高一数学竞赛资料1
高中数学竞赛资料-数论部分 (1)
初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。
1． 请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。
(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)（2） ①设n Z ∈，证明2131n-是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3231122n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。
（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。
（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。
2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。
（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。
如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
高一数学竞赛重点知识点
高一数学竞赛重点知识点导语：数学竞赛在我国被视为培养学生逻辑思维和解决问题能力的有效方式之一。
对于高一的学生来说，参加数学竞赛不仅可以提升数学水平，还能培养思维灵活性和创新性问题解决能力。
本篇文章将介绍高一数学竞赛中的一些重点知识点，希望对广大参赛学生有所帮助。
1. 排列组合在高一数学竞赛中，排列组合是一个经常出现的题型。
它涉及到计算某些对象的不同排列或组合方式。
常见的排列组合题型包括排列、组合以及排列组合的应用。
在解题时，首先需要明确题目中所涉及的对象和要求的条件，然后按照排列组合的原理进行计算。
需要注意的是，排列和组合的计算公式和性质都需要熟记于心，并能够熟练运用。
2. 函数函数是高一数学竞赛中的另一个重要知识点。
函数的概念是数学中的基础，理解函数的性质和特点对于解题非常关键。
在解答函数相关的题目时，需要明确函数的定义域、值域、奇偶性等基本属性，并能够根据给定条件进行函数的构造和推导。
此外，对于函数的图像和性质也需要有一定的了解，以便进行函数的综合分析和求解。
3. 三角函数三角函数是高一数学竞赛中的难点之一。
几乎所有与三角函数相关的题目都会涉及到角度的变化和三角函数的基本关系。
解答这类题目需要熟悉常用角度的三角函数值以及三角函数之间的基本关系，如正弦、余弦、正切等。
在解题时，可以利用三角函数的周期性和性质进行推导和计算，需要通过大量的练习来巩固对三角函数的理解与应用。
4. 数列与数列极限数列与数列极限是数学竞赛中的常见题型，也是高一时数学重点考察的内容之一。
数列的概念和数列的收敛性是解题的核心，而数列的性质和数列运算也是解题的基础。
在解答数列相关的问题时，需要通过给定的条件构造数列，并利用极限的定义和定理进行计算和推导。
同时，数列的等差、等比、递推关系等也需要掌握，以便进行数列的综合分析和求解。
5. 解析几何解析几何是高一数学竞赛中的复杂而重要的知识点。
解析几何将代数和几何有机地结合起来，通过坐标系将几何图形与代数方程相联系。
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【最新整理，下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1、设集合Ａ＝{}43.21,,,a a a a ，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成集合{}8,5,3,1-=B ，则A ＝（ ）A ．{}6,2,1,3-B ．{}6,2,0,3-C ．{}6,2,1,1-D ．{}6,1,0,3- 2、等差数列{}n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则前n 项和S n 中最小的是（ ） A ．S 7或S 8 B ．S 12 C ．S 13 D ．S 15 3、已知函数x a x f 3sin)(π=，a等于抛一骰子得到的点数，则)(x f y =在[0，4]上至少有5个零点的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．654、若方程 04)1(2=++-x m x 在（0，3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．（3，310） B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310]5、已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O 1,Ｏ2，则△Ｏ2AB 的面积最大值为（ ） A ．32 B ．22 C ．3 D ．336、函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对于任意的x ∈（0，1]恒有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0且a ≠1 B ．a ≥21且a ≠1 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ＞17、已知0＜α2＜090＜β＜0180，a ＝βαcos )(sin ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8、已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（ ）A ．100B ．300C ．200D ．4009、设Ｐ为△AB Ｃ内一点，且ACAB AP 5152+=,则△ＰB Ｃ与△AB Ｃ的面积之比为（ ） A ．51 B ．53C ．54 D ．5210、若任意满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x 的实数x ，y ，不等式222)()(y x y x a +≤+恒成立，则实数a 的最大值为（ ） Ａ.1322 B.1325 C. 2 D.2513二、填空题（每小题5分，共25分）11、如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°, AD ⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝32，ＢＤ＝4，则BC 的长为 。
高一数学竞赛辅导讲义第讲
宜阳一高数学竞赛辅导讲座11.数学方法选讲同学们在阅读课外读物的时候;或在听老师讲课的时候;书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂;但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手..看来;要提高解决问题的能力;要能在竞赛中有所作为;首先得提高分析问题的能力;这就需要学习一些重要的数学思想方法..例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”;足够的“退”;退到最原始而又不失去重要性的地方;是学好数学的一个诀窍..从简单情况考虑;就是一种以退为进的一种解题策略..1. 两人坐在一张长方形桌子旁;相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币..条件是硬币一定要平放在桌子上;后放的硬币不能压在先放的硬币上;直到桌子上再也放不下一枚硬币为止..谁放入了最后一枚硬币谁获胜..问：先放的人有没有必定取胜的策略2．线段AB上有1998个点包括A;B两点;将点A染成红色;点B染成蓝色;其余各点染成红色或蓝色..这时;图中共有1997条互不重叠的线段..问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数为什么 +3．1000个学生坐成一圈;依次编号为1;2;3;…;1000..现在进行1;2报数：1号学生报1后立即离开;2号学生报2并留下;3号学生报1后立即离开;4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2;凡报1的学生立即离开;报2的学生留下;如此进行下去;直到最后还剩下一个人..问：这个学生的编号是几号例题解析1．分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币;那么先放的人当然能够取胜..然后设想桌面变大;注意到长方形有一个对称中心;先放者将第一枚硬币放在桌子的中心;继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上;这样进行下去;必然轮到先放者放最后一枚硬币..2．分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色;这时异色线段只有1条;是一个奇数..然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时;异色线段的条数随之有哪些变化..由于颜色的调整是任意的;因此与条件中染色的任意性就一致了..解：如果中间的1996个点全部染成红色;这时异色线段仅有1条;是一个奇数..将任意一个红点染成蓝色时;这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色;则异色小线段的条数或者增加2条相邻的两个点同为红色;或者减少2条相邻的两个点同为蓝色；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色;则异色小线段的条数不变..综上所述;改变任意个点的颜色;异色线段的条数的改变总是一个偶数;从而异色线段的条数是一个奇数..3．解：如果有2n个人;那么报完第1圈后;剩下的是2的倍数号；报完第2圈后;剩下的是22的倍数号……报完第n圈后;剩下的是2n的倍数号;此时;只剩下一人;是2n号..如果有2n＋d1≤d＜2n人;那么当有d人退出圈子后还剩下2n人..因为下一个该退出去的是2d＋1号;所以此时的第2d＋1号相当于2n人时的第1号;而2d号相当于2n人时的第2n号;所以最后剩下的是第2d号..由1000=29＋488知;最后剩下的学生的编号是488×2=976号..宜阳一高数学竞赛辅导讲座2二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑;对于数值问题来说;就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说;指的是线段的端点;三角形的顶点等等..极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件;求解也就会变得容易得多.. 5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门;他知道每把钥匙只能打开其中的一个门;但不知道哪一把钥匙开哪一个门;现在要打开所有关闭的20个门;他最多要开多少次6．有n名n≥3选手参加的一次乒乓球循环赛中;没有一个全胜的..问：是否能够找到三名选手A;B;C;使得A胜B;B胜C;C胜A7．nn≥3名乒乓球选手单打比赛若干场后;任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同..试证明;总可以从中去掉一名选手;而使余下的选手中;任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同..例题解析5. 解：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次;打开第二个房间需要19次……共计最多要开20＋19＋18＋…＋1=210次..6. 解：从极端情况观察入手;设B是胜的次数最多的一个选手;但因B没获全胜;故必有选手A胜B..在败给B的选手中;一定有一个胜A的选手C;否则;A胜的次数就比B多一次了;这与B是胜的次数最多的矛盾..所以;一定能够找到三名选手A;B;C;使得A胜B;B胜C;C胜A..7. 证明：如果去掉选手H;能使余下的选手中;任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同;那么我们称H为可去选手..我们的问题就是要证明存在可去选手..设A是已赛过对手最多的选手..若不存在可去选手;则A不是可去选手;故存在选手B和C;使当去掉A 时;与B赛过的选手和与C赛过的选手相同..从而B和C不可能赛过;并且B和C中一定有一个不妨设为B与A赛过;而另一个即C未与A赛过..又因C不是可去选手;故存在选手D;E;其中D和C赛过;而E和C未赛过..显然;D不是A;也不是B;因为D与C赛过;所以D也与B赛过..又因为B和D赛过;所以B也与E赛过;但E未与C赛过;因而选手E只能是选手A..于是;与A赛过的对手数就是与E赛过的对手数;他比与D赛过的对手数少1;这与假设A是已赛过对手最多的选手矛盾..故一定存在可去选手..宜阳一高数学竞赛辅导讲座3三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象;不纠缠于问题的各项具体的细节;从而能够拓宽思路;抓住主要矛盾;一举解决问题..9．右图是一个4×4的表格;每个方格中填入了数字0或1..按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0;0变成1..问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成110．有三堆石子;每堆分别有1998;998;98粒..现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子;或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中..按上述方式进行“操作”;能否把这三堆石子都取光如行;请设计一种取石子的方案；如不行;请说明理由..11．我们将若干个数x;y;z;…的最大值和最小值分别记为maxx;y;z;…和minx;y;z;…..已知a+b+c+d+e+f+g=1;求minmaxa+b+c;b+c+d;c+d+e;d+e+f;e+f+g例题解析9. 解：我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次“操作”之前;它等于9;是一个奇数;每一次“操作”;要改变一行或一列四个方格的奇偶性;显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变..但当每一格中所有数字都变成1时;整个16格中所有数的和是16;为一偶数..故不能通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1..10. 解：要把三堆石子都取光是不可能的..按“操作”规则;每次拿掉的石子数的总和是3的倍数;即不改变石子总数被 3除时的余数..而1998+998+98=3094;被3除余1;三堆石子被取光时总和被3除余0..所以;三堆石子都被取光是办不到的..11. 解：设 M=maxa+b+c;b+c+d;c+d+e;d+e+f;e+f+g..因为a+b+c;c+d+e;e+f+g都不大于M;所以练习题1.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一个自然数解吗为什么2.连续自然数1;2;3;…;8899排成一列..从1开始;留1划掉2和3;留4划掉5和6……这么转圈划下去;最后留下的是哪个数3.给出一个自然数n;n的约数的个数用一个记号An来表示..例如当n=6时;因为6的约数有1;2;3;6四个;所以A6=4..已知a1;a2;…;a10是 10个互不相同的质数;又x为a1;a2;…;a10的积;求 Ax..宜阳一高数学竞赛辅导讲座4 1.有..解：当n=2时;方程x1+x2=x1x2有一个自然数解：x1=2;x2=2；当n=3时;方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解：x1=1;x2=2;x3=3；当n=4时;方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解：x1=1;x2=1;x3=2;x4=4..一般地;方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一个自然数解：x1=1;x2=1;…;xn-2=1;xn-1=2;xn=n..2 .3508..解：仿例3..当有3n个数时;留下的数是1号..小于8899的形如3n的数是38=6561;故从1号开始按规则划数;划了8899-6561=2338个数后;还剩下6561个数..下一个要划掉的数是2388÷2×3+1=3507;故最后留下的就是3508..3.1024..解：质数a1有2个约数：1和a;从而Aa1=2；2个质数a1;a2的积有4个约数：1;a1;a2;a1a2;从而Aa1×a2=4=22；3个质数a1;a2;a3的积有8个约数：1;a1;a2;a3;a1a2;a2a3;a3a1;a1a2a3;从而Aa 1×a 2×a 3=8=23；……于是;10个质数a 1;a 2;…;a 10的积的约数个数为Ax=210=1024..6.把1600粒花生分给100只猴子;请你说明不管怎样分;至少有4只猴子分的花生一样多..7.有两只桶和一只空杯子..甲桶装的是牛奶;乙桶装的是酒精未满..现在从甲桶取一满杯奶倒入乙桶;然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶;这时;是甲桶中的酒精多;还是乙桶中的牛奶多 为什么8.在黑板上写上1;2;3;…;1998..按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数a 和b;然后写上它们的差大减小;直到黑板上剩下一个数为止..问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数 为什么6.假设没有4只猴子分的花生一样多;那么至多3只猴子分的花生一样多..我们从所需花生最少情况出发考虑：得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只;得33粒花生的猴子有1只;于是100只猴子最少需要分得花生3×0+1+2+…+32+33=1617粒;现在只有1600粒花生;无法使得至多3只猴子分的花生一样多;故至少有4只猴子分的花生一样多..7.一样多..提示：从整体看;甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化..甲桶里有多少酒精;就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶..所以;甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多..8.奇数..解：黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+…+1998=1997001;是一个奇数;而每一次“操作”;将a+b变成了a-b;实际上减少了2b;即减少了一个偶数..因为从整体上看;总和减少了一个偶数;其奇偶性不变;所以最后黑板上剩下一个奇数..。
数学竞赛复习资料一--填空题
一、填空。
（20分）1、由1、2、3、4这四个数字能组成的四位数一共有（）个，它们的和是（）。
2、一道除式，商是9，余数是22，被除数、除数、商与余数的和是206，这道除式的除数是（），被除数是（）。
3、甲乙两数的最小公倍数是78，最大公因数是13，已知甲数是26，乙数是（）。
4、小明有150本故事书，比小英的5倍少a本，则小明和小英共有（）本故事书。
5、两个数相除的商是6.51，如果把被除数和除数的小数点同时向右移动一位，商是（）。
如果被除数不变，除数的小数点向右移动一位，商是（）。
6、已知甲除以乙的商是12，余数是8，如果甲乙同时扩大10倍，则商是（），余数是（）。
7、已知甲数和乙数的和是166.1，且甲数的小数点向右移动一位恰好是乙数，则甲数是（），乙数是（）。
8、一个小数的整数部分与小数部分的值相差88.11，整数部分的值恰好是小数部分的100倍，这个数是（）。
9、已知A※B=5A-3B,则3※2=（），8※（3※2）=（）。
10、甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米，若两船相向而行，则2小时相遇，若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度是（ ),乙船的速度是（）。
11、一个两位数，其十位和个位的数字交换以后，所得的两位数比原来小45，则满足条件的两位数共有（）组，它们分别是（）。
12、甲乙丙三人的平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为（）千克。
13、有一个数，除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是（）。
14、（11+12+13+14+…+1000……）-（111+112+113+…+900）的结果是（）。
（填奇数或偶数）15、两个桶里共盛水40千克，若把第一桶里的水倒7千克到第二桶里，两个桶的水就一样多，则第一桶有（）千克。
16、某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得8分，每做错一题扣5分，小明最终得41分，他做对了（）题。
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
(完整版)高一数学竞赛培训教材(有讲解和答案)
高中思维训练班《高一数学》第 1 讲 集合与函数 (上)『本讲要点』 : 复杂的集合关系与运算、函数定义的深化 『重点掌握』 : 函数的迭代1. 定义 M 与 P 的差集为 M-P={x | x ∈M 且 x 不∈P} , 若 A={y | y=x2}B={x | -3≤x ≤3} , 再定义 M △N =( M-N)∪(N-M )，求 A △ B2. 集合 A={1,2,3} 中, 任意取出一个非空子集 , 计算它的各元素之和 .则所有非空子集 的元素之和是 . 若 A={1,2,3, ,n} , 则所有子集的元素之和数.若A B {a 1,a 4} , a 1a410. 且An 1000，*4函数 f (n)f(f(n 5))n 10005. 练 习 : 定 义 : f(x) f(f(f(x)n 个＋ y)=f(x) ＋f(y) ＋xy 。
求 f(x) ( 本求 f (7)( 本讲重点迭代3. 已知集合 A{a 1,a 2,a 3,a 4f 10(x) 1024x 1023 ．求 f (x) 的解析式． (本讲重点迭代法9. 求集合 A = {1,2,3, ,10} 所有非空子集的元素之和10. 已知不等式 ax 2+bx+c >0, 的解集是 {x|m < x < n},m >0, 求不等式 cx 2+bx+a <0的解集作业答案 :7.8,8. 1/ n 2+3n+1,9. 略,10. x<1/n 或 x>1/m答案:B-A={x|- 3≤x < 0} A △B={x|- 3≤x < 0 或 x > 3}2. 【解】〖分析〗已知 {1,2, ,n}的所有的子集共有 2n个. 而对于 i{1,2, ,n} , 显 然{1,2, ,n}中包含 i 的子集与集合 {1,2, ,i 1,i 1, , n}的子集个数相等 . 这就说明 if 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b) ＋b=a 2x ＋b(a ＋1)f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)] ＋b=a 3x ＋ b(a 2＋a ＋1)10 依次类推有： f 10(x)=a 10x ＋ b(a 9＋a 8＋⋯＋ a ＋1)=a 10x ＋b(1 a )1a 由题设知：10a 10=1024 且b(1 a )=1023 1a∴a=2，b=1 或 a= － 2， b=－3∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)= －2x －32 例 f(x) 对任意实数 x 与 y 都有 f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,1. 【 解 】 A{x|x ≥0}B={x|- 3≤x ≤3}A-B={x|x > 3}在 集 合 {1,2, ,n}的所有子集中一共出现2 1次, 即 对 所 有的 i 求 和, 可 得n n1S n 2n 1(集 合 {1,2, ,n} 的 所 有子集的元素之和为2n 1(1 2n)1n(n 1)2=n (n 1) 2n 1.3. 【解】 a 1a2a 3 a 4, 且 AB {a 1,a 4}a1a 12, 又a 1 N,所以 a 1 1.又a1 a4210, 可得 a 4 9, 并且 a2a 4 或a3 a4.6(舍)8. 解：令 y=1，得 f(x ＋1)=f(x) ＋ x ＋1再依次令 x=1，2，⋯， n －1，有 f(2)=f(1) ＋2 f(3)=f(2) ＋3f(n －1)=f(n －2) ＋(n －1) f(n)=f(n －1) ＋n 依次代入，得 f(n)=f(1) ＋2＋3＋⋯＋ (n －1) ＋n= x( x 1)∴f(x)= 2方法 3. 抽象函数的周期问题*1 例 f(x) 在 x>0 上为增函数 ,且 f(x) f (x) f(y).求: y(1) f (1)的值 .(2) 若 f (6) 1, 解不等式 f (x 3) f (1) 2 x (1) 求证 :f(x) 在 R 上是增函数 (2) 若 f(1)=5/2, 解不等式 f(2a-3) < 33 练 f(x) 是定义在 x>0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y); 当 x>1 时有 f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求 f(1) 和 f(1/9) 的值 (2) 证明 f(x) 在 x>1 上是增函数(3) 在 x > 1 上, 若不等式 f(x) + f(2-x) < 2 成立 , 求 x 的取值范围 4 例 几个关于周期的常见的规律 :n(n 1)2(x ∈ N +)高中思维训练高一数学 》第2讲函数(下)本讲要点』 :1. 单调函数不等式的解法 2. 根据抽象的函数条件拼凑出特定值的当 x>0 时 ,f(x)>25练习:f(x) 是定义在R 上的奇函数, 且f(x-2) = -f(x), 以下结论正确的是( 多选): ___________A.f(2) = 0B.f(x) = f(x+4)C.f(x) 的图象关于直线x=0 对称D.f(x+2) = f(-x)『课后作业』:6定义在x>0 上, 当x>1 时,f(x)>0; 对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y).(1) 证明f(x) 在x>0 上为增函数(2) 若f(5) = 1, 解不等式f(x+1) –f(2x) > 2*7 已知函数f(x) 对任意实数x, 都有f(x ＋m)＝－ 1 f(x), 求证f(x) 是周期函数1 f(x)7. 当n≥10 时,f(n)=n-3; 当n<10 时,f(n)=f[f(n+5)] . 求 f (7)( 本讲重点迭代法)1 1 1*8. 已知f(1)= 且当n>1 时有=2(n ＋1) 。
高一数学竞赛辅导
高一数学竞赛10.141.已知集合**410x x M x N N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A. M N =B. N M ⊆C. 20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭D. *40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭2.（2021年全国高中数学联赛）设{}{}{}1,2,3=2,,,2,,A B x y x y A x y C x y x y A x y =+∈=+∈，＜＞，则B C ⋂的所有元素之和为_______________。
3.设集合{}{}222,,12A x xB y y x x =-≤==--≤≤，则A B⋂=_________________.4.设条件():0:14p x m m q x ≤-≤≤＞，，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为_______,若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________。
5.若非空集合A,B,C 满足A B C ⋃=，且B 不是A 的子集，则""x C ∈是""x A ∈的___________________条件。
高一数学竞赛10.14-------基本不等式“1”的巧用1.若正数,a b 满足121a b +=，则2b a+的最小值为_________________。
2.若00x y ＞，＞，且211x y+=，227x y m m ++＞恒成立，则实数m 的取值范围是_________________________。
基本不等式的构造3.已知0a b ＞＞，则412a a b a b+++-的最小值为_______________。
4.设a b ＞＞c ，n N ∈，且218n a b b c a c +≥---恒成立，则n 的最大值是______________。
5.设010,x a b ＜＜，＞＞0，,a b 为常数，则221a b x x +-的最小值是___________________.基本不等式的综合运用6.已知4a b ab =＞0,＞0,，则11a b b a+++的最小值为________________。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。
解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。
根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。
我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。
由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。
通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。
我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。
接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。
则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。
根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。
比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。
综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。
数学竞赛资料
1、若一个等差数列的首项为3，公差为2，那么该数列的第5项是：
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
（答案）C
2、已知直角三角形的一个锐角为30度，那么另一个锐角为：
A. 30度
B. 45度
C. 60度
D. 90度
（答案）C
3、设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {x | x是A中的元素且x > 1}，则集合B的元素个数为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
（答案）C
4、在平面直角坐标系中，点P(-2, 3)关于x轴对称的点的坐标是：
A. (-2, -3)
B. (2, -3)
C. (-2, 3)
D. (2, 3)
（答案）A
5、已知圆的半径为r，圆心角为60度，则该圆心角所对应的弧长为：
A. (πr)/6
B. (πr)/3
C. (2πr)/3
D. πr
（答案）B
6、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a2 + b2 = c2 + 2ab，则此三角形为：
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
（答案）B
7、已知向量AB = (1, 2)，向量BC = (3, 4)，则向量AC的坐标为：
A. (4, 6)
B. (2, 3)
C. (-2, -2)
D. (1, 1)
（答案）A
8、设f(x)为定义在R上的函数，且对于任意x、y都有f(x+y) = f(x) + f(y)，若f(1) = 2，则f(3) =：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
（答案）D。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。
A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。
A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。
6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。
7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。
10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。
答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。
高一数学竞赛培训教材有讲解和答案
高一数学竞赛培训教材有讲解和答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#高中思维训练班《高一数学》第1讲-----集合与函数(上)『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ,若A={y | y=x 2 }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M △N =（M-N)∪(N-M ），求A △B2.集合A=}3,2,1{中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=},,3,2,1{n ,则所有子集的元素之和是 .3.已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,并且都是正整数.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.*4. 函数⎩⎨⎧<+≥-=1000)),5((10003)(n n f f n n n f ，求)84(f (本讲重点迭代法) 5. 练习:定义:*,)))((()(N n x f f f x f n n ∈=个.已知)(x f 是一次函数.当10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．(本讲重点迭代法)*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋xy 。
求f(x) (本讲重点顺序拼凑法)『课后作业』:7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法) *8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
求f(n) (n ∈N +)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集作业答案:,n 2+3n+1,9.略,10. x<1/n 或x>1/m答案:1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x ＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A △B={x|-3≤x＜0或x ＞3}2. 【解】〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n3. 【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A5【解】解：设f(x)=ax ＋b (a ≠0)，记f{f[f …f(x)]}=f n (x)，则n 次f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋b(a ＋1)f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)]＋b=a 3x ＋b(a 2＋a ＋1)依次类推有：f 10(x)=a 10x ＋b(a 9＋a 8＋…＋a ＋1)=a 10x ＋a a b --1)1(10 由题设知：a 10=1024 且a a b --1)1(10=1023 ∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)=－2x －38. 解：令y=1，得f(x ＋1)=f(x)＋x ＋1再依次令x=1，2，…，n －1，有f(2)=f(1)＋2f(3)=f(2)＋3……f(n －1)=f(n －2)＋(n －1)f(n)=f(n －1)＋n依次代入，得f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n=2)1(+n n ∴f(x)=2)1(+x x (x ∈N +)高中思维训练班《高一数学》 第2讲-----函数(下)『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题*1例 f(x)在x>0上为增函数,且)()()(y f x f yx f -=.求: (1))1(f 的值.(2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f 2例 f(x)对任意实数x 与y 都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R 上是增函数(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 33练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值(2) 证明f(x)在x>1上是增函数(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x 的取值范围4例几个关于周期的常见的规律:5练习:f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________(2) = 0(x) = f(x+4)(x)的图象关于直线x=0对称(x+2) = f(-x)『课后作业』:6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y).(1)证明f(x)在x>0上为增函数(2)若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证f(x)是周期函数 7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
高中数学竞赛辅导书一
一、《金版奥塞教程》浙江大学出版社分为高一分册，高二分册，高中综合分册主编前两本刘康宁，后一本左宗明。
二、《冲刺全国高中数学联赛》主编王卫华吴伟朝浙江大学出版社
三、《高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全》山西教育出版社主编周沛耕王中峰
请问这三本书分别怎么样？还有什么好书？（适合刚刚接触数学竞赛的学生）分享到：
2010-02-08 15:38
天天爱答题，抽奖送惊喜~
提问者采纳
一、《金版奥塞教程》浙江大学出版社分为高一分册，高二分册，高中综合分册主编前两本刘康宁，后一本左宗明。
这个比较适合刚刚开始学习奥赛的同学，而且是才学完高中知识的，可以循序渐进从高一的开始，到高中综合；
二、《冲刺全国高中数学联赛》主编王卫华吴伟朝浙江大学出版社；适合最后在考试前1-2个月用；
三、《高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全》山西教育出版社主编周沛耕王中峰；这个是给有一定基础的同学用的，即是学了一段时间的学生试用的；
如果我说的话，一边可以用第一种书，并且选择高考题中难度较大的熟悉高中题的解题手法，熟练基本技巧，可能效果较好（这个仅是我的方法）。
高一年级竞赛数学数论专题讲义：1整除
高一年级竞赛数学数论专题讲义：1整除高一竞赛数论专题1.整除设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b ?. 整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ?(2)|,|a b a c ?对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p ??-能被p 整除.10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)n k kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)n k ka =+∏为整数?.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=-12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.高一竞赛数论专题1.整除解答设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b ?. 整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ?(2)|,|a b a c ?对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a。