2000年MBA联考数学试题含答案 .doc
2000年10月全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学考试真题
2000年10月全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学试题一、问题求解：第1～15小题，每小题3分，共45分。
下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，上将所选项的字母涂黑。
只有一个选项符合试题要求。
请在答题卡．．．1.某单位有男职工420人,男职工人数是女职工人数的113倍,工龄20年以上者占全体职工人数的20%,工龄10~20年者是工龄10年以下者人数的一半,工龄在10年以下者人数是（）（A）250人（B）275人（C）392人（D）401人2.甲乙两机床4小时共生产某种零件360个,现在两台机床同时生产这种零件,在相同时间内,甲机床生产了1225个,乙机床生产了1025个,甲机床每小时生产零件（）（A）49个（B）50个（C）51个（D）52个3.车间工会为职工买来足球、排球和篮球共94个.按人数平均每3人一只足球,每4人一只排球,每5人一只篮球,该车间共有职工（）（A）110人（B）115人（C）120人（D）125人4.菜园里的白菜获得丰收,当收获38时,装满4筐还多24斤,其余部分收完后刚好又装满了8筐,菜园人共收了白菜( )（A）381斤（B）382斤（C）383斤（D）384斤5.已知aa,bb,cc是△AAAAAA的三条边长,并且aa=cc=1,若(bb−xx)2−4(aa−xx)(cc−xx)=0有相同实根,则△AAAAAA为（）（A）等边三角形（B）等腰三角形（C）直角三角形（D）钝角三角形6.已知等差数列{aa n}的公差不为0,但是第三、四、七项构成等比数列,则aa2+aa6aa3+aa7为( ) （A）35（B）23（C）34（D）457.已知−2xx2+5xx+cc≥0的解为−12≤xx≤3,则cc为（）（A）13（B）3 （C）−13（D）-38.三位教师分配到6个班级任教,若其中一人教一个班,一人教两个班,一人教三个班,则共有分配方法（）（A）720种（B）360种（C）120种（D）60种9.某剧院正在上演一部新歌剧,前座票价为50元,中座票价为35元,后座票价为20元,如果购到任何一种票是等可能的,现任意购买到2张票,则其值不超过70元的概率是（）（A）13（B）12（C）35（D）2310.11×2+12×3+13×4+⋯+199×100=（）（A）99100（B）100101（C）99101（D）9710011.一抛物线以yy轴为对称轴,且过点（-1,12）及原点,一直线ll过点（1,52）和点（0,32）则直线ll被抛物线截得的线段的长度为（）（A）4√2（B）3√2（C）4√3（D）3√312.某人将5个环一一投向一木桩,直到有一个套中为止,若每次套中的概率为0.1,则至少剩下一个环未投的概率为（）（A）1−0.94（B）1−0.93（C）1−0.95（D）1−0.1×0.941-5 CACDA 6-10 ABBDA 11-12 AA。
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
x y2
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1 x2
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f1
1 y2
f2 ' xyf11
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1 x2
g
y x3
g .
„„5 分
五、(本题满分 6 分)
计算曲线积分 I
L
xdy ydx 4x2 y2
,其中
L
是以点(1,0)为中心,R
三、(本题满分 5 分)
1
求
lim(
x0
2
ex
4
sin x
x) .
1 ex
1
4
3
解：因
lim
x0
(
2
ex
4
sin x
2e
) lim (
x
x0
x e
4
x
sin x) 1 x
，
1 ex
e x 1
1
1
2 ex
lim (
x0
4
sin x) x
2 ex
lim (
x0
4
sin x) 2 1 1， x
(5) 设二维随机变量 X ,Y 服从二维正态分布,则随机变量 X Y 与 X Y 不相关
的充分必要条件为
(B)
(A) E(X)=E(Y)
(B) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
(C) E X 2 E Y 2
(D) E X 2 E X 2 E Y 2 E Y 2
为半径的圆周(R>1).取逆时
2000考研数二真题及解析
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上) (1) 30arctan lim.ln(12)x x xx →-=+(2) 设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==(3)2.+∞=⎰(4) 曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为.(5) 设1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,E 为4阶单位矩阵,且1()()B E A E A -=+-则 1()E B -+=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续,且lim ()0,x f x →-∞=则常数,a b 满足 ( ) (A)0,0.a b << (B)0,0.a b >> (C)0,0.a b ≤> (D)0,0.a b ≥<(2) 设函数()f x 满足关系式2()[()]f x f x x '''+=,且(0)0f '=,则 ( )(A)(0)f 是()f x 的极大值. (B)(0)f 是()f x 的极小值.(C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点.(D)(0)f 不是()f x 的极值,点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点.(3 ) 设(),()f x g x 是大于零的可导函数,且'()()()'()0,f x g x f x g x -<则当a x b << 时,有 ( )(A)()()()()f x g b f b g x > (B) ()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b >(D) ()()()()f x g x f a g a >(4) 若30sin 6()lim 0x x xf x x →+⎛⎫=⎪⎝⎭,则206()lim x f x x →+为 ( ) (A)0. (B)6. (C)36. (D)∞.(5) 具有特解123,2,3x x xy e y xe y e --===的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( )(A)0.y y y y ''''''--+= (B)0.y y y y ''''''+--= (C)61160.y y y y ''''''-+-= (D)220.y y y y ''''''--+=三、(本题满分5分)设ln(1)(ln )x f x x+=,计算()f x dx ⎰. 四、(本题满分5分)设xoy 平面上有正方形{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0)l x y t t +=≥.若()S t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积,试求0(),(0)xS t dt x ≥⎰.五、(本题满分5分)求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数(0)(3)nf n ≥.六、(本题满分6分)设函数0()|cos |xS x t dt =⎰,(1)当n 为正整数,且(1)n x n ππ≤≤+时,证明2()2(1)n S x n ≤<+； (2)求()limx S x x→+∞.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0mV.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内(注：设湖水中A 的浓度是均匀的) 八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续,且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,试证明：在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ,使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分7分)已知()f x 是周期为5的连续函数,它在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小,且()f x 在1x =处可导,求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、(本题满分8分)函数()f x 在[0,)+∞上可导,(0)1f =且满足等式01()()()0,1xf x f x f t dt x '+-=+⎰ (1)求导数()f x '；(2)证明：当0x ≥时,成立不等式()1xe f x -≤≤成立十二、(本题满分6分)设11012,,0,,2180T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中T β是β的转置,求解方程22442B A x A x B x γ=++十三、(本题满7分)已知向量组12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭与向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭具有相同的秩,且3β可由123,,ααα线性表出,求,a b 的值.2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】16-【详解】()()()33ln 1222232322000011arctan arctan 11limlim lim lim 266ln 1261x x x x x x x x x x x x x x xx x +→→→→----+====-++洛(2)设函数()y y x =由方程2xyx y =+所确定,则0.x dy==【答案】(ln 21)dx - 【详解】 方法1：对方程2xyx y =+两边求微分,有2ln 2().xy xdy ydx dx dy ⋅+=+由所给方程知,当0x =时1y =. 将0x =,1y =代入上式,有ln 2dx dx dy ⋅=+. 所以,0(ln 21)x dy dx ==-.方法2：两边对x 求导数,视y 为该方程确定的函数,有2ln 2()1.xy xy y y ''⋅+=+当0x =时1y =,以此代入,得ln 21y '=-,所以0(ln 21)x dy dx ==-. (3)【答案】3π【详解】由于被积函数在2x =处没有定义,则该积分为广义积分.对于广义积分,可以先按照不定积分计算,再对其求极限即可.作积分变量替换,2,22,t x t dx tdt =-==02202122arctan .(9)33323t t dt t t ππ+∞+∞+∞==⋅=⋅=+⎰⎰(4)【答案】21y x =+【公式】y kx b =+为()y f x =的斜渐近线的计算公式：()()lim,lim [()]x x x x x x yk b f x kx x →∞→∞→+∞→+∞→-∞→-∞==-【详解】11lim lim (2)2,x x x y k e x x→+∞→+∞==-=10122lim (2)lim[(21)2]lim()u uxx u x e b y x x e x u e x u+→+∞→→+∞-=-=--= - 令 002(1)2lim()1lim()211u u u uu u e u e e u e uu ++→→-=- - -=-= 所以,x →+∞方向有斜渐近线21y x =+. 当x →-∞时,类似地有斜渐近线21y x =+. 总之,曲线1(21)xy x e =-的斜渐近线方程为21y x =+.(5)【答案】1000120002300034⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦【详解】先求出1()E B -+然后带入数值,由于1()()B E A E A -=+-,所以11111()()()()()()()12()()22000100024001200104600230200680034E B E E A E A E A E A E A E A E A E A -----⎡⎤+=++-⎣⎦⎡⎤=++++-⎣⎦⎡⎤=+=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥ ==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦－１－１－１二、选择题 (1)【答案】D【详解】排除法：如果0a <,则在(,)-∞+∞内()f x 的分母bx a e +必有零点0x ,从而()f x 在0x x =处不连续,与题设不符.不选()A ,若0b >,则无论0a =还是0a ≠均有lim (),x f x →-∞=∞与题设lim ()0x f x →-∞=矛盾,不选()B 和()C .故选()D .(2)【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 出具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,那么：(1) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极大值；(2)当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极小值；【详解】令等式2()[()]f x f x x '''+=中0x =,得[]2(0)0(0)0f f '''=-=,无法利用判断极值的第二充分条件,故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在,所以左边也存在)：[]2()(())12()()f x x f x f x f x ''''''''=-=-以0x =代入,有(0)1f '''=,所以0()(0)()(0)limlim 10x x f x f f x f x x→→''''''-'''===-. 从而知,存在0x =去心邻域,在此去心邻域内,()f x ''与x 同号,于是推知在此去心邻域内当0x <时曲线()y f x =是凸的,在此去心临域内0x >时曲线()y f x =是凹的, 点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点,选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明,关键在于寻找待证的函数. 题设中已知'()()()'()0,f x g x f x g x -< 想到设函数为相除的形式()()f xg x . 【详解】设()()()f x F xg x =,则()2'()()()'()()0,()f x g x f x g x F x g x -'=< 则()F x 在a x b <<时单调递减,所以对a x b ∀<<,()()()F a F x F b >>,即()()()()()()f a f x f bg a g x g b >> 得 ()()()(),f x g b f b g x >a x b <<,()A 为正确选项.(4)【答案】()C【分析】本题有多种解法：(1)将含有()f x 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式,或反之；(2)利用极限与无穷小的关系,从已知极限中解出()f x 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. 【详解】方法1： 凑成已知极限2336()6()6sin 6sin 6()f x x xf x x x x xf x x x x ++-++==而 23222000012(6)6sin 666cos66(1cos6)2lim lim lim lim 3633x x x x x x x x x x x x x→→→→⋅---====洛 (由于211cos 2x x -⇒211cos(6)(6)2x x -)所以 2330006()6sin 6sin 6()lim lim lim 36036x x x f x x x x xf x x x x →→→+++=+=+=方法2：由极限与无穷小关系,由已知极限式解出3sin 6()x xf x a x+=,0lim 0x a →= 从而 3sin 6()x xf x ax +=⇒3sin 6()ax xf x x-=33223sin 666()6sin 6ax x f x ax x x x x x x-+++-== 所以 323300006()6sin 66sin 6lim lim lim lim x x x x f x ax x x x xa x x x→→→→++--==+极限的四则运算 2220012(6)66cos620lim lim 3x x x x x x→→⋅-=+=36= 方法3： 将sin 6x 在0x =处按佩亚诺余项泰勒公式展开至3x 项：3333(6)sin 66()636(),3!x x x x x x x οο=-+=-+于是 3333sin 6()6()36()x xf x x xf x x x x x ο++-+=3236()()36,f x x x x ο+=-+ 从而 32330006()sin 6()()limlim 36lim 036036.x x x f x x xf x x x x xο→→→++=+-=+-=(5)【答案】B【详解】由特解12,2x xy e y xe --==,对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道,21r =-为特征方程的二重根；由33xy e =可知11r =为特征方程的单根,因此特征方程为232(1)(1)10,r r r r r -+=+--=由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系,得该微分方程为0.y y y y ''''''--+=三【详解】方法1：为了求不定积分,首先需要写出()f x 的表达式.为此,令ln x t =,有tx e =ln(1)ln(1)()(ln )t tx e f t f x x e ++===()ln(1)ln(1)x x x x f x dx e e dx e de --=+=-+⎰⎰⎰ln(1)1xxxxxe e e e dx e--=-+++⎰ 分部积分 1ln(1)1x xxxxe e e e dx e -+-=-+++⎰ 拆项ln(1)(1)1ln(1)111ln(1)111ln(1)1(1)1ln(1)ln(1)xxxxx x xxx x xxx x xxx x x e e e dxe e e e dx dx e e e dx de e e e dx d e ee e x e C-----=-++-+=-++-+=-++-+=-++-++=-++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 方法2：作积分变量替换,命ln x t =,21ln(1)1()(ln )ln(1)t f x dx f t dt dt t d t t t +⎛⎫=⋅==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ln(1)1[](1)t dt t t t +=--+⎰ 分部积分 ln(1)11()1t dt t t t +=-+-+⎰ 部分分式求和 ln(1)11(1)1t dt d t t t t +=-+-++⎰⎰ln(1)ln ln(1)t t t C t+=-+--+ln(1)ln(1).x x x e e x e C -=-++-++四【详解】先写出面积()S t 的(分段)表达式,当01t <<时,图形为三角形,利用三角形的面积公式：21()2S t t =；当12t <<时,图形面积可由正方形面积减去小三角形面 积,其中由于x y t +=与1y =交点的纵坐标为1t -,于是, 小三角形的边长为：1(1)2t t --=-,所以222111()1(2)1(44)21222S t t t t t t =--=--+=-+-；当2t >时,图形面积就是正方形的面积：()1S t =, 则221, 01,21()1(2), 12,21, 2.t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪<⎪⎪⎩当01x ≤≤时,3320011();2236xxxt x S t dt t dt ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰当12x <≤时,1122010111()()()[1(2)]22xx x S t dt S t dt S t dt t dt t dt =+=+--⎰⎰⎰⎰⎰3321111(1)(2)66663x x x x x =+----=-+-+ 当2x >时,2022()()()11 1.xx xS t dt S t dt S t dt dt x =+=+=-⎰⎰⎰⎰因此 3320101611()126312x x x S t dt x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩⎰五【详解】方法1：按莱布尼茨高阶导数公式：()()1(1)()()()().n n n k n k k n n n uv u v C u v C u v uv --'=+++++为了求ln(1)x +的n 阶导数,设ln(1)y x =+,11y x'=+；()()221111y x x ''=-=-++；()()()33112211y x x ⋅'''=--⋅=++；()()(4)4412123311y x x ⋅⋅⋅=-=-++一般地,可得1()(1)(1)!(1)n n nn yx ---=+即 []1()(1)(1)!ln(1)(1)n n nn x x ---+=+设ln(1)u x =+,2v x =,利用上述公式对函数展开,由于对2x 求导,从三阶导数开始就为零,故展开式中只含有前三项.123()212(1)(1)!(1)(2)!(1)(1)!()2(1).(1)(1)(1)n n n n n n n n n n fx x nx n n x x x -----------=++-+++代入0x =,得：1()3(1)!(0)(1)(1)(3)!,3,4.2n n n n fn n n n n ---=---==-方法2：()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求(0)(3)nf n ≥可以通过先求()y f x =的的麦克劳林展开式,则展开式中nx 项的系数与!n 的乘积就是()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f.由麦克劳林公式,23212ln(1)(1)(),232n n n x x x x x x n ο---+=-+++-+- 所以 452231ln(1)(1)().232n n n x x x x x x x n ο--+=-+++-+- 对照麦克劳林公式()2(0)(0)(0)()(0)(),1!2!!n nn f f f f x f x x x x n ο'''=+++++从而推知()1(0)(1)!2n n f n n --=- 得 1()(1)!(0),3,4.2n n n f n n --==-六【详解】因为cos 0x ≥,且(1)n x n ππ≤<+, 所以(1)0cos cos cos .n x n x dx x dx x dx ππ+≤<⎰⎰⎰定积分的性质又因为cos x 具有周期π,所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等：cos cos a ax dx x dx ππ+=⎰⎰,从而20(1)cos cos cos cos n n n x dx x dx x dx x dx ππππππ-=+++⎰⎰⎰⎰202cos (cos cos )n x dx n xdx xdx ππππ==-⎰⎰⎰202(sin sin )(1(01))2n x x n n πππ=-=--= 所以(1)0cos 2(1).n xdx n π+=+⎰所以 02cos 2(1),x n xdx n ≤<+⎰即 2()2(1).n S x n ≤<+(2) 由(1)有,当(1)n x n ππ≤≤+时,2()2(1)(1)n S x n n x n ππ+<<+命n →∞取极限,222lim lim 1(1)(1)n n n n nπππ→∞→∞==++,12(1)2(1)2lim lim n n n n n πππ→∞→∞++== 由夹逼定理,得()2limx S x x π→∞=.七【详解】设从2000年初(相应0t =)开始,第t 年湖泊中污染物A 的总量为m ,浓度为mV,则在时间间隔[,]t t dt +内,排入湖泊中A 的量为：00()66m mV t dt dt dt V ⋅+-=,流出湖泊的水中A 的量为33m V mdt dt V ⋅=. 因而时间从t 到t dt +相应地湖泊中污染物A 的改变量为：0()63m mdm dt =-. 由分离变量法求解：0()63dm dt m m =-两边求积分：001100()6333ln()63()()6363m m d m dm m dt t C t C m m m m -=⇔-=+⇔--=+--⎰⎰⎰ 10013ln()63363t C m m t C m m e +-+⇔-=⇔-=-103336C tm m e e --⇔-=-+⋅110033333,(3)22C C t tm mm e e m C e C e ----⇔=-⋅⇔=-⋅=初始条件为0(0)5m m =,代入初始条件得092C m =-. 于是03(19)2tm m e -=+,要满足污染物A 的含量可降至0m 内,命0m m =,得6ln3t =. 即至多需经过6ln3年,湖泊中A 的含量降至0m 以内.八【证明】 方法1：令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰,有(0)0,F =由题设有()0F π=.又由题设()cos 0f x xdx π=⎰,用分部积分,有0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰()cos ()sin F x xF x xdx ππ=+⎰0()sin F x xdx π=⎰由积分中值定理知,存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈,sin 0ξ≠,所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理,推知存在1(0,)ξξ∈,2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==,即 12()0,()0f f ξξ== 方法2：由()0f x dx π=⎰及积分中值定理知,存在1(0,)ξπ∈,使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ,则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >,在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时,1cos cos x ξ>,1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时,1cos cos x ξ<,仍有1()(cos cos )0f x x ξ->,得到：00>. 矛盾,此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确,故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】为了求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程,首先需要求出()y f x =在6x =处的导数,即切线斜率. 而函数又是以周期为5的函数,且在1x =处可导,则在6x =处可导,且其导数值等于函数在1x =处的导数值.将(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+两边令0x →取极限,由f 的连续性得(1)3(1)lim(8())0x f f x x α→-=+= ⇒ 2(1)0f -=故(1)0f =,又由原设()f x 在1x =处可导,两边同除sin x ,000(1sin )(1)(1sin )(1)8()lim3lim lim limsin sin sin sin x x x x f x f f x f x x x x x xα→→→→+---+=+- 根据导数的定义,得008()(1)3(1)limlim 8sin sin x x x x x x f f x x x xα→→''+=⋅+⋅= ⇒ 4(1)8f '= 所以(1)2f '=,又因(6)(51)(1)f f f '''=+=,所以(6)2f '=,由点斜式,切线方程为((6))(6)(6).y f f x '-=-以(6)(1)0,(6)2f f f '===代入得2(6).y x =- 即 2120.x y --=十【详解】首先联立两式,求直线与曲线的交点：221x ax -=,得：x =,而0x ≥,则交点坐标为：(,))1a x y a =+. 由点斜式,故直线OA的方程为y =由旋转体体积公式2()b aV f x dx π=⎰,要求的体积就是用大体积减去小体积：()2222224000()1a x V dx ax dx a x dx a =-=-+232525223(1)515(1)a x a x a a a ππ⎛=-=+⎝+为了求V 的最大值,对函数关于a 求导,225522221515(1)(1)dV a a da a a ππ''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭53222552(1)(1)2215(1)a a a a a π⋅+-⋅+=⋅+ 322275255(1)[2(1)][2(1)]222215(1)15(1)a a a a a a a a a ππ++-+-=⋅=⋅++ 222277722251[22][2]22[4]22151515(1)(1)(1)a a a a a a a a a a πππ+---=⋅=⋅=⋅+++ 0a > 命0,dVda=得唯一驻点4a =,所以4a =也是V 的最大值点,最大体积为41875a V ==.十一【详解】(1) 为了求()f x ',将01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰两边同乘(1)x +,得 0(1)()(1)()()0,xx f x x f x f t dt '+++-=⎰两边对x 求导,得()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=即 (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=.上述方程为二阶可降阶微分方程,令()u f x '=,化为(1)(2)0x u x u '+++=,即(2)(1)du x dx u x +=-+ 两边求积分：(2)1(1)(1)1du x dx dx u x x +=-=-+++⎰⎰⎰即 1ln (ln(1))u x x C =-+++ 所以 11(ln(1))1()1x x C C x u ee e x --++-=±=±⋅⋅+ 令1C C e =±,则1xCe u x -=+,于是()1x Ce f x u x -'==+.再以0x =代入原方程001(0)(0)()(0)(0)01f f f t dt f f ''+-=+=⎰,由(0)1f =,有(0)1f '=-,于是1,()1xe Cf x x -'=-=-+. (2)方法1：用积分证.()(0)()1.1tx xe f x f f t dt dt t -'=+=-+⎰⎰而 0-000011t t xx x tt x e dt e dt e e t ->---≤≤=-=-+⎰⎰牛莱公式两边同乘以(1)-,得：101txxe e dt t ---≤-≤+⎰, 即 0()111txxe ef x dt t --≤=-≤+⎰方法2 ：用微分学方法证.因(0)1,()0f f x '=<,即()f x 单调递减,所以当0x ≥时()1f x ≤. 要证()xf x e-≥,可转化为证明()0xf x e--≥,令()()x x f x e ϕ-=-,则(0)110ϕ=-=,且()()()01xxe xf x ef x x ϕ--'''=+≥+=+ (0x ≥)所以,当0x ≥时()0x ϕ≥,即()xf x e -≥. 结合两个不等式,推知当0x ≥时,()1xef x -≤≤. 证毕.十二【详解】由题设得110121210210211102T A αβ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎡⎤ ⎪===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦,11102221T B βα⎛⎫⎡⎤ ⎪===⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭. 所以 ()22T T T A A αβαβααββ===,48AA =；24B =,216B =代入原方程22442B A x A x B x γ=++中,得16816Ax Ax x γ=++,即()82A E x γ-=其中E 是三阶单位矩阵,令[]123Tx x ,x ,x =,代入上式,得线性非齐次方程组1212123102201212x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩(1) 显然方程组得同解方程为12123201212x x x x x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ (2) 令自由未知量 1x k,=解得23122x k,x k ==- 故方程组通解为1231022011122x k x k k x k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,(k 为任意常数)十三【详解】方法1：先求()123,,,γααα将矩阵作初等行变换,得()123139139139206061201231701020000,,ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦知()1232,,.γααα= 故()()1231232,,,,γβββγααα==,[]123,,βββ作初等行变换[]1230110121031110030a b ,,a b βββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为()1232,,γβββ=,所以3a b =又3β可由123,,ααα线性表出,故()()12331232,,,,,γαααβγααα== 将[]1233,,,αααβ作初等行变换13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13912012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由()12332,,,γαααβ=,得()531203b b +-=,解得5b =,及315a b .== 方法2：由方法1中的初等变换结果可以看出12,αα线性无关,且31232ααα=+,故()1232,,γααα=,12,αα是123,,ααα的极大线性无关组. 又()()1231232,,,,γβββγααα==,123,,βββ线性相关. 从而得12301211310110100a ba b ,,,βββ===--计算三阶行列式得30a b -+=,得3a b =又3β可由123,,ααα线性表出 ,即可由12,αα线性表出,12,αα3β线性相关,有()123131313201061206120310010310003126b b b,,b b b b b ααβ==--=--=-+-行列式展开得()10631206b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,所以()531203b b +-=,得5b =及315a b .== 方法3：先利用3β可由123,,ααα线性表出,故方程组()123,,X αααβ=有解,即12313920613170x b x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦有解. 对其增广矩阵施行初等行变化13913920610612123170110203b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()13921012600053123bb b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦由其次线性方程组有解的条件(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩),知()53123b b +-51033b =-= 解得5b .=又因为1α和2α线性无关,且31232ααα=+,所以向量组123,,ααα的秩为2 ,由题设条件知()1232,,γβββ=,从而123001211310110100a b a b ,,,βββ===--解得15a =。
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
，其中
L 是以点
(1,0) 为中心，
R 为半径的圆周
(R
1)
取逆时针方向 . 【分析】 考查封闭曲线上第二类曲线积分。由于
R 1，故原点 (0,0) 包含在圆周 L 内，
而原点是被积函数的瑕点。 因此不满足格林公式条件， 须通过做一包含原点的闭曲线挖去原
点。在 L 所围域内做一有向闭曲线 C 挖去瑕点 (0,0) ，为了便于计算取 C : 4x2 y2 2 。
1, 2,
, m 线性无关
(A) 向量组 1, 2 , , m 可由向量组 1, 2, , m 线性表示
(B) 向量组 1, 2, , m 可由向量组 1, 2, , m 线性表示
(C)向量组 1, 2 , , m 与向量组 1, 2, , m 等价
(D) 矩阵 A ( 1, 2, , m ) 与矩阵 B ( 1, 2 , , m ) 等价
【分析】 考查线性表示、线性无关和等价的性质。
【详解】 (A) “充分非必要” 。向量组 1, 2 , , m 可由向量组 1, 2 , , m 线性表示，
则一定得到 1, 2, , m 线性无关（否则 1, 2 , , m 必线性相关了） 。但反之不真，如 1 (1 0 0 0 0)T ， 2 (0 1 0 0 0)T ； 1 (0 0 0 1 0)T ，
(D) f ( x) g(x) f ( a) g(a)
【分析】 本题既可以用单调性来推出结论，也可以利用定积分保号性定理得到结论。
【详解】 法一：由于 f ( x) g(x) f ( x)g ( x) 0 ，所以
( f ( x) ) g( x)
f ( x) g (x) g ( x) f ( x) g 2 (x)
2000-数学二真题、标准答案及解析
( n +1)π
cos x dx
0
0
又因为 cos x 是以 π 为周期的函数，在每一个周期上积分值相等
所以
nπ
π
∫0 cos x dx = n∫0 cos x dx = 2n
∫ ∫ (n+1)π cos x dx = (n +1) nπ cos x dx = 2(n +1)
0
0
因此当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
二、选择题
（1）设函数
f
(x)
=
a
x + ebx
在 (−∞, +∞)
内连续，且
lim
x→−∞
f
(x)
=
0 ，则常数 a,b
满足
（A） a < 0,b < 0
（B） a > 0,b > 0
（C） a ≤ 0,b > 0
（D） a ≥ 0,b < 0
【答】 应选（D）
【】
【详解】 由题设，f ( x) 在 (−∞, +∞) 内连续，因此对任意的 x ∈ (−∞, +∞) ，有，，这只需 a ≥ 0
0
（1） 当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
S ( x)
（2） 求 lim x x→+∞
【详解】
（1）当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，主义到被积函数是非负得，于是有
∫ ∫ nπ cos x dx ≤ S ( x) <
⎢ ⎣
g
2000考研数二真题及解析
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分15 分，把答案填在题中横线上)(1)lim arctan x x.x 0 ln(12x3 )(2)设函数 y y(x) 由方程2xy x y 所确定，则 dy x 0.(3)dx.2 ( x7)x21(4)曲线 y(2 x1)e x的斜渐近线方程为.1000(5)设 A2300，E为4阶单位矩阵，且 B(E A) 1(E A) 则04500067(E B)1.二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数 f (x)x在 (,) 内连续，且lim f (x)0, 则常数 a, b 满足() bx xa e(A) a0, b0.(B) a0, b0.(C) a0,b0.(D) a0, b0.(2)设函数 f (x)满足关系式 f(x)[ f ( x)] 2x ，且 f (0)0，则()(A) f (0) 是 f ( x) 的极大值.(B)f (0) 是 f ( x) 的极小值.(C)点(0, f (0))是曲线y f (x) 的拐点.(D) f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0)) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点.(3 ) 设f (x), g (x)是大于零的可导函数，且f'( x) g (x) f ( x) g '(x) 0, 则当 a x b 时，有 ()(A) f ( x) g(b) f (b) g(x)(B) f ( x)g (a) f (a) g( x)(C)f ( x) g (x) f (b)g (b)(D) f (x) g( x) f (a) g(a)sin 6x xf ( x)6 f ( x)(4) 若 limx 30 ，则 limx2为()x 0x 0(A)0.(B)6.(C)36.(D) .(5) 具有特解y 1e x , y 22xe x , y 3 3e x 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是( )(A) y yy y0.(B) y y y y 0.(C) y 6 y 11y 6 y0.(D) y2yy2 y0.三、 (本题满分5 分 )ln(1 x)，计算f ( x) dx .设 f (ln x)x四、 (本题满分5 分 )设 xoy 平面上有正方形 D (x, y) 0x 1,0 y1 及直线 l : x y t (t0) .若S(t) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求x0) . S(t) dt,( x五、 (本题满分5 分 )求函数 f ( x)x 2 ln(1 x) 在 x 0 处的 n 阶导数 f n (0)( n 3).六、 (本题满分6 分 )设函数 S( x)x| cost |dt ，(1)当 n 为正整数，且 n x(n1) 时，证明 2nS( x) 2(n1) ；(2)求 limS(x) .xx七、 (本题满分7 分 )某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为 V，流入湖泊内不含A 的6水量为 V，流出湖泊的水量为V，已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指63m 0标.为了治理污染， 从 2000 年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过 .问至多需要V经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m 0 以内 (注：设湖水中 A 的浓度是均匀的 )八、 (本题满分6 分 )设函数 f ( x) 在 0,上连续，且f ( x) dx 0, f (x)cos xdx0 ，试证明：在 (0, )内至少存在两个不同的点 1,2 ，使 f (1 )f (2 )0.九、 (本题满分 7 分 )已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x0 的某个邻域内满足关系式f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8x( x)其中 (x) 是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小， 且 f (x) 在 x1 处可导， 求曲线 y f ( x) 在点(6, f (6)) 处的切线方程 .十、 (本题满分 8 分 )设曲线 yax 2 (a 0, x 0) 与 y 1 x 2 交于点 A ，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 yax 2 围成一平面图形 .问 a 为何值时， 该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、 (本题满分 8 分 )函数 f ( x) 在 [0,) 上可导， f (0)1且满足等式f (x) f ( x)1x0,f (t )dtx 1 0(1)求导数 f ( x) ；(2)证明：当 x 0 时，成立不等式 e xf (x) 1成立十二、 (本题满分 6 分 )111设2 ,, 0 , A T, BT.其中T 是的转置，12 8求解方程 2B 2 A 2 x A 4 x B 4 x十三、 (本题满 7 分 )a b已知向量组 11 , 22 ,3 1 与向量组 111具有相同的秩，且3 可由1 ,2 ,3 线性表出，求 a, b 的值 .1392 , 20, 363172000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1) 【答案】1 6ln 1 2 x 32 x 3lim arctanxx 洛lim 1 11 x 2【详解】 limarctanx xx 2lim1x 0ln 1 2x3x 02x3x 06x2x 06x 21 x26(2) 设函数 y y( x) 由方程 2xy x y 所确定，则 dy x 0.【答案】 (ln 2 1)dx 【详解】方法 1：对方程2xyx y 两边求微分，有2xy ln 2 (xdy ydx) dx dy.由所给方程知，当 x 0 时 y 1. 将 x 0 ， y 1代入上式，有 ln 2 dx dx dy .所以， dyx 0(ln 2 1)dx .方法 2：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有2xy ln 2 (xyy) 1 y .当 x 0 时 y1，以此代入，得 yln 2 1 ，所以 dy x 0 (ln2 1)dx .(3) 【答案】3【详解】由于被积函数在x2 处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.作积分变量替换，令x 2 t, x 2t 2dx 2tdt,dx(t22tdt 2 1 arctan t22. 2( x 7) x 29)t 3 3 03 3(4) 【答案】 y 2x 1【公式】 ykx b 为 yf ( x) 的斜渐近线的计算公式： k limy,blim [ f ( x) kx]x xxx xxx1【详解】 klim y lim (21)e x2,xxxx1令1lim( 2eu2 e u )b lim ( y 2x) lim[(2 x 1)e x2 x] uxxxu 0ulim( 2(eu1) e u ) e u 1u lim(2ue u ) 2 11u 0uu 0u所以， x方向有斜渐近线y2x 1 . 当 x时，类似地有斜渐近线 y 2x 1.1总之，曲线 y(2 x 1)e x 的斜渐近线方程为 y 2x 1.1 0 0 0 120 0(5) 【答案】230 0 0 3 4【详解】先求出 ( EB) 1 然后带入数值，由于 B( E A) 1(EA) ，所以( E B) 1E ( E A) 1(EA) －１( EA) 1(E A) ( E A) 1(EA) －１2(E A)1－１ 1(E A)22 0 01 0 0 0 12 4 0 0 1 2 0 02 04 6 0 0 2 3 00 06 834二、选择题 (1) 【答案】 D 【详解】排除法：如果 a0，则在 ( ,) 内 f (x) 的分母 a e bx 必有零点 x 0 ，从而 f ( x) 在 x x 0 处不连续，与题设不符 .不选 ( A) ，若 b 0，则无论 a0 还是 a0 均有 limf (x ),与题x设 lim f (x)0 矛盾，不选 (B) 和 (C) 故选(D). x.(2) 【答案】 C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数f ( x) 在 x 0 出具有二阶导数且 f (x 0 ) 0 ，f ( x 0 ) 0 ，那么： (1) 当 f ( x 0 )0 时，函数 f (x) 在 x 0 处取得极大值；(2) 当f( x0 )0 时，函数 f ( x) 在x0处取得极小值；f ( x) [ f( x)] 2x 中x0 ，得f(0)02【详解】令等式 f (0)0 ，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数 (因为下式右边存在，所以左边也存在)：f ( x) ( x2f ( x) ) 1 2 f ( x) f ( x)以 x 0 代入，有 f(0) 1，所以f(0)lim f ( x) f (0)lim f ( x)1.x 0x0x 0x从而知，存在x0 去心邻域，在此去心邻域内，f( x) 与x同号，于是推知在此去心邻域内当 x0 时曲线 y f (x) 是凸的，在此去心临域内x0 时曲线 y f ( x) 是凹的，点 (0, f (0))是曲线 y f ( x) 的拐点，选(C).(3)【答案】 A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知f '(x) g( x) f (x)g '( x) 0,想到设函数为相除的形式f ( x).g ( x)【详解】f (x) f '(x) g( x) f ( x)g '(x)设 F (x)，则 F (x)20,g(x)g( x)则 F ( x) 在 a x b 时单调递减，所以对 a x b ， F (a) F ( x) F (b) ，即f (a) f ( x) f (b)g( a)g( x)g(b)得 f ( x)g(b) f (b) g( x), a x b ， ( A) 为正确选项.(4)【答案】 (C)【分析】本题有多种解法：(1)将含有 f (x) 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之； (2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出 f (x) 代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.【详解】方法 1：凑成已知极限6 f ( x) 6x xf ( x) 6x sin 6x sin 6x xf ( x)x 2x 3x 312而lim 6x sin 6x 洛 lim 6 6cos6x lim 6(1 cos6x) 2 2 (6x)36x 3 3x 2 3x 2 lim x2x 0x 0x 0x 0(由于 1 cos x1 x2 1 cos(6 x) 1 (6 x)2 )6f ( x)6x sin 6xsin 6x 2 xf ( x) 2所以lim36 0 36x 2limx 3lim x 3x 0x 0x 0方法 2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出sin 6x xf ( x)a ， lim a 03xx 0从而sin 6x xf (x)ax 3f ( x)ax 3 sin 6xx6f ( x)6ax 3 sin6 x3 6x sin 6 xxaxx 2x 2x 3所以lim 6f ( x)ax 3 6xsin 6x 极限的四则运算lim a6x sin 6xx 2limx 3limx 3x 0x 0xx 06 6cos6 x21(6x) 20 lim lim2363x2x 2x 0x方法 3： 将 sin 6x 在 x0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至x 3 项：sin 6x6x (6 x)33)6x 36x3( x 3),3!(x于是sin 6x xf ( x) 6xxf (x)36x 3( x 3 ) 6f ( x) 36 ( x 3 ) ,x 3x 3x 2x 3从而lim 6f ( x)sin 6x xf ( x) 36 lim (x 3) 036 036.x 2lim x 3 3x 0x 0x 0x(5) 【答案】 B 【详解】 由特解 y 1e x , y 2 2xe x ，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道， r 2 1 为特征方程的二重根； 由 y 3 3e x 可知 r 1 1 为特征方程的单根，因此特征方程为(r 1)(r 1)2 r 3 r 2 r 1 0,由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为y y y y 0.三【详解】方法 1：为了求不定积分，首先需要写出f (x) 的表达式 .为此，令 ln xt ，有 xe tf (t ) f (ln x)ln(1 x)ln(1 e t )xe tf ( x)dxe x ln(1 e x )dxln(1 e x )de xe xln(1 e x ) e x e xdx 分部积分1 e xe x ln(1 e x )1 e x e x dx拆项1 e xe x ln(1 e x )(1 e x )dx1 e x e x ln(1 e x )1dx1 e x dxe x e x ln(1 e x )1dx 1 1 x de xee x ln(1 e x )1dx 1 1 x d(e x 1)ee x ln(1 e x ) x ln(1 e x ) C方法 2：作积分变量替换，命 xln t ，f ( x)dxf (ln t)1dt ln(1 t) dtln(1 t )d1t t 2tln(1 t) 1dt ]分部积分[tt(1 t )ln(1 t)( 1 1 )dt部分分式求和tt1tln(1 t ) 1dt1 d(1 t )ln(1 t)ln t ln(1 t) Ctt1 tte x ln(1 e x ) x ln(1 e x ) C.四【详解】先写出面积S(t ) 的( 分段 ) 表达式，1S(t)Ox+y=t 1当 0 t 1 时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：S(t )1 t2 ；2当 1 t 2 时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面积，其中由于 x y t 与 y 1 交点的纵坐标为 t 1 ，于是，小三角形的边长为： 1 ( t 1)2 t ，所以S(t )1 1(2 t )21 1 (t2 4t4)1 t2 2t 1 ；222当 t2 时，图形面积就是正方形的面积： S( t) 1，则1 t2 , 0 t 1,2S(t ) 11(2 t) 2 ,1 t2,21, 2 t.x x 11 t 3 x当 0x 1时，2dtS(t )dtt 232当 1 x2时， x1 S(t )dtxS(t )dt0S(t)dt11( x 1) 1 ( x 2)366当 x2 xS(t )dt2x S(t )dt 1时，S(t)dt21 x 3x16x1 x 3 x2x1 1 x2 因此S(t)dt63x 1x2x 3 ; 61 1t 2dt x1 2) 2]dt2[1 (t 0121 x 3 x 2x1 66 3x 1dtx 1.2五【详解】方法 1：按莱布尼茨高阶导数公式：(uv)( n)u (n) v C n 1u (n 1) v C n k u ( n k) v ( k)uv (n ) .为了求 ln(1 x) 的 n 阶导数，设 y ln(1x) ，y1 ； 1 xy1212；1 x1xy21 1 2；1313x xy(4)1 2 1 2 3 3x414 1x一般地，可得y( n )( 1)n 1( n 1)!(1x) n即ln(1( n)(1)n 1( n1)! x)(1x)n设 u ln(1x) ， v x2，利用上述公式对函数展开，由于对x2求导，从三阶导数开始就为零，故展开式中只含有前三项f ( n) (x)x2 ( 1)n 1(n1)!(1x) n代入 x0 ，得：f ( n) (0)n( n 1)(1)n3 (n .2nx ( 1)n 2 (n 2)!n(n 1) ( 1)n3 (n1)! .(1 x) n 1(1x)n23)!( 1)n 1 n! , n 3,4 .n 2方法 2：y f (x) 带佩亚诺余项的麦克劳林公式：f ( x) f (0) f (0) x f (0)x2f ( n ) (0)n(x n) 2!xn!求 f n (0)( n3)可以通过先求 y f ( x) 的的麦克劳林展开式，则展开式中 x n项的系数与 n ! 的乘积就是y f ( x) 在点 x0处的n阶导数值f(n)(0).由麦克劳林公式，ln(1 x)x x2x3(n 1x n 2( xn 2), 231)n 2所以x2 ln(1x)x3x4x5(1)n 1 x n 2( x n ).23n 2对照麦克劳林公式f ( x) f (0)f(0)f(0)x2f (n ) (0)x n n), x2!n!(x1!从而推知f ( n) (0)( 1)n 1n!n 2得f( n)(0)(1)n 1 n! , n 3,4 .n 2六【详解】因为 cosx0 ，且 nx (n 1) ，n x (n 1)cosx dx.所以cosx dx0 cosx dx定积分的性质又因为 cosx 具有周期，所以在长度为的积分区间上的积分值均相等：acos x dx ，cos x dxa0 从而ncos x dx2cosx dxn cosx dx 0 cosx dx(n 1)ncosx dx n( 2 cos xdxcos xdx)2n(sin x 2 sin x )n(1 (01)) 2n2(n 1)所以cosxdx 2(n 1).2nx2( n1), 即2nS(x)2(n 1).所以cosxdx(2) 由 (1) 有，当 nx( n 1)2nS(x)2( n1)时，xn( n 1)命 n取极限，2n22 ， lim 2(n 1)2(1 1 ) 2limlimlim nn( n 1)n1nnn(1)n由夹逼定理，得lim S(x)2 .xx七【详解】设从 2000 年初 (相应 t0 )开始，第 t 年湖泊中污染物 A 的总量为 m ，浓度为m，V则在时间间隔 [ t,t dt ] 内，排入湖泊中 A 的量为：m 0V(t dtdt )m 0dt ，流出湖泊的水中 A 的量为m Vdtmdt .V6 6V33(mm) dt .因而时间从 t 到 tdt 相应地湖泊中污染物A 的改变量为： dm63由分离变量法求解：dmdt(mm )63两边求积分：dmd (mm )m 0mdt363tC 1t C 1m 0 mm 0 m3ln()63()()63 6 3m 0 m t C 1m 0 m tC 1 m m 0 t C 1ln(e3e3e36 )363 363m 0 C 1tm 0 t C 1m3e 3 e3mC e 3 , (C 3e 3 )229m 0 . 于是 mm 0t初始条件为m(0)5m ，代入初始条件得C(1 9e 3) ，要满22足污染物 A 的含量可降至 m 0 内，命 m m 0 ，得 t6ln 3 . 即至多需经过 6 ln 3年，湖泊中A 的含量降至 m 0 以内 .八【证明】方法 1：令 F (x)x f (t )dt,0 x，有 F (0)0,由题设有 F( )0 .又由题设f ( x)cos xdx 0 ，用分部积分，有f (x)cos xdxcos xdF( x)F ( x)cos x 0F ( x)sin xdxF (x)sin xdx由积分中值定理知，存在(0, )使F (x)sin xdxF ( )sin(0)因为(0, ) ， sin0 ，所以推知存在(0, ),使得 F() 0 . 再在区间[0, ] 与 [ , ] 上 对 F (x) 用 罗 尔 定 理 ， 推 知 存 在 1(0, ) ，2( , ) 使F(1) 0,F(2) 0，即f ( 1 ) 0, f ( 2 ) 0方法 2：由0 f (x)dx 0及积分中值定理知， 存在 1 (0, ) ，使 f ( 1)0 . 若在区间 (0, )内 f ( x) 仅有一个零点 1 ，则在区间 (0, 1)与 ( 1, ) 内 f ( x) 异号 . 不妨设在 (0, 1 ) 内f (x)0 ，在 ( 1 , ) 内 f ( x)0. 于是由f ( x) dx 0,f (x)cos xdx 0 ，有f (x)cos xdxf (x)cos 1dx0f ( x)(cos x cos 1 )dx1cos 1 )dxf ( x)(cos x cos 1) dx0 f (x)(cos x1当 0x1时 ，c o sx 1 ，f ( x)(cos x cos 1 ) 0； 当1x时 ，co scosxc o s 1 ，仍有 f (x)(cos x cos 1 )0 ，得到： 0 0 . 矛盾，此矛盾证明了f ( x)在 (0,) 仅有 1个零点的假设不正确，故在(0, ) 内 f ( x) 至少有 2个不同的零点 .九【详解】为了求曲线y f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程，首先需要求出 y f (x) 在x 6处的导数， 即切线斜率 . 而函数又是以周期为 5 的函数，且在 x 1 处可导，则在 x 6处可导，且其导数值等于函数在 x 1 处的导数值 .将 f (1sin x) 3 f (1 sin x)8x (x) 两边令 x0 取极限，由 f 的连续性得f (1)3f (1) lim(8 x( x)) 02 f (1) 0x故 f (1)0 ，又由原设 f (x) 在 x 1处可导，两边同除 sin x ，lim f (1 sin x)f (1)3lim f (1sin x) f (1) lim 8xlim ( x)x 0sin xx 0sin x xsin x x 0 sin x 根据导数的定义，得f (1) 3 f (1) lim8xx lim (x) x 8 4 f (1)8xxsin x x 0 x sin x所以 f (1) 2 ，又因 f (6)f (5 1) f (1) ，所以 f (6) 2 ，由点斜式，切线方程为( y f (6))f (6)( x6).以 f (6)f (1) 0, f (6) 2 代入得 y 2( x 6). 即 2x y 12 0.十【详解】首先联立两式， 求直线与曲线的交点： 1 x 2ax 2，得： x1，而 x 0 ，1 a则交点坐标为：1 ,aOA 的方程为 yax ( x, y) () . 由点斜式，故直线.1 a 1 a1 a由旋转体体积公式 Vb 2( x)dx ，要求的体积就是用大体积减去小体积：fa1 Va 1 0211a2x2axa 1 ax 2 2a 1 2 x 4 )dxdxdx(a1 a1 a12 3 2 x5 a 12a2a xa3(1 a)5515(1a)2为了求 V 的最大值，对函数关于a 求导，5 a 2 53dV 2 2 2 2 2 2a (1 a)2(1 a)2aa2da5 155 15(1 a) 515(1a) 2(1 a)235 a 2 ]5 a 2 ]2 (1 a)2[2 a(1 a)2 [2 a(1 a) 2215(1 a)515 7(1a)225 21 2a 2 ]2 [2 a 2a2 a ]2 [2a2 a ][4 a a157 15 7157(1 a)2(1a) 2(1 a)2命 dV 0,得唯一驻点 a4 ，所以 a 4也是 V 的最大值点，最大体积为 V a 432 5 .da1875十一 【详解】 (1) 为了求 f (x) ，将 f ( x) f ( x)1x0 两边同乘 ( x 1) ，得x f (t) dt1 0( x 1) f ( x) ( x 1) f ( x)xf (t )dt 0,两边对 x 求导，得f ( x) ( x 1) f ( x)f ( x) ( x 1) f ( x) f ( x)即( x 1) f (x) ( x 2) f ( x) 0 .上述方程为二阶可降阶微分方程，令uf ( x) ，化为 ( x 1)u ( x 2)u0 ，即du ( x 2)u( x 1)dx两边求积分：du ( x 2) dx (11 )dxu( x 1)x 1即 ln u( x ln( x 1)) C 1所以ue (x ln( x 1) C 1)(ex1e C1)x 1令 CC 1，则 uCe x ，于是 f( x) uCe xex 1 x.1再以 x 0 代入原方程 f(0) f (0)1 0f (t) dtf (0) f (0)0 ，由 f (0) 1 ，有1f (0)1，于是 C1, f ( x)e xx .1(2)方法 1：用积分证 .f ( x)f (0)xf (t )dt1 x e ttdt.1xe ttxt牛 -莱公式t xx而dtdteee10 t1两边同乘以 ( 1) ，得：ex 1 x e tdt 0，t1即ex f ( x)1xe t10 tdt1方法 2 ：用微分学方法证 .因 f (0) 1, f ( x) 0 ，即 f ( x) 单调递减，所以当 x 0 时 f (x) 1.要 证 f ( x)e x ， 可 转 化 为 证 明f ( x) e x 0 ， 令 ( x )f ( x ) e x ， 则，且( x)f ( x) exf ( x)e x( x)(0)110x1所以，当 x0 时 (x) 0，即 f (x)e x .结合两个不等式，推知当x 0时， e xf (x) 1.证毕 .十二【 详解 】由题设得A111121T 2 121 0 ， BT 112 .0 212121 012所以A 2T TT2A ， A 4 8A ；B 24， B 216代入原方程 2B 2 A 2 xA 4 xB 4 x中，得16 Ax 8Ax 16 x，即8 A2E x其中 E 是三阶单位矩阵，令 xTx 1 ,x 2 ,x 3 ，代入上式，得线性非齐次方程组x 1 1x 2 0 22x 1 x 2 0(1)x 11x 2 2x 3 12显然方程组得同解方程为2x 1 x 2 0x 1 1x 2 2x 3 1(2)2令自由未知量x 1 k, 解得 x 2 2k,x 3k1 2故方程组通解为x 1 k 1 0 x 22k k 2 0 ， ( k 为任意常数 )x 3k1 1122十三【 详解 】方法 1：先求1 ,2 ,3, 将矩阵作初等行变换，得1 3 9 1 3 9 1 3 91,2,32 0 66 12 0 1 23170 10200 0知1,2,3 2.故 1,2,31,2,32， 1,2,3作初等行变换0 a b 1 1 0 1,2,31 2 10 3 11 1 0a 3b因为1, 2,32 ，所以 a3b又3 可由1 ,2 ,3 线性表出，故1 ,2 ,3 ,3 1,2,32将 1, 2, 3, 3 作初等行变换1 3 9 b 1 3 9b 20 61 06121 2b3 1 71 10 203b1 3 9b12b0 1 260 03b 5 1 2b3由1,2,3,3，得3b51 2b 0，解得 b5 ，及 a 3b15.23方法 2：由方法 1 中的初等变换结果可以看出1,2 线性无关，且33 122，故1,2,32 ，1 ,2是1, 2 , 3的极大线性无关组. 又1, 2,31 ,2 ,32 ，1 ,2 ,3 线性相关 . 从而得a b 0 a b 1,2,31 2 1 1 310,1 1 01 0 0计算三阶行列式得a 3b 0 ，得 a 3b又 3 可由1 ,2 , 3线性表出，即可由1 ,2 线性表出，1 ,23 线性相关，有1 3 b 1 3 b 1 3 b1,2,320 16 1 2b 0 61 2b3 1 00 103b0 3b 10 12b6行列式展开得6 3b10 1 2b 0 ，65 1 2b0 ，得 b 5 及 a 3b 15.所以 3b3方法 3：先利用 3 可由 1, 2 , 3 线性表出，故方程组1, 2 , 3 X有解，即1 3 9 x 1 b 26x 21 3 17 x 3有解 . 对其增广矩阵施行初等行变化1 3 9 b 1 3 9b 20 61 06121 2b3 1 71 10 203b1 3 9b2b10 1 260 51 2b3b3由其次线性方程组有解的条件 (系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，知3b 5 12b5 1 b 0解得 b 5. 33 3又因为1和2线性无关，且33 122 ，所以向量组1 ,2 ,3的秩为 2 ，0 a b 0 a b 由题设条件知1 ,2 ,32 ，从而1 ,2 ,31 2 1 1 3 1 0,1 11 0 0解得 a 15。
MBA联考数学真题及解析
M B A联考数学真题及解析Prepared on 21 November 2021一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1.电影开演时观众中女士与男士人数之比为5:4，开演后无观众入场，放映一小时后，女士的20%，男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为（A ）4:5 (B)1:1 (C)5:4 (D)20:17 (E)85:64答案：D解析：设电影开始时，女为a 人，男为b 人，有已知条件，a=5x ，b=4x ， 从而5x ×0.84x ×0.85=43.4=20172.某商品的成本为240元,若按该商品标价的8折出售,利润率是15%,则该商品的标价为(A)276元 (B)331元 (C)345元 (D)360元 (E)400元答案：C解析：设标价为a 元，则售价为0.8a ，由已知0.8x −240240=0.15解得a=345(元)3.三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数（素数），且依次相差6岁，他们的年龄之和为（A ）21 （B ）27 （C ）33 （D ）39 （E ）51答案：C解析：设三个儿童的年龄依次为P1，P2，P3（P1<6），若P1=2，则P2=2+6，P3=8+6,不合题意.若P1=3，则P2=3+6，P3=9+6,不合题意.取P1=5，则P2=5+6=11，P3=11+6=17，即P1，P2，P3皆为质数，符合题意要求，则三个儿童年龄和为5+11+17=334.在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列，x+y+z=解析：由x ，54，32为等差数列，52,54,y 为等比数列及32，34，z 为等比数列， 得 54 - x=32 - 54，y=54×12 , z=34×12即 x=1 , y = 58 ， z=38 ，1+58+38=25.如图1，在直角三角形ABC 区域内部有座山，现计划从BC 边上的某点D 开凿一条隧道到点A ，要求隧道长度最短，已知AB 长为5km ，则所开凿的隧道AD 的长度约为（A ）4.12km (B)4.22km (C)4.42km (D)4.62km (E)4.92km解析：由已知BC=√52+122=13，从而12×5×12=12×AD ×13解得:AD=6013≈4.626.某商店举行店庆活动，顾客消费达到一定数量后，可以在4种赠品中随机选取2件不同的赠品，任意两位顾客所选的赠品中，恰有1件品种相同的概率是（A ） 1/6 （B ） 1/4 （C ）1/3 （D ）1/2 （E ）2/3答案：E解析：将4种赠品分别用1,2,3,4编号，任意2位顾客任选赠品的总可能性为x 42x 42=36（种） A1表示2位顾客所选赠品中恰有意见相同，且相同赠品为1号赠品，则A1包含的可能性为x 32x 21=6种，从而P(A1)=16. 以此类推，x x （i=2,3，4,）表示2位顾客所选赠品中恰有一件相同，且相同，且相同赠品为i 号赠品，则P(A2)=P(A3)=P(A4)= 16从而所求概率为4×16=237.多项式x3+ax2+bx-6的两个因式是x-1和x-2，则其第三个一次因式为 （Ａ）x-6 (B)x-3 (C)x+1 (D)x+2 (E)x+3答案：B解析：若x 3+a x 2+bx-6=(x-1)(x-2)(x-m),令x=0则有（-1）×（-2）×（-m ）= -6 即m=38.某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机登记证、汽车驾驶证得人数分别为130，110，90.又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证得人数为（A ）45 （B ）50 （C ）52 （D ）65 （E ）100答案：B解析：如图4所示，公司员工可被分为8部分，为书写方便，这里A 、B 、C 分别代表仅有本科毕业证，仅有计算机等级证，仅有汽车驾驶证人数，A+AB+AC+ABC=130B+AB+BC+ABC=110由已知条件：C+AC+BC+ABC=90A+B+C=140ABC=30前三个方程得A+B+C+3ABC+2(AB+AC+BC)=330从而 140+90+2（AB+AC+BC ）=330AB+AC+BC=50(人)9.甲商店销售某种商品，该商品的进价为每价90元，若每件定价为100元，则一天内能售出500件，在此基础上，定价每增加1元，一天便能少售出10出，甲商店欲获得最大利润，则该商品的定价应为（A ）115元 （B ）120元 （C ）125元 （D ）130元 （E ）135元解析:设定价为100+a （元），由已知条件，利润l=（100+a ）（500-10a ）-90（500-10a ）= -10x 2+400a+5000= - 10[(x −20)2-900]即当a=20时，利润最大.10.已知直线ax-by+3=0(a>0,b>0)过圆x2+4x+y2-2y+1=0的圆心，则a-b 的最大值为（A ）9/16 （B ）11/16 （C ） 3/4 （D ） 9/8 （E ）9/4答案：D解析：所给圆为(x +2)2+(x −1)2=22,由已知条件 -2a -b+3=0，即b=3-2a 因此ab=a （3-2a ）=-2x 2+3a=-2[(x −34)2- 916]即当a = 34 ,b = 3- 2a = 32 时，ab=98为其最大值.11.某大学派出5名志愿者到西部4所中学支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有（A ）240种 （B ）144种 （C ）120种 （D ）60种 （E ）24种答案：A解析：由题意知其中一所学校应分得2人，另外3所各一人.第一步，选一所学校准备分得2人，共有x 41种选法第二步，从5人中选2人到这所学校，共有x 52种选法第三步，安排剩下3人去3所学校，共有3种方式由乘法原理，不同分配方案为x 41x 52×3=240（种） 12.某装置的启动密码是由0到9中的3个不同数字组成，连续3次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由3个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为（A ）1/120 （B ）1/168 （C ） 1/240 （D ）1/720 （E ）3/1000 答案：C解析：设Ai （i=1,2,3,）表示第i 次输入正确，则所求概率P=P （x 1∪x 1̅̅̅̅x 2∪x 1̅̅̅̅ x̅̅̅2x 3） =P(x 1)+P(x 1̅̅̅̅x 2)+P(x̅̅̅1x ̅̅̅2x ̅̅̅3) =110×9×8 + 71910×9×8 × 1719+71910×9×8×718719×1718=3720=124013.某居民小区决定投资15万元修建停车位，据测算，修建一个室内车位的费用为5000元，修建一个室外车位的费用为1000元，考虑到实际因素，计划室外车位的数量不少于室内车位的2倍，也不多于室内车位的3倍，这笔投资最多可建车位的数量为（A ）78 （B ）74 （C ）72 （D ）70 （E ）66答案：B解析：设建室内停车位x 个，室外停车位y 个，由题意求满足{5000x +1000y ≤1500002x ≤y ≤3x的最大x+y 即7x ≤150,8x ≤150，则x 可能取值为19,20,21，取x=19，得y=55,19+55=74为满足题意的最多车位数.14.如图2，长方形ABCD 的两条边长分别为8m 和6m ，四边形OEFG 的面积是4m2,则阴影部分的面积为（A ）32m2 （B ）28 m2 （C ）24 m2 （D ）20 m2 （E ）16 m2 答案：B解析：白色区域面积为12BFCD + 12 FCAB -4=12xx BC −4=20,从而阴影面积为6×8−20=28（x 2）15.在一次竞猜活动中，设有5关，如果连续通过2关就算成功，小王通过每关的概率都是1/2，他闯关成功的概率为（A ）1/8 （B ） 1/4 （C ） 3/8 （D ）4/8 （E ）19/32答案：E解析：用Ai （i=1,2,3,4,5）表示第i 关闯关成功，则小王的过关成功率P (x 1x 2∪x 1̅̅̅̅x 2x 3∪x 1x 2̅̅̅̅x 3x 4∪x 1 ̅̅̅̅̅x 2̅̅̅̅x 3x 4∪x 1x 2 ̅̅̅̅̅̅x 3̅̅̅̅x 4x 5∪x 1̅̅̅̅x 2x 3̅̅̅̅x 4x 5∪x 1̅̅̅̅ x 2 ̅̅̅̅̅̅x 3̅̅̅̅x 4x 5)= 12 12 + 12 12 12 + 212 12 12 12+ 3 12 12 12 12 1 = 14 + 18 + 18 + 332= 1932在此处键入公式。
2000年全国硕士研究生统一考试数学一真题及答案解析
.
(2)验证
η1
4
1
,
η2
1
1
是
A
的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
1
(3)当
x1 y1
2 1 2
时,求
xn1 yn1
.
十二、(本题满分 8 分)
某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 p 1) ,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合 格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学期望 E( X ) 和方 差 D(X ) .
S
S1
(C) zdS 4 xdS
S
S1
(3)设级数 un 收敛,则必收敛的级数为 n1
(B) ydS 4 xdS
S
S1
(D) xyzdS 4 xyzdS
S
S1
(A) (1)n un
n1
n
(B) un2 n1
(C) (u2n1 u2n ) n1
(D) (un un1) n1
2000 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
(1) 1 2x x2 dx =_____________. 0
(2)曲面 x2 2 y2 3z2 21在点 (1, 2, 2) 的法线方程为_____________.
故正确选项为（B）。
三、(本题满分 6 分)
2
e
1 x
求
lxim0
1
e
4 x
sin x
x
.
【详解】因为
2
e
1 x
2000年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2000年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题．每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求。
把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
五、(本题满分5分)
六、(本题满分6分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分6分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分8分)
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十二、(本题满分6分)
十三、(本题满分7分)
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
4．
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5．
三、
四、
五、
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六、
七、
八、
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九、
十、
十一、
十二、
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十三、。
[实用参考]2000年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
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20GG年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题．每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出的四个选项中．只有一项符合题目要求。
把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分5分)
四、(本题满分5分)
五、(本题满分5分)
六、(本题满分6分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分6分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分8分) 十二、(本题满分6分)
十三、(本题满分7分)
参考答案
一、填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、选择题1．
2．
3．
4．
5．
三、
四、
五、六、
七、八、九、十、十一、
十二、
十三、。
MBA联考数学真题及解析
一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1.电影开演时观众中女士与男士人数之比为5:4，开演后无观众入场，放映一小时后，女士的20%，男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为（A ）4:5 (B)1:1 (C)5:4 (D)20:17 (E)85:64答案：D解析：设电影开始时，女为a 人，男为b 人，有已知条件，a=5x ，b=4x ，从而5x×0.84x×0.85=43.4=20172.某商品的成本为240元,若按该商品标价的8折出售,利润率是15%,则该商品的标价为(A)276元 (B)331元 (C)345元 (D)360元 (E)400元答案：C解析：设标价为a 元，则售价为0.8a ，由已知0.8a−240240=0.15解得a=345(元)3.三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数（素数），且依次相差6岁，他们的年龄之和为（A ）21 （B ）27 （C ）33 （D ）39 （E ）51答案：C解析：设三个儿童的年龄依次为P1，P2，P3（P1<6），若P1=2，则P2=2+6，P3=8+6,不合题意.若P1=3，则P2=3+6，P3=9+6,不合题意.取P1=5，则P2=5+6=11，P3=11+6=17，即P1，P2，P3皆为质数，符合题意要求，则三个儿童年龄和为5+11+17=334.在右边的表格中，每行为等差数列，每列为等比数列，x+y+z=答案：A解析：由x ，54，32为等差数列，52,54,y 为等比数列及32，34，z 为等比数列，得 54 - x=32 - 54，y=54×12 , z=34×12 即 x=1 , y = 58 ， z=38 ，1+58+38=25.如图1，在直角三角形ABC 区域内部有座山，现计划从BC 边上的某点D 开凿一条隧道到点A ，要求隧道长度最短，已知AB 长为5km ，则所开凿的隧道AD 的长度约为（A ）4.12km (B)4.22km (C)4.42km (D)4.62km (E)4.92km答案：D解析：由已知BC=√52+122=13，从而12×5×12=12×AD ×13解得:AD=6013≈4.62 6.某商店举行店庆活动，顾客消费达到一定数量后，可以在4种赠品中随机选取2件不同的赠品，任意两位顾客所选的赠品中，恰有1件品种相同的概率是（A ） 1/6 （B ） 1/4 （C ）1/3 （D ）1/2 （E ）2/3答案：E解析：将4种赠品分别用1,2,3,4编号，任意2位顾客任选赠品的总可能性为C 42C 42=36（种）A1表示2位顾客所选赠品中恰有意见相同，且相同赠品为1号赠品，则A1包含的可能性为C 32C 21=6种，从而P(A1)=16. 以此类推，A i （i=2,3，4,）表示2位顾客所选赠品中恰有一件相同，且相同，且相同赠品为i 号赠品，则P(A2)=P(A3)=P(A4)= 16 从而所求概率为4×16=23 7.多项式x3+ax2+bx -6的两个因式是x -1和x -2，则其第三个一次因式为（Ａ）x -6 (B)x -3 (C)x+1 (D)x+2 (E)x+3答案：B解析：若x 3+a x 2+bx -6=(x -1)(x -2)(x -m),令x=0则有（-1）×（-2）×（-m ）= -6 即m=38.某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机登记证、汽车驾驶证得人数分别为130，110，90.又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证得人数为（A ）45 （B ）50 （C ）52 （D ）65 （E ）100答案：B解析：如图4所示，公司员工可被分为8部分，为书写方便，这里A 、B 、C 分别代表仅有本科毕业证，仅有计算机等级证，仅有汽车驾驶证人数，A+AB+AC+ABC=130B+AB+BC+ABC=110由已知条件：C+AC+BC+ABC=90A+B+C=140ABC=30前三个方程得A+B+C+3ABC+2(AB+AC+BC)=330从而 140+90+2（AB+AC+BC ）=330AB+AC+BC=50(人)9.甲商店销售某种商品，该商品的进价为每价90元，若每件定价为100元，则一天内能售出500件，在此基础上，定价每增加1元，一天便能少售出10出，甲商店欲获得最大利润，则该商品的定价应为（A ）115元 （B ）120元 （C ）125元 （D ）130元 （E ）135元答案：B解析:设定价为100+a （元），由已知条件，利润l=（100+a ）（500-10a ）-90（500-10a ）= -10a 2+400a+5000= - 10[(a −20)2-900]即当a=20时，利润最大.10.已知直线ax -by+3=0(a>0,b>0)过圆x2+4x+y2-2y+1=0的圆心，则a -b 的最大值为答案：D解析：所给圆为(x +2)2+(y −1)2=22,由已知条件 -2a -b+3=0，即b=3-2a因此ab=a （3-2a ）=-2a 2+3a=-2[(a −34)2- 916]即当a = 34 ,b = 3- 2a = 32 时，ab=98为其最大值. 11.某大学派出5名志愿者到西部4所中学支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有（A ）240种 （B ）144种 （C ）120种 （D ）60种 （E ）24种答案：A解析：由题意知其中一所学校应分得2人，另外3所各一人.第一步，选一所学校准备分得2人，共有C 41种选法第二步，从5人中选2人到这所学校，共有C 52种选法第三步，安排剩下3人去3所学校，共有3种方式由乘法原理，不同分配方案为C 41C 52×3=240（种）12.某装置的启动密码是由0到9中的3个不同数字组成，连续3次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由3个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为（A ）1/120 （B ）1/168 （C ） 1/240 （D ）1/720 （E ）3/1000答案：C解析：设Ai （i=1,2,3,）表示第i 次输入正确，则所求概率P=P （A 1∪A 1̅̅̅A 2∪A 1̅̅̅ A 2A 3）=P(A 1)+P(A 1̅̅̅A 2)+P(A 1A 2A 3)=110×9×8 + 71910×9×8 × 1719+71910×9×8×718719×1718=3720=124013.某居民小区决定投资15万元修建停车位，据测算，修建一个室内车位的费用为5000元，修建一个室外车位的费用为1000元，考虑到实际因素，计划室外车位的数量不少于室内车位的2倍，也不多于室内车位的3倍，这笔投资最多可建车位的数量为（A ）78 （B ）74 （C ）72 （D ）70 （E ）66答案：B解析：设建室内停车位x 个，室外停车位y 个，由题意求满足{5000x +1000y ≤1500002x ≤y ≤3x的最大x+y 即7x ≤150,8x ≤150，则x 可能取值为19,20,21，取x=19，得y=55,19+55=74为满足题意的最多车位数.14.如图2，长方形ABCD 的两条边长分别为8m 和6m ，四边形OEFG 的面积是4m2,则阴影部分的面积为（A ）32m2 （B ）28 m2 （C ）24 m2 （D ）20 m2 （E ）16 m2答案：B解析：白色区域面积为12BF ?CD + 12 FC ?AB -4=12CD?BC −4=20,从而阴影面积为6×8−20=28（m 2）15.在一次竞猜活动中，设有5关，如果连续通过2关就算成功，小王通过每关的概率都是1/2，他闯关成功的概率为答案：E解析：用Ai （i=1,2,3,4,5）表示第i 关闯关成功，则小王的过关成功率P(A 1A 2∪A 1̅̅̅A 2A 3∪A 1A 2̅̅̅A 3A 4∪A 1 ̅̅̅̅A 2̅̅̅A 3A 4∪A 1A 2 ̅̅̅̅̅A 3̅̅̅A 4A 5∪A 1̅̅̅A 2A 3̅̅̅A 4A 5∪A 1̅̅̅ A 2 ̅̅̅̅̅A 3̅̅̅A 4A 5)= 12 ? 12 + 12 ? 12 ? 12 + 2 ?12 ? 12 ? 12 ? 12 + 3 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ?12 = 14 + 18 + 18 + 332= 1932在此处键入公式。
2000-数学二真题、标准答案及解析
【答】
因此对任意的 x ∈ ( −∞, +∞ ) ， 有， ， 这只需 a ≥ 0 【详解】 由题设，f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内连续，
飞
即可.
翔 考
应选（D）
研
梦
另外，由 lim f ( x ) = 0 知， lim a + e
x →−∞ x →−∞
(
bx
所以必有 b < 0 故正确答案为（D） （2）设函数 f ( x ) 满足关系式 f （A） f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值 （B） f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值
x →0
sin 6 x + xf ( x ) 6 + f ( x) = 0, 则 lim 为 3 0 x → x x2
（B）6 （C）36 （D） ∞ 【 】
（A）0 【答】 【详解】 应选（C） 方法一：
因为 sin 6 x = 6 x − 所以有
1 3 ( 6 x ) + o ( x3 ) 3!
x 0
【详解】
梦
飞
根据题设，有
1 2 ⎧ t ,0 ≤ t ≤1 ⎪ 2 ⎪ ⎪ 1 S ( t ) = ⎨− t 2 + 2t − 1,1 < t ≤ 2 ⎪ 2 1, t > 2 ⎪ ⎪ ⎩
翔 考
S ( t ) 表示正方形 D 位于直线 l 的左下方部分的面积，试求 ∫ S ( t )dt ( x ≥ 0 ) .
可见正确选项为（B）
【详解】设 ln x = t , 则 x = e ，于是
t
et
从而
e
x
= x − (1 + e x ) ln (1 + e x ) + C
2000-数学三真题、标准答案及解析
x→a
lim+
= − lim
x→a +
可见当 f '( a ) ≠ 0 时,
f ( x) 在点 x = a 处的左、右导数不相等,因此导数不存在.
故 f ( a ) = 0 且 f '( a ) ≠ 0 是 f ( x) 在点 x = a 处不可导的充分条件. （3）设 a1 , a2 , a3 是四元非齐次线形方程组 AX = b 的三个解向量，且秩 (A)=3, a1 = (1, 2,3, 4) , a2 + a3 = (0,1, 2,3) ,c 表示任意常数，则线形方程组
x
.
+∞ +∞ dx e x dx dt 1 t +∞ ex = t ∫ = = arctan 2 2− x 2 2 x ∫ 1 1 e +t e +e e e0 ex + (ex )
∫
+∞
1
1⎛π π ⎞ π = ⎜ − ⎟= e ⎝ 2 4 ⎠ 4e
（3）已知四阶矩阵 A 与 B 相似；矩阵为 A 的特征值
f ( x) = x 2 在点 x = 1 处， f (1) > 0 ， f ' (1) > 0 ，但 f ( x) = x 2 在点 x = 1 处可导，
排除（C） ； 同样， f ( x) = − x 在点 x = 1 处， f (1) < 0 ， f (1) < 0 ,但
2 '
f ( x) = x 2 ,在点 x = 1
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(B)存在但不一定为零 (D) 不一定存在 【 】
−x
, g ( x) = 1 + e
−x
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一二试题(word版)
2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题(1)0=⎰ . （2）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-的法线方程为 .（3）微分方程'''30xy y +=的通解为 . （4）已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解，则a = . (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1,9A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = .二、选择题（1）设()(),f x g x 是恒大于零得可导函数，且()()()()''0f x g x f x g x -<，则当a xb <<时，有（A ）()()()()f x g b f b g x > （B ）()()()()f x g a f a g x >（C ）()()()()f x g x f b g b > （D ）()()()()f x g x f a g a >（2）设()22221:0,S x y z az S ++=≥为S 在第一卦限中的部分，则有 （A ）14S S xdS xdS =⎰⎰⎰⎰ （B ）14S S ydS xdS =⎰⎰⎰⎰ （C ）14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰ （D ）14S S xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰ （3）设级数1n n u∞=∑收敛，则必收敛的级数为（A ）()11.n n n u n ∞=-∑ （B ）21n n u ∞=∑（C ）()2121.n n n uu ∞-=-∑ (D) ()11.n n n u u ∞+=+∑（4）设n 维列向量组()1,,m m n αα<线性无关，则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为 （A ） 向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示. （B ） 向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示. （C ） 向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价. （D ） 矩阵()1,,m A αα=与矩阵()1,,m B ββ=等价.（5）设二维随机变量(),X Y 服从二维正态分布，则随机变量X Y ξ=+与X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()().E X E Y =(B)()()()()2222.E X E X E Y E Y -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (C)()()22.E X E Y =(D)()()()()2222.E X E X E Y E Y +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 四、设,,x x z f xy g y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2.z x y ∂∂∂ 五、计算曲线积分22,4L xdy ydx I x y -=+⎰其中L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周()1R >，取逆时针方向.六、设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有()()20,x S xf x dydz xyf x dzdx ezdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且()0lim 1,x f x +→=求()f x . 七、求幂级数()1132n n n n x n∞=+-∑的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 八、设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比（比例常数0k >），求球体的重心位置.九、设函数()f x 在[]0,π上连续，且()()000,cos 0,f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证：在()0,π内至少存在两个不同的点12,ξξ，使()()120f f ξξ==.十、（本题满分6分）设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且113,ABA BA E --=+其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵.B十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ，记为向量n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1） 求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式：1111;n n n n x x A y y ++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 验证1241,11ηη-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3） 当111212x y ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01p p <<,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为,X 求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为()()22,,0, x e x f x x θθθθ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0θ>为未知参数，又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值.2000年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题一． 填空题（1）()30arctan lim ln 12x x x x →-=+ . （2）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，则0|x dy == . （3）2+∞=⎰ . （4）曲线()121x y x e =-的斜渐近线方程为 .（5）设10002300,04500067A E ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦为4阶单位矩阵，且()()1B E A E A -=+-,则()1B E -+＝ .二、选择题（1）设函数()bxx f x a e =+在(),-∞+∞内连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足 （A ） 0,0a b << （B ）0,0a b >>（C ）0,0a b ≤> （D ）0,0a b ≥<（2）设函数()f x 满足关系式()()2''',f x f x x ⎡⎤+=⎣⎦且()'00f =，则 （A ）()0f 是()f x 的极大值（B ）()0f 是()f x 的极小值（C ）点()()0,0f 是曲线()y f x =的拐点（D ）()0f 不是()f x 的极值，点()()0,0f 不是曲线()y f x =的拐点（3）设函数()(),f x g x 是大于零的可导函数，且()()()()''0,f x g x f x g x -<则当a x b <<时，有（A ）()()()()f x g b f b g x > （B ）()()()()f x g a f a g x >（C ）()()()()f x g x f b g b > （C ）()()()()f x g x f a g a >（4）若()30sin 6lim 0,x x xf x x →+=则()206lim x f x x→+为 （A ）0 （B ）6 （C ）36 （D ）∞（5）具有特解123,2,3x x x y e y xe y e --===的3阶常系数齐次微分方程是（A ）''''''0y y y y --+= （B ）''''''0y y y y +--=（C ）''''''61160y y y y -+-= （D ）''''''220y y y y --+=三、设()()ln 1ln ,x f x x+=计算().f x dx ⎰四、设xOy 平面上有正方形(){},|01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线():0l x y t t +=≥若()S t 表示正方形D 位于直线l 的左下方部分的面积，试求()()00.x S t dt x ≥⎰五、求函数()()2ln 1f x x x =+在0x =处的n 阶导数()()()03n f n ≥六、设函数()0cos ,xS x t dt =⎰ （1） 当n 为正整数，且()1n x n ππ≤<+时，证明()()221;n S x n ≤<+（2） 求()lim x S x x→+∞ 七、某湖泊的水量为,V 每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ，流入湖泊内不含A 的污水量为6V ，流出湖泊的水量为3V ，已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含A 污水的浓度不超过0.m V 问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量才可降至0m 以内？（注：设湖水中A 的浓度时均匀的）八、设函数()f x 在[]0,π上连续，且()()000,cos 0,f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证明：在()0,π内至少存在两个不同的点12,ξξ，使()()120.f f ξξ==九、已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式()()()1sin 31sin 8f x f x x a x +--=+其中()a x 是当0x →时比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程.十、设曲线()20,0y ax a x =>≥与21y x =-交于点,A 过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？十一、函数()f x 在[]0,+∞上可导，()01f =，且满足等式()()()'010.1x f x f x f t dt x +-=+⎰ （1） 求导数()'f x ；（2） 证明：当0x ≥时，不等式()1x e f x -≤≤成立.十二、设11012,,0,,2180T T A B B αβγαβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦,其中T β是β的转置，求解方程 22442.B A x A x B x γ=++十三、已知向量组12301,2,1110a b βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦与向量组1231392,0,6317ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值.。
mba数学真题及答案大全解析
mba数学真题及答案大全解析MBA数学真题及答案大全解析引言：在现代商业领域，数学扮演着至关重要的角色。
无论是市场分析、财务管理还是战略决策，数学都可以为企业提供精确的数据和方法，帮助他们做出明智的决策。
因此，对MBA学生来说，掌握数学是至关重要的。
在备考MBA入学考试时，数学部分是考生需要重点准备的内容之一。
本文将为大家提供MBA数学真题及答案的大全解析，帮助大家更好地备考。
第一部分：初级数学题目1. 如下列出的数字序列：2，4，6，8，10，12...，请问下一个数字是多少？答案：14。
这题是一个等差数列题目，每个数字是前一个数字加2，所以下一个数字是12+2=14。
解析：初级数学题目主要考察的是基本的数学计算能力和思维逻辑能力。
对于这类题目，考生需要灵活运用数学运算方法，有时还需要一些直觉和观察力。
第二部分：中级数学题目2. 甲、乙、丙三个人在一家公司中的工资比例分别为4:5:6，如果甲的工资是1000美元，那么乙的工资是多少？答案：乙的工资是1250美元。
由题目可知，甲、乙、丙的工资比例为4:5:6。
设乙的工资为x，那么有4/5=1000/x，求得x=1250。
解析：中级数学题目通常涉及到一些实际问题，需要考生根据题目提供的条件进行计算和分析。
这类题目主要考察考生的应用能力和解决实际问题的能力。
第三部分：高级数学题目3. 一家公司在上个季度的销售额为5000万美元，在这个季度增长了20%，请问这个季度的销售额是多少？答案：这个季度的销售额是6000万美元。
增长率为20%，即销售额增加了原来的20%，所以5000*0.2=1000，5000+1000=6000，所以这个季度的销售额是6000万美元。
解析：高级数学题目通常涉及到复杂的数学运算和推理，需要考生具备较强的数学基础和逻辑思维能力。
这类题目主要考察考生的分析能力和判断能力。
第四部分：综合数学题目4. 一家公司拟在下个季度的三个月内推出一款新产品。