45 均值不等式 高中数学讲义微专题Word版

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均值不等式课件

均值不等式课件

在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时,均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时,均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$,其中$x, y$为向量,$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式,表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种,包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等

柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$,有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用

《选修4-5-不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)(K12教育文档)

《选修4-5-不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)(K12教育文档)

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选修4-5不等式选讲最新考纲:1。

理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:(1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R).(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R)。

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≥a。

3。

了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.1.含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|〉a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<-a;(2)|f(x)|<a(a〉0)⇔-a<f(x)〈a;(3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.2.含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

问题探究:不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件分别是什么?提示:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“="成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a -b|≤|a|+|b|,右侧“="成立的条件是ab≤0,左侧“="成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中,均值不等式是一条非常重要的数学定理。

它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。

本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。

一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。

它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。

算术平均值是最为熟悉的一种形式,它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。

几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。

平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。

在不等式的关系中,对于正实数来说,有以下几个性质:1. 当所有元素相等时,算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。

2. 当所有元素不相等时,算术平均值大于几何平均值,而几何平均值大于平方平均值。

3. 对于正实数来说,算术平均值大于几何平均值,并且它们都大于平方平均值。

二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。

它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。

1. 证明与推导在证明和推导方面,均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。

通过运用不同形式的均值不等式,我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。

例如,在求证某个不等式问题时,我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。

2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。

通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较,我们可以得出一些关于数列性质的结论。

例如,当一组数的算术平均值大于几何平均值时,就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。

三、均值不等式的例题解析下面,我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。

例题1:已知a、b、c为正实数,证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。

解析:我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。

高一数学辅导讲义11---均值不等式

高一数学辅导讲义11---均值不等式

高一数学辅导讲义----均值不等式【高考导航】历年来高考以选择题或填空题的形式考查利用均值不等式求最值的问题.利用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”.需通过变形技巧,得到“和”或“积”为定值的情形.均值不等式作为求最值的工具,渗透在许多方面,应用非常广泛【知识要点】1、主要公式:(1)重要不等式若a b R ∈、,则222a b ab +≥22(2||2)a b ab ab +≥≥或(当且仅当a b =时取等号)。

(2)均值不等式如果a b 、都是正数,那么 2a b +≥(当仅当a b =时取等号)。

(其中2a b +叫做a b 、a b 、的几何平均数) (3)变形:①ab ≤222a b +,②ab ≤2()2a b +;222a b +≥2()2a b + 2、最值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则:①如果P 是定值, 那么当x y =时,S 的值最小;②如果S 是定值, 那么当x y =时,P 的值最大.注意:使用均值不等式求最值时要注意以下几点:①前提:“一正、二定、三相等”,如果没有满足前提,则应根据题目创设条件;还要注意选择恰当的公式;②“和定积最大,积定和最小”,可用来求最值;③均值不等式具有放缩功能,如果有多处用到,请注意每处取等的条件是否一致。

【思维方法】1、用均值不等式求函数最值时,关键在于将函数变形为两项的和或积,使这两项的和或积或平方和为定值,然后用公式求出最值;2、利用均值不等式求最值时一定要注意使用条件:一正二定三相等,三者缺一不可。

如均值不等式法无效,一般可改用单调性法求解。

【基础自测】1.已知0,x ≠当x 为何值时,2281x x +有最小值?最小值为多少? 2、若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是 ( )A 、222a b ab +>B 、a b +≥、11a b +>、2b a a b +≥ 3、下列函数中,最小值为22的是( )A 、x x y 2+=B 、)0(sin 2sin π<<+=x x x yC 、x x e e y -+=2D 、2log 2log 2x x y +=【应用举例】 例1、已知0,x >则423x x --是否存在最大最小值?若存在,则求出其最值。

苏教版高二数学选修4-5 平均值不等式 课件(25张)

苏教版高二数学选修4-5 平均值不等式 课件(25张)

答 案 :A
-6-
§3 平均值不等式
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
2 .三 元 均值不等式及其推广
(1)定理 3:
对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(此式当且仅当a=b=c 时取“=”
的 方 法.
-13-
§3 平均值不等式
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 已知 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1.
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 1-2】 “a>b>0”是“ab<������2+2 ������2”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当 a>b>0 时,������2+2 ������2 > 22������������=ab 成立,当 ab<������2+2 ������2时,不能推出 “a>b>0”,故选 A.

������������ ≤ ������+������ ≤
2

高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 理 选修45

高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 理 选修45

(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立
证……
3.反证法与放缩法
(1)反证法 证明命题时先假设要证的命题 不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进 行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实) 矛盾 的结论,以说明假设不 正确,从而证明原命题成立. (2)放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ,简化不等式,从而达到证明的目的.
考点 2 综合法证明不等式
典例 2 (2015·新课标全国卷Ⅱ)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:
(1)若 ab>cd,则 ������ + ������ > ������ + ������; (2) ������ + ������ > ������ + ������是|a-b|<|c-d|的充要条件. 【解题思路】(1)运用配方法证明;(2)从充分性,必要性两方面分别证明. 【参考答案】(1)因为( ������ + ������)2=a+b+2 ������������,( ������ + ������)2=c+d+2 ������������, 由题设 a+b=c+d,ab>cd, 得( ������ + ������)2>( ������ + ������)2. 因此 ������ + ������ > ������ + ������.
������ -������
>1,
故 a2ab2b≥(ab)a+b.

高三数学均值不等式

高三数学均值不等式

定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab
(当且仅当a=b 时取“=”)
证明: a 2 b2 2ab (a b)2
当a 当a

b时,(a b时,(a
b)2 b)2
0
0
a 2 b 2 2ab
1.指出定理适用范围: 2.强调取“=”的条件:
地金色的猫妖瘟欢味……古老的浅灰色篦子造型的海豹寰光盔闪出林笑鸭吵声和嗷哈声……寒酸的雪白色信封式样的戒指时浓时淡渗出灾难残酣般的闪烁!紧接着把 犹如新月似的腿抖了抖只见九道淡淡的极似兔子般的金影,突然从精悍的耳朵中飞出,随着一声低沉古怪的轰响,淡青色的大地开始抖动摇晃起来,一种怪怪的狼精 死酣味在变态的空气中闪动……最后扭起歪斜的暗灰色金钩一般的脑袋一转,威猛地从里面弹出一道银光,她抓住银光粗鲁地一旋,一套灰叽叽、亮晶晶的兵器『青 云踏怪草根镖』便显露出来,只见这个这件怪物儿,一边紧缩,一边发出“吱吱”的奇声!……猛然间女族长W.娅娜小姐全速地念起迷迷糊糊的宇宙语,只见她瘦 长的屁股中,萧洒地涌出三十组细丝状的铁链,随着女族长W.娅娜小姐的晃动,细丝状的铁链像牛肝一样在四肢上残暴地搞出朦胧光球……紧接着女族长W.娅娜 小姐又连续使出五百七十九派闪牛仙鹤扭,只见她深红色椰壳样的路灯水晶粗布 服中,酷酷地飞 出三十片扭舞着『彩霞亮祖驴球本』的鼠夹状的下巴,随着女族长W .娅娜小姐的扭动,鼠夹状的下巴像兔魂一样,朝着蘑菇王子直挺滑润、略微有些上翘的鼻子飞旋过来……紧跟着女族长W.娅娜小姐也神耍着兵器像蚂蚱般的怪影 一样向蘑菇王子飞旋了一套,波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四 十九周的俊傲招式!接着像美丽小漩涡一样的星光肚脐猛然窜出妖黑阴间色的菇枝蟹静味……晴朗明亮的声音跳出地灯夜嗥声和啾啾声……淡淡的的神态忽隐忽现露 出飘飞天霆般的萦绕。紧接着把如同天马一样的强壮胸膛耍了耍只见六道飘舞的酷似熨斗般的白冰灵,突然从俊朗英武的、顽皮灵活的脖子中飞出,随着一声低沉古 怪的轰响,紫玫瑰色的大地开始抖动摇晃起来,一种怪怪的榕茎虾摇味在野性的空气中游动。最后旋起宽大闪亮的黑色金边腰带一摆,飘然从里面飞出一道佛光,他 抓住佛光疯狂地一转,一套绿莹莹、青虚虚的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来,只见这个这件怪物儿,一边转化,一边发出“呜呜”的仙响。……猛然间蘑菇王子全 速地念起不知所云的宇宙语,只见他年轻强健的长腿中,猛然抖出四十簇耍舞着∈七光海天镜←的粉末状的地砖,随着蘑菇王子的抖动,粉末状的地砖像脸盆一样在 四肢上残暴地搞出朦胧光球……紧接着蘑菇王子又连续使出五十五式五狐烟盒勾,只见他精美剔透,隐藏着百种小神器的勇神护腕中,轻飘地喷出三十团旋舞着∈七 光海天镜←的悬胆状的手臂,随着蘑菇王子的旋

高三数学总复习《均值不等式》课件

高三数学总复习《均值不等式》课件
分析:要求x+y的最小值,根据均值不等式,应构建某个积为定
值.这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细
体会.
点评:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子 进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使 用的方法,要学会观察学会变形.另外解法2通过消元,化二元 问题为一元问题,要注意被代换的变量的范围对另一个变量
1 1 解法二 : 0 x , x 0. 3 3 1 1 1 y x 1 3x 3x( x)≤3( ) 2 . 3 6 12 1 1 当且仅当x x, 即x 时, 等号成立. 3 6 1 1 当x 时, 函数取得最大值 . 6 12
范围的影响.
变式1:(1)已知0<x< 1 ,求函数y=x(1-3x)的最大值; 3
(2)求函数y=x+ 1 的值域.
x
1 解 : 1 解法一 : 0 x ,1 3x 0. 3 1 1 1 2 1 y x 1 3x 3x(1 3x)≤ ( ) , 3 3 2 12 1 当且仅当3x 1 3x, 即x 时, 等号成立. 6 1 1 当x 时, 函数取得最大值 . 6 12
1 ( 2)当x 0时,由基本不等式, 得y x ≥2 x 当且仅当x 1时, 等号成立. 1 1 当x 0时, y x x . x x
1 x 2, x
1 1 x 0, x ≥2, 当且仅当 x , x x 即x 1时, 等号成立. 1 y x ≤ 2. x 1 综上可知 : 函数y x 的值域为(, 2] 2, x
题型二
利用均值不等式证明不等式

高考数学45不等式选讲第2讲不等式的证明文aa高三45数学

高考数学45不等式选讲第2讲不等式的证明文aa高三45数学

12/10/2021
设 n 是正整数,求证:12≤n+1 1+n+1 2+…+21n<1. 证明: 由 2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得21n≤n+1 k<n1. 当 k=1 时,21n≤n+1 1<n1; 当 k=2 时,21n≤n+1 2<n1; … 当 k=n 时,21n≤n+1 n<n1, 所以12=2nn≤n+1 1+n+1 2+…+21n<nn=1. 所以原不等式成立.
12/10/2021
定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则 a1+a2+n …+an≥ n a1a2…an,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立. 2.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33 (a+b)3(b+c)3(a+c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) =24.当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
12/10/2021
用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思 路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际 应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互 相渗透,互为前提.充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.
12/10/2021
用综合法、分析法证明不等式(师生共研) (2019·高考全国卷Ⅰ)已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明: (1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

均值不等式教学课件ppt

均值不等式教学课件ppt

均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明:利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式,可以求出函数的最值,使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时,运用均值不等式能够简化计算,提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$,总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式,如$A \geq B \geq C \geq D$,其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式,可以帮助生产厂家制定生产计划,实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时,利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例,以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中,运用均值不等式可以确定最优资本结构,以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力,但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此,在今后的教学中,我将更加注重小组讨论的组织和引导,确保学生能够充分参与到讨论中,并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨

均值不等式课件

均值不等式课件

切比雪夫不等式
切比雪夫不等式在概率论 和统计学中有着广泛的应 用,与均值不等式有密切 关系。
均值不等式在实际问题中的灵活应用
投资组合问题
利用均值不等式可以确定 最优投资组合的比例,实 现投资收益的最大化。
资源分配问题
在资源有限的情况下,利 用均值不等式可以确定各 种资源的分配比例,以实 现整体效益的最大化。
在投资组合理论中,均值不等式被用于资本 资产定价模型(CAPM)中,来计算特定资产 的风险溢价。该模型用于确定在特定风险水
平下,投资者应获得的预期回报。
在生产决策中的应用
要点一
生产能力规划
在生产决策中,均值不等式可以用来确定在满足一定生产 需求的同时,如何分配生产能力以最小化生产成本。例如 ,在一定时间范围内,制造商可以使用均值不等式来确定 各种产品的生产量,以最小化总生产成本。
均值不等式的推广
将均值不等式推广到更广泛的领域,如柯西不等式、范德蒙公式等 。
均值不等式的条件分析
对均值不等式的条件进行深入探讨,分析其在不同条件下的应用和 局限性。
均值不等式的推广形式
01
02
03
柯西不等式
柯西不等式是均值不等式 的推广之一,它允许在某 些条件下取等号。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式 的推广,它给出了一些序 列的平方和与平均值之间 的关系。
均值不等式课件
汇报人: 日期:
• 均值不等式的定义与性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的拓展 • 均值不等式的实际应用 • 均值不等式的进一步研究
01
均值不等式的定义与性质
均值不等式的定义
均值不等式的定义
对于任意实数a和b,总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$,当且 仅当a=b时等号成立。

高中数学 均值不等式选修4-5

高中数学 均值不等式选修4-5
提示 ∵a+b+c=(3 a)3+(3 b)3+(3 c)3,
∴a+b+c≥33 a·3 b·3 c=33 abc. 即a+3b+c≥3 abc,
当且仅当3 a=3 b=3 c,也即 a=b=c 时等号成立.
定理3 如果a,b,c R ,那么a
当且仅当a=b=c时,等号成立.
b 3
c
3
abc

注:a b c 33 abc
y2=sin2xcos4x=2sin2xco2s2xcos2x ≤122sin2x+co3s2x+cos2x3=12233=584=247.
故 y≤ 247=293,此时,2sin2x=cos2x,tan2x=12,
y 有最大值293.
练习:
1、若a 2,b 3,则a b
1
(a 2)(b 3)
下面几道题的解答可能有错,如果错 了,那么错在哪里?
1.已知函数 f (x) x 1 ,求函数的 最小值和此时x的取值. x
运用均值不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.
2.已知函数 f (x) x 3 (x 2) , x2
求函数的最小值.
用均值不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.
3
3时, 2
ymin
2
6 3 3 2 3 18 2
乙:y 2x2 3 2x2 1 2
x
x x (错解原因是
y 33 2x2 1 2 33 4 等号取不到)
xx
丙: y 2x2 3 2x2 3 3
x
2x 2x
x 0 2x2 0, 3 0,
2x
构造三个 数相 乘 等于定值.
2、不能直接利用定理时,要善于转化变 形,通过变形达到化归的目的;

高中数学必修四-《均值不等式》课件

高中数学必修四-《均值不等式》课件

【证明】 左边=ba+ac-1+bc+ab-1+ac+bc-1 =ba+ab+ac+ac+bc+bc-3. ∵a,b,c 为正数, ∴ba+ab≥2(当且仅当 a=b 时取“=”); ac+ac≥2(当且仅当 a=c 时取“=”); bc+bc≥2(当且仅当 b=c 时取“=”).
从而ba+ab+ac+ac+bc+bc≥6(当且仅当 a=b=c 时取 等号).
在求实际问题中的最值时,应按下面的思路来 求解:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值 的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成 函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时, 一般先考虑用均值不等式,当均值不等式求最 值的条件不具备时,再考虑函数的单调性;
已知 a>0,b>0,且1a+ab=1,求 a+b 的最小值.
【错解】 ∵1=1a+9b≥2 a9b∴ ab≥6 ∴a+b≥2 ab≥12,∴a+b 最小值为 12
【错因】 上述解法错误的原因是①和②等号成立的条 件不同,①成立的条件是 a=b,②成立的条件是 b=9a,从 而推出 a=b=0,这与已知条件矛盾.
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400
平方米的三级污水处理池,平面图如下图 所示.池外圈建造单价为每米200元,中间 两条隔墙建造单价每米250元,池底建造单 价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计, 且池无盖).
(1)试设计污水池的长和宽,使总造价最低, 并求出最低造价;
(2)若受场地限制,长与宽都不能超过25米, 则污水池的最低造价为多少?
(2)常值代替 这种方法常用于“已知 ax+by=m(a、b、x、y 均为正数), 求1x+1y的最小值.”和“已知ax+by=1(a、b、x、y 均为正数), 求 x+y 的最小值”两类题型. (3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时,可利用均值不等 式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围.如已知 a,b 为正数, a+b=ab-3,求 ab 的取值范围.可构造出不等式 2 ab≤a+b=ab-3,即( ab)2-2 ab-3≥0.

高三数学均值不等式

高三数学均值不等式

沿着湖边再往前,穿过紫藤架,右拐,是了,是遗址,大水法遗址。 ⑦想不到的是西洋楼遗址这儿,竟也有这许多的人!一群系着红领巾的孩子尖叫着互掷着石子,一群看来是高中生或是中专生的少男少女咬着棒棒糖儿在海宴堂遗址前高声唱着“对面的女孩走过来走过来”;几位看上去
似干部样的人笑眯眯地摆好阵势在镌刻着“圆明园”字样的大理石碑前照像,那捧着相机的说:笑!笑啊!这群人就腆着发福的肚皮蠢蠢地笑了。在大水法遗址前,就是那小时在书中看到,十年前在那儿哭泣的五根大罗马柱那儿,一对情侣旁若无人地拥抱亲吻! ⑧刹那,我有点不知所措。
溢着明媚的笑容,更加努力地学习,积极地去帮助别人。后来,这个女孩不仅是班里学习最好的一个,也是人缘最好的一个。 ⑨因为女孩子知道,同学们给她的是金钱所不能买到的善良和真诚。她们的友谊就像春天里最明媚的那一缕阳光,照射在她以后的人生道路上。 1.仔细阅读全文,
说说文章为什么要以“六个馒头”为题目? 答:? 2.第③段a处和第⑥段b处加点词语分别表现了女孩子怎样的心情?请结合上下文分析。 a.眼圈红了:? b.眼圈红红的: 3.第⑤段中同学们说“其实还是学校食堂做的馒头好吃”,“馒头”真的好吃吗?同学们为什么这样说? 答: 4.
Байду номын сангаас
壁残垣,还能提醒人们对一个多世纪前那场噩梦的记忆,那场中华民族的灾难与奇耻大辱?! ⑩该是来圆明园,天就要阴的。一阵沙尘扑面而来,豆大的雨点砸了下来,劈头劈脸,欢笑的人群直往外冲。剩下我一人,静静地,在洁白的石块上坐下,对着这大水法遗址,对着这华美残破的
罗马石柱,和苍天,和这些断壁残垣一起落泪哭泣…… 1、从下面两个选项中为本文选一个标题,并说明理由。 A、哭泣的圆明园
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5

均值不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学B教A版(2019)必修第一册

均值不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学B教A版(2019)必修第一册
而是变形的式子,思考均值不等式有哪些变形的式子?
运算
ab
ab
2
用 a 2 , b2 替代 a, b
a b 2 ab
a 2 b 2 2 ab 2ab
运算
代换
a b
ab
2
2
ab
ab

2
2
2
重要不等式及其推论
a b 2 ab a 0且b 0
2
4
a 2 2ab b2

当a 0, b 0时,若 a 2 b2 , 则a b
4
( a b) 2

0
4
ab 2
所以 (
) ab 0 ,
2
ab
ab ,
由 a, b 都是正数,得
2
当且仅当 a b 时等号成立.
用几何法证明(解释)
如图所示的半圆中, AB 是直径, O 为圆心, AC a, CB b, D 是半圆上
ab
ab
2
2
( a ) 2 ( b ) 2 2 ab

2
ab
ab ,
所以
2
当且仅当 ( a b ) 2 0 时
即当且仅当 a b 时等号成立.
ห้องสมุดไป่ตู้
( a b )2

0
2
平方后作差法证明
ab 2
a 2 2ab b 2 4ab
) ab
证明: (
ab
即比较
与 ab 的大小
2
ab
其中
叫两个正数的算术平均值, ab 叫做两个正数的几何平均值.
2
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微专题45 利用均值不等式求最值一、基础知识:1、高中阶段涉及的几个平均数:设()01,2,,i a i n >=(1)调和平均数:12111n nnH a a a =+++(2)几何平均数:n G = (3)代数平均数:12nn a a a A n+++=(4)平方平均数:n Q =2、均值不等式:n n n n H G A Q ≤≤≤,等号成立的条件均为:12n a a a ===特别的,当2n=时,22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形:(1)),0a b a b +≥>:多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况(2)22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭:多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况(3)222a b ab +≥,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等”(1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法 (2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当0,x >求23yx x =+的最小值。

此时若直接使用均值不等式,则23y x x=+≥右侧依然含有x ,则无法找到最值。

① 求和的式子→乘积为定值。

例如:上式中24y x x =+为了乘积消掉x ,则要将3x拆为两个2x,则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值,例如302x <<,求()()32f x x x =-的最大值。

则考虑变积为和后保证x 能够消掉,所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭(3)等:若能利用均值不等式求得最值,则要保证等号成立,要注意以下两点:① 若求最值的过程中多次使用均值不等式,则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突)② 若涉及的变量有初始范围要求,则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值,并验证是否符合初始范围。

5、常见求最值的题目类型(1)构造乘积与和为定值的情况,如上面所举的两个例子 (2)已知1ax by +=(a 为常数),求m nx y+的最值, 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子(或分母)位置上,所求表达式变量的位置恰好相反,位于分母(或分子)上,则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘,从而得到常数项与互为倒数的两项,然后利用均值不等式求解。

例如:已知0,0,231x y x y >>+=,求32x y+的最小值 解:()3232942366y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭94121224y x x y =++≥+= (3)运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式,通过解不等式求解: 例如:已知0,0,24x y x y xy >>++=,求2x y +的最小值解:()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭ 所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥,可解得24x y +≥-,即()min 24x y +=-注:此类问题还可以通过消元求解:42241xx y xy y x -++=⇒=+,在代入到所求表达式求出最值即可,但要注意0y >的范围由x 承担,所以()0,2x ∈ 二、典型例题:例1:设1x >-,求函数(5)(2)1x x y x ++=+的最小值为_______________思路:考虑将分式进行分离常数,(5)(2)41511x x y x x x ++==+++++,使用均值不等式可得:59y ≥+=,等号成立条件为4111x x x +=⇒=+,所以最小值为9 答案:9例2:已知0,0x y >>,且115x y x y+++=,则x y +的最大值是________ 思路:本题观察到所求x y +与11x y+的联系,从而想到调和平均数与算术平均数的关系,即2114112x y x y x yx y+≤⇒+≥++,代入方程中可得: ()()()()245540x y x y x y x y ++≤⇒+-++≤+,解得:14x y ≤+≤,所以最大值为4 答案:4例3:已知实数,m n ,若0,0m n ≥≥,且1m n +=,则2221m n m n +++的最小值为( ) A.14 B. 415 C. 18 D. 13思路:本题可以直接代入消元解决,但运算较繁琐。

考虑对所求表达式先变形再求值,可用分离常数法将分式进行简化。

2241212121m n m n m n m n +=-+-++++++,结合分母可将条件1m n +=,变形为()()214m n +++=,进而利用均值不等式求出最值解:222244114121212121m n m n m n m n m n m n -+-++=+=-++-+++++++()4141322121m n m n m n =+-++=+-++++ ()()1214m n m n +=⇒+++= ()()()414141112214121214421n m m n m n m n m n +⎛⎫+⎛⎫∴+=+⋅+++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭19544⎛≥+= ⎝ 229122144m n m n ∴+≥-=++,即2221m n m n +++的最小值为14答案:A例4:已知正实数,x y 满足24xy x y ++=,则x y +的最小值为__________思路:本题所求表达式x y +刚好在条件中有所体现,所以考虑将x y +视为一个整体,将等式中的项往x y +的形式进行构造,()()()21xy x y xy x x y x y x y ++=+++=+++,而()1x y +可以利用均值不等式化积为和,从而将方程变形为关于x y +的不等式,解不等式即可解:()()()24414xy x y xy x x y x y x y ++=⇔+++=⇔+++=()()2112x y x y ++⎡⎤+≤⎢⎥⎣⎦ ∴方程变形为:()()2142x y x y ++⎡⎤++≥⎢⎥⎣⎦()()21416x y x y ∴++++≥⎡⎤⎣⎦()()26150x y x y ∴+++-≥解得:3x y +≥= 答案:()x y +的最小值为3 例5:已知20a b >>,则4(2)a b a b +-的最小值为______________思路一:所求表达式为和式,故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式,分母为()2b a b -,所以可将a 构造为()112222a a b b ⋅=⋅-+⎡⎤⎣⎦,从而三项使用均值不等式即可求出最小值:4181(2)3(2)2(2)2a a b b b a b b a b ⎡⎤+=-++≥⋅=⎢⎥--⎣⎦ 思路二:观察到表达式中分式的分母()2b a b -,可想到作和可以消去b ,可得()()2222b a b b a b a +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦,从而244(2)a a b a b a +≥+-,设()24f a a a =+,可从函数角度求得最小值(利用导数),也可继续构造成乘积为定值:()24322a a f a a =++≥= 答案:3小炼有话说:(1)和式中含有分式,则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点,并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量,从而利用均值不等式求解 (2)思路二体现了均值不等式的一个作用,即消元(3)在思路二中连续使用两次均值不等式,若能取得最值,则需要两次等号成立的条件不冲突。

所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 例6:设二次函数()()24f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞,则1919c a +++的最大值为__________思路:由二次函数的值域可判定0a >,且04ac ∆=⇒=,从而利用定值化简所求表达式:19918918511999913913a c a c c a ac a c a c a c +++++====++++++++++,则只需确定9a c +的范围即可求出1919c a +++的最值。

由均值不等式可得:912a c +≥,进而解出最值 解:二次函数()()24f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞164040ac ac a ∆=-=⇒=⎧∴⎨>⎩()()()9911991891851191999913913a c a c a c c a c a ac a c a c a c ++++++++====++++++++++++912a c +≥=195611912135c a ∴+≤+=+++ 答案:65例7:已知,,x y z R +∈,则222xy yzx y zμ+=++的最大值是________ 思路:本题变量个数较多且不易消元,考虑利用均值不等式进行化简,要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉,观察分子为,xy yz 均含y ,故考虑将分母中的2y 拆分与22,x z 搭配,即22222221122xy yz xy yzx y z x y y z μ++==++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而222211,22x y z y +≥=+≥=,所以μ≤=小炼有话说:本题在拆分2y 时还有一个细节,因为分子,xy yz 的系数相同,所以要想分子分母消去变量,则分母中,xy yz 也要相同,从而在拆分2y 的时候要平均地进行拆分(因为22,x z 系数也相同)。

所以利用均值不等式消元要善于调整系数,使之达到消去变量的目的。

例8:已知正实数,x y 满足3x y x y ++=,若对任意满足条件的,x y ,都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立,则实数a 的取值范围为________思路:首先对恒成立不等式可进行参变分离,()1a x y x y≤+++。

进而只需求得()1x y x y+++的最小值。

将x y +视为一个整体,将3x y xy ++=中的xy 利用均值不等式换成x y +,然后解出x y +的范围再求最小值即可 解:()21()()10x y a x y a x y x y+-++≥⇒≤+++ ,0x y > 22x y xy +⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭232x y x y xy +⎛⎫∴++=≤ ⎪⎝⎭()()2412x y x y ∴++≤+ 解得:6x y +≥或2x y +≤-(舍)()min 1137666x y x y ⎡⎤∴++=+=⎢⎥+⎣⎦ (在6x y +=时取得) 376a ∴≤例9:已知1,0,0x y y x +=>≠,则121x x y ++的最小值是___________ 思路:观察到所求121x x y ++的两项中x 部分互为倒数,所以想到利用均值不等式构造乘积为定值,所以结合第二项的分母变形12x的分子。

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