小班--三角函数1的妙用-基础-学生版

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浅议“1”在三角函数中的作用

浅议“1”在三角函数中的作用作者：赵春燕来源：《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。

尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。

尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。

当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。

下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。

一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。

例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。

解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=（sinα+cosα）2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。

解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。

解：Θsin2α+cos2α=1 ∴（m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。

幼儿园中班数学教案认识三角函数让孩子学会三角函数概念

幼儿园中班数学教案-《认识三角函数，让孩子学会三角函数概念》幼儿园中班数学教案-《认识三角函数，让孩子学会三角函数概念》教学目标：1. 让孩子了解三角函数的概念，能够正确使用三角函数术语；2. 让孩子能够用图表的形式表达三角函数；3. 帮助孩子能够根据生活实际问题进行三角函数的运用。

教学内容：本节课程将主要讲解三角函数的概念和使用方法，包括正弦、余弦、正切等基本概念的讲解和理解，数学表格和图像的制作与应用以及真实生活中的三角函数运用案例。

教学方法：以问题为引导，通过图形、图表、实物等多种教学方法，让孩子们在体验中学习，激发学生的学习兴趣，培养学生的思考能力和创新能力。

教学步骤：1. 上课前，教师需提前准备好教学所需的图形、图表、实物等教学材料；2. 通过问题引导，让孩子们自然而然地了解三角函数的概念；3. 教师简要讲解正弦、余弦、正切等基本概念并通过图表等形式进行展示；4. 通过图形、图表等制作，让孩子们进行三角函数的实践操作，如画出正弦函数曲线；5. 教师通过真实生活中的案例，让孩子们感受三角函数的实用性和重要性；6. 总结本节课程的重点及难点，巩固所学知识。

教学重点与难点：1. 设计问题引导孩子们深刻理解三角函数的概念；2. 通过图形、图表等形式，让孩子们掌握三角函数的使用方法；3. 帮助孩子们理解三角函数在真实生活中的应用。

教学总结：通过本节课程，孩子们不仅了解了三角函数的概念，还掌握了如何使用数学表格和图像来表达三角函数，并学会了如何将数学知识运用到生活中。

教师在教学中注重培养孩子的思考能力和创新能力，让孩子们在轻松愉快的氛围中学习。

同时，本节课程还引导孩子们热爱数学，激发孩子们对未来学习数学的兴趣。

浅谈三角函数中“1”的妙用

浅谈三角函数中“1”的妙用三角函数内容是新课程标准中删减、变化最大的内容之一，但是它仍然是高考的重点。

许多同学在学习三角函数的时候感到很吃力，认为计算量很大，公式很多。

下面笔者就从下面几道题为例，谈谈“1”在解某些三角函数问题时的妙用。

一巧用sin 2a+cos 2a=12tan 3,2sin 3sin cos a a a a =-例1：已知求的值本题有多种解法，最常见的是根据tana 的值，求出sina 和cosa 的值，然后代入计算，但是这里要注意到a 所在的象限。

这里介绍如何巧用“1”来求值。

222222222sin 3sin cos 12sin 3sin cos sin cos 2tan 3tan tan 1233331910a a aa a aa a a aa -=-=+-=+⨯-⨯=+=解：原式这里用到了平方关系sin 2a+cos 2a=1，就不用考虑a 所在的象限，计算也比较简便。

221,1a b+=+=例2：已知求证22101011baa b -≥-≥≤≤由于，，得，，根究结构特点，可考虑利用三角代换来解答本题。

证明：由已知可得221010b a -≥-≥，，所以11a b ≤≤，，设a=cos ,b=cos 00αβαπβπ≤≤≤≤，且，，由已知得22222222cos cos 1,cos sin cos sin 1,sin()10222cos cos cos cos sin cos 12a bαβαββααβππαβπαββαπαβαααα+=+=+=≤+≤+==-+=+=+-=+=即所以又，所以，即所以（）二巧用tan450=1000003(1tan 1)(1tan 2)(1tan 3)...(1tan 44)(1tan 45)+++++例计算2345(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan 1tan tan tan tan 2[(1tan 1)(1tan 44)][(1tan 2)(1tan 43)]...[(1tan 22)(1tan 23)](1tan 45)2αβαβαβαβαβαβαβ=++=+++=++-+==+++++++=解：当+时，（）（）所以原式三巧用tanacota=14tan 6730'tan 2230'-例计算本题看似无从下手，但如果我们能够发现0006730'2230'45-=,解本题也就不难了。

三角函数-秒杀技巧-1的妙用

三角函数-秒杀技巧-1的妙用三角函数是高中数学中常见的概念，我们经常接触到的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决关于角度和距离的问题时。

而在秒杀题时，掌握三角函数的性质和应用是非常关键的。

本文将介绍三角函数的一种妙用，即使用三角函数的性质推导简单且常见的三角恒等式。

本文将从基本概念、基本性质和推导三角恒等式三个方面进行详细阐述。

一、基本概念首先，我们来回顾一下三角函数的基本概念。

在直角三角形中，我们定义了三个基本三角函数：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比，即sinθ = a / c。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比，即cosθ = b / c。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比，即tanθ = a / b。

这三个基本三角函数在数学中有着很多的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。

二、基本性质1. 基本关系式：在直角三角形中，三角函数之间有着重要的关系。

我们可以通过正弦和余弦的关系式sin²θ + cos²θ = 1来推导其他有关的关系式。

2.周期性：三角函数是周期函数，其中正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数的周期是π。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。

4. 初等性质：三角函数具有各自的初等性质，例如sin0 = 0，cos0 = 1，tan0 = 0，以及sinπ/2 = 1，cosπ/2 = 0，tanπ/2 = ∞等等。

理解和掌握这些基本性质对于推导和应用三角恒等式非常重要。

现在，我们来看一下如何利用三角函数的性质来推导三角恒等式。

三、推导三角恒等式在数学中，三角恒等式是指能够成立的恒等式，即对于一切满足恒等式中各个角的取值范围，恒等式都是成立的。

数学课三角函数的应用

数学课三角函数的应用教案主题：数学课三角函数的应用一、引言三角函数是数学中的重要概念，也是应用广泛的数学工具之一。

它在几何、物理等领域都有重要的应用。

本节课将通过几个实际问题引入三角函数的应用，帮助学生理解三角函数的概念并掌握其应用。

二、图形的位置与方向通过分析一个航空飞行器的起飞和着陆，引出三角函数在图形的位置与方向问题中的应用。

航空飞行器的起飞和着陆过程中需要考虑飞机的位置和方向，而这些问题可以通过三角函数来解决。

三、几何中的应用1. 三角形的边长和面积计算：通过实际例子引导学生使用正弦定理、余弦定理等三角函数的应用公式来计算三角形的边长和面积。

2. 直角三角形的求解：以三角形的内角和外角问题为例，引导学生利用三角函数来解决直角三角形的求解问题。

四、物理中的应用1. 物体的斜抛运动：引导学生通过实际问题探讨斜抛运动中的角度、初速度和高度之间的关系，进而引出三角函数的应用。

2. 弹簧振动：通过弹簧振动问题，引导学生掌握三角函数的周期性和振幅变化规律，并了解三角函数在物理中的应用。

五、工程中的应用1. 建筑中的角度测量：通过建筑中的角度测量问题，引导学生学习如何使用三角函数来测量和计算角度。

2. 光学中的倾斜角度测量：以光学仪器中的倾斜角度测量为例，引导学生应用三角函数来计算倾斜角度。

六、生活中的应用通过几个实际生活例子，如日常生活中的遮阳板角度调节、航海中的方位角度测量等，引导学生认识到三角函数的应用贯穿于各个方面的生活。

七、总结通过本节课的学习，学生理解了三角函数的概念及其应用的重要性。

同时，他们也掌握了一些在几何、物理、工程和生活等中常见的三角函数应用。

八、拓展思考学生可以自主选取感兴趣的领域探索三角函数的应用，并就其实际问题进行研究和讨论。

通过以上的教学内容，学生能够深入了解三角函数的应用，并且能够将其应用到实际问题中去解决。

教学中，教师应选择一些生动、实际的例子来引发学生的兴趣，同时结合教学工具、多媒体等辅助手段，提高学生的学习效果。

“1”在三角函数中的灵活运用

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３ｏ＝ＣＳ，然后根据例１ｃｓ－Ｏ中解法ｌ的思想就可以解题。
参考文献【】丁孝林．ｌ高校优秀学生干部培养教育研究．新西部，２０，１０７２ｆ李鹏飞，陈露．２１高校学生干部培养探究．人教两。２０．．７０８００４【李雪．３】论高校学生干部的角色定位与认知… 培养学生干部的 “ 己与宽人 ”意识．宁行政学院学报，２０，０律辽０９８【王敏丽．学生干部的选拔、培养与管理初探．４】高校中国科教创新导
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作者简介
翟会会（９５１８一），研究方向：体育教育训练学。

三角变换中“1”的妙用

三角变换中“1”的妙用作者：陈秀娟来源：《中学教学参考·理科版》2010年第07期三角式的变形问题,包括三角式的简化、求三角式的值、证明恒等式、条件等式和三角不等式内容.特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容.在三角函数中“1”的变换有--等等.在具体变换中根据题目的不同特征选择不同的变换,在三角函数的变形时,若能把常数“1”恰当处理,并灵活运用三角基本公式,变形起来就比较顺利.现举例说明.第一,三角函数式如含有1时可将1变换为【例1】已知-1=-1,求的值.分析:由已知可以求出再由同角三角函数关系式可以求得和进而求出关系式的值,但实际操作中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.解析=135.评析:形如的式子称为关于、的二次齐次式,对涉及它们的三角式通常利用进行变换.【例2】若、是关于方程的两个实根,求k的值.解:由题意知-6k8=-3k4,∵-4×8×(2k+1)≥0,∴k≥8+2349或k≤8-2349.又∵---2×2k+18,∴-8k-20=0,解得k=-109或k=2(舍去),∴k=-109.第二,三角式中有1和、时,则利用-进行变换.【例3】化简-解--------第三,在含有根号的三角函数等式的变形中、时1可以不变,但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.【例4】化简三角函数式--1--1--分析:利用同角三角函数平方关系式化简.原式-(1----1----1-4(当α在第一、三象限时-4(当α在第二、四象限时).评析:解该题时易犯的错误是缺少对、正负的讨论,直接“脱去”分母中的绝对值符号,或是不注意正、余函数的有界性,盲目对、的正负进行讨论.第四,三角式中有1和有时把1换成【例5】化简-解:原式-第五,三角式中含有则有时不宜变动1,而将化为将1-化为【例6】化简-解:原式-----又∵00.∴上式-=-第六的妙用.【例7】已知实数x,y满足-若对满足条件的任意x,y都有x+y-c≤0恒成立,求参数c的取值范围.解:设-即则x+y-c≤0恒成立转化为-c≤0恒成立,即恒成立.设则恒成立等价于下面我们求函数的最大值.由正弦函数的有界性知当时,函数取得最大值,即所以c≥2+1.即c取值范围是[2+1,+∞).评析:本题考查不等式的恒成立问题中参数范围的确定,集圆的参数方程、二元不等式、三角函数的性质等于一体,是一道好题,利用圆的参数方程(即是解决问题的关键.(责任编辑金铃)。

例说“1”在解三角函数问题中的妙用

例说“1”在解三角函数问题中的妙用作者：段会来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期“1”在高中数学解题中往往扮演很重要的角色，若能适时巧妙地用上“1”的一些代换，将“1”进行转化，不但能让学生简化解题步骤，得到事半功倍的效果，还能极大地激发学生学习数学的兴趣.本文就“1” 在解三角函数问题中的运用举例说明.妙用一巧妙运用边长为“1”的直角三角形，帮助记忆特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值在解三角函数问题中应用非常广泛，而学生们往往容易记错，巧妙地运用边长为“1”的直角三角形，可以帮助我们记忆特殊角的三角函数值.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=1，则BC=1，AB=2，可得45°的各三角函数值.同理，如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则∠A=60°，AB=2，BC=3，可得30°和60°的各三角函数值.妙用二巧妙运用sin2α+cos2α=1解题例1（2011年重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin（α-π4）的值为.解法1由sin2α+cos2α=1，sinα=12+cosα，α∈（0，π2），得sinα=7+14，cosα=7-14，所以sinα+cosα=72.所以cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-74，sin（α-π4）=sinαcosπ4-cosαsinπ4=sinαcosπ4-cosαsinπ4=22（sinα-c osα）=24，所以cos2αsin（α-π4）=-142.解法2由sinα=12+cosα，得sinα-cosα=12.两边同时平方，得（sinα-cosα）2=14，即sin2α-2sinαcosα+cos2α=14，整理得2sinαcosα=34，所以（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+34=74.又因为α∈（0，π2），所以sinα+cosα=72.所以cos2αsin（α-π4）=cos2α-sin2α22（sinα-cosα）=-2（sinα+cosα）=-142.点评此类题目通常有多种解法，本文选择其中的两种解法.解法1为常规解法，根据已知条件，利用方程思想分别求出sinα和cosα的值，然后代入所求的式子求解.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将“1”进行代换，避免了解二次方程组的复杂过程.例2（2012年辽宁）已知sinα-cosα=2，α∈（0，π），则tanα=A. -1B.-22C.22D. 1解法1由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，即sin2α=-1.由α∈（0，π），得2α∈（0，2π），所以2α=3π2，即α=3π4，所以tanα=-1.故选A.解法2由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，所以2sinαcosαsin2α+cos2α=-1.由已知得cosα≠0，分子分母同时除以cos2α，得2tanαtan2α+1=-1，解得tanα=-1.故选A.点评解法1根据已知条件，解三角方程求出角α的值，然后代入所求的式子求解，但是此法易漏根或增根.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将分母“1”进行代换，化弦为切，避免了解三角方程.妙用三巧妙运用tan45°=1解题例3求1+tan75°1-tan75°的值.解法1因为tan75°=tan（45°+30°）=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=2+3，所以1+tan75°1-tan75°=1+（2+3）1-（2+3）=-3.解法21+tan75°1-tan75°=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan（45°+75°）=tan120°=-tan60°=-3.点评解法1利用两角和与差的正切公式求出tan15°，然后代入所求的式子求解，但是此法运算量较大.解法2是巧妙运用tan45°=1，将“1”进行代换，逆用公式，快捷方便.。

“1”在数学问题中的妙用

关键词:空集ꎻ错解ꎻ剖析中图分类号:Ｇ６３２文献标识码:Ａ文章编号:１００８－０３３３(２０１８)２８－００２４－０２
空集是一个极其特殊又非常重要的集合ꎬ它不含任何元素ꎬ正因为空集的特殊性ꎬ 常常成为各类考试的热点. 而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解ꎬ 所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.
例４房间里有４个人ꎬ假定每个人的生日在１２个
收稿日期:２０１８－０４－１５作者简介: 王嫣然(２００１. ３－ ) ꎬ女ꎬ河北省衡水市人ꎬ在校学生.
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月中的某一个月是等可能的ꎬ求至少有两个人的生日在
同一个月的概率.
解设事件Ａ表示至少有两个人的生日在同一个
月ꎬＰ( Ａ)
＝１
－
Ｐ( Ａ)
＝
１
－
１２
× １１ × １０１２４
×９
＝
４１９６
.
五、整式的化简求值
对整式进行化简求值ꎬ有时可以利用“１” 进行恒等变
形从而解决问题.
例５
已知
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＝
０ꎬ 求
ｃ
æ１
ç
èａ
＋
１ｂ
ö
÷
ø
＋
ｂ
æ１
ç
èｃ
＋
１ａ
ö
÷
ø
＋
ａ
æ
ç
è
１ｂ
＋
１ｃ
ö÷的值. ø
解
原式
＝
ｃ
æ
ç
è
１ａ
＋
１ｂ
＋
１ｃ
ö

三角函数中“1”的妙用

三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。

理论一：sin 2α+cos 2α=1应用举例例1．已知α是第一象限角，化简下式ααcos sin 21+解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗解：ααcos s in 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2：已知3tan =α，求ααcossin 的值解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。

我们发现ααcos sin 的分母是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了解：∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二：14tan=π（145tan 0=）应用举例例3：求值015tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决解：0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕs in 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例例4：化简x x cos sin 3+解析：化简x x c o s s i n 3+，就意味着将原式化成)s in (ϕ+xa 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法解：x x cos s in 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π+x例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos s in 2s in )(++=的最大值，并求出此时的x 的值解：x x x x y 22cos 3cos s in 2s in ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx ，当2242πππ+=+k x ，即)(8Z k k x ∈+=ππ时，22m a x +=y理论四：单位圆中的三角函数线的应用单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。

理解三角函数的应用幼儿园教案

理解三角函数的应用幼儿园教案【导言】三角函数是高中数学中的重要内容，虽然对于幼儿园的孩子来说可能还有些困难，但通过游戏和趣味教学方式，可以引导他们初步了解三角函数的应用。

本教案旨在帮助幼儿园的孩子初步理解三角函数的应用，并通过实际情境进行探索和学习。

【活动一】三角形歌谣目标：通过歌谣的方式帮助幼儿园的孩子记忆三角形中的各个部分，并初步引导他们关注三角形中的角度和边长关系。

活动步骤：1. 请孩子们坐在舒适的位置，放上背景音乐，为孩子们营造轻松的氛围。

2. 带领孩子们一起唱一首关于三角形的歌谣，歌谣内容包括描述三角形的三个边和三个角。

歌谣示例：小三角有三边，一个一个数起来，边边边，边边边，最后结果出来。

还有三个角呢，一个一个看过去，角角角，角角角，最后结果出来。

3. 引导孩子们一起观察自己周围的环境，找出能看到的三角形，并指出三角形的边和角。

4. 通过观察和讨论的方式，帮助孩子们初步理解三角形中角度和边长的关系。

【活动二】水果摆摊目标：通过模拟环境游戏，让幼儿园的孩子在实践中感受三角函数的应用，初步了解角度和边长之间的关系。

活动步骤：1. 准备一些玩具水果和小摊位，并将它们放在一个开放的区域内。

2. 将幼儿园的孩子分为几组，每组选出一名摊主和一名顾客。

3. 摊主可以在自己的摊位上自由摆放水果，但是需要确保水果摆放成三角形的形状。

4. 顾客需要观察摊主的三角形摆放，然后用手指示某两个水果之间的角度，并估计出角度的大小。

5. 摊主和顾客之间通过语言和手势沟通，摊主可以调整水果摆放的角度，直到顾客满意为止。

6. 每组孩子轮流扮演摊主和顾客的角色，重复进行游戏。

【活动三】三角形拼图目标：通过拼图游戏，帮助幼儿园的孩子进一步巩固对三角形及其角度的理解，并思考三角函数在实际生活中的应用。

活动步骤：1. 准备一些三角形拼图，每个拼图有不同的角度和边长。

2. 将幼儿园的孩子分为小组，将拼图分发给每个小组。

3. 孩子们合作完成拼图，可以通过观察边长和角度来判断拼图的正确位置。

三角函数在生活中的运用

三角函数在生活中的运用三角函数是数学中的一种重要分支，它是关于角度和三角形的函数。

三角函数在生活中广泛应用于各个领域，如建筑工程、图形设计、物理学、天文学等。

以下将详细介绍三角函数在生活中的运用。

首先，三角函数在建筑工程中起到了重要的作用。

在建筑设计过程中，经常需要计算各种角度以及长度等。

例如，在设计房屋的屋顶坡度时，需要根据房屋的长度和宽度来计算屋顶的倾斜角度。

这个过程就需要用到三角函数中的正切函数。

另外，在设计桥梁、塔楼等高大建筑物时，也需要运用到三角函数来计算高度与倾斜角度之间的关系。

其次，三角函数在图形设计中也有很多应用。

例如，在计算机图形学中，经常需要绘制各种形状的曲线和曲面。

而这些曲线和曲面的绘制过程，往往需要用到三角函数的周期性和平滑性。

此外，在艺术设计中，常常需要运用到三角函数的特性来设计各种美观的图形和造型。

三角函数在物理学中也具有广泛的应用。

在物理学中，常常需要研究物体的运动以及力学等问题。

而这些问题往往需要用到三角函数来描述和计算。

例如，通过三角函数可以描述物体的运动轨迹、速度和加速度等。

另外，在声音和光线的传播中，也常常需要运用到三角函数的特性来解决问题。

此外，三角函数在天文学中也有很多应用。

例如，在天文学中常常需要计算天体的位置和运动轨迹。

通过运用三角函数可以计算出天体的视差、视角和角直径等。

这些数据对于天文追踪和星体观测具有重要意义。

同时，通过观测测量，可以计算出星体的距离和质量等重要参数，进一步加深对宇宙的认识。

还有很多其他的应用领域，如电子工程、音乐学、航空航天等。

在电子工程中，常常需要利用正弦函数来描述电路中的交流电信号。

音乐学中，音高的变化也可以用三角函数来解释和表达。

而在航空航天领域，利用三角函数可以计算出飞行器的速度、方向和位置等。

总之，三角函数在生活中具有广泛的应用。

它在建筑工程、图形设计、物理学、天文学等各个领域都起到了重要的作用。

通过运用三角函数，可以解决各种实际问题，帮助人们更好地理解和应用数学知识。

三角函数的应用

三角函数的应用一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握三角函数的定义和基本性质，理解并熟练运用正弦、余弦和正切函数。

2. 使学生能够运用三角函数解决实际问题，如计算物体的运动轨迹、分析周期性变化现象等。

3. 让学生掌握三角函数图像的特点，能通过图像分析函数的性质和应用。

技能目标：1. 培养学生运用三角函数进行实际计算的能力，提高解题技巧。

2. 培养学生运用图像分析三角函数性质的能力，提高观察能力和逻辑思维能力。

3. 培养学生将三角函数与其他数学知识相结合，解决综合性问题的能力。

情感态度价值观目标：1. 激发学生对数学学科的兴趣，培养积极主动探索科学奥秘的精神。

2. 培养学生的团队协作意识，学会与他人合作交流，共同解决问题。

3. 培养学生具有严谨的科学态度，面对实际问题，敢于挑战，善于分析，勇于解决。

分析课程性质、学生特点和教学要求：本课程属于高中数学教学内容，旨在帮助学生掌握三角函数的基础知识，并运用其解决实际问题。

考虑到学生已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，课程将注重培养学生在实际情境中运用三角函数的能力。

在教学过程中，注重引导学生主动探索、发现和解决问题，激发学生的学习兴趣，提高其数学素养。

通过本课程的学习，使学生能够达到以上所述的知识、技能和情感态度价值观目标。

二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 三角函数的定义及基本性质：介绍正弦、余弦和正切函数的定义，探讨其基本性质，如周期性、奇偶性等。

2. 三角函数图像：学习三角函数的图像特点，如正弦、余弦函数的波形、周期、对称性等，以及正切函数的图像特点。

3. 三角函数的运用：运用三角函数解决实际问题，如计算物体的运动轨迹、分析周期性变化现象等。

4. 三角恒等式：介绍和证明常用的三角恒等式，如和差公式、倍角公式、半角公式等。

5. 三角函数的求值与化简：培养学生求解三角函数值、化简三角表达式的能力。

具体教学内容安排如下：第一课时：三角函数的定义及基本性质第二课时：三角函数图像第三课时：三角恒等式第四课时：三角函数的求值与化简第五课时：三角函数的应用实例分析教材章节关联：本教学内容与教材中关于三角函数的章节紧密相关，涉及以下章节内容：1. 三角函数的定义及图像2. 三角恒等式3. 三角函数的求值与化简4. 三角函数的应用三、教学方法为了提高教学效果，激发学生的学习兴趣和主动性，本章节采用以下多样化的教学方法：1. 讲授法：教师通过生动的语言和形象的表达，对三角函数的定义、性质、图像等基本概念进行讲解，使学生形成清晰的认识。

例谈“1”在解高中数学题中的妙用

知识导航“1”是自然数中最基本、最简单的数字，看似不起眼，但在高中数学解题中却有着非常巧妙的用处.在解题中，巧妙利用“1”进行代换，往往能够起到“四两拨千斤”的效果.本文重点探讨了“1”在解答三角函数、函数、不等式问题中的应用，旨在帮助同学们掌握一种解题的技巧.一、“1”在解答三角函数问题中的妙用三角函数问题的命题方式千变万化，在进行三角恒等变换和化简函数式时，经常需要灵活运用不同的公式，而巧妙运用“1”进行代换，能有效地简化运算，提升解题的效率.解答三角函数问题常用到的“1”的代换式有sin2α+cos2α=1、tanπ4=1等.例1.已知α为第三象限角，且tanα=2，求sinα.解：{sinα=2cosα，sin2α+cos2α=1，解得sinα=.又因为α为第三象限角，所以sinα=.题目中给出的已知条件有限，要求得sinα的值，需要进行“1”的代换，运用同角的基本关系sin2α+cos2α=1，建立关于sinα、cosα的方程组，解方程组便可求得sinα的值.例2.求值：1+tan15°1-tan15°.解析：15o不是特殊角，很难求得目标函数式的值，需要借助特殊角45o将其转化，可将“1”替换成tan45°，运用两角和的正切公式tan()α+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ来求值.解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan()45°+15°=tan60°=3.例3.求函数f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最大值，并求出此时x的值.解析：这是一道三角函数的最值问题，需首先利用同角的基本关系sin2α+cos2α=1、正弦的二倍角公式以及辅助角公式将其化简，然后运用三角函数的性质求得最值.解：f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2sin x cos x=sin2x+cos2x+2=2sinæèöø2x+π4+2，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8()k∈Z时，y max=2+2.在解答三角函数问题时，同学们只要注意联想，将函数式与“1”相关的式子关联起来，合理进行转化、代换，就能快速解题.二、“1”在解答函数问题中的妙用我们知道，log a1=0()a>0,a≠1、a0=1()a>0,a≠1、y=1()x∈R表示的是一条的直线，因此“1”在解答函数问题中扮演着一个非常重要的角色.在解函数题时，我们可以根据“1”的这些性质、特点，来比较函数值的大小、判断函数的增减性等.例4.判断log41.5的正负.解析：判断log41.5的正负，实际上就是比较log41.5和0的大小，由于log a1=0()a>0,a≠1，所以只需要比较log41.5和log41的大小即可.由于对数函数log a x()a>0,a≠1在a>1时是增函数，且1.5>1，所以log41.5>log41,由此可以判断log41.5为正数.例5.设b>a>1，若x1a≥x2b>1，证明：log a x1>log b x2.解析：两个函数式的底数、真数均不相同，直接比较这两个数的大小较为困难，我们需将“1”作为中间值，借助“1”来进行转化、代换，运用指数函数的单调性来判断两数的大小.证明：设x1a=k1，x2b=k2，则k1≥k2>1，由b>a>1可知y=log a x、y=log b x均为增函数，所以log a x1=log a()ak1=1+log a k1≥1+log a k2>1+log b k2，又1+logbk2=log b()bk2=log b x2，所以logax1>log b x2.三、“1”在解答不等式问题中的妙用不等式证明问题是历年来高考数学试题中的重点题目.由于不等式问题中的条件、结论缺乏，指向不明确，常常让同学们一筹莫展.如果根据已知条件，巧妙地利用“1”进行代换，如构造a∙1a=1、ln1=0、ln e=141解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42。

浅谈在三角函数中灵活运用‘1’解题

103教研园地JIAO YAN YUAN DI浅谈在三角函数中灵活运用‘1’解题张卫峰陕西省商丹高新学校　（陕西省商洛市　726000）三角函数是高中数学教材中的一个重点内容，也是高考数学常考的知识点，也是学习地理学，物理学中力学电磁学的基础，就像张景中院士指出:“在中学数学课程中,三角函数的内容至关重要，三角函数不仅是连接几何与代数的一座桥梁,还是沟通初等数学与高等数学的一条通道。

”因此掌握三角函数的恒等变形方面的技巧，不仅在考试中能够为解题节省很多时间，而且对学习数学知识和其他学科知识的学习都有着重要的意义。

本篇论文只简要的从下面几个方面浅谈如何灵活巧妙利用三角函数恒等变形处理“1”并解决相关问题。

1　利用特殊角的三角函数值等于1解题在三角函数中，有一些特殊角的三角函数值等于1，例如14tan =π，，，等，下面主要以常见常考的1（）解题。

例1.分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化，这就需要对原式中的相例2.分析：第一种思路，利用代换式子中的“1”来求解；第二种思路，先根据两角和公式求的值，然后解法=解法2：∵=311-3+例3.，联想到公式3-23-2例4.计算。

分析：当时，=βαβαtan tan tan tan 1+++==2解：原式==2..例5.分析：由诱导公式===1和两个不相关的式子，通过“1”联系起来，便可对求值迎刃而解，起到事半功陪的效果。

2　利用含有“1”的三角函数等式进行解题在三角函数中，许多等式中都含有“1”，例如，=1，等多个等式，但是就以最常考最常用的和=1为例来谈灵活处理“1”，进行解题。

1.利用进行解题.例6.求的值.分析：我们观察问题中的八个角，可以发现这些角两两互余的重并灵活运用，可将问题转化到处理，问题便可轻松解决。

解：原式====例7 计算分析：此题看似老吃天，无处下爪。

只要我们善于观察发现这一个重要特征，解决本题也就容易了，但当我们计算下去时会发现出现形式的式子，这样我们就会联想到诱导公式ααπcot )2(tan =−得到，从而就可得到，104教研园地JIAO YAN YUAN DI 此问题就变得简单易懂。

三角函数的意义和作用

三角函数的意义和作用《神奇的三角函数》嘿！同学们，你们知道三角函数吗？这玩意儿可太有意思啦！三角函数就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开好多数学和现实世界的秘密大门。

想象一下，我们站在操场上，望着高高的旗杆。

要是想知道这旗杆有多高，三角函数就能派上用场啦！它能让我们通过测量一些角度和距离，算出旗杆那让人摸不着头脑的高度。

这难道不神奇吗？再比如说，建筑工人叔叔们盖大楼的时候，三角函数也是他们的好帮手。

他们要确保大楼稳稳当当，角度都恰到好处，这可全靠三角函数帮忙计算呢！难道你们不觉得三角函数就像建筑工人的魔法棒吗？还有还有，当我们在海上航行的时候，三角函数能帮助船员们确定自己的位置，找到正确的方向。

要是没有它，船可能就会在茫茫大海中迷路啦！这难道不是很可怕吗？在课堂上，老师给我们讲三角函数的时候，一开始我真是一头雾水，心里直犯嘀咕：“这都是啥呀？”可是后来，通过不断地做题、思考，我慢慢发现了其中的乐趣。

有一次，我和同桌一起做一道三角函数的难题。

我盯着题目看了半天，感觉脑袋都要大了。

我扭头问同桌：“你会做不？”同桌摇摇头说：“我也不会呀！”我们俩你看看我，我看看你，愁眉苦脸的。

就在我们快要放弃的时候，突然我灵光一闪，想到了老师讲过的一个知识点。

我兴奋地对同桌说：“我好像有点思路啦！”同桌眼睛一下子亮了起来：“真的？快讲讲！”经过我们俩的一番讨论和计算，终于把这道难题给攻克了！那种成就感，简直太棒啦！三角函数虽然有时候让我觉得头疼，但当我真正掌握了它，用它解决了问题，那种快乐真是无法形容。

它就像一个藏在数学世界里的宝藏，等着我们去挖掘。

所以呀，同学们，可别小瞧了三角函数，它的意义和作用大着呢！只要我们认真学，就能发现它的奇妙之处，让它成为我们解决问题的有力武器！。