材料力学讲义_07

（7-4）
如图 7.5b 所示， 中性轴将截面分成两部分。 画阴影线的是拉应力区； 另一部分是压应力区。 最大拉应力和最大压应力发生在离中性轴最远的 B 点和 D 点。显然，外力的偏心距（ yF , z F ） 越小，中性轴离截面形心越远。当中性轴位于截面边缘并与其相切，比如相切于图 7.4b 的 B 点时，整个横截面上将只有压应力而无拉应力。因此，如要使横截面上只存在压应力，必须对 偏心压力作用点位置（ yF , z F ）加以限制，使其落在截面形心附近的某一范围，此范围称为截 面核心。因为工程结构中的一些承压构件是由脆性材料（砖、混凝土等）制成的，其抗压强度 远大于抗拉强度，为避免在横截面上出现拉应力应当使外压力 F 作用在截面核心内。 例 7.2 如图 7.5 所示矩形截面杆受轴向拉力 F = 12kN，材料的许用应力[ σ ]=100MPa。求 切口的容许深度 x。已知 b = 5mm, h = 40mm 。 解：切口处 1-1 截面为危险截面，其内力有轴力 FN = F ，弯矩 M = F ⋅ x / 2 。在截面的下边 缘各点，有最大拉应力
a y1 = h ， 2
a z1 = ∞
2 = b 2 /12 ， iz2 = h 2 / 12 。将以上各值代入式（7-3） ，就可以得到与中性轴①对 矩形截面的 iy
应的截面核心边界上点 1（图 7.6）的坐标为
yF 1 = − iz2 h 2 /12 h =− =− ， 6 a y1 h/2 zF 1 = − iz2 =0 a z1
Wz ≥ M 10 ×103 = = 0.1×10−3 m3 = 100 × 103 mm3 [σ ] 100 ×106
第七章
组合变形杆的强度
• 135•
查附录 B 的工字钢型钢表，应选№14 工字钢，有
Wz = 102 × 103 mm 3 , A = 21.5cm 2
图 7.4
初选后进行强度校核
σ r4 =
M 2 + 0.75T 2 ≤ [σ ] W
（7-6a，b）
对于拉伸（压缩） 、弯曲、扭转的组合变形，由轴力产生的正应力为 FN / A ，所以图 7.7f、g 中 的正应力为 σ = FN / A + M / W ，切应力仍然为 τ = T / Wp ，主应力强度条件为
σ r3
2 2 ⎛ T M⎞ ⎛ T ⎞ ⎛F ⎛ FN M ⎞ = ⎜ N + ⎟ +⎜ ≤ = + + 0.75 ⎜ [ σ ], σ ⎟ r 4 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ Wp ⎝ A W⎠ ⎜ ⎝ A W⎠ ⎝ Wp ⎠ ⎝
FN M 26 ×103 10 ×103 + = + = 80.9MPa < [σ ] A W 26.1×102 141× 10−6
图 7.5a 表示顶端受偏心压力的短柱。设 y、z 轴为横截面的对称轴，短柱的轴线为 x 轴。压 。将偏心压力向截面形心简化，得到一轴向 力 F 平行于 x 轴，其作用点 A 点的坐标为（ z p , y p ） 压力 F、xy 平面内的力偶矩 mz 和 xz 平面内的力偶矩 my 。任意横截面上的内力都相同，其轴力
σ max =
其中 A = b(h − x) , W = b(h − x) 2 / 6 由强度条件 σ max ≤ [σ ] ，得
F F ⋅x/2 + A W
第七章
组合变形杆的强度
• 137•
3Fx F + ≤ [σ ] b( h − x ) b( h − x ) 2
图 7.5
将 b = 5mm, h = 40mm ， F = 12kN， [σ ] =100MPa 代入上式后经整理得到
1+ yB i
2 z
yF +
zB
2 iy
zF = 0
• 138•
第七章
组合变形杆的强度
由于上式中的 yB ， z B 为常数，因此该式就可看作是表示外力作用点坐标 yF 与 z F 间关系的直线 方程。即当中性轴绕 B 点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点 1，2 的直线。 于是，将 1，2，3，4 四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于 截面中央的菱形，其对角线长度分别为 h 3 和 b 3 （图 7.6）
（7-2b）
根据正应力等于零的条件， 式中 iz = I z A , i y = I y A 分别是横截面对 z 轴和 y 轴的惯性半径。
• 136•
第七章
组合变形杆的强度
可以确定截面上中性轴的位置。设中性轴上各点的坐标为 ( z0 , y0 ) ，令
σ ( x0 , y0 ) = −
1+ yF i
第七章
组合变形杆的强度
在工程实际中，构件在外力的作用下常常发生两种或两种以上的基本变形。图 7.1 所示的 机架立柱在外力 F 的作用下将同时产生拉伸和弯曲变形；图 7.2 所示的传动轴在皮带张力 F 和 力偶矩 M 0 的作用下将同时产生弯曲和扭转变形。构件同时产生两种或两种以上基本变形的情 况称为组合变形。在分析这类问题时，先将构件上的外载分解成产生基本变形的简单载荷，计 算每种基本变形对应的应力、应变和位移等，然后将所得结果叠加，便是组合变形下的解。这 种先分解，后叠加的方法只适用于线弹性材料和小变形的情况。
σ=
FN M z y + A Iz
max
（7-1a）
= F2 l 。截面上边缘各点和下边缘各
固定端面为危险截面，其内力为轴力 FN = F1 ，弯矩 M z
• 134•
第七章
组合变形杆的强度
点分别有最大拉应力和最大压应力，且都处于单向应力状态。其强度条件为
σ=
FN M z max + ≤ [σ ] A Wz
同理，分别将与 BC，CD 和 DA 边相切的直线②，③，④看作是中性轴，可求得对应的截 面核心边界上点 2，3，4 的坐标依次为
b h b yF 2 = 0, zF 2 = , yF 3 = , zF 3 = 0 , yF 4 = 0, z F 4 = − 6 6 6
这样，就得到了截面核心边界上的 4 个点。当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其 邻边时，例如当中性轴绕顶点 B 从直线①旋转到直线②时，将得到一系列通过 B 点但斜率不同 ， 的中性轴，而 B 点的坐标 yB ， z B 是这一系列中性轴上所共有的，将其代入中性轴方程（7-3） 经改写后即得
2 z
y y z z F⎛ ⎜1 + F 2 0 + F 2 0 A⎜ i iy z ⎝
zF
2 iy
⎞ ⎟=0 ， ⎟ ⎠
y0 +
z0 = 0
（7-3）
图 7.5
上式为中性轴的方程，是一斜直线（不过原点） （图 7.4b） ，在 y、z 轴上的截距分别为
ay = −
2 iy iz2 , az = − yF zF
FCD = 3F = 30kN
作 AB 横梁的轴力图和弯矩图（图 c、d） ，所以危险截面是 C 的左邻面，其上的内力为：轴力
FN = 26kN（压） ，弯矩 M = 10kN·m。由于钢是拉压等强度材料，因此危险点为该截面的下边
缘各点，强度条件为
σ=
FN M + ≤ [σ ] A W
上式中的各量均取其数值。选择工字钢型号时，可先不考虑轴力的影响进行初选。即
图 7.1
图 7.2
7.1
弯曲与拉伸（压缩）的组合
弯曲与拉伸（压缩）的组合变形是工程中常见的情况。例如起重吊车的横梁、台钻与压力
机的立柱等。这种组合变形又分为两种情况，一种是既有横向力又有轴向力作用的拉（压）弯 组合变形；另一种是由偏心拉（压）引起的组合变形。 一、 横向力与轴向力同时作用时的拉（压）弯组合变形 考虑图 7.3 所示的矩形截面杆。 杆件在自由端受轴力 F1 F1 和纵向对称面内的横力 F2 的共同 作用。轴向力 F1 使杆产生轴向拉伸变形，各横截面的轴力相同，即 FN = F1 。由 FN 引起的横截 面上的正应力均匀分布（图 7.3b） ；横力 F2 使杆发生平面弯曲变形，距左端 x 的横截面上的弯 矩 M z ( x) = P2 (l − x) ，由此引起的弯曲正应力分布如图 7.3c。所以该横截面上任一点的正应力为 两者之和（图 7.3d）
FN = F （压） ，弯矩 M z = mz = F ⋅ y p ， M y = m y = F ⋅ z p ，横截面内任一点的正应力为
σ ( x, y ) = − ⎜
或
⎛ F F ⋅ yF ⋅ y F ⋅ z F ⋅ z ⎞ + + ⎟ ⎜A ⎟ Iz Iy ⎝ ⎠
（7-2a）
σ =−
y y z z⎞ F⎛ ⎜1 + F2 + F2 ⎟ A⎜ iz iy ⎟ ⎝ ⎠
（7-1b）
若 xz 平面内也有弯矩作用，则横截面上任一点的正应力公式为
σ=
FN M z y M y z + + A Iz Iy
（7-1c）
图 7.3
例 7.1
最大吊重 F = 10kN 的起重机如图 7.4a 所示。AB 横梁为工字钢，其许用应力为
[σ ] = 100MPa。试选择工字钢的型号。
解：取横梁 AB 为研究对象，如图 7.3b 所示。由 Σ mA = 0 ，得
7.2
弯曲与扭转的组合
设备中的传动轴，曲柄轴等，大多处于弯曲和扭转的组合变形状态。图 7.7a 所示为一直角
曲拐。由 AB 段的弯矩图和扭矩图（图 7.8d，c）可知，危险截面为固定端 A 截面，其内力有弯 矩 M = F l 和扭转 T = Fa 。由弯曲正应力分布规律知，A 截面的上、下两点 D1 和 D2 有最大拉应 力和最大压应力。由扭转切应力分布规律知，圆周线上有最大扭转切应力。所以危险点为 D1 和