一类二元函数最值的求法

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一道二元函数最值问题的多种解法

一道二元函数最值问题的多种解法
在数学中，二元函数最值问题是指在一个二元函数的定义域中找出使函数取最大值或最小值的确定性解集。

这个问题在实际应用中经常出现，有多种解法，下面介绍其中的几种：
1.图像法
可以通过画出函数的等高线图来找出最优解。

等高线图是在平面上绘制出使函数取同一数值的点的轮廓线，这些轮廓线将函数的值分为不同的区域。

最小值或最大值就在其中的极值点处。

2. 梯度法
梯度法是另一种寻找极值的方法，它利用了函数的导数。

可以通过对函数进行求导，找出所有导数为零的点，这些点就是可能的极值点。

然后逐一计算这些点的函数值，找出最大或最小值。

3. 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种约束条件下求极值的方法，适用于含有约束条件的函数。

该方法要求将约束条件转换为等式，然后构造一个带有拉格朗日乘数的函数，通过求导找出函数的极值点。

4. 线性规划法
线性规划法是一种求解最优化问题的方法，适用于一组线性不等式约束条件下的线性目标函数。

该方法通过构造一个线性规划模型，通过线性规划算法求解最优解。

总之，二元函数最值问题的解法很多，具体方法要根据问题的实际情况选择。

二元函数的极限求法

二元函数的极限求法1. 函数的定义在数学中，一个二元函数（或称作双变量函数）是一个接受两个自变量并返回一个因变量的函数。

通常用符号f(x,y)表示，其中x和y是自变量，f是函数。

二元函数可以表示在二维平面上的一个曲面，其中每个点(x,y)都有一个对应的函数值f(x,y)。

2. 二元函数的用途二元函数广泛应用于各个领域的数学模型和实际问题中。

它们可以用来描述和研究许多重要的关系，比如：•自然科学中的物理学、地理学和天文学中的物理量之间的相互关系；•经济学和金融学中的供求关系、市场定价和收益模型；•工程学中的流体动力学、电路理论和控制系统分析；•计算机图形学中的曲面建模和渲染。

对于这些领域的问题，我们常常需要研究二元函数在特定点或者特定方向上的行为，而二元函数的极限就是研究函数在某一点附近的性质的重要工具。

3. 二元函数的极限定义给定一个二元函数f(x,y)和一个点(a,b)，我们可以研究函数在点(a,b)附近的行为。

二元函数f(x,y)在点(a,b)处的极限，通常表示为：f(x,y)lim(x,y)→(a,b)这个极限表示当自变量(x,y)的取值逐渐接近(a,b)时，函数值f(x,y)的变化趋势。

如果这个极限存在，并且对于任意给定的正数ϵ，存在正数δ，使得当(x,y)与(a,b)的距离小于δ时，函数值f(x,y)与极限值的差的绝对值小于ϵ，我们就说函数f(x,y)在点(a,b)处收敛于极限值。

4. 二元函数的极限求法为了确定一个二元函数在某个点处的极限，我们可以使用不同的方法。

以下是常用的几种方法：4.1. 代数法则对于大多数具有代数性质的函数，我们可以直接使用代数法则来求解其极限。

这些代数法则包括加法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则和根函数法则等。

可以通过这些法则将给定函数表示为已知函数和极限的组合，从而计算出极限值。

4.2. 极坐标法对于某些二元函数，使用极坐标法求解极限可能更方便。

在极坐标系下，由于(x,y)变为(r,θ)，函数的极限计算可以简化为仅考虑r趋于0的情况。

有关函数最值问题的十二种解法

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。

解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。

即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。

解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。

因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。

三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。

求函数最值问题常用的10种方法

分析先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比
较大小，确定最值．
解析因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3，－17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．
三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________．分析先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．
解析因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋

求函数最值的10种方法

一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
【例 2】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学）设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．
【例 6】函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．
【例 3】设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值是______．（以后学）分析由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法求a＋b的最值．解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz

二元函数最大值最小值

二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。

二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。

2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。

具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。

2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。

具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。

2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。

具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。

3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。

3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。

计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。

3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。

如何求二元函数的最值

教科园地
肉Ｉ文２０年第１期１８工叶０８２６
如何求二元函数的最值
梁锦华
（州工业耿业技术学院）苏
摘要多元函数的最值问题是高等数学中的一个难题，本人在教学过程中发现许多教材对这方面的介绍存在一定的不足此，拟通过二元函数的求最值例题讲解，归纳出一定的方法以帮助学生解决求多元函数最值找到一务正确的途径．关键词二元函数驻点最大值最小值
例：欲做一个容量一定的长方形箱子。『应选择怎样的尺寸，才ｕ】能使此箱子的材料最省？解：没箱子的长、宽、高分别为ｘ，，容量为Ｖ，￣Ｖｘｚ＇ｚＹｉ＝ｙ，箱］子的表面积为Ｓ２ｘ＋ｚｘ）使使用的材料最少，则应求ｓ＝（ｙｙ＋ｚ要的最小
．
解得唯一驻点（。；０）０
０，
暑００２．（．）．＝￣０）－，厶８．羽口号００Ｃｚ．＝２＝０
故ｚ（Ｊ得极大值ｚｌ在（，取１）（＝（其实显而易见为Ｚ的最大值）。Ｄ的边界是四条直线段：
：一
一
．．
（）ｆ，边界线可表示为：：（ｓ４在｜上０ｏ），其函数表达式
２．，在Ｄ内可微，而闭域Ｄ．ｘ）ｉｆｙ的边界由直线所转成。
例：求函数Ｉ－）叫在ＩＩｘ。ｓ扭）ｓｉ．・Ｉｓ小值。解：ｚＥ／闭区域Ｄ上连续，最大、最小值必定存在．Ｉ的最大、上最
为
在一元函数中，值『题有两个方面：第一是最值的存在性；第最ｕ】二是如果已知最值存在，如何求最值对第二个『题，在解决了极值ｕＪ『题之后就比较简单：只要求出不可导点、端点的函数值，与全部极ｕＪ值（全部驻点值）比较，就能求得最值。或作在多元函数中求最值『题同样有这两个ｆ题：最值是否存在？如ｕＪｕＪ果存在又如何求出最值？第一个问题有理论保证：在有界闭域上连续的函数必定存在最大值和最小值。凶此很多教材就非常笼统地将二元

一类二元绝对值函数最值的求法

一类二元绝对值函数最值的求法
一类二元绝对值函数最值的求法：
1、自变量法：一般将求解二元绝对值函数最值与求解一般二次函数最
值方法类似，可以先假设函数针对自变量作一定条件的取值范围，再
令函数对自变量函数的偏导数为零，即该自变量得到某个值，对应的
函数值可有最大值或最小值；
2、复合值法：另外一类求解二元绝对值函数最值的方法是复合值法，
即将自变量按照取一定值求出函数值后，构成元素值，再将这些值复
合到一起，求其最值；
3、泰勒37展式法：此种方法是求解函数最值的一种特殊的数学方法，其有的数学家因此得以著名被后世称之为泰勒37展式最值法。

此法要
求用最高次数的37展式去逼近所求函数，再求取函数最值；
4、解析初等法：此种方法是利用解析方法从定义域上进行分析，分析
函数是否有极值及该极值是最大值还是最小值，通过该方法可以便捷
而准确地求出最值近似解。

5、数值解法：此种是求解函数最值的一种重要解法，主要是求解此类
函数的近似解及较优解，这种方法只需要将数值较大的区域划分成若
干的的区间，然后再根据函数在该区间中的最小值或最大值，从而确
定最值。

多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法

Cx, y 400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2
当两种产品产量为多少时？可获得利润最大？最大利润是多少？
解：收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时有极大值，当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y

x 1
y1

10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x

x
x,
y

6
x

6;
f

yy
x,
y

6
y

6;
f

xy
x,
y

f

yx
减去总广告费，两种方式的广告费共25千元，怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y

二元函数的最值与极值

二元函数的最值与极值二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。

在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。

最值是函数在给定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取得的最大值或最小值。

本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念及其求解方法。

一、二元函数最值的定义和求解方法1. 最大值与最小值的定义在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*,y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。

类似地，最小值为f(x*, y*)≤f(x, y)。

2. 常用求解方法求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。

通过确定函数的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。

边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上的值，包括端点和可能的不可导点。

最值往往出现在函数在 D 的边界上。

极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数为零的临界点，即潜在的极值点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。

二、二元函数极值的定义和求解方法1. 极值的定义在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。

2. 常用求解方法求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。

通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。

一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其等于零，求解得到潜在的临界点。

通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。

二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。

对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值点的位置。

三、实例分析考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数的最值和极值。

二元函数的极值与最值

2．二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。

对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的必要条件：设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的充分条件：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则当B 2AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值；当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。

注意：当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例 1 求函数 z = x 3 + y 2－ 2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，【解】先求函数的一、二阶偏导数：并求出相应的极值 . 2z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 26x ,xy x2zxy2z2y 2再求函数的驻点．令 z= 0，x得方程组23x 2y 0, 2y 2x 0.22求得驻点(0，0)、( 2，2)．33利用定理 2 对驻点进行讨论：2．(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点( 2，2)，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且A 0,则 332 2 4 f ( 2，2) 4为函数的一个极小值．3 3 27例 2：( 2004数学一)设 z=z(x,y)是由 x 26xy 10 y 22yz z 218 0 确定的函数，求 z z(x, y )的极值点和极值 .分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

二元函数 f(x,y) 求最值的常用解题方法

二元函数 f(x,y) 求最值的常用解题方法求解二元函数f(x,y)最值的常用解题方法求解二元函数f(x,y)的最值是高等数学课程中的一道应用难题，通过求解最值问题，可以得出函数f(x,y)的最大值和最小值，以此来分析函数的极值的特征，为其他数学问题的求解提供思路。

下文着重介绍十常用的解决二元函数最值问题的方法：第一种方法是从图形观察法，即通过观察函数f(x,y)的图像，可以直接看出函数的最大值和最小值。

但这一方法有明显的局限性，仅对那些图像清晰简明容易看出极值的二元函数有效。

第二种方法基于极大值极小值原理。

据该原理推测，函数f(x,y)的最值必定出现在函数的定义域中，该函数的极大值与极小值的数值点满足一定的不等式。

第三种方法利用二阶偏导数法。

由二阶偏导数的值判断该函数的极值性质，对于极值的求解，可以通过求解一元函数的一阶导数与二阶导数等于零的根来实现。

第四种方法是利用拉格朗日函数法。

它依赖拉格朗日函数以及拉格朗日不等式，依据拉格朗日不等式，可以确定函数f(x,y)的极值，拉格朗日不等式中的拉格朗日函数应是原函数的真实性函数。

第五种方法是利用泰勒级数近似法。

这种方法可以有效简化复杂的二元函数，将其分解微小量的和，以此来求解函数f(x,y)的极值。

第六种方法是利用几何法求解最值问题。

这一方法是将二元函数转化成平面几何中的曲线，求解曲线相交，以求解函数极值问题。

第七种方法是利用拉普拉斯法求解最值问题。

依据拉普拉斯定理，函数f(x,y)的最值定义域内满足微分方程组，而拉普拉斯方法便是利用该定理求解最值的有效方法之一。

第八种方法也可以通过牛顿-拉夫逊迭代法确定二元函数f(x,y)的最值。

它借助损失函数与多元函数，以此来求解极值exx让高维函数从有限纸面集梳理、。

二元函数的最值的求法

二元函数的最值的求法二元函数的最值求法是高等数学中的一项重要内容。

这里介绍二元函数最值的求法。

首先，要判断函数的定义域。

对于二元函数来说，通常是平面上的一个区域。

在定义域上找出最值点，即为函数的最值点。

求出这些点的函数值，就是函数的最值。

1. 线性规划法线性规划法是一种比较常用的求解最值的方法。

通常把二元函数看作一种线性函数，根据不等式条件建立约束条件，然后使用线性规划算法求得最优解。

例如，对于二元函数 $z=f(x,y)=3x+2y$，我们要在不等式约束条件下求其最大值。

假设约束条件为 $x+2y\leq 4$，$3x+2y\leq 7$，$x,y\geq 0$。

首先需要将目标函数转化为标准形式，即 $z=-3x-2y$，然后可以用单纯形法求解，得到最优解 $z_{max}=9$，此时 $x=1$，$y=\frac{3}{2}$。

2. 梯度下降法梯度下降法是一种比较常用的数值优化算法，可以用于求解二元函数的最小值。

梯度下降法的基本思想是不断沿着梯度的负方向进行迭代，直到达到函数的极小值点。

对于二元函数 $f(x,y)$，梯度为 $\nabla f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$，沿着负梯度方向的迭代公式为：$$(x,y)_{k+1}=(x,y)_k-\alpha\nabla f(x,y)_k$$其中 $\alpha$ 是学习率，可以动态调整。

3. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的有效方法。

对于二元函数 $f(x,y)$ 和约束条件 $g(x,y)=0$，可以通过拉格朗日函数构造新的函数：其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数，通过对 $L(x,y,\lambda)$ 求偏导数，可以得到以下一组方程：$$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\end{cases}$$解这组方程可以得到最优解 $(x^*,y^*)$ 和相应的最优值。

解答二元函数最值问题常用的两种方法

相比较于一元函数最值问题，二元函数最值问题较为复杂，无法直接利用简单基本函数的性质求得最值，往往需运用基本不等式法、构造法，才能顺利求得问题的答案.下面结合实例，谈一谈解答二元函数最值问题的两种常用方法.一、基本不等式法若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式称为基本不等式.基本不等式是求解二元函数最值问题的重要工具，通常先需确保a 、b 两式都大于0；然后将代数式配凑为两式的和或积的形式，并使其中之一为定值.一般地，当ab 为定值时，a +b 有最小值；当a +b 为定值时，ab 有最大值；最后检验当a =b 时等号是否成立.例1.已知x,y ∈R ，4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值为______.解法1.因为1=4x 2+y 2+xy =()2x +y 2-32⋅2x ⋅y≥()2x +y 2-32()2x +y 22=58()2x +y 2，当且仅当2x =y 时等号成立，所以-2105≤2x +y ≤2105，所以2x +y 的最大值为2105.我们先将已知关系式变形为()2x +y 2-32⋅2x ⋅y ，仔细观察可发现该式中含有2x 、y 的和与积，于是运用基本不等式的变形式ab ≤()a +b22，即可求得2x +y 的最大值.解法2.设y =kx ，将其代入4x 2+y 2+xy =1，得()4+k 2+k x 2=1，因为()2x +y 2=()k 2+4k +4x 2，故当k =0时，x 2=14，所以2x +y =1或-1，当k ≠0时，()2x +y 2=k 2+4k +4k 2+k +4=1+3k +4k+1，当k >0时，2x +y ⩽85，所以2x +y ≤2105；当k <0时，0≤2x +y <1；综上可知，2x +y 的最大值是2105.当k ≠0时，()2x +y 2=1+3k +4k+1，此时分母中k 、4k 的积为定值，利用基本不等式就能顺利求得最值.例2.设x ，y 满足x 24-y 2=1，则3x 2-2xy 的最小值是______.解法1.因为x 24-y 2=1，所以()x 2-y()x 2+y =1，令x 2-y =t ，则x 2+y =1t ，所以x =t +1t ,y =12()1t-t ,所以3x 2-2xy =4t 2+2t2+6≥6+42，当且仅当2t 2=1时取等号，故3x 2-2xy 的最小值为6+42.目标式中4t 2+2t 2为两式4t 2、2t 2的和，且两式4t 2、2t2的积为定值，这便为运用基本不等式创造了条件.解法2.因为x 24-y 2=1，所以()x 2-y()x 2+y =1，令x 2-y =a,x 2+y =b ，则ab =1,x =a +b,y =b -a 2，于是3x 2-2xy =6+4a 2+2b 2≥6+42ab =6+42，当且仅当2|a|=|b|时取等号.令x 2-y =a,x2+y =b 后，即可将目标式化为6+4a 2+2b 2，根据基本不等式求解，便能快速求得最值.解法3.因为1cos 2α-tan 2α=1，故可设x =2cos α,y =sin αcos α，则3x 2-2xy =12-4sinαcos 2α=12-4m1-m 2，其中m =sin α∈()-1,1，因为12-4m 1-m 2=46-éëêùûú(3-m )+83-m ≥46-42=6+42，当且仅当m =3-22时取等号，故3x 2-2xy 的最小值为6+42.我们先根据同角三角函数之间的关系设x =2cos α,y =sin αcos α，并令m =sin α∈()-1,1，即可将目标式化为46-éëêùûú(3-m )+83-m .该式中的(3-m )+83-m为两解题宝典41式(3-m )、83-m的和，其积为定值，即可运用基本不等式求得最值.解法4.设y =kx ，则x 24-k 2x 2=1，可得x 2=41-4k 2，所以3x 2-2xy =3x 2-2kx 2=4()2k -34k 2-1，设t =2k -3，因为k =y x ∈()-12,12，故-4<t <-2，所以t +8t∈(-6,-42].所以4()2k -34k 2-1=4t +8t+6≥6+42，当且仅当t =22时取等号，即3x 2-2xy 的最小值为6+42.设y =kx 、t =2k -3，将已知关系式化简，并将目标式化为关于t 的式子4t +8t+6，其中t +8t 为两式的和，且这两式的积为定值，利用基本不等式可快速求得最值.解法5.因为3x 2-2xy =x ()3x -2y ，令3x -2y =t ，则1=x 24-y 2=x 24-()3x -t 22，得6xt =8x 2+t 2+4≥28x 2t 2+4=42xt +4，当且仅当8x 2=t 2时取等号，所以3x 2-2xy =xt ≥6+42，即3x 2-2xy ≥6+42.令3x -2y =t ，即可将目标式化为关于t 、x 的式子xt ，将其看作两式的积，求得其和的值，即可根据基本不等式求得目标式的最值.运用基本不等式法求解二元函数最值问题，关键在于根据代数式的结构特性，配凑出两式的和或积.二、构造法在解答二元函数最值问题受阻时，我们不妨另辟蹊径，根据代数式的结构特性展开联想，通过构造向量、几何图形、新函数模型等，将问题转化为向量问题、几何图形问题、函数问题来求解.这样不仅能转换解题的思路，还能有效地培养创新能力.以例1为例.解法1.因为4x 2+y 2+xy =()12x +y2+154x 2=1，设a=()12x +y ,x ,b =(1，由||a ⋅b ⩽||a ⋅||b ，得||2x +y2105，故2x +y 我们根据已知关系式的结构特征构造向量a 、b，即可运用向量的模的性质：||a ⋅b ≤||a ⋅||b ，求得目标式的最值.解法2.令2x =m +n ,y =m -n ，则2x +y =2m ，所以()m +n 2+()m -n 2+()m +n ()m -n 2=1，所以m 225+n 223=1，该式可视为一个椭圆的方程，由椭圆的性质可得2m ≤2105，所以2x +y 的最大值为2105.我们令2x =m +n,y =m -n ，将已知关系式变形为椭圆的方程，根据椭圆的性质和图形范围确定m 的取值范围，进而求得目标式的最值.解法3.因为4x 2+y 2+xy =()2x 2+y 2-2()2x y ()-14=1，所以设AB =2x,AC =y ，则BC =1，cos A =-14,sin A如图所示，延长BA 至D 点，使AD =AC =y ，则BD =2x +y ,sin∠CDB 故BC sin ∠CDB =2R =2105，当BD 为直径时最大，故BD =2x +y ≤2105，即2x +y 最大值是2105.我们由()2x 2+y 2-2()2x y ()-14=1联想到余弦定理，于是构造三角形ABC 和半径为y 的圆，设AB =2x ,AC =y ，并用BD 的长表示目标式，即可通过解三角形，利用正余弦定理、圆的性质求得BD 的最值.以例2为例.解法1.3x 2-2xy x 24-y 2=12x 2-8xyx 2-4y 2，设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=8t -124t 2-1，设f ()t =8t -124t 2-1,t ∈()-12,12，解题宝典42则f ′()t =-8()4t 2-12t +1()4t 2-12，当t ∈()-12,3-222时，f ′()t <0，函数单调递减；当t ∈()3-222,12时，f ′()t >0，函数单调递增，所以f ()t min =f()3-222=6+42.虽然无法直接运用简单基本函数的性质解答二元函数最值问题，但是我们可以通过换元、构造新函数模型的方式，将问题转化为单变量函数最值问题，再利用简单基本函数的性质、导数的性质解题.解法2.设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=12-8⋅yx 1-4()y x2=84t 2-1t -32，可将y x 看作双曲线x 24-y 2=1上的点()x,y 与原点()0,0连线的斜率.当直线y -1=k ()x -32与曲线相切时，斜率k 有最大值，此时k =12-82，所以3x 2-2xy 的最小值为812-82=6+42.通过换元将已知关系式变形，并把已知关系式看作双曲线，将y x 看作双曲线x24-y 2=1上的点()x ,y 与原点()0,0连线的斜率，通过讨论直线与曲线的位置关系，确定直线斜率k 的最值，从而求得问题的答案.总之，解答二元函数最值问题，需根据不等式的结构特征构造不等关系，将问题进行合理的转化，才能顺利求得最值.从上述分析可以看出，从不同的角度思考问题，可以得到不同的解法，但无论采用何种方法，都需灵活利用转化思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.（作者单位：江苏省蒋垛中学）解题宝典若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则以这两个点为端点的线段称为抛物线的焦点弦，如图1中的线段AB .以抛物线上的一点及抛物线的焦点为端点的线段称为抛物线的焦半径，如图1中的线段AF 、BF .求焦点弦长和焦半径问题在抛物线试题中比较常见.本文主要谈一谈有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用.一、抛物线的焦半径公式如图1，已知直线AB 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点，且点A (x 1,y 1)在x 轴的上方，点B (x 2,y 2)在x 轴的下方，直线AB 的倾斜角为α，则||AF =x 1+p 2=p 1-cos α，||BF =x 2+p 2=p1+cos α.证明：作抛物线的准线l :x =-p2,交x 轴于点P ，过点A 作l 的垂线，垂足为N .由于点A 是抛物线上的点，则||AF =||AN .而点A ,N 的横坐标分别是x 1,-p 2,所以||AN =x 1-()-p 2=x 1+p2,故||AF =x 1+p 2，同理可证||BF =x 2+p2.再证||AF =p 1-cos α，||BF =p1+cos α.过点A 作AM ⊥x 轴于M,则四边形AMPN 是矩形，可知||AF =||AN =||PF +||FM ,因为点F ()p2,0,所以||PF =p .在ΔAFM 中，||FM =||AF cos α,所以||AF =p +||AF cos α,得||AF =p1-cos α.同理可得||BF =p1+cos α.当直线AB 的倾斜角为钝（直）角时，上述结论也成立.在运用抛物线的焦半径公式解题时需注意：（1）焦点弦的端点A 、B 分别在x 轴的上方和下方，且焦半径的端点在x 轴上方和下方时所用的公式不一样；（2）当不知道直线AB 的倾斜角时，通常用点A 、B 的横坐标及p 来表示抛物线的焦半径；（3）当已知直线的倾斜角时，可通过倾斜角α和p 来求出抛物线的焦半径.例1.若点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线于A ,B 两点，且 AF =3FB ,则直线l 的倾斜角图143。

巧用待定系数法求解一类二元二次函数最值范围

2021年第2期(下)中学数学研究39巧用待定系数法求解一类二元二次函数最值范围陕西省城固师范学校(723200)刘敬民摘要对于“实数x,y满足Ax2十Bxy十Cy2=D(D= 0),求s=ux2十vxy十wy2的取值范围"的问题，在各类考试和竞赛中经常岀现，许多文章给岀了不同的解法.本文利用待定系数法并借助于一个完全平方式的非负性，流畅的解决所涉及的部分二元二次函数的取值范围问题.关键词待定系数法;解二元二次函数;最值范围对于“实数x,y满足Ax2十Bxy十Cy2=D(D=0)，求s=ux2十vxy十wy2的取值范围"的问题,在各级各类的数学考试和竞赛中经常岀现，而且在各类数学报刊杂志给岀了不同的解法.文［1］采用消元替换法，以y=kx为起点，换探求岀s=ux2十vxy十wy2的最值从而得到取值范围.例1设x,y为实数，且x2十xy十y2=3，求sx2—xy十y2的取值范围.解s=x2—xy十y2=k（x2十xy十y2）十（1—k）x2—（1十k）xy十（1—k）y2.其中k为待定系数且使（1—k）x2—（1十k）xy十（1—k）y2为一个完全平方式，于是有△=（1十k）2—4（1—k）2=0,解之得k i=■一,k2=3.当k i=一时，s=3（x2十xy十y2）十2x2—4xy十x—y=0可以解x2十xy十y2=3132y2=1十|（x—y）?.由元后实现双变量的分离，达到消元的效果;文［2］根据x,y的x=—1,齐次特点，采用整体代换，再通过换元转化为求一元分式函数f（t）u十vt十wt2A十Bt十Ct2值域问题；文［3］通过配方后用三角换元法处理此类问题;文［4］通过构造直线和圆锥曲线，利用直线和圆锥曲线的位置关系来解决问题，真可谓百花齐放,因此s21.当k2=3 2（x十y）2，由2x2—4xy—2y2=9—!x=/3y=一亞百家争鸣.本文利用待定系数法并借助于一个完全平方式的非负性，自然流畅的解决本文所涉及的二元二次函数的取值范围问题.不失一般性,设待求二元二次函数s=ux2十vxy十wy2=K（Ax2十Bxy十Cy2）十（u—AK）x2十（v—BK）xy十（w—CK）y2=KD十（u—AK）x2十（v—BK）xy十（w—CK）y2其中K为待定系数，使（u—AK）x2十（v—BK）xy十（w—CK）y2为一个完全平方式，进一步由△=（u—BK）2—4（v—AK）（w—CK）=0解的情形（二个解、一个解、无解）得I x=1或（y=1[y=—1,时，s=3（x2十xy十y2）—x十y=0x2十xy十y2{x=_a/3,因此s W9.y=W综上所述，s=x2—xy十y2的取值范围为[1,9].例2设实数x,y满足x2—2xy十y2=4，求：sx2—2xy—3y2取值范围.解s=x2—2xy—3y2=k（x2—2xy十y2）十（1—k）x2十（2k—2）xy—（k十3）y2，其中k为待定系数使（1—k）x2十2（k—1）xy—（k十3）y2为一个完全平方式,于是有△=4（k—1）2十4（1—k）（k十3）=0，进一步得—4k十4=0，k=1.当k=1时，由s=x2—2xy十y2—4y2=4—4y2.再!y=0f x=2f x=—2,"解得〈或＜, x2—2xy十y2=4[y=0[y=0,因此s W4.参考文献［1］郑丽兵.论数学解题反思的实践路径［J］.数学教学通讯,2020(15): 55-56+59.［2］任宝江•题后反思：不该被忽视的解题步骤［J］.中学数学,2020(09):62-63.［3］郑波.高中数学解题教学培养反思能力“三策略”J］.数学教学通讯, 2020(15):77-78.［4］陈蒲汉，何小亚.数学解题反思新解［J］.财会月刊：财富文摘, 2013(3):12-14.40中学数学研究2021年第2期(下)x = y 时,方程组当例3若实数x,y 满足x 2 + xy - 2y 2 = 1,求s =3x 2 — 2xy — y 2的取值范围.解 s = 3x 2 — 2xy — y 2 = k (x 2 + xy — 2y 2) + (3 —k )x 2 - (2 + k )xy + (2k - 1)y 2,其中k 为待定系数使(3 - k )x 2 - (2 + k )xy + (2k - 1)y 2为一个完全平方式.于是有△ = (2 + k )2 — 4(3 — k )(2k — 1) = 0,解得 k i = k 2 = 4,s = 3 (x 2 + xy - 2y 2)十善x 2-10xy +|y 2 = # + |(x —y )2.x =y无解，因此x 2 + xy — 2y 2 = 1s > 3,故所求s = 3x 2 - 2xy - y 2的取值范围为(3, + x >).例 4 若实数 x, y 满足 x 2 — 2xy — 3y 2 = 1，求 x 2 + y 2的最小值.解令 s = x 2 + y 2 = k (x 2 — 2xy — 3y 2) + (1 —k )x 2 + 2kxy + (1 + 3k )y 2,其中k 为待定系数使(1 - k )x 2 + 2kxy 十(1 + 3k )y 2为一个完全平方式，于是有 △ = 4k 2 - 4(1 - k )(1 + 3k ) = 0,解之得 k i =匸”5=1 + V ' =~4~ •当k i = 丁时，1 — V5 , 3 + V 52 , 2(1 -V 5) ,7 - 3V 5 2s =^^十^^x 十—4-xy 十^^y =]4" + 1(丿3 + V x — \/7 - 3 V y )2f\/3 + V 5x - \!7 — 3 V y = 0x 2 — 2xy — 3y 2 = 1k 24即2 y (皿+13 —厂{ 72 血无解，因此s> .[x 2— 2xy — 3y 2= 1当k 2 = 1十M 时，1 + V 3 - V 52 2(1 + V 5) 7 + 3^5s =^^十^^x 十—4—xy 十 —=1 +^ + 1^3 - V 5x +丿7十 3V 5y )2此时方程组!十』E y =0x 2 — 2xy — 3y 2 = 1ix =2 + V/。

一道二元函数最值题的几个典型解法

一道二元函数最值题的几个典型解法江苏省东海县白塔高级中学陈大连邮编 222345在辅导学生过程中，有学生问这样一个问题：已知实数,x y 满足24x y ≥，求22x y xy x y +---的最小值. 这是一个二元二次函数的最值问题，而约束条件又为二元二次非严格不等式，如何求解这道题呢？1.一个看似带有猜测成分的解法及其理论依据解由于条件中带有等号，当24x y =时，函数22x y xy x y +--- 23222444()x x x x x =+---43231644x x x x =-+-，记为()f x ，其导数()f x '32331442x x x =-+-323644x x x -+-=21244()()x x x --+=.易见，当1x =时0()f x '=；当1x <时0()f x '<，()f x 单调递减；当1x >时0()f x '>，()f x 单调递增.所以当1x =时()f x 取最小值，最小值为11311644-+- 716=-. 这个解答默认目标函数是在约束条件取等号时取到最小值的，而其结果也是正确的，这种解答有什么依据吗？我们知道条件24x y ≥表示抛物线24x y =及其下方的区域，而目标函数22x y xy x y +---配方，得：221()x y x y y -++-=2221122()()y y x y y ++--+-=22131124()()y x y +-+--.令121,),y x x y y ⎧+'-=⎪⎪'-= 则目标函数化为221x y ''+-，其中22x y ''+表示点(,)x y ''到原点的距离的平方.将所作的变换转换为11,,x x y y y ⎧''=++⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，则约束条件化1y '≥+.在新的坐标系x o y ''--1y '=+仍表示抛物线，如图所示.而不等式1y '≥+表示抛物线及其外部区域（指准线所在的区域）.现在可以看得很清楚，原点到抛物线及其外部区域内任意点的距离最小值只能是原点与抛物线（边界）上某点间的距离.因此，返回去解答，完全可以将24x y =代入目标函数22x y xy x y +---求最小值.这就是上解答看似理由不足但结果却正确的原因.采用这种解法必须对线性变换的性质有所了解，非退化线性变换将椭圆、双曲线、抛物线仍分别变为椭圆、双曲线、抛物线，这样才能解的有理有据.2.另外的几种典型解法解法二（固定变量法）先固定变量x ，将目标函数22221()x y xy x y y x y x x +---=-+-+看作y 的二次函数，记作()f y ，其对称轴为12x y +=，而24(,]x y ∈-∞. 当2124x x +>即11x -<<+()f y 在24(,]x -∞单调递减，其最小值为242214164()()x x x f x x x =-+⋅-+43231644x x x x =-+-. 当2124x x +≤即1x ≤-1x ≥+()f y的最小值是221111222()()()x x x f x x x +++=-+-+2331424x x =--. 所以43223111644331112424min ,[()](),(,[).x x xx x f y g x x x x ⎧-+--<<+⎪⎪==⎨⎪--∈-∞-++∞⎪⎩现在让变量x 自由，求()g x 的最小值.当11x -<<+43231644()()x x x g x x''=-+-，由解法一知，它等于21244()()x x x --+，()g x 最小值为7116()g =-. 当1x ≤-1x ≥+()g x 对称轴为1x =，()g x 最小值为1(g -或1(g +，为12. 综上，()g x 最小值为716-，也是所求二元目标函数的最小值. 注对于二元函数，先固定其中一个变量，让另一个变量变化，得到预定结果后再让被固定的变量自由求解，这是一种典型的解决方法，这种方法体现减元与转化的数学思想.解法三（主元配方法）引入参数λ（0<λ<34）. 22222222222224141114111141214113421234112141414113121()()()()()()()()[]()()()()()()[]()()()()()[]()x y xy x y y x x y xy x yx y x y yy y x y y y x y y y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+---+-=-+--+-=--+++-++=---++---+---=--+------+-=--+-2222222434112124141411343411121221414141[()]()()()()()[][()]()()()()()y x y xy x yy x y λλλλλλλλλλλλλλλλ---------∴+---+--=--+---------224341124141()()()()y x λλλλλ---≥----- 当且仅当2121124,(),,y x y x y λλ⎧+=⎪-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩即11438,,,x y λ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时等号成立，此时22x y xy x y +---的值为716-，所以22x y xy x y +---的最小值是716-. 注上面的解法也称为拉格朗日配方法，是解决带约束条件（次数不超过二次）的二元二次目标函数最值问题的常用方法，这种方法关键是根据条件构造带参数的函数式并选择主元加以配方，方法比较初等.解法四由解法一，知目标函数可配方为22131124()()y x y +-+--.令1212,),y x rcos y rsin αα⎧+-=⎪⎪⎪-=⎪⎩（0r >）即11,,x rcos rsin y rsin ααα⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入条件24x y ≥，得2141())rcos rsin rsin ααα++≥+，展开并化简整理，得224143333[()]()r cos rcos ππαα-+++≥. 令113()()cos t t πα+=-≤≤，则2224443033r t rt r -+-≤在11[,]t ∈-的范围内有解.由二次函数图象知，222312441413033,,r r r r ⎧>⎪⎪⎨⎪⨯-⨯+-≤⎪⎩或 222311243344303223[,]()(),r r r r r r ⎧∈-⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩ 解得3342r ≤<或32r ≥，即34r ≥.当34r =时，1t =，符合条件.所以r 的最小值是34，从而目标函数21r -的最小值为2371416()-=-. 注解法四用到三角换元，当目标函数为平方和22(,)(,)f x y g x y +形式时，可以令0(,),(,)()f x y rcos g x y rsin r αα==>.如果条件为222(,)(,)f x y g x y r += 0()r >，也可以这样换元.解法五记2224(,)()F x y x y xy x y y x λ=+---+-.由000(,),(,),(,)x y F x y F x y F x y λ⎧'=⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎩ 即22120214040,,,x y x y x y x λλ⎧---=⎪--+=⎨⎪-=⎩得38λ=.此时14138,,.y x λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(,)F x y 716=-. 下面证明716(,)F x y ≥-，即222374816()x y xy x y y x +---+-≥-，即22517108216()x y x y y -++++≥（*）. 事实上，（*）左边的判别式22517148216()()y y y ∆=+-⨯++= 2233331324322216()y y y y -+-=--+ 231102416[()]y =--+<，所以（*）式成立，这样 222737416816()x y xy x y y x +---≥---≥-，且等号是在114,x y ==时取到，故22x y xy x y +---的最小值为716-. 注解法五揉合了解法二与解法三的特点，主要思想是引入参数构造一个新的二元函数并固定变量求导，先找到极值点，再证在这一点处函数值最小.这种解法具有一定的普遍性,值得借鉴.以上五种解法均具有代表性，希同学们认真领会，并能在今后的解题过程中灵活运用.。

一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)

一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)一个带约束条件的二元函数最值的求法江苏省东海县白塔高级中学陈大连邮编 222345 电话 150******** 近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题——求带约束条件的二元函数最大值或最小值，这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不同.本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明，以帮助读者能够迅速解决这种问题并增强解题的灵活性.问题（2015届江苏省宿迁市高三一模第 9题）已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为 .解法1 令x y t +=，则y t x =-，将其代入条件得，22()()1x x t x t x --+-=，整理，得223310x tx t -+-=.令22(3)43(1)0t t ∆=--⨯-≥，解得22t -≤≤.当222,1x y x xy y+=⎧⎨-+=⎩即1x y ==时右边的等号成立，所以t =x y +的最大值为2.注此解法对目标函数整体换元，然后将条件化为关于某个变元的一元二次方程，依据其判别式的非负性得到目标函数的最值，其中“可将条件化为关于某个变元的一元二次方程”是此解法得以成功的关键所在.需要提醒的是在得到22t -≤≤时要注意检查等号成立的条件.解法2 由221xxy y -+=配方，得2()31x y xy +-=，再由基本不等式，得22()1313()2x yx y xy ++=+≤+，即22()13()2x y x y ++≤+，解得2()4x y +≤，即22x y -≤+≤，从而2x y +≤.当1x y ==时等号成立，所以x y+的最大值为2.注由于约束条件为二元二次方程，我们可以考虑对其配方，但配方的途径有很多，上解法注意结合目标函数配方，并运用基本不等式，构造出一个关于目标函数式x y +的不等式，通过解不等式求出函数的最值，这种构造不等式求最值或范围是常见的思路.解法 3 由221x xy y-+=配方，得223()124y x y -+=.令3cos sin 2y x y αα-==，则33sin 2y α=，3()3sin cos 22y x y αα-+=+，即3cos x y αα+=+2sin()26πα=+≤.易见当3πα=时等号成立，所以所求的最大值为2.注由于221xxy y -+=的左边是一个非负式子，可以配方成两个式子的平方和，为三角换元创造条件.解法 4 由解法3知等式条件可配方为223()124y x y -+=.令32y x s y t -==，则条件化为221st +=，目标函数3x y s t+=+.由线性规划知识，当动直线3s t P+=与圆221st +=相切时P 最大或最小，此时圆心到直线2211(3)P=+，解得2P =±，其中2是最大值，即x y +的最大值为2.注此解法通过换元将问题化为线性规划问题，借助约束条件与目标函数的几何意义求解，直观明了.解法5 当0x =时21,1,1y y x y ==±+=±.当0x ≠时，221x xy y -+=，∴22222222()2()x y x xy y x y x xy y x xy y ++++==-+-+222222212()12(1)3311111()y yt t t t t t x x y y t t t t t t x x+⋅+++-++====+-+-+-+-+，其中yt x =.易求2311tt t +-+的最大值为4（只需考虑0t >情形），即2()4x y +≤，从而2x y +≤.综合，得所求的最大值为2.注上解法运用齐次化方法，将目标函数化为一元分式函数，之所以能这样做，是因为约束条件左边是齐次式（二次），而目标函数也是齐次式（一次），根据次数关系再将目标函数平方为2()x y +求其最大值.一般地，如果约束条件与目标函数均为齐次式，可考虑这种方法.解法6 令,,x y s x y t +=⎧⎨-=⎩则,2,2s t x s t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩代入221xxy y -+=，得22()()12222s t s t s t s t ++---⋅+=，化简，得223144s t +=，它表示椭圆，显然s 的取值范围是[2,2]-，而s 就是x y +，所以x y +的最大值为2.注由于条件中含有xy 项，且2x 项与2y 项的系数相等，若我们作线性代换,,x y s x y t +=⎧⎨-=⎩则可以化去变元的混合乘积项，使等式条件只含有变元的平方项，这样我们就能看清等式条件所表示的图形特征，以便于从几何角度求解. 解法7 令x y p +=，,22p px t y t =+=-，则22()()()()12222p p p pt t t t +-+-+-=，化简，得22314pt +=，所以214p≤，从而24p≤，22p -≤≤，可见x y +的最大值为2.注上解法用的是平均代换，通常当条件为两变元的和等于一常数，会考虑这种方法. 以上各解法能紧扣问题特点，都比较简捷，而下面的解法虽对此题不够简捷，却值得注意.解法8 当,x y 中有一个为0时，由对称性，不妨0x =，则1y =±，此时1x y +=±.当,x y 同号时，因求的是x y +的最大值，只须考虑0,0x y >>情形.此时令x y ρ+=，22cos ,sin x y ραρα==，其中0ρ>.代入条件，得 24222cos cos sin ραραα-24sin 1ρα+=，从而2ρ=42242222211cos cos sin sin (cos sin )3cos sin αααααααα=-++-2114331sin 2144α=≤=--.当,x y 异号时，由对称性，不妨0,0x y ><，此时令x y ρ+=，21cos x ρα=⋅， 2tan y ρα=-，0ρ>，代入条件，得22224421tan tan 1cos cos αρρρααα++=，从而2ρ=244211tan tan cos cos αααα++424cos 1sin sin ααα=++1<.综合三种情况，得2ρ≤，即2x y +≤，其中等号可取到，所以x y +的最大值为2. 注若目标函数为22xy +，则易想到三角换元cos ,sin x y ραρα==，但若目标函数为x y +且,0x y >，也可考虑三角换元22cos ,sin x y ραρα==.若目标函数为22x y -，可考虑三角换元1,tan cos x y ρραα==，但若目标函数为(,0)x y x y ->，则也可考虑令221,sin cos x y ρραα==.解法9 由221x xy y -+=得243x x y ±-=，所以2314322x y x x +=±-231(3)432x x -.由柯西不等式的二元形式2222ax by a b x y +≤++，得231(3)4322x x -≤ 2222231()()(3)(43)222x x ++-=.当231()(3)4322x x ±=-，即1x =时等号成立，所以x y +的最大值为2.注上解法用的是消元法，此解法看似平淡无奇，但使用的范围也较广，只要能依据等式条件将一个变元用另一个变元的代数式表示，都可考虑这一方法.另，使用柯西不等式的这一步也可改为运用向量求解：令231(,()),(3,43)22a b x x =±=-，据a b a b⋅≤⋅，同样可得231(3)432x x -≤2222231()()(3)(43)22x x ++-解法10 设λ为待定的正常数，则2222()()x xy y x y x y x y y λλλ-+-+=-++-=222222222()333()()()(2)242424244y y y y x y y x y y x y y λλλλλλλλλ++++-+--=-+--=-+--2222233()()2444y x y λλλλλ+=-+---≥-.当,2y y x λλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩即x y λ==时等号成立，此时221λλλλ-⋅+=，解得1λ=，从而有222()11xxy y x y -+-+≥-=-，即1()1x y -+≥-，即2x y +≤，且等号能成立，所以x y +的最大值为2.注此解法先引入待定的系数λ，然后依次对,x y进行配方，当得到两个式子的平方和后便根据其非负性将构建的式子放缩，最后利用等号成立的条件及函数的约束条件确定待定系数的值，其中配方的方法我们称之为主元配方法或拉格朗日配方法.这种解法是处理带等式（二元二次整式）约束条件的二元整式函数最值问题的较一般的方法.如果我们在解此类题问题时一时没有找到简单的方法，不妨试用这一方法.以上10种解法思路各不相同，是解决带等式约束条件二元函数最值问题的常用方法，希抓住问题特点灵活运用.本题还有其它解法，读者可继续探究.为帮助读者进一步熟悉此类问题的解法，下面备几道练习题供参考使用：1．已知正实数,x y 满足223xy x y ++=，求x y +的最小值.2．已知实数,x y 满足223xy x y ++=，求224x y +的最小值.3．已知实数,x y 满足22231x xy y --=，求22xy +的最小值.4．已知实数,x y 满足2214x y -=，则232xxy-的最小值是． 5．若实数,x y 满足22224444x xy y x y -++=，则2x y +的最大值为 .6．已知正实数,x y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 .7．已知2(2)522=(+)(1-),0x y y y x,y >-，则2+x y 的最大值为 . 8．已知实数,x y 满足331x y -=，0,0x y >>，求22()()xy x y -+的取值范围.练习答案：1. 3222；2. 2；3．15+；4.642+；5.22；6. 8[1,]3；7. 322；8．4(1,)3. 练习解答（仅提供一种）：1．由223xy x y ++=得3221xy x -=+，所以321242121x x x y x x x x ---++=+=+++4121x x =-++143(21)2212x x =++-+14332(21)2222122x x ≥+⋅=+，且等号能成立.所以x y +的最小值是3222.2. 由基本不等式得2222(2)2,22[(2)2x y x y x y x y +⋅≤++所以322xy x y =++2222(2)2[(2)2x y x y +≤++解得22(2)2x y +≥，即2242xy +≥，当2x y =且223xy x y ++=即1,12x y ==等号成立，所以224xy +的最小值为2.3．令cos ,sin x r y r αα==，则222x y r +=，条件化为22222cos 2cos sin 3sin 1r r r αααα--=，由此得2221cos 2cos sin 3sin r αααα=-- =111cos21cos22cos2sin 21sin 2322ααααα=+-----⋅5cos(2)151αφ=+--51+，其中等号能显然成立.4．令1,tan 2cos x y αα==，则2cos x α=，2222344tan 124sin 32cos cos cos cos x xy αααααα⨯-=-=-22124sin 4(3sin )44881sin (9sin )8(3sin )6(3sin )3sin 3sin αααααααα--=====---+-+-+---486[(3sin )]3sin αα--+-642864262(3sin )3sin αα≥==+---⋅-83sin 3sin αα-=-即sin 322α=-时等号成立.5．配方，得222(2)4848x y x y xy ++-+=，22(2)4(1)8x y xy ++-=，所以2(2)8x y +≤，所以222x y +≤当1xy =且20x y +≥、22224444xxy y x y -++=即2,2x y ==立，故2x y +的最大值为226．令xy t =，则t y x =，代入条件，得24310t xx x x t ++⋅+=，整理，得24(1)10(23)0xx t t +-++=.其判别式41004(1)(23)0t t-++≥，解得813t ≤≤.当1x y ==时1t =；当42,3x y ==时83t =.故xy 的取值范围为8[1,]3.7．对条件配方，得22(2)4(1)9x y y -++=.令2,2(1)x y s y t -=+=，则有1,2122t t y =x s -=+-，22+x y s t =+-，问题化为在2292=()st t >+条件下求2p=s t +-的最大值.由线性规划知识知，在坐标系s o t --中当动直线2p=s t +-与圆弧2292=()s t t >+切于点3232)时p 最大，最大值为322.8．331x y -=，222223322()()()()()()()()x y x y x y x y x y x y x y x y x xy y -+-+∴-+==--++22222x xy y x xy y ++=++221xy x xy y =+++21()1xyx x y y =+++2111111t t t t t=+=+++++，其中x t y=.由条件知331xy=+，333311()1(1,)x y y y y +==+∈+∞，从而(1,)t ∈+∞，1(2,)t t+∈+∞，141(1,)131t t+∈++，即22()()xy x y -+的取值范围是4(1,)3.。

巧用三角换元法求解一类二元最值问题分析

2024年第6期教育教学SCIENCE FANS 巧用三角换元法求解一类二元最值问题分析战景林（中国人民大学附属中学，北京 100080）【摘要】文章采用理论分析与案例教学结合的方法，深入分析三角换元法在解决特定类型的二元最值问题上的应用，详细阐释三角换元法的基本原理和具体教学实践。

在教学实践部分，以难度逐渐提升的习题为例，分别进行基础、进阶和拓展教学的案例分析，探索三角换元法在不同层次教学中的应用。

研究结果表明，三角换元法在处理某些类型的二元最值问题时，不仅能提供清晰直观的解决方案，还能加强学生对相关数学概念的理解和应用。

【关键词】高中数学；三角换元法；拓展教学；解题技巧【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2024）06-0031-03二元最值问题是高等数学和工程领域中的一个核心问题，其解决方法多样，包括传统的微分法和各种几何或代数方法。

近年来，三角换元法因其在处理某些类型问题上的独特优势而受到关注。

本文的目的是通过理论分析和教学实践，深入探讨三角换元法在解决特定类型的二元最值问题中的应用。

1 数学基础回顾在高中数学领域，最值问题探讨的是函数在特定区域内的最大或最小值，是微积分和优化理论中的核心议题。

特别是对于二元函数，其极值条件不仅涉及导数为零的点，还包括边界点和不可导点。

三角函数以其周期性和波动特性，常在最值问题中扮演重要角色。

如sin和cos函数的周期性质经常用于化简复杂表达式，进而揭示函数的内在变化规律。

换元法在最值问题中尤为重要，其可以通过变量替换简化问题，特别是当函数涉及复杂的代数结构或不规则的几何形状时，适当的换元，如采用三角换元，可以将原问题转化为更易解的形式[1]。

通过三角换元，可以有效地利用三角函数的性质简化问题的求解过程，尤其在二元函数极值问题中展现出突出的效果[2]。

因此，了解这些数学基础并掌握它们在最值问题中的应用，对于解决更复杂的数学或工程问题至关重要。

二元函数的最值问题

二元函数的最值问题因在高中数学教学的过程中经常会遇到求二元函数的最值问题，现对此类问题做简单研究，并做如下总结：一、消元法例1、已知12,0,0=+≥≥y x y x ，求232y x +的最小值解： 210021≤≤⇒≥-=y y x()243321232222+-=+-=+y y y y y x()43221441332min 2=+⨯-⨯=+∴y x变式1、若R y x ∈,，则此题还可用判别式法令223232y t x y x t -=⇒+=024324322=-+-⇒=+-∴t y y y y t()021216≥--=∆t()323232min 2=+∴≥∴y x t练习1、已知R y x ∈,，02322=-+-y xy x ，求y x +的最大值。

（111102）二、基本不等式例2、已知40,0=+>>n m n m 且，求n m 11+的最小值解： ()n m n m n m +⎪⎭⎫⎝⎛+=+114111⎪⎭⎫⎝⎛+++=1141n m m n()12241=+≥当且仅当2==n m 时，取“=”例3、已知y x y x +=+求,222的最大值法一（链接不等式） 22222=+≤+y x y x 当且仅当1==y x 时，取“=”法二（参数方程）设⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，则θθsin 2cos 2+=+y x⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθ ()4,2max πθ==+∴此时y x法三（数形结合）令y x z +=，则z x y +-=当直线与圆相切时，圆心到次直线的距离222±=∴==z z d()2max =+∴y x练习2、已知xy y x y x =+>>2,0,0且，求y x 2+的最小值。

（9）三、参数方程例4、已知R y x ∈,，且满足64222=++y xy x ，求224y x z +=的范围解： ()12663222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=++y y x y y x 令⎪⎩⎪⎨⎧-==θθθcos 2sin 6cos 2x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=∴32c o s 48422πθy x z []12,4∈∴z四、整体换元例5、已知()c bx ax x f ++=2，对()()x f x f R x '≥∈∀,，求222c a b +的最大值解： b ax c bx ax +≥++22()022≥-+-+∴b c x a b ax⎩⎨⎧≤+-+-=∆>∴04444022ab ac a ab b a04422≤-+∴ac a b2244a ac b -≤∴222222214444⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-≤+∴a c a c c a a ac c a b 令()042≥≥-=b c a a a ct 又 1≥∴≥∴t a c则2222144t t c a b +-≤+ 令0,1≥-=k t k ()222222422422411422-=+≤++=++=+-∴kk k k k t t 总结：解决二元函数最值问题的方法：1、消元法2、基本不等式、重要不等式、链接不等式3、判别式法（定义域为R ）4、数形结合（几何意义）5、参数方程（圆、椭圆）6、整体换元7、线性规划。