第四章函数

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4.1函数的定义

三、要求 1．识记入射、满射、双射，定义域、定义域与前域的关系、值域与陪域的关系。 2．领会复合函数与关系复合的联系与区别，逆函数与逆关系的联系与区别，可数集合、可数集合的基数、无限集合的比较。
4-1 函数的概念
为任何两个集合，定义4-1.1 设X，Y为任何两个集合，如果 f 为X到Y ，为任何两个集合到定义的关系（ × ），），且对每一 ∈ ，都有唯一的 ∈ ，的关系（fX×Y），且对每一 x∈X，都有唯一的 y∈Y，），记使 <x , y>∈f 。则称 f 是X到Y的函数（functions），记 ∈ 到的函数（），为 f：X→Y，：，元函数。当X=X1×…×Xn时，称 f 为n元函数。函数也称映射 × 元函数函数也称映射（mapping）或变换）变换(transformation）。）称为自变元，称为在作用下x 若<x , y>∈f ，则x称为自变元，y称为在f作用下x的 ∈ 记作y=f(x) 象， <x , y>∈f记作y=f(x)。 ∈ 记作y=f(x)。由所有x 的象构成的象集合称为函数的值域ran f，由所有x∈X的象构成的象集合称为函数的值域ran f， f=f(X)={f(x)|x∈X} 即 ran f=f(X)={f(x)|x∈X}Y
例2 设A是房子的集合，B是不同颜色油漆的集合，那么，油漆房子的一种颜色的分配方案是A到B的一个函数，即f：A→B ：其中dom f=A,ran f B。其中。
例3 判别下列关系中哪个能构成函数。 a. f={<x1,x2>|x1,x2 ∈ N,且x1+x2<10} 因为x1不能取定义域中所有的值，且x1对应很多 x2，故这个关系不能构成函数。 b. f={<y1,y2>|y1,y2 ∈ R,且y22=y1} 因为一个y1对应两个y2，故也不是函数。 c. f={<x1,x2>|x1,x2 ∈ N, x2 为小于x1 的素数个数} 能够成为函数。

离散数学函数

g◦f={<x,z>|x∈X ∧z∈Z
<x,y>∈f
∧(y) (y∈Y∧y=f(x) ∧z=g(y))}
f和g的合成函数
复合函数
关系R和S合成的书写格式: R◦S
函数f和g合成的书写格式: g◦f 2020/3/26
从左到右从右到左
定理
函数f: X→Y 函数g: Y→Z g◦f: X→Z是函数 xX (g◦f)(x)=g(f(x))
2020/3/26
1、满射函数 2、内射函数 3、单射函数 4、双射函数 5、恒等函数
二、特种关系
2020/3/26
1、满射函数
函数f: X→Y 若f(X)=Rf=Y
值域＝陪域映满的映射
f是滿射函数
像点的集合
f是滿射函数
对任意的yY，在X中必有原像x与之对应
2020/3/26
f(x)=y
满射举例
2020/3/26
函数举例
判断下列关系中哪个能构成函数？ (1)f1={<x1,x2>|x1,x2N,x1+x2<10} (2)f2={<x1,x2>|x1,x2R, x22 =x1} (3)f3={<x1,x2>|x1 N,x2为非负整数, x2为小于
等于x1的素数的个数}
2020/3/26
解答
是满射函数
是双射函数
2020/3/26
解答
(4)f4(x)=x3-x2-5x+6 =(x-1)(x+2)(x-3) 是满射函数不是单射函数
2020/3/26
第二节函数的合成和合成函数的性质
一、合成函数的定义二、反函数
2020/3/26

第四章生产函数

Q AL K

1
A为规模参数，A>0， α表示劳动贡献在总产量中所占份额（0<α<1）， 1－α表示资本贡献在总产量中所占份额资本不变，劳动单独增加1%，产
量将增加1%的3/4，即0.75%；劳动不变，资本增加1%，产量将增加1%的1/4，即0.25%。劳动和资本对总量的贡献比例为 3:1。
Q f L, K Q
Q
0
合不同，但产量却相同。
与无差异曲线的比较？
O
L
等产量曲线举例
Q K L
1
2
3
4
5
1
2 3
20
40 55
40
60 75
55
75 90
65
85 100
75
90 105
4
5
65
75
85
90
100
105
110
115
115
120
等产量曲线举例
K
5 4 H
A D I F Q1 = 55 0 Q3 = 90
二、短期生产函数
1、总产量TP、平均产量AP和边际产量MP

总产量（Total Product）

投入一定量的生产要素后，所得到的产出量总和。平均每单位生产要素投入的产出量。 AP = TP / L

平均产量（Average Product）

边际产量（Marginal Product）
3、交易成本：围绕着交易所产生的成本。一类交易成本产生于签约时交易双方面临的偶然因素所带来
的损失。这些偶然因素太多而无法写进契约。另一类交易成本是签订契约，以及监督和执行契约所花费的成本。

第四章可测函数

n
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
则称 fn在E上几乎一致收敛于 f ，记为 fn f a.u.于E
注：1°”一致收敛”强于“收敛”， “收敛”强于“几乎处处收敛” 2°叶果洛夫定理得逆命题就是若 fn f a.u.于E ，则 fn f a.e.于E 3°叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系，根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一个子集上E当作一致收敛的函数列来处理。
黎斯条件下的子列在叶果洛夫条件下
（3）著名的勒贝格微分定理：若 f (x) 是[a,b]上的单调函数，则 f (x) 在[a,b]上几乎处处可导。（4）[0,1]上的狄利克雷函数 D(x) 0 a.e.于 [0,1]
性质：
（1）1 a.e.于E
且 2
a.e.于E
，则 1
或 2
a.e.于E
，
且
1
2
a.e.于E
.
（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函
1 f (x), f (x) g(x),(g(x) 0 集中在零测集上）可测集。
可测
定理 5：设 fn(x) 是E上一列（或有限个）可测函数，则
函数
(x) inf n
fn (x)与

第4章效用函数

第四章
效用函数
随机决策问题
例
“
有这样一场赌博：掷硬币直到头部出现为止。

当头部出现
4.1
一、事态体及其关系
2. 事态体的表示和性质
T=( p
1,o
1;
p
2,
o
2;
…
,
p
n,
o
n
)可以用树形图表示
的树形图
……
例
一、事态体及其关系
一、事态体及其关系
4.1
二、理性行为公理
2. 传递性公理
二、理性行为公理
3. 复合保序性公理
二、理性行为公理
4. 相对有序性公理
4.2性质1：
4.2
基本性质（三）说明
4.4
4.4
于是，决策问题就转化为对
4.4
4.4
一、效用（utility）
二、
例
4.4
三、效用函数定义
4.4
效用函数的构造方法
归一化
)
x
)
4.5
4.5
4.5
4.5
3. 冒险型效用函数
效用值随结果值增加而增加，但增加的速度随之逐渐加快。

4.5
4.6 效用函数表
4.6 效用函数表
线性内插法
效用函数表使用举例
解题确定当量
下凸型效用函数
效用函数对称关系。

第四章指数函数与对数函数单元总结(思维导图+知识记诵+能力培养)(含解析)

第四章指数函数与对数函数知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，当n 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n a =；当n ,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)r s r s a a a += (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：1．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<．③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==；③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==；……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．知识点六：函数的实际应用求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).类型一：指数、对数运算例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。

浙教版七年级下册数学第四章三角函数含答案

浙教版七年级下册数学第四章三角函数
含答案
本文档为浙教版七年级下册数学教材中第四章的内容，涉及三
角函数的知识点和相关答案。

知识点介绍
本章主要介绍以下几个三角函数的概念和性质：
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与对边的比值；
2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与邻边的比值；
3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值；
4. 值域和定义域：三角函数在定义域内的取值范围；
5. 周期性：三角函数的图像在一定范围内具有循环重复的特点。

答案示例
以下是一些题的答案示例，供参考：
1. 问题：已知一个角的正弦值为0.5，求该角的余弦值。

解答：正弦函数和余弦函数是互补的，所以该角的余弦值为0.5的互补数，即0.5。

2. 问题：求角A的正切值，已知角A的对边长为6，邻边长为8。

解答：正切函数定义为对边与邻边的比值，所以角A的正切值为6/8=0.75。

请根据实际题目进行相应的计算和解答。

以上为浙教版七年级下册数学第四章三角函数的内容概述和一些答案示例，希望能对你的学习有所帮助。

第四章勒贝格可测函数

第四章勒贝格可测函数4.2.1可测函数的定义及可测函数的判定正如数学分析中需要建立连续函数一样，在这里我们需要建立可测函数. 今后我们总是假设点集是可测的，设是可测集上的函数，那么对给定的实数，集合就是的一个子集，但它不一定是的可测子集，如果对任何实数，都是的可测子集，那么这个性质就反映了的性质. 因此，我们给出下面的定义.定义 4.2.1 设是可测集上定义的函数，如果对任何实数，集合都是可测集，则称是上的勒贝格可测函数，简称为可测函数.定理4.2.1 设是可测集上的函数. 则下列条件是等价的：(1) 是可测函数；(2) 对任何实数，是可测集；(3) 对任何实数，是可测集；(4) 对任何实数，是可测集．证(1)与(2)是等价的. 事实上，对任何实数，恒有故当可测时，由第一式知是可测集；当条件(2)成立时，由第二式知是可测集，从而为可测函数.(2)与(3)是等价的，事实上，对任何实数，，故(2)和(3)是等价条件.(1)与(4)是等价的. 事实上，对任何实数，，故(1)与(4)是等价条件.推论 4.2.1 设是可测集上几乎处处有限的函数，则在上可测的充要条件为对任何实数和，是可测集.证必要性因是可测函数，故和都是可以测集，又因为故也是可测集.充分性对任意实数，恒有由于每个皆为可测集，是零测度集，故为可测集. 由定义4.2.1知，是可测函数.例 4.2.1 设是可测集上的连续函数，则是可测函数.证往证对任何实数，是可测集.实事上，对任意，由连续函数的保号性知，存在的邻域，使得(*)令，其中满足(*)式要求，则为开集. 且而是显然的，于是有由于和皆为可测集，所以是可测集，由的任意性，知是可测函数.由例4.2.1可知，区间上的连续函数是可测函数.例4.2.2 迪里克雷函数是可测函数.对任意实数，有其中是中有理点集合. 显然是可测集. 故是可测函数.从例4.2.1 和例4.2.2可以看出：可测集上的连续函数都是可测函数. 然而可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的.因此可测函数是比连续函数更广的一类函数.例4.2.3 测度为零的集合上的任何函数都是可测的.证明设，是上任一函数. 对任何实数，是的子集，而测度为零的集合的任何子集都是可测的（且测度为零），因此，是上的可测函数.定理 4.2.2 (1)设是可测集上的可测函数，而为可测子集，则看作是定义在上函数时仍是可测函数.(2)设在每个可测集的上都可测，则在上也可测.证(1)对任意实数，有上式右端是可测集，故左端亦是可测集.(2)对任意实数，有上式右端是可测集，故左端亦是可测集.4.2.2可测函数的运算性质现在我们来讨论可测函数类在四则运算和极限运算下的封闭性.为此，先作一个准备.引理4.2.1 设和都是上的可测函数，则是可测集.定理 4.2.3 设和都是上的可测函数，则⑴对任何实数，是上的可测函数；⑵当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数；⑶当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数；⑷当在上几乎处处有意义时，是上的可测函数.证明(1) 当时，，显然它是上的可测函数.当时，对任何实数，由于而是可测集，所以是可测集，因此是可测函数，同样可考察的情况.(2) 先设，这里是某一常数. 对任意实数，故是可测集，所以是可测函数.一般地，对任意实数，注意到由(1)的结论及前面的证明可知，是可测函数，由引理4.2.1可知是可测集，即是可测集，因此是可测函数.(3) 令则都是可测集，在上. 故在上都可测. 由定理 4.2.2之(2)，只需证在上可测. 注意到在上，都有意义，从而可测.对任意实数，当时，(4.2.1)当时，(4.2.2)(4.2.1)及(4.2.2)两式的右边都是可测集，因此都是上的可测函数，从而也是上的可测函数.(4) 只需证在上几乎处处有意时，是上可测函数.令. 因在上几乎处处有意义，所以.从而在上可测. 现证在上可测. 实际上，对任意实数.由的可测性知上式右边都是可测集，所以也是可测集，从而是上的可测函数.一、勒贝格可测函数（2）4.2.3可测函数与简单函数的关系定义4.2.4 设是可测集，是上的函数. 如果可分解为有限个互不相交的可测子集的并：，使在每个上都恒取某个常数值，则称是上的简单函数.例 4.2.1中的迪里克雷函数就是简单函数，康托集的特征函数也是简单函数.由简单函数定义知，两个简单函数的和、差、积仍是简单函数. 由定理4.2.2之(2)，容易得到下面的结果.推论4.2.3 简单函数是可测函数.定理4.2.6 设是上的非负可测函数，则存在非负简单函数列满足推论4.2.4 设是上的可测函数，则存在上的简单函数列，使得.本节所讨论的内容是第五章中研究积分理论的基础.首先，我们给出了可测函数的定义及其等价条件(定理4.2.1和推论4.2.1)，定理4.2.2在判定可测函数时也时常用到. 习题4中的第6题说明，如果点集上的两个函数和满足于，那么它们之中有一个可测时，另一个也可测. 这就是说，在一个测度为零的集合上可以任意改变函数值，而函数的可测性保持不变. 其次，我们讨论了可测函数类在四则运算和极限运算之下的封闭性. 最后，我们证明了任何可测函数能可表为简单函数列的极限. 通过本节的讨论还可以看出可测函数确实是连续函数的推广.二、练习4.21．设是中不可测集，令问在上是否可测？是否可测？答：是上的连续函数，因此，在可测，而是不可测集，故不可测.2．设是上的可测函数，则对任意实数，是可测集，反之，若对任意实数，是可测集，能判定是上的可测函数吗？答：若对任意实数，是可测集，还不能判定的可测性. 如上题中的，对任意的实数，是单点集或是空集，当然是可测的，但在上不可测.3．设是中康托集，是中任一可测集. 令4.3可测函数列的收敛性4.3.1几乎处处收敛与一致收敛的关系在数学分析中学习黎曼（Riemann）积分时，我们知道，一致收敛性在研究极限函数的连续性及逐项积分和逐项微分等问题时起着重要作用．但是，收敛函数列不一定是一致收敛的．例如函数列在上处处收敛于0，但不一致收敛于0．如果从去掉一个任意小的区间(是任给的)，那么在余下的区间上就一致收敛了．这就是说，可以从点集中去掉一个测度“很小”的子集，使函数列在上一致收敛．人们自然会想到，对可测函数列，几乎处处收敛与一致收敛是否也有上述类似的关系呢？这就是叶果洛夫（Egoroff）定理所回答的问题．定理4.3.1 （叶果洛夫）设(1) ；(2) 是上一列几乎处处取有限值的可测函数；(3) 于，且于．则对任意，存在的可测子集，使，且在上一致收敛于证明分两步进行．第一步，构造的子集，使在上一致收敛于1°一致收敛的定义是说：对任意，都存在自然数，使时，对所有的，都有．显然这等价于：对任意的（为正整数），存在，使时，对所有的，都有（4.3.1）由此可知，对任意，中使（4.3.1）式不成立，即使得的那些点都应从中去掉．即都应从中去掉，令．2°上，一致收敛于．事实上，对任意，总存在，使，于是，当时，如果，则，所以，．即在上一致收敛于.第二步，往证对任意，必有满足第一步中条件的，使．由的定义，，要使，只须充分小．实际上，只要充分大，是确实可以任意小的．这是因为，由定理4.1.2，的点所成的集是由定理条件．从而，对每个k都有由第3章定理3.2.6，便得可见，只要充分大，确实可以使任意小，比如对每个，可取充分大的，，并且于是有定理证毕．定理4.3.1中条件“”不能去掉．例如，取，则有．定义函数列显然是上可测函数列，且，但对给定的，每个在中总存在一个测度为1的子集，使在其上取值为1．所以找不到满足定理要求的子集．即找不到的子集，使，且在上，一致收敛于0.4.3.2依测度收敛，依测度收敛同几乎处处收敛的关系定义4.3.1 设是点集上一列几乎处处取有限值的可测函数，是上几乎处处有限的可测函数，如果对任意的，有，则称函数列依测度收敛于，记为．由测度收敛定义可知，函数列依测度收敛于可改述为：对任意和任意，总存在自然数，当时，就有下面我们来研究依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系．例4.3.1 收敛而不依测度收的函数列．令，作函数列则，．但是对，有所以不依测度收于1．例4.3.2 依测度收敛而处处不收敛的函数列．取，作函数列：一般地，把作等分，定义函数于是我们定义了一列函数现令，则是定义在上处处有限的可测函数列，并且．事实上，对任意，由定义可知，必有某个，使，于是当时，也有．故所以．但处处不收敛于0．这是因为对任意，由定义可知，中必有无穷多个值为1，也必有无穷多个值为0，所以不是收敛数列，即在上处处不收敛0．上面的两个例子说明，函数列依测度收敛与几乎处处收敛是两个互不包含的概念．那么函数列的这两种收敛性是否还存在什么联系呢?下面的两个定理作出了回答.定理4.3.2（勒贝格定理）设(1) ；(2) 是E上一列几乎处处取有限值的可测函数；(3) 于，且于。

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（完整版）第四章可测函数第四章可测函数教学⽬的：1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的⼀些重要性质.2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以⽤性质较好的连续函数逼近.3.掌握⼏乎处处收敛,依测度收敛和⼏乎⼀致收敛，以及⼏种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学⽣对可测函数列的⼏种收敛性和相互关系有⼀个较全⾯的了解. 重点难点：1.可测函数有若⼲等价的定义.它是⼀类范围⼴泛的函数,并且有很好的运算封闭性.2.可测函数可以⽤简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.3.引进的⼏种收敛是伴随测度的建⽴⽽产⽣的新的收敛性.⼀⽅⾯, L 可测集上的连续函数是可测的,另⼀⽅⾯,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以⽤连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.4.依测度收敛是⼀种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很⼤的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭⽰了这⼏种收敛之间的关系.Riesz 定理在⼏乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了⼀座桥梁.§4.1 可测函数及相关性质由于建⽴积分的需要，我们还必须引进⼀类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 记=αD 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.我们知道,f 在D 上连续?R ∈?α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.⼜如:设E 是D 的可测⼦集.则E 上的特征函数为=)(x f )(x E λ=01E D x E x -∈∈由于 {}αα>∈=)(:x f D x D=D E φ0101<<≤≥ααα是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、{}α≥f 、{}αf 可否换成α定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下⾯四件事等价. (i)f 在D 上可测;(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α其证明就是利⽤集合的运算. 证明:(i)?(ii) {}α≥f ?->=∞=n f n 11αI ,由(i), ?->n f 1α可测,从⽽->∞=n f n 11αI 可测,即{}α≥f 可测.(ii)?(iii){}α(iii)?(iv){}α≤f ?+<=∞=n f n 11αI (iv)?(i) {}α>f -=D {}α≤f定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<是可测集.证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞=1I 可测;若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞=1I 可测.可见, 对任何⼴义实数λ,{}λ=f 是可测集.对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算⽴即可得.(ii)分析:?>g f x ?,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则{}g f>{}{}{}g r r f n n n >>=∞=I Y 1再利⽤函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有⼀致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必.如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .)()(x f x f n →?=01101<≤=x x不连续.⽽可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的⼀列可测函数,则函数)(sup 1x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1α>≥x f n n })({1α>=∞=x f n n Y 可测.(此等式表明⾄少有⼀个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最⼩上界,便会得出α≤≥)(sup 1 x f n n )})(inf {1α<≥x f n n })({1α<=∞=x f n n Y 可测.(⾄少有⼀个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最⼤下界α≥≥)(inf 1x f n n )再由)(lim x f n n ∞→)(sup inf 1x f k nk n ≥≥=、)(lim x f n n ∞→)(inf sup 1x f k nk n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数.(n x 的上极限k nk n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim1,k nk x ≥sup ↓;n x 的下极限k nk n n n x x ≥≥∞→=inf sup lim 1,k nk x ≥inf ↑)实变函数的第⼀个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第⼆个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第⼆个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.§4.2 可测函数的其它性质设D 是可测集,)(x p 是⼀个与D 中每⼀点有关的命题.若除了D 的⼀个零测⼦集E 外,使)(x p 对每⼀E D x -∈都成⽴,则称)(x p 在D 上⼏乎1xy处处成⽴,⽤a.e.表⽰.(即almost everywhere).例如,{}x n sin 在R 上⼏乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2ππ+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集).若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第⼆个“差不多” ,先讲连续函数,数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的⼀个函数,若)(D f是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且{}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1Λ=都是可测集,则我们称f 是D 上的⼀个简单函数.由此f 可以表⽰为)()(1x a x f K E k nk λ=∑=其中)(x kE λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数.由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4⾄多可数个可测集之并可测).易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.下⾯说明可测函数⼀定是简单函数的极限.定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ?,使对每⼀D x ∈,)()(x f x k →?,此外(i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ?满⾜对每⼀D x ∈,{}1≥k k ?单增收敛于)(x f ;(ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ?在D 上⼀致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >?,有ε?<-|)()(|x f x k )提问:试举例说明,⼀列函数在每⼀点都收敛于)(x f ,但不⼀致收敛.答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则=001<≤=x x ,这时)(x f k 在每⼀点都收敛,但不⼀致收敛.其原因是极限函数不连续.上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述⼀下上述定理的证明思路.第⼀次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长21; 第⼆次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长221,其中-1和1之间是将第⼀次的段分⼀半,分细了,这段的⼀部分向上移了,所以-1和1之间的第⼆个阶梯函数部分⽐第⼀个⼤……,即)(1x--=1)(2)(211)(11-<<≤-≥x f kx f k x f 2,1,0,1-=k(k 的取法可由中间⼀段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由1211-=-k 得1-=k ,由121=k得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第⼆次k 的取法类似).)(2x--=22122k2)(2)(212)(22-<<≤-≥x f kx f k x f 8,,6,7Λ--=k证明:对每⼀1≥n ,令)(x n--=nk nn 21 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12?+?-=Λ(i)显然{}1≥n n ?是⼀列简单函数,现固定D x ∈.若∞=)(x f ,则对每⼀1≥n ,有n x n =)(?,从⽽)()(x f x n →?; 若-∞=)(x f ,则对每⼀1≥n ,有n x n -=)(?,从⽽)()(x f x n →?; 最后,若)(x f 是⼀个实数,则当n 充分⼤时,存在唯⼀的n k ,使得n n n n k n 212?≤≤+?-,并且nnn n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ?n n k 21-=,nnx x f 21)()(0<-≤?.令∞→n ,即得)()(x f x n →?. 特别,设f ⾮负.由)(x n ?的构造⽅法(如图x 轴上⽅),易知:)(x n ?单增.(ii)最后若f 有界,M 是||f 的⼀个上界,则当M n >时,{}n f ≥及{}n f-<都是空集,从⽽对⼀切D x ∈,有nn x f x 21)()(<-?,故{}1)(≥n n x ?⼀致收敛于)(x f .注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的⼀个零测⼦集上的值⽆关.f 可测?{}α>∈)(:x f D x R ∈?α是可测集.若0)(=E m ,D E ?,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上⽆定义也可).说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有⼀个可测时,另⼀个也可测.⽽连续函数⽄⽄计较,动⼀点则不连续.注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ?.若对每⼀个E D x -∈,)()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从⽽由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上⼏乎处处收敛的极限f 在D 上可测”.注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此.定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -⼏乎处处有定义,则它们也是可测的.证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从⽽有简单函数列)()(x f x f n →,进⽽简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测.⼀定注意:可测与否与零测集⽆关.例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否⼀定可测?答:不⼀定.找]1,0[中的不可测⼦集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[?E ,令==01)()(x x f E λE x E x -∈∈]1,0[则{}α>∈)(:]1,0[x f x ??=]1,0[E φ0101<<≤≥ααα ——→不可测.所以)(x E λ在]1,0[上不可测.例题4.2.2 零测集上的实函数是否⼀定可测?答:因{}E x f E x ?>∈α)(:,故也是零测集,从⽽零测集上的实函数⼀定可测.例题 4.2.3 设D E ?,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测?答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x Y {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1f 在D 上可测?有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈?且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→(ii)当f 有界时, )(x f n )(x f .之后三个“注”说明可测函数与零测集⽆关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.重复定理4.2.2设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -⼏乎处处有定义,则它们也是可测的.什么叫g f +⼏乎处处有定义?即{}(I ∞=)(x f {})-∞=)(x g Y {}(I -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路:①可测函数⼀定是⼀列简单函数列处处收敛的极限. ②也可⽤定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλαf 来证. 此处⽤⽅法①最清楚.简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,⽆∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3).例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈? 所以 )(sin )(sin x f x f n →由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因⽽n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测.由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数⽐较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?⼀下⼦说不清楚.f 、g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n →g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不⽤说))((x f g n n →))((x f g 了.所以,连续函数的复合还连续,⽽可测函数的复合却不⼀定可测. 要点: 1.可测函数与零测集⽆关.2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.§4.3 可测函数⽤连续函数来逼近称F 是⼀个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限⼦覆盖.其充分必要条件是F 是有界闭集.定理 4.3.1 设F 是⼀个紧集,{}1≥n n f 是⼀列沿F 连续的函数.若{}1≥n n f 在F 上⼀致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈?,)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→).前⾯曾提到n x →01101<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续?n x 不⼀致收敛.定理的证明思路与数学分析同.问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a ⼀致收敛?)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈?,0>?ε,0>?δ,?),(0δx x Y ∈=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -3ε<3ε+3ε+ε= 若改为),(b a 也⼀样.本节中⾮常重要的⼀个结果:定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上⼏乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上⼏乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭⼦集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上⼀致收敛于f .(也称基本上⼀致收敛,有点象数分中的内闭⼀致收敛)证明:令{})()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令)(r nA I 1D =<-∞=r x f x f k n k 1)()(I Λ,2,1,=r n()(r n A 是1D ⾥那样的点: ?<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取∞+=Λ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)对每⼀1≥r ,{}↑→≥1)(n r n A 1D ,且每⼀个)(r n A 都可测.(⾸先,每⼀个)(r n A 都是1D ⼦集,由{}↑≥1)(n r n A知)(1)(lim r nn r n n A A∞=∞←=Y ,也就是要证1)(1D A r n n =∞=Y ),易见)(1r nn A ∞=Y 1D ?，这是因为每个1)(D A r n ?,现在对1D x ∈?,取01>r,由)()(lim x f x f n n =∞→知N ?,N k >?,有rx f x f k 1)()(<-,说明}1)()({r x f x f x k N n <-∈∞=I ,当然1D x ∈}]1)()({[rx f x f k N n <-∞=I I )(r NA =.所以)(1r nn A x ∞=∈Y ,因此?1D )(1r nn A ∞=Y ,于是得到1)(1D A r n n =∞=Y .即1)(lim D A r nn =∞←. 由测度性质(定理3.3.6(i)))(lim )(r n n A m ∞→)lim ()(r n n A m ∞→=)(1D m = (1)⼜∞<=)()(1D m D m ,所以对每⼀1≥r ,有r n ,使)()()(1r n r A m D m -)()(1r n rA D m -=12+(2)(对 (1)式利⽤极限定义,再根据测度的减法,∞<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)此时n f 在)(1r n r rA E ∞==I 上⼀致收敛于f .(即0>?ε有N ,N n ≥?,E x ∈?,有ε<-)()(x f x f n (下证) 0>?ε ,有00>r ,使ε<01r ,从⽽当0r n n >时,对⼀切)(00r n r A x ∈,有ε<<-01)()(r x f x f n .显然)(00r n r A E ?所以上述结论对E x ∈?都成⽴.即n f 在) (1r n r rA E ∞==I 上⼀致收敛于f .) )(E D m -)(1E D m -=)()(11r n r rA D m ∞=-=I ))(()(11r n r rA D m -=∞=Y (由)(11r n r r AD ∞=-I )()(11r n r rA D -=∞=Y ) )()(11r n r rA D m -∑<∞= 1=∑2ε=此时有E 的闭⼦集F ,使2)(ε<-F E m ,则n f 在F 上⼀致收敛于f 且)]()[()(F E E D m F D m --=-Y )()(F E m E D m -+-≤ε<.思路是:⼏乎处处收敛→处处收敛→⼀致收敛→闭集上↑↑↑↑ D ? 1D ? E ? F注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件⾮常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m ?⽽且n f 在F 上⼀致收敛于0?这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R 上的连续函数*f ,并且)(sup *x f Rx ∈)(sup x f Fx ∈=.nR证明:此时),(1n n n cb a F ∞==Y ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部⽆定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义=)()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x Fx 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ???? ??---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a ff*a nnn b n 1122kk显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f Rx )(sup x f Fx ∈.引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m . (是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令{}k k k a f E == n k ,,2,1Λ=,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k nk E D 1==Y .对每⼀k ,有闭集k k E F ?,使F E m k k ε<-)((因可测集与闭集“差不多”)则f 沿F F k nk ==1Y 连续.(对k nk F F x 1x 充分接近0x 时即 ?<),(0x x d ),(min 0,,2,10k k k n k F x d ≠=Λk k E F x ?∈所以0)(k a x f =.从⽽)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→.即f 沿F 连续.)由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .{}())(*F D m f f m -≤≠)(11k nk k nk F E m ==-=Y Y)]([1k k nk F E m -≤=Y)(1k k nk F E m -∑≤=ε<(由第⼀章习题:-∞=n n A 1Y n n B ∞=1Y -?∞=n n A (1Y )n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地⽅在F 外,即{}F D f f -?≠*).定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上⼏乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(sup *x f Dx )(sup x f Dx ∈.证明:不妨设f 处处有限.先设∞<)(D m (为了应⽤Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每⼀个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使{}()1*2+<令{}*1n n n f f E ≠=∞=Y ,则)(E m ∞=∑≤1n {}()11*2+∞=∑<≠n n nn ff m ε2ε=此时对每⼀E D x -∈(即{}*1n n n f f =∞=I ),有)()(*x f x f n n = Λ,2,1=n从⽽对每⼀E D x -∈,)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可⽤Egoroff 定理)由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -?使2)(ε<--F E D m⽽且*n f 在F 上⼀致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时{}()f f m ≠*)(F D m -≤()[]E F E D m Y --=)()(E m F E D m +--≤ ε<这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.若∞=)(D m ,令)1,[+=n n D D n I Λ,2,1,0±±=n则∞<)(n D m .由已证,对每⼀n ,有n D 的闭⼦集n F ,使f 沿n F 连续,⽽且2Λ,2,1,0±±=n此时,n n F F +∞-∞==Y 是闭集⽽且f 沿n F 连续.(⼀般,可数个闭集的并不⼀定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1nn ∞=Y ]2,0(=.开集是σF 集是由于]1,1[),(1nb n a b a n -+=∞=Y .此处n n F F +∞-∞==Y 是闭集是因F x n ∈?,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故⼜由F x n ∈,当n 充分⼤时0n n F x ∈.由0n F 闭且x x n →知F F x n ?∈0.)由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且{}()*f f m ≠)(F D m -≤)(n n n n F D m ∞-∞=∞-∞=-=Y Y)]([n n n F D m -≤∞-∞=Y2||2+∞-∞=∑ε<对于)(sup *x f Dx ∈)(sup x f Dx ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f D记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .推论:若f 是],[b a 上⼏乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(m ax *] ,[x f b a x ∈)(sup ],[x f b a x ∈≤.例:=01)(x D⽆理数有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则{}()ε<=≠0)()(*x D x D m .这提供了⼀种⽅法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,⼆者“差不多”.000§4.4 测度收敛)()(x f x f n Dn ∞→?→?已经学过三种,即()()()()??测度收敛⼀致收敛⼏乎处处收敛逐点收敛4321 {}()εδεδε<≥-?>??>?>∈?>??>?=-∈?∈?f f m N n N f f Dx N n N E m E D x Dx n n ,,0,0,,,00)(,第四种即今天要学习的测度收敛.设f 和n f )1(≥n 都是D 上⼏乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ,{}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ?. 例 4.4.1.对每⼀1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个⼩区间],1[n kn k -,n k ,,2,1Λ=.令 0≡f1)()(]1,0[1≡=x x f λ= )()(]1,21[3x x f λ=)()(]31,0[4x x f λ= )()(]32,31[5x x f λ= )()(]1,32[6x x f λ=………………图形见演⽰⽂稿《测度收敛反例》此时对任何0>δ{}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0?→?()∞→n .(因n 越⼤,n f 等于1的区间越⼩)即f f n ?.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有⽆穷项为1,⽆穷项为0,可见n f 不收敛.例 4.4.2.对每⼀1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对R x ∈,)()(x f x f n →,但对21=δ,})21|({|≥-f f m n })21({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ?f .以上⼆例说明:测度收敛与⼏乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即定理 4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的⼏乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ?,则{}1≥n n f 中有⼦列{}1≥k n k f ⼏乎处处收敛于f .(ii)若∞<)(D m ,并且n f ⼏乎处处收敛于f ,则f f n ?. 证明:(i)此时对每⼀1≥k ,})21|({|k n f f m ≥-)(0∞→→n ,因此有k n 使 kk n f f m k 21})21|({|<≥-Λ,2,1=k ΛΛ<<<1f 1f 2f 3f 4f 10令})21|{|(1kn pk p f f E k≥-=∞=∞=Y I (即集合序列的上极限) 则对每⼀1≥p })21|{|()(k n p k f f m E m k ≥-≤∞=Y })21|({|k n pk f f m k≥-∑≤∞=kp k 21∞=∑< 121-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集.此时 cE E D -=})21|{|(1kn pk p f f k≥-=∞=∞=I Y 从⽽对每⼀E D E x c-=∈,必有10≥p 使∈x }21|{|0k n p k f f k<k n x f x f k 21|)()(|<-. 也即)()(x f x f kn → )(∞→k .说明kn f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说kn f 在D 上⼏乎处处收敛于f .(ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ?)任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测⼦集E 使ε<-)(E D m 并且n f 在E 上⼀致收敛于f .于是有N,使δ<-|)(|f x f n E x ∈? N n >?此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -?故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ?.例 4.4.3.设)()(x f x f n ?,)()(x g x f n ?,则)()(x g x f =在E 上⼏乎处处成⽴.证明:由于)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,故对任何⾃然数n ,}1|:|{n g f E x ≥-∈?}21|:|{n f f E x k ≥-∈Y }21|:|{ng f E x k ≥-∈,从⽽})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({ng f E x m k ≥-∈+令∞→k ,即得})1|:|({ng f E x m ≥-∈0=. 但是}:{g f E x ≠∈}1|:|{1ng f E x n ≥-∈=∞=Y故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E.讲可测函数最重要的⼀条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *⽽不是f f =* a.e . 不要混同.。

离散数学第四章课件

离散数学第四章函数
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目录
4-1 函数的基本概念 4-2 逆函数和复合函数 4-4 基数的概念 4-5 可数集与不可数集 4-6 基数的比较小结习题
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函数是一个基本的数学概念，应用的范围很广，在计算机科学的理论中，如计算理论、开关理论、编译理论、数据库理论、软件工程、计算机安全保密，操作系统等都用到函数。函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映射。
h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 }
r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx }
v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }
可见这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。
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4-1 函数的基本概念
自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果<x,y>∈f, 称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。 <x,y>∈f y=f(x) f:xy
.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)} =X f的值域(range) ：记作ran f，或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)} 前面例中Rh =ran h=h(R)=R+, R+是非负实数。 f的陪域(codomain):即是Y称之为f的陪域。
用有向图复合:
1X。 2。 3。
f
。Y 。1 。2 。3
4
g X。1
。2 。3 。4 。5
g f
X 1。 2。

第四章函数的定义

_$ (setq x 10 y 20 z 30) 30 _$ (vartest 4.0 3.5) _1_$ 12.0 _$ x 10 _$ y 20 _$ z 12.0 _$ 注意：无定义的局部变量和全局变量其值为nil，不是零。
• 4.3 defun函数与AutoCAD前面版本的兼容性 • Defun函数已经在AutoCAD2000内部作了改变。Defun-q函数严格地与前面的版本兼容 • 例如： • _$ (defun foo (x) (1+ x)) • FOO • _$ (append foo '(3 4)) • ; 错误: 无法访问编译的函数定义。可能需要用 defun-q 进行定义: #<USUBR @0833df14 FOO> • _$ (defun-q foo1 (x) (1+ x)) • FOO1 • _$ (append foo1 '(3 4)) • ((X) (1+ X) 3 4) • _$ (type foo) • USUBR • _$ (type foo1) • LIST • _$
;把一个表的元素相加 (defun add(lst) (if lst (+ (car lst) (add (cdr lst))) 0 ) ) 注意：函数add返回值类型不唯一，与表的元素类型相关。 _$ (add '(1 2 3)) 6 _$ _$ (add '(1 2 3.0)) 6.0 _$
4.4 c:xxx函数 • 以c:xxx命名格式定义的函数不允许有形参，当函数体内不调用command函数时，可作为透明命令使用。用C:XXX命名格式可以给AutoCAD增加新的命令或重新定义已存在的命令。 • 例题 • (defun c:hello () (princ "\nHELLO") (princ))

高考数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系讲义

指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=a x x=log a y y=log a x.问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.探究一求函数的反函数例1 求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=x2(x≤0).解析(1)由y=,得x=lo y,且y>0,所以f-1(x)=lo x(x>0).(2)由y=x2得x=±.因为x≤0,所以x=-.所以f-1(x)=-(x≥0).1.(1)已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案(1)D解析(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a x的图像只能是( )(2)当a>1时,函数y=a-x与y=log a x在同一平面直角坐标系中的图像是( )答案(1)C (2)A解析(1)y=a x与y=log a x的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.(2)因为当a>1时,0<<1,所以y=a-x=是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=log a x为增函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.思维突破互为反函数的两个函数图像的特点(1)互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.2.(1)已知函数f(x)=a x+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+5(2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案(1)A (2)-1解析(1)∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=a x+b的图像过点(1,7),故有方程组解得故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,选A.(2)由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,解得a=-1. 探究三指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=+=+=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y==1-,所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以化简得所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log2(-1<x<1).任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,令t(x)===-1+,则t(x1)-t(x2)=-=-==.因为-1<x1<x2<1,所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1)<t(x2),所以log2t(x1)<log2t(x2),即f-1(x1)<f-1(x2),所以函数f-1(x)为(-1,1)上的增函数.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )A.log2xB.C.lo xD.2x-2答案 A y=a x的反函数为f(x)=log a x,又f(2)=1,所以1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点( )A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)答案 C 原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1)答案 A 由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b= .答案 1解析由f-1(x)的图像过点Q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象——指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点B的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标可设为A(a,b),B(b,a).因为点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+e y=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+e y=8,可得e y=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=e x的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点C的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点B的横坐标,方程y+e y=8的根可视为直线y=8-x与函数y=e x图像的交点A的横坐标,由图像可知,点A、B关于直线y=x对称,因此,x+y=8.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=log3x的反函数是( )A.y=lo xB.y=3xC.y=D.y=x3答案 B ∵y=log3x,∴3y=x,∴函数y=log3x的反函数是y=3x,故选B.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( )A.log2xB.lo xC. D.x2答案 B 因为y=a x的反函数为y=log a x,且函数f(x)的图像经过点(,a),所以log a=a,解得a=,所以f(x)=lo x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 C y=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.故选C.4.函数y=e x+1的反函数是( )A.y=1+lnx(x>0)B.y=1-lnx(x>0)C.y=-1-lnx(x>0)D.y=-1+lnx(x>0)答案 D 由y=e x+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x>0).故选D.5.已知函数y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是( )A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)·f(2)C.f=f(x)+f(2)D.f(2x)=2f(x)答案 A y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=log a x,f(x2)=log a x2=2log a|x|=2f(|x|),A中结论正确;log a(2x)≠log a x·log a2,B中结论错误;log a≠log a x+log a2=log a(2x),C中结论错误;log a(2x)≠2log a x,D中结论错误.故选A.6.已知函数f(x)=1+log a x,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案 4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+log a x,所以2=1+log a4,即a=4.7.如果函数f(x)=的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=的反函数为g(x)=lo x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a= .答案 3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(4,2),则下列说法中正确的是( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案ACD 由题意得2=log a4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故A正确,B错误.当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故D正确.故选ACD.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度答案 D 将函数y=2x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选D.11.函数y=log a(2x-3)+过定点,函数y=lo x的反函数是.答案;y=()x解析∵对数函数y=log a x过定点(1,0),∴函数y=log a(2x-3)+过定点.函数y=lo x的反函数是y=()x.12.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)= . 答案解析∵f(27)=3,∴log a27=3,解得a=3.∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)===.13.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,任取x1,x2,且0<x1<x2,则1<<,故0<-1<-1,∴log a(-1)<log a(-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1),∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.14.已知函数f(x)=,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称.(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a).解析(1)由题意得g(x)=lo x,∵g(mx2+2x+1)=lo(mx2+2x+1)的定义域为R,∴mx2+2x+1>0恒成立,所以解得m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).(2)令t=,则t∈,y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a>2时,可得t=2时,y min=7-4a;当≤a≤2时,可得t=a时,y min=3-a2;当a<时,可得t=时,y min=-a.∴h(a)=。

北师大版八年级数学上册4.1 函数

(单位：米)，试写出 y 与 x 的函数关系式；
(3)将 446 米的跑道周长作为 400 米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈(跑道周长 400 米)形成的区域最多能铺设道宽为 1.2 米的跑道多少条？
解： (1)400 米跑道中一段直道的长度＝ (400 － 2×36×3.14)÷2＝86.96 米.
11. (教材 P77 习题 T1 变式)蛇的体温随外部环境温度的变化而变化.如图表示一条蛇在两昼夜之间体温变化情况.问：
(1)第一天，蛇体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
(2)若用 x 表示时间(h)，y 表示蛇的体温(℃)，将相应数据填入下表：
x/h 4 12 20 28 32 40 48 y/℃ 35 39 39 35 37 40 36 (3)y 是 x 的函数吗？
D．G 是 s 的函数
2. 火车以 40 千米/小时的速度行驶，它走过的路程 s(千米)与时间 t(小时)之间的关系是 s＝40t ，其中自变量是 t ，因变量是 s .
3. 根据你对函数概念的理解，下列图象中，不能表示 y 是 x 的函数图象有哪些？为什么？
(1)
(2)
(3)
(4)
解：不能表示 y 是 x 的函数图象有(3)(4)；原因(略).
第四章一次函数
4.1 函数
1. 函数的有关概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量.
2. 求函数自变量的取值范围是考虑分式的分母不为 0；二次根式的被开方数为非负数；如果函数表达式为整式，则自变量可以取任何实数；对于实际问题和几何问题则要考虑自变量的取值是否符合实际

函数

故 f 是一个入射。
如：f:I→I , f (x) = 2x,这里显然 f 是一个入射，而不是满射。
注：此定理仅在有限集的情况下才能成立，在无限集上不一定成立。
4-2 逆函数和复合函数
一、逆函数
给定一个关系 R ，颠倒 R 的所有序偶，得到逆关系Rc 。
给定一个函数 f ，颠倒 f 的所有序偶，得到的逆关系 f c 不一定
定理4-2.1
设f :X→Y 是一双射函数，则f c 是Y→X 的双
射函数。
(证明思路：分两步，（1）证f c 为函数；（2）证f c 为双射) (1)设f =｛﹤x,y﹥| x∈X ∧ y∈Y ∧y = f (x) ｝ f c =｛﹤y,x﹥| ﹤x,y﹥∈f｝ (证 f c为函数：方法为根据函数定义去证明。) 1、因为 f 为函数，所以 f 为关系，故 f c 也是关系。 2、(证明像的存在性，即证y∈Y , x∈X ，使得﹤y,x﹥∈f c 。) y∈Y 由于 f 是满射，故x∈X 使得﹤x,y﹥∈f ，则
x 1 5 p 张明
f (x ) 2 q 7 G
1 5 p 张明
9
2 q 7 G
例2 判别下列关系中哪个能构成函数 a. f =｛ ﹤x1,x2﹥∣x1,x2 ∈N ,且x1+x2<10｝。因为 dom f ≠ N,且 x1对应很多x2 ，( x1 的映像不唯一)，故 f 不是函数。 b. f =｛ ﹤y1,y2﹥∣y1,y2 ∈R,y22 = y1 ｝。因为一个 y1 对应两个 y2 ( y1 的映像不唯一)，故 f 不是函数。 c. f =｛ ﹤x1,x2﹥∣x1,x2 ∈N ,x2为小于x1的素数个数｝。 1) x1∈N ,x2为小于x1 的素数个数存在，即 x1 的映像 x2 存在；

第四章生成函数

第四章生成函数1. 求下列数列的生成函数：（1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4}=235(11111)1x x x x x +++-（）（2）343,,,333n +⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 解：3n G n +⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭=41(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=211x-. （4）{1,k ,k 2,k 3,…}解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…=11kx -. 2. 求下列和式：（1）14+24+…+n 4解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为A(x)=235(11111)1x x x x x +++-（）=0kk k a x ∞=∑，此处a k =k 4.令b n =14+24+…+n 4，则b n =0nk k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生成函数为 B(x)= 0nn n b x ∞=∑=()1A x x -=34125(1111)ii i x x x x x i ∞=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得14+24+…+n 4=b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭321(1)(691)30n n n n n =+++-（2）1·2+2·3+…+n (n +1)解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)=32(1)x x -=0k k k a x ∞=∑，此处a k = n (n +1).令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0nk k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成函数为B(x)=nn n b x ∞=∑=()1A x x -=42(1)xx -=032nk kk x x k =+⎛⎫⎪⎝⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得1·2+2·3+…+n (n +1)= b n =2(1)(2)213n n n n n +++=-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3. 利用生成函数求解下列递推关系：（1）()7(1)12(2)(0)2,(1)7f n f n f n f f =---==⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()n n f n x ∞=∑则有A(x)-f(0)-f(1)x=2()nn f n x ∞=∑=2(7(1)12(2))n nf n f n x∞=---∑=217()12()nnn n x f n x xf n x∞∞==-∑∑=7x(A(x)-f(0))-12x 2A(x).将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得22711()(34)17121314n nn x A x x x x x ∞=-==+=+-+--∑. （2）()3(1)53(0)0nf n f n f =-+⋅=⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()n n f n x ∞=∑，则有A(x)-f(0)= 1(3(1)53)n nnf n x∞=-+⋅∑=03()153nn n n n x f n x x x ∞∞==+∑∑=3xA(x)+15x ·113x-.A(x)= 215(13)xx -（3）()2(1)(2)(0)0,(1)1f n f n f n f f =-+-==⎧⎨⎩;解：令A(x)=0()n n f n x ∞=∑，则有A(x)-f(0)-f(1)x=2(2(1)(2))n nf n f n x ∞=-+-∑=212()()nnn n x f n x xf n x∞∞==+∑∑=2x(A(x)-f(0))+x 2A(x).将f(0)=0，f(1)=1代入上式并整理，得2()12x A x x x=--.4. 设序列{n a }的生成函数为：343(1)(1)xx x x --+-,但00b a =,110b a a =-, ……,1n n n b a a -=-,……,求序列{n b }的生成函数.解：由00b a =,110b a a =-,……,1n n n b a a -=-,得0nk n k b a ==∑，所以A(x)=()1B x x-.由此得B(x)=(1-x)A(x)= 3431xx x -+-，亦即序列{n b }的生成函数。

《复变函数论》第四章

第四章解析函数的幂级数表示方法第一节级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。

如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。

令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。

由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。

定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。

c语言函数库-第四章(字符串函数)

c语言函数库第四章（字符串函数）1. atof：字符串转浮点型函数 (1)2. atoi：字符串转整型函数 (2)3. atol：字符串转长整型函数 (3)4. memchr：字符搜索函数 (4)5. memcmp：字符串比较函数 (4)6. memcpy：字符串拷贝函数 (5)7. memmove：字块移动函数 (6)8.memset：字符加载函数 (8)9. strcat：字符串连接函数 (8)10. strchr：字符串中字符首次匹配函数 (9)11. strcmp：字符串比较函数 (10)12. strcpy：字符串拷贝函数 (11)13. strcspn：字符集逆匹配函数 (12)14. strdup：字符串新建拷贝函数 (13)15. strerror：字符串错误信息函数 (14)16. strlen：计算字符串长度函数 (15)17. strlwr：字符串小写转换函数 (16)18. strncat：字符串连接函数 (16)19. strncmp：字符串子串比较函数 (17)20. strncpy：字符串子串拷贝函数 (18)21. strpbrk：字符集字符匹配函数 (19)22. strrchr：字符串中字符末次匹配函数 (20)23. strrev：字符串倒转函数 (21)24. strset：字符串设定函数 (22)25. strspn：字符集匹配函数 (22)26. strstr：字符串匹配函数 (23)27. strtod：字符串转换成双精度函数 (24)28. strtok：字符串分隔函数 (25)29. strtol：字符串转换成长整型函数 (27)30. strtoul：字符串转换成无符号长整型函数 (28)31. strupr：字符串大写转换函数 (29)32. strupr：字符串大写转换函数 (29)1.atof：字符串转浮点型函数函数原型：float atof(const char *str);头文件：#include<stdlib.h>是否是标准函数：是函数功能：将字符串转换成浮点值，也就是将字符串str转换成浮点值然后获取转换后的结果。

第四章 函数