张禾瑞近世代数基础答案
近世代数习题解答(张禾瑞)二章
近世代数习题解答
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 '
'
5,4来作群的定义:
'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立
'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1
-a 能让 e aa =-1
证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa
=-1
得e a a =-1
因为由'
4G 有元'
a 能使e a a =-'
1
所以))(()('
11
1
a a a a e a a ---=
e a a a e a a aa a ====----'
1'
1
'
1
1
][)]([ 即 e a a =-1
(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(1
1
即 a ea =
这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1
-=
b be b aa b a a ===--)()(1
1
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到'
'
5,4是不困难的.
2 单位元,逆元,消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2
,那么G 就是交换群.
证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111
近世代数习题解答(张禾瑞)三章
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近世代数习题解答(张禾瑞)三章
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近世代数习题解答
第三章环与域
1 加群、环的定义
1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.
证(ⅰ)若S是一个子群
则
是S的零元,即
对的零元,
即
(ⅱ)若
今证是子群
由对加法是闭的,适合结合律,
由,而且得
再证另一个充要条件:
若是子群,
反之
故
2. ,加法和乘法由以下两个表给定:
证明,作成一个环
证对加法和乘法的闭的.
对加法来说,由习题6,和阶是4的非循环群同构,且为交换群.
乘法适合结合律
事实上.
当或,的两端显然均为.
当或x=c,的两端显然均为.
这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.
两个分配律都成立
事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样,
只看或以及或就可以了.
至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看或 (可省略的情形)的情形,此时两端均为
剩下的情形就只有
R作成一个环.
2 交换律、单位元、零因子、整环
1. 证明二项式定理
在交换环中成立.
证用数学归纳法证明.
当时,显然成立.
假定时是成立的:
看的情形
(因为)
即二项式定理在交换环中成立.
2. 假定一个环对于加法来说作成一个循环群,证明是交换环. 证设是生成元
则的元可以写成
(整数)
近世代数习题解答张禾瑞二章
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第二章群论
1群论
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？
证不是一个群，因为不适合结合律.
2.举一个有两个元的群的例子.
证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群.
3.证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件
4,5'来作群的定义：
4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立
5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa e
A_1
证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e
因为由4 G有元a能使a'a =e
1 1 1 '
所以(a a)e = (a a)(a a )
即a a = e
(2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即
由ae = a 得ea = a
即ea = a
这样就得到群的第二定义.
(3)证ax二b可解
取x = a
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到4,5'是不困难的.
2单位元，逆元，消去律
1.若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群.
证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba .
2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.
_1 n —1 n n —1 —1
证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e
若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ • a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的
阶等于a °的阶
_4 _4 2
(2)a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾
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第二章群论
1群论
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？
证不是一个群，因为不适合结合律.
2.举一个有两个元的群的例子.
证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群.
3.证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件
4,5'来作群的定义：
4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立
5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa e
A_1
证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e 因为由4 G有元a能使a'a =e
1 1 1 '
所以(a a)e = (a a)(a a )
即a a = e
(2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即
由ae = a 得ea = a
即ea = a
这样就得到群的第二定义.
(3)证ax二b可解
取x = a
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到4,5'是不困难的.
2单位元，逆元，消去律
1.若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群.
证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba .
2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.
_1 n —1 n n —1 —1
证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e
若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ ? a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的
阶等于a °的阶
_4 _4 2
张禾瑞 近世代数基础(复习要点·定理)
定理
同态满射保持运算律（包括结合律、交换律）
P21
左右逆元的统一性
P33-34 左右逆元的唯一性
P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”）
群的两个定义的等价性
P33
群满足消去律（由逆元的存在性） P38
仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律
P39
群的几个分类标准：
1、 有限 / 无限 ——元素个数
2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律
3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元
P35
n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义）
a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ，
则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的
P37 群中幂形式的元的运算法则：
若规定：e a =0， n n a a )(1--=
则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)
(
（由结合律易得）
两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群
同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构
任何一个有限群 有一个置换群与之同构
任何一个无限循环群 与整数加群同构
任何一个有限循环群 与剩余类加群同构
子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68
子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数
群的阶： 群中元素的个数
对有限群G 而言：
G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶
（即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群）
子群充要条件： H ab H b a ∈⇒∈∀-1,
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)5
近世代数课后习题参考答案
第五章 扩域
1 扩域、素域
1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.
证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑
1)若 ∑
∈
b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈
)
,,(2,1m F b βββ ∈易
知
m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈-
但∑
⊂
),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑
∈
-a b
2)若,,∑
∈
b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈-
从而有∑
⊂
∈-),,,,,,(21211
m n F ab βββααα
２ 单扩域
１． 令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明a 是F 上的一个代数元，并且
F a F =)(
证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故
F a F ⊂)(易见F a F ⊃)(，从而F a F =)(
２．令F 是有理数域．复数i 和
1
1
2-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？ )(i F 与)11
2(
-+i i F 是否同构？ 证 易知复数i 在F 上的极小多项式为112,12
-++i i x
在F 上的极小多项式为252
+-x x
因)11
2()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的．
３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p
证 令ℜ是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集
合．
1) ℜ是)(x F 的一个理想
(ⅰ)若 ℜ∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f
近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-1
近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-1
近世代数课后习题参考答案
第一章基本概念
1 集合
1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下
当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B
A =
2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A,
这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = ,
2 映射
1.A =}{100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时
1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到
A 的映射.
2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象.
3 代数运算
1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是A
A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?
解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不
只一个.
2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解?
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第二章群论
1群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
''5,4来作群的定义:
'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立
'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1
证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1
得e a a =-1
因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'
1 所以))(()('
11
1
a a a a e a a ---=
e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([
即 e a a =-1
(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =
a ae a a a a aa ea ====--)()(11
即 a ea =
这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1
-=
b be b aa b a a ===--)()(11
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到'
'
5,4是不困难的.
2单位元,逆元,消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2
,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111
近世代数习题解答张禾瑞二章
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第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子.
证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 '
'
5,4来作群的定义:
'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立
'
5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1
-a 能让 e aa =-1
证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1
得e a a =-1
因为由'
4
G 有元'a 能使e a a =-'1
所以))(()('
11
1
a a a a e a a ---= 即 e a a =-1
(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = 即 a ea =
这样就得到群的第二定义. (3) 证
b ax =可解
取b a x 1
-=
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到'
'
5,4是不困难的.
2 单位元,逆元,消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x
=2
,那么G 就是交换群.
证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111
)(.
2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.
证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---11
1)
()(
若有n m 〈 使e a m
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第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 '
'5,4来作群的定义:
'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立
'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1
-a 能让 e aa =-1
证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1
得e a a =-1
因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'
1 所以))(()('
11
1
a a a a e a a ---=
e a a a e a a aa a ====----'
1'
1
'
1
1
][)]([
即 e a a =-1
(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(1
1
即 a ea =
这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1
-=
b be b aa b a a ===--)()(1
1
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到'
'
5,4是不困难的.
2 单位元,逆元,消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2
,那么G 就是交换群.
证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111
《高等代数,张禾瑞》习题2.1.1-2.1.3解答
《⾼等代数,张⽲瑞》习题2.1.1-2.1.3解答
2.1.1设f(x),g(x),h(x)是实数域上的多项式,证明,若
\begin{equation}\label{eq:1} f(x)^2=xg(x)^2+xh(x)^2, \end{equation}
那么f(x)=g(x)=h(x)=0.
证明:假若g(x)或h(x)是有次数的,则g(x)^2+h(x)^2的次数是偶数(为什么?注意,假若g,h是复数域上的,则g(x)^2+h(x)^2的次数可能不存在).因此xg(x)^2+xh(x)^2=x(g(x)^2+h(x)^2)的次数为奇数.但是f(x)^2的次数或者为偶数,或者不存在.⽭盾.因此g(x)和h(x)都⽆次数,即
g(x)=h(x)=0.因此f(x)也为0.
2.1.2 求⼀组满⾜\ref{eq:1}式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x),h(x).
解:令f(x)=0,g(x)=ix,h(x)=x.
2.1.3 证明
\begin{align*} &1-x+\frac{x(x-1)}{2!}-\cdots+(-1)^n \frac{x(x-1)\cdots(x-n+1)}{n!}\\&=(-1)^n \frac{(x-1)\cdots(x-n)}{n!}. \end{align*}
证明:考虑⽤归纳法.当n=1时,1-x=(-1)^1 \frac{x-1}{1!}.设当n=k时命题也成⽴,则
\begin{align*} &1-x+\frac{x(x-1)}{2!}-\cdots+(-1)^k \frac{x(x-1)\cdots(x-k+1)}{k!}\\&=(-1)^k \frac{(x-1)\cdots(x-k)}{k!}. \end{align*}