第25课备课手册定稿 c三角函数的恒等变形与求值
三角函数恒等变换教案
复杂恒等变换问题解析
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02
03
多项式型恒等式
对于包含多个三角函数项 的多项式型恒等式，通过 分组、提取公因式、配方 等方法进行化简和证明。
分式型恒等式
对于分式形式的恒等式， 通过通分、约分、分子有 理化等手段进行化简和证 明。
含有参数的恒等式
对于含有参数的恒等式， 先对参数进行讨论，再根 据不同情况选择合适的方 法进行证明。
正弦为负，余弦、正切为 正。
诱导公式及周期性
诱导公式
通过加减整数倍的$pi/2$或$pi$，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数 值。例如，$sin(pi - x) = sin x$，$cos(pi - x) = -cos x$等。
周期性
正弦、余弦函数的周期为$2pi$，正切函数的周期为$pi$。即对于任意整数$k$， 有$sin(x + 2kpi) = sin x$，$cos(x + 2kpi) = cos x$，$tan(x + kpi) = tan x$。
05
典型例题解析与讨论
简单恒等变换问题解析
1 2
利用基本恒等式进行变换 通过观察和运用基本的三角函数恒等式，如正弦、 余弦、正切的和差公式，将表达式化简为更简单 的形式。
角度变换 利用角度的加减、倍角、半角等关系，将复杂的 三角函数表达式转换为更易于处理的形式。
3
引入辅助角 通过引入辅助角，将原表达式转换为与辅助角相 关的三角函数形式，从而简化计算过程。
角的变换技巧
利用$sin(A+B)$、$cos(A+B)$等公式将 复杂角拆分为简单角。
倍角公式
如$sin 2A = 2sin A cos A$，用于将倍 角转换为单角。
三角恒等变换备课教案
三角恒等变换备课教案备课教案：三角恒等变换一、引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于学生深入理解三角函数的性质和应用具有重要意义。
本教案将通过引导学生发现和探究三角恒等变换的规律，帮助学生理解和掌握相关的变换技巧。
二、知识背景1. 三角函数的基本关系：(1) 正弦函数：sinθ = 对边/斜边(2) 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边(3) 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的周期性：(1) 正弦函数、余弦函数的周期是2π(2) 正切函数的周期是π3. 三角函数的基本恒等式：(1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方和为1：cos^2θ + sin^2θ = 1(2) 正切函数与余切函数的乘积始终等于1：tanθ · cotθ = 1(3) 正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数的关系：sinθ/cotθ = cosθcosθ/tanθ = sinθ三、教学过程1. 引入：通过提问的方式引导学生回顾三角函数的基本关系和周期性规律。
2. 发现：给出一个具体的三角函数等式，例如sinθ = cos(π/2 - θ)，请学生尝试寻找与之相关的恒等式。
3. 探究：根据学生的发现，引导学生使用初等三角函数的定义和已知的三角函数恒等式，进行推导和证明，找出恒等式的变换规律。
4. 总结：整理学生的发现和推导过程，总结三角恒等变换的基本规律，并给出示例进行演示和讲解。
5. 练习：提供一些练习题，让学生运用所学的三角恒等变换规律，解决相关的三角函数等式和问题。
四、教学评价1. 通过观察学生的推导过程和解题思路，评价他们对三角恒等变换规律的理解和掌握情况。
2. 提供针对性的反馈和指导，帮助学生纠正错误和加深对知识点的理解。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程，培养他们的合作和思考能力。
五、课后作业1. 题目一：证明sin(π/2 - θ) = cosθ。
2. 题目二：利用三角恒等变换，化简并求解tanθ + 1 = secθ的解。
三角函数的恒等变换与解题备课教案
三角函数的恒等变换与解题备课教案1. 恒等变换的概念及基本公式三角函数的恒等变换是指通过变换角度，得到与原来三角函数值相等的新三角函数表达式。
这种变换是用来简化、补充或者改变三角函数表达式的形式，从而更方便地进行计算和解题。
1.1 正弦函数的恒等变换对于正弦函数sin(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- sin(-x) = -sin(x)：正弦函数具有奇函数性质，即sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
- sin(x + 2kπ) = sin(x)，k为整数：正弦函数具有周期性，周期为2π，所以sin(x + 2kπ)与sin(x)等价。
- sin(π - x) = sin(x)：正弦函数满足sin(π - x) = sin(x)，即正弦函数关于x = π/2直线对称。
- sin(π + x) = -sin(x)：正弦函数满足sin(π + x) = -sin(x)，即正弦函数关于x = -π/2直线对称。
1.2 余弦函数的恒等变换对于余弦函数cos(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- cos(-x) = cos(x)：余弦函数具有偶函数性质，即cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
- cos(x + 2kπ) = cos(x)，k为整数：余弦函数具有周期性，周期为2π，所以cos(x + 2kπ)与cos(x)等价。
- cos(π - x) = -cos(x)：余弦函数满足cos(π - x) = -cos(x)，即余弦函数关于x = π直线对称。
- cos(π + x) = -cos(x)：余弦函数满足cos(π + x) = -cos(x)，即余弦函数关于x = 0直线对称。
1.3 正切函数的恒等变换对于正切函数tan(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- tan(-x) = -tan(x)：正切函数具有奇函数性质，即tan(-x) = -tan(x)，即正切函数关于原点对称。
高中数学第三章三角恒等变换第25课时两角和与差的余弦B版公开课课件省市一等奖完整版
类型三 已知三角函数值求角
【例 3】 已知 α，β 为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5143， 求 cosβ 的值及 β 的大小．
解析：∵α 为锐角且 cosα＝17，
∴sinα＝ 1－cos2α＝
1－172＝4
7
3 .
又 α、β 为锐角，∴α＋β∈(0，π)．
又 sin(α＋β)＝5143<sinα，∴α＋β∈π2，π.
＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)
＝2－ 22× 23＋ 22×21＝
2－ 2
6 .
点评 (1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公 式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个 角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再 代入公式即可求解． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝ (α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α －β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.
变式训练 1 求下列各式的值： (1)cos(－15°)；(2)cos105°＋sin195°.
解析：(1)cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝ 22× 23＋ 22×21＝
6＋ 4
2 .
(2)cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)
∴cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－
1－51432＝－1114.
∴ cosβ ＝ cos[(α ＋ β) － α] ＝ cos(α ＋ β)cosα ＋ sin(α ＋ β)sinα ＝
三角函数恒等变换教案
课题： 三角函数恒等变换教学目标：1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2、能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3、能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
高考链接：1、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，对三角式进行简单的三角函数化简、求值和证明2、能联系平面向量、解三角形等知识结合解题教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学难点：运用公式进行简单的三角恒等变换，对三角式进行简单的三角函数化简、求值和证明教学方法：讲练结合、以练为主教学设计：一、高考通关1、解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化2、三角函数恒等变形的基本策略：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
3、基本的技巧有 ：（1）常值代换：特别是用“1”的代换 （2）项的分拆与角的配凑（3）三角函数次数的降升 ，即二倍角公式的变形（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）（5）引入辅助角 （6）公式变形使用二、知识回顾1、两角和、差角的余弦公式2、两角和、差角的正弦公式3、二倍角的正、余弦公式4、两角和的正切公式5、两角差的正切公式6、二倍角的正切公式7、合一变换 8、常用公式变形三、典例分析化简： βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222⋅-⋅+⋅ 四、高考仿真训练1、求值：（1） 105sin 15sin 105cos 15cos -（2）15sin 15cos 15sin 15cos +- 2、求函数x x y cos 3sin += )20(π≤≤x 的值域3、化简：)32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ 4、已知171cos =α，5147)cos(-=+βα，2,0πβα<<， 求βcos 的值5、已知54)cos(=+βα，54)cos(-=-βα，且)2,47(ππβα∈+ ),43(ππβα∈-，求α2cos 五、课时小结同学们在第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系. 高考对三角计算与恒等式部分的考查无论是填空题还是解答题中出现都是较容易的．主要有三方面：（1）以填空形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；（2）以填空形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
高中数学必修课教案三角恒等变换的证明与应用
高中数学必修课教案三角恒等变换的证明与应用高中数学必修课教案：三角恒等变换的证明与应用一、引言三角恒等变换是高中数学中重要的概念和工具，它涉及了三角函数的基本关系和性质，对解决各种三角函数相关的问题具有广泛的应用。
本文将详细讲解三角恒等变换的证明与应用，让学生更好地掌握这一知识点。
二、基本定义和公式在开始证明和应用三角恒等变换之前，让我们先回顾一下相关的基本定义和公式：1. 余弦定理：对于任意三角形ABC，设其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有c² = a² + b² - 2abcosC2. 正弦定理：对于任意三角形ABC，设其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC3. 倍角公式：同一函数的倍角公式有以下三种形式：a) sin2A = 2sinAcosAb) cos2A = cos²A - sin²Ac) tan2A = (2tanA)/(1 - tan²A)三、三角恒等变换的证明1. 三角恒等变换的基本思想是根据基本定义和公式，通过代换、化简和运算等方法，将一个三角函数的表达式转化为另外一个三角函数的表达式。
2. 以证明三角函数的平方和差公式为例，假设有两个角A和B，则有以下公式：a) sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBb) sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBc) cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBd) cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB我们可以通过将两个角的和（差）换成一个新的角，然后利用基本定义和公式进行推导和化简，最终得到以上公式的证明。
3. 类似地，其他三角恒等变换的证明也可以通过类似的思路进行推导，关键是要熟练掌握基本定义和公式，并灵活运用代换和化简的方法。
高中数学必修课教案三角函数的恒等变换与应用
高中数学必修课教案三角函数的恒等变换与应用课程名称：高中数学必修课教案 - 三角函数的恒等变换与应用学科：数学学段：高中教学目标：1. 了解三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切等，并能正确运用它们；2. 熟悉三角函数的恒等变换公式，能够根据具体问题进行恒等变换的应用；3. 能够运用三角函数解决实际问题，包括角度测量、航向定位、高空飞行等；4. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 理解三角函数的概念和性质；2. 掌握三角函数的恒等变换公式；3. 能够独立解决实际问题，应用三角函数进行计算。
教学难点：1. 熟练掌握三角函数的恒等变换公式；2. 能够将这些恒等变换公式灵活应用于实际问题。
教学准备：1. 教材：高中数学必修教材；2. 教具：黑板、白板、投影仪；3. 课件：包含三角函数的概念、性质、恒等变换公式和应用等内容的课件。
教学步骤：一、引入（5分钟）1. 引导学生回顾上一课的内容：三角函数的基本概念和运算规则。
2. 引出本课内容：三角函数的恒等变换和应用。
二、知识讲解（20分钟）1. 介绍三角函数的恒等变换公式，如正弦、余弦、正切的倍角、半角等变换公式。
2. 解释每个恒等变换公式的证明过程，以及其应用场景和意义。
三、例题演练（30分钟）1. 给出一些实际问题，如航向定位、高空飞行等，让学生运用三角函数的恒等变换公式解决问题。
2. 逐步引导学生分析问题、建立数学模型，并运用恒等变换公式进行计算。
四、拓展应用（25分钟）1. 提供一些更复杂的问题，让学生从多个方面综合运用三角函数的恒等变换公式解决问题。
2. 引导学生思考不同问题之间的联系和相似之处，培养学生的综合解决问题的能力。
五、总结归纳（10分钟）1. 通过学生的分享，总结三角函数的恒等变换公式的应用方法和技巧，以及解决实际问题的思路和步骤。
六、课后作业（5分钟）1. 布置相关课后作业，包括练习题和思考题，巩固和拓展学生对三角函数的恒等变换和应用的理解。
高考数学一轮复习备课手册：第25课三角函数的恒等变形与求值
第25课 三角函数的恒等变形与求值（1）一、教学目标1．理解同角三角函数的基本关系式；2．能正确运用这些公式进行化简、求值与证明．二、基础知识回顾与梳理1．已知)23,(,21sin ππαα∈-=，则=αcos ． 【教学建议】本题改编自课本习题，主要是复习基本关系式中的平方关系。
教学时，教师可让学生口答过程和结果。
结合本题，突出),2(ππα∈对结果的影响，强调基本关系式中平方关系开根号时正负号的判定，这是本节的一个难点，掌握三角函数在各象限的符号，是解决这一难点的关键．2．已知)23,(,512tan ππαα∈=，则=αcos ． 【教学建议】本题改编自课本例题，主要是复习基本关系式中的商数关系。
教学时，教师让学生口答过程和结果．注意突出αcos 正负号的判定．3．已知),2(ππα∈，则1sin 1tan 2-αα= ． 【教学建议】本题选自课本例题。
教学时，可要求学生运用基本关系式对式子进行化简，突出运用过程中的“同角”两字，并提醒学生注意以下两点：（1）根号内化简成一个式子的平方后能否直接开根号，如果不能定正负必须要加绝对号；（2）化简过程中如果既有正切，又有正余弦，应该怎样进行变形．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害．2、诊断练习点评题1．若23,53sin παπα<<-=，则=αtan ． 【分析与点评】（1）强调已知弦求切的一般方法和步骤：ααααααααtan cos sin tan cos sin 1cos sin 22−−−→−−−−−→−==+；（2）运用平方关系求αcos 时，α的范围对结果的影响；（3）如果没有条件23παπ<<，结果发生怎样的变化？ 题2．1sin cos (tan )tan x x x x+= ． 【分析与点评】式中既有弦又有切应该要化弦为切或者化切为弦；选用化切为弦后通分简单些． 题3：已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是 ．答案为： 1-.【分析与点评】可直接将式子化成关于tan α的式子，关键是化弦为切．题4．已知αsin 是方程06752=--x x 的根，且α是第三象限的角，则().2sin 2cos tan 23cos 23sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαππα 【分析与点评】（1）αsin 是方程06752=--x x 的根，我们可以确定αsin 的值；（2）利用诱导公式将原式进行化简，根据需要由αsin 求出tan α代入即可；（3）符号的确定与函数名称的变化是学生易错点，应提醒学生加以重视．3、要点归纳（1）根据已知角的正弦、余弦、正切求出其余两个值（简称“知一求二”）时，要注意这个角所在象限，一般涉及开方运算，要注意讨论角的范围。
2020版高考数学一轮复习教程学案第25课__三角函数的恒等变形与求值(1) Word版含解析
第课三角函数的恒等变形与求值(). 理解同角三角函数的基本关系式．. 能正确运用这些公式进行化简、求值与证明.. 阅读：阅读必修第～页．.解悟：①同角三角函数的基本关系式及其公式的正用、逆用、变形使用；②掌握α±α，αα之间的关系，可以知一求二；③求值与化简时，常用弦切互化、和积转换、变角技巧、“”的代换．. 践习：在教材空白处，完成必修第页练习第、、题.基础诊断. 若α＝－，π<α<，则α＝．解析：因为α＝－，π<α<，所以α＝－＝－，所以α＝＝.. 化简：(－α)＝α．解析：原式＝(－α)＝＝＝α.. 已知α＋α＝，则αα－α的值是－．解析：因为α＋α＝，所以α＝－.原式＝＝＝＝－.. 若(－°)＝，则°＝－．解析：因为°＝＝＝，所以°＝－°＝－＝－＝－.范例导航考向❶运用同角三角函数的基本关系，进行化简、证明例() 化简：α(α－α)＋；() 求证：＝.解析：() 原式＝(α－α)＋＝α－＋＝α.【注】切化弦是常用的消除名称差异的方法．() 方法一：右边＝＝＝＝＝左边．方法二：左边＝＝，右边＝＝，则左边＝右边．方法三：左边＝＝＝＝＝右边．【注】 () 题中有弦有切，应进行弦切互化，应确立化简的目标意识——同名、同角. () 证明恒等式时要和学生讨论，引导学生利用掌握公式的特点，学会分析等号左右两边的结构，选择适当的推理途径进行证明.() 已知α∈，化简：α；() 证明：＝.解析：() 因为α∈，所以原式＝α＝α＝α·＝－.() 左边＝＝＝＝＝＝＝＝右边，得证．考向❷形如α，α的一次齐次式和二次齐次式问题例() 若α＝，求α－αα＋α的值；() 已知＝－，求α的值．解析：() 方法一：由＝α＝，α＋α＝，解得α＝±，α＝±，代入求值，原式＝－＋＝.方法二：α－αα＋α＝＝＝＝.() 方法一：由＝－，。
三角函数和三角恒等变换PPT讲稿
cos2 sin cos cos2 sin2 cos2 1.
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例题剖析
[点评] 应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数是应掌握的基本技能，
在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法.
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知识要点 例题剖析
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知识要点
1. 2.
3. （1）设角α是一任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x tanx= ； （2）三角函数的符号：
y 由于sinα>0 y>0，故α的终边在第一、二象限及y轴非负半轴时，sinα x 由于cosα>0 x>0，故α的终边在第一、四象限及x轴的非负半轴时，cosα
2
代入原式得
1 cos2 θ 2 cos2 θ 1 cos2 θ 5 cos2 θ
4
2
4
由sin2 θ cos2 θ 1得 tan2 θ 1 1 cos2 θ
1 cos2
θ
1 4
1
5 即cos2 4
θ
4 5
原式 5 4 1 45
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上一个把α“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名改变，符号看象限”； ③ 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°~90°角的三角函数值.
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例题剖析 [例1] 若角α是第三象限的角，则点P（sinα, tanα)位于第
象限.
[答案] 二
[解析] ∵α为第三象限角 ∴sinα＜0, tanα＞0 ∴p(sinα, tanα)位于第二象限
三角函数的恒等变形与求值
1 tan15 (7)求值 : o 1 tan15
o
13
题组二：化简求值类 o o o 2sin 50 sin 80 (1 3 tan10 ) (1)求值 : o 1 cos10
练习: sin 50 (1 3 tan10 ) 4 17 7 (2)已知cos( +x)= , x 4 5 12 4 2 sin 2 x 2sin x 求 的值. 1 tan x
4
三角函数复习
任意角 的概念 角度制与 弧度制
任意角的 三角函数
y r
弧长与扇形 面积公式
o y
y sin r P(x,y) x cos r y tan x x
的终边
的终边
P
T
正弦线MP
正切线AT
5
A (1,0) 余弦线OM
o
M
x
三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”
a b sin( α φ )形式
2 2
9、见cosα·cosβ·cosθ····，先 sin 2 α 若不行，则化和差 运用cosα 2sinα 2 sin 10、见cosα+cos(α+β) 2 +cos(α+2 β )····， 想乘 2 sin 2
30
3 3 7 2
) 5 6 6
28
小结:
三角解题常规
指角的、函数的、运算的差异
分析差异
宏 观 思 路
寻找联系
利用有关公式，建立差异间关系
促进转化
活用公式，差异转化，矛盾统一
29
微 观 直 觉
1、以变角为主线，注意配凑和转化； 2、见切割，想化弦；个别情况弦化切； 3、见和差，想化积；见乘积，化和差； 4、见分式，想通分，使分母最简； 5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂； 6、见sin2α，想拆成2sinαcosα； sinα+sinβ=p 7、见sinα±cosα或 想两边平方 cosα+cosβ=q 8、见a sinα+b cosα，想化为
高中数学备课教案三角恒等变换的证明与应用
高中数学备课教案三角恒等变换的证明与应用高中数学备课教案三角恒等变换的证明与应用一、概述三角恒等变换是数学中常用的工具，用于简化复杂的三角函数表达式，以及证明三角函数之间的等式关系。
本教案旨在通过证明与应用三角恒等变换，帮助学生深入理解三角函数的性质与运用。
二、证明恒等变换1. 余弦的恒等变换证明一：$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$解答：由余弦的定义可得，$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$设直角三角形的斜边长度为1，角$(\frac{\pi}{2} - x)$对应的对边长度为$\sin(x)$，根据三角函数定义，得证。
2. 正弦的恒等变换证明二：$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$解答：同证明一，设直角三角形的斜边长度为1，角$(\frac{\pi}{2} - x)$对应的对边长度为$\cos(x)$，根据三角函数定义，得证。
3. 正切的恒等变换证明三：$\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)$解答：由正切的定义可得，$\tan(\frac{\pi}{2} - x) =\frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{\cos(\frac{\pi}{2} - x)}$根据证明一和证明二可得，$\frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{\cos(\frac{\pi}{2} - x)} =\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x)$，得证。
三、应用恒等变换1. 比例的换算例题一：已知$\sin(x) = \frac{6}{10}$，求$\cos(x)$的值。
解答：根据三角函数的定义，有$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$，代入已知条件得$\frac{36}{100} + \cos^2(x) = 1$，化简可得$\cos^2(x) =\frac{64}{100}$再开方得$\cos(x) = \pm \frac{8}{10}$，由于$x$位于第一象限，所以$\cos(x) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$2. 三角函数的运算例题二：已知$\sin(x) = \frac{3}{4}$，$\cos(y) = \frac{1}{2}$，求$\sin(x+y)$的值。
高中数学教案三角恒等变换
高中数学教案三角恒等变换高中数学教案：三角恒等变换一、引言在高中数学中，三角恒等变换是重要的内容之一。
本教案旨在帮助学生深入理解三角恒等变换的概念、性质以及运用方法，以提升他们在解决相关数学问题时的能力。
二、基础知识概述1. 三角函数的定义- 正弦函数sin(x)：在直角三角形中，对边与斜边的比值。
- 余弦函数cos(x)：在直角三角形中，邻边与斜边的比值。
- 正切函数tan(x)：在直角三角形中，对边与邻边的比值。
2. 三角恒等变换的基本概念- 三角恒等变换是指将一个三角函数转化为另一个三角函数的等价关系。
- 常见的三角恒等变换包括正弦函数、余弦函数和正切函数的互换关系。
三、三角恒等变换的性质1. 基本恒等变换a）正弦函数的互换：- sin(x) = cos(90° - x)- cos(x) = sin(90° - x)b）余弦函数的互换：- cos(x) = cos(-x)c）正切函数的互换：- tan(x) = cot(90° - x)- cot(x) = tan(90° - x)2. 辅助恒等变换a）正弦函数的辅助恒等变换：- sin²(x) + cos²(x) = 1- 1 + tan²(x) = sec²(x)b）余弦函数的辅助恒等变换：- 1 + cot²(x) = csc²(x)四、三角恒等变换的运用方法1. 化简复杂的三角表达式a）使用基本恒等变换来替换特定的三角函数，将复杂的表达式化简为简洁的形式。
b）利用辅助恒等变换将三角函数关系转化为其他形式的等式。
2. 证明三角恒等式a）基于已知三角函数的定义和性质，运用三角恒等变换的知识进行变换和推导，证明给定的三角恒等式。
b）通过使用辅助线、反证法等数学方法，辅助完成恒等式的证明过程。
3. 解决三角函数方程和不等式根据题目给出的条件和问题，结合三角恒等变换的知识，将方程或不等式中的三角函数改写为相同或相关的三角函数，从而简化问题的求解。
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
利用倍角、半角、和差角等公式，以及辅助角公式进行变换。
三角恒等变换的思路及技巧
三角恒等变换的应用实例
求三角函数的值域或最值；
应用1
应用2
应用3
应用4
解三角方程或三角不等式；
证明三角恒等式；
将不同名的三角函数式化简为同名三角04
03
化二次为一次
将二次三角函数式化为一次三角函数式，以便利用三角恒等变换公式进行化简。
xx年xx月xx日
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三角函数基础知识回顾解三角形基础知识介绍三角恒等变换的原理及方法解三角形中的三角恒等变换三角恒等变换的常见问题及解决方案总结与回顾
三角函数基础知识回顾
01
三角函数是研究三角形中边和角之间关系的一组函数，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
2
3
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为三角形中只含有一个未知数的方程
解三角形时，通常先根据已知条件解出三角形中一个角的大小，再根据三角形的内角和定理求出其他两个角
解三角形时，通常需要多次运用三角恒等式对已知条件进行化简和变形
三个角都是 $60^\circ$ ，任意两边长度相等
特殊三角形解法的应用
1
三角函数的应用场景
2
3
三角函数在几何学中有广泛应用，如解三角形、证明三角形相似等。
几何学
三角函数在物理中有广泛应用，如简谐振动、交流电等。
物理
三角函数在金融中有广泛应用，如复利计算、期权定价等。
金融
解三角形基础知识介绍
02
正弦定理
余弦定理
勾股定理
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案引言：本教案旨在介绍三角恒等变换的概念和应用。
我们将详细解释什么是三角恒等变换，为什么它们在数学和物理中如此重要，并提供一些实用的例子来帮助读者更好地理解和应用这些变换。
一、什么是三角恒等变换？三角恒等变换是指关于三角函数的一类等式，可以在不改变等式的真实性的前提下，通过变换三角函数的自变量、系数或其他形式来简化或改写等式。
三角恒等变换的目的是为了更好地理解和研究三角函数在各类问题中的性质和应用。
二、常见的三角恒等变换1. 基本恒等变换基本恒等变换是指最基础的一类三角恒等变换，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数的一些基本等式。
例如，最常见的正弦函数的基本恒等变换是：sin²θ + cos²θ = 1这个等式表明，在任意角度θ下，正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。
这个等式在很多计算中会被频繁使用到。
2. 三角函数的互余变换三角函数的互余变换是指三角函数的相互关系。
例如，正弦函数和余弦函数是互余的。
具体来说，正弦函数与余弦函数在给定角度θ下的值互为倒数，即：sinθ = 1/cosθ这个等式可以帮助我们在解决某些问题时，通过已知的三角函数的值，快速推导出其他三角函数的值。
3. 角度和的恒等变换角度和的恒等变换是指用于变换三角函数中两个角度和的等式。
在这类变换中，我们可以通过已知的三角函数的值和角度和的关系，求解其他三角函数的值。
例如，常见的角度和的恒等变换包括：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ这个等式可以帮助我们在计算复杂的三角函数表达式时，通过将角度和转化为乘积或其他形式，简化计算过程。
三、三角恒等变换的应用领域1. 几何学中的应用三角恒等变换在几何学中有广泛的应用。
例如，我们可以利用三角恒等变换求解各类三角形的边长和角度，以及解决三角形的面积和周长等问题。
2. 物理学中的应用三角恒等变换在物理学中也有重要的应用。
例如，在机械波的传播和振动问题中，三角恒等变换可以用于描述波函数和振动函数之间的关系。
江苏省淮安中学高三数学教案《第25课 三角函数恒等变换(1)》基础教案
第 25课 三角函数恒等变换（1）教学目标：教学方法：教学过程：一． 课前预习题1．已知(,2)αππ∈= 。
2．已知tan 3α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值为 。
3．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()2πα+= 。
4．已知1cos()43x π+=，则cos 2cos()4x x π-的值为 。
5．若(cos )cos 2f x x =，则(sin 75)f ︒= 。
6．已知α是三角形的一个内角，若1sin cos 5αα+=，则tan α= 。
7．若131sin ,cos 11a a a aθθ--==++，且θ为第二象限角，则tan θ= 。
8．若sin tan 0,αα<+= 。
二．典型例题例题1 化简：00cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα︒++︒----。
例题2 求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα∙+=-∙例题3 已知：tan()2,πα-+=求下列各式的值：1）sin 3cos 3sin cos αααα+- 2）222sin sin cos 3cos αααα+-例题4 已知：1sin()cos(8)8παπα---=，(,),42ππα∈求sin α与cos α的值。
（选做）例题5 化简：2222sin 810tan 765()tan11252cos360a b a b ab ︒+︒+-︒-︒= 。
三．课堂小结四．板书设计五．教后感班级_________________ 姓名___________________ 学号____________六．课外作业：1．sin 570︒的值 ▲ 2．若7sin cos (0)13x x x π+=<<，则tan x = ▲ 3．已知2sin cos x x =-，则2212sin cos sin cos x x x x +-的值为 ▲ 4．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-= ▲5．化简sin()cos[(1)]()sin[(1)]cos()k k k z k k παπαπαπα---∈+++的值为 ▲ 6．若1sin()2πα+=，则sin(2)cot()πααπ---= ▲ 7．设cos100,a ︒=则tan 80︒= ▲8．已知33(,),tan(7)224παπαπ∈-=-，则sin cos αα+= ▲ 填空题答案1．_________________；2．___________________；3．___________________；4．_________________；5．___________________；6．___________________；7．_________________；8．___________________；9．已知1sin cos 2θθ-=，求： （1）sin cos θθ （2）33sin cos θθ- （3）44sin cos θθ+10．（1）已知11,tan 1α=-求221sin sin cos cos αααα++的值。
高中数学备课教案三角恒等变换的基本性质
高中数学备课教案三角恒等变换的基本性质高中数学备课教案三角恒等变换的基本性质一、引言三角函数在数学中起着重要的作用，而三角恒等变换是解决三角函数方程的关键工具之一。
本教案将介绍三角恒等变换的基本性质，包括正弦、余弦、正切的基本相等关系、偶数与奇数性质、周期性质以及其他相关性质。
二、基本相等关系1. 正弦性质在单位圆上，对于任意角度θ，都有sin(θ) = sin(180° - θ)。
这意味着正弦函数在180°周期内呈现对称性，即sinθ = sin(180° + θ)。
这一性质在解三角方程时常常发挥重要作用。
2. 余弦性质与正弦类似，对于任意角度θ，都有cos(θ) = cos(-θ)。
这表明余弦函数是偶函数，即cosθ = cos(-θ)。
3. 正切性质在单位圆上，对于任意角度θ，都有tan(θ) = tan(180° + θ)。
这意味着正切函数是周期函数，其周期为180°。
三、偶数与奇数性质1. 正弦与余弦对于任意角度θ，有sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ。
这表明正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
2. 正切对于任意角度θ，有tan(-θ) = -tanθ。
这意味着正切函数是奇函数。
四、周期性质1. 正弦与余弦正弦函数与余弦函数都是周期函数，其最小正周期为360°（或2π）。
即sin(θ + 360°) = sinθ，cos(θ + 360°) = cosθ。
2. 正切正切函数的最小正周期为180°（或π）。
即tan(θ + 180°) = tanθ。
五、其他相关性质1. 三角恒等式三角恒等式是三角恒等变换的重要应用。
其中最常用的三角恒等式有：- 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 正切定理：tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanA tanB)2. 三角恒等变换的证明三角恒等变换的证明通常借助数学归纳法、几何推导、三角函数定义等方法展开。
高中数学备课教案三角恒等变换
高中数学备课教案三角恒等变换高中数学备课教案教案主题：三角恒等变换教案结构：I. 引言A. 背景介绍B. 目标设定II. 教学目标III. 教学内容A. 恒等变换基础知识1. 三角函数基本关系2. 三角函数的周期性3. 三角恒等变换的定义与概念B. 三角恒等变换的具体公式1. 和差公式2. 二倍角公式3. 半角公式4. 万能公式C. 恒等变换的应用1. 简化三角函数表达式2. 解三角方程3. 探索三角函数的性质IV. 教学步骤A. 概念讲解与例题演示1. 解释三角恒等变换的概念与意义2. 展示具体的恒等变换公式，并讲解其推导过程3. 示例演示，引导学生理解恒等变换的运用方法B. 练习与巩固1. 配置练习题，包含不同难度层次的题目，以提高学生的技能掌握程度2. 分组小组讨论互动，引导学生运用恒等变换解决实际问题3. 错题讲解，帮助学生理解错误原因，从而提高学习效果V. 课堂互动A. 探究性学习1. 引导学生自主发现恒等变换的规律与特点2. 鼓励学生提出问题并展开讨论，以培养其思辨能力与创造性思维B. 案例分析1. 提供典型案例，让学生运用所学知识解决实际问题2. 鼓励学生分享解题思路与方法，促进彼此之间的学习互助VI. 课堂总结A. 概述课堂内容重点与难点B. 强调掌握恒等变换的重要性与实际应用意义VII. 课后作业A. 恒等变换练习题B. 课堂案例分析题C. 阅读相关教材，扩展恒等变换的知识领域VIII. 教学反思与改进A. 回顾本节课的教学过程与效果B. 总结存在的问题与不足，提出改进建议教案说明：本教案旨在通过恒等变换的学习，帮助学生掌握三角函数在三角恒等变换中的运用方法。
通过教学目标的设定，学生能够理解三角恒等变换的基本概念和原理，并能够熟练应用各类恒等变换公式解题。
课堂互动环节通过探究性学习和案例分析，激发学生的学习主动性和思考能力，旨在提高学生解决实际问题的能力。
通过课后作业的设计，巩固学生对恒等变换的理解与应用，并引导学生进一步拓宽对恒等变换的学习和研究。
高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程
高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程一、教学目标：1. 掌握三角函数的基本概念和性质。
2. 理解三角恒等变换的概念和原理。
3. 学会利用三角恒等变换解三角方程。
4. 发展学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学准备：1. 教师准备：课件、讲义、教学示例、黑板、粉笔等。
2. 学生准备：教材、练习册、笔、计算器等。
三、教学过程：I. 三角函数的基本概念和性质1. 角度与弧度的转换，介绍角度制与弧度制的基本概念和相互之间的转换关系。
2. 三角函数的定义，包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的基本性质。
3. 三角函数的周期性，以及函数图像的特点和性质。
II. 三角恒等变换的概念和原理1. 三角恒等式的定义，讲解不同类型的恒等变换，如基本恒等式、倒数恒等式、和差恒等式等。
2. 推导三角恒等式的过程，使学生理解恒等变换的原理和方法。
3. 演示和练习一些典型的三角恒等变换，让学生熟悉各种变换的应用场景。
III. 解三角方程1. 引导学生分析三角方程的基本形式和解题方法。
2. 通过多个例题，教授解三角方程的一般思路和步骤。
3. 根据学生的实际情况，给予适当的练习，以巩固所学的解题方法。
四、教学总结与展望1. 对本节课所学的内容进行总结，强调重点和难点。
2. 鼓励学生进行课后复习和习题的解答。
3. 展望下节课的内容，做好过渡和铺垫。
五、作业布置1. 课后练习册相关习题。
2. 完成课堂上未完成的练习题。
3. 预习下节课的内容，做好必要的准备。
六、教学反思本节课教学内容设计合理，结合理论和实践相结合，使学生在理解三角函数和恒等变换的基础上，能够熟练应用于解三角方程的过程中。
通过课堂互动和练习，学生对数学知识的掌握有了明显的提高，解题能力得到了加强。
但是教学中也存在一些问题，比如教学时间的安排较紧张，对于部分学生来说可能需要更多的时间来理解和消化所学内容。
下次在讲解过程中，可以更多地引导学生进行讨论和思考，培养他们的自主学习能力。
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第25课 三角函数的恒等变形与求值（1）
一、教学目标
1．理解同角三角函数的基本关系式；
2．能正确运用这些公式进行化简、求值与证明．
二、基础知识回顾与梳理
1．已知)2
3,(,21sin ππαα∈-=，则=αcos ． 【教学建议】本题改编自课本习题，主要是复习基本关系式中的平方关系。
教学时，教师可让学生口答过程和结果。
结合本题，突出),2(ππ
α∈对结果的影响，强调基本关系式中平方关系开根号时正负号的判
定，这是本节的一个难点，掌握三角函数在各象限的符号，是解决这一难点的关键．
2．已知)2
3,(,512tan ππαα∈=，则=αcos ． 【教学建议】本题改编自课本例题，主要是复习基本关系式中的商数关系。
教学时，教师让学生口答过程和结果．注意突出αcos 正负号的判定．
3．已知),2(ππ
α∈，则1sin 1tan 2-α
α= ． 【教学建议】本题选自课本例题。
教学时，可要求学生运用基本关系式对式子进行化简，突出运用过程中的“同角”两字，并提醒学生注意以下两点：
（1）根号内化简成一个式子的平方后能否直接开根号，如果不能定正负必须要加绝对号；
（2）化简过程中如果既有正切，又有正余弦，应该怎样进行变形．
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害．
2、诊断练习点评
题1．若2
3,53
sin παπα<<-=，则=αtan ． 【分析与点评】（1）强调已知弦求切的一般方法和步骤：ααααααααtan cos sin tan cos sin 1cos sin 22−−−→−−−−−→−==+；
（2）运用平方关系求αcos 时，α的范围对结果的影响；
（3）如果没有条件23παπ<
<，结果发生怎样的变化？ 题2．1sin cos (tan )tan x x x x
+= ． 【分析与点评】式中既有弦又有切应该要化弦为切或者化切为弦；选用化切为弦后通分简单些．
题3：已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是 ．答案为： 1-.
【分析与点评】可直接将式子化成关于tan α的式子，关键是化弦为切．
题4．已知αsin 是方程06752
=--x x 的根，且α是第三象限的角，
则().2sin 2cos tan 23cos 23sin 2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαππα 【分析与点评】（1）αsin 是方程06752=--x x 的根，我们可以确定αsin 的值；
（2）利用诱导公式将原式进行化简，根据需要由αsin 求出tan α代入即可；
（3）符号的确定与函数名称的变化是学生易错点，应提醒学生加以重视．
3、要点归纳
（1）根据已知角的正弦、余弦、正切求出其余两个值（简称“知一求二”）时，要注意这个角所在象限，一
般涉及开方运算，要注意讨论角的范围。
如“基础知识梳理”中第1题，第2题，诊断练习第1题．
（2）注意公式的变形使用，弦切互化时目标的确定、同名同角在解题中的目标作用。
如“基础知识梳理”
中第3题，诊断练习第2题。
第3题，第4题．
（3）“1”的代换．如诊断练习第3题．
四、范例导析
例1、（1）化简：α
ααααααcos 1sin )tan (sin )sin (cos tan +++
-； （2）求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan αααααα++=-- 【教学处理】第（1）题可让学生板演，教师点评。
第（2）题可提问学生，先交流讨论，再教师板书．
【引导分析与精讲建议】
1、第（1）题中有弦有切，应弦切互化。
应确立化简的目标意识——同名、同角．
2、.第（2）题证明恒等式时要和学生讨论，引导学生利用掌握公式的特点，学会分析等号左右两边的结构，
选择适当的推理途径进行证明．
3、第（2）题分析时可提出以下问题：
问题1：等式左边是弦，右边是切，应该怎么办？（化切为弦，确保同名）
问题2：等号左边结合分母22
cos sin αα-的因式分解，分子12sin cos αα-如何处理？（1的代换）
【说明】第（2）题，在提出问题讨论交流后，可教师板书示范，也可让学生练习、板演后点评比较三种证法．
例2：（1）若tan 3α=，求22sin 3sin cos 4cos αααα-+的值； （2）已知sin 2cos 5,3sin 5cos αααα
-=-+求tan α的值． 【教学处理】指导学生分析条件和结论的区别，联系前面已讲的解题策略，独立思考，指名回答，教师点
评并板书解题过程．
【引导分析与精讲建议】
可提出以下问题与学生交流：
问题1、条件是正切值，所求的是正弦、余弦的式子，首先应做什么变形处理？
（弦切互化）
问题2、已知tan 3α=，可不可以求ααcos ,sin ？在求解过程中要注意什么？
（α范围的讨论）
问题3、对于（1），能不能化弦为切解决？（分子分母同除以αcos ）
【点评】一轮复习中，解题的各种基本方法都应该让学生自主尝试，不能过多强调“巧妙”．
【变式题】若3tan =α，求α
αααcos sin 3cos 4sin 22-的值．（59-） 例3 （1）已知,2cos sin =+αα求ααcos sin ⋅及αα44cos sin +的值；
（2）已知)0(5
1cos sin πααα<<=+，求αtan 的值． 【教学处理】要求学生独立思考第（1）问，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。
也可在学生解决αα44
cos sin +遇到困难时，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板
书。
第（2）题可提问学生，先交流讨论，再教师板书。
点评或板书时，要规范解体步骤尤其是求ααcos ,sin 或ααcos sin -时正负号的讨论．
【引导分析与精讲建议】
1．对于ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -⋅+这三个式子，已知其中一个式子的值可求其余两个式子
的值．
2．对于αα44cos sin +的变形处理，要引导学生联想222)cos (sin 1αα+=与αα44cos sin +的关系． 3．第（2）题由025
12cos sin <-
=⋅αα可以进一步缩小α的范围． 4．由ααcos sin ⋅求ααcos sin -时有开方运算，需讨论正负号．
5．联立ααααcos sin cos sin -+和的式子可求解αtan ．
6．由25
12cos sin -=⋅αα类比例2第（2）问可以得到αtan 的方程．
【变式题】已知sin cos αα+=sin cos αα-和tan α的值．
答案：sin cos αα-=0，tan α=1．
【备用题】已知1sin cos 8αα=，[,]42ππα∈，求sin cos αα+，sin cos αα-的值．
答案：sin cos αα+=，sin cos αα-=． 五、解题反思
1、三角函数恒等变形与求值的解题目标是同名同角．
2、掌握ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -⋅+的关系，可以知一求二，如果涉及开方运算，应注意角
的范围．特别是ααcos sin ⋅的正负。
如例3．
3、能够化弦为切的式子的特征以及“1”的代换在化弦为切时的作用。
如例2．
4、在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要明确化简的目的及所使用公式的允许取值范围。
这里要注意体会、运用转化思想，尽量将不同角化成同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数．
5、对公式要学会逆向应用、变式应用．例如由sin tan cos ααα
=可变形为tan cos sin ααα=．。