蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第18章 委托—代理理论)

蒋殿春《高级微观经济学》 第18章 委托—代理理论

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1．(),x ϕθ是θ类的代理人的成本函数。在18.1.1节中我们说，如果()()12,,x x ϕθϕθ>，且()()12,,x x x x ϕθϕθ>成立，则这两类代理人的无差异曲线只相交一次，请证明这一点。

证明：两类代理人的无差异曲线满足方程：

()111,u y x ϕθ=- ()222,u y x ϕθ=-

它们的差为：

()()212112,,u u u y y x x ϕθϕθ∆=-=-+-

对函数求导得到：

()()12d ,,0d x x u

x x x

ϕθϕθ∆=-> 从而得到u ∆是严格单调函数，所以最多和x 轴相交一次，即最多存在一个x ，使得21u u =。

另一方面，当0x =时，()11,0x a ϕθ==，()22,0x a ϕθ==。此时委托人的利润函数变为v y =-，根据利润最大化原则，支付的工资为120y y ==。所以，当0x =时，两效用函数都

为0，无差异曲线相交。

2．参看图18-5中显示的两个分布密度函数：如果代理人的行动是a *，可能的产量将

落在区间()(),a a αβ**

⎡⎤⎣⎦

内；另一个行动a '对应的产量区间是()(),a a αβ''⎡⎤⎣⎦。 （1）证明：只要委托人对生产()(),x a a αα*

⎡

⎤'∈⎣⎦

的代理人处予足够大的惩罚，就能保 证代理人选择a *；

（2）是否也存在适当的惩罚机制，保证代理人选择行动a '？ 解：（1）考虑一个简单的两段支付函数：

12y y y ⎧=⎨⎩()()()(),,x a a x a a αααα*

*⎡⎤

'∈⎣⎦⎡⎤'∉⎣⎦

其中，1y 和2y 都是常数，12y y <。在此支付结构下，代理人选择行动a '所获的期望效用为：

()()()(){}

()112,1,u E a F a a u y F y a u y a αα**

⎡⎤⎡⎤'''=+--⎣⎦⎣⎦

而选择行动a *所获的期望效用为：

()()2u E a u y a **=-

要阻止代理人选择行动a '，只需：

()()(){}

()()1122,1,F a a u y F y a u y a u y a αα*

**⎡⎤⎡⎤''+--<-⎣⎦⎣⎦

由于(),0

F a a α*

⎡⎤'>⎣⎦，所以： ()()()12,a a u y u y F a a α**

'-<-

⎡⎤'⎣⎦

由于效用函数是严格单增的，只要210y y ->足够大，上式便成立。

（2）与（1）相反，只要210y y -<，则保证代理人选择行动a '。

3．如果1θ和2θ两类代理人所占的比例分别是γ和1γ-，γ值的变化会如何影响委托人的最优契约？

解：在条件12θθ<条件下，由最优契约条件（18.14）和（18.15），得到：

()()()1112111,1,,1a a a x x x x x x γ

ϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+

-<⎣

⎦

()22,1a

x x ϕθ=

当γ趋近于1时，()11,a x x ϕθ趋向于1。这表明y 越大，委托人向低效率代理人提供的契约也就越趋近于最优契约。同时，委托人向高效率代理人提供的契约不随γ的变化而改变。

4．如果18.1节模型中包含三种不同的代理人，利用微分方法或者几何方法说明，最优激励契约中效率较低的两类代理人的产量低于帕累托有效水平，但最有效率的一类代理人生产帕累托有效产量。

解：模型18.1的假设条件下，假设1θ、2θ和3θ三类代理人所占的比例分别是1γ、2γ与121γγ--，则委托人的期望利润为：

()()()()()11122212331E v x y x y x y γγγγ=-+-+---

设各代理人的保留收益为0u =，他们面临的参与约束与自选择约束条件为：

代理人 参与约束

自选择约束

1

()()111221,,y x y x ϕθϕθ-≥-

()111,0y x ϕθ-≥（束紧）

()()111331,,y x y x ϕθϕθ-≥-

2

()222,0y x ϕθ-≥

()()222112,,y x y x ϕθϕθ->-（束紧） ()()222332,,y x y x ϕθϕθ->-

3

()333,0y x ϕθ-≥

()()333113,,y x y x ϕθϕθ-≥-

()()

333223,,y x y x ϕθϕθ-≥-（束紧） 在三个束紧的约束等式下，委托人的期望利润最大化问题变为：

()()()()1112221233max 1x y x y x y γγγγ-+-+---⎡⎤⎣⎦

..st ()111,y x ϕθ=

()()()2112233,,,y x x x ϕθϕθϕθ=+-

()()()()()31122123323,,,,,y x x x x x ϕθϕθϕθϕθϕθ=+-+-

一阶必要条件是：

()()()1

11121111,1,,a a a x x x x x x γϕθϕθϕθγ-⎡⎤=+-⎣

⎦ ()()()12

2223222

1,1,,a

a a

x x x x x x γγϕθϕθϕθγ--⎡⎤=+

-⎣⎦

()333,1a

x ϕθ=

由于0x θϕ<，且123θθθ<<，故而有：

()()1211,,a a x x x x ϕθϕθ<，()()2322,,a a

x x x x ϕθϕθ<

因此，由一阶必要条件易知：

()()1111,1,a x x x x ϕθϕθ*

<= ()()2222,1,a x x x x ϕθϕθ*<= ()()333333,1,1a x x ϕθϕθ*===

由于0x θϕ=，故有11a x x *<，22a x x *<，33a x x *=，即在最优激励契约中低效率的两类代理

人产量低于帕累托有效水平，而效率最高的代理人生产帕累托有效水平的产量。

5．考虑一个以边际成本c 生产x 商品的独占厂商，市场上有两种可能的消费者。两类消费者的效用函数分别是

()()1,U x q v x q =+，()()2,2U x q v x q =+