高中数学课时分层作业8函数的表示方法含解析苏教版必修

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新教材苏教版高中数学必修一知识点09 函数的表示方法

高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点9函数的表示方法教材知识梳理函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．函数三种表示法的优缺点比较：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．例题研究一、求函数的解析式题型探究例题1已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R 均满足：2()()31f x f x x --=+，则函数()f x 的解析式为（） A ．()1f x x =+ B ．()1f x x C ．()1f x x =-+ D ．()1f x x =--【答案】A【分析】利用构造方程组的方法，解出()f x 的解析式．【详解】由2()()31f x f x x --=+，可得2()()31f x f x x --=-+ ①又4()2()62f x f x x --=+①，+①②得：()333f x x =+，解得()1f x x =+故选：A【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题．例题2如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ；当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝32 32-|x －1|(0≤x≤2) 故答案为B【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．跟踪训练训练1已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为（） A ．()32f x x =+ B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-【答案】B【分析】设()f x kx b =+，（0k ≠），利用()135f x x -=-两边恒等求出k 即可得结果．【详解】设()f x kx b =+，（0k ≠）①()()1135f x k x b x -=-+=-，即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-，①()32f x x =-，故选B ．【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则m 的取值范围是（） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题设条件可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈，结合函数在[)0,2上的解析式和函数在[)2,-+∞的图象可求m 的取值范围. 【详解】当[)2,0x ∈-时，()2()212f x x =-++，故()[]2()2120,2f x x =-++∈，因为(2)2()f x f x -=，故当[)0,2x ∈时，[)22,0x -∈-，()()()[]1220,12f x f x x x =-=--∈，同理，当[)2,4x ∈时，()()1120,22f x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，依次类推，可得当)12,2k k x +⎡∈⎣时，()10,2k f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中*k N ∈. 所以当2x ≥时，必有3()4f x ≤. 如图所示，因为当[)0,2x ∈时，()f x 的取值范围为[]0,1，故若对任意[),x m ∈+∞，都有3()4f x ≤，则0m ≥，令232402x x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤<⎩，322x ≤<或102x ≤≤，结合函数的图象可得32m ≥，故选：D.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.二、分段函数的实际应用题型探究例题1已知21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，则函数()y f x =-的图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先画函数()f x 的图象，再根据函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，即可选出正确选项.【详解】先画函数21,[1,0)()1,[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩的图象，如下图：因为函数()f x 的图象与()f x -的图象关于y 轴对称，只有A 选项的图象符合.故选：A.【点睛】考查分段函数的画法，同时考查函数有关对称性的知识，解题的关键是把原函数的图象画出，那么对称函数的图象随之可得.例题2函数22,01()2,123,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是（）A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}【答案】D【分析】分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集. 【详解】解：当01x ≤≤时，2()2f x x =，其值域为[0,2]，所以()f x 值域为[0，2]①{3，2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}. 故选：D【点睛】考查求分段函数的值域，分段函数的值域等于每一段函数的值域的并集，属于基础题.跟踪训练训练1设{},()max ,,,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则函数22()max{,1}=--f x x x x 的单调增区间为（）A ．1[1,0],[,)2-+∞B ．1(,1],[0,]2-∞-C ．1(,],[0,1]2-∞- D ．1[,0],[1,)2-+∞ 【答案】D【分析】由221x x x -=-，解出x 的值，作出两个函数的图像，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-据此可得此时函数的递增区间，当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，据此可得此时函数的递增区间，综合即可得到结论. 【详解】由221x x x -=-得2210x x --=，解得1x =或12x =-，当1≥x 或12x ≤-时，{}222()max ,1f x x x x x x =--=-此时函数的递增区间为[1,)+∞, 当{}22211,(),112x f x max x x x x -<<=--=-，此时函数的递增区间为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，综上所述函数的递增区间为1[,0],[1,)2-+∞. 故选：D【点睛】考查函数单调区间，解题的关键是掌握函数单调性及单调区间的求法，属于中档题. 训练2设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（）A ．()()()()22 00f f f f = B ．()()()()22 11f f f f = C ．()()()()2222f f f f = D ．()()()()2233f f f f = 【答案】B【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012ff f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.故选：B.【点睛】考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”.三、函数三种表示法题型探究例题1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且y 随着x 的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0，故符合要求的图象为D 选项中的图象. 故选：D.【点睛】考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 例题2已知函数()y f x =，用列表法表示如下：则(2)[(2)]f f f -+-=（） A ．4- B ．0C ．2D ．3【答案】D【分析】根据表格中自变量x 和函数值y 的对应关系，代入数据，即可得答案.【详解】由表格可得：(2)1f -=，所以[(2)](1)2f f f -==，所以(2)(2)3f f +-=故选：D跟踪训练训练1已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-【答案】C【分析】令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值．【详解】由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒()21,f x x x -=-()722f ∴-=, 故选C ．【点睛】考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题．训练2如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数(0)ky k x=≠的图像的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（）A ．1y x =-B ．1y x=C ．2y x=- D ．2y x=【答案】A【分析】本题首先可设矩形的长为a 、宽为4a，然后结合图像得出点P 的坐标为2,2a a，最后根据点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上即可得出结果. 【详解】设矩形的长为a ，则矩形的宽为4a，结合图形可知，点P 的坐标为2,2a a，因为点P 在反比例函数(0)ky k x=≠上，所以22a a k=-，解得1k =-，1y x =-，故选：A.【点睛】考查反比例函数解析式的求法，能否根据图像和矩形面积确定点P 坐标是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查计算能力，是简单题.综合式测试一、单选题1．已知函数2221,0()log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则下列判断正确的个数为（） ①122x x +=-； ①341x x =；①212≤-x x ；①431≤-x x . A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先画出()f x 的图象如图所示，令()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知当1t =时，21x x -和43x x -都取得最大值，从而可求得最值，12,x x 关于二次函数221y xx =++的对称轴1x =-对称，可得122x x +=-，由34()()f x f x =可得2324log log x x -=，化简可得341x x =【详解】解：令()()()()1234f x f x f x f x t ====，即函数()f x 的图象与直线y t =有4个不同的交点，()f x 的图象如图所示，由图可知(0,1]t ∈，12,x x 关于二次函数221y x x =++的对称轴1x =-对称，则122x x +=-，所以①正确；当1t =时，21x x -取得最大值，且此时212x x -=，故212≤-x x ，所以①正确；因为34()()f x f x =，所以2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，234log ()0x x =，所以341x x =，所以①正确；因为当1t =时，43x x -取得最大值，此时2324log log 1x x -==，解得341,22x x ==，所以此时43132122x x -=-=>，所以①错误，所以正确的有①①①，共3个，故选：C【点睛】考查函数和方程的应用，解题的关键是正确画出函数图象，利用数形结合的思想求解，属于中档题2．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）. A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【分析】求出()f x 在[2，4]上的值域，利用()f x 的性质得出()f x 在[2-，0]上的值域，再求出()g x 在[2-，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围【详解】解：当[2,4]x ∈时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<≤⎪⎩，可得()f x 在[2，3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，()f x ∴在[2，3]上的值域为[3，4]，在(3,4]上的值域为11(3，9]2，()f x ∴在[2,4]上的值域为[3，9]2，(2)2()f x f x +=，11()(2)(4)24f x f x f x ∴=+=+， ()f x ∴在[2,0]-上的值域为3[4，9]8，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[2-，1]上的值域为[21a -+，1]a +，∴3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得18a ；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[2-，1]上的值域为[1a +，21]a -+，∴3149218a a ⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，解得14a -；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是18a 或14a -．故选：D ．【点睛】考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．3．已知函数()22log (1),142,1x x f x x x x ⎧-<=⎨-+-≥⎩，则方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，而由121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后分别解这四个方程，可得答案【详解】解：当1x <时，令()1f x =，则2log (1)1x -=，解得1x =-或12x =，当1≥x 时，令()1f x =，则2421x x -+-=，解得1x =或3x =，因为121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，由121x x+-=-，得210x x -+=，此时2(1)40∆=--<，方程无解；由1122x x +-=，得22520x x -+=，此时2(5)42290∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，分别2x =或12x =；由121x x+-=，得2310x x -+=，此时2(3)41150∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为x =由123x x+-=，得2510x x -+=，此时2(5)411210∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不相等的实根，即为52x =，所以方程121f x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根的个数为6，故选：B【点睛】考查函数与方程的应用，解题的关键是由()1f x =可得13,1,1,2x x x x ===-=，从而可得121x x +-=-，或1122x x +-=，或121x x +-=，或123x x+-=，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题4．已知函数()1212,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且()0f m =，则不等式()f x m >的解集为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】C【分析】分0m ≤和0m >解方程()0f m =，求出m 的值，然后分0x ≤和0x >解不等式()f x m >，即可得出结果. 【详解】当0m ≤时，()1202mf m =+>，方程()0f m =无解；当0m >时，令()12log 0f m m ==，解得1m =，合乎题意.下面解不等式()1f x >.当0x ≤时，令()1212xf x =+>，得出122x >，解得1x >-，此时，10-<≤x ；当0x >时，令()11221log 1log 2f x x =>=，解得12x <，此时，102x <<. 因此，不等式()f x m >的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】考查分段函数方程与分段函数不等式的求解，在解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.5．已知2(),()32,()2()()g x f x x g x x x F x f x ⎧=-=-=⎨⎩， ()()()()f x g x f x g x ≥<,则()F x 的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1 B．最大值为 C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值【答案】B【分析】根据函数表达式画出各自图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.【详解】如图，在同一坐标系中画出(),()f x g x 图象，又()F x 表示两者较小值，所以很清楚发现()F x 在A 处取得最大值23+222=3+2A A A x x x x y x =-⇒= B.【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.6．已知函数f (x )＝2,02,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ①R)，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】由题意，函数()f x 的解析式，可得()12f -=，进而求解()(1)f f -的值，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥=⎨<⎩，则()(1)122f ---==，则()2(1)(2)241f f f a a -==⋅==，所以14a =，故选A. 【点睛】考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理选择相应的对应法则求解是解答的关键.7．已知f （x ）=21102(1)0x x x x ⎧+≤⎪⎨⎪-->⎩，，使f （x ）≥–1成立的x 的取值范围是A ．[–4，2）B ．[–4，2]C ．（0，2]D ．（–4，2]【答案】B 【解析】①f （x ）≥–1，①01112x x ≤⎧⎪⎨+≥-⎪⎩或()2011x x >⎧⎪⎨--≥-⎪⎩，①–4≤x ≤0或0<x ≤2，即–4≤x ≤2．故选B ． 8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-【答案】C【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值．由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =2x =结合函数图象可知当2x =()F x 有最大值7- 故选：C ．【点睛】考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力．二、填空题9．设函数()f x 对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，且()12(13)f x x x =--≤≤，则使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为____．【答案】416【分析】由题可得(2014)173f =，根据13,233()333,123n n nn n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩分情况讨论可求解.【详解】对于所有的正实数x ，均有(3)3()f x f x =，()33x f x f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭， 22201420142014(2014)333333n n f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当6n =时，[]620141,33∈， 662014(2014)3121733f ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩，当13173233n n x x +⎧-=⎪⎨≤≤⎪⎩时，113173233n n n x x ++⎧=-⎨⨯≤≤⎩，当6n =时，x 取得最小正值为556；当3173123n n x x ⎧-=⎪⎨≤<⎪⎩时，3173323n n nx x ⎧=+⎨≤<⨯⎩，当5n =时，x 取得最小正值为416，综上，使得()(2014)f x f =的最小的正实数x 的值为416.故答案为：416.【点睛】考查分段函数的应用，考查函数性质等基础知识，解题的关键是由已知得出13,233()333,123n n n n n n x x x f x f x x +⎧-≤≤⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪-≤<⎪⎩.10．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________．【答案】[2,3) 【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围. 【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：[2,3).【点睛】考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值；（2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.11．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.【答案】,162⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：,162⎪⎢⎣⎭【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 12．定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.若当x ①[),m +∞时，()116f x ≤，则m 的最小值等于________．【答案】154．【分析】转化条件为在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，作出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--，当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅，可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()116f x ≤，作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()11127816f x x =--=得154x =，由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤，所以m 的最小值为154．故答案为：154. 【点睛】考查了分段函数解析式的求解及图象的应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题. 三、解答题13．根据下列条件，求函数()f x 的解析式；（1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+；（2）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；（3）已知等式()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f =；（4）知函数()f x 满足条件()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意不为零的实数x 恒成立【答案】（1）()27f x x =+；（2）3()3(2f x x x x =-≥或2)x ≤-；（3）()21f x x x =++；（4）1()2(0)f x x x x=-≠.【分析】（1）设函数()f x kx b =+，结合等式()()3121217f x f x x +--=+，利用一次项系数和常数项分别相等列出方程组解出k b 、的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）用配凑法根据232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后换元1t x x =+可得出函数()y f t =的解析式，利用双勾函数求出1t x x=+的取值范围，即为函数()y f x =的定义域；（3）由已知令x y =，则有()()()021f f x x x x =--+且()01f =，化简即可求得结果；（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，与原式列方程組解出函数()y f x =的解析式. 【详解】（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则[][]3(1)2(1)3(1)2(1)5217f x f x k x b k x b kx b k x +--=++--+=++=+所以2,517k b k =⎧⎨+=⎩解得：2,7k b =⎧⎨=⎩所以()27f x x =+；（2）232321111113x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦33311113f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，令1t x x=+，由双勾函数的性质可得2t ≤-或2t ≥， 3()3f t t t =-∴，3()3(2f x x x x =-≥∴或2)x ≤-（3）因为()()()21f x y f x y x y -=--+对一切实数x ､y 都成立，且()01f = 令x y =则()()()021f f x x x x =--+，又因为()01f = 所以()()()01=1f f x x x =-+，即()22+1f x x x =+（4）将1x代入等式()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出132()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，联立12()313()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，变形得：14()2613()2f x f x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1()2(0)f x x x x=-≠ 【点睛】考查求函数解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法.14．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【答案】（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果；（2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式.【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >；当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤；且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+，故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦，当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+，故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+，当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+，故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛：：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.15．已知函数()f x 的解析式为()()()()350501281x x f x x x x x ⎧+≤⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩，（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）若()2f a =，求a 的值;（3）画出()f x 的图象，并求出函数的值域;【答案】(1)3-;(2) 1a =-或3;(3)答案见解析，值域为(],6-∞;【分析】(1)先求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)按0a ≤，01a <≤，1a >三种情况进行讨论，分别由()2f a =列出关于a 的方程，进而可求出a 的值.(3)画出分段函数的图象后，由图象可求出函数的值域.【详解】(1)解：因为1012<<，所以111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)解：当0a ≤时，()352f a a =+=，解得1a =-；当01a <≤时，()52f a a =+=，解得3a =-，不符合题意；当1a >时，282a -+=，解得3a =，综上所述，1a =-或3.(3)解：如图所示，当1x =时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为(],6-∞.【点睛】考查了分段函数函数值的求解，考查了分段函数图象.。

2020学年高中数学课时分层作业8函数的表示方法(含解析)苏教版必修1(2021-2022学年)

课时分层作业（八)函数的表示方法（建议用时:60分钟）[合格基础练］一、选择题1.设f（ｘ)=错误!未定义书签。

则ｆ(ｆ(－2）)=()A．－1B．＼ｆ(1,4)C.错误!未定义书签。

D．错误!未定义书签。

C［因为-2〈0,所以f（－２)=2－2=错误!>0,所以f错误!未定义书签。

＝1－错误!＝1-错误!未定义书签。

=错误!.]2。

已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点）,则f 错误!=（ )Ａ.错误!未定义书签。

B．＼f(1,3）C．－＼f（2，3) D．错误!B[由图象知，当－1＜x<0时,f(x)=ｘ＋1，当0＜x<1时，f(x)＝ｘ-1，∴f(x）=错误!∴ｆ错误!=错误!未定义书签。

-1=－错误!,∴f 错误!=f 错误!未定义书签。

=－错误!未定义书签。

+１＝错误!未定义书签。

] 3．设f(x）=错误!ｇ(ｘ）＝错误!则ｆ(g(π）)的值为( )A．１ﻩＢ．０C.－1 D．πB［∵π是无理数,∴ｇ（π）=0,则f（g（π))＝f（０)=０.]4.函数ｆ(x)＝错误!未定义书签。

的图象如图所示，则下列结论成立的是( ）ﻬA．ａ〉0,b＞0，c<0 Ｂ.ａ<0,b>０，ｃ>０C．ａ〈0，b〉0,c〈０ﻩD．a〈0,b＜0,c<0C［依题意,可知函数定义域为｛x|x≠－ｃ｝，结合图象知－c>0,∴c<0.令x＝0,得f(０)=错误!,又由图象知ｆ(0)〉０,∴b>0。

令ｆ（x ）=0,得ｘ＝-错误!未定义书签。

，结合图象知－b a〉0,∴a <0. 故选C 。

]5.设函数f (x ）＝错误!若f 错误!未定义书签。

=４,则ｂ＝( ) A ．1ﻩ B.错误!未定义书签。

C ．错误!未定义书签。

ﻩ D.错误!未定义书签。

Ｄ [f 错误!＝3×错误!未定义书签。

－b =错误!-ｂ,若错误!未定义书签。

-ｂ<１，即b 〉＼f(3,２)，则3×错误!-b ＝错误!未定义书签。

苏教版高中数学必修第一册8.1.1函数的零点【授课课件】

8.1.1 函数的零点
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必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点．
()
(2)任意两个零点之间函数值保持同号．
()
(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜
A 易知 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象是一条连续不断的曲线，又 f(－ 3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以 f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程 ax2＋bx＋c＝0 在(－3，－1)内有根，同理方程 ax2＋bx＋c＝0 在(2,4) 内有根．故选 A．
8.1.1 函数的零点
第8章函数应用
8.1 二分法与求方程近似解 8.1.1 函数的零点
8.1.1 函数的零点
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必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
1．理解函数的零点的概念以及函 1．通过零点的求法，培养数学运算数的零点与方程根的关系．(重点) 和逻辑推理的素养． 2．会求函数的零点．(重点、难点) 2．借助函数的零点与方程根的关 3．掌握函数零点的存在定理并会系，培养直观想象的数学素养．判断函数零点的个数．(难点)
8.1.1 函数的零点
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必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
求函数的零点求函数 fx的零点时，通常转化为解方程 fx＝0，若方程 fx＝0 有实数根，则函数 fx存在零点，该方程的根就是函数 fx的零点；否则，函数 fx不存在零点.

2021_2022学年高中数学课时分层作业7函数的表示法(含解析)新人教A版必修1

课时分层作业(七) 函数的表示法(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．购置某种饮料x听，所需钱数为y元．假设每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为( )A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})D[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，应选D.]2．函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，那么f(g(2))的值为( )x 12 3f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，那么f(g(2))＝f(1)＝2.]3．小明骑车上学，开场时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，那么当x ≠0，1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1B [令1x ＝t ，那么x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，那么有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，应选B.]5．假设f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，那么f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧2〔2a ＋b 〕－3〔a ＋b 〕＝5，2〔0·a ＋b 〕－〔－a ＋b 〕＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.]二、填空题6．f (2x ＋1)＝x 2－2x ，那么f (3)＝________．－1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如下图，那么f (x )的值域为________．[－4，3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2，3]∪[－4，]，即[－4，3]．] 8．假设一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，那么这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]三、解答题9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象答复以下问题： (1)比拟f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)求函数f (x )的值域．[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如下图：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，那么函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式；(3)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＋1，求f (x )的解析式．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，那么2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3.∴f (x )＝x 2＋3.[等级过关练]1．函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，那么a 的值为( ) A ．－1 B ．5 C ．1D ．8C [由3x ＋2＝2得x ＝0，所以a C.]2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)D [由题意得y ＋2x ＝20，所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5，由y >0即20－2x >0得x <10，所以5<x D.]3．f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，那么f (x )的解析式为________．f (x )＝13x 2－2x [以－x 代替x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得：f (x )＝13x 2－2x .]4．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，那么a 的值为________．－1 [因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x2－x ＋1，求得a ＝－1.]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为 1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域．[解] (1)由，横断面为等腰梯形，下底为 2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋〔2＋2h 〕]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0，)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．。

苏教数学必修一课时分层作业函数的概念含解析

课时分层作业(六) 函数的概念(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列关于函数概念的说法中，正确的序号是( )A ．函数定义域中的每一个数都有值域中唯一确定的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素，反之，当值域只有一个元素时，定义域也只有一个元素D ．函数的定义域和值域可以是空集A [由函数的定义可知函数定义域中的每一个元素在值域中一定有唯一确定的元素与之对应，故A 正确；函数的定义域和值域可以为有限集合，如f (x )＝x ＋1，x ∈{1,2,3}，则y ∈{2,3,4}，故B 不对；根据函数定义可知，当定义域中只有一个元素时，值域也只有一个元素，但当值域只有一个元素时，定义域却不一定只有一个元素，如f (x )＝1，x ∈R ，C 不对．由函数定义可知定义域和值域均是非空数集，D 不对．]2．下列各式中函数的个数为( )①y ＝x －(x －3)；②y ＝x －2＋1－x ；③y ＝x 2；④y ＝±x .A ．1B ．2C ．3D ．4B [①y ＝x －(x －3)＝3为函数；②要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x ≥0，解得x ∈∅，不是函数；易知③为函数；而④，对于任一个x 值，y 有两个对应值，所以④不是函数．]3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．(0,5)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞D ．(0，＋∞)B [由题意知0<y <10，即0<10－2x <10，解得0<x <5.又底边长y 与腰长x 应满足2x >y ，即4x >10，x >52.综上，52<x <5.]4．下列四组中f (x )，g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |.B [A 中的两个函数它们的解析式相同，定义域不同；B 中的两个函数它们的解析式一样，定义域均为实数集R ，故是同一函数；C 中函数的定义域不同；D 中函数的解析式不一样．]5．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A ．[－1,3]B ．(0,3]C ．{0，－1,0,3}D ．{－1,0,3}D [当x 取0,1,2,3时，y 的值分别为0，－1,0,3，由集合中元素的互异性知值域为{－1,0,3}．]二、填空题6．若函数f (x )的定义域为[－1,1]，则f (2x ＋1)的定义域为________．[－1,0] [由题可知－1≤2x ＋1≤1，∴－1≤x ≤0，所以函数定义域为[－1,0]．]7．函数y ＝kx 2－6x ＋8的定义域为R ，则k 的取值范围是________．k ≥98 [定义域为R ，所以kx 2－6x ＋8≥0恒成立，因此满足⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，Δ≤0，代入解不等式组得k ≥98.]8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －2的定义域是________． [－1,2) [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤3，x －2≠0⇒－1≤x <2，所以g (x )的定义域为[－1,2)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋2x －6. (1)当x ＝4时，求f (x )的值；(2)当f (x )＝2时，求x 的值．[解] (1)∵f (x )＝x ＋2x －6，∴f (4)＝4＋24－6＝－3.(2)由f (x )＝2，得x ＋2x －6＝2.解方程得x ＝14. 10．判断下列对应是否为函数．(1)x →2x ，x ≠0，x ∈R ；(2)x →y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R .[解] (1)对于任意一个非零实数x ，2x 被x 唯一确定，所以当x ≠0时，x →2x 是函数，这个函数也可以表示为f (x )＝2x (x ≠0)．(2)考虑输入值为4，即当x ＝4时输出值y 由y 2＝4给出，得y ＝2和y ＝－2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以，x →y (y 2＝x )不是函数．[等级过关练]1．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(0,2)D ．(－1,2) C [由题意得⎩⎨⎧ －1<x 2<1，－1<x －1<1⇒0<x <2.]2．已知f (|x |)的定义域为(－1,2]，则f (x )的定义域为( )A ．(－1,2]B ．[1,2]C ．(0,2]D ．[0,2]D [由－1<x ≤2得0≤|x |≤2，所以f (x )的定义域为[0,2]．]3．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有________种．7 [值域C 是由集合A 中1,2,3所对应的象构成的，故值域C 的可能情况为{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}，共7种．]4．判断下列函数是否是同一函数．(1)y ＝x 2＋3x ＋1与y ＝t 2＋3t ＋1；(2)y ＝x 2与y ＝|x |.[解] (1)∵两个函数的定义域与对应法则均相同，∴两个函数是同一函数．(2)∵y ＝x 2与y ＝|x |的定义域都为R ，但对应法则不同，∴两个函数不是同一函数．。

第14讲函数的表示方法(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第14讲函数的表示方法知识点一函数的表示方法1．列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．2．解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法，这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式．3．图象法：用图象表示两个函数之间函数关系的方法称为图象法．4．函数的三种表示方法的优、缺点知识点一分段函数1．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．3．对分段函数的再理解(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．考点一：函数的表示法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【解析】(1)列表法：x/台12345y/元3000600090001200015000x/台678910y/元1800021000240002700030000(2)图象法：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．【总结】函数的三种表示方法的选择和应用的注意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．变式已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________．【答案】11【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f (g (1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.考点二：用待定系数法求函数解析式例2已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝16x －25，求f (x )；【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25，2＝16，＋b ＝－25，＝4，＝－5＝－4，＝253，∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.【总结】变式已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ).【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，a ＝2，b ＝－4，a ＋2c ＝0，＝1，＝－2，＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.考点三：利用换元法(配凑法)求函数解析式例3已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；【解析】(1)(方法1：换元法)：令t ＝x ＋1(t ≥1)，则x ＝t －1，x ＝(t －1)2，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1).(方法2：配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1.因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1).【总结】变式已知f (x ＋2)＝2x ＋3，求f (x ).【解析】f (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以f (x )＝2x －1.考点四：用方程组法求函数解析式例4已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x ).【解析】因为f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，x ）＋2f （－x ）＝x 2＋2x ，①x ）＋2f （x ）＝x 2－2x .②将①、②两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，所以f (x )＝13x 2－2x .【总结】变式已知f (x )＋2＝x (x ≠0)，求f (x )；【解析】∵f (x )＋2＝x ，用1x 代替x 得＋2f (x )＝1x，消去f 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x3(x ≠0).考点五：赋值法求函数的解析式例5设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．【解析】（方法1）由已知条件得f (0)＝1，又f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，设y ＝x ，则f (x －y )＝f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1.（方法2）令x ＝0，得f (0－y )＝f (0)－y (－y ＋1)，即f (－y )＝1－y (－y ＋1)，将－y 用x 代换得f (x )＝x 2＋x ＋1.【总结】变式设f (x )是R 上的函数，f (0)＝1，并且对于任意的实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋y (2x ＋1)，求f (x ).【解析】由已知条件得f (0)＝1，又f (x ＋y )＝f (x )＋y (2x ＋1)，设y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋(－x )(2x ＋1)，∴f (x )＝2x 2＋x ＋1.考点六：分段函数求值问题例6已知函数f (x )2，|x |≤1，|x |>1.(1)求f的值；(2)若f (a )＝13，求a 的值．【解析】(1)因为＝|12－1|－2＝－32，所以＝＝11＝413.(2)f (a )＝13，若|a |≤1，则|a －1|－2＝13，得a ＝103或a ＝－43，因为|a |≤1，所以a 的值不存在；若|a |>1，则11＋a 2＝13，得a ＝±2，符合|a |>1.所以若f (a )＝13，a 的值为±2.【总结】变式若函数f(x)＋2，x>0，2－1，x≤0，则f(f(－3))＝________．【答案】10【解析】f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f(f(－3))＝f(8)＝8＋2＝10.考点七：分段函数的图象及应用例7分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．(1)y0＜x＜1，x≥1.(2)y，x＜－2，3x，－2≤x＜2，3，x≥2.【解析】各函数对应图象如图所示．由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6].【总结】变式设x∈R，定义符号函数sgn x，x>0，，x＝0，1，x<0，则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是()【答案】C【解析】函数f(x)＝|x|sgn x x，x>0，0，x＝0，x，x<0，故函数f(x)＝|x|sgn x的图象为y＝x所在的直线．故选C.考点八：分段函数的应用问题例8某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励经销商订购该零件，决定每次订购超过100个零件时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)求当经销商一次订购多少个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元；(2)若经销商一次订购x(x∈N*)个零件时，该厂获得的利润为y元，写出y关于x的表达式．【解析】(1)设零件的实际出厂单价恰好为51元时，一次订购x0个零件，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购550个零件时，零件的实际出厂单价恰好为51元．(2)设一次订购x个零件时，零件的实际出厂单价为W元，当0<x≤100时，W＝60；当100<x<550时，W＝60－0.02(x－100)＝62－0.02x；当x≥550时，W＝51.由题意得y＝(W－40)x，当0<x≤100时，y＝20x；当100<x<550时，y＝(22－0.02x)x＝22x－0.02x2；当x≥550时，y＝11x.故y20x，0<x≤100，x∈N*，22x－0.02x2，100<x<550，x∈N*，11x，x≥550，x∈N*.【总结】分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数；变式某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本C (x )元，且C (x )x 2＋400x ，0<x <40，004x ＋10000x－9800，40≤x ≤100，若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．(1)求制造商所获月利润L (x )(元)关于月产量x (台)的函数关系式；(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．【解析】(1)当0＜x ＜40时，L (x )＝1000x －10x 2－400x －3000＝－10x 2＋600x －3000；当40≤x ≤100时，L (x )＝1000x －1004x －10000x＋9800－3000＝6800x.所以L (x)10x 2＋600x －3000，0<x <40，800x 40≤x ≤100.(2)①当0＜x ＜40时，L (x )＝－10(x －30)2＋6000，所以当x ＝30时，L (x )max ＝L (30)＝6000.②当40≤x ≤100时，L (x )＝6800x ≤6800－24x ·10000x＝6400，当且仅当4x ＝10000x ，即x ＝50时取等号．因为6400＞6000，所以x ＝50时，L (x )最大．故月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．1．已知函数f (x )由下表给出，则满足f [f (x )]>f (3)的x 的值为()x 123f (x )231A.1或3B ．1或2C ．2D ．3【答案】A【解析】由表知f (3)＝1，要使f [f (x )]>f (3)，必有f (x )＝1或f (x )＝2，所以x ＝3或x ＝1.2．如果＝x1－x，则当x ≠0，1时，f (x )等于()A ．1x B ．1x －1C ．11－xD ．1x－1【答案】B【解析】令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入＝x 1－x ，则有f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.故选B.3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可以是()【答案】B 【解析】取h ＝H 2与h ＝H 两个位置观察注水量V ，知h ＝H 2时，水量已经超过V2，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.4．已知函数f (x )对任意实数x ，y 均有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (2)＝1，则f (1)＝________，＝________．【答案】0－1【解析】∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)＋f (1)，∴f (1)＝0.又f (1)＝＝f (2)＋＝0，∴＝－1.5．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，求弹簧总长y (单位：cm)与所挂物体质量x (单位：kg)之间的函数解析式．【解析】设所求函数解析式为y ＝kx ＋12(k ≠0)，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，解得k ＝12，所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12(x ≥0).6．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是()【答案】A【解析】因为y ＝x 2|x |，x >0，x ，x <0，所以函数的图象为选项A.7．已知f (x )－5，x ≥6x ＋2），x <6，则f (3)为()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)，f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.8．(多选)设函数f (x )－x ，x ≤a ，2＋1，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a 可以为()A ．1B ．0C ．－1D ．－2【答案】BCD【解析】根据题意，函数f (x )－x ，x ≤a ，2＋1，x >a ，若a <0，f (1)＝12＋1＝2，f (0)＝02＋1＝1，满足f (1)＝2f (0)；若0≤a <1，f (0)＝1－0＝1，f (1)＝1＋1＝2，满足f (1)＝2f (0)；若a ≥1，f (0)＝1－0＝1，f (1)＝1－1＝0，不满足f (1)＝2f (0).故a 的取值范围为(－∞，1)，分析选项B 、C 、D 符合．故选B 、C 、D.9．已知函数f (x )x ，x ≤0，x －1，x >0，则不等式f (x )≥1的解集是________．【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】x ≤0时，由－x ≥1解得x ≤－1，x >0时，由2x －1≥1解得x ≥1，综上不等式的解为x ≤－1或x ≥1.所以x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞).10．如图，底角∠ABE ＝45°的直角梯形ABCD ，底边BC 长为4cm ，腰长AB 为22cm ，当一条垂直于底边BC 的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BE ＝x ，试写出阴影部分的面积y 与x 的函数关系式，并画出函数的大致图象．【解析】根据题意得，当直线l 从点B 移动到点A 时，0≤x ≤2，y ＝12x 2；当直线l 从点A 移动到点D 时，2<x ≤4，y ＝12×2×2＋(x －2)×2，即y ＝2x －2.所以阴影部分的面积y 与x 的函数关系式为y 12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈（2，4].函数图象如图所示．1．已知函数f (x )x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图象是()【答案】A【解析】当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1，2)，B 错．故选A.2．若函数f (x )－x ，x ≤－1，x ＋2x －7，x >－1，则f [f (－2)]＝()A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】C【解析】∵函数f(x)x，x≤－1，＋2x－7，x>－1，∴f(－2)＝－(－2)＝2，f[f(－2)]＝f(2)＝2＋22－7＝－4.故选C.3．已知函数f(x－1)＝2x2－2，则f(－1)的值为()A.－3B．0C．－2D．2【答案】C【解析】因为f(x－1)＝2x2－2，令t＝x－1，则x＝t＋1，所以f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，所以f(x)＝2x2＋4x，所以f(－1)＝2－4＝－2.故选C.4．(多选)已知函数f(x)＋2，x≤－1，2＋1，－1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是()A．f(x)的定义域是RB．f(x)的值域是(－∞，5) C．若f(x)＝3，则x的值为2 D．f(x)图象与y＝2有两个交点【答案】BC【解析】由函数f(x)＋2，x≤－1，2＋1，－1<x<2知，定义域为(－∞，－1]∪(－1，2)，即(－∞，2)，A错误；x≤－1时，f(x)＝x＋2∈(－∞，1]，－1<x<2时，x2∈(0，4)，故f(x)＝x2＋1∈(1，5)，故值域为(－∞，5)，B正确；由分段的取值可知f(x)＝3时x∈(－1，2)，即f(x)＝x2＋1＝3，解得x＝2或x＝－2(舍去)，C正确；由分段的取值可知f(x)＝2时x∈(－1，2)，即f(x)＝x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1(舍去)，故f(x)图象与y＝2有1个交点，D错误．故选B、C.5．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()【答案】A【解析】水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下：开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A 符合．故选A.6．已知函数f (x )x 2＋1（x ≤0），2x （x >0），若f (a )＝10，则a 的值是()A ．－3或5B ．3或－3C ．－3D ．3或－3或5【答案】A【解析】若a ≤0，则f (a )＝a 2＋1＝10，∴a ＝－3(a ＝3舍去)，若a >0，则f (a )＝2a ＝10，∴a ＝5，综上可得，a ＝5或a ＝－3.故选A.7．(多选)已知f (2x ＋1)＝4x 2，则()A ．f (1)＝4B ．f (－1)＝4C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x －1)2【答案】BD【解析】令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，因为f (2x ＋1)＝4x 2，所以f (t )＝4t －122＝(t －1)2，所以f (x )＝(x －1)2，所以f (1)＝(1－1)2＝0，f (－1)＝(－1－1)2＝4.故选B 、D.8．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________．【答案】2x －23【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋43a ＝6，3a ＋3b ＝4，a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.9．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________．x0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜20y＝f(x)46810【答案】{1，2，3，5}【解析】当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1，2，3}；当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}；当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅；当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅；综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1，2，3，5}．10．已知f(x＋4)＝x＋8x，则f(x)＝________．【答案】x2－16(x≥4)【解析】令x＋4＝t≥4，则x＝t－4，x＝(t－4)2，所以f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，所以f(x)＝x2－16(x≥4).11．某省两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修建一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．【解析】(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0).由题意，得16＝4k＋b，10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，所以y＝－2x＋24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知S＝xy，所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，所以当x＝6时，S max＝72，此时y＝12，则每日最多运营的人数为110×72＝7920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.12．已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，则f(f(1))＝()A．1B．7C ．8D ．16【答案】B【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为f (2x )＋f (x －1)＝10x 2－7x ＋5，所以4ax 2＋2bx ＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝10x 2－7x ＋5，化简可得5ax 2＋(3b －2a )x ＋a －b ＋2c ＝10x 2－7x ＋5，a ＝10，b －2a ＝－7，－b ＋2c ＝5，＝2，＝－1，＝1，所以f (x )＝2x 2－x ＋1，所以f (1)＝2－1＋1＝2，所以f (f (1))＝f (2)＝2×4－2＋1＝7.故选B.13．(多选)(2021·扬州中学高一期中)一次函数f (x )满足：f (f (x ))＝4x ＋3，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝1－2xC ．f (x )＝2x －3D ．f (x )＝－2x －3【答案】AD【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，2＝4，＋b ＝3，＝2，＝1＝－2，＝－3，即f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.故选A 、D.14．图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为盈的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是________；图③的建议是________．【答案】增加票价，运营成本不变票价不变，降低运营成本【解析】由图①可以看出，直线的y ＝kx ＋b 中的k 实际意义是票价，在y 轴上的截距的相反数表示运营成本，图②中，直线的k 增加，在y 轴上的截距b 不变，即表示增加票价，运营成本不变；图③中，直线的k 不变，直线的截距b 增加，即表示票价不变，降低运营成本．15．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x ·＋1，则f (x )＝________．【答案】－38x －18(x >0)【解析】在f (x )＝3x ·＋1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，∴＝31x ·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去，整理得f (x )＝－38x －18(x >0).16．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．【解析】（方法1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；①又因为|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |＝22，所以b 2－4ac ＝8a 2；②又由已知得c ＝1.③由①②③解得b ＝2，a ＝12，所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.（方法2）因为y ＝f (x )的图象有对称轴x ＝－2，又|x 1－x 2|＝22，所以y ＝f (x )的图象与x 轴的交点为(－2－2，0)，(－2＋2，0)，故可设f (x )＝a (x ＋2＋2)(x ＋2－2).因为f (0)＝1，所以a ＝12.所以f (x )＝12[(x ＋2)2－2]＝12x 2＋2x ＋1.17．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).(1)分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【解析】(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (2)＝1，故k 1＝12，又g (4)＝4，∴k 2＝2.从而f (x )＝12x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0).(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元，则y ＝f (x )＋g (10－x )＝12x ＋210－x (0≤x ≤10)，令t ＝10－x ，则y ＝－12(t －2)2＋7(0≤t ≤10)当t ＝2时，y max ＝7，此时x ＝6.18．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m ，渠深为1.8m ，斜坡的倾斜角是45°(无水状态不考虑).(1)试将横断面中水的面积A (h )(单位：m 2)表示成水深h (单位：m)的函数；(2)确定函数A (h )的定义域和值域；(3)画出函数A (h )的图象．【解析】(1)依题意，水深h (m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高h m ，于是得横断面中水的面积为A (h )＝2＋（2＋2h ）2·h ＝h 2＋2h (m 2)，所以A (h )＝h 2＋2h (0<h ≤1.8).(2)由(1)知，函数A (h )＝h 2＋2h 的定义域是(0，1.8]，显然A (h )＝(h ＋1)2－1在(0，1.8]上随h 增大而增大，A (h )>A (0)＝0，A (h )max ＝A (1.8)＝6.84，所以函数A (h )的定义域为(0，1.8]，值域为(0，6.84].(3)由(2)知，A (h )＝(h ＋1)2－1是二次函数，其图象对称轴h ＝－1，顶点为(－1，－1)，而0<h ≤1.8，于是得函数A (h )＝h 2＋2h (0<h ≤1.8)的图象是抛物线的一部分，如图所示．。

【苏教版高一数学】函数2.函数的表示法精编教案

第1.2.2节函数的表示法假如你在一望无际的沙漠中迷失了方向,当烈日当空时你发现了自己带了一只手表,这时你能为自己辨别方向吗?答案是肯定的！方法如下:把手表放平(一天以24小时计),以时针的时数的一半对准太阳,则表面上”12时”指的方向就是北方.可是你知道其中的道理吗?学习完本节知识,也许你就能找到其中的奥妙.研习教材重难点研习点1.函数的表示方法1．函数的表示方法解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这个数学表达式就叫做函数的解析式,简称为解析式.如2260,2,,(0)s t s rl y ax b y ax bx c a π===+=++≠等,都是用解析式法表示的函数关系.这种表示方法能简明、全面地概括了变量之间的函数关系，并且可以通过解析式求出一个变量所对应的函数值. 缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来.图象法:就是用图像表示两个变量之间的对应关系. 把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.这种表示函数关系的方法叫做图象法.这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的.这种表示方法能直观形象地表示出函数的变化,相应函数值的变化趋势,有利用我们通过函数的图象来研究函数所具有某些性质.因此这种表示方法广泛地应用到生产和生活中,如企业的生产图,股市的走趋图等.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.这种表示方法不需要计算就可以直接看出自变量的值所对应的函数值,所以常常用于实际生产与生活中,如银行的利率表,列车的时刻表等.缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌. 【辨析·比较】函数的三种表示方法的优缺点函数的三种表示方法各有优缺点；用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确，不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x 与y 的对应值需要逐个计算，有时比较繁杂；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数之间的数量关系，不足之处是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以反映函数变化的全貌；用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质，不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确.所以，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数解析式，即用解析式表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后画出函数的图象.典例1. (1)若一个长方体的高为80cm ，长比宽多10cm ，则这个长方体的体积y （cm 3）与长方体的宽x （cm ）之间的表达式是________________.(2) 用同样规格的黑、白两色颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，那么随着图形个数的增加，黑色瓷砖的个数怎样变化？将下表补充完整，你能写出y 与n 之间的函数表达式吗？(3) 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )解：(3)根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B 、C 符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B .【研析】(1)由题意，知长方体的宽为xcm ，长为（10+x ）cm ，则根据长方体的体积公式，得2(10)8080800.y x x x x =+⨯=+所以y 与x 之间的表达式是280800.y x x =+(2) 观察所给图形，知表格中依次填4、7、10、13.y 与n 之间的表达式为3 1.y n =+(3)根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B 、C 符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B.思考：在学习函数表示方法的过程中,应注意把握那些方面的内容?探究：函数的常用表示方法有列表法、解析法和图象法，在学习函数的表示方法中要把握以下三点：一、函数的三种表示方法均揭示了函数概念的本质――变量的变化规律（依赖关系），反映了定义域、对应法则和值域三者的内在联系，依据函数概念，要表示函数必须准确表示函数的定义域和对应法则，三种表示方法各有特点，解析法把两个变量的函数关系用一个数式表示，函数关系清楚，容易从自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质.列表法，列出表格来表示两个变量的函数关系，不必通过计算即可知道与自变量取某些允许值（定义域中的一值）时函数的对应值，图象法是用函数图象表示两个变量之间的关系，优点是能直观形象的表示出函数的变化情况，可以从图象上观察出函数的一些性质.二、函数的三种表示方法是相互联系和相互转化的首先，若函数用解析法表示时，它一定可以用列表法表示出函数中部分（有限个值）自变量与函数值的对应表.表中的每对对应值作为点的坐标，在坐标系中描点.用曲线光滑地连接，就得到了近似的函数图象.第二，若函数能用图象法表示时，它一定可以用列表法表示出函数的部分自变量与函数值的对应表（列表法），也一定能近似地用解析式表示.第三，若函数能用列表法表示时，虽然可以用近似地函数图象表示，也能用近似地解析式表示，但有时会使问题复杂化.因为寻找函数解析式有时是非常困难地，因此表示函数方法要恰当.2．分段函数（难点）已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数.例如某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券，每1000张奖券为一组，编号为1号至1000号，其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元，开奖时，中特等奖号码为328号，那么，一张奖券所得特等奖金y 元与号码x 号的函数关系表示为0(328)5000(328)x y x ≠⎧=⎨=⎩. 【梳理·总结】分段函数是一个函数吗?对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同，在解决有关段函数问题时既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化. 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．典例2.某商店销售某种商品,当销售量x 不超过30件时,单价为a 元,其超出部分按原价的90%计算,表示销售价y 与销售量x 之间的函数关系.【研析】由题意知:销售量为x , ,销售价为y当030x ≤≤时,y xa =当30x >时,(30)90%y xa x a =+-⨯⋅=1.927xa a - 故销售价y 与销售量x 之间的函数关系为(030)1.927(30)xa x y xa a x ≤≤⎧=⎨->⎩ 研习点2.映射1．映射的概念一般地,设A 、B 是两个非空集集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping). 从映射的定义可以看出,映射的概念与函数的概念相差不大,无非是只把函数概念中的两个数集推广到两个任意的集合.对于映射:f A B →,我们通常把集合A 中的元素叫原象,而把集合B 中的与集合A 中元素相对应的元素叫做象.集合A 叫做原象集,集合B 叫做象所在的集合(集合B 中可以有些元素不是象).映射只要求“对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应”,即对于集合A 中的每一个原象在集合B 中都有象,至于集合B 中的元素在集合A 中是否有原象,以及有原象时是否唯一等问题是不需要考虑的.2．映射观点下的函数定义用映射刻画函数的定义可以这样叙述:设A 、B 是两个非空数集,那么集合A 到集合B 的映射:f A B →就叫做集合A 到集合B 的函数,记作()y f x =,其中,x A y B ∈∈.原象集合A 叫做函数()y f x =的定义域,象集合C 叫做函数()y f x =的值域,很明显,.C B ⊆3．一一映射一般地,设A 、B 是两个非空集集合, :f A B →是集合A 到集合B 的映射,如果在这个映射下,对于集合A 中的不同元素,在集合B 中有不同的象,而且B 中每一个元素都有原象,那么这个映射就叫做A 到B 上的一一映射.从一一映射的概念上可以看出,一一映射对于集合A 中的不同元素,在集合B 中有不同的象,也就是说不允许“多对一”；集合B 中的每一个元素都是集合A 的某个元素的象，也就是说集合B 中的每一个元素都有原象，即集合B 中不能有剩余元素. 【探究·发现】从A 到B 的映射与从B 到A 的映射一样吗?对于映射中的两个集合A 、B 是有先后顺序的，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述.另外, “都有唯一” 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思.典例3.判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射,哪些不是,为什么?(1)*A B N ==,对应关系:|3|.f x y x →=-(2),{0,1}A R B ==,对应关系1(0):0(0)x f x y x ≥⎧→=⎨<⎩. (3),A Z B Q ==,对应关系1:.f x y x→= (4){0,1,2,9},{0,1,4,9,16}A B ==,对应关系2:(1).f a b a →=- 【研析】判断一个对应是不是映射,应从两个角度去分析:一、是否是“对于集合A 中的每一个元素”；二、在B 中是否“有唯一的元素与之对应”.一个对应是映射必须具备这两个方面,如果有一点不具备,那也不能说对应关系是映射.另外,说明一个对应不是映射,只需举出一个反例就可以了.因此:(1)对于集合A 中的元素3,在f 的作用下得0,但0B ∉,即3在集合B 中没有象,所以这种对应不是映射.(2)对于集合A 中任意一个非负数都有唯一象1,对于A 中任意一个负数都有唯一象0,所以这种对应是映射.(3)集合A 中的数0在集合B 中没有元素与之对应,故不是映射.(4)在f 的作用下,集合A 中的0,1,2,9分别对应到集合B 中的1,0,1,64,所以是映射. 研习点3.函数的图象画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域，两个用不同的解析式表示的函数，只有在对应关系相同，定义域相同的条件下，才能相同的函数，才能有相同的图象.由函数的图象的定义知道，点的集合{(,)|(),}x y y f x x A =∈是函数()y f x =的图象，因此从理论上讲，用列表示描点法总是能作出函数的图象.事实上，如果不了解函数本身的特点，我们就没有办法了解函数图象的特点，盲目地列表描点是很难将函数的图象特征描绘出来的.函数的图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础，该部分应解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数的图象，主要有三点要求：（1）会画出各种简单函数的图象；（2）能以函数的图象识别相应的函数的性质；（3）能用数形结合思想以图辅助解题.除了列表描点法作图以外，我们还经常通过平移变换及对称变换的方法作出函数的图象：(开拓学习新视野▲课标知识拓展趣说函数“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三还不能深刻理解这一概念.原因在于这一概念的抽象性，如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用.1 函数是个“信使”“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清.同样，“函数”也是这样，每个自变量x都要按一定的对应法则与确定的y一一对应.自变量x就是一封信，它被“对应法则”这个信使送到确定的“收信人”——y手里.2 函数是个“产品加工厂”工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量x按规格——“对应法则”“加工”成不同产品——y.它也象“数字发生器”把原料——自变量x，投入不同的“数字发生器”——“对应法则”就会得到不同的产物——因变量y.3函数是个“无能的射手”有本领的射手可以“一箭双雕”，可函数不行，有可能射不中目标，但它能多箭一雕.正如，由数集A 到数集B的映射中，B中每个元素必有原象，也可有多个原象. A中元素在B中可以没有象.4函数是“封建社会的婚宴”在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量x可对应一个函数值y，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值.在现代社会是“一夫一妻”制，这正如有反函数的函数x与y之间必须是一一对应的.有了上面的解释，你对“函数”这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了.。

苏教版数学高一《函数的表示方法》精品学案

§2.1.2函数的表示方法(一)
【学习目标】：
掌握函数的三种表示方法（列表法，解析法，图象法），及其互相转化；Байду номын сангаас解分段函数的概念。
【教学过程】：
一、复习引入：回顾初中学过的函数及其表示方法
二、新课讲授：
函数的三种表示方法：
列表法：
解析法：
图象法：
三、典例欣赏
例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出函数的值域。
，且此函数的定义域是
7.函数的定义域为
8.设函数，则＝．
9．若一个函数满足，则满足该条件的一个函数解析式是
10．（1）作出函数y=2x2+|x2-1|的图象。（2）作出函数y=|x-2|(x+1)的图象。
11.某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这个商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个。
1.物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。已知开始下落的内，物体下落了，则开始下落的内物体下落的距离是
2.已知函数，则 =
3．已知函数则
4.已知，试写出从集合A到集合B的两个函数
5.请写出三个不同的函数解析式，满足。
6.建造一个容积为、深为的长方形无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为和，则总造价（元）与关于底面一边长（）的函数解析式是
13．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，当时，写出的解析式，并作出函数的图象.
14．已知函数 .
（1）求的值；（2）计算： .
【拓展提高】
15．已知两个函数，

函数的表示方法课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

（2）便于数形结合思想的应用
数值，而且有时误差较大
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示例下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号
姓名
1
2
3
4
5
6
小伟
98
87
91
92
88
95
小城
90
76
88
75
86
80
小磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
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例6 某镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色镇”.经调
研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：
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3.分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次
画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点.
示例已知函数f（x）＝1+
−
（-2<x≤2）.
2
（1）用分段函数的形式表示f（x）；（2）画出f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的值域.
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+ 1 2 , ≤ −1,
例5 已知函数f（x）＝ 2 + 2, −1 < < 1, 若f（a）>1，则实数a的取值范围是（
C ）
1
, ≥ 1,

1

苏教版数学高一《函数的表示方法》同步学案苏教

§2.1.2函数的表示方法（2）
【教学目标】
掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；会用待定系数法、换元法求函数的饿解析式；通过实际问题体会数学知识的广泛应用性，培养抽象概括能力和解决问题的能力.
【考纲要求】
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
【课前导学】
1．函数()01
)(2≠+=
x x x x f ，则)1(x f 是； 2．已知1)1(+=+x x f ，那么)(x f 的解析式为；
3．一个面积为2100m 的等腰梯形，上底长为xm ，下底长为上底长的3倍，则高y 与x 的解
析式为；
4．某种笔记本每本5元，买x （{}4,3,2,1∈x ）个笔记本的钱数记为y （元），则以x 为自
变量
的函数y 的解析式为；
【例题讲解】
例1. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式.
变式:如图所示，梯形ABCD 中，CD AB //，5==BC AD ，,10=AB 4=CD ，动点P 自B 点出发沿DA CD BC →→路线运动，最后到达A 点，设点P 的运动路程为x ，ABP ∆的面积为y ，试求)(x f y =的解析式并作出图像.。

高中数学苏教版必修一《2.1.2函数的表示方法》课件PPT

计费，因此，通话收费 x 元与通话时间 t 分钟的
函数解析式用分段函数表示．
解析：这个函数的定义域是 x＞0，函数解析式为
x＝00..22， n－t∈10，，t∈3]，n，n＋1]n∈N，n≥3. 图象如下图所示．
点评：实际问题的解析式由实际问题数学化后得出，在定义域上函数解析式若不能统一，则是一个分段函数，本题的函数图象是一些与 x 轴平行的线段，其定义域是(0，＋∞)．
分析：(1)由已知，f(x)是二次函数，所以可设 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，设法求出 a，b，c 即可．(2)若能将 x＋2 x适当变形，用 x＋1 的式子表示就好办了．(3)视x＋x 1为一整体不妨设为 t，然后用 t 表示 x，代入原表达式求解．(4)x，－x 同时使得 f(x)有意义，用－x 代 x 建立关于 f(x)，f(－x)的两个方程就好了．
变式训练
kx＋2x＋4，x∈[－3，－2，
kxx＋2，x∈[－2，0， f(x)＝ xx－2，x∈[0，2]，
x－2kx－4，x∈2，3].
变式
训练
5．已知函数 f(x)满足条件：f(x)＋2f1x＝x，求
f(x)．
解析：∵f(x)＋2f1x＝x, ① 将①中的 x 换成1x得 f1x＋2f(x)＝1x.② 由①②解得 f(x)＝132x－x.
题型三分段函数
例 4 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过 3 分钟收费 0.2 元．超过 3 分钟，以后每增加 1 分钟收费 0.2 元，不足 1 分钟以 1 分钟计费，求通话收费 x 元与通话时间 t(分钟)的函数解析式，并画出其图象．
分析：通话前 3 分钟的收费和以后每隔 1 分钟的收费都是不同值，并且不足 1 分钟以 1 分钟

江苏省涟水中学高一数学必修一教学案 8 函数的表示方

§8 函数的表示法一、教学目标二、教学重难点三、新课导航1．问题展示(1)函数的表示方法1)列表法：___________________________________________________注：优点：不需要计算就可以直接看出自变量对应的函数值局限性：只能表示自变量取较少的有限值得对应关系2）图像法：________________________________________________________注：优点;能直观形象地表示出函数的变化情况缺点;只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。

3）解析法：________________________________________________________注：解析法表示函数关系，便于用解析式研究函数的性质。

（2）分段函数;在定义域内不同部分上有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数。

注;1）分段函数的图象由几个部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的可以是一些孤立的点或几段线段；2)分段函数虽由几个部分构成，但它代表的是一个函数，是一个整体。

2.基础测评1）已知f(x ）为一次函数，2f(2)-3f(1)=5，2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=_________;2)已知函数则f(x)=__________________.四、合作探究活动1、购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。

若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y 表示成x })4,3,2,1{(∈x 的函数，并指出该函数的值域。

活动2、画出函数x x f =)(的图像，并求)1(),1(),3(),3(f f f f --的值。

思考;1)作3+=x y 的图象 2)作23-++=x x y 的图象活动3、某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价7元收费，超过3 km 以外的路程按2.4元/km 收费。

高中数学新苏教版精品学案《函数的表示方法》8

函数的表示方法【学习目标】1．掌握函数的三种常用表示方法，了解初等函数图像的几种情形； 2．理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法。

【学习重难点】掌握函数的三种常用表示方法【课前导学】引入问题 1．回忆函数的两种定义； 2．函数的三要素分别是什么？3．设函数22(2)()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。

【学习过程】一、建构数学：函数的三种表示方法：（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）；如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）；如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图像法（用图像来表示两个变量的函数关系）。

如：优点：直观形象地表示自变量的变化。

二、应用数学：例1 某种笔记本每个5元，买（∈{1，2，3，4}）个笔记本的钱数记为（元），试写出以为自变量的函数的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1，2，3，4}，函数的解析式为=5，∈{1，2，3，4}。

它的图像由4个孤立点A （1， 5）、B （2， 10）、 C （3， 15）、D （4， 2021成，如图所示：例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封 g （0<≤100）的信函应付邮资为（单位：分），试写出以为自变量的函数的解析式，并画出这个函数的图像。

解：这个函数的定义域集合是1000≤<x ，函数的解析式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x y这个函数的图像是5条线段（不包括左端点），都平行于轴，如图所示。

江苏省高中数学学案苏教版必修1：8《函数的概念和图象》.doc.docx

第 8 课时函数的概念和图象【学习目标】1．理解函数的概念，明确函数的三个要素；2．学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系.【课前导学】（一）引入问题【问题 1】初中我们学过哪些函数？答：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数．【问题 2 】初中所学函数的定义是什么？答：设在某变化过程中有两个变量x 和 y，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量．（二）函数感性认识【引例1】炮弹飞行时间的变化范围是数集A{ x 0x26} ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B { h 0 h 845} ，对应关系 h130t5t 2（ * ）．从问题的实际意义可知，对于数集 A 中的任意一个时间 t，按照对应关系（ * ），在数集 B 中都有唯一确定的高度h 和它对应．【引例2】中数集A{t 1979 t2001} ， B{ S 0S26} ，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应．【引例3】中数集A{1991,1992,,2001}, B{53.8,52.9,,37.9(%)} ，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应．【课堂活动】一．建构数学：（一）归纳总结给函数“定性”归纳以上三例，三个实例中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、 B 间的一种对应关系：对数集A 中的每一个 x，按照某个对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应，记作 f : A B ．（二 )理性认识函数的定义设 A ．B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f : A B 为从集合A到集合 B 的一个函数（function），记作 y f ( x), x A ，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合{ f (x) x A} 叫做函数的值域(range)．定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（ 1）对应法则： f (x) 是一个函数符号，表示为“ y 是 x 的函数” , 绝对不能理解为“y 等于 f 与 x 的乘积”，在不同的函数中， f 的具体含义不一样；y=f(x) 不一定是解析式，在不少问题中，对应法则 f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号 f (x) 表示外，还常用g(x) ．F(x) ．G(x) 等符号来表示；自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时，对应的函数值用符号 f (a)来表示．如函数 f (x)=x 2+3x+1,当 x=2 时的函数值是： f (2)=22．+3×2+1=11注意： f (a) 是常量， f (x)是变量， f (a) 是函数 f (x) 中当自变量 x=a 时的函数值．（ 2）定义域是自变量x 的取值范围；【注意】 ①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如： y=x 2(x R )与 y=x 2(x>0) ； y=1 与 y=x 0②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集合；在实际中，还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为 xm ，长是宽的 2 倍，其面积为 y=2x 2，此函数的定义域为x>0, 而不是 xR ．（ 3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定．二．应用数学：例 1 判断下列对应是否为函数：（ 1） x1R ；, x 0, xx（ 2） xy ，这里 y 2x, x N , y R ．分析：依据函数的定义．（解答见教材 P 23 例 1）例 2 已知函数 f (x)x 31 ，x 2（ 1）求函数的定义域；（ 2 ）求 f ( 3), f ( 2) 的值；3（ 3）当 a>0 时，求 f (a), f (a 1) 的值．【思路分析】函数的定义域就是指能使表达式有意义的实数的集合．解：略．例 3 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1；(2)f(x) ＝ 3x ＋ 2 ；(3) f(x)＝ x ＋1 ＋ 1．x － 22－ x解： (1)x － 2≠ 0，即 x ≠ 2 时， 1x － 2有意义，∴这个函数的定义域是 { x ｜ x ≠ 2} ．2(2)3x ＋ 2≥ 0，即 x ≥－ 3时 3x ＋2 有意义，∴函数 y ＝ 3x ＋ 2 的定义域是 [－23 ，＋∞）．(3)x ＋ 1≥0 x ≥－ 1，2－ x ≠0 x ≠ 2∴这个函数的定义域是 { x ｜ x ≥－ 1} ∩ { x ｜ x ≠ 2} ＝ [ － 1， 2）∪（ 2，＋∞）．【说明】给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合．从上例可以看出，当确定用解析式y=f (x) 表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（ 1）如果 f (x) 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果 f (x) 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果 f (x) 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果 f (x) 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（ 5）如果 f (x) 是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．由上可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定．例 4 下列函数中哪个与函数y x 是同一个函数？⑴ y23 x3；⑶ y x2．x ；⑵ y解：⑴ y20 ）,y0，定义域不同且值域不同，不是；x ＝x（ x⑵ y3x 3＝ x （x R ）,y R ，定义域值域都相同，是同一个函数；⑶ y x 2＝ | x |=x, x0, y0 ；值域不同，不是同一个函数x x0【解后反思】判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同．只有完全一致时，这两个函数才算相同．例 5 求函数 f(x)=(x-1) 2+1,x ∈ {-1,0,1,2,3} 的值域．略解：值域为 {2,1,5,} ．注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“ f： A→ B”表示 A 到 B 的一个函数，它有三个要素；定义域．值域．对应关系，三者缺一不可 .③集合 A 中数的任意性，集合 B 中数的惟一性 .④ f 表示对应关系，在不同的函数中， f 的具体含义不一样 .⑤ f(x) 是一个符号，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积 .三．理解数学：1．求下列函数的定义域：1x 4x 2 ；(3) f ( x)x 1（ 1）f ( x)； (2) f (x)1(1 2x)( x 1) 2 x 2．求下列函数的值域：(1)y＝ 1－ 2x（ x∈R）；(2)y＝｜ x｜－ 1x∈ { － 2，－ 1， 0， 1， 2} ；(3)y＝ x2＋ 4x＋ 3（－ 3≤x≤ 1）．分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于 (1)(2) 可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2) 的值域 .对于 (3) 可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.解： (1)y∈R(2)y∈ {1 ，0，－ 1}2(3)画出 y＝ x ＋ 4x＋3（－ 3≤ x≤ 1）的象，如所示，当 x∈[ －3， 1]，得 y∈ [－ 1， 8]【后提升】1．下列各中的两个函数是否相同的函数？① y1(x3)( x5)x5x3， y2（定域不同）② y1x1x1 ，y2(x 1)( x1)（定域不同）③ f 1 ( x)( 2x 5 )2， f2 (x)2x5（定域．域都不同）2f ( x) 的象与直x1的公共点数目是．或1．函数 y3．求函数 f(x)=(x-1) 2+1 的域．（答： {y|y ≥ 1}4．求下列函数的定域：1） y=12） y=1．11 | x |x 2x 2答案：（ 1) {x|x ∈ R,且 x≠± 1} ；（2） {x|xx ∈ R,且 x≠1,2,3} ．5．某胞分裂，由一个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个， 4 个分裂成8 个⋯⋯，将胞分裂的个数y 表示分裂次数 x 的函数．（答案 y=2x,x∈ N）。

苏教版学高中数学必修一函数函数的表示方法讲义

学习目标核心素养１．理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．（重点）２．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．（重点、难点）通过学习本节内容进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.１．函数的表示方法２．分段函数（１）在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．（２）分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．（３）分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）任何一个函数都可以用列表法表示．（）（２）任何一个函数都可以用解析法表示．（）（３）有些函数能用三种方法来表示．（）[答案] （１）×（２）×（３）√２．若函数f（x）＝错误!则f（x）的定义域为______，值域为________．{x|x≠0}{y|y>—１} [定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，当x>0时，f（x）>0，当x<0时，f（x）>—１，∴值域为{y|y>—１}．]３．某同学去商店买笔记本，单价５元，买x（x∈{１,２,３,４,５}）个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f（x）．[解] 列表法：笔记本数x１２３４５钱数y５１0１５２0２５解析法：y＝５x，x∈{１,２,３,４,５}．图象法：求函数解析式【例１】求下列函数的解析式．（１）已知f（x）为一次函数，f（２x＋１）＋f（２x—１）＝—４x＋6，则f（x）＝________.（２）已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，则f（x）＝________.（３）已知f（x）为一次函数，且f（f（x））＝４x—１，则f（x）＝________.（４）设函数f（x）＝错误!若f（—４）＝f（0），f（—２）＝—２，则f（x）的解析式为________．（５）若f 错误!＝x２＋错误!，则f（x）＝________.思路点拨：（１）（３）（４）可以设出函数解析式，用待定系数法求解．（２）可以把错误!＋１看作一个整体来求解．（５）可以把x—错误!看作一个整体来求解．（１）—x＋３（２）x２—１（x≥１）（３）２x—错误!或—２x＋１（４）f（x）＝错误!（５）x２＋４[（１）设f（x）＝ax＋b（a≠0），f（２x＋１）＝a（２x＋１）＋b，f（２x—１）＝a（２x—１）＋b，f（２x＋１）＋f（２x—１）＝４ax＋２b＝—４x＋6，所以错误!解得错误!即函数f（x）的解析式为f（x）＝—x＋３．（２）法一：令错误!＋１＝t（t≥１），则错误!＝t—１，x＝（t—１）２，∴f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—１，∴f（x）＝x２—１（x≥１）．法二：f（错误!＋１）＝x＋２错误!＝（错误!＋１）２—１，∴f（x）＝x２—１（x≥１）．（３）设所求函数f（x）＝kx＋b（k≠0），所以f（f（x））＝f（kx＋b）＝k（kx＋b）＋b＝k２x＋kb＋b＝４x—１，则错误!解得错误!或错误!所以f（x）＝２x—错误!或f（x）＝—２x＋１．（４）由题意得错误!解得错误!故f（x）＝错误!（５）f 错误!＝x２＋错误!＝错误!错误!＋４，∴f（x）＝x２＋４．]求函数解析式的常用方法１待定系数法：已知函数f x的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.２换元法：令t＝g x，注明t的范围，再求出f t的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f x，一定要注意t的范围即为f x中x的范围.３配凑法：已知f g x的解析式，要求f x时，可从f g x的解析式中拼凑出“g x”，即用g x来表示，再将解析式两边的g x用x代替即可.４代入法：已知y＝f x的解析式求y＝f g x的解析式时，可直接用新自变量g x替换y＝f x中的x.１．（１）已知f（x）是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f（２）＝３，f（１）＝３，则f （x）＝________.（２）若f错误!＝错误!＋错误!，则f（x）＝________.（１）x＋错误!（２）x２—x＋１（x≠１）[（１）设f（x）＝k１x＋错误!，则错误!⇒错误!∴f（x）＝x＋错误!.（２）令t＝错误!（t≠１），则x＝错误!，∴f（t）＝错误!＋（t—１）＝t２—t＋１，∴f（x）＝x２—x＋１（x≠１）．]分段函数试求f（—５），f（—错误!），f 错误!的值．思路点拨：要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由—５∈（—∞，—２]，—错误!∈（—２,２），—错误!∈（—∞，—２]，知f（—５）＝—５＋１＝—４，f（—错误!）＝（—错误!）２＋２（—错误!）＝３—２错误!.因为f错误!＝—错误!＋１＝—错误!，—２<—错误!<２，所以f 错误!＝f 错误!＝错误!错误!＋２×错误!＝错误!—３＝—错误!.１．（变结论）本例条件不变，若f（a）＝３，求实数a的值．[解] １当a≤—２时，f（a）＝a＋１，所以a＋１＝３，所以a＝２>—２不合题意，舍去．２当—２<a<２时，a２＋２a＝３，即a２＋２a—３＝0．所以（a—１）（a＋３）＝0，所以a＝１或a＝—３．因为１∈（—２,２），—３（—２,２），所以a＝１符合题意．３当a≥２时，２a—１＝３，所以a＝２符合题意．综合１２３，当f（a）＝３时，a＝１或a＝２．２．（变结论）本例条件不变，若f（m）>m（m≤—２或m≥２），求实数m的取值范围．[解] 若f（m）>m，即错误!或错误!即m≤—２或错误!所以m≤—２或m≥２．所以m的取值范围是（—∞，—２]∪[２，＋∞）．１．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．２．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．３．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式１．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．２．解方程组：错误![提示] 法一（代入消元法）：由２得A＝B＋6，代入１得B＋6＋B＝４，∴B＝—１，代入A＝B＋6，得A＝５，∴A＝５，B＝—１．法二（加减消元法）：１＋２得２A＝１0，∴A＝５，１—２得２B＝—２，∴B＝—１．３．探究２中，每个等式右边如果是代数式，如错误!能求A，B吗？[提示] 能求A，B.仍可以采用上述两种方法．两式相加得２A＝x２＋４x，∴A＝错误!，两式相减得２B＝x２—４x，∴B＝错误!.【例３】求解析式．（１）已知f（x）＋２f（—x）＝错误!，求f（x）；（２）已知２f（x）＋f 错误!＝３x，求f（x）．思路点拨：将f（x）与f（—x），f（x）与f 错误!分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f（x）．[解] （１）∵f（x）＋２f（—x）＝错误!，１用—x替换x得f（—x）＋２f（x）＝—错误!，２２×２—１得３f（x）＝—错误!—错误!＝—错误!，∴f（x）＝—错误!.（２）∵２f（x）＋f 错误!＝３x，用错误!替换x得２f 错误!＋f（x）＝错误!，消去f 错误!得３f（x）＝6x—错误!，∴f（x）＝２x—错误!.方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数错误!，互为相反数（f （—x），f（x））的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用错误!或—x替换原式中的x即可．２．已知f（x）满足f（x）＝２f 错误!＋x，则f（x）的解析式为________．f（x）＝—错误!—错误![因为f（x）＝２f 错误!＋x，用错误!替换x得f 错误!＝２f（x）＋错误!，代入上式得f（x）＝２错误!＋x，解得f（x）＝—错误!—错误!.]１．函数三种表示法的优缺点２．描点法画函数图象的步骤：（１）求函数定义域；（２）化简解析式；（３）列表；（４）描点；（５）连线．３．求函数解析式常用的方法有：（１）待定系数法；（２）换元法；（３）配凑法；（４）消元法等．１．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选Ｃ．]２．已知函数f（３x＋１）＝x２＋３x＋２，则f（１0）＝________.２0 [令３x＋１＝１0，∴x＝３，代入得f（１0）＝３２＋３×３＋２＝２0．]３．已知f（x）是一次函数，２f（２）—３f（１）＝５,２f（0）—f（—１）＝１，则f（x）＝________.３x—２[设f（x）＝kx＋b（k≠0），∵２f（２）—３f（１）＝５,２f（0）—f（—１）＝１，∴错误!∴错误!∴f（x）＝３x—２．]４．已知函数f（x）＝错误!（１）求f（２），f（f（２））的值；（２）若f（x0）＝8，求x0的值．[解] （１）∵0≤x≤２时，f（x）＝x２—４，∴f（２）＝２２—４＝0，f（f（２））＝f（0）＝0２—４＝—４．（２）当0≤x0≤２时，由x错误!—４＝8，得x0＝±２错误!（舍去）；当x0>２时，由２x0＝8，得x0＝４．∴x0＝４．。

2019_2020学年高中数学课时作业8函数的表示法课件新人教A版必修1

函数关系的是( C )
5．已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1)，且过(2,2)点，则该
二次函数的解析式为( C )
A．y＝x2－1 B．y＝－(x－1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
解析：设二次函数为 y＝a(x－1)2＋1，将(2,2)代入上式，得 a＝1.所以 y＝(x－1)2＋1.
解：由题意，得△CQB∽△BAP，所以CBQA＝CBPB，即3y＝4x.所以 y＝1x2. 因为 BA≤BP≤BD，而 BA＝3，CB＝AD＝4，所以 BD＝ 32＋42＝5，所以 3≤x≤5，故所求的函数表达式为 y＝1x2(3≤x≤5)．
如图所示，曲线 MN 就是所求的函数图象．
——能力提升类—— 12．某工厂今年前五个月每月生产某种产品的数量 C(件)关于时间 t(月)的函数图象如图所示，则这个工厂对这种产品来说
解析：∵2⊕x＝ 4－x2，x⊗2＝ x－22＝|x－2|， ∴f(x)＝|x－42－|－x22. 易知函数的定义域为{x|－2≤x<0 或 0<x≤2}． ∴f(x)＝－ 4－ x x2，x∈[－2,0)∪(0,2]．
15．已知函数 f(x)＝ax＋x b(a，b 为常数，且 a≠0)满足 f(2)＝1，方程 f(x)＝x 有唯一解，求函数 f(x)的解析式，并求 f(f(－3))的值．
解：(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图 1 所示．由图可知 y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为－14，2.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图 2 所示．由图可知 y＝2x(－2≤x≤1，且 x≠0)的值域为(－∞，－1] ∪[2，＋∞)．
11．如图所示，在矩形 ABCD 中，BA＝3，CB＝4，点 P 在 AD 上移动，CQ⊥BP，Q 为垂足．设 BP＝x，CQ＝y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并画出函数的图象．

高一数学(苏教版必修第一册)5.2函数的表示方法(课件)

x
1
x 0
A．
2x 1
2
B ． 1 x 0
x
）
1 x
x 1
C．
1 x
【答案】B
【解析】令 t
1
2
1
f
t

1 t 0 ，
x

t

0

，则
且
，所以，
x
t
t
2
f
x

因此， x 1 x 0 .故选：B.
2x
x 1
知识回顾
二：函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）
，可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知 f g x 的解析式，求函数 f x 的解析式的问题
（1）先令 g x t ，注意分析 t 的取值范围；
（2）反解出 x，即用含 t 的代数式表示 x；
（3）将 f g x 中的 x 度替换为 t 的表示，可求得 f t 的解析式，从而求得 f x 。
3、配凑法：由已知条件 f g x F x ，可将 F x 改写成关于 g x 的表达式，
a b 2c 5
c 1

所以 f 1 2 1 1 2 ，所以 f
故选：B.
x 2 x2 x 1 ，
f 1 f 2 2 4 2 1 7 ，