2020版高中数学第二章数列2.1.1数列学案(含解析)新人教B版必修5
2020-2021学年高二数学人教B版必修5 学案：2.1.1 数列(一) Word版含解析
其次章 数列 §2.1 数 列 2．1.1 数 列(一)自主学习 学问梳理 1．数列的概念依据确定________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________． 2．数列的一般形式数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为________，其中______称为数列{a n }的第1项(或称为______)，a 2称为第2项，…，________称为第n 项．3．数列的分类(1)依据数列的项数可以将数列分为两类： 有穷数列：项数________的数列； 无穷数列：项数________的数列．(2)依据数列的每一项随序号变化的状况分类：递增数列：从第2项起，每一项都________它的前一项的数列； 递减数列：从第2项起，每一项都________它的前一项的数列； 常数列：各项________的数列；摇摆数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4．数列的通项公式假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式假如已知数列{a n }的首项(或前n 项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．自主探究1．数列1,2,3,4，…的一个通项公式是________．2．数列1，12，13，14，…的一个通项公式是______________．3．数列2,4,6,8，…的一个通项公式是____________． 4．数列1,3,5,7，…的一个通项公式是____________． 5．数列1,4,9,16，…的一个通项公式是____________． 6．数列1,2,4,8，…的一个通项公式是____________．7．数列－1,1，－1,1，…的一个通项公式是____________． 8．数列1，－2,3，－4，…的一个通项公式是____________． 9．数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式是____________．10．数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的一个通项公式是____________． 对点讲练学问点一 依据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，….总结 解决本类问题的关键是观看、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要擅长利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．变式训练1 写出下面数列的一个通项公式．(1)212，414，618，8116，…；(2)10,11,10,11,10,11，…；(3)－1，85，－157，249，….学问点二 依据递推公式写出数列的前几项例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *).写出这个数列的前5项．总结 由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法．变式训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．学问点三 数列通项公式的应用例3 已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．。
高中数学 第二章 数列(2)教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
数列数列检测：一、选择题：（5*10=50）1．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2．等比数列{}n a 中，11a =，528a a =-，52a a ＞，则n a = A ．1(2)n -- B ．1(2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n--3. 设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = （A ） -11 (B) -8 (C) 5(D) 114．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）645．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = （A ）3（B ）4（C ）5（D ）66．已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·a a ３１＝2a ，且4a 与72a 的等差中项为54，则S 5= A ．35 B ．33 C ．31 D ．29 7 在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5 （B ）6（C ）8 （D ）10 8已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A.1+B.1.3+D 3-9已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)10如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a = （A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35二、填空题：(5*8=40)1． 等差数列{a n }中，a 6 + a 35 = 10，则S 40 =_________。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_26
普通高中课程标准实验教科书人教B版数学必修5《2.1.1数列的概念与简单表示法（第一课时）》教学设计一、教学内容分析本节内容是人教B版高中数学必修五第二章第一节第1课时.学生在前面已充分学习了函数内容，对高中函数知识已经有了较为全面的认识和一定程度的理解.“数列”作为高中数学的重要内容之一，是数学运算、逻辑推理等训练的重要载体.数列知识是从数学角度观察、理解生活中数列模型和数列现象的基本知识，是前面所学函数知识的延伸和应用，.就本节课而言，这是一节章节起始课，学生通过这节内容的学习，一方面在掌握数列概念的同时加深了对函数概念的理解；另一方面也可以为其后学习其他数列知识打下基础.同时，这是一节概念课，数列概念是本节课的基础知识；函数思想是基本思想；用恰当的方法表示数列和会求简单数列的通项和项是本节课的基本技能.作为一节概念课，在教学内容的设计与安排上，本课遵循概念形成的教学方式，遵循从形象到抽象的思维规律，学生经历了“分析大量实例—探究实例的共同属性和本质属性—抽象出数学概念—对概念进行理解和应用”完整的概念形成过程.过程中从生活实例中抽象出数列概念的本质属性和构成要素，渗透了数学抽象的核心素养；观察数列的前几项探究发现数列的通项公式等内容环节设计，也使得直观想象和数学运算核心素养得到一定程度的渗透和提升，发散联想应用列表法和图像法探究数列和函数的区别与联系.同时过程中鼓励学生以自主探究、合作交流等方式展开学习，从而体现数列概念的育人价值.二、教学目标分析1.了解数列的概念（1）通过实例归纳探究，引入数列的概念，理解数列的概念；感受数列是刻画自然规律的数学模型.（2）了解数列的几种分类，能判断简单数列属于哪一类的数列.2.了解数列的简单表示法（1）重现数学史上数学家的探究经历，引入数列的通项公式.（2）能根据一些简单的已知数列的前几项，写出数列的通项公式.3.了解数列是特殊的函数（1）经历对数列的项数和项之间关系的探究过程，能认识到数列是一种特殊的函数；通过具体实例，了解数列的图象法和列表法的表示方法，体会数列和函数的区别.（2）能运用函数的思想解决数列的问题.4.经历数列概念的形成过程中，通过对现实生活案例的抽象过程，了解数学探究的基本流程，提升数学抽象核心素养，提高学生归纳推理的能力，了解数学史和数学文化，增加数学学习兴趣，体会数列是反映自然规律的数学模型.三、学生学情分析在小学、初中学生已经经历通过找规律填数，感受顺序（数）与图形数之间的一一对应关系.经过高一阶段的学习，特别是学习了“函数的概念”后，学生在观察、抽象、概念等方面有了一定的基础.但概念学习中，有些同学还是习惯于记忆，自己主动构建概念的意识不够.在形成概念的过程中，学生辨别各种刺激模式、抽象概括出观察对象的共同本质特征，并用数学预言表达等方面表现出了不同的水平，从而影响整体教学.所以，数列概念的抽象和数列与函数的关系是本节课的教学难点.四、教学策略分析概念越是基本，就越能反映事物的深刻联系和广泛应用.因此，必须对概念做精准定位.数列是一个基本概念，它是刻画离散现象的数学模型，在很多区域有重要作用.学生经历问题的提出与分析过程，创设有利于学生辨别、抽象、概括的“刺激模式”——问题情境，是实施本节课教学活动的基础.因此，本节课采用了合作探究的学习模式，通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生发现和掌握知识，落实数学基本活动经验.具体做法是借助3个生活实例情境来贯穿整节课的教学活动过程，通过观察3个实例的共同点来探究数列的本质属性；通过大量具体生活实例来理解数列的分类并判断数列的类别；通过经历数学史上数学家探究数列通项的实例，学习数学文化，a与序号n之间是存在等式关系的，抽象出数列通项公式的概念，并能归纳猜想数列的项n对简单有规律的数列由前几项写出一个通项公式，通过辩证思维认识数列通项的不唯一性和不是所有的数列都有通项.通过联想对比认识数列与函数之间是有联系的，通过列表法和图象法来探究数列与函数的区别（分析问题与解决问题），并最终运用函数思想解决求它们的项或者序号n的问题.这样保持了教学活动的整体性和连续性.处理好数列与函数的关系是本节课的一个难点.通过列表、画图、通项公式三种表示方式将数列的学习与研究放在函数的大背景下，用函数的观点来研究数列，指导数列的学习是本节课的重要思想.而渗透在这个过程中的学生主动观察与猜想，探索与求证，正是发展其思维能力的最佳时机和重要过程.五、教学过程活动1 情境引入，感受数列问题1.1生活要有仪式感，生活中我们经常看到这样的道具，一个高台上摆满了酒杯，从上往下每一层的酒杯数分别是多少？我们得到了一列数1,3,5,7,9，这一列数中7是第几个数，能否改变它们的顺序？（民俗中的数列）问题1.2有的同学喜欢吃拉面，拉面在制作过程中拉的次数分别为1,2,3,4,5,6时看到的面条根数分别为多少？我们得到了一列数2,4,8,16,32,64，…这一列数中32是第几个数，能否改变他们的顺序？（生活中的数列）问题1.3 我国奥运健儿从88年汉城奥运会到16年里约奥运会金牌数分别为多少（教师收集资料，展示给学生）？这一列数5，16，16，28，32，51，38，26中，能否改变数的顺序？（体育中的数列）问题1.4 三列数有什么共同特点？（1）1 , 3 , 5 , 7 , 9 .（2）2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64，…（3）5，16，16，28，32，51，38，26.师生活动：教师创设三个具体的生活情境，并给出问题，学生回答，教师引导学生注意一列数中每个数的顺序性，初步认识数列的特点，抽象出数列的概念.设计意图：教师创设问题情境，学生解决问题，感受数列，体会数列中数是有顺序的，形成数列的概念.注意事项：教师要引导学生注意数的顺序性.活动2 归纳总结，认识数列问题2.1什么是数列？师生活动：教师给出问题，学生探讨，学生代表作答，教师借助多媒体给出完整的叙述并板书.问题2.2第一个数列中，第一项是多少，也是什么项？第二项是多少，第三项是多少，第四项是多少，第五项是多少？第二个数列中，2是第几项？4是第几项？8是第几项？16是第几项？32是第几项？64是第几项？第三个数列中，第5项是多少？51是第几项？首项是多少？师生活动：教师给出问题，学生回答，引导学生认识数列中项的含义和项与序号的对应关系、顺序性.设计意图：学生通过具体实例认识数列中的项、首项和项与序号的对应，理解数列项的顺序性，认识项与序号之间的对应关系.问题2.3试一试：请写出一列数构成数列，并说明每一个数是数列的第几项.师生活动：教师给出探究，学生独立完成，教师指导巡查.学生完成后，教师在黑板上a符号规范书写.向全班同学展示一位同学的成果（无通项的数列），运用n设计意图：学生初步运用数列的定义进行独立探究，通过运用知识，更好理解数列的概念.教师通过展示并规范书写，激发学生学习数学的热情，并让学生更好的运用数学符号，培养好的数学书写能力.注意事项：教师要引导学生认识数列，并注意学生对数列符号的运用及规范书写.问题2.4一列数可以构成数列，还可能构成什么？数列的项与数集的元素有什么区别？师生活动：教师给出问题，学生思考探讨回答问题.教师引导分析，让学生认识到数列的项是有顺序，但是可以相等，数集中的元素满足无序性和互异性.设计意图：通过对比，对数列定义进行辨析，进一步理解数列中项的特征.注意事项：学生很容易发现项的顺序性，教师可借助奥运会金牌的实例引导学生认识到数列和数集的区别.活动3 初步运用，数列分类活动3.1数学家定义了数列后，写出了大量的数列，结合数列的特点进行了简单的分类.按照项数是否有限，若项数有限，称为有穷数列，若项数无限，称为无穷数列.也可以按项的大小关系，如果从第二项起，每一项都大于前一项，称为递增数列；如果从第二项起，每一项都小于前一项，称为递减数列；如果从第二项起，每一项都等于前一项，称为常数列；如果从第二项起，有的项大于前一项，有的项小于前一项，称为摆动数列.活动3.2你能判断三个数列为哪种数列？教师给出问题，学生代表回答.活动3.3教师给出教材P28-29页观察，学生独立思考，学生代表回答问题.师生活动：教师给出完整的数列分类，并板书，过程中学生参与表达.教师给出问题，学生探讨，学生代表作答.设计意图：教师在数列定义的基础上直接给出数列的分类，学生运用知识判断具体的数列是哪种类别，促进学生思考，提高解决问题的能力.活动4 数学文化，探究通项活动4.1教师引导学生认识正方形数、三角形数和谢宾斯基三角形，学生由图形写出数列的前几项，归纳数列的项与序号之间的等式，形成通项公式的定义，并理解数列的项与序号的对应关系.设计意图：教师介绍数学史上数学家对数列的研究的故事，让学生了解数学文化，认识数列项与序号的对应关系，体会通项公式与项之间的对应关系.活动4.2数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式．（1）2，4，6，8，10.（2）1，2，4，7，8，16.（3）1，-1，1，-1，1.（4）1，12-，13，14-，15.（5）2，0，2，0，2.师生活动：教师给出问题，学生思考讨论完成.教师巡查指导，并找出两位同学到黑板上写出结果，师生共同点评，认识到数列的通项不一定唯一.设计意图：学生通过数列的前5项写出数列的通项公式，并通过讨论和点评对比，认识到数列的通项不一定唯一.注意事项：教师引导学生注意n 的取值为正整数，指导学生规范书写.教师要关注部分学生是否能写出数列的通项公式.活动4.3 请写出有规律五个数作为一个数列的前五项，其他同学写出这个数列的一个通项公式.是不是所有的数列都有通项公式？师生活动：教师给出问题，学生合作，相互完成.教师给出思考，辨析概念.设计意图：培养学生解决问题的能力.注意事项：教师要注意学生能否写出数列的通项，能否认识到通项的不唯一性和不一定存在性，教师要注意巡查指导，必要时借助学生列举的不规则数列说明.活动5 辨析数列，突破难点问题5.1你由数列的通项公式联想到什么？问题5.2 数列的项n a 可以理解为序号n 的函数吗，如果可以，有什么特别之处？问题5.3 函数有哪些表示方法，数列呢？师生活动：教师逐一给出问题，学生探讨，学生代表作答.教师展示具体数列*2,n a n n N =∈的三种表示方法，在展示过程中让学生发现数列图象的特点，意识到数列是特殊的函数.设计意图：让学生意识到数列是特殊的函数，数列由相应的三种表示方法. 问题5.4 已知数列的通项如下，请写出数列的前5项.()()()()21211;21 1 .n n n a n a n +==-+变式：已知数列{}n a 的通项为2*1,n a n n N =-∈，判断99是不是数列中的项，若是数列中的项，是第几项？师生活动：教师给出问题，学生探讨，学生代表作答.设计意图：让学生运用函数思想解决数列问题，并意识到数列的n 只能是正整数.注意事项：教师引导学生归纳解决问题的方法.活动6 总结整理，提炼升华本堂课，我们学习了哪些知识？本节课学习的主要内容有：1.数列的概念和分类;2.数列的通项公式；3.数列的表示方法与函数的关系.师生活动：教师给出问题，学生整体回答.设计意图：总结本堂课的内容和方法.注意事项：教师要注意知识的补充：数列的通项公式不一定唯一；不是所有的数列都有通项公式；数列是特殊的函数，定义域为自然数集（或子集），图象是离散的点.活动7 课后思考，课后练习问题 数列的第n 项n a 与第1n +项1n a +之间是否存在等式关系，数列是否还有其他的表示方法？（三角形数）课后练习 教材31页A 组练习1,2,3,5.师生活动：教师给出思考，学生课后阅读教材和资料，完成思考，并巩固练习.设计意图：通过练习巩固新知，通过思考让学生课后探究发现数列项与项之间的等式，发现递推公式也是表示数列的一种方法.。
2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 Word版含解析
§2.2 等差数列2.2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可． (2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52.3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52 B ．51 C ．50 D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( )A.12B.13C.14D.16 答案 A解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A.二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2(6a n －4)－2(a n ＋2)＝a n ＋24a n －8＝(a n －2)＋44(a n －2)＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列．(2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ，∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
高中数学 第二章 数列本章整合学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案
第二章 数列本章整合知识网络专题探究专题一 求数列的通项公式数列的通项是数列的重要内容之一，只要有数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解．如果一个数列是等差数列或等比数列，则可直接写出其通项公式，而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解．因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下．(一)观察法【应用1】 已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则此数列的一个通项公式是________．提示：已知数列的前若干项，求该数列的通项公式时，一般先对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式．解析：观察数列每项的绝对值，分母为2，4，8，16，32，…，是2n的形式，而分子，从第二项起满足“分子－分母＝－3”，因此改写第一项为－－12，这样，数列中每一项的绝对值都满足“分子－分母＝－3”这一规律，且数列中每一项的符号为“－”“＋”交替出现，故a n ＝(－1)n2n－32n ．答案：a n ＝(－1)n2n－32n(二)定义法【应用2】 等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25．求数列{a n }的通项公式．提示：本题已知{a n }是等差数列，可建立首项和公差的方程，通过解方程来求得首项和公差，再代入通项公式得其解．解：设数列{a n }的公差为d (d >0)． ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴23a ＝a 1a 9， 即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得d 2＝a 1d ． ∵d ＞0，∴a 1＝d ．① ∵S 5＝25a ，∴5a 1＋5×42d ＝(a 1＋4d )2．②由①②，得a 1＝35，d ＝35．∴a n ＝35＋(n －1)×35＝35n ．(三)S n 法【应用3】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．求数列{a n }和{b n }的通项公式．提示：本题已知S n 的表达式，自然想到使用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求解．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时也适用， 故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2．设{b n }的公比为q ，则b 2(a 2－a 1)＝b 1qd ＝b 1，又d ＝4， ∴q ＝14．又a 1＝b 1＝2，故b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1．(四)累加法【应用4】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n－n ，求数列{a n }的通项公式． 提示：由于本题给出了数列{a n }中连续两项的差，故可考虑用累加法求解． 解：由a n ＋1－a n ＝3n－n ， 得a n －a n －1＝3n －1－(n －1)，a n －1－a n －2＝3n －2－(n －2)，…a 3－a 2＝32－2， a 2－a 1＝3－1．当n ≥2时，以上n －1个等式两端分别相加，得 (a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1) ＝3n －1＋3n －2＋…＋3－[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]，即a n －a 1＝3(1－3n －1)1－3－n (n －1)2．又∵a 1＝1，∴a n ＝12×3n－n (n －1)2－12．显然a 1＝1也适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝12×3n－n (n －1)2－12．(五)迭乘法【应用5】 已知在数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求a n ．提示：此题已知S n 与a n 的关系，应想到使用S n 法，然后得到相邻两项比的等式满足a n＝a n －1f (n )这种模型，因此使用迭乘法求解．解：当n ≥2时，由S n ＝n (2n －1)a n ，得S n －1＝(n －1)(2n －3)·a n －1，两式相减，得(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1， ∴a n a n －1＝2n －32n ＋1． ∴a n －1a n －2＝2n －52n －1，…，a 2a 1＝15． 将上面n －1个等式相乘，得a n a 1＝(2n －3)(2n －5)(2n －7)…·3·1(2n ＋1)(2n －1)(2n －3)…·7·5＝3(2n ＋1)(2n －1)，∴当n ≥2时，a n ＝1(2n ＋1)(2n －1)．当n ＝1时，a 1＝13满足上式，故对n ∈N ＋，有a n ＝1(2n ＋1)(2n －1)．(六)辅助数列法【应用6】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式．提示：对于a n ＋1＝pa n ＋q 这一类型的递推关系式，常用配常数法求通项公式．设a n ＋1＋k ＝p (a n ＋k )，对比递推关系式，可得k ＝qp －1，构造出等比数列{a n ＋k }．解：令a n ＋1＋k ＝12(a n ＋k )，∵a n ＋1＝12a n ＋1，对比可得k ＝－2，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)．∴{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列．∴a n －2＝－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1．∴a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2．专题二 数列的求和问题我们已学习了等差数列和等比数列，并熟悉了有关等差数列和等比数列的求和公式，然而有些数列既不是等差数列，又不是等比数列，像这样的数列如何求和呢？数列的求和常涉及分类讨论、转化化归等思想方法．在求数列的前n 项和S n 时，要掌握以下几种常用的方法：(一)并项转化求和法【应用1】 求和：S n ＝12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002． 提示：根据条件可知：前后两项相互结合，利用公式化简求值得出和． 解：由平方差公式，得S n ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋(5－6)(5＋6)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－[(1＋2)＋(3＋4)＋(5＋6)＋…＋(99＋100)]＝－(1＋2＋3＋4＋…＋100) ＝－100×(1＋100)2＝－5 050． (二)倒序相加法【应用2】 在等差数列{a n }中，前4项的和为16，后4项的和为80，所有项之和为240，求这个数列的项数．提示：从题意可知前4项和与后4项和，又此数列是等差数列，具有与首尾“等距”的两项之和相等的特点，因此采用倒序相加法．解：设此数列{a n }共有n 项，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝16，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80．②以上两式相加，得4(a 1＋a n )＝16＋80， 解得a 1＋a n ＝24． 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝240，即n ×242＝240，解得n ＝20．所以数列的项数为20． (三)拆项分组求和法【应用3】 求数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，1a 3＋10，…，1an －1＋(3n －2)，…的前n 项和．提示：本题通项公式为a n ＝1an －1＋(3n －2)，是一个指数式和一个一次式的和组成的，可以选择拆项分组求和法．解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 a n ＝1an －1＋(3n －2)，∴S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1a2＋…＋1a n －1＋[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]．当a ＝1时，S n ＝n ＋(1＋3n －2)n 2＝3n 2＋n2．当a ≠1时，S n ＝1－1a n1－1a＋(1＋3n －2)n 2＝a n －1a n －a n －1＋(3n －1)n2．(四)错位相减法【应用4】 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．提示：(1)中利用基本量法列出关于a 1与d 的方程组即可求出a n ；(2)利用错位相减法．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n ．所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ．所以S n ＝n2n －1．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1．(五)裂项相消求和法【应用5】 求数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，…的前n 项和．提示：先找出数列的通项公式a n ＝1n 2＋2n ，结合其结构形式将1n 2＋2n 化为1n (n ＋2)即可进行裂项相消求和．解：因为通项a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以此数列的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)． 专题三 数列与数学思想数学思想方法对认知结构起着重要作用，是重要的基础知识，是知识转化为能力的桥梁．求解数列问题常用的数学思想有函数思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化思想等．(一)函数思想【应用1】 等差数列{a n }的首项为a 1＝14，前n 项和为S n ，若S 3＝S 5，则当n ＝__________时，S n 最大．提示：本题利用了等差数列前n 项和具有的二次函数性质，等差数列前n 项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决．解析：∵数列{a n }为等差数列，a 1＝14，S 3＝S 5，得3a 1＋3×22d ＝5a 1＋5×42d ． ∴d ＝－27a 1＝－4．∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝14n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋16n ．注意到函数y ＝－2x 2＋16x 的对称轴是x ＝－162×(－2)＝4．又∵n ∈N ＋，∴n ＝4时，S n 最大． 答案：4 (二)方程思想【应用2】 已知在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝26，a 1＋a 5－S 3＝5，求a 20及S 20． 提示：等差(比)数列的有关问题大都可以建立关于a 1，d (q )的方程组求解． 解：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝26a 1＋a 5－S 3＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝26，S 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝26，3a 1＋3d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝6.∴a 20＝a 1＋19d ＝1＋19×6＝115，S 20＝a 1＋a 202×20＝1 160．(三)整体思想【应用3】 某等差数列前4项之和为－4，最后4项之和为36，且所有项的和为36，则此数列共有______项．提示：解题时，分析已知条件与所求问题的联系，把a 1＋a 2＋a 3＋a 4以及a n ＋a n －1＋a n -2＋a n －3看成一个整体，灵活运用整体思想．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－4a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝36⇒4(a 1＋a n )＝32， ∴a 1＋a n ＝8． 又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝36，∴4n ＝36．∴n ＝9，即该数列共有9项． 答案：9(四)分类讨论思想【应用4】 已知等比数列{a n }是一个公比为q 的递增数列，且a 5＝a ，a 9＝a81，则该数列的首项a 1______0．(选填“＞”或“＜”)提示：当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论．在本题中，由于等比数列的增减性与a 1，q 相关，所以应对q 的取值进行讨论．解析：∵a n ＝a m qn －m，∴qn －m＝a na m，q 4＝a 9a 5＝181， ∴q 2＝19．∴q ＝±13．当q ＝－13时，显然数列为摆动数列，不合题意，舍去．当q ＝13时，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为减函数，∴当a 1<0时，a n 单调递增． 答案：<。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_6
《2.1.1数列的概念》问题导读评价单【学习目标】
1.理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会
根据其前几项写出它的个通项公式；
3.了解数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以
进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
【重点难点】
教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。
教学难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
【知识链接】
1.集合的概念是什么？
2集合的表示方法有哪些？
【预习评价】
问题1.数列概念是什么？
问题2.什么是数列的通项公式？
问题3.数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
问题4.对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
【我的问题】
1．
2．。
(新)高中数学第二章数列2_1_1数列学案新人教B版必修5
2.1.1 数列[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．[知识链接]下列四个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)是增函数．答案(3)解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．[预习导引]1．数列的概念按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．3．数列的通项如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．5．数列的分类(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列． (3)从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.要点一 数列的概念及通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (5)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)． (2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22.(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…. 所以a n ＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.要点二 数列通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)根据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项． 跟踪演练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第________项． 答案 10 解析 ∵1nn ＋2＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10. 要点三 判断数列的单调性 例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断该数列的单调性．解 ∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋12＋1－n 2n 2＋1＝n ＋12n 2＋1－n 2[n ＋12＋1][n ＋12＋1]n 2＋1＝2n ＋1[n ＋12＋1]n 2＋1，由n ∈N ＋，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．规律方法 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N ＋)的大小，若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．跟踪演练3 判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性． 解 ∵a n ＝n 3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13n ＋1＋1＝n ＋13n ＋4. 方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝n ＋13n ＋1－n 3n ＋43n ＋43n ＋1＝13n ＋43n ＋1，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列． 方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝n ＋13n ＋13n ＋4n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n ＝1＋13n 2＋4n>1， ∴a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列． 方法三 令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13x ＋1，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1是递增数列． 要点四 求数列的最大(小)项例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)方法一 ∵{a n }的相应函数为f (x )＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，可知对称轴方程为x ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 方法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤n ＋12－5n ＋1＋4，n 2－5n ＋4≤n －12－5n －1＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， 又∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴a 2＝a 3且最小．∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法 求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．跟踪演练4 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ·9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a 9＝a 10＝1010119.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值逐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N ＋.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数，1n 为偶数或a n ＝1＋－1n2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)．4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项．解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大项为a 7＝108.1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： ①确定性；②可重复性；③有序性． 2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2，…，n }为定义域的函数的表达式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． (4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．。
人教B版高中数学必修五《第二章数列2.1数列2.1.1数列》10
数列教课方案第三章数列（第一课时）人教版整日制一般高中教科书（必修5）教课目的【研究性学习目标】研究性课题，主假如针对某些数学识题的深入商讨，或许从数学角度对某些平时生活中和其余学科中出现的问题进行研究。
目的在于培育学生的创新精神和创建能力。
它要讨教师给学生供给研究的问题及背景，让学生自主研究知识的发生发展过程。
从问题的提出、研究的过程及猜想的成立均主要由学生自主达成，教师不行取代，但作为组织者，可供给必需指导。
【学科知识目标】经过教课使学生理解数列的观点，认识数列的表示法，能够依据通项公式写出数列的随意一项；关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的一个通项公式。
进一步培育学生的察看、抽象归纳能力；浸透函数思想．形成知识网络，培育学生由特别到一般的归纳猜想能力。
增强知识间的鉴识与联系。
【能力目标】在解决问题的过程中，培育学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，要点培育创新能力和实践能力。
【德育目标】经过相关数列实质应用的介绍，激发学生学习研究数列的踊跃性．增强爱国感情、环保意识，激发学生为国富民强而勤劳学习的精神。
【感情目标】经过小组议论，培育学生发现问题。
研究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。
【美育目标】数学的抽象美在“数列”上表现得酣畅淋漓。
【研究方法】察看发现，找寻规律。
找序号与项的关系，得出通项公式【组织形式】小组合作，集体议论。
【教课方法】第一由一个传说故事及一些生活中的例子，指引学生仔细察看各数列的特点，激发学生的民族骄傲感和创建欲念，而后指引学生得出相关数列的基本知识（研究的基础）及指引学生发现序号与项的关系的规律（研究的策略），渐渐发现其规律，从而抽象、归纳其通项公式。
让学生对数列学习进行初步的研究试试活动，让学生充足睁开思想进入研究状态。
【特色剖析】教师主导启迪，学生主体参加。
例子的多样性、察看的开放性给学生的研究供给了必定的创新空间。
【多媒体演示】黑板与多媒体的有机整合展现，帮助学生更简单搜寻此中的规律，获取更大的创新空间。
高中数学 第二章 数列 2.1 数列同步导学案 新人教B版必修5
2．1数列课程要求了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项. 基本概念1． 叫做数列， 叫做这个数列的项. 2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 .5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，即,321n n a a a a S ++++= 则 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==).2(),1(n n a n概念深化1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集+N 或它的有限子集{}n ,,2,1 为定义域的函数的表达式；2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用 ,3,2,1去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式. 如2的不足近似值，精确到 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1所构成的数列,4142.1,414.1,41.1,4.1,1就没有通项公式.4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列： ,1,1,1,1,1,1---它可以写成,)1(n n a -=也可以写成⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n还可以写成2)1(+-=n n a 等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.典例精析题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式. 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) ,33,17,9,5,3；（2） ,544,433,322,211；（3） ,777,,7777,777,77,7；（4）.,1337,1126,917,710,1,32 ---命题意图：寻求规律，写出通项公式.方法提升：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出. （1）;,515,414,313,2122222 ----（2）;,201,121,61,21 --（3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5题型二 数列通项公式的简单应用 例2 已知有穷数列 ,2625,1716,109,54（1）指出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 命题意图：考察对通项公式的理解及应用 方法提升(1)本题中极容易错误地认为122+n n 是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出n ，根据n 是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.一题一练 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1）求实数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项.题型三 已知n S 求n a例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式. （1）;12-=n n S （2）.322++=n n S n命题意图 本题为通过n S 求n a ，因为n n a a a S +++= 21，所以n S 与n a 有关系⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 可求得.n a 解 (1)由,12-=n n S 当1=n 时，;112111=-==S a 当2≥n 时， )12(1211---=-=--n n n n n S S a.22211--=-=n n n当1=n 时也适合,12111==-a 所以.21-=n n a（2）由,322++=n n S n 当1=n 时，.611==S a当2≥n 时，[].143)1()1(2)32(221-=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n.)2(14)1(6⎩⎨⎧≥-==∴n n n a n方法提升由n S 求n a 时，当1a 不符合1--=n n n S S a 表达式时，通项公式要分段表示. 即⎩⎨⎧≥==2)(11n n f n a a n 的形式.一题一练（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322-=，求数列通项公式； (2)已知数列⎣⎦n a 的前n 项和35-=n n S ，求数列通项公式题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.(1));12(,011-+==+n a a a n n (2).22,111+==+n nn a a a a 命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知1a 就可递推出,,2 a 依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想n a 的一个通项公式.方法提升由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出.巩固练习 一、选择题1.下列说法不正确的是( )A. 数列可以用图像来表示B. 数列的通项公式不唯一C. 数列的项不能相等D. 数列可以用一群狐立的点表示2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，下列各数中，不是{}n a 的项的是( )A. 1B. -1C. 2D. 3 3.设数列,,11,22,5,2 则52是这个数列的( )A. 第六项B. 第七项C. 第八项D. 第九项4.无穷数列 1,3,6,10,的通项公式为( )A. 12+-=n n a nB. 12-+=n n a nC. 22nn a n +=D. 22nn a n -=5.数列{}n a ，其中,,6,31221n n n a a a a a -===++，那么这个数列的第五项为（ ）A. 6B. -3C. -12D. -6二、填空题6.数列{}n a 中，)2(,211≥+==-n n a a a n n ，则=10a .7.在数列 ,55,34,,13,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值 .8.已知数列{}n a 通项公式*)(1242N n n n a n ∈--=，则:(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项； (3)这个数列从第 项起各项为正数. 三、解答题9.写出下列数列的一个通项公式 (1);,811,271,91,31,1 --(2);,0,3,0,3 (3),1716,109,54,21-- (4);,7777.0,777.0,77.0,7.010.在数列{}n a 中，.66,2171==a a 通项公式n a 是项数n 的一次函数. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)88是否是数列{}n a 中的项.11.已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n .(1)求{}n a 的通项公式； (2)当n 为何值时， n S 达到最大?最大值是多少?12.设数列{}n a 的通项公式为)(2+∈+=N n kn n a n ，若数列{}n a 是单调递增数列，求实数k 的取值范围.锁定高考已知数列{}n a 的前几项和n n S n 92-=，则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_18
前一节课已经掌握了等差数列定义和通项公式，类比等差数列学起来不是很困难。
2.认知障碍：
（1）思维障碍：等比数列通项公式的推导
（2）知识障碍：在知识的变通上存在一定的问题。
教学准备及
教学资源
多媒体课件
环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
创
设
情
境
三个实例引出等比数列的定义
提问，引导
回答，思考
3.通过多媒体课件激发学生学习兴趣，培养学生挑战并战胜困难的勇气与决心。
内容分析
1.地位概述：等比数列和等差数列是高考必定考察的知识点，出题形式多样，难度跨度较大，是学生必须掌握的内容。
2.知识体系：
(一)教学重点：等比数列定义和通项公式
(二)教学难点：等比数列通项公式的推导
学情分析
授课对象是鞍山市13中学高二学生。13中是鞍山市千山区的一所高中，学生基础较好，理解能力也很强。
教学设计
课题
2.3.1等比数列
年级学科
学
教材出版社
人民教育出版社
教者
欧光辉
单元章节
人教B版教材必修5第二章第三节
教学时间
40分钟
教学目标
知识与
技能
1.通过实例激发学生学习的兴趣，引出等比数列的定义。
2.通过习题掌握对等比数列通项公式的运用
过程与
方法
1.通过探索、研究、归纳、总结、应用，掌握知识之间的联系，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生学习数学、应用数学的意识；
教学反思
本节课整个教学设计力争落实新课标的理念。以学生的发展为本，关注知识的形成、发展过程，重视学生对等比数列一般研究方法的理解和领悟，促进学生学习活动中的深层次的数学思维参与，把学生思维能力的培养，良好学习习惯的培养渗透在教学的活动之中。
高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列学案 新人教B版必修5
2.1.1 数列1．理解数列的概念，了解数列的几种分类．2．了解数列通项公式的意义，会根据通项公式写出数列的任一项，并能写出简单数列的通项公式．3．了解数列与函数的关系．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照________排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的____．(2)数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，此数列可简记作{a n }，其中数列的第n 项记作____，这里{a n }是数列的简记符号，并不表示一个集合．关于定义的理解，应注意以下几点： ①数列的项与项的序号是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项的序号是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .②次序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列，显然数列与数集有本质的区别．例如，2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2,3,4,5,6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合．③数列a 1，a 2，…，a n ，不可以写成{a 1，a 2，…，a n }的形式，但是可以简记为{a n }． 【做一做1】将正整数的前5个数排列成四种形式：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是__________．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的________．(1)数列可以用通项公式来描述，也可以用列表或图象来表示； (2)不是所有的数列都有通项公式，如果有，则不唯一． 【做一做2】下列解析式中不．是数列1，－1,1，－1，…的通项公式的是( )． A ．a n ＝(－1)nB ．a n ＝(－1)n ＋1C ．a n ＝(－1)n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－1，n 为偶数3．数列与函数的关系在数列{a n }中，对于每一个正整数n (或n ∈{1,2，…，k })，都有一个数a n 与之对应，因此，数列可以看成以__________(或它的有限子集{1,2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照________的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f (x )，如果f (i )(i ＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，….其图象是一系列孤立的点．(1)数列{a n }与函数f (n )＝a n (n ∈N ＋)是不同的，{a n }中的元素具有有序性，如将a 1，a 2，a 3，…，a n 排成a 3，a 1，a 2，…，a n ，则为不同的数列，而对于函数f (n )＝a n (n ∈N ＋)来说却是一样的．(2)数列中，自变量的取值更有规律性，必须从小到大取正整数． 【做一做3－1】下列说法不正确的是( )． A ．数列可以用图象来表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列中的项不能相等D ．数列可以用一群孤立的点表示【做一做3－2】数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )，作为函数，它的定义域是( )． A ．正整数集N ＋ B ．自然数集NC ．正整数集N ＋或N ＋的任一子集D ．正整数集N ＋或其有限子集{1,2,3，…，n } 4．数列的分类 (1)类别 含义 ______数列 项数有限的数列 ______数列项数无限的数列类别 含义递增数列 从第二项起，每一项______它的前一项的数列 递减数列 从第二项起，每一项______它的前一项的数列常数列各项都______的数列【做一做4】已知下列数列： ①2 000,2 004,2 008,2 012； ②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…；⑤1,0，－1，…，sinn π2，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________．一、对数列通项公式的理解剖析：一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式a n ＝f (n )来表示，则这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式的作用在于：当用序号代替通项公式中的n 时，可以求出数列的各项，数列的通项公式确定了，数列也就确定了．(1)不是所有的数列都能写出它的通项公式，如π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值构成的数列，即3，3.1，3.14,3.141，…就没有通项公式．(2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数列－1，1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝－sin2n －1π2(n ∈N ＋)等等． (3)对某些数列，通项公式可写成一个式子，也可用分段函数的形式表达，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．(2)数列的通项公式是项a n 与项数n 的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值a n与自变量n 的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求函数的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如a n ＝－1n ，a n ＝5－2n等均满足条件．题型一 数列的概念【例1】下列哪些表示数列？哪些不表示数列？ (1){1,5,2,3,6,7}；(2)方程x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝0的解；(3)f (x )＝x 2－x ＋2的函数值f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)；(4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2,2x的值； (5)－3,－1,1,x ,5,7,y ,11.分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列．反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的．题型二 根据通项公式求项【例2】根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．(1)a n ＝n2n ＋1；(2)a n ＝3n ＋2n.分析：已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…代替公式中的n ，便可以求出数列的各项．反思：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值．题型三 由数列的前几项写通项公式【例3】分别写出下列数列的一个通项公式：(1)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(2)4，－52，2，－74，…；(3)5,55,555,5 555，…； (4)1,1，57，715，931，….分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可． 反思：常见数列的通项公式如下：①数列－1,1,－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n； ②数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n ； ③数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1； ④数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n ；⑤数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1；⑥数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n 2； ⑦数列11，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n .题型四 判断数列的增减性【例4】已知函数f (x )＝x －1x.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．分析：先根据已知条件解方程求a n ，然后利用作差或作商法判断数列{a n }的增减性． 反思：数列{a n }增减性的判定方法： (1)作差比较法①若a n ＋1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n ＋1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n ＋1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法题型五 【例5】设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1)，数列{a n }的通项a n 满足()22na f n ＝(n∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)数列{a n }中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．分析：第(1)问可用代入法求得a n 的关系式，再通过解方程求得a n .第(2)问可利用函数的单调性来判断．反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集{1,2，3，…，n })上的函数，判断数列随n 增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同．题型六 易错辨析【例6】已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]错解：因为a n 是关于n 的二次函数，其定义域为正整数集，故若{a n }递增，则必有k2≤1，故k ≤2.故选A ．错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：若a n ＋1＞a n ，则数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则数列为递减数列．1在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34，…中，x 的值是( )． A ．19 B ．20 C ．21 D ．222已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－n 2＋7n ＋9，则其第3项，第4项分别是( )． A ．21,23 B ．21,25C ．21,21D ．以上选项都不对3以下四个数中，哪个数是数列{n (n ＋1)}中的一项( )． A ．380 B ．39 C ．32 D ．234已知－1,7，－13,19，…，则这个数列的通项公式为________．5数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，则10－9是此数列的第________项．答案：基础知识·梳理1．(1)一定次序 项 (2)a n 【做一做1】①②③④ 2．序号n 通项公式【做一做2】A 令n ＝1，在a n ＝(－1)n ＋1中，a 1＝(－1)1＋1＝1，同样在 a n ＝(－1)n －1，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－1，n 为偶数中均有a 1＝1，符合题意．而在a n ＝(－1)n 中， a 1＝(－1)1＝－1，不符合题意，故选A.3．正整数N ＋ 从小到大【做一做3－1】C 数列中的项可以相等． 【做一做3－2】D4．(1)有穷 无穷 (2)大于 小于 相等 【做一做4】① ②③④⑤ 典型例题·领悟【例1】解：(1){1,5,2,3,6,7}表示的是一个数集，而不是数列； (2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列； (3)f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2,2x都是一些数，而且具有顺序，故是数列； (5)当x ，y 表示数时为数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列．【例2】解：(1)在通项公式a n ＝n2n ＋1中，依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a 1＝12×1＋1＝13，a 2＝22×2＋1＝25，a 3＝32×3＋1＝37，a 4＝42×4＋1＝49，a 5＝52×5＋1＝511.(2)在通项公式a n ＝3n ＋2n中，依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a 1＝3×1＋21＝5，a 2＝3×2＋22＝10，a 3＝3×3＋23＝17，a 4＝3×4＋24＝28，a 5＝3×5＋25＝47.【例3】解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(－1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1,3,5,7,9，为奇数，分数的分子是1,2,3,4,5，正好是序号，分母是4,9,16,25,36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为a n ＝(－1)n[(2n －1)＋n(n ＋1)2]．(2)将数列前4项改写成分数的形式：41，－52，63，－74，可得该数列的通项公式a n ＝(－1)n ＋1n ＋3n.(3)由于9,99,999,9 999，…的通项公式是10n－1，所以将题中数列各项改写可得：5＝59×9,55＝59×99,555＝59×999,5 555＝59×9 999，可得该数列的通项公式a n ＝59(10n－1)． (4)原数列可写成：11，33，57，715，931，…，得该数列的通项公式为a n ＝2n －12n －1.【例4】解：(1)∵f (x )＝x －1x，f (a n )＝－2n ，∴a n －1a n＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1，∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n . (2)解法一(作差法)：1＝(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1－1，又(n ＋1)2＋1＞n ＋1，n 2＋1＞n ，∴(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1＜1. ∴a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . ∴数列{a n }是递减数列． 解法二(作商法)： ∵a n ＞0，∴a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．【例5】解：(1)由已知，得log 22a n －log2a n 4＝2n ，即a n －2a n＝2n ，即a 2n －2na n －2＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2.又0＜x ＜1，∴0＜2a n ＜1. 故a n ＜0(n ∈N ＋)，∴a n ＝n －n 2＋2(n ∈N ＋)．(2)有．∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2＜1，又a n ＜0，∴a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)， 即a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ＜a n ＋1＜….∴数列的最小项为第1项，a 1＝1－ 3.【例6】正解：选B.a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k .由于{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1－k ＞0恒成立，所以k ＜2n ＋1，故只需k ＜3即可．故选B.随堂练习·巩固1．C 观察数列可得规律：1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5，…，8＋13＝x ＝21，13＋21＝34，∴x ＝21，故选C.2．C3．A n (n ＋1)是这个数列的通项公式，即a n ＝n (n ＋1)． ∵380＝19×20＝19×(19＋1)， ∴380是该数列中的第19项，或者令n (n ＋1)＝380，得n ＝19，是个整数，符合题意．故选A.4．(－1)n(6n －5)5．9 利用常用的变形方法：分母有理化，将通项公式变形，a n ＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ＝10－9，观察可得：n ＝9.。
高中数学 第2章 数列 2.1.1 数列学案 新人教B版必修5
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2.1.1 数列1.理解数列的概念.(重点)2.掌握数列的通项公式及应用.(重点)3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 数列的定义及分类阅读教材P25第一行～P25倒数第5行，及P26例1上面倒数第一、二自然段，完成下列问题.1.数列的概念及一般形式2.数列的分类判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列.( ) (2){a n }与a n 是一样的，都表示数列.( ) (3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列.( )(4)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.( )【解析】 (1)×.因为只要按一定次序排成的一列数就是一个数列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一个数列.(2)×.因为{a n }代表一个数列，而a n 只是这个数列中的第n 项，故{a n }与a n 是不一样的. (3)×.因为各项相等的数列为常数列，而1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常数列. (4)×.两个数列只有项完全相同，且排列的次序也完全相同才称为同一个数列，数列1,2,3,4与1,2,4,3虽然所含项相同，但各项排列次序不同，故不是同一个数列.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 教材整理2 数列与函数的关系阅读教材P 25倒数第5行～P 26倒数第4自然段，完成下列问题. 1.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.2.数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：1.下列四个数中，哪个是数列{n (n ＋1)}中的一项( )A.380B.392C.321D.232【解析】 因为19×20＝380，所以380是数列{n (n ＋1)}中的第19项.应选A. 【答案】 A2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式是a n ＝( ) A.19(10n－1) B.13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110nC.29(10n－1) D.310(10n－1) 【解析】 1－1101＝0.9,1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .应选B.【答案】 B3.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1, 3， 5， 7，________，11，…. 【解析】 据规律填写可知通项为a n ＝2n －1，∴a 5＝3. 【答案】 34.数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项. 【解析】 令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3. 【答案】 3[小组合作型]①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，12，14，…，12n －1，…；③1，－23，35，…，－n －1·n 2n －1，…；④1,0，－1，…，sinn π2，…；⑤2,4,8,16,32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________.(填序号)【精彩点拨】紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解.【自主解答】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.【答案】①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限.[再练一题]1.给出下列数列：(1)2006～2013年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个3构成数列3，3，3，3，….(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________.【解析】(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列.【答案】(1) (2)(3) (1) (2) (3)(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式.【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n22(n ∈N ＋).(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n－1(n ∈N ＋).(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝n ＋2－n 2n －1(n ∈N ＋).(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1nn ＋(n ∈N ＋).1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整.[再练一题]2.写出下列数列的一个通项公式：【导学号：18082015】(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….【解】 (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N ＋).(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N ＋).(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N ＋).(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为a n ＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)(n ∈N ＋).[探究共研型]探究1 数列2，4，8，16，32，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？256是否为该数列中的一项？为什么？【提示】 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为a n ＝2n －12n ，当n ＝7时，a 7＝27－127＝127128，若255256为该数列中的一项，则2n－12n ＝255256，解得n ＝8，所以255256是该数列中的第8项. 探究2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋2n ＋1，该数列的图象有何特点？ 试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项.【提示】 由数列与函数的关系可知，数列{a n }的图象是分布在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内.【精彩点拨】 (1)将n ＝10代入数列的通项公式即可.(2)由9n 2－9n ＋29n 2－1＝98101求得n (n ∈N ＋)是否有正整数解即可.(3)求函数a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1的值域即可. 【自主解答】 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝n －n －n －n ＋＝3n －23n ＋1. (1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项.(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.1.由通项公式写出数列的某几项.主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值.2.判断一个数是否为该数列中的项.其方法是由通项公式等于这个数解出n ，根据n 是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项.3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件.[再练一题]3.已知数列的通项公式为a n ＝n 2＋2n －5. (1)写出数列的前三项；【导学号：18082016】(2)判断数列{a n }的单调性.【解】 (1)数列的前三项：a 1＝12＋2×1－5＝－2；a 2＝22＋2×2－5＝3； a 3＝32＋2×3－5＝10.(2)∵a n ＝n 2＋2n －5，∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋2(n ＋1)－5－(n 2＋2n －5) ＝n 2＋2n ＋1＋2n ＋2－5－n 2－2n ＋5 ＝2n ＋3.∵n ∈N ＋，∴2n ＋3>0，∴a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列.1.下列说法正确的是( )A.数列1,3,5,7，…，2n －1可以表示为1,3,5,7，…B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1kD.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }【解析】 A 错，数列1,3,5,7，…，2n －1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列；B 错，数的次序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋k k ＝1＋1k；D 错，a n ＝2n －2.【答案】 C2.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A.11 B.12 C.13D.14【解析】 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 【答案】 C3.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12，0，12，0 D.2,0,2,0【解析】 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 【答案】 A4.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n ，那么110是它的第________项. 【导学号：18082017】【解析】 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项. 【答案】 45.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 【解】 (1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， ∴n ＝7或n ＝73(舍).∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项.。
2020版高中数学 第2章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)学案 新人教B版必修5
2.1.2 数列的递推公式(选学)1.理解递推公式的含义重点2.掌握递推公式的应用难点3.会求数列中的最大小项易错点[基础·初探]教材整理数列的递推公式阅读教材P29～P30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系1.下列说法中正确的有________.(填序号)①根据通项公式可以求出数列的任意一项；②有些数列可能不存在最大项；③递推公式是表示数列的一种方法；④所有的数列都有递推公式.【解析】①正确.只需将项数n代入即可求得任意项.②正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.④错误.不是所有的数列都有递推公式.例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，…就没有递推公式.【答案】①②③2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5＝________.【解析】 因为a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，所以a 5＝2a 4＋1＝31.【答案】 313.已知非零数列{a n }的递推公式为a 1＝1，a n ＝nn －1·a n －1(n >1)，则a 4＝________.【解析】 依次对递推公式中的n 赋值，当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝32a 2＝3；当n ＝4时，a 4＝43a 3＝4.【答案】 44.已知数列{a n }中，a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 5＝______________.【解析】 因为a 1＝－12，a n ＋1＝1－1a n ，所以a 2＝1－1a 1＝1＋2＝3，a 3＝1－13＝23，a 4＝1－32＝－12，a 5＝1＋2＝3.【答案】 3[小组合作型]n n n ＋1n ＋1＋ 2 016 2 015等于( )A.－13B.13C.－12D.12(2)已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，则a 5＝________. 【精彩点拨】 结合已知项逐步代入递推公式求解. 【自主解答】 (1)由a n a n ＋1＝1－a n ＋1，得a n ＋1＝1a n ＋1， 又∵a 2 016＝2， ∴a 2 015＝－12，故选C.(2)由题知a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5， ∴a 5＝a 4＋a 3＝8. 【答案】 (1)C (2)8由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[再练一题]1.已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项.【导学号：18082018】【解】 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫11n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【精彩点拨】【自主解答】 法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项， 即a 9＝a 10＝1010119.法二：设a k 是数列{a n }的最大项.则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1， a k ≥a k ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k －1，k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011kk ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋10≥11k ，11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为a 9＝a 10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立，解不等式组即可.[再练一题]2.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？【导学号：18082019】(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. 【解】 (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数.(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤n ＋2－n ＋＋4，n 2－5n ＋n －2－n －＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2,3.∴a 2＝a 3且最小. ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.[探究共研型]na 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？【提示】 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22，a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N ＋，n ≤30). 探究2 在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n＝2， 照此递推关系，你能写出{a n }任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论？【提示】 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2. 则a n a 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N ＋).探究3 在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1－a n ＝2，照此递推关系试写出前n 项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？【提示】 由a n ＋1－a n ＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝2，…，a n －a n －1＝2(n ≥2，n ∈N ＋)，将这些式子两边分别相加得：a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＝2(n －1)，即a n －a 1＝2(n －1)，所以有a n ＝2(n －1)＋a 1＝2n ＋1，(n ∈N ＋).设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1＝nn ＋1a n (n ∈N ＋)，求数列的通项公式.【精彩点拨】 由递推公式，分别令n ＝1,2,3，得a 2，a 3，a 4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用a n ＋1＝nn ＋1a n 反复迭代；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形为a n ＋1a n ＝nn ＋1进行累乘；或将a n ＋1＝nn ＋1a n 变形式n ＋a n ＋1na n＝1，构造数列{na n }为常数列.【自主解答】 因为a n ＋1＝nn ＋1a n . 法一：(归纳猜想法)a 1＝1，a 2＝12×1＝12，a 3＝23×12＝13，a 4＝34×13＝14…猜想a n ＝1n.法二：(迭代法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ， 所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝…＝n －1n ·n －2n －1·…·12a 1，从而a n ＝1n. 法三：(累乘法)因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1， 则a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1＝n －1n .n －2n －1.. (12)， 所以a n ＝1n. 法四：(转化法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1， 所以n ＋a n ＋1na n＝1，故数列{na n }是常数列，na n ＝a 1＝1，∴a n ＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式.(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式.[再练一题]3.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N ＋)，写出这个数列的前5项，猜想a n 并加以证明.【解】 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5， a 3＝a 2＋3＝8， a 4＝a 3＋3＝11， a 5＝a 4＋3＝14，猜想：a n ＝3n －1.证明如下：由a n ＋1＝a n ＋3得a 2＝a 1＋3， a 3＝a 2＋3， a 4＝a 3＋3，…，a n ＝a n －1＋3.将上面的(n －1)个式子相加，得a n －a 1＝3(n －1)，∴a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( ) A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2【解析】 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.【答案】 C2.符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A.1,2,3,4，… B.1, 2，2,22，… C.2，2, 2，2，…D.0, 2，2,22，…【解析】 由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的2倍为后一项，所以只有B 符合.【答案】 B3.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________________ 【解析】 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.【答案】1944.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 n中的最大项是第k 项，则k ＝________. 【导学号：18082020】【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23kk －k －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k －1，kk ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 kk ＋k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 k ＋1，化简得又因为k ∈N ＋，所以k ＝4. 【答案】 45.已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2. 【解】 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)， ∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2. (2)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25，a 5＝2a 42＋a 4＝13. ∴它的前5项依次是1，23，12，25，13.它的前5项又可写成21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1， 故它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1.。
2020学年高中数学第2章数列章末复习课学案新人教B版必修5(2021-2022学年)
第2章数列【例1】已知数列{n}中,n〉0，n是数列｛ｎ}的前项和，且n+＝2S n，求aｎ．［解］将a n＋错误!＝２Sｎ变形为a错误!＋１＝２S n aｎ。
将ａn＝Ｓn-Ｓn-1（n≥２)代入并化简,得S错误!-Ｓ错误!未定义书签。
＝1．由已知可求得Ｓ１=a1=1。
∴数列｛S错误!未定义书签。
｝是等差数列,公差为1,首项为1。
∴S错误!=１+（ｎ-1)·１=n．∵a n>０,∴Ｓn>0。
∴S n＝错误!未定义书签。
∴n≥2时,a n＝错误!未定义书签。
－错误!.而n=１时,a1＝1也适合上式.ﻬ∴数列｛ａn｝的通项公式为ａn=错误!未定义书签。
－n-1,ｎ∈N＋。
1.定义法．直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这种方法适用于已知数列类型的题目.2．已知S n求a n。
若已知数列的前n项和S n与a n的关系，求数列｛a n｝的通项aｎ可用公式a n＝错误!求解．3.由递推公式求数列通项法.（1）已知形如“a n+１＝ca n+d”的递推公式,一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求a n.(2)已知形如“aｎ+１＝ｐa n+ｐｎ＋１·q”的递推公式,一般转化为＼f（ａn＋１,p n＋1）＝错误!未定义书签。
＋q，利用＼f(a n,pｎ）为等差数列求ａn。
(3)已知形如“a n+１=a n＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求a n。
（４）已知形如“a n+1＝ｆ(n）·aｎ”的递推公式,则可考虑累乘法求a n.1.已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1－a n=3n-n,求数列{a n}的通项公式.[解]由a n+1-a n=３n-ｎ，得ａn-ａn－１=3n－1-(n－１),aｎ－1－a n－2=3n-2－（ｎ-2）,…ａ3-a2=32-2,a2－ａ1=3-1．当n≥2时,以上n－１个等式两边分别相加，得(aｎ-a n－１)＋（a n-1－aｎ－2)+…+（a2-a１)=３n－1+３ｎ-2+…+3-[（n－1)＋（n-２）+…+１]，即a n－a1＝错误!未定义书签。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_44
2.1.1数列的概念与简单表示法(学案)教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式，认识数列是一种特殊的函数。
预习案请同学们认真阅读课本，并填写相关概念问题1.观察下面几组数据：（1）全体自然数构成的一列数0，1，2，3，4，5，6……16，28，32，51（2）目前人民币面额从大到小的顺序构成的一列数（单位：元）100，50，20，10，5，1，0.5，0.1（3）-1，1，-1，1，-1，1……（4）3，3，3，3，3，3，3……思考：以上几列数具有什么样的共同特征？根据以上几列数的共同特征我们可以得到一个新的概念数列的概念：数列的记法：思考：（1）1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一个数列？（2）2，3，2，3是否为一个数列？a与{}n a的区别？（3）n问题2.你能否根据问题1中数列的特征,对其进行合理分类呢?若根据项数的多少进行分类可分为：有穷数列:无穷数列:若根据项的大小关系分类可分为：递增数列:递减数列:摆动数列:常数列：问题3分析下面数列的项与序号的关系序号 1 2 3 4 、、、项 1 3 5 7 、、、关系通过观察我们可以发现:数列{}n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,我们把这个式子称为数列的探究案例、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，－12，13 ，－14，……（2）2，0，2，0，……思考：（1）是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？（2）数列中的数和它的序号是什么关系？那个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？（3） 数列的表示方法有哪些？巩固案练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……课堂小结：请同学们自行总结本节课所学主要内容：课后纠错：作业：1.教材P33页 习题2.1A 组第1，2，3题2.预习数列的递推公式。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_21
《数学归纳法（第一课时）》教学设计一、教材内容分析人教版《普通高中课程标准试验教科书·数学》（b版选修2-2）第二章“推理与证明”的主要内容是数学的基本思维过程，也是人们生活和学习中经常使用的思维方式．该章内容分为三小节：合情推理和演绎推理、直接证明和间接证明、数学归纳法．通过合情推理归纳出的有一类特殊问题——与正整数n有关的命题——用之前学习的方法难以解决，从而我们产生学习“数学归纳法”的必要性．学习了数学归纳法后，学生可以解决部分“证明n取无限多个正整数命题成立”的问题本节内容编写思路是：问题情境引发数学归纳法的学习欲望——多米诺骨牌蕴含的原理分析——用多米诺骨牌原理解决数学问题——从具体问题中概括出数学归纳法．在这个过程中，学生首先需要从生活实例中抽象出数学原理，然后需要利用该原理对数学问题进行严格证明．因此，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力的好素材．二、学情分析高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力．但对于数学归纳法，学生理解和接受它是一件很困难的事情，因为学生缺少体验和认知基础．所以需为学生创设与数学归纳法有类似想法的实际体验．三、教学目标1. 通过具体情境，体会学习数学归纳法的必要性；2. 借助生活实例和体验操作，感知数学归纳法的原理，体会数学与生活的紧密结合性；3. 通过从解决具体数学问题的思维中概括出数学归纳法，训练学生的抽象思维能力，在证明过程中，培养学生严密的推理能力．四、教学重、难点教学重点：①通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想；②掌握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用．教学难点：①如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，了解数学归纳法的基本步骤；②如何理解数学归纳法中第二步的本质——建立递推关系．五、教学策略基于上述分析，我采取以下的教学策略．1：“设置问题串”教学策略．在列举模型反思游戏过程时，设置具有启发性的问题，逐步推进对思想方法的理解，为本节课教学重点作铺垫；在类比抽象的过程中，设置类比问题，帮助学生类比多米诺骨牌原理解决数学问题，突破教学难点①；在形成数学归纳法概念后，设置反思问题，了解数学归纳法第二步骤的作用，明确第一步骤的起点问题，加深对数学归纳法的理解，突破教学难点②；课堂小结时，利用问题串，帮助学生回顾知识要点．2：“螺旋上升”教学策略．先通过具体情境的探究，引发学生求知欲；再通过多米诺骨牌初步体会和认识数学归纳法的雏形；然后类比这种思想，解决数学问题；进而从中提炼出数学归纳法；通过对数学归纳法的步骤反思，对步骤的本质进行认识和剖析；通过例题教学，帮助学生掌握数学归纳法步骤和易错点，以此逐步完成对数学归纳法的深刻理解．。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_20
数列概念课的教学设计[教学目标]认知目标：使学生理解数列概念、分类、表示方法以及数列通项公式能力目标：1）通过对数列概念的教学让学生了解数列和函数间的关系2）会用通项公式写出数列的任意一项3）对于简单的数列会根据其前几项写出它的一个通项公式情感目标：1）培养学生观察抽象的能力2）培养学生从特殊到一般的归纳能力3）创设师生共同研究的教学情境，培养学生乐于求索，勇于创新的精神教学重点：理解数列概念教学难点：根据数列的前几项抽象归纳出数列的通项公式 教学方法：发现式教学法[教学过程]一、引例(1) 棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：,....,2,2,2,2,14321（2）三角形数：1，3，6，10，···（3）正方形数：1，4，9，16，···问：这些函数是否有共同点？学生回答，讨论后总结：这些函数有个共同之处是定义域是正整数集或正整数集的子集。
评注：通过前一章节函数的学习，使学生理解函数的概念、性质，从此入手，合情合理，易于学生接受，实际是对旧概念的回顾、拓展，从另一方面，可以让学生直接接触“有序”这个特点。
二、新课1、概念按照不同的对应法则，可以构造出按正整数集从小到大的次序所得到的一列函数值，以后把这一列函数值称之为数列。
定义：按一定次序排列的一列数叫数列，其中数列中的每一个数都是函数值，将数列中的每个数称为数列的项，和它在数列中的次序对应起来，称为第1项，第2项，…，第n项，…2、数列是特殊的函数（1）由例1知第一项为f1（1）=1，第二项为f1（2）=2…项与序号的关系实际上是自变量与函数值的对应关系。
函数值表示为f(x),所以数列的项可以写成a n（或称通项），表示为第n项且有f1（n）=a n（2）函数的三种表示方法：a）列举法：数列可以写成a1,a2,…a n…简记数列为a n；b）图象法。
数列的图象是平面上的一些孤立的点（举例说明）；c）函数的解析表达式。
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2.1.1 数 列 学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
1．按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….
2.数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }．
思考 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
答案 不是．顺序不一样．
知识点二 通项公式
如果数列的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．
知识点三 数列的分类
1．按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
2．按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列．
1．1,1,1,1是一个数列．( √ )
2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × )
3．每一个数列都有通项公式．( × )
4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )
题型一 数列的分类
例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A ．1，12，13，14
，… B ．－1，－2，－3，－4，…
C ．－1，－12，－14，－18
，… D ．1，2，3，…，n
答案 C
解析 A ，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．
反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2010,2012,2014,2016,2018；
(2)0，12，23，…，n －1n
，…； (3)1，12，14，…，12
n -1，…； (4)－11×2，12×3，－13×4，14×5
，…； (5)1,0，－1，…，sin
n π2，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列．
题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－12，13，－14
； (2)12，2，92
，8； (3)9,99,999,9999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝－n +1n ，n ∈N ＋.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162
，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22
，n ∈N ＋. (3)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.
反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，。