新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第四篇回归教材7概率与统计练习文
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题练习 理
第4讲 导数的热点问题(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点． ②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0. 由于222222(2)e(1)x f x x a x －－＝－＋－，而()2e 2222(2)(1)0x f x x a x ＝－＋－＝， 所以222222(2)e (2)e .x x f x x x －－＝－－－设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)，所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点一 利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例1 (2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值． (1)解 因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明 令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x41－x2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)，即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33. (3)解 由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立． 当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－k －1－x2.所以当0<x < 4k －2k时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减．当0<x < 4k －2k时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k >2时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2. 思维升华 用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f (x )在[a ，b ]上是增函数，则①∀x ∈[a ，b ]，则f (a )≤f (x )≤f (b )，②对∀x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)．对于减函数有类似结论．(2)利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值m )，则对∀x ∈D ，则f (x )≤M (或f (x )≥m )．(3)证明f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，证明F (x )<0. 跟踪演练1 已知函数f (x )＝a ln x ＋1(a >0)．(1)当x >0时，求证：f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ；(2)在区间(1，e)上f (x )>x 恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 设φ(x )＝f (x )－1－a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x＝a ln x －a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x (x >0)，则φ′(x )＝a x －ax2.令φ′(x )＝0，则x ＝1，当0<x <1时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(0,1)上单调递减；当x >1时，φ′(x )>0，所以φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，故φ(x )在x ＝1处取到极小值也是最小值，故φ(x )≥φ(1)＝0，即f (x )－1≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .(2)解 由f (x )>x 得a ln x ＋1>x ，即a >x －1ln x .令g (x )＝x －1ln x (1<x <e)，则g ′(x )＝ln x －x －1x x 2.令h (x )＝ln x －x －1x (1<x <e)，则h ′(x )＝1x －1x2>0，故h (x )在区间(1，e)上单调递增，所以h (x )>h (1)＝0.因为h (x )>0，所以g ′(x )>0，即g (x )在区间(1，e)上单调递增，则g (x )<g (e)＝e －1，即x －1ln x<e －1，所以a 的取值范围为[e －1，＋∞)． 热点二 利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解． 例2 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex(x >0)，则f ′(x )＝x －ex 2(x >0)， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．思维升华 (1)函数y ＝f (x )－k 的零点问题，可转化为函数y ＝f (x )和直线y ＝k 的交点问题． (2)研究函数y ＝f (x )的值域，不仅要看最值，而且要观察随x 值的变化y 值的变化趋势． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ， 则g ′(x )＝2x－2x ＝－x ＋x －x.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以当g ′(x )＝0时，x ＝1. 当1e <x <1时，g ′(x )>0；当1<x <e 时，g ′(x )<0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g ＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.热点三 利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)作答：回归实际问题作答．跟踪演练3 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (升)，关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油(1128 000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5(升)．所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． (2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－800×640640x 2(0<x ≤120)， 令h ′(x )＝0得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数， 当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25，因为h (x )在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.已知函数f (x )＝12x 2－(2a ＋2)x ＋(2a ＋1)ln x .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52，x 1，x 2∈[1,2]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤λ|1x 1－1x 2|，求正实数λ的取值范围．押题依据 有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝12x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝x －2＋1x ，且f (1)＝－32，f ′(1)＝0，故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝－32.(2)f ′(x )＝x －(2a ＋2)＋2a ＋1x＝[x －a ＋x －x，x >0.①当2a ＋1≤0，即a ≤－12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；②当0<2a ＋1<1，即－12<a <0时，函数f (x )在(2a ＋1,1)上单调递减，在(0,2a ＋1)，(1，＋∞)上单调递增；③当2a ＋1＝1，即a ＝0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；④当2a ＋1>1，即a >0时，函数f (x )在(1,2a ＋1)上单调递减，在(0,1)，(2a ＋1，＋∞)上单调递增．(3)根据(2)，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52时，函数f (x )在[1,2]上单调递减．若x 1＝x 2，则不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤λ|1x 1－1x 2|对任意正实数λ恒成立，此时λ∈(0，＋∞)．若x 1≠x 2，不妨设1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)>f (x 2)，1x 1>1x 2，原不等式即f (x 1)－f (x 2)≤λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2， 即f (x 1)－λx 1≤f (x 2)－λx 2对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52，x 1，x 2∈[1,2]恒成立，设g (x )＝f (x )－λx ，则对任意的a ∈[32，52]，x 1，x 2∈[1,2]，不等式g (x 1)≤g (x 2)恒成立，即函数g (x )在[1,2]上为增函数，故g ′(x )≥0对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52，x ∈[1,2]恒成立． g ′(x )＝x －(2a ＋2)＋2a ＋1x ＋λx2≥0，即x 3－(2a ＋2)x 2＋(2a ＋1)x ＋λ≥0，即(2x －2x 2)a ＋x 3－2x 2＋x ＋λ≥0对任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52恒成立．由于x ∈[1,2]，2x －2x 2≤0，故只要(2x －2x 2)×52＋x 3－2x 2＋x ＋λ≥0，即x 3－7x 2＋6x ＋λ≥0对任意的x ∈[1,2]恒成立． 令h (x )＝x 3－7x 2＋6x ＋λ，x ∈[1,2]， 则h ′(x )＝3x 2－14x ＋6<0恒成立， 故函数h (x )在区间[1,2]上是减函数，所以h (x )min ＝h (2)＝λ－8，只要λ－8≥0即可，即λ≥8， 故实数λ的取值范围是[8，＋∞)．A 组 专题通关1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝3，对任意x ∈R ，f ′(x )<3，则f (x )>3x ＋6的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)答案 C解析 设g (x )＝f (x )－(3x ＋6)，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )为减函数，又g (－1)＝f (－1)－3＝0，所以根据单调性可知g (x )>0的解集是{x |x <－1}． 2．设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a <b 答案 A解析 由e a ＋2a ＝e b ＋3b ，有e a ＋3a >e b＋3b ， 令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (a )>f (b )，所以a >b ，A 正确，B 错误； 由e a －2a ＝e b －3b ，有e a －2a <e b－2b ， 令函数f (x )＝e x －2x ，则f ′(x )＝e x－2， 函数f (x )＝e x－2x 在(0，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln 2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ， 当a ，b ∈(ln 2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ， 故C ，D 错误．3．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞)答案 B解析 条件可转化为a ≤2ln x ＋x ＋3x(x >0)恒成立．设f (x )＝2ln x ＋x ＋3x，则f ′(x )＝x ＋x －x2(x >0)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝4. 所以a ≤4.4．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ln x (a ，b ，c 为常数，a >0)在区间(0,1)和(2，＋∞)上均单调递增，在(1,2)上单调递减，则函数f (x )的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 由题意可得f ′(x )＝2ax ＋b ＋c x，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2a ＋b ＋c ＝0，f ＝4a ＋b ＋c2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6a ，c ＝4a ，所以f (x )＝a (x 2－6x ＋4ln x )，则极大值f (1)＝－5a <0，极小值f (2)＝a (4ln 2－8)<0，又f (10)＝a (40＋4ln 10)>0，结合函数图象可得该函数只有一个零点，故选B.5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A ．3 dm B ．4 dm C ．6 dm D ．5 dm答案 A解析 设圆柱的底面半径为R dm ，母线长为l dm ，则V ＝πR 2l ＝27π，所以l ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R ，所以S ′表＝2πR －54πR2.令S ′表＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．故选A.6．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－4,0)解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x <0时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a <0，解得－4<a <0.7．如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝e x＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 答案 ②③解析 因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，所以函数f (x )在R 上是增函数．由y ′＝－3x 2＋1>0得－33<x <33，即函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上是增函数，故①不是“H 函数”；由y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥3－22>0恒成立，所以②为“H 函数”；由y ′＝e x>0恒成立，所以③为“H 函数”；由于④为偶函数，所以不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③.8．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2,2]时，函数y ＝f (x )的图象恒在直线l 下方，则c 的取值范围是________．答案 (－∞，－6)解析 根据题意知13x 3－x 2－3x ＋43<－92x －c 2在x ∈[－2,2]上恒成立，则－c 2>13x 3－x 2＋32x ＋43，设g (x )＝13x 3－x 2＋32x ＋43，则g ′(x )＝x 2－2x ＋32，则g ′(x )>0恒成立，所以g (x )在[－2,2]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (2)＝3，则c <－6. 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1(a ∈R )，(1)当a ＝92时，如果函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围；(2)当a ＝2时，试比较f (x )与1的大小． 解 (1)当a ＝92时，f (x )＝ln x ＋9x ＋，定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝1x－9x ＋2＝x －x －2x x ＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝2.因为当0<x <12或x >2时，f ′(x )>0，当12<x <2时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上单调递减． 所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－ln 2， 极小值是f (2)＝32＋ln 2.因为当x →0时，f (x )→－∞； 当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以当g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点时，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32＋ln 2∪(3－ln 2，＋∞)．(2)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域是(0，＋∞)， 令h (x )＝f (x )－1＝ln x ＋2x ＋1－1， 则h ′(x )＝1x－2x ＋2＝x 2＋1x x ＋2>0，所以h (x )在(0，＋∞)上是增函数． 当x >1时，h (x )>h (1)＝0，即f (x )>1； 当0<x <1时，h (x )<h (1)＝0，即f (x )<1； 当x ＝1时，h (x )＝h (1)＝0，即f (x )＝1.B 组 能力提高10．定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )<f ′(x )tan x 成立，则( )A.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin 1 C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 答案 D解析 ∵f (x )<f ′(x )tan x ， 即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x sin x ′＝fxx －f x xsin 2x>0，∴函数f xsin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sinπ3，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.11．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为________． 答案 32解析 解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t >0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t >0)，令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0， 所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.12．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－x 2在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等式f p ＋－f q ＋p －q>1恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 [15，＋∞) 解析f p ＋－f q ＋p －q＝f p ＋－f q ＋p ＋－q ＋，表示点(p ＋1，f (p ＋1))与点(q ＋1，f (q ＋1))连线的斜率，因为p ，q ∈(0,1)，所以1<p ＋1<2,1<q ＋1<2，即函数图象在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1，即f ′(x )>1在(1,2)内恒成立．由定义域可知x >－1，所以f ′(x )＝a x ＋1－2x >1，即ax ＋1>1＋2x ，所以a >(1＋2x )(x ＋1)在(1,2)内恒成立．设y ＝(1＋2x )(x ＋1)，则y ＝2x 2＋3x ＋1＝2(x ＋34)2－18，当1≤x ≤2时，函数y ＝2(x ＋34)2－18的最大值为15，所以a ≥15，即a 的取值范围为[15，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝a ·ln x －x ＋2x.(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线过点(0,4)，求函数f (x )的最大值；(2)当a <1时，若函数g (x )＝xf (x )＋x 2－2x ＋2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2内有且只有一个零点，求实数a的取值范围．(参考数值：ln 2≈0.7)解 (1)∵f ′(x )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x －x －x ＋x 2＝a ·－ln x －1x2， f ′(1)＝－a ，f (1)＝a .∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －a ＝－a (x －1)， 即y ＝－ax ＋2a .又∵该切线过点(0,4)，∴a ＝2.∴f (x )＝2·ln x －x ＋2x ，f ′(x )＝－2·1＋ln xx2， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞单调递减． ∴当x ＝1e 时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2·ln 1e －1e ＋21e＝2e －2.(2)∵g (x )＝xf (x )＋x 2－2x ＋2 ＝a (ln x －x ＋2)＋x 2－2x ＋2，∴g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－1＋2x －2＝x －ax －x，令g ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝1，显然x 1＝a 2<12，∴在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上g ′(x )<0，在(1,2)上g ′(x )>0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，在(1,2)上是增函数． 要使g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上只有一个零点， ①函数g (x )的极小值g (1)＝a ＋1＝0，即a ＝－1. ②⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，g，即⎩⎪⎨⎪⎧a ⎝⎛⎭⎪⎫ln 12＋32＋54≤0，a ln 2＋2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤54ln 2－6，a >－2ln 2.由ln 2≈0.7，可知－2ln 2<54ln 2－6，∴－2ln 2<a ≤54ln 2－6.③⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g，得⎩⎪⎨⎪⎧a >54ln 2－6，a ≤－2ln 2，a 不存在．综上，a 的取值范围为－2ln 2<a ≤54ln 2－6或a ＝－1.。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题七 概率与统计 第1讲 排列、组合、二项式定理课件 理
Tk 1 C5k (2x)5k (
x )k
C5k
25k
5
x
k 2
,
k∈{0,1,2,3,4,5}，
令 5－2k＝3，解得 k＝4，得 T5
C54
254
5 4
x2
10x3,
∴x3的系数是10.
解析答案
1 234
4.(2016·上海)在(3 x－2x)n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常
分为两步：先从 1,3,5 三个数中选一个作为个位数有 C13， 再将剩下的 4 个数字排列得到 A44，
则满足条件的五位数有 C13·A44＝72(个).选 D.
解析
1 234
2.(2016·课标全国甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会 合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公 寓可以选择的最短路径条数为( )
不同的排法种数为( )
A.480
B.720
√C.960
D.1 440
解析 把2名男生看成1个元素，和5名女生共6个元素进行全排列，
又 2 名男生的顺序可调整，故共有 A66A22种方法， 其中男生在两端的情形共 2A55A22种，
故总的方法种数为 A66A22－2A55A22＝960.故选 C.
解析
热点三 二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn，其中各项的系数就是组合 数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数；展开式中共有 n＋1 项，其中第 k＋1 项 Tk＋1＝Cknan－kbk(其中 0≤k≤n，k∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式.
2017版高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套三轮增分练 高考小题分项练 4 含答案
高考小题分项练4函数与导数1．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示（其中f′(x)是函数f（x）的导函数)，下列四个图象中y＝f（x)的图象大致是（)答案C解析由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x<－1时，xf′（x)〈0，f′（x)>0,此时f（x）单调递增；当－1<x〈0时,xf′（x)〉0,f′（x）〈0,此时f(x)单调递减；当0〈x〈1时，xf′(x）〈0，f′（x)〈0，此时f（x）单调递减;当x>1时，xf′（x）〉0，f′（x）〉0，此时f（x）单调递增．故符合f(x）的图象为C。
2．定义在R上的函数f(x）满足f(x)＋f′（x）〉1，f（0）＝4，则不等式e x f(x）>e x＋3（其中e为自然对数的底数）的解集为( ）A．（0，＋∞）B．(－∞，0)∪（3，＋∞)C．（－∞,0)∪(0，＋∞) D．(3,＋∞)答案A解析令g（x)＝e x f（x）－e x，∴g′(x）＝e x f（x）＋e x f′(x)－e x＝e x[f(x）＋f′(x)－1］，∵f（x)＋f′（x）>1，∴g′(x）>0，∴y＝g（x）在定义域上单调递增,∵e x f（x）>e x＋3，∴g(x)>3，∵g（0)＝3,∴g(x)〉g（0），∴x>0，故选A。
3．不等式e x－x〉ax的解集为P，且(0,2］⊆P，则a的取值范围是( ）A．(－∞，e－1) B．（e－1，＋∞)C．(－∞，e＋1）D．（e＋1，＋∞)答案A解析不等式e x－x>ax在（0，2］上恒成立,即a<（错误!－1)min，x∈(0，2]，令y＝错误!－1，x∈(0,2］，则y′＝错误!＝0⇒x＝1，列表分析可得x＝1时，y＝错误!－1取最小值e－1，从而a的取值范围是（－∞，e －1)，故选A。
4．若函数f（x)＝－错误!ln x－错误!(a〉0，b>0）的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是( ）A．4 B．22C．2 D。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇
10.二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值， 求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相 对位置关系. (2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次 项系数可能为零的情形. [问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的取值范 围为____－__∞__，__14_ ___.
第四篇 回归教材，纠错例析，帮你Hale Waihona Puke 少高考失分点2. 函数与导数
栏目索引
1 要点回扣 2 易错警示 3 查缺补漏
要点回扣
(－1,1)∪(1，＋∞)
答案
2.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对 应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.
[问题 2] 已知函数 f(x)＝ln1－x，2ax≥x＋1 3a，x<1， 的值域为 R，那么 a 的
[问题 3] 函数 y＝2x2＋x 1(x≥0)的值域为___12_，__1_ _. 解析 方法一 ∵x≥0，∴2x≥1，∴1－y y≥1， 解得12≤y<1.∴其值域为 y∈12，1. 方法二 y＝1－2x＋1 1，∵x≥0，∴0<2x＋1 1≤12，
∴y∈12，1.
lg1－x2 lg1－x2 f(x)＝－x－2－2＝ －x .
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
解析答案
5.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|). (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0. “f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件.
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材4 数列、不等式练习 文
4.数列、不等式1．等差数列及其性质(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1 (n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n n －1 2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A2．等比数列及其性质 (1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)． (2)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . [问题2] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.答案 (1)512 (2)103．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法．(5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1 ，S n －S n －1 n ≥2 ，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[问题3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n)(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案 n ·2n解析 令x ＝2，y ＝2n －1，则f (xy )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列{a n 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得a n2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n＝n ·2n.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法 如：1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1；1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k .(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． 答案 925．如何解含参数的一元二次不等式解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合． [问题5] 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (a >0)． 解 原不等式化为(x －1a)(x －1)<0.∴当0<a <1时，不等式的解集为{x |1<x <1a}；当a >1时，不等式的解集为{x |1a<x <1}；当a ＝1时，不等式的解集为∅. 6．处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法． (2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[问题6] 如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <0答案 C解析 当k ＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k ＝0符合题意． 当k ≠0时，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧k <0， 2k 2－4k ·[－ k ＋2 ]<0，解得－1<k <0.所以－1<k ≤0.7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”． 常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值． [问题7] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析 由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋4b a＋3ab≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号．8．解决线性规划问题有三步 (1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离． (3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值． 利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题： (1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝－2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax 取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围．[问题8] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3答案 B解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，所以2a ＋0＝4，此时a ＝2.易错点1 忽视等比数列中q 的范围例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列{a n }的公比q ＝________.易错分析 没有考虑等比数列求和公式S n ＝a 1 1－q n1－q中q ≠1的条件，本题中q ＝1恰好符合题目条件．解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，得a 1 1－q 3 1－q ＋a 1 1－q 6 1－q ＝a 1 1－q 9 1－q.∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 易错分析 要去掉|a n |的绝对值符号，要考虑a n 的符号，对n 不讨论或讨论不当容易导致错误．解 a n ＝21－4(n －1)＝25－4n . 当n ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－2n 2＋23n ； 当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝2n 2－23n ＋132.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n ，n ≤6，2n 2－23n ＋132，n ≥7.易错点3 已知S n 求a n 时忽略n ＝1例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n . 易错分析 a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2，若忽略对n ＝1时的验证则出错． 解 因为a n ＋1＝2S n ， 所以S n ＋1＝3S n ，所以S n ＋1S n＝3.因为S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，S n ＝3n －1(n ∈N *)．所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2×3n －2(n ≥2)，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －2，n ≥2.易错点4 数列最值问题忽略n 的限制例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(910)n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是( )A ．第6项或第7项B ．第7项或第8项C ．第8项或第9项D ．第7项易错分析 求解数列{a n }的前n 项和S n 的最值，无论是利用S n 还是利用a n 来求，都要注意n 的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误．解析 因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)(910)n ＋1－(n ＋2)(910)n ＝(910)n ·7－n 10，当n ＜7时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝7时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞7时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .故a 1＜a 2＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞a 10…，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B. 答案 B易错点5 裂项法求和搞错剩余项例5 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A.n2B.nn ＋1C.2n n ＋1D.4nn ＋1易错分析 裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误．一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的． 解析 由已知得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1n ＋1(1＋2＋…＋n )＝n2， 从而b n ＝1a n a n ＋1＝1n 2·n ＋12＝4(1n －1n ＋1)，所以数列{b n }的前n 项和为S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋(13－14) ＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1.故选D. 答案 D易错点6 线性规划问题最优解判断错误例6 P (x ，y )满足|x |＋|y |≤1，求ax ＋y 的最大值及最小值．易错分析 由ax ＋y ＝t ，得y ＝－ax ＋t ，欲求t 的最值，要看参数a 的符号．忽视参数的符号变化，易导致最值错误．解 ①当a <－1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过点(－1,0)与(1,0)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为－a ，a .②当－1≤a ≤1时，直线y ＝－ax ＋t 分别为(0,1)与(0，－1)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为1，－1.③当a >1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过点(1,0)与(－1,0)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为a ，－a .易错点7 运用基本不等式忽视条件例7 函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为________．易错分析 应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域．解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.设t ＝x 2＋4，则t ≥2，所以函数变为f (t )＝t ＋1t(t ≥2)．这时，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (t )≥f (2)＝52，所以函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52.答案 521．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么{a n }的前7项和S 7等于( )A ．22B ．24C ．26D ．28答案 D解析 由已知得a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 因为{a n }是正项等比数列， 所以a m ＋1·a m －1＝2a m ＝a 2m ，a m ＝2， 又T 2m －1＝a 1a 2…a 2m －1＝a 2m －1m ，所以22m －1＝512＝29，m ＝5.3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830答案 D解析 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1； 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， 所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30× 3＋119 2＝30×61＝1 830.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n ＜－4成立的最小自然数n 为( ) A ．83 B ．82 C ．81 D ．80 答案 C 解析 ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∴S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)＜－4，解得n ＞34－1＝80.故最小自然数n 的值为81.5．已知曲线C ：y ＝1x(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( ) A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列 答案 A解析 由题意，B 1，B 2两点的坐标分别为(x 1，1x 1)，(x 2，1x 2)，所以直线B 1B 2的方程为y ＝－1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1，令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，所以x 3＝x 1＋x 2，因此，x 1，x 32，x 2成等差数列．6．已知a ，b 都是负实数，则aa ＋2b ＋ba ＋b的最小值是( )A.56 B ．2(2－1) C ．22－1 D ．2(2＋1)答案 B解析 aa ＋2b ＋ba ＋b ＝a 2＋2ab ＋2b 2a 2＋3ab ＋2b 2＝1－aba 2＋3ab ＋2b 2＝1－1a b ＋2b a＋3≥1－122＋3＝2(2－1)．7．若关于x 的不等式x 2＋mx －4≥0在区间[1,4]上有解，则实数m 的最小值是________． 答案 －3解析 由题意知，原题等价于m ≥4x －x 在区间[1,4]上有解，令f (x )＝4x－x (x ∈[1,4])，则m ≥f (x )min .因为f (x )＝4x －x 在区间[1,4]上单调递减，所以f (x )min ＝f (4)＝44－4＝－3，所以m ≥－3，故实数m 的最小值是－3.8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．答案 [3，＋∞)解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．直线y ＝kx －1显然经过定点M (0，－1)，由图形直接观察知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1和直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－ －1 1－0＝3，因此k ≥3. 9．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且1＋a 11a 10<0.若S n 存在最大值，则满足S n >0的n 的最大值为________．答案 19解析 因为S n 有最大值，则数列{a n }单调递减，又a 11a 10<－1，则a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，所以S 19＝19×a 1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝20×a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故n 的最大值为19.10．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2 x －a ·2x －a ＋2a ＝4＋2a . 由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32， 即实数a 的最小值为32.11．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)且方程f (x )－x ＋12＝0有两实根x 1＝3，x 2＝4. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )≤ k ＋1 x －k 2－x. 解 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)． (2)不等式即为x 22－x ≤ k ＋1 x －k 2－x ， 可化为x 2－ k ＋1 x ＋k 2－x≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2 x －1 x －k ≥0，x －2≠0.①当1＜k ＜2时，解集为x ∈[1，k ]∪(2，＋∞)；②当k ＝2时，解集为x ∈[1,2)∪(2，＋∞)；③当k >2时，解集为x ∈[1,2)∪[k ，＋∞)．12．(2016·湖南师大附中等四校联考)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)∵a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，∴a n ＋1－a n ＝6，∴{a n }是等差数列．∵{a n }的首项为a 1＝1，公差为6，∴a n ＝6n －5.(2)∵b n ＝2n ，∴a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1.当n ≥2时， a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2.当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，∴a n ＝2n ＋1＋2.由λa n >2n ＋n ＋2λ，得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1. ∵n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， ∴当n ＝1,2时，2n ＋n 2n ＋1取最大值34， ∴λ的取值范围为(34，＋∞)．。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第2讲 数列的
第2讲 数列的求和问题1．(2016·课标全国甲)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28， 解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.2．(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝n ＋n ＋1n ＋n＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一 分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n[ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3. 当n 为偶数时， S n ＝2×1－3n1－3＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1 (2015·湖南)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .(1)证明 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝33n－12. 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝33n－12－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －32－，n 是奇数，32n2－，n 是偶数.热点二 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝2,3S n ＝5a n －a n －1＋3S n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)3S n －3S n －1＝5a n －a n －1(n ≥2)， ∴2a n ＝a n －1，a n a n －1＝12， 又∵a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2＝22－n.(2)b n ＝(2n －1)22－n，T n ＝1×21＋3×20＋5×2－1＋…＋(2n －1)·22－n ，12T n ＝1×20＋3×2－1＋…＋(2n －3)·22－n ＋(2n －1)·21－n ， ∴12T n ＝2＋2(20＋2－1＋…＋22－n )－(2n －1)·21－n ＝2＋2[1－－1n －1]1－2－1－(2n －1)21－n＝6－(2n ＋3)·21－n，∴T n ＝12－(2n ＋3)·22－n.思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．跟踪演练2 已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)． (1)求a n ；(2)若b n ＝2n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n －3，∴当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3， 两式相减得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 化简得，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵{a n }是正项数列，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1－2＝0，对任意n ≥2，n ∈N *都有a n －a n －1＝2， 又由4S 1＝a 21＋2a 1－3得，a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，∴{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)由已知及(1)知，b n ＝(2n ＋1)·2n ，T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②②－①得，T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋ (2))＋(2n ＋1)·2n ＋1＝－6－2×－2n －11－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1.热点三 裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于{1a n a n ＋1}或{1a n a n ＋2}(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．例3 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2. (1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴q 2＋9＋3d ＝27,6＋d ＝q 2，解得q ＝3，d ＝3. ∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意及(1)，得S n ＝n＋3n2， c n ＝32S n ＝32×23·1n n ＋＝1n －1n ＋1.所以T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 思维升华 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件． (2)常用的裂项公式 ①1nn ＋k ＝1k (1n －1n ＋k)； ②1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)； ③1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．跟踪演练3 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 5＝15，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前m 项和为910，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n 有( ) A ．最小值63 B ．最大值63 C ．最小值31 D ．最大值31答案 (1)B (2)A解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋5×42d ＝15，∴a 1＝d ＝1，∴a n ＝n ， ∴1a n ·a n ＋1＝1n －1n ＋1.∴1a 1·a 2＋1a 2·a 3＋1a 3·a 4＋…＋1a m ·a m ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1m －1m ＋1＝1－1m ＋1＝m m ＋1＝910， ∴m ＝9. (2)∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝log 22－log 2(n ＋2) ＝log 22n ＋2，由S n <－5＝log 2132⇒2n ＋2<132⇒n >62， 故使S n <－5成立的正整数n 有最小值63.1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋22nnn ＋，其前n 项和为S n ，若存在M ∈Z ，满足对任意的n ∈N *，都有S n <M 恒成立，则M 的最小值为________．押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循． 答案 1解析 因为a n ＝n ＋22nn n ＋＝n ＋－n2nn n ＋＝12n －1n －12nn ＋，所以S n ＝(120×1－121×2)＋(121×2－122×3)＋…＋[12n －1n －12nn ＋]＝1－12nn ＋，由于1－12n n ＋<1，所以M 的最小值为1.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且4a 3是a 1与2a 2的等差中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用a n ，S n 的关系求a n ，也是高考出题的常见形式．解 (1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)， 所以a 1＝a ，当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)，①S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，②由①－②，得a n ＝a ·a n －1， 即a na n －1＝a ， 故{a n }是首项a 1＝a ，公比为a 的等比数列， 所以a n ＝a ·an －1＝a n.故a 2＝a 2，a 3＝a 3.由4a 3是a 1与2a 2的等差中项，可得8a 3＝a 1＋2a 2， 即8a 3＝a ＋2a 2，因为a ≠0，整理得8a 2－2a －1＝0， 即(2a －1)(4a ＋1)＝0， 解得a ＝12或a ＝－14(舍去)，故a n ＝(12)n ＝12n .(2)由(1)，得b n ＝2n ＋1a n＝(2n ＋1)·2n，所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，①2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.A 组 专题通关1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1答案 A解析 因为a n ＝2n －1＋12n ，所以S n ＝n＋2n －2＋－12n121－12＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3答案 C解析 由S n ＝n 2－6n 可得， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7. 当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，也满足上式， ∴a n ＝2n －7，n ∈N *.∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0. ∴当n ≤3时，T n ＝|S n |＝6n －n 2， 当n >3时，T n ＝S n ＋2|S 3|＝n 2－6n ＋18.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.3．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)，则S 20等于( ) A ．31 B ．122 C ．324 D ．484答案 B解析 由题意得，因为a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)， 所以a 1＝1，a 2＝25，a 3＝3，a 4＝45，a 5＝5，a 6＝65，…，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为25，公差为25的等差数列，所以S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝122，故选B.4．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2 016的值为( )A ．－12B ．－1C.12 D ．1答案 D解析 由a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，得a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，…，由上可知，数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又a 1a 2a 3＝2×12×(－1)＝－1，且2 016＝3×672.∴T 2 016＝(－1)672＝1. 故选D.5．1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋1210 的值为( )A ．18＋129B ．20＋1210C ．22＋1211D ．18＋1210答案 B解析 设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1[1－12n ]1－12＝2[1－(12)n]，原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2[1－(12)1]＋2[1－(12)2]＋…＋2[1－(12)11]＝2[11－(12＋122＋…＋1211)]＝2[11－12－12111－12] ＝2[11－(1－1211)]＝2(11－1＋1211)＝20＋1210.6．设f (x )＝4x4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2， ∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________. 答案 480解析 方法一 依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465； 当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.方法二 ∵a n ＋2＋(－1)na n ＝1，∴a 3－a 1＝1，a 5－a 3＝1，a 7－a 5＝1，…，且a 4＋a 2＝1，a 6＋a 4＝1，a 8＋a 6＝1，…，∴{a 2n －1}为等差数列，且a 2n －1＝1＋(n －1)×1＝n ，即a 1＝1，a 3＝2，a 5＝3，a 7＝4，∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋1＋2＝4，S 8－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3＋4＋1＝8， S 12－S 8＝a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5＋6＋1＝12，…，∴S 60＝4×15＋15×142×4＝480. 8．定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝________. 答案 1021解析 由定义可知a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＝5(n ＋1)2，可求得a n ＋1＝10n＋5，所以a n ＝10n －5，则b n ＝2n －1，又1b n b n ＋1＝12(1b n －1b n ＋1)， 所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝12(1b 1－1b 2＋1b 2－…－1b 10＋1b 10－1b 11) ＝12(1b 1－1b 11)＝1021. 9．(2015·福建)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝22n a －＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝－2101－2＋＋2 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.10．已知在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n (S n －12)． (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明T n <12. (1)解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1代入S 2n ＝a n (S n －12)，得2S n S n －1＋S n －S n －1＝0，由于S n ≠0， 所以1S n －1S n －1＝2， 所以{1S n }是首项为1，公差为2的等差数列，从而1S n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝12n －1. (2)证明 因为b n ＝S n 2n ＋1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)， 所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)<12， 所以T n <12. B 组 能力提高11．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝64－4n 5，设A n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12| (n ∈N *)，则当A n 取最小值时，n 的值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案 D解析 令a n ＝0，得a 16＝0，所得a 16－i ＋a 16＋i ＝0 (i ∈N *)． 因为A n 是等差数列{a n }中连续13项的和的绝对值，A n ≥0. 因此取n ＝10时，a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12＝0，即A n ＝0最小，故选D.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于( ) A ．1 509B ．3 018C ．1 512D ．2 016 答案 C解析 因为a 1＝12， a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12，n ＝2k －k ∈N *，1，n ＝2k k ∈N *故数列的前2 016项的和等于 S 2 016＝1 008×(1＋12)＝1 512.13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(1n 2＋n ，a n ) (n ∈N *)，若a ∥b ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为________．答案 1解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(1n 2＋n ，a n ) (n ∈N *)， a ∥b ，所以1·a n －1n 2＋n·2＝0， 即a n ＝2n 2＋n ＝2(1n －1n ＋1)， 从而数列{a n }的前n 项和为S n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1＝21＋1n ， 显然当n ＝1时，S n 取得最小值，为1.14．已知{a n }是一个公差d 大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋n 2，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵a 3＋a 5＝a 2＋a 6＝14，a 3a 5＝45，∴a 3＝5，a 5＝9或a 3＝9，a 5＝5，∵d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 5＝a 1＋4d ＝9⇒a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)由b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋n 2， 得b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝2n －1＋n 2， b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1＝2(n －1)－1＋(n －1)2(n ≥2)，两式相减得b n 2n ＝2n ＋1，∴b n ＝2n (2n ＋1)(n ≥2)， 又b 12＝a 1＋1，∴b 1＝4， ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n n ＋，n ≥2，4，n ＝1.记T n ＝b 2＋b 3＋…＋b n ， 则T n ＝22×5＋23×7＋…＋2n (2n ＋1)， 2T n ＝23×5＋24×7＋…＋2n ＋1(2n ＋1)， 两式相减得－T n ＝4＋2n ＋1(1－2n )， 则T n ＝2n ＋1(2n －1)－4，∴S n ＝2n ＋1(2n －1)．。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 专题九 数学思想方法练习 理
【新步步高】（全国甲卷）2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题九 数学思想方法练习 理高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想．一、函数与方程思想例1 (1)已知正四棱锥S —ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1 B. 3 C ．2D ．3(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12C.32D.3－1答案 (1)C (2)D解析 (1)设正四棱锥S —ABCD 的底面边长为a (a >0)，则高h ＝SA 2－2a22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6 (a >0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′>0，得0<a <4；令y ′<0，得a >4.故函数y 在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝ 12－a 22＝2，故选C.(2)设F (－c,0)，A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c －3＝－1，3×m －c 2＋n 2＝0，解得A (c 2，32c )，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1，所以b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，所以(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， 所以c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，所以e 4－8e 2＋4＝0，所以e 2＝4±23， 所以e ＝3－1或e ＝3＋1(舍去)． 即椭圆C 的离心率为3－1.思维升华 函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1 (1)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )<xf ′(x )，则( ) A ．2f (1)<f (2) B ．2f (1)>f (2) C ．2f (1)＝f (2)D ．f (1)＝f (2)(2)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x ＋2π3)C ．y ＝2sin(x 2－π3)D ．y ＝2sin(2x －π3)答案 (1)A (2)B解析 (1)由于f (x )<xf ′(x )， 则(f x x )′＝fx x －f xx 2>0恒成立，因此f xx在R 上是单调递增函数， ∴f 2>f1，即f (2)>2f (1)，故选A.(2)依函数图象，知y 的最大值为2，所以A ＝2.又T 2＝5π12－(－π12)＝π2， 所以T ＝π，又2πω＝π，所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)． 将(－π12，2)代入可得sin(－π6＋φ)＝1，故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<π，所以φ＝2π3.所以函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋2π3)，故选B.二、数形结合思想例 2 (1)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|.则满足AP →⊥BC →的实数t 的值为________． 答案 (1)(0,2) (2)12解析 (1)由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示．则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点． (2)以A 点为坐标原点，AB →，AC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则有A (0,0)，B (1t ，0)，C (0，t )，由AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|可知P (1,4)，则AP →＝(1,4)，又BC →＝(－1t，t )，AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝(1,4)·(－1t ，t )＝－1t ＋4t ＝0，解得t ＝12(负值舍去)．思维升华 数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围． (3)构建解析几何模型求最值或范围．(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________． 答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)2 2解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)如图，S Rt△PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |，当CP ⊥l 时，|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， ∴此时|PA |min ＝|PC |2－|AC |2＝2 2. ∴(S 四边形PACB )min ＝2(S △PAC )min ＝2 2.三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3 (1)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．答案 (1)C (2)2或72解析 (1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 2PF 1＝90°， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或72.思维升华 分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．跟踪演练3 (1)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( )A.32B. 5C.32或52D.32或 5 (2)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)(－1,0)∪(0，＋∞) 解析 (1)因为m 是2和8的等比中项，所以m 2＝2×8＝16，所以m ＝±4.当m ＝4时，圆锥曲线y 24＋x 2＝1是椭圆，其离心率e ＝c a ＝32；当m ＝－4时，圆锥曲线x 2－y 24＝1是双曲线，其离心率e ＝c a ＝51＝ 5.综上知，选项D 正确． (2)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q>0，即1－qn1－q >0(n ＝1,2,3，…)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0.②由①，得－1<q <1，由②，得q >1. 故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．四、转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 例4 (1)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，任意的x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，142] B ．(1，＋∞)C ．(1，142) D ．[1，142] (2)定义运算：(a b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(ab )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )⊗x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)D解析 (1)依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max .f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x2. 由f ′(x )>0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1,3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1,2]． 当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b >2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解，综上所述，b 的取值范围是(－∞，142]．故选A. (2)1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，由(－31)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.思维升华 转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程、不等式问题求解．(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．跟踪演练4 (1)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．(2)已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．答案 (1)(－373，－5) (2)4解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立， 或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)时恒成立，所以m ＋4≥2t－3t (t ∈[1,2])恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为(－373，－5)．(2)原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为t 2－22a≥1＋t 2－12－t＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4.A 组 专题通关1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数f (x )＝2x －5－x ，则有f (－y )＝2－y －5y，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .所以x ＋y ≤0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1答案 C解析 分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2a ＋＝3.②①无解，由②得，a ＝7， 所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，故选C.3．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.4．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，定点G (0，c )．若双曲线上存在一点P满足|PF |＝|PG |，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．[3，＋∞) D ．(1，3)答案 A解析 由题意知线段FG 的中垂线y ＝－x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，联立方程，由Δ≥0化简可得b ≥a ，所以e ≥2，但是当e ＝2时，双曲线是等轴双曲线，此时线段FG 的中垂线与双曲线的渐近线y ＝－x 重合，显然不合题意，综上，故选A.5．已知0<a <b <1，则( ) A.1b >1aB ．(12)a <(12)bC ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b答案 D解析 ∵0<a <b <1，∴a －1>b －1，故A 错误； 又y ＝(12)x是减函数，∴(12)a >(12)b，故B 错误； 又y ＝lg x 是增函数， ∴lg a <lg b <0， ∴(lg a )2>(lg b )2，1lg a >1lg b， 故C 错误，D 正确．故选D.6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，点E 在线段AD 上且AE ＝3，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 翻折，使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D —EC —B 的余弦值为( )A.45B.56C.67D.78答案 D解析 如图所示，在Rt△DEC 中，过D 作DH ⊥CE 于H ，易得EH ＝15，DH ＝25，在△BEH 中，BH 2＝BE 2＋EH 2－2BE ·EH ·cos∠BEH ＝BE 2＋EH 2－2BE ·EH ·BE 2＋CE 2－BC 22BE ·CE ＝13＋15－2·13·15·13＋5－162·13·5＝645⇒BH ＝85，∴BH 2＋EH 2＝645＋15＝13＝BE 2，∴BH ⊥EH ，∴∠DHB 即为二面角D —EC —B 的平面角， 在△DHB 中，cos∠DHB ＝645＋45－82·85·25＝78，故选D.7．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12C ．0D ．－12或0答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线y ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．由图形可知斜率k 的值为0或－12.8．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1－q31－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12.9．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 A解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f x x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f xx 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f xx＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f xx＜0⇔f (x )＞0.综上，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.10．对任意x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B解析 不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立⇔不等式x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0恒成立⇔Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ＝－3(y －1)2＋12(1－a )≤0，要使得上式恒成立，则有1－a ≤0成立，故a ≥1，故选B.11．将函数y ＝sin(4x －π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________． 答案5π24解析 把y ＝sin(4x －π3)的图象上所有的点向左平移m 个单位长度后，得到y ＝sin[4(x ＋m )－π3]＝sin(4x ＋4m －π3)的图象， 而此图象关于y 轴对称，则4m －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得m ＝14k π＋5π24(k ∈Z )，又m >0，所以m 的最小值为5π24.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．答案 (10,12)解析 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2(x＋4x )×10，即y ＝80＋20(x ＋4x )(x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．B 组 能力提高14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．15．(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a n n}是等比数列； (2)求通项a n 与前n 项的和S n . (1)证明 因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N *时，a n n≠0.又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常数， 所以{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12·(12)n －1， 所以a n ＝n ·(12)n.∴S n ＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n，12S n ＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n ·(12)n ＋1， ∴12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1 ＝12－12n ＋11－12－n ·(12)n ＋1，∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n＝2－(n ＋2)·(12)n.综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n.17．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x1＋x .(1)求f (x )的极小值；(2)若a >0，b >0，求证：ln a －ln b ≥1－ba. (1)解 f ′(x )＝11＋x －1＋x －x＋x 2＝x＋x2(x >－1)．令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况列表如下：由上表可知，x ＝0(2)证明 由(1)知，在x ＝0时，f (x )取得极小值，而且是最小值，于是f (x )≥f (0)＝0，从而ln(1＋x )≥x1＋x在x >－1时恒成立，令1＋x ＝a b >0，则x 1＋x ＝1－1x ＋1＝1－ba，∴ln a －ln b ＝ln ab ≥1－b a.因此ln a －ln b ≥1－b a在a >0，b >0时成立． ∴ln a －ln b ≥1－b a.。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第四篇回归教材纠错分析6解析几何练习理
6．解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是____________________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线方程的五种形式(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为___________．答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0 3．两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；③l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2. (2)若已知直线的一般方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则： ①l 1∥l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； ③l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；④l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0.[问题3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[问题4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 答案1513265．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系来判定．(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断． [问题6] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1答案 C解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝3＋25＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.7．圆锥曲线的定义和性质[问题7] 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x答案 B解析 依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3答案 C解析 由题意可知直线l 的方程为y ＝22(x －p2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22x －p2，得N (p 4，－22p )，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|FM |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2.易错点1 直线的倾斜角和斜率关系不清例1 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．[0，π4]∪[3π4，π)C ．[0，π4]D ．[0，π4]∪[π2，π)易错分析 本题易混淆α和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围．解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1， 又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B易错点2 忽视直线的特殊位置例2 已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0.求使l 1∥l 2的a 的值． 易错分析 本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a ＝0的情况． 解 当直线斜率不存在，即a ＝0时，有l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2； 当直线斜率存在时，l 1∥l 2⇔－32a ＝3a －1a ⇔a ＝－16，经检验，a ＝－16符合题意．故使l 1∥l 2的a 的值为－16或0.易错点3 焦点位置考虑不全例3 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝______.易错分析 本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x 轴上导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论．解析 ①当椭圆的焦点在x 轴上时， 则由方程，得a 2＝4，即a ＝2. 又e ＝ca ＝32， 所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16. 答案 1或16易错点4 忽视二次项系数讨论和判别式限制例4 求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点．易错分析 直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点．Δ>0是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．解 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直于x 轴，因为过点(0,1)，所以x ＝0，即y 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 相切；②当直线斜率存在时，设所求的直线为y ＝kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，所以k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0.当k ＝0时，方程有一解，直线与抛物线仅有一个交点，所以直线为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝0，方程有一解，直线与抛物线也仅有一个交点，解得k ＝12，所以所求直线为y ＝12x ＋1.综上，满足条件的直线为：y ＝1，x ＝0，y ＝12x ＋1.易错点5 定点问题思路不清例5 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．易错分析 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的思路不清，找错方程的常数解．证明 由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设l AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得xM ＝x A ＋x B 2＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M (k 2＋2k ，2k)．因为CD ⊥AB ，所以k CD ＝－1k .以－1k代k ，同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为(2k 2＋1－k 2＋2k2)(y ＋2k )＝(－2k －2k)(x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过点(3,0)．1．设向量a ＝(a,1)，b ＝(1，b )(ab ≠0)，若a ⊥b ，则直线b 2x ＋y ＝0与直线x －a 2y ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．重合答案 B解析 由题意知两直线都经过点(0,0)，因为a ⊥b ，所以a·b ＝a ＋b ＝0，所以a ＝－b ，由于直线b 2x ＋y ＝0的斜率为－b 2，直线x －a 2y ＝0的斜率为1a 2，则(－b 2)·1a2＝－1，故两直线垂直．2．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 答案 D解析 如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝π6，∠BPA ＝π3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.3．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19 D.49答案 A解析 两圆方程可化为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，由题意知两圆外切，∴a 2＋4b 2＝3， 即a 2＋4b 2＝9， ∴1a 2＋1b 2＝(1a 2＋1b2)×a 2＋4b 29＝19(5＋a 2b 2＋4b 2a 2) ≥19(5＋2a 2b 2·4b 2a 2)＝1. 当且仅当a ＝±2b 时取等号，∴(1a2＋1b2)min ＝1.4．点F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，在此椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.22 C.33D.66答案 C解析 由∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝2|PF 2|， 可得∠PF 2F 1＝90°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|2|PF 2|＋|PF 2|＝33.5．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( )A.33 B ．1 C.233D ．2答案 A解析 设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－(a ＋b2)2＝34(a ＋b )2， ∵a ＋b ＝|AF |＋|BF |＝2|MN |， ∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33.6．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0， 解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.7．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________． 答案2解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝ 2. 8．已知点A (－2,0)，B (2,0)，过点A 作直线l 与以A ，B 为焦点的椭圆交于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________． 答案x 28＋y 24＝1 解析 根据题意，知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，①由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2＞4)，②由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|2k |1＋k2＝1，解得k 2＝13.将①代入②，得(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0，设点M 的坐标为(x 1，y 1)，点N 的坐标为(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－a 2a 2－3.又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，所以|x 1＋x 2|＝85，即－a 2a 2－3＝－85，解得a 2＝8.所以该椭圆的标准方程为x 28＋y24＝1.9．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．解 (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a ＝2＋0＋2＋16＝42， 所以a ＝22，b ＝2， 即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k ，x 1x 2＝－42＋k ， 所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8， 因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2， 所以OE →·OF →的取值范围是[－8,2]． 10.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k k －1＋2k 2，x 1x 2＝2k k －1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )(1x 1＋1x 2)＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇
7．概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． 答案 24解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] (2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．3．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．[问题3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为________．答案 77.5解析 由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5.4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i－x y i－y ∑i ＝1nx i－x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． 答案 (x ，y )5．互斥事件的概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 236．古典概型P (A )＝mn(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)．[问题6] (2015·广东)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 答案 B解析 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p ＝610＝0.6.7．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[问题7] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 8．解排列组合问题的常用策略相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果．[问题8] 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种． 答案 144解析 把4个球分成3组，每组至少1个，即分的小球个数分别为2,1,1的3组，有C 24C 12C 11A 22种．最后将三组球放入4个盒中的3个，有分配方法数A 34种，因此，放法共有C 24C 12C 11A 22×A 34＝144(种)．9．二项式系数的性质(1)对称性：C k n ＝C n －kn (k ＝0,1,2，…，n )．(2)系数和：C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.(3)最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第(n2＋1)项，二项式系数为2C n n；n 为奇数时，(n ＋1)为偶数，中间两项的二项式系数最大为第n ＋12项及第n ＋12＋1项，其二项式系数为1122CC.n n nn--=[问题9] 已知(x ＋1241x )n展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及该项的系数． 解 (1)前三项系数为1，12C 1n ，14C 2n ，成等差数列，所以2×12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0，得n ＝1(舍)或n ＝8.(2)由n ＝8可知其通项公式为T k ＋1＝C k 8(x )8－k·(1241x)k34481()C 0,182k k k x k ⋅⋅⋅－＝，＝，，，所以第三项的二项式系数为C 28＝28， 第三项系数为(12)2C 28＝7.10．条件概率P (A |B )＝P ABP B.[问题10] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3511．离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的均值、方差：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值，D (X )＝[x 1－E (X )]2p 1＋[x 2－E (X )]2p 2＋…＋[x n －E (X )]2p n 叫做这个离散型随机变量X 的方差．(2)两点分布与二项分布的均值、方差．①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．[问题11] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.答案209解析 根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.12．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[问题12] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 抽样方法理解不准例1 一个总体中100个个体的编号为0,1,2,3，…，99，并依次按其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果第0组(号码0～9)随机抽取的号码为l ，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的个位数为l ＋k 或l ＋k －10(如果l ＋k ≥10)．若l ＝6，则所抽取的第5组的号码是________．易错分析本题易错点有两个：一是忽视题中对组号的描述，误以为第一个号码6为第一组的号码导致错误；二是忽视系统抽样号码抽样法则的制定，误以为组距为10，所以每组抽取号码的个位数都为6.所以解决此类问题，一定要根据题中的条件准确进行编号与抽样．解析由题意，第0组抽取的号码为6，则第一组抽取的号码的个位数为6＋1＝7，所以选17.因为7＋1＝8，第二组抽取号码的个位数为8，故选28.因为8＋1＝9，第三组抽取号码的个位数为9，故选39.因为9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四组抽取号码的个位数为0，故选40.因为0＋1＝1，第五组抽取号码的个位数为1，故选51.答案51易错点2 误解基本事件的等可能性例2 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．易错分析解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错．解析将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P＝336＝112.故填112.答案112易错点3 几何概型中“测度”确定不准例3 在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率；(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．易错分析本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点M 生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解．解(1)如图所示，AB＝2AC.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (AM ＜AC )＝AC 2AC ＝22. (2)由于在∠ABC 内作射线CM ，等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (AM ＜AC )＝∠ACC ′∠ACB ＝π－π42π2＝34.易错点4 互斥事件概念不清例4 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互为互斥事件的是________；互为对立事件的是________．易错分析 对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．解析 因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅，故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝Ω，故B 与D 互为对立事件． 答案 A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D B 与D易错点5 排列、组合问题混淆例5 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？易错分析 搞不清几个元素之间有无顺序，混淆排列与组合的区别． 解 由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法． 对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点6 概率计算时是否有序理解不清例6 袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是13，从B 中摸出一个白球的概率为p .从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (1)求恰好摸5次停止的概率；(2)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列．易错分析 注意题中的摸球是“有放回地”，另外条件“有3次摸到红球即停止”在解题中要充分考虑．解 (1)C 24×(13)2×(23)2×13＝881.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3. 由n 次独立重复试验概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k， 得P (ξ＝0)＝C 05×(1－13)5＝32243，P (ξ＝1)＝C 15×13×(1－13)4＝80243， P (ξ＝2)＝C 25×(13)2×(1－13)3＝80243， P (ξ＝3)＝1－32＋80×2243＝1781. 随机变量的分布列是1．某学校利用系统抽样的方法，从学校高三年级全体1 000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，共分50组．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是( ) A ．177 B ．157 C ．417 D ．367答案 B解析 根据系统抽样法的特点，可知抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组的编号是17＋(8－1)×20＝157.2．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,86答案 A解析 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87. ∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15 答案 D解析 如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.4．(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12答案 B解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.5．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h 的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)答案 300解析 由图可知，车速大于等于90 km/h 的车辆未标出频率，而小于90 km/h 的都标出了，故考虑对立事件．由题图知车速小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以车速不小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为1－0.7＝0.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90 km/h 的汽车有1 000×0.3＝300(辆)．6．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖产品的销售额y (单位：万元)与当天的平均气温x (单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x 与y 的数据列于下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得y 与x 之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－125，则a ^＝________. 答案775解析 由表中数据可得x ＝－4，y ＝25，所以线性回归方程y ^＝－125x ＋a ^过点(－4,25)，代入方程得25＝－125×(－4)＋a ^，解得a ^＝775.7．如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值分别为________，________.答案 6 4解析 x 甲＝75＋82＋84＋＋x ＋90＋936＝85，解得x ＝6，由题图可知y ＝4.8．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率为______．答案 25解析 设2名男生为A ，B,3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，…，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求概率为1－610＝25. 9．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________． 答案 189256解析 该人投篮4次，命中3次的概率为P 1＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝2764； 该人投篮4次，命中4次的概率为P 2＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256， 故至少命中3次的概率是P ＝2764＋81256＝189256. 10．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值； (2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列和均值E (X )． 解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝n －nn －， 则n －n n －≥12. 化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16，故n 的最大值为16.(2)由题意可得，X的可能取值为0,1,2.则P(X＝0)＝C26C212＝522，P(X＝1)＝C16C16C212＝611，P(X＝2)＝C26C212＝522，X的分布列为∴E(X)＝0×522＋1×611＋2×522＝1.。
【新步步高】2017版高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套三轮增分练 高考中档大题规范练(一)
高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 2．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(1)证明 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)解 由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 3．(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得，a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4， 所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4. 所以2cos A ＋cos C＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4， 所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 4．(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }． f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减． 5．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin2B ＝sin B cos B ， 由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇
2．函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [问题1] 函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是________________．答案 (－1,1)∪(1，＋∞)2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12.3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．[问题3] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析 方法一 ∵x ≥0，∴2x≥1，∴y1－y ≥1，解得12≤y <1.∴其值域为y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 方法二 y ＝1－12x＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤12， ∴y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4] f (x )＝－x2|x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．答案 奇解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝－x2－x －－2＝－x 2－x.∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． 5．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0. “f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件． [问题5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数 答案 D解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0， 解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x1－x ，函数f (x )的定义域是(－1,1)，在此定义域内f (x )＝lg 1＋x1－x＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.6．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题．(3)对于解析式较复杂的，一般用导数． (4)对于抽象函数，一般用定义法．[问题6] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________________． 答案 [0,1)，[2，＋∞)解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x －x ，|log 2－xx，作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．7．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a .[问题7] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f (52)＝________.答案 －18．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[问题8] 函数y ＝3xx －1的对称中心是________． 答案 (1,3)9．如何求方程根的个数或范围求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理． [问题9] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)答案 B解析 ∵f (1)＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0， ∴f (x )的零点在区间(1,2)内． 10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 11．利用导数研究函数单调性的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根．(4)将函数y ＝f (x )的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间．(5)确定f ′(x )在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性． 特别提醒：(1)多个单调区间不能用“∪”连接；(2)f (x )为减函数时f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.[问题11] 函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x －1在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 [43，＋∞)解析 f (x )＝ax 3－2x 2＋x －1的导数f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－12a ≤0，解得a ≥43.a ＝43时，f ′(x )＝(2x －1)2≥0，且只有x ＝12时，f ′(x )＝0，∴a ＝43符合题意．12．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[问题12] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．答案 x ＝113．利用导数解决不等式问题的思想(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max <0. (2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[问题13] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间[13，2]上是增函数，则实数a的取值范围为________． 答案 [43，＋∞)解析 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在[13，2]上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在[13，2]上恒成立，因为(－x ＋1x )max ＝83，所以2a ≥83，即a ≥43.易错点1 忽视函数的定义域例1 函数y ＝12log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为__________．易错分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x 2－5x ＋6>0.解析 由x 2－5x ＋6＞0知{x |x ＞3或x ＜2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝12log (x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．答案 (－∞，2)例2 已知奇函数f (x )是定义在(－3,3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)＋f (x 2－3)<0，求x 的取值范围．易错分析 解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首位．解 由⎩⎪⎨⎪⎧－3<x －3<3，－3<x 2－3<3，得⎩⎨⎧0<x <6，－6<x <6，故0<x < 6. 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)＝f (3－x 2)． 又f (x )在(－3,3)上是减函数，∴x －3>3－x 2，即x 2＋x －6>0，解得x >2或x <－3. 综上得2<x <6，即x 的取值范围为(2，6)．易错点2 分段函数意义不清例 3 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，a 2－ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________________．易错分析 只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求．解析 若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2－1＞0，a 2－0≥1，解之得a ≤－2； 若函数在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－1＞0，a 2－0≤1，解得1＜a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2]． 答案 (－∞，－2]∪(1，2]易错点3 函数零点求解讨论不全面例4 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1}C ．(－∞，0)∪{1}D ．(－∞，1)易错分析 解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m ＝0的讨论，就会错选C.解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.故选B. 答案 B易错点4 混淆“在点”和“过点”致误例5 曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 易错分析 “在点”处的切线，说明点在曲线上，且点是切点．“过点”的切线，说明切线经过点：当这个点不在曲线上时，一定不是切点；当这个点在曲线上时，也未必是切点． 解 设切点坐标M (x 0，x 30－3x 0)．因为点M 在切线上，所以x 30－3x 0＝(3x 20－3)x 0＋16，得x 0＝－2，所以切线方程为y ＝9x ＋16.易错点5 极值点条件不清例6 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.易错分析 把f ′(x 0)＝0作为x 0为极值点的充要条件，没有对a ，b 值进行验证，导致增解． 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3＋2a ＋b ＝0， ①f ＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．在x ＝1两侧的符号相反，符合题意． 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去． 综上可知，a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7. 答案 －7易错点6 函数单调性与导数关系理解不准确例7 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．易错分析 误认为f ′(x )＞0恒成立是f (x )在R 上是增函数的必要条件，漏掉f ′(x )＝0的情况．解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.答案 [13，＋∞)1．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 函数f (x )＝x 2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不符合题意；函数f (x )＝2|x |是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不符合题意；函数f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f (x )＝sin x 是奇函数，不符合题意．故选C.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f x ，0<x <1， 则f [(12)32]的值是( )A ．－1B ．1 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵(12)32<1，∴f [(12)32]＝f (212－)，又212－<1，∴f [(12)32]＝f (212－)＝f (212)＝log 2212＝12.3．(2016·合肥检测)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A ．－1B.45C ．1D ．－45答案 A解析 f (x )周期为4，f (log 220)＝f [log 2(24×54)]＝f (4＋log 254)＝f (log 254)＝－f (log 245)＝－(24log 52＋15)＝－1.4．下列各式中错误的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4答案 C解析 构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 正确；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错．5．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈[－π2，π2]的图象大致是( )答案 D解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A 、B.f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，所以选D.6．已知y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0，则关于x 的函数g (x )＝f (x )＋1x的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2 答案 C解析 因为函数g (x )＝f (x )＋1x，可得x ≠0，所以g (x )的零点跟xg (x )的非零零点是完全一样的， 故我们考虑xg (x )＝xf (x )＋1的零点， 由于当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0， ①当x >0时，(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x ) ＝x (f ′(x )＋f xx)>0， ∴在(0，＋∞)上，函数xg (x )单调递增．又f (x )在R 上可导，∴当x ∈(0，＋∞)时，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立， 因此，在(0，＋∞)上，函数xg (x )＝xf (x )＋1没有零点．②当x <0时，因为(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x )＝x (f ′(x )＋f xx)<0，故函数xg (x )在(－∞，0)上是递减函数，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，故函数xg (x )在(－∞，0)上无零点．综上可得，函数g (x )＝f (x )＋1x在R 上的零点个数为0.7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________． 答案 (－2,2)解析 因为f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)． 又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以|x |<2，所以－2<x <2.8．若函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 0解析 由题意知，f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)为偶函数，即ln(x 2－ax ＋1)＝ln(x 2＋ax ＋1)，即x 2－ax ＋1＝x 2＋ax ＋1，显然a ＝0.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为________． 答案 [－18，0]解析 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12(x ＋12)2－18， 所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18； 当x ＝0时，f (x )max ＝0.10．已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1<x 1<x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为__________．答案 b <a <c解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，所以y ＝f (x )关于x ＝1对称．又1<x 1<x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又f (－12)＝f (52)，且2<52<3， 所以f (2)<f (52)<f (3)，即b <a <c . 11．已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2－3m 2x ＋1，m ∈R . (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求m 的取值范围．解 (1)当m ＝1时，f (x )＝13x 3＋x 2－3x ＋1， 又f ′(x )＝x 2＋2x －3，所以f ′(2)＝5.又f (2)＝53，所以所求切线方程为y －53＝5(x －2)， 即15x －3y －25＝0.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为15x －3y －25＝0.(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx －3m 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－3m 或x ＝m .当m ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，不符合题意．当m >0时，f (x )的单调递减区间是(－3m ，m )，若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≤－2，m ≥3，解得m ≥3. 当m <0时，f (x )的单调递减区间是(m ，－3m )，若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－2，－3m ≥3，解得m ≤－2. 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．12．已知函数f (x )＝mx －m x ，g (x )＝2ln x .(1)当m ＝1时，判断方程f (x )＝g (x )在区间(1，＋∞)上有无实根；(2)若x ∈(1，e]时，不等式f (x )－g (x )<2恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)m ＝1时，令h (x )＝f (x )－g (x )＝x －1x －2ln x ，h ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x －2x 2≥0，∴h (x )在(0，＋∞)上为增函数，又h (1)＝0，∴f (x )＝g (x )在(1，＋∞)内无实数根．(2)∵1<x ≤e，∴mx －m x －2ln x <2恒成立，即m (x 2－1)<2x ＋2x ln x 恒成立，又x 2－1>0，∴m <2x ＋2x ln xx 2－1恒成立，令G (x )＝2x ＋2x ln xx 2－1，只需m 小于G (x )的最小值，G ′(x )＝－x 2ln x ＋ln x ＋x 2－2，∵1<x ≤e，∴ln x >0，∴当x ∈(1，e]时，G ′(x )<0，∴G (x )在(1，e]上单调递减，∴G (x )在(1，e]上的最小值为G (e)＝4ee 2－1，则m 的取值范围是(－∞，4ee 2－1)．。
【新】2017版高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套第四篇 回归教材 纠错分析5
5．立体几何1．几何体的三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图下面，侧(左)视图放在正(主)视图右面，“长对正，高平齐，宽相等．”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体． (2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．答案 432．空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[问题2] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD.32π答案 D3．空间平行问题的转化关系平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[问题3] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号． (1)如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面．( ) (2)如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行．( ) (3)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) (4)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 4．空间垂直问题的转化关系线线垂直线面垂直的判定线面垂直的定义线面垂直面面垂直的判定面面垂直的性质面面垂直垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有： 等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等． [问题4] 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 C5．多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[问题5] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．48 3答案 D解析 如图，设球的半径为R ，由43πR 3＝32π3，得R ＝2.所以正三棱柱的高h ＝4. 设其底面边长为a ， 则13·32a ＝2， 所以a ＝43， 所以V ＝34×(43)2×4＝48 3. 6．求平面的法向量的方法(1)性质法：根据线面垂直的判定找出与平面垂直的直线，则此直线的方向向量就是平面的法向量．(2)赋值法：在平面内取两个不共线向量，设出平面的法向量建立方程组，通过赋值求出其中的一个法向量． 7．“转化法”求空间角(1)设两条异面直线a ，b 所成的角为θ，两条直线的方向向量分别为a ，b . 因为θ∈(0，π2]，故有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b|a||b ||.(2)设直线l 和平面α所成的角为θ，l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|＝|l·n|l||n||.(3)设二面角α—l —β的大小为θ，n 1，n 2是二面角α—l —β的两个半平面的法向量，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，两个角之间的关系需要根据二面角的取值范围来确定．[问题6] 在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值． 解 ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，射线OP 为z 轴正方向，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (如图)．设AB ＝a ，则A (22a,0,0)，B (0，22a,0)，C (－22a,0,0)， 设OP ＝h ，则P (0,0，h )，由12P A ＝AB ，则P A ＝2a ，则P ＝(0,0,72a )，P A →＝( 22a,0，－72a )． 可求得平面PBC 的一个法向量为n ＝(1，－1，－17)， ∴cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，设P A 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈P A →，n 〉|＝21030.8．求点到平面的距离的方法(1)“等积法”：求解点到面的距离常转化为锥体的高，利用三棱锥体积公式求点到平面的距离．(2)“向量法”：如图，设P 在平面α外，n 为平面α的法向量，在平面α内任取一点Q ，则点P 到平面α的距离d ＝|PQ →·n ||n |.[问题7] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为________． 答案24解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 设平面ABC 1D 1的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又OD 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|n ·OD 1→||n |＝122＝24.易错点1 三视图识图不准例1 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．易错分析 解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体的形状时出错，不能正确判断其对应的几何体；(2)计算时不能准确把三视图中的数据转化为对应几何体中的线段长度，尤其侧视图中的数据处理很容易出错．解析 该几何体为一个四棱锥，如图所示．CD ⊥底面P AD ，BA ⊥底面P AD ， P A ⊥AD ，P A ＝AD ＝CD ＝2，AB ＝1. PC ＝23，PB ＝5，BC ＝ 5. ∴S △PBC ＝12×23×2＝ 6.该几何体的表面积S ＝(1＋2)×22＋12×2×1＋12×22×2＋12×2×2＋6＝6＋22＋ 6.答案 6＋22＋ 6易错点2 旋转体辨识不清例2 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．易错分析 注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD .在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD ，在计算时没有减掉半球的体积． 解 由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V 圆台＝13×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝43π×23×12＝163π(cm 3)．所以旋转体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．易错点3 线面关系把握不准例3 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且a ⊄α，a ⊄β，则下列结论中不成立的是( ) A ．若b ⊂β，a ∥b ，则a ∥β B ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α C ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α D ．若α⊥β，a ⊥β，b ∥a ，则b ∥α易错分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提——a ⊄α，a ⊄β，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误．如A 项中忽视已知条件中的a ⊄β，误以为该项错误等． 解析 对于选项A ，若有b ⊂β，a ∥b ，且已知a ⊄β，所以根据线面平行的判定定理可得a ∥β，故选项A 正确；对于选项B ，若a ⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知a ⊂α或a ∥α，而由已知可知a ⊄α，所以有a ∥α，故选项B 正确；对于选项C ，若a ⊥b ，b ⊥α，所以a ⊂α或a ∥α，而由已知可得a ⊄α，所以a ∥α，故选项C 正确；对于选项D ，由a ⊥β，b ∥a 可得b ⊥β，又因为α⊥β，所以b ⊂α或b ∥α，故不能得到b ∥α，所以选项D 错，故选D. 答案 D易错点4 线面关系论证不严谨例4 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C .易错分析 利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题． 证明 (1)连接BD 1，如图所示．在△DD 1B 中，E ，F 分别为DD 1，DB 的中点，则⎭⎬⎫EF ∥D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF ⊄平面ABC 1D 1⇒EF ∥平面ABC 1D 1.(2)ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体⇒AB ⊥平面BCC 1B 1⇒⎭⎬⎫B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC 1AB ，BC 1⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1＝B⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥平面ABC 1D 1 BD 1⊂平面ABC 1D 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥BD 1 EF ∥BD 1⇒EF ⊥B 1C .易错点5 混淆空间角与向量夹角例5 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ；(2)求二面角E —BF —C 的正弦值．易错分析 本题易错点在于认为两个平面法向量的夹角等于所求二面角的大小．根据向量计算出二面角的余弦值的绝对值后，其大小还要通过二面角的取值范围确定．(1)证明 由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，C (0,2,0)， 因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0,2,0)，因此EF →·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)解 在图中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面BEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 又BF →＝(32，12，0)，BE →＝(0，12，32)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个法向量n 2＝(1，－3，1)．设二面角E —BF —C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||＝15. 因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.1．已知m ，n 为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αC ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αD ．若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 答案 D解析 对于选项A ，若m ∥α，m ∥β，则可能α，β相交，或者α∥β，所以选项A 不正确；对于选项B ，若m ⊥α，m ⊥n ，则可能n ⊂α，或n ∥α，所以选项B 不正确；对于选项C ，若m ∥α，m ∥n ，则n ⊂α，或n ∥α，所以选项C 不正确；对于选项D ，若m ⊥α，m ∥β，则由线面平行可得在平面β内存在一条直线l ，使得m ∥l ，然后由m ⊥α可得l ⊥α，进而得出α⊥β，故应选D.2．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8cm 3B ．12cm 3C.323cm 3D.403cm 3答案 C解析 该几何体是棱长为2cm 的正方体与一底面边长为2cm 的正方形、高为2cm 的正四棱锥组成的组合体，V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323cm 3.故选C.3．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么( )A ．P A ＝PB >PC B ．P A ＝PB <PC C ．P A ＝PB ＝PCD ．P A ≠PB ≠PC 答案 C解析 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故P A ＝PB ＝PC .4．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 答案 D解析 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，A 错误；平面P AB 与平面ABD 垂直，所以平面P AB 一定不与平面PBC 垂直，B 错误；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，C 错误；直线PD 与平面ABC 所成角为∠PDA ，在Rt △P AD 中，AD ＝P A ， 所以∠PDA ＝45°，D 正确．5.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 B解析 作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论②不正确．6.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案 平行解析 由AM MB ＝ANND ，得MN ∥BD .而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ， 所以MN ∥平面BDC .7．球O 内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O 的体积是________． 答案 43π解析 由于正方体的顶点都在球面上，则正方体的对角线即为球的直径．正方体的全面积为24，则设正方体的边长为a ，即有6a 2＝24，解得a ＝2，设球的半径为R ，则2R ＝23，解得，R ＝3，则有球的体积为V ＝43πR 3＝43π×33＝43π.8．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则过A 、M 、C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________．答案 32＋14 解析 由图形可知，当AM ＋MC 1最小时，所得截面的周长最小，如图所示把平面A 1ABB 1与平面C 1CBB 1展开成一个平面AA 1C 1C ，则AM ＋MC 1最短为AC 1＝32＋32＝32，所以截面的最小周长为32＋(5)2＋32＝32＋14.9．(2015·山东改编)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______． 答案5π3解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－π3×12×1＝5π3.10．如图，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB与△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A—PD—B的余弦值．(1)证明如图，取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，则由△P AB和△P AD都是等边三角形可知P A＝PB＝PD，∴OA＝OB＝OD，即点O为正方形ADEB对角线的交点，故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，∴OE⊥PB，∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD，因此PB⊥CD.(2)解由(1)可知，OE，OB，OP两两垂直，以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB＝2，则A(－2，0,0)，D(0，－2，0)，P(0,0，2)，AD →＝(2，－2，0)，AP →＝(2，0，2)， 设平面P AD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， n ·AD →＝2x －2y ＝0，n ·AP →＝2x ＋2z ＝0， 取x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，得n ＝(1,1，－1)，∵OE ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ，取m ＝(1,0,0)， 由图象可知二面角A —PD —B 的大小为锐角， ∴二面角A —PD —B 的余弦值为 cos θ＝|n·m||n||m |＝13＝33.。
2017版高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套三轮增分练 高考小题分项练 7 含答案
高考小题分项练7数列1．在等比数列{a n}中，若a1＝错误!，a4＝3，则该数列前五项的积为( )A．±3B．3C．±1D．1答案D解析因为a4＝a1q3，3＝错误!×q3，q＝3，所以a1a2a3a4a5＝a错误!＝（a1q2)5＝(错误!×9)5＝1，故选D.2．已知数列｛a n}是公差为2的等差数列,且a1，a2，a5成等比数列，则a2为( ）A．－2 B．－3C．2 D．3答案D解析a1＝a2－2，a5＝a2＋6,∴a错误!＝a1a5＝（a2－2）(a2＋6)，解得a2＝3，故选D.3．等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若错误!＝错误!，则错误!等于（）A．2 B.错误! C.错误! D.错误!答案C解析当n＝3时，错误!＝错误!＝错误!,∴错误!＝错误!。
故选C。
4．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2,a n＋2＝(1＋cos2错误!)a n＋sin2错误!，则该数列的前12项和为( ）A．211 B．212C．126 D．147答案D解析∵a1＝1,a2＝2，a n＋2＝(1＋cos2错误!)a n＋sin2错误!，∴a3＝a1＋1＝2，a4＝2a2＝4，…，a2k－1＝a2k－3＋1，a2k＝2a2k－2 (k∈N*，k≥2）．∴数列{a2k－1}成等差数列,数列｛a2k}成等比数列．∴该数列的前12项和为（a1＋a3＋…＋a11)＋（a2＋a4＋…＋a12）＝(1＋2＋…＋6）＋(2＋22＋…＋26）＝错误!＋错误!＝21＋27－2＝147。
故选D。
5．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，且a2＋a7＋a12＝24,则S13等于（)A．52 B．78C．104 D．208答案C解析由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以，S13＝错误!＝13a7＝104，故选C。
6．正项等比数列{a n}中的a1，a4 031是函数f(x）＝错误!x3－4x2＋6x－3的极值点，则log错误!a2 016等于（)A．1 B．2C.错误!D．－1答案A解析∵f′（x)＝x2－8x＋6，∴a1·a4 031＝6，∴a错误!＝6,∵a2 016〉0,a2 016＝1。
2017版高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套三轮增分练 高考小题分项练 11 含答案
高考小题分项练11计数原理1．将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（) A．36种B．30种C．24种D．20种答案C解析根据题意，首先分配甲,有2种方法，再分配其余的三人，分两种情况：①其中有一个人与甲在同一个学校，有A错误!＝6（种)情况；②没有人与甲在同一个学校，则有C错误!·A错误!＝6（种）情况．所以若甲要求不到A学校,则不同的分配方案有2×(6＋6）＝24(种），故选C。
2．若二项式(2x＋错误!）7的展开式中错误!的系数是84，则实数a等于（)A．2 B。
错误!C．1 D。
错误!答案C解析二项式(2x＋错误!)7的通项公式为T k＋1＝C错误!（2x）7－k（错误!）k＝C错误!27－k a k x7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5。
故展开式中错误!的系数是C错误!22a5＝84，解得a＝1.3．（2015·湖南）已知错误!5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a等于（ ）A 。
错误!B ．－错误!C ．6D ．－6 答案 D 解析错误!5的展开式通项T k ＋1＝C 错误!x 52k -（－1）k a k·x 2k -＝（－1)k a k Ck，5x 52k -，令错误!－k ＝错误!，则k ＝1，∴T 2＝－a C 错误!x 32，∴－a C 错误!＝30，∴a ＝－6，故选D.4．淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不同分派方法种数为( ） A ．150 B ．180 C ．200 D ．280答案 A 解析错误!A 错误!＋C 错误!A 错误!＝150.5．已知实数a ,m 满足a ＝π2π2-⎰cos x d x ，(x ＋a ＋m ）7＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x＋1)2＋…＋a 7(x ＋1）7且（a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－（a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝37，则m 等于( ) A ．－1或3 B ．1或－3 C ．1D ．3答案 B解析 ∵a ＝π2π2-⎰cos x d x ，∴a ＝sin x ｜π2π2-＝2。
2017版高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套三轮增分练 高考小题分项练 12 含答案
高考小题分项练12概率1．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是（）A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球C．3个都是红球D．至少有一个红球答案C解析事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球”说明有白球,白球的个数可能是1或2，和事件“1个白球2个红球”，“2个白球1个红球”，“至少有一个红球"都能同时发生，既不互斥，也不对立．故选C.2．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（）A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!答案B解析如图，原正六边形为ABCDEF，最小的正六边形为A 1B 1C 1D 1E 1F 1。
设AB ＝a ，由已知得，∠AOB ＝60°，则OA ＝a ，∠AOM ＝30°，则OM ＝OA cos∠AOM ＝a ·cos 30°＝错误!,即中间的正六边形的边长为错误!;以此类推，最小的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为OB 1＝错误!OM ＝错误!·错误!＝错误!,所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P ＝111111A B C D E F ABCDEF S S 正六边形正六边形＝错误!＝错误!，故选B 。
3．一个三位自然数的百位,十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b 且c 〉b 时称为“凹数"．若a ，b ，c ∈｛4，5,6，7,8}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位数abc ，则它为“凹数”的概率是( )A.错误!B.错误! C 。
16D 。
错误!答案 D解析 根据题意，当且仅当a >b 且c 〉b 时称为“凹数”，在｛4，5,6，7,8｝的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A 3，5＝60种,在{4，5,6,7，8}中取3个不同的数，将4放在十位上，再将2个数排在百位、个位上，有A错误!＝12（种）;将5放在十位上，再将2个数排在百位、个位上,有A错误!＝6（种）;将6放在十位上，再将2个数排在百、个位上,有A22＝2（种）．根据分类加法计数原理，可得共有12＋6＋2＝20（种），所以构成“凹数”的概率为错误!＝错误!，故选D.4．设a∈[1，4］，b∈[1,4］，现随机地抽出一对有序实数对(a,b)，则使得函数f(x）＝4x2＋a2与函数g(x）＝－4错误!x的图象有交点的概率为( )A.错误!B。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第4讲 推理与证明练习 理
第4讲 推理与证明1．(2016·课标全国丙)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个 答案 C解析 第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A 24个，其中110100；110010；110001,101100不符合题意，三个1都不在一起时有C 34个，共2＋8＋4＝14(个)． 2．(2016·山东)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43n (n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.3．(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案 1和3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一 归纳推理1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． 2．归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论例1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (8,12)＝____________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有______________________． 答案 (1)288 (2)f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)原已知式子可化为N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ， 由归纳推理可得N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，故N (8,12)＝12－22×82＋4－122×8＝288.(2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．跟踪演练1 (1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A ．48,49B ．62,63C ．75,76D ．84,85(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．答案 (1)D (2)503503603解析 (1)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件． (2)按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是503603.热点二 类比推理1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 2．类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论例2 (1)已知结论：“在正△ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是△ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x－e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论______________________． 答案 (1)C (2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y 解析 (1)如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM－MO ＝63－612＝64， 故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.(2)ch x ch y －sh x sh y ＝e x＋e －x2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e－y2＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y)＝14(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y＋e －x －y2＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ， 或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ， 或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．跟踪演练2 (1)公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有一相应的S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，该等差数列的公差为________．(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为____________________． 答案 (1)300 (2)x 0x a 2－y 0yb 2＝1 解析 (1)在等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，我们可以类比推断出：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也构成等差数列，公差为100d ＝300.(2)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过点P 1，P 2的切线的方程分别为x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2xa2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，所以x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)都在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.热点三 直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．例3 已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1) (n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2na ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.(1)解 由已知得a n ＋1＝a n ＋1， 则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明 由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n.b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n<0， 所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用．跟踪演练3 (1)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c； (2)已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负根． 证明 (1)要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列， 故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．(2)假设x 0是f (x )＝0的负根， 则x 0<0，且x 0≠－1，0002,1x x ax -=-+ 所以001x a <<⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负根．热点四 数学归纳法 数学归纳法证明的步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对任意n ≥n 0，且n ∈N *时，结论都成立．例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1n ，f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2n ，n ＝1，S 2n －S n －1，n ≥2.(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)由题意知f (1)＝S 2＝1＋12＝32，f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝1312， f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920.(2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1； 下面用数学归纳法证明： 当n ≥3时，f (n )<1.①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，f (k )<1， 即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k <1，那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1＋12k ＋2－1k<1＋(12k ＋1－12k )＋(12k ＋2－12k )＝1＋2k －k ＋2k k ＋＋2k －k ＋2k k ＋＝1－12kk ＋－1kk ＋<1，所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立． 由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1. 所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1； 当n ≥3时，f (n )<1.思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．难点在于寻求等式在n ＝k 和n ＝k ＋1时的联系． 跟踪演练4 设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解 ∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a；a 4＝f (a 3)＝a3＋a. 猜想a n ＝an －＋a(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a k －＋a， 则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k ＝a ·ak －＋a a ＋ak －＋a＝a k －＋a ＋1＝a k ＋－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n ∈N *， 都有a n ＝a n －＋a.1．将正整数作如下分组：(1)， (2,3)， (4,5,6)， (7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)， (16,17,18,19,20,21)， (22,23,24,25,26,27,28)，…分别计算各组包含的正整数的和，如下所示：S 1＝1， S 2＝2＋3＝5， S 3＝4＋5＋6＝15， S 4＝7＋8＋9＋10＝34， S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S 7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2 015＝________.押题依据 数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度． 答案 1 0084解析 由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14； 当n ＝2时，S 1＋S 3＝16＝24； 当n ＝3时，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34； 当n ＝4时，S 1＋S 3＋S 5＋S 7＝256＝44； ……猜想：S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4. ∴S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2 015＝1 0084.2．已知下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x3≥4，…，则第n 个不等式为________________．押题依据 根据n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．答案 x ＋n nxn ≥n ＋1解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是x ，不同之处在于第二个式子，当n ＝1时，为1x；当n ＝2时，为4x 2；当n ＝3时，为27x3；……显然式子中的分子与分母是对应的，分母为x n ，分子是n n，所以不等式左边的式子为x ＋n nxn ，显然不等式右边的式子为n ＋1，所以第n 个不等式为x ＋n nxn ≥n ＋1.3．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，证明：数列{S n }不是等比数列． 押题依据 反证法是一种重要的证明方法，对含“至多”“至少”等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及．证明 假设{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与q ≠0矛盾，故{S n }不是等比数列．A 组 专题通关1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199答案 C解析 观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第10项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…， 第10项为123，即a 10＋b 10＝123.2．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 答案 C解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都大于－2，即a ＋1b >－2，b ＋1c>－2，c ＋1a>－2，将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以假设不成立，故选C.3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确答案 C解析 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．4．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 A解析 假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A. 5．设a ，b ∈R ，定义：M (a ，b )＝a ＋b ＋|a －b |2，m (a ，b )＝a ＋b －|a －b |2，则下列式子错误的是( )A ．M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋bB ．m (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |－|b |C ．M (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |＋|b |D ．m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b ) 答案 B解析 ∵M (a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，m (a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，∴m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b )，D 正确；M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋b ，A 正确；m (|a ＋b |，|a －b |)＝min{|a ＋b |2，|a －b |2}＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |， ab <0，|a －b |， ab ≥0，B 错误；M (|a ＋b |，|a －b |)＝max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |＝|a |＋|b |，ab ≥0，|a －b |＝|a |＋|b |，ab <0，C 正确．故选B.6．对于任意的两个实数对(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，规定：(x 1，y 1)＝(x 2，y 2)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2；运算“⊗”为(x 1，y 1)⊗(x 2，y 2)＝(x 1x 2－y 1y 2，y 1x 2＋x 1y 2)；运算“”为(x 1，y 1)(x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．设k ，n ∈R ，若(1,2)⊗(k ，n )＝(3,1)，则(1,2)(k ，n )＝________. 答案 (2,1)解析 由(1,2)⊗(k ，n )＝(3,1)，得⎩⎪⎨⎪⎧k －2n ＝3，2k ＋n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，n ＝－1.所以(1,2)(k ，n )＝(1,2)(1，－1)＝(2,1)．7．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之．问底子(每层三角形边茭草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数)，则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．答案 120解析 由题意，第n 层茭草束数为 1＋2＋…＋n ＝n n ＋2， ∴1＋3＋6＋…＋n n ＋2＝680，即为12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)]＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680， 即有n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15，∴n n ＋2＝120.8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn)．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn)，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 方法一 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.方法二 (1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2成立， 只需证(1a 2＋4b2)(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0， 解得m ≤－1或m ≥72.又因为a 2＋b 2＝m －2>0.所以m >2，故m ≤－1舍去，所以m ≥72.B 组 能力提高11．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段长度的平方和是()A.1 0232 048a 2B.1 023768a 2C.5111 024a 2D.2 0474 096a 2答案 A解析 由题意可知，这只小虫爬行的第一条线段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二条线段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，第三条线段长度的平方为a 23＝(14a )2＝116a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以该数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－1210]1－12＝1 023a 22 048.故选A. 12．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8解析 由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8.13．如图(1)，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边分别于点A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1.请运用类比思想，如图(2)所示，在空间四面体V —BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于点E ，F ，G ，H ，用“体积法”可得的类似结论为________________．答案OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝1 解析 利用类比推理，面积类比体积．14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．(1)试给出f (4)，f (5)的值，并求f (n )的表达式(不要求证明)； (2)证明：1f＋1f＋1f＋…＋1f n <43. (1)解 f (4)＝37，f (5)＝61. 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， f (4)－f (3)＝37－19＝3×6， f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n ＋2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. (2)证明 当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13(1k －1－1k )． 所以1f＋1f＋1f＋…＋1f n <1＋13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n)] ＝1＋13(1－1n )<1＋13＝43.。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第3讲 数列的
第3讲 数列的综合问题1．(2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______.答案 1 121解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得：a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，以q ＝3为公比的等比数列． ∴S 5＝1－1×351－3＝121.2．(2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.(1)解 由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立． 所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝qn －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明 由(1)可知，a n ＝qn －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋qn －.由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q2(k －1)>q2(k －1)，所以1＋qk －>qk －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1.故e 1＋e 2＋…＋e n >4n－3n3n －1.1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝S n －S n －1 n .2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n .(3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累积法求数列的通项a n .(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 例1 数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a na n S n －S 2n＝1(n ≥2)．求数列{a n }的通项公式．解 由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n＝1，所以S n －S n －1S n －S n －1S n －S 2n ＝1，即S n －S n －1－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12.又S 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2nn ＋.因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n n ＋，n ≥2.思维升华 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .跟踪演练1 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n a n ＋4，则数列{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝2n 解析 S n ＝a n a n ＋4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 1＋4，解得a 1＝2或a 1＝0(舍去)． 当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋4－a n －1a n －1＋4⇒a 2n －a 2n －1＝2(a n ＋a n －1)，因为a n >0，所以a n ＋a n －1≠0，则a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，故a n ＝2n .热点二 数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．例2 (2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .(1)解 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－n ＋x n－x ＋x －x n ＋1－x2，可得f n ′(2)＝－[1－n ＋n]＋2－2n ＋1－2＝(n －1)2n＋1.(2)证明 因为f n (0)＝－1＜0， f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内至少存在一个零点， 又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内单调递增， 因此f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23， 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩． 跟踪演练2 (2015·安徽)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n .(1)解 y ′＝(x2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标 x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.所以数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1.(2)证明 由题设和(1)中的计算结果得T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝n －2n2>n －2－1n2＝2n －22n ＝n －1n.所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n .热点三 数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果． 例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M 的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M 的价值为上年年初的75%. (1)求第n 年年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年年初对M 更新，证明：必须在第九年年初对M 更新．(1)解 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ，当n ≥7时，数列{a n }从a 6开始的项构成一个以a 6＝130－60＝70为首项，以34为公比的等比数列，故a n ＝70×(34)n －6，所以第n 年年初M 的价值a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，34n －6，n ≥7.(2)证明 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝S nn＝120－5(n －1)＝125－5n ≥95>80，当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝570＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列． 因为A n ＝S nn ＝780－34n －6n，A 8＝780－3428≈82.734>80，A 9＝780－3439≈76.823<80，所以必须在第九年年初对M 更新． 思维升华 常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间n 的总产值y ＝N (1＋p )n. (2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为n ，则本利和y ＝a (1＋r )n .(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为n ，则本利和y ＝a (1＋nr )．(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b ＝r＋r na＋r n－1. 跟踪演练3 一牧羊人赶着一群羊通过6个关口，每过1个关口守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第1个关口前有________只羊． 答案 2解析 记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第6个关口前，剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1,2,3,4,5,6)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，…，a 6＝12a 5＋1，而12a 6＋1＝2，解得a 6＝2，因此代入得a 5＝2，a 4＝2，…，a 1＝2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数． (1)试判断数列{a n }是否为等比数列； (2)若a 2＝12，a 3＝1.①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式； ②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足23412,n b n n n n c b b b +++=+⋅数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，求使4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122成立的最小正整数n 的值． 押题依据 本题综合考查数列知识，第(1)问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，第(2)问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n 项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相消法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力． 解 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝ka 2，从而a 2＝ka 3.又取n ＝2得a 1＋a 2＝S 2＝ka 3，于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列． (2)①由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12k ，a 1＋12＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，k ＝1，从而S n ＝a n ＋1.当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝12、公比为2的等比数列．综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ＝，2n －3 n从而其前n 项和S n ＝2n －2(n ∈N *)．②由①得b n ＝n －2， 从而c n ＝1n ＋n ＋＋n ·2n －2.记C 1＝12×3＋13×4＋…＋1n ＋n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝n n ＋，记C 2＝1·2－1＋2·20＋…＋n ·2n －2，则2C 2＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1，两式相减得C 2＝(n －1)·2n －1＋12， 从而T n ＝n n ＋＋(n －1)·2n －1＋12＝n ＋1n ＋2＋(n －1)·2n －1， 则不等式4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122可化为n ＋n －n ＋＋2n ＋1<2n ＋1＋n ＋122，即n 2＋n －90>0，因为n ∈N *，故n >9， 从而最小正整数n 的值是10.A 组 专题通关1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15答案 A解析 记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15. 2．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2 016OB →，三点A ，B ，C 共线且该直线不过O 点，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 016D ．2 012答案 B解析 ∵OC →＝a 1OA →＋a 2 016OB →，且三点A ，B ，C 共线， ∴必有a 1＋a 2 016＝1，又a n ＋1＝a n ＋a ，∴a n ＋1－a n ＝a 为常数，故数列{a n }为等差数列， 故S 2 016＝a 1＋a 2 0162＝1 008，故选A.3．已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x ＋1)＝f (1－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 20)，则{a n }的前25项之和为( ) A ．0 B.252 C ．25 D ．50答案 C解析 由已知函数关系可知a 6＋a 20＝2，又{a n }是等差数列，所以a 6＋a 20＝a 5＋a 21＝a 4＋a 22＝a 3＋a 23＝a 2＋a 24＝a 1＋a 25＝a 7＋a 19＝a 8＋a 18＝a 9＋a 17＝a 10＋a 16＝a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝2，所以数列的前25项和为12×2＋1＝25，故选C.4．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)( ) A.12 B.815 C.1629 D.1631答案 C解析 由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d ，前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式，有390＝30×5＋30×292d ，解得d ＝1629.5．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f xg x ＝a x，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f g＋f －g －＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 A 解析 令h (x )＝f xg x，则h ′(x )＝fx g x －f x gx[g x2<0，故函数h (x )为减函数，即0<a <1.再根据f g＋f －g －＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝2(舍去)或a ＝12.所以f n g n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n 的前n 项和是12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，由于1－12n ＝3132，所以n ＝5.6．已知数列{a n }的前n 项和构成数列{b n }，若b n ＝(2n －1)3n＋4，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，4n ·3n －1 n解析 当n ＝1时，a 1＝b 1＝(2×1－1)·31＋4＝7， 当n ≥2时，a n ＝b n －b n －1＝[(2n －1)·3n＋4]－[(2n －3)·3n －1＋4]＝4n ·3n －1，综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7n ＝，4n ·3n －1n，故答案为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7n ＝，4n ·3n －1n7．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列{a na n ＋1a n ＋4}的最大项的值为________．答案 19解析 依题意得a ·b ＝0， 即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n n ＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋2－n n －2＝n ；又a 1＝S 1＝＋2＝1，因此a n ＝n ，a na n ＋1a n ＋4＝n n ＋n ＋＝nn 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n ，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列{a n a n ＋1a n ＋4}的最大项的值为19.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1.{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－n －2解析 因为a n ＋1－a n ＝2n，应用累加法可得a n ＝2n－1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝2＋22＋23＋…＋2n －n ＝－2n 1－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．(2016·课标全国丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. (1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.10．已知等差数列{a n }的公差d >0，其前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，1＋a 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝1a n a n ＋1 (n ∈N *)，且数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：14≤T n <13. (1)解 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1a 3＋＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 1＋2d ＋＝8，a 1＋d ＝4，得d 2＋d －12＝0. ∵d >0，∴d ＝3，a 1＝1.∴数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)证明 ∵b n ＝1a n a n ＋1＝1n －n ＋＝13(13n －2－13n ＋1)， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝13[(1－14)＋(14－17)＋…＋(13n －2－13n ＋1)] ＝13(1－13n ＋1)＝n 3n ＋1. ∵n ∈N *，∴13n ＋1>0， 故T n <13，又T n 为单调递增， ∴当n ＝1时，取最小值14，故14≤T n <13. B 组 能力提高11．已知曲线C ：y ＝1x(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列 B ．x 1，x 32，x 2成等比数列 C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列答案 A解析 由题意，得B 1，B 2两点的坐标分别为(x 1，1x 1)，(x 2，1x 2)， 所以直线B 1B 2的方程为y ＝－1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，所以x 3＝x 1＋x 2， 因此，x 1，x 32，x 2成等差数列． 12．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4a a n －1的最小值为( ) A.276 B.358C.143D.378答案 D 解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×(－a ＋82)，解得a ＝1或a ＝－4， 当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列；当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ，∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3， ∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×n ＋2＋n ＋＋13n ＋1 ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋＋13n ＋1＋2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2 n ＋13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时取等号， ∵n 为正数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D. 13．对于数列{a n }，若∀m ，n ∈N * (m ≠n )，都有a m －a n m －n ≥t (t 为常数)成立，则称数列{a n }具有性质P (t )．(1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，且具有性质P (t )，则t 的最大值为________；(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－a n ，且具有性质P (10)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)[36，＋∞)解析 (1)a m －a n m －n ≥t ⇒a m －tm －a n －tn m －n≥0， 所以数列{a n －tn }是递增数列，即a n ＋1－t (n ＋1)－(a n －tn )≥0.因为a n ＝2n ，所以上式化简为t ≤2n ，得t ≤2，故t 的最大值为2.(2)由已知条件得a m －a n m －n ≥10⇒a m －10m －a n －10n m －n≥0. 所以数列{a n －10n }是递增数列，即a n ＋1－10(n ＋1)－(a n －10n )≥0，因为a n ＝n 2－a n，所以上式化简为－a ≤n (n ＋1)(2n －9)，令f (n )＝n (n ＋1)(2n －9)，由三次函数的图象性质可知f (n )min 为f (1)或f (2)或f (3)或f (4)． f (1)＝－14，f (2)＝－30，f (3)＝－36，f (4)＝－20.所以f (n )min ＝－36，所以－a ≤－36⇒a ≥36，故a 的取值范围为[36，＋∞)．14．数列{a n }的通项a n 是关于x 的不等式x 2－x <nx 的解集中正整数的个数，f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ； (3)求证：对n ≥2且n ∈N *恒有712≤f (n )<1. (1)解 x 2－x <nx 等价于x (x －n －1)<0，解得x ∈(0，n ＋1)，其中有正整数n 个，于是a n ＝n . (2)解 b n ＝n 2n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 12S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得，12S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 故S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (3)证明 f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n <1n ＋1n ＋…＋1n ＝1. 由f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，知f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 于是f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0， 故f (n ＋1)>f (n )，∴当n ≥2且n ∈N *时，f (n )为增函数，∴f (n )≥f (2)＝712， 综上可知712≤f (n )<1.。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第二.
第1讲选择题的解法技巧［题型概述】选择题注重基本知识与基本技能的考查，侧重于解题的灵活性和快捷性，以“小”“巧”著称，试题层次性强，一般按照由易到难的顺序排列，能充分体现学生灵活运用知识的能力.解题策略：充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做.方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择•涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 (1)在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a= 3, b= 2 6, B= 2A,则cos A的值为()A. f B•竽3 3C念D込C. 6D. 8(2)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为()A. 96B. 432C. 480D. 528a b解析⑴在厶ABC中, =-,sin A sin B3 2 .6 2 6 2 6…sin A sin B sin 2 A 2sin A cos A\'6cos A=3⑵当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3X 3X2种排法，共有3X 3X 2X 24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4X 24种排法，因此共有排法3X 3X 2X 24 + 4X 24 = 528(种).答案(1)A (2)D思维升华涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错.a n+i — 1B.跟踪演练1⑴数列｛a n｝满足归2,示E，其前n项积为T n，则T10等于（）A.6C. 6D.—6⑵（2015 •四川）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A- ¥1C —2 a 10= a 2=— 3,所以数列｛a n ｝的前10项之积为 （2）每次循环的结果依次为:k = 2, k = 3, k = 4, k = 5>4, ••• S = sin ^n= 2-故选 D6 21 D 2答案（1）D(2)D解析（1）由 a n + 1 — 1 a n =0^1?a n +1 = 1 + a n口”，所以1a 2= — 3, a 3=— 2 ,1a 4= 3, a5=2, a 6=— 3,…， 由此可知数列 ｛&｝的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为 1,则a 9 = a 1 = 2,1x 1x 2X ( — 3) =— 6.方法二特例法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断•特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才,x W 0,易知f ( — 1)是f (x )的最小值，排除A , B;2\ , x< 0,若a = 0，则f (x ) = i 1易知f (0)是f (x )的最小值，故排除 C.D 正确.x +x , x >0, ■L x⑵ 因为 a 5 • a 2n —5= 22n (n 》3),所以令n = 3，代入得a 5 • a 1= 26, 再令数列为常数列，得每一项为 8,2则 log 2a 1 + log 2a 3 + log 2空=9= 3 . 结合选项可知只有 C 符合要求. 答案(1)D(2)C思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结 论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，可使用•特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.A .C. 2 (1)设 f (x )=[—1,2] [1,2]1x+x + a ，x >0. B. D. 若f (0)是f (x )的最小值，则 a 的取值范围为[—1,0] [0,2]已知等比数列｛a n ｝满足a n >0. nn = 1,2,3，…，且 & • a 2n — 5= 2 (n 》3)，当 n 》l 时，log 2a 1+ log 处+…+ log 2a 2n —1 等于( A . n (2n — 1) C. n 22B. (n +1) 2D. (n — 1)x +12, x <0,解析(1)若 a =— 1,则 f (x )=1x +x — 1, x >°，或改用其他方法求解.跟踪演练2 (1)已知0是锐角△ ABC的外接圆圆心，/ A= 60°, CoS-B- AB+ 空一C. A C=sin C sin B2m- A O 则m 的值为（）C. 1⑵ 如图，在棱柱的侧棱 A i A 和BB 上各有一动点 P 、Q 满足AP = BQ 过P 、Q C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）A . 3 : 1 C. 4 : 1 答案(1)A(2)B解析 ⑴ 如图，当△ ABC 为正三角形时，A = B = C = 60°,取D 为BC 的中点,1 A 4 A— '2AD= ^mAD3••• m=—，故选 A.⑵ 将P 、Q 置于特殊位置：P A A , Q^ B ,此时仍满足条件 AP = BQ = 0）,方法三排除法 排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择项这一信息，从选择 项入手，根据题设条件与各选择项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行排 除，将其中与题设矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.A.~2B. .2D. 3 ：1D.—则有 V C — AAB = V A 1 —ABC.故选 B.B. 2 ：1一般选择支与题干或常识矛盾，选择支互相矛盾时用排除法. 例3 (1)(2015 •课标全国n )根据下面给出的 2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图•以下结论不正确的是( )A .逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关⑵ 已知函数f (x ) = x (1 + a |x |).设关于x 的不等式f (x + a )<f (x )的解集为A ,若［—1,弓解析(1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较， 得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大， A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较 2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较 2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即 C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D.1 1 1 1 1⑵ 当 x = 0 时，有 f (a )<f (0) = 0,由［—^, 2】？ A ,当 x = — -, a = — 时，有 f ( a ) = — - x (1 11 311 1 115—2 x | — ?|) =— 8<0,排除 B D,当 x = 2, a =2 时，有 f (a ) =-x (1 + ?x|?|)=孑0,排除C ,所以选择A. 答案(1)D(2)A思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先 根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围 内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.? A ,则实数a 的取值范围是( A . (1—, 0)C.(1— .520) U (0 , )B. —A 0)D ( -8,^5)2CMJ4年加H ■年昨2041-?^ 甸備■年 卽年Ml I 坪 孙I 上年血LH 年[gX’XAO,跟踪演练3若f(a)>f( —a)，则实数a的取值范围是(1)设函数f(X)=] logj-x^xcOn⑵ 已知函数f (x ) = sin( 3 x + 0 )( 3 >0, I 0 |< ―)的最小正周期是n ,若将其图象向右平移n■3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f (x )的图象( )A .关于直线x = 12对称 B.关于直线x = 12对称C. 关于点(12，0)对称D.关于点(冷守，0)对称答案(1)C(2)B解析(1)取a = 2验证满足题意，排除 A D,取a =— 2验证不满足题意，排除 B. •••正确选 项为C.2 n(2) v f (x )的最小正周期为 n , • ------ = n , 3 = 2,3. n n 2 n .• f (x )的图象向右平移 §个单位后得到 g (x ) = sin ［2( x — -) + 0 ］ = sin(2 x —-亍+ 0 )的图2 2象，又 g (x )的图象关于原点对称，••— 3 + 0 = k n , k € Z , 0 = 3 + k n , k € Z.又 | 0 |< "2， • I 2^- + k n |< 牙,• k =— 1, 0 =—专,• f (x ) = sin(2 x -专),当 x =右时，2x —专=—-6 , *5 n• A, C 错误，当x =〒2时，2x — — = ~2， -B 正确，D 错误. 方法四数形结合法根据命题条件中的函数关系或几何意义， 作出函数的图象或几何图形， 将数的问题(如解方程、 解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为 直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法. 例4若直角坐标平面内的两点P, Q 满足条件：①P, Q 都在函数 y = f (x )的图象上；②P, Q关于原点对称，则称点对 [P, Q 是函数y = f (x )的一对“友好点对”(注：点对［P, Q 与［Q,log 2Xx/0P ］看作同一对"友好点对” ).已知函数f (x ) =2.....I — xx xWU则此函数的“友好点对”有( )A . 0对B. 1对C. 2对D. 3对A . ( — 1,0) U (0,1) C. ( — 1,0) U( 1,+s )B. ( —g,— 1) U (1 ,+s) D. ( —g,— 1) U (0,1)解析根据题意，将函数 f (x) =—x —4x(x w 0)的图象绕原点旋转180°后，得到的图象所2 _________________ . . . .对应的解析式为y = X - 4x ( x >0)，再作出函数 y = log 2X ( x >0)的图象，如图所示.由题意, 知函数y = x 2- 4x ( x >0)的图象与函数f (x ) = log 2x (x >0)的图象的交点个数即为"友好点对” 的对数.由图可知它们的图象交点有2个，所以此函数的“友好点对”有2对.'y-A -a -2 -i o/ -1 Y/~2答案 C思维升华数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更 能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果•使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图 象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论.跟踪演练4 ⑴ 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = 0,向量a , b 的夹角为120° 且| b |=2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A . 60° B. 90° C. 120°D. 150°—x + 2x , x w 0,⑵已知函数f (x )= <,,若|f (x )| > ax ,则a 的取值范围是( )111 X +1, x >0.A . (—s, 0] B. ( —s, 1] C. [ — 2,1] D. [ — 2,0]答案(1)B(2)DCO 的夹角为90°,即a 与c 的夹角为90°(2)函数y = | f (x )|的图象如图所示.解析 (1)如图，因为〈a , b >= 120°,| b | = 2|a | , a + b + c = 0,所以在△ OBC 中，BC 与① 当a = 0时，|f (x )| > ax 显然成立.② 当a >0时，只需在x >0时，ln( x +1) > ax 成立.比较对数函数与一次函数 y = ax 的增长速度.显然不存在 a >0使ln( x +1) > ax 在x >0上恒成立.2③ 当a <0时，只需x <0, x -2x >ax 成立，即a >x -2成立，二a >- 2. 综上所述：—2< a < 0.故选D. 方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通 解题思路的方法.解析构造函数g (x ) = f则 g '(x )= J 因为？x € R ,均有 f (x )>f '(x )，并且 e x >0, 所以 g'( x )<0 ,f x故函数g ( x ) =在R 上单调递减，e所以 g ( — 2 018)> g (0) , g (2 018)< g (0),也就是 e 2 018 f ( — 2 018)> f (0),f (2 018)<e 2 018f (0).答案 D思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独 摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究.跟踪演练5 (1)(2015 •课标全国H )设函数 f '(x )是奇函数f (x )(x € R)的导函数，f ( — 1)例 5 已知函数 f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于？x € R,均有f (x )>f '(x )，则有()e 2 018f ( — 2 018)< f (0), e 2 018f ( — 2 018)< f (0),2 018 一 一e f ( — 2 018)> f (0), A .B . C. D. f (2 018)>e f (2 018)<ef (2 018)>ef (2 018)<e2 018f (0) 2 018f (0) 2 018 一f (0) 2 018f (0) —2 018~— 2 018e>f (0),f—<f(0),=0，当x >0时，xf ，(x ) — f (x ) V 0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A . ( —g,— 1) U (0,1) B. ( —1,0) U (1 ,+s) C. ( —g ，— 1) U ( — 1,0)D. (0,1) U (1 ,+g⑵若四面体ABCD 勺三组对棱分别相等，即 AB= CD AO BD AD= BC 给出下列五个命题: ① 四面体ABC ［每组对棱相互垂直； ② 四面体ABCDI 个面的面积相等；③ 从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小于180°;④ 连接四面体 ABCDI 组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤ 从四面体 ABCDf 个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 其中正确命题的个数是( )A . 2 B. 3 C. 4 D. 5答案(1)A(2)B解析(1)因为f (x )( x € R)为奇函数，f ( — 1) = 0,所以f ⑴=—f ( — 1) = 0.当X M0时，令v 0? f (x ) > 0.综上，得使f (x ) >0成立的x 的取值范 围是(一g ，— 1) U (0,1)，选 A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线， 在此背景下，长方体的长、宽、高分别为 x 、y 、乙 对于①，需要满足 x = y = z ，才能成立； 因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②成立，③显然不成立；对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④成立；从每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立•故正确 命题有②④⑤. 方法六估算法由于选择题提供了唯一正确的选项， 解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算， 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算 法往往可以减少fg (x )=-，贝y g (x )为偶函数，且 g (1) = g ( — 1) = 0.则当 X > 0 时，g '(x )=xfV 0，故g (x )(—g ，0)上为在(0，+g )上，当 0v x v 1 时，g (x ) > g (1) = 0?> 0? f (x ) >00)上，当x v — 1 时，g (x ) v g ( — 1) = 0?运算量，但是加强了思维的层次.例6 ⑴ 图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0 < h w H )，则该函数的大致图象是( )⑵已知三棱锥S 「ABC 勺所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC= 2,则此棱锥的体积是()D.解析(1)由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积 S 逐渐减小，且减小得越来越慢， 结合 选项可知选B.⑵ 容易得到厶ABC 勺面积为-4,而三棱锥的高一定小于球的直径2,所以X 2=#,立即排除B 、C D,答案选A. 答案⑴B (2)A思维升华 估算法一般包括范围估算， 极端值估算和推理估算. 当题目从正面解析比较麻烦， 特值法又无法确定正确的选项时 (如难度稍大的函数的最值或取值范围、 函数图象的变化等问 题)常用此种方法确定选项.跟踪演练6 (1)已知x i 是方程x + lg x = 3的根，X 2是方程x + 10x = 3的根，贝U x i + X 2等于 ( ) A . 6 B. 3 C. 2D. 1⑵(2015 •湖北)在区间［0,1］上随机取两个数 x , y ,记p 1为事件“ x + y w 1 ”的概率，p 2为1事件“ xy w 2”的概率，则（ ）1 1A . P 1中2<2 B. P 2<2<P 11 1C ・2<P 2<P 1 D. P 1$<P 2答案(1)B(2)D解析 ⑴ 因为X 1是方程x + lg x = 3的根，所以2<X 1<3 ,X 2是方程x + 10x = 3的根，所以0%<1,A. "6"B.所以2<x i + X 2<4.故B 正确.S A OECS 四边形OCD E1所以p <2<p 2.故选D.(2)在直角坐标系中，依次作出不等式0w x w 1,0w y w 1,1 1 一x + y w -, xy w ㊁的可行域如图所示:依题意,ABOS 曲边多边形S 四边形OCD ES 四边形OCDE。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． 答案 24解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] (2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案 4解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．3．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．[问题3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为________．答案 77.5解析 由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5. 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i－x y i－y ∑i ＝1n x i －x 2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． 答案 (x ，y )5．互斥事件的概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 236．古典概型P (A )＝mn(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)．[问题6] (2015·广东)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 答案 B解析 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p ＝610＝0.6.7．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等． 即P (A )＝构成事件A 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积.[问题7] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×132＝1－π12.易错点1 抽样方法理解不准例1 一个总体中100个个体的编号为0,1,2,3，…，99，并依次按其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果第0组(号码0～9)随机抽取的号码为l ，那么依次错位地抽取后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的个位数为l ＋k 或l ＋k －10(如果l ＋k ≥10)．若l ＝6，则所抽取的第5组的号码是________． 易错分析 本题易错点有两个：一是忽视题中对组号的描述，误以为第一个号码6为第一组的号码导致错误；二是忽视系统抽样号码抽样法则的制定，误以为组距为10，所以每组抽取号码的个位数都为6.所以解决此类问题，一定要根据题中的条件准确进行编号与抽样． 答案 51解析 由题意，第0组抽取的号码为6，则第一组抽取的号码的个位数为6＋1＝7，所以选17.因为7＋1＝8，第二组抽取号码的个位数为8，故选28.因为8＋1＝9，第三组抽取号码的个位数为9，故选39.因为9＋1＝10≥10,9＋1－10＝0，第四组抽取号码的个位数为0，故选40.因为0＋1＝1，第五组抽取号码的个位数为1，故选51.易错点2 统计图表识图不清例2 如图所示是某公司(共有员工300人)2016年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有______人．易错分析解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×[1－(0.02＋0.08＋0.10)×2]＝180(人)的错误答案．解析由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24，所以员工中年薪在 1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)答案72易错点3 误解基本事件的等可能性例3 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．易错分析解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者将点数和为4的事件错误地计算为(1,3)(2,2)两种，从而导致出错．解析将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P＝336＝112.故填112.答案112易错点4 几何概型中“测度”确定不准例4 在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求AM ＜AC 的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率． 易错分析 本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的度量方式，不注意题中两问中点M 生成方式的差异，误以为该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解． 解 (1)如图所示，AB ＝2AC.由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (AM ＜AC )＝AC 2AC ＝22. (2)由于在∠ABC 内作射线CM ，等可能分布的是CM 在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (AM ＜AC )＝∠ACC ′∠ACB ＝π－π42π2＝34.易错点5 互斥事件概念不清例5 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互为互斥事件的是________；互为对立事件的是________．易错分析 对事件互斥意义不明确，对事件的互斥与对立之间的关系不清楚，就会出现错误的判断．对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．解析 因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅，故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝Ω，故B 与D 互为对立事件． 答案 A 与B ，A 与C ，B 与C ，B与D B 与D1．某学校利用系统抽样的方法，从学校高三年级全体1 000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，共分50组．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是( ) A ．177 B ．157 C ．417 D ．367答案 B解析 根据系统抽样法的特点，可知抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组的编号是17＋(8－1)×20＝157.2．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,86答案 A解析 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87. ∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15 答案 D解析 如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.4．(2015·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12 答案 B解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.5．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h 的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)答案 300解析 由图可知，车速大于等于90 km/h 的车辆未标出频率，而小于90 km/h 的都标出了，故考虑对立事件．由题图知车速小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以车速不小于90 km/h 的汽车总数的频率之和为1－0.7＝0.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90 km/h 的汽车有1 000×0.3＝300(辆)．6．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖产品的销售额y (单位：万元)与当天的平均气温x (单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x 与y 的数据列于下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得y 与x 之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－125，则a ^＝________.答案775解析 由表中数据可得x ＝－4，y ＝25，所以线性回归方程y ^＝－125x ＋a ^过点(－4,25)，代入方程得25＝－125×(－4)＋a ^，解得a ^＝775.7．如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值分别为________，________.答案 6 4解析 x 甲＝75＋82＋84＋ 80＋x ＋90＋936＝85，解得x ＝6，由题图可知y ＝4.8．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率为______． 答案 25解析 设2名男生为A ，B,3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，…，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求概率为1－610＝25.9．已知直线l 的方程为ax ＋2y －3＝0，且a ∈[－5,4]，则直线l 的斜率不小于1的概率为________． 答案 13解析 直线l 的斜率k ＝－a 2，由－a2≥1，可得a ≤－2.因为a ∈[－5,4]，所以a ∈[－5，－2]． 由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝－2－ －5 4－ －5 ＝39＝13.10．甲、乙两名骑手骑术相当，他们各自挑选3匹马备用，甲挑选的三匹马分别记为A ，B ，C ，乙挑选的三匹马分别记为A ′，B ′，C ′.已知6匹马按奔跑速度从快到慢的排列顺序依次为：A ，A ′，B ，B ′，C ′，C .比赛前甲、乙均不知道这个顺序．规定：每人只能骑自己挑选的马进行比赛，且率先到达终点者获胜． (1)若甲、乙二人进行一次比赛，求乙获胜的概率；(2)若甲、乙二人进行三次比赛，且不能重复使用马匹，求乙获胜次数多于甲的概率． 解 (1)甲、乙二人选取的马匹共有9种搭配方式，胜负情况如下表所示：所以乙获胜的概率P ＝49.(2)根据题意乙分别骑A ′，B ′，C ′时，甲骑手的马共有6种排列情况与之对应，如下表所示：以上6种情况，只有③④两种情况乙获胜次数多于甲． 故乙获胜次数多于甲的概率P ＝26＝13.。