2006年上海十大名校联合考试数学试卷

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2006年全国普通高等学校招生统一考试数学理试卷参考答案答案(上海卷)

2006年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第12题）1．1 2．23．12 4．165．1i -+ 6．57．221164x y += 8．5 9．13510．36 11．011k b =-<<，12．10a ≤ 二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos22x x = ·························································································· 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ····························································································· 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π． ·········· 12分 18．解：连接BC ，由余弦定理得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯⨯=，于是，BC = ····································································································· 4分s i n 12020ACB ∠=sin ACB ∴∠=， ························································ 8分 90ACB ∠<，41ACB ∴∠≈， ············································································ 10分所以，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援． ············································ 12分 19．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，由PO ⊥平面ABCD ，得PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成角，60PBO ∠=． ··············································· 2分在Rt AOB △中，sin301BO AB ==，又PO BO ⊥，于是，tan 60PO BO ==ABCD S =∴四棱锥P ABCD -的体积123P ABCD V -=⨯=． ··············································· 6分（2）解法一：以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． ··········································································································· 7分在Rt AOB △中，OA =于是，点AB D P ，，，的坐标分别是(0(100)(100)(00A B D P -，，，，，，．E 是PB 的中点，则点E 的坐标是1022⎛ ⎝⎭，，，于是，30(02DE AP ⎛== ⎝⎭，，． ····································································· 11分设DE 与AP的夹角为θ，有3cos 4θ==，arccos 4θ= ∴异面直线DE 与PA所成角的大小是． ························································ 14分A解法二：取AB 的中点F ，连接EF DF ，．由E 是PB 的中点，得EF PA ∥，∴FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）． ··································· 8分在Rt AOB △中，cos30OA AB OP ===，于是，在等腰直角POA △中，PA =2EF =．而在正ABD △和正PBD △中，DE DF == ························································ 11分12cos EFFED DE ∠===，∴异面直线DE 与PA所成角的大小是arccos4． ························································ 14分 20．证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线22y x =于点1122()()A x y B x y ，，，．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3(3A B ，，3OA OB ∴=． ···························································· 1分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠．由22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，，得2260ky y k --=，则126y y =-． ····················································· 3分又221221122x y x y == 1，， 2121212121()34OA OB x x y y y y y y ∴=+=+= ．综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB =”是真命题． ······················ 6分解：（2）逆命题是：设直线l 交抛物线22y x =于A B ，两点，如果3OAOB =·，那么该直线过点(30)T ，．该命题是一个假命题． ··············································································· 8分CBFAPEDO例如：取抛物线上的点1(22)12A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，此时3OAOB = ·， ········································ 11分直线AB 的方程是2(1)3y x =+，而(30)T ，不在直线AB 上． ········································· 14分说明：由抛物线22y x =上的点1122()()A x y B x y ，，，满足3OA OB = ·，可得126y y =-或122y y =．如果126y y =-，可证得直线AB 过点(30)，；如果122y y =，可证得直线AB 过点(10)-，，而不过点(30)，． 21．证明：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； ··························································· 1分当221n k -≤≤时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+，1(1)n n n a a a a +-=-，1n na a a +∴=． ∴数列{}n a 是等比数列． ······································································································ 4分解：（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n nn nk n a a a aa--++++--∴===……， ·················································· 8分1(1)11(122)2121n n n n b n n k n k k --⎡⎤=+=+=⎢⎥--⎣⎦ ，，，． ······················································ 10分（3）设32n b ≤，解得12n k +≤，又n 是正整数，于是当n k ≤时，32n b <；当1n k +≥时，32n b >． ··································································································· 12分原式12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……121()()k k k b b b b +=++-++……211(21)(01)22212121k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ··············································· 14分由2421k k -≤，得2840k k -+≤，44k -+≤，又2k ≥，∴当234567k =，，，，，时，原不等式成立． ··········································································· 16分 22．解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是6=， 2log 9b ∴=． ························································································································ 3分（2）设120x x <<，222221212122222112()1c c c y y x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭·． ··················· 5分12x x <时，21y y >，函数22c y x x =+在)+∞上是增函数；当120x x <<21y y <，函数22c y x x=+在(0上是减函数．又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(--，∞上是减函数，在)⎡⎣上是增函数．（3）可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数．当n 是奇数时，函数nn a y x x=+在(0上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是增函数，在)⎡-⎣上是减函数．当n 是偶数时，函数nn a y x x =+在(上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是减函数，在)⎡-⎣上是增函数． ······················································ 12分2211()nnF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212323223231111n n r n rn nn n n n n n n r n C x C x C x C x x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……，因此，()F x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在[]12，上是增函数． ················································· 16分所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +． ······································································ 18分。

2006年上海数学试卷(理工农医类)题及答案

2006年上海数学试卷（理工农医类）题及答案一、填空题：（4分⨯12=48分）1、已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m =。

若B A ⊆，则实数_____________m =解：222321110B A m A m B B m m m ⎫⊆⎫⇒∈⎪⎬∈⎭⎪⎪∈⇒=-⇒=⎬⎪-<⎪⎪⎭2、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是_________________ 解：2222440(2)8x x y x y --+=⇒-+=(2,0)P ⇒。

故点P 到直线10x y --=的距离2d ==。

3、若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），则 __________a = 解：因为函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），所以函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图象过点2（-1,），即1122aa -=⇒=。

4、计算：33lim __________1nn C n →∞=+ 解：333(1)(2)1321lim lim 116nn n n n n C n n →∞→∞--⨯⨯==++ 5、若复数z 同时满足2,z z i z iz -==（i 为虚数单位），则_________z =解：222(1)211z z ii z iz i i z i z i i z iz⎧-=⎪⇒-=⇒-=⇒==-+⎨-=⎪⎩。

6、如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()______________2πα+= 解：1cos 5α=，且α是第四象限的角，sin α∴=。

cos()sin 2παα∴+=-=7、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________________解：因为椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，所以所求椭圆的标准方程是22221x y a b+=且c =。

2006年全国高中数学联赛试题及解答

2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜1答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 答C ．解：5x －a ≤0x ≤a5；6x －b ＞0x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0．反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于 (9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k(－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)．二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是．填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98．故，f (x )∈[0，98]．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤42a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2．－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． 25|a |≤3－5a 2|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2| ⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。

2006年高考数学(上海)卷

2006年全国高等学校招生统一考试数学（上海）试题一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 计算：=+-∞→3423limn n n .2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f.4. 不等式0121>+-x x的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . 9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .10. 若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 .11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分16分） 13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(. 14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是（A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16. 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( )（A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与CB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分)已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值；（2）求函数)(x f 的值域.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案一． 1.43. 2. 2. 3. []8,5),5(31∈-x x . 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1. 5. )10,0(. 6. 4x x --.7. 48. 8.316. 9. 257. 10. 2. 11. 4.12.)1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和)1(2121n m na a a m n a a a nn m m <≤+++≥-+++++二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题） 17. [解法一] 连接D A 1，D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分则DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、，得)3,0,4(),3,4,0(11--=-=C B B A . …6分设A 1与B 1的夹角为θ，则259cos =θ， ……10分 ∴ A 1与B 1的夹角大小为259arccos，即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . 12分18. [解法一] i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设ib a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b ai 2-=∴w ， ……4分以下解法同[解法一]. 19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ， ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+= ……4分 x x cos sin 3-=53354+=. ……8分（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ……10分ππ≤≤x 2， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ，∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分20. [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ，由题意可知，764640+⋅=a .71-=∴a . ……4分∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得 036742=--y y ，4=y 或49-=y （不合题意，舍去）. 4=∴y . ……9分得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）.∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解]（1）……4分（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . ……8分由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142. ……10分（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ……12分 ∴>,2k 124<-k. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ，则0)(min >x g . ……14分② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 [解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ，令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(；当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 22. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， …… 8分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 12分（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分。

2006年上海数学试卷(文史类)答案

2006年上海数学试卷（文史类）试题及答案一、填空题：（4分⨯12=48分）1、已知集合{}1,3,A m =-，集合{}3,4B =。

若B A ⊆，则实数_____________m =解： {}4441,3,B A A B m A m ⊆⎫⎫⇒∈⎬⎪∈⇒=⎭⎬⎪=-⎭。

2、已知两条直线1:330l ax y +-=，2:4610l x y +-=。

若12//l l ，则__________a = 解：1233//2461a l l a -⇒=≠⇒=-。

4、计算：23(1)lim__________61n n n n →∞+=+ 解：23222333111lim(1)(1)101lim lim lim 1161616066lim(6)n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞→∞+++++=====+++++。

5、若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则____________z = 解：复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数20210m m m -=⎧⇒⇒=⎨+≠⎩，代入已知，得333z i z i =⇒==。

6、函数sin cos y x x =的最小正周期是_______________________ 解：1sin cos sin 22y x x x ==，222T πππω===。

7、已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________________解：由已知，所求双曲线的标准方程为22221x y a b -=。

上海市(2006-2011)历年中考数学试题(部分含答案)

16．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图 5 所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A ．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块三、（本大题共 5 题，满分 48 分） 17．（本题满分 9 分）图5 ⎧3 − x > 0， ⎪ 解不等式组： ⎨ 4 x 3 x 并把解集在数轴上表示出来． + > − ， ⎪ ⎩3 2 6 − 5 −4 − 3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 18．（本题满分 9 分）解方程：
41 40 30 20 10 0 1 8 绿
0 红橙黄蓝图4
标识
__________________________________________. 21、（本题满分 10 分）本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A 、B、C 三根木柱，使得 A 、B 之间的距离与 A 、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
图1
数量（单位：升）
10、已知在△ABC 中，AB=A1 B1 ，∠A =∠A1，要使△AB C≌△A1 B1 C1 ，还需添加一个条件，这个条件可以是_______ 11、已知圆 O 的半径为 1 ，点 P 到圆心 O 的距离为 2，过点 P 引圆 O 的切线，那么切线长是______. 12、在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。图 2 是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。
2
3
A
E
B 图3
D
C
20、（本题满分 10 分，第（1）小题满分 3 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 3 分）某市在中心城区范围内，选取重点示范路口进行交通文明状况满意度调查，将调查结果的满意度分为：不满意、一般、较满意、满意和非常满意，依次以红、橙、黄、蓝、绿五色标识。今年五月发布的调查结果中，橙色与黄色标识路口数之和占被调查路口总数的 15%。结合未画完整的图 4 中所示信息，回答下列问题；（1）此次被调查的路口总数是___________；（2）将图 4 中绿色标识部分补画完整，并标上相应的路口数；（3）此次被调查路口的满意度能否作为该市所有路口交通文明状况满意度的一个随即样本？答：路口数

2006年上海数学中考题

【只要求直接写出结果，每个空格填对得 3 分，否则得零分】
1．计算： 4 __________．
2．计算： 1 2 __________． xx
3．不等式 x 6 0 的解集是__________．
4．分解因式： x2 xy __________．__________． x3
Ｄ． x 1 x 1 x 1
14．二次函数 y x 12 3 图象的顶点坐标是（）
Ａ． 1，3
Ｂ． 1，3
Ｃ． 1， 3
Ｄ． 1， 3
15．在 △ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， G 是重心．如果 AG 6 ，那么线段 DG 的长
为（）
Ａ． 2
Ｂ． 3
Ｃ． 6
Ｄ．12
16．在下列命题中，真命题是（）
10．已知在 △ABC 和 △A1B1C1 中， AB A1B1 ，∠A ∠A1 ，要使 △ABC ≌△A1B1C1 ，
还需添加一个条件，这个条件可以是__________．
11．已知圆 O 的半径为1，点 P 到圆心 O 的距离为 2 ，过点 P 引圆 O 的切线，那么切线长
是__________． 12．在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．图 2 是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
三．（本大题共 5 题，满分 48 分）
17．（本题满分 9 分）
先化简，再求值：
1
1 x
x2 1 x
，其中
x
2．
18．（本题满分 9 分）

2006年上海市中考数学试题及答案

2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）题号一二三四总分17 18 19 20 21 22 23 24 25 得分考生注意：1．本卷含四大题，共25题；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．一．填空题：（本大题共12题，满分36分）【只要求直接写出结果，每个空格填对得3分，否则得零分】 1=__________．2．计算：12x x+=__________．3．不等式60x ->的解集是__________．4．分解因式：2x xy +=__________． 5．函数13y x =-的定义域是__________． 61=的根是__________．7．方程2340x x +-=的两个实数根为1x ，2x ，则12x x =g __________．8．用换元法解方程2221221x x x x -+=-时，如果设221x y x =-，那么原方程可化为__________．9．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图1所示，那么这种汽油的单价是每升__________元．10．已知在ABC △和111A B C △中，11AB A B =，1A A =∠∠，要使111ABC A B C △≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．11．已知圆O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，过点P 引圆O 的切线，那么切线长是__________．12．在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．图2是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．数量（单位：升）图1图2二．选择题：（本大题共4题，满分16分）【下列各题的四个结论中，有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分；不选、错选或者多选得零分】 13．在下列方程中，有实数根的是（）Ａ．2310x x ++=1=- Ｃ．2230x x ++=Ｄ．111x x x =-- 14．二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（）Ａ．()13-，Ｂ．()13，Ｃ．()13--，Ｄ．()13-，15．在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果6AG =，那么线段DG 的长为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．6 Ｄ．12 16．在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形三．（本大题共5题，满分48分） 17．（本题满分9分）先化简，再求值：2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中x =18．（本题满分9分）解方程组：23010x y x y --=⎧⎨++=⎩，．19．（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图3，在ABC △中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，14BC =，12AD =，4sin 5B =．求（1）线段DC 的长；（2）tg EDC ∠的值．20．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分3分）某市在中心城区范围内，选取重点示范路口进行交通文明状况满意度调查，将调查结果的满意度分为：不满意、一般、较满意、满意和非常满意，依次以红、橙、黄、蓝、绿五色标识．今年五月发布的调查结果中，橙色与黄色标识路口数之和占被调查路口总数的15%．结合未画完整的图4中所示信息，回答下列问题：（1）此次被调查的路口总数是__________；（2）将图4中绿色标识部分补画完整，并标上相应的路口数；（3）此次被调查路口的满意度能否作为该市所有路口交通文明状况满意度的一个随机样本？答：____________________．21．（本题满分10分）本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．AE CD B 图3红橙黄蓝绿标识图4图5四．（本大题共4题，满分50分）22．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图6，在直角坐标系中，O 为原点．点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数12y x=的图象经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）如果经过点A 的一次函数图象与y 轴的正半轴交于点B ，且OB AB =，求这个一次函数的解析式．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =．点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD 上，AE GF GC ==．（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）当2FGC EFB =∠∠时，求证：四边形AEFG 是矩形．24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分4分）如图8，在直角坐标系中，O 为原点．点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，tg 2OAB =∠．二次函数22y x mx =++的图象经过点A ，B ，顶点为D ．（1）求这个二次函数的解析式；图6 B E A D G图7 F（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90o后，点B 落到点C 的位置．将上述二次函数图象沿y 轴向上或向下平移后经过点C ．请直接写出点C 的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ．点P 在平移后的二次函数图象上，且满足1PBB △的面积是1PDD △面积的2倍，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 延长线上．以点O 为圆心，OP 为半径作圆，点C 是圆O 上的一点．（1）如图9，如果2AP PB =，PB BO =．求证：CAO BCO △∽△；（2）如果AP m =（m 是常数，且1m >），1BP =，OP 是OA ，OB 的比例中项．当点C 在圆O 上运动时，求:AC BC 的值（结果用含m 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系，并写出相应m 的取值范围．CA PB O 图92006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分．2．第一大题只要求直接写出结果，每个空格填对得3分，否则得零分；第二大题每题选对得4分，不选、错选或者多选得零分；17题至25题中右端所注的分数，表示考生正确做对这一步应得分数．评分时，给分或扣分均以1分为单位．答案要点与评分标准一．填空题：（本大题共12题，满分36分） 1．2； 2．3x； 3．6x >；4．()x x y +；5．3x ≠；6．1；7．4-； 8．2210y y -+=（或12y y+=）； 9．5.09；10．1B B =∠∠（或1C C =∠∠，或11AC A C =）； 11；12．答案见图1．二．选择题：（本大题共4题，满分16分） 13．Ａ； 14．Ｂ； 15．Ｂ；16．Ｃ．三．（本大题共5题，满分48分）17．解：原式211x x x x+-=÷ ····································································· （2分） ()()111x x x x x +-+=÷ ·························································· （2分） ()()111x x x x x +=+-g ···························································· （1分） 11x =-， ············································································ （2分）当x =1==． ············································· （2分） 18．解：消去y 得220x x +-=， ····························································· （3分）图1得12x =-，21x =， ··································································· （3分）由12x =-，得15y =-， ······························································ （1分）由21x =，得22y =-， ······························································· （1分）∴原方程组的解是1125x y =-⎧⎨=-⎩，；2212x y =⎧⎨=-⎩，． ············································ （1分） 19．解：（1）在Rt BDA △中，90BDA =o∠，12AD =，4sin 5AD B AB ==，·· （1分） 15AB ∴=． ················································································· （1分）9BD ∴==． ·········································· （2分） 1495DC BC BD ∴=-=-=． ······················································ （1分）（2）［方法一］过点E 作EF DC ⊥，垂足为F ，EF AD ∴∥． ········· （1分）AE EC =Q ，1522DF DC ∴==，162EF AD ==． ························· （2分） ∴在Rt EFD △中，90EFD =o∠，12tg 5EF EDC DF ==∠． ················· （2分）［方法二］在Rt ADC △中，90ADC =o∠，12tg 5AD C DC ==． ············ （2分） DE Q 是斜边AC 上的中线，12DE AC EC ∴==． ····························· （1分）EDC C ∴=∠∠． ········································································· （1分）12tg tg 5EDC C ∴==∠． ······························································· （1分）20．（1）60； ······················································································ （3分）（2）图略（条形图正确，得2分；标出数字10，得2分）； ······················ （4分）（3）不能．······················································································· （3分） 21．解：设圆心为点O ，连结OB ，OA ，OA 交线段BC 于点D ． ·················· （1分）AB AC =Q ，»»AB AC ∴=．OA BC ∴⊥，且11202BD DC BC ===． ································································································ （1分）由题意，5DA =． ······································································ （1分）在Rt BDO △中，222OB OD BD =+， ··········································· （2分）设OB x =米， ············································································ （1分）则()2225120x x =-+， ······························································ （2分）1442.5x ∴=． ·········································································· （1分）答：滴水湖的半径为1442.5米． ···················································· （1分）四．（本大题共4题，满分50分）22．解：（1）由题意，设点A 的坐标为()3a a ，，0a >． ······························· （1分）Q 点A 在反比例函数12y x =的图象上，得123a a=， ···························· （1分）解得12a =，22a =-， ·································································· （1分）经检验12a =，22a =-是原方程的根，但22a =-不符合题意，舍去． ···· （1分） ∴点A 的坐标为()26，． ·································································· （1分）（2）由题意，设点B 的坐标为()0m ，． ··········································· （1分）0m >Q ，m ∴= ··················································· （2分）解得103m =，经检验103m =是原方程的根，∴点B 的坐标为1003⎛⎫⎪⎝⎭，． ·· （1分）设一次函数的解析式为103y kx =+， ················································· （1分）由于这个一次函数图象过点()26A ，，10623k ∴=+，得43k =． ············ （1分） ∴所求一次函数的解析式为41033y x =+． ·········································· （1分）23．证明：（1）Q 在梯形ABCD 中，AB DC =，B C ∴=∠∠． ·················· （2分） GF GC =Q ，C GFC ∴=∠∠． ····················································· （1分） B GFC ∴=∠∠，AB GF ∴∥，即AE GF ∥． ································ （1分） AE GF =Q ，∴四边形AEFG 是平行四边形． ··································· （2分）（2）过点G 作GH FC ⊥，垂足为H ． ············································ （1分）GF GC =Q ，12FGH FGC ∴=∠∠． ············································· （1分）2FGC EFB =Q ∠∠，FGH EFB ∴=∠∠．····································· （1分）90FGH GFH +=oQ ∠∠，90EFB GFH ∴+=o∠∠． ······················ （1分） 90EFG ∴=o∠． ·········································································· （1分） Q 四边形AEFG 是平行四边形，∴四边形AEFG 是矩形． ···················· （1分） 24．解：（1）由题意，点B 的坐标为()02，， ·············································· （1分） 2OB ∴=，tg 2OAB =Q ∠，即2OBOA=． 1OA ∴=．∴点A 的坐标为()10，． ··················································· （2分）又Q 二次函数22y x mx =++的图象过点A ，2012m ∴=++．解得3m =-， ··············································································· （1分） ∴所求二次函数的解析式为232y x x =-+． ······································ （1分）（2）由题意，可得点C 的坐标为()31，， ············································ （2分）所求二次函数解析式为231y x x =-+． ············································· （1分）（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴直线32x =不变，且111BB DD ==． ····································· （1分） Q 点P 在平移后所得二次函数图象上，设点P 的坐标为()231x x x -+，．在1PBB △和1PDD △中，112PBB PDD S S =Q △△，∴边1BB 上的高是边1DD 上的高的2倍．①当点P 在对称轴的右侧时，322x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得3x =，∴点P 的坐标为()31，； ②当点P 在对称轴的左侧，同时在y 轴的右侧时，322x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1x =， ∴点P 的坐标为()11-，；③当点P 在y 轴的左侧时，0x <，又322x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，得30x =>（舍去）， ∴所求点P 的坐标为()31，或()11-，． ················································ （3分） 25．（1）证明：2AP PB PB BO PO ==+=Q ，2AO PO ∴=．2AO POPO BO∴==． ········································································ （2分） PO CO =Q ， ··············································································· （1分） AO COCO BO∴=．COA BOC =Q ∠∠，CAO BCO ∴△∽△．················· （1分）（2）解：设OP x =，则1OB x =-，OA x m =+，OP Q 是OA ，OB 的比例中项， ()()21x x x m ∴=-+， ·································································· （1分）得1m x m =-，即1mOP m =-． ························································· （1分） 11OB m ∴=-． ············································································· （1分）OP Q 是OA ，OB 的比例中项，即OA OPOP OB=， OP OC =Q ，OA OCOC OB∴=． ·························································· （1分）设圆O 与线段AB 的延长线相交于点Q ，当点C 与点P ，点Q 不重合时，AOC COB =Q ∠∠，CAO BCO ∴△∽△． ······································ （1分） AC OCBC OB∴=． ············································································· （1分） AC OC OP m BC OB OB ∴===；当点C 与点P 或点Q 重合时，可得AC m BC =， ∴当点C 在圆O 上运动时，:AC BC m =； ········································ （1分）（3）解：由（2）得，AC BC >，且()()11AC BC m BC m -=->，()1AC BC m BC +=+，圆B 和圆C 的圆心距d BC =，显然()1BC m BC <+，∴圆B 和圆C 的位置关系只可能相交、内切或内含．当圆B 与圆C 相交时，()()11m BC BC m BC -<<+，得02m <<，1m >Q ，12m ∴<<； ·································································· （1分）当圆B 与圆C 内切时，()1m BC BC -=，得2m =； ·························· （1分）当圆B 与圆C 内含时，()1BC m BC <-，得2m >．（1分）。

上海十大名校联合考试数学试卷

2006年上海十大名校联合考试数学试卷一、填空题：（本大题满分48分）本大题共有12题，要求直接写出结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分。

1．若集合}2006{},)2006({-====-x y y N y y M x ，则N M = 。

2．已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 。

3．函数)0(12>+=-x y x的反函数是。

4．函数x x y cos sin +=的最小正周期是。

5．函数),2,(tan Z k k x R x x y ∈+≠∈=ππ的对称中心是。

6．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且a 1,a 3,a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++= ；7．在实数集R 上定义运算∽：x ∽y=x(1-y.),若(x-a)∽(x+a)<1对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是。

8．已知直线1)13()2(--=-x a y a ，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是。

9．在000，001，…，999,这1000个连号的自然数中抽奖，若抽到一个号码中，仅出现两个相同偶数则中奖，则一个号码能中奖的概率是。

10．ΔABC 的两条边上的高的交点为H ，外接圆的圆心为O ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m= 。

11．如图，在ΔABC 中BC=2，AB+AC=3，中线AD 的长为y ，若AB 的长为x ，则y 与x 函数关系式为。

第11题图12．若12332lim 21112=⋅+⋅-++-∞→nn n n n a a ，则=a 。

二、选择题：（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分．13．设A 、B 是锐角三角形的两个内角，则复数i A B A B z )cot (tan )tan (cot -+-=对应点位于复平面的（）。

2006年高考上海卷文科数学试题及参考答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校证码等填写清楚。

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 21=锥侧如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率kn kkn n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题。

只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知集合{},,3,1m A -=集合{},4,3=B 若,B A ⊆则实数=m .2．已知两条直线.0164:.033:21=-+=-+y x l y ax l 若=a l l 则,//21 .3．若函数)1.0()(≠>=a a a x f x且的反函数的图像过点（2，－1），则a = . 4．计算：16)1(32lim++∞-n n n n = .5．若复数i m m z )1()2(++-=为纯虚数（I 为虚数单位），其中R m ∈，则Z = .6．函数x x y cos sin =的最小正周期是 .7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为5：4，则双曲线的标准方程是 .8．方程x x 323log 1)10(log +=-的解是 .9．已知实数y ,x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥-+.0.0.052.03y x y x y x ，则x y 2-的最大值是 .10．在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是（结果用分数表示）。

2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为( )A.＜x＜1B.x＞，x≠1C.x＞1D.0＜x＜13.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为( )A.20B.25C.30D.424.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为( )A. B. C.[1,) D.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为( )A. B.C.102006+82006D.102006-82006二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是____.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为____.9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为____.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水____cm3.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为____.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为____.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.14.将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和，记，问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；(2)进一步，设对任意1≤i，j≤5有|xi -xj|≤2，问当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值.说明理由.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.参考答案一、选择题1. 已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（C）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定[解]令∠ABC=α，过A作AD⊥BC于D，由，推出，令，代入上式，得，即，也即.从而有.由此可得.2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为(B)A.＜x＜1B.x＞，且x≠1C.x＞1D.0＜x＜1 [解]因为，解得x＞，x≠1，由，解得0＜x＜1；或，解得x＞1，所以x的取值范围为x＞，且x≠1.3.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为(C)A.20B.25C.30D.42[解].要使A∩B∩N={2,3,4}，则，即，所以数对(a,b)共有.4.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为(A)A. B. C.[1,) D.[解]建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1,0,0)(0＜t1＜1)，E(0,1,)，G(,0,1)，D(0,t2,0)(0＜t2＜1).所以，.因为GD⊥EF，所以t1+2t2=1，由此推出0＜t2＜.又，，从而有.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的(A)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[解]显然为奇函数，且单调递增.于是若a+b≥0，则a≥-b，有f(a)≥f(-b)，从而有f(a)+f(b)≥0.反之，若f(a)+f(b)≥0，则f(a)≥-f(b)=f(-b)，推出a≥-b，即a+b≥0.6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为(B)A. B.C.102006+82006D.102006-82006[解]出现奇数个9的十进制数个数有.又由于以及，从而得.二、填空题7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是[0,].[解].令t=sin2x，则.因此，，即得.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为[-,].[解]依题意，得(对任意实数θ成立)故a的取值范围为[-,].9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为.[解]由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点.设直线l交x轴于A(-8-2,0)，则∠APF1=∠AF2P，即△APF1∽△AF2P，即.(1)又由圆幂定理，|AP|2=|AF1|·|AF2|.(2)而从而有.代入(1),(2)得.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水（)πcm3.[解]设四个实心球的球心为O1,O2,O3,O4，其中O1,O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影.则ABCD是一个边长为的正方形.所以注水高为1+.故应注水.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为1.[解](x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005.要使等号成立，必须，即x=±1.但是x≤0时，不满足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为0.0434.[解]第4次恰好取完所有红球的概率为.三、解答题13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.[证明]因为y2=nx-1与y=x的交点为，显然有.若(x0m,ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则.记，则，(m≥2)(13.1)由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，是正整数.现在对于任意正整数m，取，使得y2=kx-1与y=x的交点为(xm，ym).14.将2006表示成5个正整数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5之和，记，问：(1)当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最大值；(2)进一步地，设对任意1≤i，j≤5有|x i -x j |≤2，问当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最小值. 说明理由.[解](1)首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值.若x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006，且使取到最大值，则必有|x i -x j |≤1，(1≤i，j≤5). (*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x 1-x 2≥2.则令，有.将S 改写成.同时有.于是有.这与S 在x 1,x 2,x 3,x 4,x 5时取到最大值矛盾.所以必有|x i -x j |≤1，(1≤i,j≤5).因此当x 1=402，x 2=x 3=x 4=x 5=401取到最大值. (2)当x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006且|x i -x j |≤2时，只有 (I)402，402，402，400，400； (II)402，402，401，401，400； (III)402，401，401，401，401；三种情形满足要求.而后面两种情形是在第一组情形下作调整下得到的.根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大.所以在x 1=x2=x3=402，x4＝x5=400情形取到最小值.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.[证明](1)如果a＜-2，则.(2)如果-2≤a≤，由题意f1(0)=a，f n(0)=(f n-1(0))2+a，n=2,3,…，则①当0≤a≤时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，.②当-2≤a＜0时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，有-|a|=a≤f k(0)=(f k-1(0))2+a≤a2+a，注意到当-2≤a＜0时，总有a2≤-2a，即a2+a≤-a=|a|，从而有|f k(0)|≤|a|，由归纳法，推出.=f n(0)，则对于任意n≥1，且(3)当a＞时，an.对于任意n≥1，，则. 所以，.当时，，即f n+1(0)＞2.因此.综合(1)(2)(3)，我们有.。

2006年高考上海卷(文科数学)

2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（上海卷）一、填空题:本题共12小题,每小题4分,共48分.1.已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数m = .2.已知两条直线1l ：330ax y +-=，2l ：4610x y +-=.若12//l l ，则a = .3.若函数()(0,1)x f x a a a =>≠且的反函数的图像过点(2,1)-，则a = .4.计算：23(1)lim61n n n n →∞+=+ . 5.若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位），其中m R ∈则z = . 6.函数sin cos y x x =的最小正周期是 .7.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是 .8.方程233log (10)1log x x -=+的解是 .9.已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是 .10.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 .（结果用分数表示） 11.若曲线21x y =+与直线y b =没有公共点，则b 的取值范围是 . 12.如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)二、选择题：本大题共有4题，每小题4分，满分16分.每题都给出的四个结论，)q其中有且只有一个结论是正确的.13．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 A.AB DC = B.AD AB AC += C.AB AD BD -= D.0AD CB +=14.如果0a <，0b >，那么，下列不等式中正确的是 A.11a b <<22a b < D.a b > 15.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

2006年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学(文史类)

考试结束前★机密2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。

2．本试卷共有22道试题，满分 150分，考试时间 120分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题。

只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。

1．已知集合{}1,3,A m =-, 集合{}3,4B =,若A B ⊆.则实数m =______. 2．已知两条直线12:330.:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ,则a =______. 3．若函数()(0.1)x f x a a a =>≠且的反函数的图像过点（2，－1），则 a=______.4．计算： 23(1)lim61n n n n →∞+=+______. 5．若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则z = ______. 6．函数sin cos y x x =的最小正周期是______.7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为 5：4则双曲线的标准方程是______.8．方程233log (10)1log x x -=+的解是______.9．已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.则y -2x 的最大值是 .10．在一个小组中有 8名女同学和 4名男同学，从中任意地挑选 2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。

11．若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则 b 的取值范围是______.12．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p 、q ）是点 M 的“距离坐标”。

2006年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

1 2006 2006 (10 8 ) 。 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分。 2006*7、设函数 f ( x ) sin x sin x cos x cos x ，则 f ( x ) 的值域为 ◆答案： 0, 8 ★解析： f ( x ) sin x sin x cos x cos x 1
从而有
1 DF 1 。 5
2006*5 、设函数 f ( x ) x log 2 ( x
3
x 2 1) ，则对于任意实数 a , b ， a b 0 是
f (a ) f (b) 0 的
A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 ◆答案：A
2

0 x 1
3 2 2 x x x 2
,
解得
0 x 1 ；或
x 1 3 2 2 x x x 2
解得
1 x 1 ，所以 x 的取值范围为 x , 且 x 1 . 2
2006*3、已知集合 A x | 5 x a 0， B x | 6 x b 0， a, b N ，且 A B N 2,3,4 ，则整数对 ( a, b) 的个数为 A. 20 ◆答案：C B. 25 C. 30 D. 42

AF1 AF2

8 84 3
4 2 3 3 1 。
2006*10、底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为
1 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其 2
中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 ◆答案： (
cm 3 1 3 2 ) 2

2006上海七校联考高三上学期数学试卷

2006年上海七校联考高三上学期数学试卷（华东师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北）2006.12一、填空题（本大题满分48分） 1．已知4sin 5α=，且α是第二象限角，则tan α=____________。

2．用列举法表示集合1i ,N i nn x x n ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭= ____ _ 。

3．函数()0)f x x =>的反函数1()f x -=________________________。

4．不等式1||x x>的解为___________________。

5．从6种不同的作物种子中任选4种，分别放入标有1号至4号标签的瓶子中，若甲、乙两种种子都不能放入1号瓶内，则不同的放置方法共有___________种。

（结果用数值表示）6．等差数列{a n }中， 14,1531=+=a a a ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则nn S n 12lim 2-∞→等于_____________。

7．若函数f x x()sin=24对于任意x R ∈，都有f x f x f x ()()()12≤≤，则x x 12-的最小值为_________________。

8．设函数()1532f x ax bx =++在区间（0，M ）上的最大值为8，则f （x ）在区间(),0M -上的最小值为_________________。

9．已知函数1()()lg 1,(100)f x f x f x=⋅+则的值为_______________。

10．使不等式300300122nn e e-+<<+成立的自然数n 的值为_______________。

11．已知函数x x f )21()(=的图像与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称，令()(1||)h x g x =-，现关于函数h （x ）有下列命题：（1）h （x ）的图像关于原点中心对称（2）h （x ）为偶函数（3）h （x ）的最小值为0（4）h （x ）在区间（0，1）上为减函数则其中所有正确命题的序号为 ____ 。

2006上海市中考数学试卷(word版)

2006年上海市初中毕业生统一学业考试一．填空题：（本大题共12题，满分36分）1=__________．2．计算：12x x+=__________． 3．不等式60x ->的解集是__________． 4．分解因式：2x xy +=__________．5．函数13y x =-的定义域是__________． 61=的根是__________．7．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数中任意抽取一个数，那么取到素数的概率是_____．8．用换元法解方程2221221x x x x -+=-时，如果设221x y x =-，那么原方程可化为_________． 9．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图1所示，10．已知在ABC △和111A B C △中，11AB A B =，1A A =∠∠，要使111ABC A B C △≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．11．二次函数562-+=x x y 的图像的对称轴是直线．12．在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．图2是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形．二．选择题：（本大题共4题，满分16分）13．在下列方程中，有实数根的是（）Ａ．2310x x ++= 1=-Ｃ．2230x x ++=Ｄ．111x x x =-- 14．二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（）Ａ．()13-，Ｂ．()13，Ｃ．()13--，Ｄ．()13-，15．在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果6AG =，那么线段DG 的长数量（单位：升）图1 图2为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．6 Ｄ．1216．在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形三．（本大题共5题，满分48分）17．（本题满分9分）先化简，再求值：2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中x =18．（本题满分9分）解方程组：23010x y x y --=⎧⎨++=⎩，．19．（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图3，在ABC △中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，14BC =，12AD =，4sin 5B =．求（1）线段DC 的长；（2）tg EDC ∠的值．A E C DB 图3。