高等数学86几何应用7方向导数梯度55页PPT

高等数学8.8 方向导数

f ( x0
x, y0
y)

f ( x0 , y0 )

f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2

8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+

0+

fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,

y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+

o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0

z

高等数学第九章第七节方向导数与梯度

处的指向外侧的法向量，求函数
u
1 (6 x 2
8
1
y2 )2
在此处沿方向
n
的方向导数。
z
解令 F(x , y , z) 2x2 3y2 z2 6
Fx P 4x P 4 , Fy P 6 y P 6 , Fz P 2z P 2
故 n (Fx , Fy , Fz ) (4 , 6 , 2)
O cos sin x
|PP0|t
lim
f ( x0
t cos
,
y0
t cos )
f ( x0
,
y0 )
t 0
t
依y 轴定正义向，函e2 数 (0f
(x , y) 在点 P 沿 x 轴正向
, 1)的方向导数分别是 fx
e1
,
(1 , 0)，
fy ；
沿 x 轴负向，y 轴负向的方向导数分别是 fx , f y 。
2
f f l x f f l x
三元函数 u f (x , y , z) 有类似的公式
f
f
cos f
cos f
cos
l x
y
z
第九章第七节
8
方向导数的物理意义：
函数 z=f (x , y) 在点 P0 处沿方向 l 的变化率；
z M
t
方向导数的几何意义：曲面 z=f (x , y) 在点 M 处
第九章第七节
22
下面我们介绍数量场与向量场的概念。如果对于空间区域 G 内的任一点 M ，都有一个确定的数量 f (M) ，则称在这空间区域 G 内确定了一个数量场。一个数量场可用一个数量函数 f (M) 确定。如果与点 M 相对应的是一个向量 F(M) ，则称在这空间区域 G 内确定了一个向量场。一个向量场可用一个向量值函数 F(M) 来确定，其中 P(M) , Q(M) , R(M) 是点 M 的数量函数。

高等数学讲义课件第7节方向导数及梯度

u z P
6x2 8 y2 14. z2
P
故 u (ucos ucos ucos ) 11.
n P x
y
z
7
P
三、梯度的概念
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
| gradf ( x, y) |
f
2
f
2
.
gradf
x y
当 f 不为零时， x
P gradf
x轴正向与梯度方向的夹角的正切为
tan f / f
y x
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
第七节方向导数与梯度
一、问题的提出二、方向导数的定义三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
y f ( x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x, y) c 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．

高等数学同济版下第七节方向导数与梯度

f f f f cos cos cos l x y z
其中 , , 为 l 的方向角 .
对于二元函数 f (x 向角 ,y ), 在点 P ( x ,y ) 处沿方向 l( 方
为, ) 的方向导数为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 l
2
l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时 ,有 2 l x
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l ( 2 , 1 , 3 )
的方向导数 .
6 14
2 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1 3 x y y 例2. 求函数 z
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线在 xoy 面上的 z C
第七节方向导数与梯度
一、方向导数二、梯度
三、物理意义
一、方向导数
x ,y ,z )在点 P 定义: 若函数 f( (x, y, z) 处
, ,) 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为
记作 f f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim lim l 0 0
朝 x 增大方向的方向导数.

60 17
2 2 2 在点 P(1, 1, 1 )处是曲面 n 2 x 3 y z 6 例3. 设

高等数学-电子课件07第九章第7节方向导数与梯度.ppt

则有yxccooss
(2)方向导数的等价定义
fl l i0fm (x c o ,y s c o ) s f(x ,y ).
6
P((x3,)y若 )沿 fx(x,着 xy轴 )存正在 ,e则 1向 {1是 f,(0x}的 ,y)在方点向. 导数
fll i0m f(x x,y y)f(x,y). y
记为 f lif m (x x ,y y)f(x ,y). l 0
y
l
P••
x
• P y
o
x
5
f lif m (x x ,y y)f(x ,y).
l 0
y
l
• P
y
说明:
P••
x
(1) x, y有约 P (x束 x,y， y) o
x
在直设线与l同方上向的单，位向量为el(cos cos)
问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？
解由方向导数的计算公式知
f l(1,1)
fx(1,1)cosfy(1,1)cos
(2 x y) c o ( s 2 y x ) s i,n
(1 ,1 )
(1 ,1 )
14
c o ss in 2sin(), 4
故（ 1）当 4时，方向导数达到最大值 2 ; （ 2）当 5时，方向导数达到最小值 2;
导数,存 f是在否?存在 x
不一定如 zx 2y2在 (0 ,0 )点e 处 1 {1 ,0 }沿
方向导数
zlim(x)2(y)2 1,
l 0
但zlim(x)2 lim x不存在8 x x 0 x x 0x
类似: fx,fy是 f(x ,y)在 P (x 点 ,y)沿 e1 { 1 ,0 }

2.1方向导数与梯度ppt课件

证明:i). fx(0,0,0)
条件 , 但不必要 .
limf( x,0,0)f(0,0,0)
x 0
x
lim x , x0 x
fx(0 ,0 ,0 )不存在 ;同理 , fy ( 0 ,0 ,0 ) ,fz ( 0 ,0 ,0 ) 不存在 .
:
i i ) .记 l 的方向数为 l 0 l x , l y , l z, 则
l
对二元函数 f(x,y),
•P
y
定义定理1
fl(P0)li m 0 f(P)f(P0)
••
P 0 x
o
fx (P 0 )c o s fy (P 0 )c o s
x
其中和是 l的方向角 . :
例 1. 设 f(x,y,z)xy2z3, 求 f在点 P0(1,1,1)处沿 l方向的方向导数 . 其中 i).l为方向 (2, 2,1);
i i i ) . g r a d u v u g r a d v v g r a d u ,
iv ). g ra du vug ra d v u 2 vg ra d u,
v ) . g r a d fu f( u ) g r a d u .
:
证明:iv). u v xuvxu 2uxv, u v yuvyu 2uyv
l
0
0
存在 , 则称此极限值为函数 f 在点P0沿l 方向的方向导数。
P P0
o
y
记为 f l
或 fl (P0 )、 fl (x0, y0, z0 ).
P0
:
x
在方向导数定义式 f lim f (P) f (P0) 中，

大学经典课件之高等数学——8-6方向导数和梯度

机动
∂f ∂f ∂f ∂f r = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
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二、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向变化率增加的最快 ? r r 设 e = {cos α , cos β } 是方向 l 上的单位向量，
则
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f r = cosα + cos β = { , } ⋅ {cosα , cos β } ∂y ∂x ∂y ∂ l ∂x
结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，即：沿梯度的方向函数的变化率增加最快。而梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模为 2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂ f ⎞ | gradf ( x , y ) |= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
机动
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∂ f ∂f r ∂f 2 ∂f 2 = ( ) + ( ) cosθ , 其中 θ = ({ , }, e ) ∂x ∂y ∂x ∂x
∂f 显然当 cos θ = 1 ，即 θ = 0 时， r 有最大值。 ∂l
∂f ∂f 即沿方向 { , } 函数的变化率增加最快 ∂ x ∂y
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然而，在实际问题中还要经常会遇到在其它方向上的变化率的问题。
问题：函数 z = f ( x , y )在其它方向上的变化率如何刻划？
—— 方向导数
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方向导数的定义
y
l
设函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) r α 的某一邻域 U ( P ) 内有定义，是过 l • • P r Δx 点 P 的任意确定方向。在 l 上任取 ′( x + Δx , y + Δy )， P ′ ∈ U ( P ), o 一点 P 使

高等数学第八章多元微分第七节方向导数与梯度

证由于函数可微，
j

P
故增量
o
x
f(x x ,y y ) f(x ,y ) f x f y o () x y 两边同除以 , 得到
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f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不同，蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向）
爬行．如何确定这个方向？利用方向导数！
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一、方向导数的定义与计算
意义：确定函数 zf(x,y)在点 P 处沿某一方向
的变化率．
设函数 zf(x,y)在点 P(x, y) y
l
r rr ( 2 x 3 ) i ( 4 y 2 ) j 6 z k ,
rr r 故 gu r( 1 ,1 a ,2 ) d 5 i 2 j 1 k .2
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)处梯度为0.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)沿方向 l (方向角
2 l x
推广: 若三元函数 u = f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 可微,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,
l
且 ffco sfco sfco s
l x
y
z
P(x,y,z)
其中 , , 为 l 的方向角.
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f(x,y)c1
而梯度的模等于函数在该法线 o

【高数(下)课件】7-6方向导数与梯度

l 方向：f 变化率最大的方向 G: 模： f的最大变化率之值
f f G , 0 x y l {cos , cos}
定义梯度
f f f f gradf ( x , y ) , x i y j x y
5 2 5 2 81 5 5
二、梯度概念与计算
问题函数 z f ( x , y )沿什么方向的方向导数为最大 f f f 已知方向导数公式 cos cos l x y
0 当 l 与G 方向一致时, f 方向导数取最大值 max | G |
第六节方向导数与梯度
方向导数概念与计算公式
梯度概念与计算
y
l

一、方向导数概念与计算公式
P0
P

定义如果极限
O
x
f ( x0 t cos, y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim 存在, t 0 t
则将这个极限值称为函数在点 P0沿方向l 的方向导数 ,
方向导数的存在性与偏导数无关
定理设z f ( x, y)在点P( x0 , y0 )处可微, 则函数
在该点沿任意指定方向l 的方向导数都存在,且
f f f |( x0 , y0 ) |( x0 , y0 ) cos |( x0 , y0 ) cos . l x y
t 0 0 但 1, t 2 2 z | x | ( x ) 0 0 f x lim lim , |( 0, 0 ) lim x 0 x x 0 x x 0 x x 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在.
2 2
f |( 0,0 ) lim l t 0

方向导数和梯度ppt课件.ppt

z cos 2cos 2 .
l
2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2 在点（1，1）
沿与 x轴夹角为的射线 l 的方向导数.并问在怎
样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？
解由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx(1,1)cos
l
y
l
• P
沿什么方向是上坡且坡度最陡？
沿什么方向是下坡且坡度最小？
••
P( x0 , y0 )
o
x
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
• P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
••
设 x 轴与射线l 的夹角
u x2 y2 z2
ngrad2uxi22xiyj22yzjk2z2kx, ,2 y,2z
例如：函数
u x2 y2 z2
gradu 如图所示.
gradu {2 x,2 y,2z} 梯度方向为向径方向
等量面为： x2 y2 z2 c1 , x2 y2 z2 c2, x2 y2 z2 c3, x2 y2 z2 c4 ,
^
此式表明，当方向l和G方向一致时，即cos(G, l ) 1时，
方向导数u 取最大值，其值为: l
u G . l
由此得出，向量G就是函数 f 变化率最大的
方向，即方向导数取最大值的方向G，的模
G 正好就是最大的方向导数值.
定义设函数 u f ( x, y, z) 在区域 D 内具有一

高等数学课件--D9_7方向导数与梯度

例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
y
P
解: 将已知曲线用参数方程表示为
xx y x 1
2
它在点 P 的切向量为 (1, 2 x)
cos 1 17 ,
(1, 4) x2
4 17
O
1
2
x
cos

60 17
2012-10-12
同济版高等数学课件
(2) grad (c u ) c grad u 或 (c u ) c u
(4) grad ( u v ) u grad v v grad u
或 (u v ) u v v u
2012-10-12
同济版高等数学课件
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例5.
处矢径 r 的模 , 试证
2 9 (1, 2 , 2)
在点
(1992 考研)
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 9
2012-10-12 同济版高等数学课件
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(1, 2 , 2)
2. 函数 u ln(x
提示:
y z ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
1 2
2
同济版高等数学课件
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
f f f grad f f , , x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f f ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
• 梯度的特点
f x f x

高等数学《方向导数与梯度》课件

二、方向导数的定义
回顾函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处关于
x, y 的偏导数定义：
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
*6、二阶方向导数
f 在仍有方向导数 f , 如果 ( x 0 , y0 ) 沿 e l l l ( x0 , y0 ) l 就把它称为 f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 沿 el 的二阶方向
导数并记作 f . l 2
2
2 f 沿方向el 的二阶方向导数: l 2
z 1 所求方向导数 . l ( 0,0 ) 2
注：
(1) 仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在
该点处沿各方向的方向导数存在.
例如： f ( x , y ) ( x y ) , 则 f x (0,0) f y (0,0) 0,
但 ab 0 时，
1 3
1 3
f l
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ), 考虑
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
z
t
,
f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) 是否存在？ lim t 0 t
1、方向导数的定义
定义设函数 z f ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 )的某个邻域内有定义 , l 是一非零向量 , el (cos , cos ) 是与 l 同方向的单位向量 , 如果极限 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t 0 t 存在 , 则称这极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 沿 f 方向 l 的方向导数 , 记为 ,即 l ( x0，y0 )

高等数学 8-7.方向导数与梯度

π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时，（ 4 5π π （2）当α = 时，方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方向导数，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解为曲线上一点处右切线在新坐标系下的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图）如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数记为方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，