4.4.3 探索三角形相似的条件
4.4《探索三角形相似的条件》数学北师大版九年级上册教案第3课时
第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件第3课时一、教学目标1．经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法．2．了解相似三角形的判定定理3．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识．二、教学重点及难点重点：掌握判定定理3，会运用判定定理3判定两个三角形相似．难点：会准确运用三角形相似的判定定理3来判定两个三角形是否相似．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资《复习相似三角形判定AA、SAS》动画，《相似三角形判定SSS》动画，《相似三角形的判定》微课.五、教学过程【复习引入】1．我们学过的相似三角形的判定方法有哪些？它们分别是从哪个角度进行判别的？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论．讨论结果：我们学过的相似三角形的判定方法有：定义法；判定定理1（两个角分别相等的两个三角形是相似三角形）；判定定理2（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似呢？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．设计意图：通过复习相似三角形的判定方法，类比之后，学生猜测出其他判定方法，为本节课的学习做好铺垫．【探究新知】想一想现在我们考虑增加“另两边成比例”的条件，看△ABC和△A'B'C'一定相似吗？也就是如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成“做一做”．做一做画△ABC与△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．设法比较∠A与∠A'的大小．△ABC与△A'B'C'相似吗？改变k值的大小，再试一试．（师生活动：教师引导学生用直尺和圆规任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使，和都等于给定的值k．比较∠A与∠A'的大小来判定△ABC和△A'B'C'是否相似．改变k值的大小，再试一试．发现：三边成比例的两个三角形相似．设计意图：在教师的引导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．【典例精析】例如图，在△ABC和△ADE中，，∠BAD=20°，求∠CAE的度数．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．解：∵，∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°．设计意图：培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【课堂练习】1．若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍，得到△A1B1C1，则下列结论正确的是（）．A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等B．△ABC与△A1B1C1不一定相似C．△ABC与△A1B1C1的相似比为D．△ABC与△A1B1C1的相似比为22．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm．当△DEF 的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似？应选（）．A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm3．下列图形不一定相似的是（）．A．有一个角是100°的两个等腰三角形B．有一个角是60°的两个等腰三角形C．两个等腰直角三角形D．有一个角是45°的两个等腰三角形4．下列条件中，不能使△ABC和△A′B′C′相似的是（）．A．∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3C．∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3D．AB=3，AC=5，BC=7，A′B′=，A′C′=，B′C′=5．如下图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）．6．如图，若A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格纸中的格点，且每个方格都是边长为1的正方形，为使△DME∽△ABC，则点M应是F，G，H，O点中的（）．A．F B．G C．H D．O师生活动：教师出示练习，找几名学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：通过练习，激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性，培养学生独立解决问题的能力．7．如图，已知．求证：AD·CE=BD·AE．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．C．2．C．3．D．4．D．5．B．6．B．7．证明：∵，∴△ABC∽△ADE．∴∠BAC=∠DAE．∴∠BAD=∠CAE．又∵，即，∴△ABD∽△ACE．∴．∴AD·CE=BD·AE．设计意图：通过学生自主练习，可以查看学生答题的情况，统计差错及目标达成率，也可以让学生真正地动手、动脑，从而达到很好地掌握知识的目的．六、课堂小结这节课我们主要学习了相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.4 探索三角形相似的条件（3）1．相似三角形的判定定理3。
【精选推荐】图形的相似(探索三角形相似的条件)
• 小明和小颖分别画出了 下面的△ ABC与△ DEF:
• 通过上面的活动,你猜 出了什么结论?
• 两边对应成比例,且其 中一边的对角对应相 等的两个三角形不一 定相似
C
4cm A 500
3.2cm F
2cm 1.6cm B D 500 E
• 解:在△ABC和△AEF中.
A
AB 2 2. AE 1
1
3
E 1
F 3
AC 6 2.
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
AF 3
AB AC . AE AF
且∠A是公共角
∴△ ABC ∽ △ AEF.
(两边对应成边成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
• 两角对应相等的两个三角 形相似;
• 三边对应成比例的两个三 角形相似.
AC BC
2、分别计算 与 的值(精确到0. 1cm).
AB AC
3、AC 与 BC 相等吗？ AB AC
黄金分割的定义：
A
CB
在线段AB上，点C把线段
AB分成两条线段AC和BC，如 果 AC BC ,那么称线段AB
AB AC 被点C黄金分割,点C叫做线段
AB的黄金分割点，AC与AB的
A DC B
• 三角形全等的判定方 法：
• 边角边(SAS);角边角 (ASA);角角边(AAS);边 边边(SSS);斜边直角边 (HL).
• 由角边角(ASA);角角边 (AAS);可知,有两个角对 应相等的两个三角形 相似;
• 由边边边(SSS)可知:有 三边对应成比例的两 个三角形相似;
• 由边角边(SAS)可猜想:
三角形的相似条件
三角形的相似条件在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的相似，则是三角形研究中的一个关键概念。
那么，到底什么情况下两个三角形会相似呢？这就涉及到三角形的相似条件。
首先，我们来了解一下什么是三角形的相似。
简单来说，如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
三角形相似的第一个条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果角 A 等于角 D，角 B 等于角 E，那么这两个三角形就是相似的。
为什么呢？因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等。
而三个角都相等的三角形，形状就是相同的，所以它们相似。
接下来是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE ＝ AC/DF ，并且角 A 等于角 D，那么这两个三角形就是相似的。
这个条件其实很好理解，因为夹角相等，两边成比例，就意味着三角形的形状被固定下来了，所以它们相似。
再看“三边成比例的两个三角形相似”。
比如三角形 ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形 DEF 的三条边分别为 d、e、f，如果 a/d ＝ b/e ＝ c/f ，那么这两个三角形就是相似的。
这个条件就像是用尺子去衡量三角形的边，如果比例都一样，那形状肯定相同，只是大小可能不同。
为了更好地理解三角形的相似条件，我们来看几个实际的例子。
假设在一个三角形中，三个角分别为 30 度、60 度和 90 度。
在另一个三角形中，也有三个角分别为 30 度、60 度和 90 度。
那么很明显，这两个三角形的对应角相等，所以它们是相似的。
再比如，有一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 60 度。
另一个三角形对应的两条边分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。
通过计算可以发现，这两条对应边的比例是 1:2 ，夹角相等，所以这两个三角形相似。
北师大版九年级数学上册 探索三角形相似的条件
BC B1C1
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
B
C
A1
B1
C1
总结归纳
判定三角形相似的方法： 如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别
算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最 长边与最长边对应，最短边与最短边对应 （注意：大对大，小对小，中对中）
练一练
1.如图,小方格的边长为1 ，△ ABC与△ A′B′C′相似吗?
A．∠BAD=∠C
B．∠B DA =∠B A C
C． BA BC BD BA
D． BA AC BD AD
【答案】D
【详解】解：A.∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
B.∵∠BDA=∠BAC，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
AB AD
BC DE
AC AE
.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
解：∵
AB AD
BC DE
AC AE
,
B
∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE.
D
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
C E
知识点四 黄金分割
A
C
B
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1=
-1 2
5,
黄金比
AC BC =
AB AC
x2=
北师版九年级上册 4.4.3探索三角形相似的条件
LOGO
读一读
耐人寻味的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于 北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红” ，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这 不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。 奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等 等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
AC AB
section),
=
BC = AC
LOGO
实际 应用 知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄 金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用 空调时室内温度调到什么温度最适合。 2．在人体下半身与身高的比例上，越接近 0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体 修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某 女士身高1.68米，下半身1.02米，她应该选择 多高的高跟鞋看起来更美呢？
LOGO
数学美的魅力 1
古埃及胡夫金字塔 古希腊巴特农神庙
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大 小各异。但这些金字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也 是按黄金比0.618来建立，他们认为这样 的长方形看来是较美观；其大理石柱廓 ，就是根据黄金分割律分割整个神庙的 . LOGO
AB 1
4.4.3探索三角形相似的条件(教案)
一、教学内容
本节课选自教材第四章第四节第三部分“探索三角形相似的条件”。教学内容主要包括以下两点：
1.掌握三角形相似的判定方法，即：对应角相等且对应边成比例的两个三角形相似。
a.对应角相等
b.对应边成比例
2.学会运用三角形相似判定定理解决实际问题，包括：
a.求解相似三角形的未知边长
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于三角形相似的概念和判定条件掌握得还算不错。在导入新课的时候，通过日常生活中的例子引起学生的兴趣，他们都很积极地参与到课堂讨论中。在理论介绍环节，我尽量用简单的语言和图示来解释对应角和对应边成比例的概念，大多数学生能够跟上我的思路。
不过，我也注意到在难点解析部分，一些学生对于如何在实际问题中应用相似三角形的性质还显得有些迷茫。特别是在案例分析的时候，有些学生对于如何从复杂的图形中找出相似三角形感到困惑。这可能是我讲解得不够细致，或者是需要更多的练习来加强他们的识别和应用能力。
3.培养学生的数学建模素养，通过实际问题的引入，使学生能够将现实问题转化为数学模型，运用相似三角形的性质解决问题，从而培养学生的应用意识和实践能力。
4.培养学生的团队合作和交流表达能力，通过小组讨论、课堂汇报等形式，让学生在合作探究中相互学习、共同成长，提高学生的沟通能力和团队协作精神。
三、教学难点与重点
b.在解决实际问题时，如何将问题转化为相似三角形的数学模型。学生可能在实际应用中不知道如何入手，难以将问题与相似三角形联系起来。
c.理解相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，并运用到实际计算中。
举例解释：
-在讲解过程中，通过图示和动画等多媒体手段，帮助学生形象地理解对应角和对应边的概念，以便在复杂图形中能够准确判断。
三角形相似的充要条件
三角形相似的充要条件在几何学中，三角形相似是指两个或多个三角形之间的对应角相等，并且对应边成比例。
相似的概念在很多几何问题中起着重要的作用，它帮助我们推导和解决各种三角形的性质和问题。
本文将介绍三角形相似的充要条件。
一、充要条件之AA相似法则AA相似法则是指若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E。
首先，我们可以通过角度关系得到一个对应边的比例，即AB/DE = BC/EF。
其次，我们可以通过角度关系得到另一个对应边的比例，即AB/DE = AC/DF。
因此，我们可以得出AB/DE = BC/EF = AC/DF，即符合相似的定义。
所以，由AA相似法则可知，若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
二、充要条件之SAS相似法则SAS相似法则是指若两个三角形的一个角相等，两个对应边成比例，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF。
首先，根据角度关系可以得到另一个角相等，即∠B = ∠E。
其次，根据对应边的比例可以得到另一条边的比例，即BC/EF =AC/DF。
因此，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC/EF = AC/DF，即符合相似的定义。
所以，由SAS相似法则可知，若两个三角形的一个角相等，两个对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、充要条件之SSS相似法则SSS相似法则是指若两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE = BC/EF = AC/DF。
首先，根据对应边的比例可以得到一个对应角的形式，即∠A =∠D。
其次，根据对应边的比例可以得到另一个对应角的形式，即∠B = ∠E。
因此，我们可以得出∠A = ∠D，∠B = ∠E，即符合相似的定义。
所以，由SSS相似法则可知，若两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
4.4 探索三角形相似的条件 第3课时 三边成比例的判定方法
12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都 在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列 各题：
(1)试证明三角形△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格作法与证明)
11．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵AB∥DE，∴△ODE∽△OAB，∴ADBE＝OOBE.∵BC∥EF，∴△OEF ∽△OBC.∴BECF ＝OOBE＝OOCF .∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC.∴ADCF ＝OOCF .∴ADBE ＝ BECF＝ADCF.∴△DEF∽△ABC
5．(教材P94例题变式)如图，点D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点
E，连接AD，AE，若
AD AB
＝
DE BC
＝
AE AC
，且∠CAE＝30°，则∠BAD＝
____3_0_°__．
6．△ABC的三边长分别为6，8，12，△A1B1C1的三边长分别为2，3，2.5， △A2B2C2的三边长分别为6，3，4，则△ABC与______△__A_2_B_2_C_2___相似．
解：(1)根据勾股定理，得AB＝2 5 ，AC＝ 5 ，BC＝5，显然有AB2＋ AC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形
(2)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得DE＝4 2 ，DF＝2 2 ，EF＝
2
10，∵ADBE＝ADCF＝BECF＝2
5 ，∴△ABC∽△DEF 2
cm，则
x 20
＝
y 50
＝
初中数学探索三角形相似的条件
初中数学探索三角形相似的条件要点诠释：这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.要点二、相似三角形的判定定理 1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似. 要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.一、典型例题类型一、平行线分线段成比例定理1. 如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅AB CDGE举一反三：【变式】如图，直线l1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（）A.23B.32C. 6D.162.如图，AD是△ABC的中线，P是AD上任意一点，CP、BP的延长线分别交AB、AC于E、D两点,连接EF.求证：EF∥BC.类型二、相似三角形的判定3.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为多少？4. 如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．举一反三：【变式】如图，△ABC 中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC 所得的三角形与△ABC相似，则DE=．二、巩固练习一、选择题1. 如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（）.A．1条B．2条C．3条D．4条A C2．在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )．A．B．C．D．3.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) .A. 2：1B. 3：2C. 3：1D. 5：24.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．=B．=C．=D．=5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对 C．2对 D．1对6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP 相似的是( ) .A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°C.P是BC的中点D.BP：BC=2：3二、填空题7.如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________.8.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．9.如图，是正方形ABCD 的外接圆，点F 是AB 的中点，CF 的延长线交于点E,则CF:EF 的值是________________.FOA B CDE10.如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN,AM BMAN CM,则①△ABM ∽△ACB,②△ANC ∽△AMB,③△ANC ∽△ACM,④△CMN ∽△BCA 中正确的有___________.BN11.如图，在平行四边形ABCD 中，M,N 为AB 的三等分点，DM,DN 分别交AC 于P,Q 两点，则AP ：PQ:QC=____________.Q PDA12.如图，正方形ABCD 的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN 的两端在CB,CD 边上滑动，当CM=______时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似.BCD AE N 三、解答题13.一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为（0，1），直角顶点C 的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，求点B 的坐标？14.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD=AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF=3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有几个？15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.。
4.4-探索三角形相似的条件(1)
A
D
E
B
C
E
D
A
B
C
A
B
C
E
D
重要结论
见平行 想相似
C
B
D
A
如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高, 图中有几对相似三角形？
我能行
发散探究
过△ABC的边AB上一点D作一条直线与另一边ＡＣ相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条？请把它们一一作出来。
②
①
④
③
如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形。
△ABC∽ △AED
△ABC∽ △ADE
△ABC∽ △ACD
△ABC∽ △AED
例2 如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E， △ADE与△ABC相似吗？为什么？
【变题】如图，点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上，如果DE∥BC，△ADE 与△ABC相似吗？为什么？
A
D
E
B
C
E
D
A
B
C
A
B
C
E
D
例题学习
解： ΔADE∽ΔABC 在ΔADE和ΔABC中, ∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴ΔADE∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）。
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
△EAG∽△EDF∽△HCF∽△HBG
在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,某同学采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走４０Ｍ到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20Ｍ到达Ｄ处，再右转９０度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得ＤＥ＝30Ｍ，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果
北师大版数学九年级上册4.4.3探索三角形相似的条件(三)教学设计
4.思维训练：鼓励学生多角度思考问题，培养其逻辑思维和几何直观。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何学习的兴趣，激发其探究精神和求知欲望。
2.培养学生团队合作意识，使其在小组活动中学会互相尊重、互相帮助。
4.知识拓展：教师引导学生思考，除了AAA相似定理外，还有哪些相似三角形的判定方法？它们之间是否存在联系？
（三）学生小组讨论
1.教学活动：学生分成小组，针对以下问题进行讨论：
a.总结已学的相似三角形判定方法。
b.探讨AAA相似定理在实际问题中的应用。
c.分析相似三角形性质在解决问题时的作用。
2.教师指导：教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨相似三角形的性质和应用。
a.学生利用几何画板等教学软件，观察动态变化的相似三角形，发现并总结AAA相似定理。
b.教师巡回指导，给予学生及时反馈，纠正错误理解，引导其深入思考。
3.例题讲解，巩固知识：结合教材中的例题，讲解运用AAA相似定理分析和解决问题的方法，强调证明过程的严谨性。
4.拓展延伸，提高能力：设计不同层次的练习题，让学生在解决问题中巩固所学知识，提高几何直观和推理能力。
北师大版数学九年级上册4.4.3探索三角形相似的条件（三）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握相似三角形的判定条件——AAA（角角角）相似定理，即若两个三角形的三组对应角相等，则这两个三角形相似。
2.能够运用AAA相似定理，识别并证明两个三角形之间的相似关系。
3.能够运用相似三角形的性质，解决实际问题，如求三角形未知边长或角度。
4.情感教育：教师鼓励学生树立信心，勇于面对几何学习中的困难，不断提高自己的几何素养。
4.4 探索三角形相似的条件
第四章 图形的相似第四节 探索三角形相似的条件（一）一、知识回顾1、全等三角形：能够完全 的两个三角形叫做全等三角形；全等三角形对应边 ，对应角 。
2、全等三角形的判定方法有： 、 、 、 和 。
（直角三角形的判定）。
二、自主学习1、相似三角形：对应角 ，对应边 的三角形叫做相似三角形。
如△ABC 与△DEF 相似，记作注意：（1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：△ABC ∽'''C B A △，它们的相似比为k ，则''''''C A AC C B BC B A AB k ===；如果写成'''C B A △∽△ABC ，它们的相似比为'k ,则ACC A BC C B AB B A k '''''''===,因此k k 1'= （3）传递性：若△ABC ∽'''C B A △，'''C B A △∽''''''C B A △，则△ABC ∽''''''C B A △。
2、相似三角形的性质：对应角 ，对应边 。
3、相似三角形对应边的比称为相似三角形的 。
注意：两个三角形的前后次序不同，所得相似比不同。
4、三角形相似的判定定理1：两角分别 的两个三角形相似。
即：已知△ABC 和'''C B A △，若∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，则△ABC ∽'''C B A △。
1、如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形。
探索三角形相似的条件
探索三角形相似的条件一周强化一、一周知识概述相似三角形的判定方法(1)定义法：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形相似．(2)判定方法1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．(3）判定方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(4)判定方法3：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．(5)判定方法4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．二、重难点知识归纳1、相似的传递性：若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″．2、“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基本图形有三种情况，如图，其符号语言：因为DE∥BC，所以△ABC∽△ADE；这个判定方法有着广泛的应用，要做到“见平行想相似，见平行想比例”．3、相似三角形判定方法的选择（1）已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定方法1或判定方法3；（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定方法3或判定方法4．但是，在选择利用判定方法3时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．4、有关三角形的相似的基本图形．（1）平行线型(如图)（2）双直角三角形中的相似三角形(如图)△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CADAB2=BD·BC，AC2=CD·CB，AD2=BD·DC三、典型例题讲解例1、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添加一个适当条件，使△ADC∽△ACB，那么要添加的条件是__________(只需填写满足要求的一个条件即可)．解析：由于要判定的两个相似三角形隐含着一个公共角∠A，因此根据判定方法1或判定方法3，只要再找一个角对应相等，或找夹∠A的两边对应成比例，即可填∠ACD=∠B，或∠ADC=∠ACB，或AC2=AD·AB．例2、如图，在□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC 于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB；由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.故选B.点评:本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定方法来找相似三角形，但要注意不要漏找．例3、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．分析：(1)根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD分别是△AOB、△BOC、△COA的中位线，利用三角形的中位线性质可证△DEF与△ABC的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．点评：①第(1)题，若点O在△ABC外，其他条件不变，结论仍成立；②第(2)题也可用判定方法3，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF相似，显然，以上证法较简便．例4、已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE=180°．(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得添加其他字母和线)；(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．分析：先由角的关系入手，由∠BDE＋∠BCE=180°和图形中∠BDE＋∠ADE=∠BCE＋∠ECF=180°，可得∠BDE=∠ECF，∠ADE=∠BCE，易得△ADE∽△ACB(∠A为公共角)、△ECF∽△BDF(∠F为公共角)，其次，由△ECF∽△BDF得，可得△FDC∽△FBE(∠F为公共角)．解：(1)△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE．(2)①△ADE∽△ACB．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BDE＋∠ADE=180°，所以∠ADE=∠BCE．因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB．②△ECF∽△BDF．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．③△FDC∽△FBE．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．所以．因为∠F=∠F，所以△FDC∽△FBE．点评：这是一道结论开放型试题，这种题型要求根据题意去探求，往往结论不唯一，具有开放性，解题时，要充分利用已知条件进行大胆而合理地猜想，发现结论，这就要求平时要注意发散性思维和所学基本知识的应用能力的培养．例5、如图（1）在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP2=PE·PF．分析:证明型的一般方法是把等积式写成比例式,然后再观察所在的两个三角形是否相似.如本题BP、PE、PF在一条直线上，就要看能否通过等量代换，自然要连结PC ，用BP的等量PC代入，再找出两个三角形相似，即可得解．证明：连结PC．因为AB=AC，AD是中线，所以AD⊥BC (三线合一性质)．所以AD是BC的垂直平分线．所以BP=PC．又∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．而AB∥CF，所以∠ABC=∠F．所以∠F=∠ACP．又∠EPC=∠CPF，所以△EPC∽△CPF，所以．即PC2=PE·PF．故BP2=PE·PF．点评:①证形如时，还要注意两个基本图形如图⑵、⑶所示．如图⑵．因为△CDB∽△ADC∽△ACB，易得BC2=BD·AB ，AC2=AD·AB，CD2=AD·DB．如图⑶，当∠A=∠1时，∠C是公共角．所以△ABC∽△BDC，易得BC2=DC·AC．②在图⑵中，△ACB是直角三角形，CD是斜边上的高，还要注意面积的应用，易得AC·CB=AB·CD的结论．例6、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC 于点P．求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．分析：要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN，因此只要证明∠4=∠5即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN与△PCD 中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例．证明：(1)在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°．因为BP⊥MC，所以△PBM∽△PCB．点评：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论．。
三角形像似的条件
三角形相似的条件：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。
一、相似三角形的判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。
二、相似三角形介绍三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
三、相似三角形的性质1.性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2.性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
四、特殊情况1.凡是全等的三角形都相似。
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。
反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。
2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。
由此，所有的等边三角形都相似。
3.设三角形ABC与三角形A'B'C'的相似比为k，三角形A'B'C'与三角形ABC的相似比为k'，则k'=1/k。
探索三角形相似的条件
探索三角形相似的条件 教材教法教学目标1．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯．2．初步掌握两个三角形相似的判定条件，包括两角对应相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步逻辑推理意识．本节采用直观手段探索三角形相似的判别条件，并应用有关结论解决一些简单问题． 引导学生探索三角形相似的条件，为本节各课时的活动埋下伏笔．做一做意在引导学生通过探索发现“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法．对应这里的α和β，教学时可以赋予其具体数值．例本例及其后的“想一想”与前一节的例2及其后的“想一想”相呼应，意在渗透平行于相似内在联系．同时，本例有意识地渗透了简单逻辑推理的思想，可以达到承前启后的目的． 想一想 由AE AC AD AB =，得AE AE AC AD AD AB -=-，即AECE AD BD =． 随堂练习1．相似，因为有两个角对应相等．2．相似，因为顶角相等，两个底角也对应相等．以问题的形式，创设一个有利于学生动手操作和反思的情境，达到进一步探究三角形相似条件的目的．教学时可赋予k 以具体的数值．做一做首先引导学生思考一角对应相等、两边对应成比例的两个三角形是否相似的问题．这一问题有两种情况，“做一做”重点研究第一种情况．想一想这是上面“做一做”的问题的继续．对于这一问题，应首先鼓励学生通过画图、比较得出结论．如果学生确有困难，可呈现教科书图4-18的反例．议一议相似，判断的途径很多．教学时，要让学生进行充分的思考和交流． 随堂练习1．（1）相似，因为两个三角形三条边对应成比例；（2）△AEF ∽△ABC ，∠A=∠A ，AC AF AB AE ==21．。
探索三角形相似的条件
B A
C B’
C’
D E
A
A’
D
E C
B
C B’
C’
B
运用新知
如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长 线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形。
A D 2 E B 1 C B 1 D 2 C B 1 C B 1 C A E 2 A D E 2 D A
①
△ADE∽ △ACB
顶角相 等
底角相 等
顶角与底角 相等
A
A'
B'
C'
B
C
第 三 种 情 况
两三角形不相似
你有疑问吗 ？
（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似 三角形？
顶角相 等
底角相 等
顶角与底角 相等
不相似
第四章 相似的图形
4.探索三角形相似的条件(1)
什么叫做相似多边形？
各角分别相等、各边成比例的两个 多边形叫做相似多边形。
相似三角形的定义:
三角分别相等、三边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
根据定义我们判断两个三角形相似需要哪些条件？
A
∵∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
B C
AB BC AC DE EF DF
顶角相 等
底角相 等
顶角与底角 相等
A
A'
第 一 种 情 况
C'
B'
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
你有疑问吗 ？
（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似 三角形？
顶角相 等
底角相 等
顶角与底角 相等