．已知函数()()(2)f x x a bx a =++，(,)a b R ∈，则“0a =”是“()f x 为偶函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9．已知a ，b ，c 均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线；（2）a ∥β，β内必存在与a 相交的直线；（3）α∥β，a ⊂α，b ⊂β，必存在与a ，b 都垂直的直线；（4）α⊥β，c αβ=，a ⊂α，b ⊂β，若a 不垂直c ，则a 不垂直b 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+12x D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件{x+2y≤2,x+y≥0,x≤4,则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10 答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-23x+z3,z3表示直线y=-23x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=() A.3 B.2√2 C.2 D.√3答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2√3×√32,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 ( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案:B解析:设正品分别为A 1,A 2,A 3,次品分别为B 1,B 2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆x 225+y 2m2=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 答案:B解析:由已知a 2=25,b 2=m 2,c=4,又由a 2=b 2+c 2,可得m 2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案:A解析:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p ,q ,r ,s )|0≤p<s ≤4,0≤q<s ≤4,0≤r<s ≤4且p ,q ,r ,s ∈N },F={(t ,u ,v ,w )|0≤t<u ≤4,0≤v<w ≤4且t ,u ,v ,w ∈N },用card(X )表示集合X 中的元素个数,则card(E )+card(F )=( ) A.200 B.150 C.100 D.50 答案:A解析:E 中有序数组的要求为s 均大于p ,q ,r ,当s 取4时,p 可取0,1,2,3,q 也可取0,1,2,3,r 也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s 取3时,p ,q ,r 均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s 取2时,p ,q ,r 可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s 取1时,p ,q ,r 只能都取0,不同数组有1个,因此E 中不同元素共有64+27+8+1=100个.F 中元素要求为t<u ,v<w ,当u 取4时,t 可取0,1,2,3;当u 取3时,t 可取0,1,2;当u 取2时,t 可取0,1; 当u 取1时,t 取0,所以t ,u 的不同组合为10种.同理,v ,w 不同组合也有10种,故F 中元素个数为10×10=100,所以card(E )+card(F )=200. 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 答案:(-4,1)解析:不等式可化为x 2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x 1,x 2,…,x n 的均值x =5,则样本数据2x 1+1,2x 2+1,…,2x n +1的均值为 . 答案:11解析:由题意,y i =2x i +1(i=1,2,…,n ),则y =2x +1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b= . 答案:1解析:因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac ,即b 2=(5+2√6)(5-2√6)=1. 又b 是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t ,(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C 1的直角坐标方程为x+y=-2. 由已知得曲线C 2的普通方程为y 2=8x. 由{x +y =-2,y 2=8x ,得y 2+8y+16=0, 解得y=-4,x=2.所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 为圆O 的直径,E 为AB 延长线上一点,过E 作圆O 的切线,切点为C ,过A 作直线EC 的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2√3,则AD= . 答案:3解析:由切割线定理得EC 2=EB ·EA ,即12=EB ·(EB+4),可求得EB=2. 连接OC ,则OC ⊥DE ,所以OC ∥AD ,所以EO EA=OC AD ,即46=2AD,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan (α+π4)的值;(2)求sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解:(1)tan (α+π4)=tanα+tan π41-tanαtan π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3. (2)sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-(2cos 2α-1)-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-2cos 2α=2tanαtan 2α+tanα-2 =2×222+2-2=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220+2402=230. 因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a , 由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224, 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户), 月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户), 月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为1125+15+10+5=15,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC ∥平面PDA ; (2)证明:BC ⊥PD ;(3)求点C 到平面PDA 的距离.(1)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ∥AD.因为BC ⊄平面PDA ,AD ⊂平面PDA , 所以BC ∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ⊥CD.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以BC ⊥PD.(3)解:取CD 的中点E ,连接AE 和PE.因为PD=PC ,所以PE ⊥CD.在Rt △PED 中,PE=√PD 2-DE 2=√42-32=√7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,PE ⊂平面PDC , 所以PE ⊥平面ABCD. 由(2)知BC ⊥平面PDC. 由(1)知BC ∥AD. 所以AD ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h , 因为V 三棱锥C-PDA =V 三棱锥P-ACD ,所以13S △PDA ·h=13S △ACD ·PE , 即h=S △ACD ·PE S △PDA=12×3×6×√712×3×4=3√72, 所以点C 到平面PDA 的距离是3√72. 19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1.(1)求a 4的值;(2)证明:{a n+1-12a n }为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式.(1)解:当n=2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4(1+32+54+a 4)+5(1+32)=8(1+32+54)+1, 解得a 4=78. (2)证明:因为4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n ≥2), 即4a n+2+a n =4a n+1(n ≥2).因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2, 所以4a n+2+a n =4a n+1(n ∈N *). 因为a n+2-12a n+1a n+1-12a n=4a n+2-2a n+14a n+1-2a n=4a n+1-a n -2a n+14a n+1-2a n=2a n+1-a n 2(2a n+1-a n )=12,所以数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列. (3)解:由(2)知数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列,所以a n+1-12a n =(12)n -1, 即a n+1(12)n+1−a n(12)n =4,所以数列{a n(12)n }是以a 112=2为首项,公差为4的等差数列,所以a n(12)n =2+(n-1)×4=4n-2,即a n =(4n-2)×(12)n =(2n-1)×(12)n -1.所以数列{a n }的通项公式是a n =(2n-1)×(12)n -1. 20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0可化为(x-3)2+y 2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32, 其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53. 易知x ≤3,所以53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3). (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0),斜率为k 的直线.结合图形,(x 0-32)2+y 02=94(53<x 0≤3)表示的是一段关于x 轴对称,起点为F (53,-2√53)按逆时针方向运动到E (53,2√53)的圆弧(不含端点). 根据对称性,只需讨论在x 轴下方的圆弧. 由F (53,-2√53),则k FT =2√534-53=2√57, 而当直线L 与轨迹C 相切时,|3k 2-4k |√k +132,解得k=±34.在这里暂取k=34,因为2√57<34,所以k FT <k.结合图形,可得对于x 轴下方的圆弧,当0≤k ≤2√57或k=34时,直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-2√57≤k<0或k=-34时,直线L 与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述,当-2√57≤k ≤2√57或k=±34时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a 为实数,函数f (x )=(x-a )2+|x-a|-a (a-1). (1)若f (0)≤1,求a 的取值范围; (2)讨论f (x )的单调性;(3)当a ≥2时,讨论f (x )+4x在区间(0,+∞)内的零点个数. 解:(1)f (0)=a 2+|a|-a 2+a=|a|+a.因为f (0)≤1,所以|a|+a ≤1. 当a ≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a ≤1,所以a ≤12.所以0<a ≤12.综上所述,a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )={x 2-(2a -1)x ,x ≥a ,x 2-(2a +1)x +2a ,x <a .对于u 1=x 2-(2a-1)x ,其图象的对称轴为x=2a -12=a-12<a ,开口向上, 所以f (x )在[a ,+∞)上单调递增;对于u 2=x 2-(2a+1)x+2a ,其图象的对称轴为x=2a+12=a+12>a ,开口向上, 所以f (x )在(-∞,a )上单调递减.综上,f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(-∞,a )上单调递减. (3)由(2)得f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减, 所以f (x )min =f (a )=a-a 2.①当a=2时,f (x )min =f (2)=-2,f (x )={x 2-3x ,x ≥2,x 2-5x +4,x <2,令f (x )+4x=0,即f (x )=-4x(x>0). 因为f (x )在(0,2)上单调递减, 所以f (x )>f (2)=-2,而y=-4x 在(0,2)上单调递增,y<f (2)=-2, 所以y=f (x )与y=-4x在(0,2)上无交点. 当x ≥2时,令f (x )=x 2-3x=-4x, 即x 3-3x 2+4=0,所以x 3-2x 2-x 2+4=0. 所以(x-2)2(x+1)=0.因为x ≥2,所以x=2,即当a=2时,f (x )+4x有一个零点x=2.②当a>2时,f (x )min =f (a )=a-a 2, 当x ∈(0,a )时,f (0)=2a>4,f (a )=a-a 2,而y=-4x在x ∈(0,a )上单调递增,当x=a 时,y=-4a.下面比较f (a )=a-a 2与-4a 的大小.因为a-a 2-(-4a)=-(a 3-a 2-4)a =-(a -2)(a 2+a+2)a<0,所以f (a )=a-a 2<-4a.结合图象不难得当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个交点. 综上,当a=2时,f (x )+4x 有一个零点x=2; 当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个零点.。

[精品]广东省佛山市南海区2015高三下学期七校联合交流高中数学文科试题和答案

“七校联合体”2015届高三冲刺交流试卷数学试卷（文科）命题人：南海桂城中学 2014年5月17日本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．2．非选择题必须用0.5毫米黑色．．字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合),1(+∞-=M ，集合{}0)2(|≤+=x x x N ，则N M ⋂= A ．]2,0[ B ． ),0(+∞ C ． ]0,1(- D ． )0,1(-2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =（）输出SA ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3. 已知向量a＝，b＝(3,)m ，若向量a ，b 的夹角为6π，则实数m ＝( )A ．0 C ．．4．已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，()e x f x =，则(1)f -=（）A ．1eB ．1e- C ．e D ．e -5. 某防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生（）A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人6. 如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值7. 已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（） A ．12B ．14C ．1D ．29. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率为（） A ．35B ．57C ．45D ．6710. 对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{|M N x ⊕=()()1}M N f x f x ⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}G =，{1,2,4,8,16}H =，则集合G H ⊕=（）A. {2,4,8}B. {6,10}C. {1,16}D.{1,6,10,16}二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围为．12. 在区间（0，4）内任取两个实数，如果每个实数被取到的概率相等，那么取出的两个实数的和大于2的概率等于 . 13. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n ∈*N )等于__________.（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，C 在点()0,2-处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为15．（几何证明选讲选做题）如图，已知ABC △内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 切圆O 于A ，若30ABC ∠=︒,2AC =,则AD 的长为_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12 分）已知向量m ＝(4sin 3x ，1)，n ＝(4cos x ，4cos 2x )，f (x )＝m n ⋅ ．(1)若1)(=x f ，求)32cos(x -π的值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足b c C a =+21cos ，求函数)(B f 的取值范围17. （本小题满分12 分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在1BC D ∆内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE DM ⊥，并说明理由．ABCDA 1B 1C 119．（本小题满分14分）数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22(2)21nn n S a n S =≥-.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n S 的通项公式；（3）设()f n =k ，使()f n k ≥对一切n N *∈都成立，求k 的最大值.20. （本小题满分14分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．（1）求C 的方程．（2）若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分14分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t=：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)“七校联合体”2015届高三冲刺交流试卷参考答案一、选择题： C A C D D B B A B D二、填空题：11.(,2)-∞ 12.7813. 6 14. sin20ρθ+= 15.三、解答题：17．解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高．……… 4分（Ⅱ）设事件M：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为A BC DA 1B 1C 1O 12345,,,,B B B B B ．其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B ======= ……… 6分分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．…… 8分其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能． ……… 10分所以42()105P M ==．即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 12分 18. 解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以AC CC BC CC ⊥⊥11,,C AC BC = . 所以⊥1CC 底面ABC ．因为⊂BD 底面ABC ，所以BD CC ⊥1．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以AC BD ⊥．因为C CC AC =1 ，所以⊥BD 平面11ACC A ． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点，所以1//AB OD ．又因为⊂OD 平面1BC D ，⊄1AB 平面1BC D ，直线1AB ∥平面1BC D ……… 10分（Ⅲ）在1BCD ∆内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE DM ⊥．此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD ⊥平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ⊥．又1CE C D ⊥，1BD C D D = ，所以CE ⊥平面1BC D ．又DM ⊂平面1BC D ，所以CE DM ⊥． ……… 14分19. 解：（1）∵11a =，22(2)21n n n S a n S =≥-， ∴2122122()2()1a a a a a +=+- 解得223a =- ………………2分（2）证明：∵12--=≥n n n S S a n 时，，∴12221-=--n nn n S S S S ， ∴212)12)((n n n n S S S S =---，∴112--=-n n n n S S S S ， ………………6分 ∴)2(2111≥=--n S S n n ，数列11}1{1=S S n 是以为首项，以2为公差的等差数列. ∴122)1(11-=⨯-+=n n S n，∴121n S n =-. ………………8分（3）由（2）知1121n S n +=+，又(1)()f n f n +=11⎛+ = C 1AB CDA 1B 1ME=1==>， ………………10分 ∴()f n 在n N *∈上递增，要使()f n k ≥恒成立，只需min ()f n k ≥ ………………12分∵min ()(1)f n f ==， ∴0k <≤ ∴max k =.………………14分20．解：（1）由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0. 设D (t ，0)(t >0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0. 因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． ………………2分由p ＋2t4＝3，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . ………………4分（2）①证明：由(1)知F (1，0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D >0)．因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32by 0＝0，得b ＝－2y 0.………6分设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， ………………7分可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1，0)． ………………8分当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)．所以直线AE 过定点F (1，0)． ………………9分②由①知，直线AE 过焦点F (1，0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. ………………10分设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由y 0≠0，得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0.代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为：d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋1x 0， ………………12分则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16. ………………14分21.（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分由ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分令 ()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………5分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x =，e ()x g x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………6分因为 21ln ()xf x x-'=. 令()0f x '=，解得e x =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以ma 1()ef x ==. …………………8分又因为2e (1)()x x g x x-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以m()g x ==. …………………10分综上所述，得1e et ≤≤. …………………11分（Ⅲ）解：满足条件的n的取值集合为{3,4}. …………………14分。

(文数)(金山中学、佛山一中、广雅中学)三校联考试卷

金山中学、广雅中学、佛山市一中、三校联合测试2008-2009学年第二学期初高三综合测试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟。

第I 卷（选择题共50分）一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上）1．设全集U 为实数集R ，集合}4,3,21{,=P ，}6|{2≤+=x x x Q ，则P∩C U Q 等于 A ．{1，2} B ．{3,4} C ．{1} D.{-2，-1，0，1，2} 2．一粒骰子，抛掷一次，得到偶数的概率是 A.21 B.61 C.32 D.433．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下图，则样本在区间（10，50]上的频率为A.0.5B.0.7C.0.25D.0.05 4．若向量b a ,满足b a b a ⊥==,1且)2()32(b a k b a -⊥+，则实数k 的值为 A.-6 B.6 C.3 D.-3 5．已知函数y=21-x的图象是6.函数y=sinx+cosx+2的图象的一个对称中心的坐标是 A. )0,43(π B. )2,43(π C. )2,4(πD.)2,4(--π7．如果实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-020202y x y y x ，那么2x-y 的最小值为A.4B.2C.-4D.-68.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅AF OA ，则点A 的坐标为 A ．)22,2(±B.)2,1(± C ．(1，2) D ．)22,2(9．设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是A.l m l ⊥=⊥,,βαβαB.γβγαγα⊥⊥=,,mC.αγβγα⊥⊥⊥m ,,D.αβα⊥⊥⊥m n n ,, 10.对于任意函数f(x)(x∈D)，构造一个数列发生器，其算法如右图所示，现定义f(x)=2x ，}20080|{<<=x x D ，若输入初始值x=1，则当发生器结束工作时，总共输入的数据个数为 A.8个 B.9个 C.10个 D.11个第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

2015-金中、广雅、佛山联考

金山中学、广雅中学、佛山一中2015届高三联考高三理科综合一、单项选择题（本大题共16小题，每小题4分，共64分）1.水是生命之源，下列有关水的叙述正确的是（）A. 人体内水主要存在于细胞内环境中B. 随着年龄增长，细胞内自由水与结合水的比值越来越大C. 有氧呼吸时，H2O中的氢都来自丙酮酸的分解D. ATP转化成ADP的过程需要水2. 在实验室里用四环素培育转基因的雄性蚊子，这些蚊子与雌性蚊子交配的后代也需要四环素才能生存，但实质上不可能找到，于是会慢慢死去。

该技术有望减少登革热等疾病的发生。

下列关于该技术说法正确的是（）A.转基因技术能定向改变蚊子的基因，属于基因突变B.该转基因蚊子属于新的物种C.需要四环素才能生存这一特性是基因和环境共同作用的结果D.该技术的其中一个环节是构建基因表达载体，需要用到限制酶和DNA聚合酶3.下列有关红细胞的叙述，正确的是（）A.鸡的红细胞中不含DNA分子B.通过差速离心法可以从牛成熟红细胞中分离各种细胞器C．蛙的红细胞无丝分裂过程中没有染色体的复制D．从红细胞中提取血红蛋白过程洗涤的目的是去除杂蛋白4. 螳螂属于肉食性昆虫，夏季经常在公园路灯下发现它们的踪迹，因为那里蚊子密集。

母螳螂会在公螳螂跳上其背部进行交配后将“夫君”吃掉。

以下正确的是（）A.调查公园草地上螳螂虫卵的种群密度可以采用样方法B.公园里有的地方螳螂多有的地方螳螂少说明食物会影响群落的水平结构C．题干中的母螳螂和公螳螂是捕食关系D.“螳螂捕蝉黄雀在后”这一谚语中的食物链可表示为：蝉→螳螂→黄雀5.下图表示人体某一免疫过程，与此有关的叙述不正确的是()A. 图中表示的是细胞免疫过程，细胞a是吞噬细胞B.图中能识别抗原的细胞或物质有a、b、dC. d可在细胞内外起作用，化学本质都是蛋白质D．同种抗原再次进入人体，细胞b能大量分化成细胞c6. 酒精是实验常用的一种试剂，下列说法不正确的是A. 脂肪的鉴定实验中使用酒精的目的主要是洗去浮色B. 接种之前使用酒精擦拭工作台主要是为了灭菌，防止杂菌污染C.腐乳的制作实验中酒精的含量会影响腐乳的风味D.无水乙醇能溶解绿叶中的色素，故可用于绿叶中色素的提取实验24、有关下图示的叙述，不正确的是A．若该图表示反射弧，则兴奋在a→c一定是以电信号传导的B．若a、b、c表示生态系统中各营养级的能量值，则a>b+cC．若该图表示减数分裂过程，则基因型为Aa的小鼠产生异常配子aa可能是d过程出现差错D．若该图表示基因表达过程，则b→c过程一定发生在核糖体中25、为了调查某种遗传病的遗传方式，对该病患者小丽（女）及其家属患病情况进行了调查，部分家属调查结果如下表。

广东省佛山市第一中学2015届高三数学9月月考试题

佛山市第一中学2015届高三9月考理数试题一、选择题：〔此题共8小题，每一小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上〕1、全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝[3，＋∞)，如此图中阴影局部所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{1}2、设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，i z 211+=，如此12z z =A.i 54+B. i 4C. i 5D. 53、如下说法正确的答案是A ．命题“假设x 2＝1，如此x ＝1〞的否命题为“假设x 2＝1，如此x ≠1〞 B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0〞的否认是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1≥0〞 C ．命题“假设x ＝y ，如此sin x ＝sin y 〞的逆否命题为假命题 D ．假设“q p ∨〞为真命题，如此p ，q 中至少有一个为真命题4、假设)4,2(∈x ，如此如下结论正确的答案是A.x x x 22log 2>>B.x x x 2log 22>>C. x x x 2log 22>>D.x x x22log 2>>5、设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )＋2．当A.2013B.2014 C ．2015 D ．20166、函数|1|)(-=xe x g 的图象如右图所示，如此函数2246851022468510A B C D7、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数，x ，x x D 01)(，关于函数)(x D 有以下四个结论：①)(x D 值域为[0，1]；②)(x D 是周期函数；③)(x D 是单调函数；④)(x D 是偶函数；其中正确的结论个数为： A ．0 B ．1C ．2D ．38、如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O ，假设存在以O 为顶点的角α，使得α≥∠AOB 对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A 、B 恒成立，如此称角α为曲线Ψ的相对于点O 的“界角〞，并称其中最小的“界角〞为曲线Ψ的相对于点O 的“确界角〞．曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0 , 0 , 143 )(2x e x x x f ex〔其中e=2.71828…是自然对数的底数〕，O 为坐标原点，如此曲线C 的相对于点O 的“确界角〞为 A ．3π B ．125π C ．2π D ．127π二、填空题：(此题共6个小题，每一小题5分，共30分，请将你的答案写在答卷上相应位置〕9、3216)1258(8log -+=．10、dx xx ⎰+212)12(＝________． 11、函数x a ax x x f )1(2131)(23-+-=〔a ∈R 〕是区间)4,1(上的单调函数，如此a 的取值范围是．12、假设函数3)2(2)2()(222-+++++=k x x k x x x f 恰有两个零点，如此k 的取值范围为；13、在如下列图的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影局部), 如此其边长x (单位m )的取值范围是.14、真命题:“函数()y f x =的图像关于点),(b a P 成中心对称图形〞的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数〞.如此函数23)(23--+=x x x x f 图像的对称中心坐标为.三、解答题：此题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答〕 15、(本小题总分为12分)函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ 〔1〕求函数()f x 的最小正周期；〔6分〕〔2〕假设∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )－c ≤0，求实数c 的取值范围．〔6分〕16、(本小题总分为12分)如图,ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.⑴求证：AC ⊥平面BDE ；〔5分〕 ⑵求二面角D BE F --的余弦值；〔7分〕17、〔本小题总分为14分〕某公司从一批产品中随机抽出60件进展检测. 如下图是根据抽样检测后的产品净重〔单位：克〕数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98〕，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].〔1〕求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；〔5分〕〔2〕假设将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98〕的概率；〔3分〕〔3〕假设产品净重在[98，104)为合格产品，其余为不合格产品. 从这60件抽样产品中任选2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列与数学期望。

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷(文科)

广东省揭阳一中、金山中学2015届高考数学联考试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1＜x≤3} B．∅C．{x|x=3} D．{x|2≤x＜3}2．（5分）复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），则a7=（）A．53 B．54 C．55 D．1094．（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8B．16 C．32 D．485．（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0且f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点6．（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．4e2D．7．（5分）下列程序框图的输出结果为（）A．B．C．D．8．（5分）设θ∈（，），则关于θ的方程2=tanθ的解的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（）A．.双曲线的一支B．.椭圆C．抛物线D．射线10．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数为（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）（+）与垂直，且||=2||，则与的夹角为．12．（5分）若等比数列{a n}的前项n和为S n，且=5，则=．13．（5分）已知函数f（x）=（a＞1，x≥2）．①若∃x0∈C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用除法的运算法则：复数=﹣a﹣3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得﹣a＜0，即可判断出．解答：解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），则a7=（）A．53 B．54 C．55 D．109考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由于数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），利用“累加求和”a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，及等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，a n=a n﹣1+2n（n≥2），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n+2（n﹣1）+…+2×2+1=+1=n2+n﹣1，当n=1时也成立，∴．∴=55．故选：C．点评：本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，属于基础题．4．（5分）已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8B．16 C．32 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，求出底面面积和高，代入可得答案．解答：解：该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，底面面积S==12，高h=4，故体积．故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．（5分）对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0且f（b）＞0，则函数f（x）在区间（a，b）内（）A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：结合二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2解答：解：由二次函数的图象可知f（x）在区间（a，b）内的零点个数为0或2故选C点评：本题考查对根的存在性定理的理解，准确把握根的存在性定理的条件和结论及它们之间的关系是解题的关键．6．（5分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2B．2e2C．4e2D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意作图，求导y′=，从而写出切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；从而求面积．解答：解：如图，y′=；故y′|x=4=e2；故切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；当x=0时，y=﹣e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×e2=e2；故选A．点评：本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．7．（5分）下列程序框图的输出结果为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，得到程序的计算功能为计算S=，直到不满足条件i＞2013即可得到结论．解答：解：根据程序框图可知该程序的功能是计算S=，则根据数列求和的裂项法法可得S==1﹣=1﹣，故选：C．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件得到程序的计算功能是解决本题的关键，注意数列求和的基本方法．8．（5分）设θ∈（，），则关于θ的方程2=tanθ的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先可判断方程2=tanθ若有解，解在区间考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：由题设条件能够推导出动点M（x，y）到两定点A（1，0），C（﹣1，0）的距离之差为2，由|AC|=2，知点M的轨迹是射线．解答：解：圆C：x2+2x+y2=0的圆心C（﹣1，0），半径r==1，设平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的坐标为M（x，y），则（﹣1）﹣=1，∴﹣=2，即动点M（x，y）到两定点A（1，0），C（﹣1，0）的距离之差为2，∵|AC|=2，∴点M的轨迹是射线．故选D．点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意双曲线定义的灵活运用．10．（5分）定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数为（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：压轴题；新定义．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f （x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：有定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；f（﹣x）===﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故选：A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）（+）与垂直，且||=2||，则与的夹角为120°．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设||=1，则||=2||=2，再根据（+）与垂直，求出两向量夹角的余弦值，利用向量夹角的范围求出向量的夹角．解答：解：设||=1，∴||=2||=2，∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，∴=||||cos＜，＞=2cos=﹣1，∴cos=﹣，又0°≤cos≤180°．∴cos＜，＞=120°，故答案为：120°．点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力．12．（5分）若等比数列{a n}的前项n和为S n，且=5，则=17．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的前n项和公式，求出公比即可得到结论．解答：解：若公比q=1，则=5，∴公比q≠1．由=5得，即q2=4，∴=．故答案为：17．点评：本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．13．（5分）已知函数f（x）=（a＞1，x≥2）．①若∃x0∈，故答案为：点评：本题主要考查函数最值的应用，根据函数的单调性之间的关系是解决本题的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，过点A（4，）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为4．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，将极坐标下的点A和圆的方程化为直角坐标下的相应的点和圆，然后，根据直角三角形中的边角关系，求解切线长即可．解答：解：由ρ=4sinθ，得x2+y2﹣4y=0，∴x2+（y﹣2）2=4，根据A（4，），得A（0，﹣4），设圆心为O，半径为r，则|OA|=6，切线长为d=，故答案为：4．点评：本题重点考查点、圆的极坐标方程和直角坐标的互化、切线长的计算等知识，属于中档题．（几何证明选讲选做题）15．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，且PA=2，PB=1，则AB 的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：利用切割线定理，求出PC，BC，再利用△PAB∽△PCA，即可得出结论．解答：解：∵PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，∴PA2=PB•PC，∵PA=2，PB=1，∴PC=4，BC=3，∵△PAB∽△PCA，∴，∴，∴AB=．故答案为：．点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若x1=，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=S2，求角α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（I）根据三角函数定义求得x1=cosα，，再利用x1=，求得cosα，sinα，然后利用x2=cos（α+）=cosα﹣sinα求x2；（II）根据图形用α的三角函数表示S1、S2，利用S1=S2求得tan2α，分析2α的范围求得2α，从而求得α．解答：解：（I）由三角函数定义，得x1=cosα，，∵α∈（，），cosα=，∴sinα==，∴x2=cos（α+）=cosα﹣sinα=．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，y2=sin（）．∴S1=x1y1=sin2α，S2=|x2|y2=sin（α+）|cos（α+）|=﹣sin（2α+），∵S1=S2∴sin2α=﹣sin（2α+）=﹣sin2α﹣cos2α，整理得tan2α=﹣，∵，∴＜2α＜π，∴2α=，即α=．点评：本题主要考查三角函数的定义及三角函数恒等变形，考查了学生运用三角函数的知识解决问题的能力．17．（12分）从某校2015届高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如图．（Ⅰ）试估计这所学校2015届高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少；（Ⅱ）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（I）由频率分布直方图，结合各组累积频率为1，及每组的频率=矩形的面积=矩形的高×组距，可求出身高介于185cm～190cm的频率，进而求出身高在180cm以上的累积频率，进而根据频数=频率×样本容量得到答案．（II）根据频数=频率×样本容量，可以求出身高介于185cm～190cm的学生人数和身高介于190cm～195cm的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生的事件个数及身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm～190cm的频率为：1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.016+0.008）×5=0.06，…（3分）∴800名学生中身高在180cm以上的人数为：800×（0.016×5+0.06+0.008×5）=144人．…（6分）（Ⅱ）样本中，身高介于185cm～190cm的学生人数为50×0.06=3人，身高介于190cm～195cm的学生人数为50×0.008×5=2人．…（8分）∴“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共10种，…（10分）其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有=7种．∴所求事件的概率为…（12分）点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，其中利用公式：频数=频率×样本容量计算出满足条件的各组人数是解答的关键．18．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．（1）求证：PN∥平面ABC；（2）求证：A1M⊥AB1C1；（3）求点M到平面AA1B1的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明PN∥平面ABC，利用线面平行的判定，只需证明PN∥AC；（2）证明A1M⊥AB1C1，只需证明AC1⊥A1M，B1C1⊥A1M；（3）利用，可求点M到平面AA 1B1的距离，解答：（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点，∴CB1过点P，﹣﹣（1分）∵N为AB1的中点，∴PN∥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵AC⊂面ABC，PN⊄面ABC，∴PN∥平面ABC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证法一：连结AC1，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，∴AC=A1C1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵==，∴Rt△A1C1M～Rt△C1CA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴∠A1MC1=∠CAC1，∴∠AC1C+∠CAC1=∠AC1C+∠A1MC1=90°∴AC1⊥A1M．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且C1A1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1CC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，故A1M⊥平面A B1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）证法二：连结AC1，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，∴AC=A1C1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）设∠AC1A1=α，∠MA1C1=β∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴α+β=90°即AC1⊥A1M．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且C1A1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1CC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1故A1M⊥面A B1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）】（3）设点M到平面AA1B1的距离为h，由（2）知B1C1⊥平面AA1CC1∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴∴=．即点M到平面AA1B1的距离为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查点M到平面AA1B1的距离，用好等体积是关键．19．（14分）已知数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．（1）求a1，a2的值；（2）是否存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列？若存在，求出t的值，如不存在，请说明理由；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．分别令n=3，2，解出即可．（2）由a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2），变形为，利用“累加求和”可得a n=．．假设存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．b n+1﹣b n=一个常数即可．（3）由（2）可得：a n=．．可得数列{a n}的前n项和S n=++…+（2n+1）×3n]．，设T n=3×3+5×32+…+（2n+1）×3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）∵数列{a n}满足a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2）且a3=95．令n=3时，=95，解得a2=23．令n=2时，﹣1=23，解得a1=5．∴a2=23，a1=5．（2）由a n=3a n﹣1+3n﹣1（n∈N•，n≥2），变形为，∴=++…++=++…++=（n﹣1）﹣+=+，∴a n=．假设存在一个实数t，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．则b n+1﹣b n=﹣==，当t=0时，b n+1﹣b n=3为一个常数．因此存在一个实数t=0，使得b n=（a n+t）（n∈N）且{b n}为等差数列．（3）由（2）可得：a n=．．∴数列{a n}的前n项和S n=++…+（2n+1）×3n]．设T n=3×3+5×32+…+（2n+1）×3n，则3T n=3×32+5×33+…+（2n﹣1）×3n+（2n+1）×3n+1，∴﹣2T n=3×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n+1）×3n+1=3+﹣（2n+1）×3n+1=﹣2n×3n+1，∴T n=n×3n+1．∴数列{a n}的前n项和S n=+×3n+1．点评：本题考查了递推式的应用、“累加求和法”、“错位相减法”、等差数列的定义、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得y1•y2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．解答：解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或x=﹣．当x=时，可得A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||．同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=．于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||．综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x）﹣ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．解答：解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴=，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．点评：本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．。

广东省实验中学、广东广雅中学、佛山市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末三校联考试题(扫描版)

广东省实验中学、广东广雅中学、佛山市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末三校联考试题（扫描版）2015学年高二下学期期末省实、广雅、佛山一中三校联考理科数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1～12 DBCAB CAADD A A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 14. 0 15. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 16. 72三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）解：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=——1分即sin sin cos 0A B A B = ——2分因为sin 0A ≠，所以sin 0tan B B B =⇒=3分因为0B π<< ——4分所以3B π=——5分（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅ ——6分所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a = ——8分所以11sin 212222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅= ——10分 18.（本题满分10分）解:（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.——2分由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+. ——3分当1n =时，112a S == ——4分当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. ——5分综上可知,数列{}n a 的通项公式2n a n =. ——6分（2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+.所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. ——8分 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦. ——10分 19.（本题满分12分）解：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ——2分因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >= ——3分所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. ——4分（2）X 的可能取值为0,1,2,3 ——5分271)31()0(3===X P ， ——6分92)31)(32()1(213===C X P ——7分94)32)(31()2(223===C X P ——8分278)32()3(3===X P ——9分因为~(3,)3X B ， ——11分所以2()323E X np ==⨯= ——12分20．（本题满分12分）解：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD =AC BD ∴⊥ ——2分因为平面B D E F ⊥平面A B C D ，交线为BD ，且AC ⊂平面A B C D AC ∴⊥平面BDEF ——4分 DE ⊂平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C =,DE ∴⊥平面ABCD ——6分（2）1//,,2EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形//,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD ——8分分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(1,1),F(0,0,1)A -设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,0,1)m = ——9分设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =，由00n CF n EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,0,n =——10分所以6cos ,m n m n m n-<>==即平面AEF 与平面CEF ——12分 21．（本题满分12分）解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率,22c e a ==，—1分又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ——2分 ∴椭圆C 的方程是2212y x +=. ——3分（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. ——4分由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0. ——5分因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. ——6分当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ——7分由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=. ——8分设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩——9分又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+ ——10分()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,= ——11分TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ——12分22.（本题满分14分）解：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xa x x x a x f +-=-=2'22)(； ——1分当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数； ——2分当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a 上是减函数；——3分综上所得，①0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；——4分（2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意； ——5分当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意；—6分 ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ，即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意； ——7分综上所得，a 的取值范围是e a 2≤； ——8分（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ——9分 ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>， ——10分即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x ——12分令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F ∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立，即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证. ——14分。