2016-2017学年人教A版必修一分段函数及映射课时作业

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高中数学人教版A版必修一第一单元1.2.2 第2课时分段函数及映射

第2课时分段函数及映射学习目标 1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)．预习教材P21－P22，完成下面问题：知识点1 分段函数分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x 的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数．【预习评价】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥02x ＋3，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析由题意得f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12－3＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1. 答案－2 －1 知识点2 映射映射的定义：【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)在映射的定义中，对于集合B 中的任意一个元素在集合A 中都有一个元素与之对应．( )(3)按照一定的对应关系，从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射是同一个映射．( )提示 (1)√ 根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数；(2)× 映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”；(3)× 从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射不是同一个映射．题型一映射的概念及应用【例1】 (1)下列对应是集合A 到集合B 上的映射的是( ) A ．A ＝N *，B ＝N *，f ：x →|x －3|B ．A ＝N *，B ＝{－1,1，－2}，f ：x →(－1)xC ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：x →3xD ．A ＝N *，B ＝R ，f ：x →x 的平方根(2)已知映射f ：A →B ，在f 的作用下，A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)，求：①A 中元素(－1,2)在f 作用下与之对应的B 中的元素． ②在映射f 作用下，B 中元素(1,1)对应A 中的元素．(1)解析对于选项A ，由于A 中的元素3在对应关系f 的作用下与3的差的绝对值在B 中找不到象，所以不是映射；对于选项B ，对任意的正整数x ，在集合B 中有唯一的1或－1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f 下无意义，所以不是映射；对于选项D ，正整数在实数集R 中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射．答案 B(2)解 ①由题意可知当x ＝－1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6， 4x ＋3y －1＝4×(－1)＋3×2－1＝1，故A 中元素(－1,2)在f 的作用下与之对应的B 中的元素是(－6,1)．②设在映射f 作用下，B 中元素(1,1)对应A 中的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝1，解之得⎩⎨⎧x ＝417y ＝617，即A 中的元素为⎝⎛⎭⎫417，617. 规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应． (2)B 中的对应元素是不是唯一的．2．求对应元素的两种类型及处理思路(映射f ：A →B )(1)若已知A 中的元素a ，求B 中与之对应的元素b ，这时只要将元素a 代入对应关系f 求解即可．(2)若已知B 中的元素b ，求A 中与之对应的元素a ，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．【训练1】下列各个对应中，构成映射的是( )解析对于A ，集合M 中元素2在集合N 中无元素与之对应，对于C ，D ，均有M 中的一个元素与集合N 中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B ．答案 B典例迁移题型二分段函数求值问题【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52. 解由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝3×⎝⎛⎭⎫－32＋5＝12. 【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值．解当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2,2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.【迁移2】 (变换所求)例2的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围．解当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2；当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2；当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}．规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．【训练2】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)．当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. 答案－6或4题型三分段函数的图象及应用【例3】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象；③写出函数f (x )的值域．(1)解析当0≤x ≤1时，f (x )＝－1；当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝－1，2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2，此时f (x )＝x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.(2)解 ①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.②函数f (x )的图象如图所示．③由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．【训练3】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)，1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．课堂达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＋1，x <2，x －2，x ≥2，则f (0)＝( )A ．2B ．2C ．1D ．0解析因为0∈(－∞，2)，所以f (0)＝102＋1＝1.答案 C2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D ．答案 D3．如图中所示的对应：其中构成映射的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析由映射的定义知①②③是映射．答案 A4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝________.解析当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，即a ＝－4；当a >0时，f (a )＝a 2＝4，a ＝2(a ＝－2舍去)，故a ＝－4或a ＝2.答案－4或25．作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞)的图象，并求y 的值域．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞). 值域为y ∈[－7,7]．图象如右图．课堂小结1．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”，而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集．于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．。

122第2课时分段函数及映射学案(人教A版必修1).doc

第2课时分段函数及映射【课标要求】1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射的概念.【核心扫描】1.分段函数的图彖及求值.(重点)2.对映射概念的理解.(难点)3.通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.教材为本探究学习01冷新知探究新知导学1.分段函数如果函数y=f(x), xeA,根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对•应关系, 则称这样的函数为分段函数.温馨提示：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.2.映射设A、B是两个菲空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A屮的任意一个元索x,在集合B中都冇唯一确宦的元素y与Z对应，那么就称对应f： A-B为从集合A到集合B 的一个映射.互动探究探究点1 “分段函数是几个函数”这何话正确吗？提示不正确，分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已.探究点2映射一定是函数吗？提示映射是函数的推广，而函数是映射的特殊情况，函数是非空数集A到非空数集B 的映射，对映射而言，A, B不一定是非空数集，所以映射不一定是函数，函数一定是映射.的* 師殆I區女Vfc 阳土环九研析题型要点突破…类型一—分卡殳矗的求值x2+1, xWl,【例1】⑴设函数f(x)=S2 则f(f(3))=().k x>i，A.IB. 3 C? D.孕[x2+1(x^0),(2)(2013-成都高一检测)已知函数f(x)= _____ z c、若f(x)=10,则x=、一2x(x<0),2解析(1)当 x = 3>l 时，f(3) = §<l,13 y-(2)当 xNO 时，f(x) = x 2 + 1 = 10, Ax = 3(舍去-3)；当 x<0 时,f(x)= -2x= 10, .\x= -5.综上知，x 的值为-5或3.答案(1)D (2)-5 或 3［规律方法］1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.若题目含有多层“f”，应按“由里到外”的顺序层层处理.2.如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想.x —2 I 刘 W ］【活学活用1】⑴已知函数f(x)=L+x ；,(2) 右 x$0,由 x + 1 = 2,得 x = 1;若 x<0,由右=2, # x = ±|,舍去 x=*,・・.x= 综上可知，x^l 或x= -*.13 ］答案⑴才(2)1或一㊁类型二分段函数的图象与解析式【例2］ (1)(2013-汕头高一检测)作f(x) = x+—的图象. A(2)如图，根据函数y=f(x)的图象，写出它的解析式.［思路探索］⑴去绝对值号，化简f(x)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象.(2)根据图象列出每一段的解析式，合在一起形成f(x)的解析式.y ［思路探索］判断自变量满足的范围分段函数 |确定适宜| |的函数式| 求值 ⑵已知函数f(x)=S 1 Ixl'x<0, 若 f(x)=2,则*= ___________ 解析⑴由于I W1,所以哇) 3-2 =21 -2 3-2=x+l(x>0), 解(l)f(X)=i iz -c、图彖如图.x— l(x<0),(2)当0WxWl 时，f(x)=2x；当l<x<2 时，f(x)=2；当xN2 时,f(x) = 3.2x, OWxWl,故f(x)=2, l<x<2,.3, x$2・［规律方法］l•对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象.2.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题.3.根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式.x2, —lWxWl,【活学活用2】已知f(x)= , |l, x>l或xV —I.⑴画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域.解(I)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知,当TWxWl时,f(x)=x2的值域为［0,1］,当x>l 或xV —1 时,f(x)= 1,所以f(x)的值域为［0,1］・类型三映射的概念【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A=N*, B=N",对应关系f： x-Hx—31；(2)A=｛平面内的圆｝, B = ｛平面内的矩形｝,对应关系f：“作圆的内接矩形”；(3)A=｛高一⑴班的男生｝, B=R,对应关系f：每个男生对应自己的身高;(4)A=｛xlOWxW2｝, B = ｛ylOWyW6｝,对应关系f： x-*y=yx.［思路探索1根据映射的定义，只要检验对A中的任何元素，按对应关系f,是否在B中都有唯一的元素与之对应.解(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而()B,故不是映射.(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与Z 对应，故不是映射.(3)对A屮任何一个元素，按照对应关系f,在B中都有唯-的元素与之对应，符合映射定义，是映射.(4)是映射，因为A中每一个元素在f： x-y=|x作用下对■应的元素构成的集合C = ｛ylOWyWl｝ B,符合映射定义.［规律方法］判断对应f: A-B是否是A到B的映射，必须做到几点：⑴明确集合A, B中的元素.(2)根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素，可以“一对一”，也可以“多对一”，但“一对多”不是映射.【活学活用3】判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？1(x30),⑴A = R, B = {()」},对应关系f： Ly=h<°),(2)A=Z, B=Q,对应关系f： x-*y=7；X(3)设A=｛矩形｝, B = ｛实数｝,对应关系f：矩形和它的面积对应.解⑴对于集合A中任意一个非负数在集合B中都有唯一元素1与Z对应，对于A中任意一个负数在集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射.(2)集合A屮的元索0在集合B中没有元索•与之对应，故不是映射.(3)对于每一个矩形，它的而积是唯一确定的，所以f是从集合A到集合B的映射.易错辨析忽略分段函数各区间上的范围致误X2— 1 (x2()),【示例】已知函数f(x)=1 若f(x)=3,求x的值.2x 十1 (xvO),［错解］ill X2—1=3,得x=±2；由2x+l =3,得x=l,故x的值为2, —2或1.［错因分析］要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，求值时不能忽视x的取值范围.［正解］当xMO时,由X2—1=3,得x = 2或x=—2(舍去)；当xvO时,由2x+l=3, 得x = l(舍去)，故x=2.［防范措施］(1)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则.(2) “对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题.不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因.03 > 感悟提升1. 下列对应不是映射的是().解析结合映射的定义可知A 、B 、C 均满足M 中任意一个数x,在N 中有唯一确定的 y 与之对应，而D 中元素1在N 中有a, b 两个元素与之对应，故不是映射.答案D2.函数y=lxl 的图象是().x x$O,解析 7y = lxl = l-x x<0,答案B x 2+1(x^0),函数他尸〔2-x(-20VO)解析当x2O 时，f(x)$l,当—2Wx<0 时，2<f(x)W4, ・・・f(x)N 1或2<f(x)W4,即f(x)的值域为［1, +8)・答案［1, +8)4. _________________ 已知从集合A 到集合B 的映射是fi ： x-2x —l,从B 到C 的映射是f2： y —詁所，则从A C 的映射为・解析依题设范七T 右’X 2-4, 0W X W2,5. 已知函数f(x)=1] 4x—1 总结评价反思提高课堂达标3. 的值域是・・・A-C 的映射为答案 AB 选项正确.2x, x>2.⑴求f(2), f[f(2)]的值；(2)若f(x())=8,求X。

人教A版数学必修一1.2.2.2分段函数及映射

思考
你能说出函数与映射之间的异同吗?
(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数的推广；
(2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，而对于映射， A和B不一定是数集。
回顾本节课你有什么收获解析式
图像
分段函数的概念
映射的概念
核心概念
分段函数的函数值
昨天是已经走过的，明天是即将走过的，惟有今天正在走过……
1.已知
f
(x)

x

f
3 [ f (x

4)]
(x 9) (x 9)
求的f 值15.,f 7
解： f 15 12,f 7 6
v/cm·s-1 2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30
是时间t的函数,它的图象如右图，
用解析式表示出这个函数. 10
t+10,(0≤t<5)
例2画出函数图像y.

x 1, 2
x 2
y
y x2 4x 4
x
O
2
y x 1
2
3.求分段函数的解析式例3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
x+2,(x≤－1)；
例1已知函数f(x)=
x2,(－1＜x＜2)；
2x,(x≥2).
((f21))3若求 f的6f,(f值x3)12;=,3f,14求12,fx,的f5值5.3
解：（1）

高中数学人教A版必修一1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件(26张)

题型二
求分段函数的函数值
x 1, x 0, 【例 2】已知 f( x) = π, x 0, 求 f{f[ f( -3) ] }. 0, x 0,
分析: 先求 f(-3), 设 f( -3 ) =m, 再求 f(m), 设 f(m) =n, 再求 f( n) 即可. 解: ∵ -3<0, ∴ f(-3)=0. ∴ f[f(-3) ]=f(0) = π. 又∵ π>0, ∴ f{f[f(-3) ]}=f(π) =π+1, 即 f{f[f(-3)] }=π+1. 反思: ( 1)求分段函数的函数值, 一定要注意所给自变量的值所在的范围, 再代入相应的解析式求得. (2)像本题中含有多层“f”的问题, 要按照“由里到外”的顺序, 层层处理.
1.理解映射的概念剖析: 对于映射 f: A→B , 可以从以下几个方面理解: (1)映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; (2)映射是有方向的, A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不一样的; (3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有元素与之对应, 而且这个与之对应的元素是唯一的, 这样集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性就构成了映射的核心; (4)映射允许集合 B 中存在元素在 A 中没有元素与其对应; (5)映射允许集合 A 中有不同的元素在集合 B 中有相同的对应元素, 即映射只能是“多对一”或“一对一”, 不能是“一对多”.
题型一
判断映射
【例 1】下列对应是 A 到 B 的映射的有( ①A=R, B=R, f: x→y= 1 x ;
) .
x 1
②A={2010 年广州亚运会的火炬手}, B={2010 年广州亚运会的火炬手的体重}, f: 每个火炬手对应自己的体重; ③A={非负实数}, B=R, f: x→y=± x . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个解析: ①中, 对于 A 中元素-1, 在 B 中没有与之对应的元素, 则①不是映射; ②中, 由于每个火炬手都有唯一的体重, 则②是映射; ③中, 对于 A 中元素 4, 在 B 中有两个元素 2 和-2 与之对应, 则③不是映射. 答案: B 反思: 判断一个对应是否为映射, 依据是映射的定义.判断方法为: 先看集合 A 中每一个元素在集合 B 中是否均有对应元素.若没有, 则不是映射; 若有, 再看对应元素是否唯一, 若唯一, 则是映射, 若不唯一, 则不是映射.

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④ 不是 ⑤ 不是 ⑥ 不是答案： A
是一对多，不满足对应元素唯一性.
是一对多，不满足对应元素唯一性.
a3，a4无对应元素、不满足取元任意性.
[题后感悟] 判断一个对应是否为映射的关键是什么？ ①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有元素与它对应； ②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯一． [注意] ①映射允许多对一，一对一，不允许一对多．
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故选D. 答案： D
4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有( )
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
解析：图①，图②符合映射定义，图③集合 M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应，故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不能构成映射．
3x＋5，x≤0，

x＋5，0＜x≤1，－2x＋8，x＞1.
(1)求 f32，fπ1，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求 f(x)的最大值．
f(x) ＝
解析： (1)∵32＞1，∴f32＝－2×32＋8＝5. ∵0＜π1＜1，∴f(π1)＝π1＋5＝5ππ＋1. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
1. 已知函数 f(x) ＝
x＋1， x≤－2， x2＋2x，－2＜x＜2， 2x－1， x≥2.

数学新课标人教A版必修1教学课件：1.2.2.2第2课时分段函数及映射

栏目导引
1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的_对__应__关___系_，则称这样的函数为分段函数． 2．映射设 A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任__意__一__个__元素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对应，那么就称对应f_：__A_→__B_为从集合A到集合B 的一个映射．
必修1 第一章集合与函数的概念
栏目导引
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故选D. 答案： D
栏目导引
解析：
必修1 第一章集合与函数的概念
栏目导引
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时 f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时， f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
必修1 第一章集合与函数的概念
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解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
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(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
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④ 不是 ⑤ 不是 ⑥ 不是答案： A
是一对多，不满足对应元素唯一性.
是一对多，不满足对应元素唯一性.
a3，a4无对应元素、不满足取元任意性.

高中数学第一章 1.2.2第2课时分段函数与映射讲义教案新人教A版必修1

第2课时分段函数与映射学习目标核心素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1．通过分段函数求值问题提升数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数． 2．映射设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )A B C DC [选项C 中不但b 元素没有对应的元素，而且元素a 所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选C.]2．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1. ②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1，则f (f (4))＝________.0 [∵f (4)＝－4＋3＝－1，f (－1)＝－1＋1＝0， ∴f (f (4))＝f (－1)＝0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2.已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[跟进训练]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4(x ≥6)，f (x ＋3)(x ＜6)，则f (2)等于( )A ．2B ．3C ．5D ．4D [因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4(x ≥6)，f (x ＋3)(x ＜6)，所以f (2)＝f (5)＝f (8)＝8－4＝4.]分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．思路点拨：可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．[跟进训练]2．下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米)．阶梯户年用水量 (立方米) 水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.07 1.571.36第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.07 第三阶梯260以上9.006.07(2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少． [解] (1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤180，7(x －180)＋900，180＜x ≤260，9(x －260)＋1 460，x ＞260，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，0≤x ≤180，7x －360，180＜x ≤260，9x －880，x ＞260.(2)依题意得y ＝1 040，若x ∈[0,180]，则5x ＝1 040，解得x ＝208，不合题意，舍去；若x ∈(180,260]，则7x －360＝1 040，解得x ＝200，符合题意；若x ＞260，则9x －880＞1 040，不合题意．故该用户当年用水量为200立方米．因此，自来水费为2.07×180＋4.07×20＝454(元)，水资源费为1.57×200＝314(元)，污水处理费为1.36×200＝272(元)．分段函数的图象及应用1．函数f (x )＝|x －2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.函数f (x )的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】 (教材改编题)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域．思路点拨：(1)分－2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．在本例条件不变的情况下，试讨论直线y ＝a 与函数y ＝f (x )图象的交点个数． [解] ①当a ≥3或a <1时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象无交点； ②当1<a <3时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点； ③当a ＝1时，y ＝a 与y ＝f (x )的图象有无数个交点． 2．把本例条件改为“f (x )＝|x |－2”，再求本例的3个问题．[解] (1)f (x )＝|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥0，－x －2，x <0.(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的值域为[－2，＋∞)．映射的概念①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－xx ＋1； ②A ＝{2018年俄罗斯世界杯足球赛的运动员}，B ＝{2018年俄罗期世界杯足球赛的运动员的体重)，f ：每个运动员对应自己的体重；③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝3x . A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个C [①中，对于A 中的元素－1，在B 中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个运动员都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中的任一元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，则③是映射．]判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应. (2)B 中的对应元素是不是唯一的.提醒：“一对一”或“多对一”的对应都是映射.[跟进训练]3．已知A ＝{1,2,3，…，9)，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？[解] (1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.1．核心要点：(1)分段函数的概念．(2)分段函数求值要先找准自变量所在的区间，分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．数学思想：已知分段函数的函数值，求自变量的值时，多用到分类讨论的思想．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)映射中的两个非空集合并不一定是数集． ( ) (2)分段函数由几个函数构成．( ) (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( ) (4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B.3 C.23D.139D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.] 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2 [当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又过点(1,2)，故k ＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．[解] (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．。

人教A版高中数学必修一课时作业第二课时分段函数与映射

第二课时分段函数与映射选题明细表知识点、方法题号分段函数求值1,5,6,7,10,13 分段函数图象及实际应用2,8,9,12映射3,4,11基础巩固1.(2019·江苏省盱眙中学、泗洪中学高一上第一次联考)函数f(x)=则f(f(-2 018))等于( B )(A)1 (B)-1 (C)2 018 (D)-2 018解析:由题意可得f(-2 018)=1,所以f(f(-2 018))=f(1)=1-2=-1.故选B.2.函数f(x)=|x-1|的图象是( B )解析:由绝对值的意义可知当x≥1时y=x-1,当x<1时,y=1-x.故选B.3.集合A的元素按对应法则“先乘再减1”和集合B中的元素对应,在这种对应所成的映射f:A→B.若集合B={1,2,3,4,5},那么集合A不可能是( C )(A){4,6,8} (B){4,6}(C){2,4,6,8} (D){10}解析:按对应法则“先乘再减1”,结合集合B={1,2,3,4,5}可知A中的元素可以为{4,6,8,10,12}.但是不可能为2.故选C.4.若A={某中学高一年级学生},B={男,女},从A→B的对应法则f1:A中的每一个元素,在集合B中对应其性别.又C=D=R,从C→D的对应法则f2:x→x的倒数.则以下说法正确的是( B )(A)f1,f2都是映射(B)f1是映射,f2不是映射(C)f1不是映射,f2是映射(D)f1,f2都不是映射解析:A中的每一个元素在B中都有唯一元素与其对应;C中的数0在D 中没有对应元素,故f1是映射,f2不是映射.故选B.5.(2019·重庆巴蜀中学高一上期中)已知函数f(x)=若f[f(0)]=a2+1,则实数a等于( D )(A)-1 (B)2(C)3 (D)-1或3解析:由题意得f(0)=20+1=2,所以f[f(0)]=f(2)=2a+4,又f[f(0)]=a2+1,所以2a+4=a2+1,即a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3.故选D.6.(2019·河南林州第一中学高一调研)设f(x)=则f(5)的值为( B )(A)10 (B)11 (C)12 (D)13解析:因为f(11)=11-2=9,所以f(5)=f[f(5+6)]=f[f(11)]=f(9),因为f(15)=15-2=13,所以f(9)=f[f(9+6)]=f[f(15)]=f(13)=13-2=11.所以f(5)=11.7.(2017·山东卷)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()等于( C )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:因为y=(0<x<1)和y=2(x-1)(x≥1),都是单调函数,所以0<a<1, 由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),所以a=,所以f()=f(4)=2×(4-1)=6.故选C.8.下列函数图象可能是分段函数图象的序号是.解析:②中的图象是y=x2的图象,④中不是函数图象.答案:①③能力提升9.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为( C )(A)2 800元(B)3 000元(C)3 800元(D)3 818元解析:设纳税额为y元,稿费(扣税前)为x元,由题意,知纳税额y元与稿费(扣税前)x元之间的函数关系式为y=由于此人纳税420元,所以当800<x≤4 000时,则(x-800)×0.14=420,解得x=3 800,符合题意;当x>4 000时,0.112x=420,解得x=3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.故选C.10.(2019·江苏南菁高级中学高一上第一次测试)设f(x)=则使得f(m)=1成立的m值是( D )(A)10 (B)0,10(C)1,-1,11 (D)0,-2,10解析:当m<1时,f(m)=(m+1)2=1,所以m=-2或m=0,当m≥1时,f(m)=4-=1,所以m=10.综上可知,m的取值为-2,0,10.故选D.11.若f:x→x2+1是从集合A到集合B的映射,且A={-3,-2,-1,0,1, 2,3},则集合B中至少有个元素.解析:因为x=±3时,y=x2+1=10,x=±2时,y=x2+1=5,x=0时,y=x2+1=1,x=±1时,y=x2+1=2,因此在对应关系f的作用下,集合B中至少含有元素1,2,5,10.答案:412.(2019·湖南浏阳六校高一期中联考)某汽配厂生产某种零件,每个零件的出厂单价为60元,为了鼓励更多销售商订购,该厂决定当一次订购超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不低于51元.(1)当一次订购量最少为多少时,零件的实际出厂单价恰好为51元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.解:(1)设一次订购量最少为a件时,零件的实际出厂单价恰好为51元.a=100+,所以a=550(件).(2)0<x≤100且x∈N,f(x)=60,100<x<550且x∈N,f(x)=60-(x-100)×0.02=62-0.02x,x≥550且x∈N,f(x)=51,所以P=f(x)=探究创新13.(2019·广东华南师范大学附中高一上期中)设函数 f(x)=若对任意的x都满足x·f(x)≤g(x)成立,则函数g(x)可以是( B )(A)g(x)=x (B)g(x)=|x|(C)g(x)=x2(D)不存在这样的函数解析:当x为无理数时,f(x)=0,xf(x)≤g(x)⇔0≤g(x),当x为有理数时,f(x)=1,xf(x)≤g(x)⇔x≤g(x),若g(x)=x,当x=-时,g(x)<0,即A不正确;若g(x)=|x|,已知对任意实数,x≤|x|,且|x|≥0,故当x为有理数或无理数时,不等式恒成立,即B正确;若g(x)=x2,当x=,则g()=,>,即C 不正确.故选B.。

人教A版高中数学必修1课时作业(8) 分段函数与映射

课时作业（八）分段函数与映射一、选择题1．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选A ①是映射,是一对一；②③是映射,满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射,是一对多；⑥不是映射,a 3,a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．映射f ：A→B ,在f 作用下A 中元素(x,y)与B 中元素(x －1,3－y)对应,则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x≥6，f x ＋2， x ＜6，则f(3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A f(3)＝f(3＋2)＝f(5), f(5)＝f(5＋2)＝f(7)． ∵f(7)＝7－5＝2,故f(3)＝2.4．设x ∈R,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D 当x ＜0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,xsgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A 、B 、C,故选D.5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f(m)＝⎩⎪⎨⎪⎧3.71，0<m≤4，1.060.5×[m]＋2，m>4，其中[m]表示不超过m 的最大整数,从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )A ．3.71B ．4.24C ．4.77D ．7.95解析：选C f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77. 二、填空题6．集合A ＝{a,b},B ＝{－1,0,1},从A 到B 的映射f ：A→B 满足f(a)＋f(b)＝0,那么这样的映射f ：A→B 的个数是________．解析：由f(a)＝0,f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝1,f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1,f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0.共3个．答案：37．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a≥b，a ，a<b ，则函数f(x)＝x ⊙(2－x)的值域为________．解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≥1，x ，x<1，画出函数f(x)的图象得值域是(－∞,1]．答案：(－∞,1]8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0),f(－2)＝－2,则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是________．解析：由f(－4)＝f(0)⇒(－4)2＋b×(－4)＋c ＝c, f(－2)＝－2⇒(－2)2＋b×(－2)＋c ＝－2, 解得b ＝4,c ＝2.则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x≤0，2，x>0.由f(x)＝x,得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1,即当x≤0时,有两个解．当x>0时,有一个解x ＝2.综上,f(x) ＝x 有3个解．答案：3 三、解答题9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x≤0，x 2－2x ，0<x≤4，－x ＋2，x>4.(1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数的图象．解：(1)∵5>4,∴f(5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0,∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4,∴f(f(f(5)))＝f(1) ＝12－2×1＝－1, 即f(f(f(5)))＝－1. (2)图象如右图所示．10.在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P,从B 点开始,沿折线BCDA 向A 点运动(如图),设P 点移动的距离为x,△ABP 的面积为y,求函数y ＝f(x)及其定义域．解：如题图,当点P 在线段BC 上, 即0≤x≤4时,y ＝12×4×x＝2x ；当P 点在线段CD 上,即4<x≤8时,y ＝12×4×4＝8；当P 点在线段DA 上,即8<x≤12时,y ＝12×4×(12－x)＝24－2x.∴y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x≤4，8，4<x≤8，24－2x ，8<x≤12，且f(x)的定义域是[0,12]．11．一水池有2个相同进水口,1个出水口,每个口进出水速度如图甲、乙所示；某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示,请列出水池在不同时段的进出水口安排．解：由甲图可以看出,每个进水口1小时进水量为1个单位, 由乙图可以看出,每个出水口1小时出水量为2个单位, 由丙图：0～3点：2个进水口同时进水,不出水．3～4点：1个进水口在进水,同时1个出水口在出水． 4～6点：方案1：关闭所有进出水口,不进水不出水．方案2：2个进水口与1个出水口同时工作,保持进出水量相等．12．设A ＝{1,2,3,m},B ＝{4,7,n 4,n 2＋3n},对应关系f ：x→y＝px ＋q,已知m,n ∈N *,1对应的元素是4,2对应的元素是7,试求p,q,m,n 的值．解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7,列方程组⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应关系为f ：x→y＝3x ＋1.由此判断A 中元素3对应的元素要么是n 4,要么是 n 2＋3n.若n 4＝10,则n ∈N *不成立,所以n 2＋3n ＝10,解得n ＝－5(舍去)或n ＝2. 因为集合A 中的元素m 对应的元素只能是n 4,等于16, 所以3m ＋1＝16, 所以m ＝5.故p ＝3,q ＝1,m ＝5,n ＝2.。

人教A版数学必修一1.2.2第2课时分段函数、映射

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(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
2．已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2＜x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1，
解：(1)f－12＝－12＋2＝32， ∴ff－12＝f32＝322＝94， ∴fff－12＝f94＝12×94＝98． (2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0, 不符合 x＜0．当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x＜2．当 f(x)＝12x＝2 时，x＝4，符合 x≥2．综上，x 的值是 2或 4．
分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样．
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．
x＋2x＜0，已知函数 f(x)＝x20≤x＜2，
12xx≥2.
(1)求 fff－12值； (2)若 f(x)＝2，求 x 的值．【思路点拨】分段考虑求值即可． (1)先求 f－12，再求 ff－12，最后求 fff－12； (2)分别令 x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求 x．
【思路点拨】解答本题可由映射的概念出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应．
解：(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0，而0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一元素与之对应，符合映射定义，是映射．

高一数学人教版必修1课时作业1.2.2.2 分段函数及映射 Word版含解析

基础过关.下列对应不是映射的是( )解析结合映射的定义可知、、均满足中任意一个数，在中有唯一确定的与之对应，而中元素在中有，两个元素与之对应，故不是映射.答案.(·宁波高一检测)已知()＝则＋的值等于( ).－.－解析∵＝×＝，＝＝＝＝＝，∴＋＝＋＝.答案.已知函数()＝若[()]＝，则实数的值为( )解析易知()＝，所以[()]＝()＝＋＝，所以＝.答案.设：→－为从集合到集合的映射，若()＝，则()＝.解析由()＝可知，－＝，∴＝，∴()＝－＝×－＝.答案.函数＝()的图象如图所示，则＝()的解析式是()＝.解析当≤<时，()＝；当≤<时，()＝；当≥时，()＝.故()＝答案.已知函数()＝若()＝，求的值.解因为()＝所以当≤－时，()≤；当－<<时，≤()<.当≥时，()≥，又因为()＝，所以()＝＝，且－<<.因此＝..已知映射：→，＝＝，对应关系：→＝－＋，对于实数∈在中没有元素与之对应，求的取值范围.解依题意，该映射为函数由∈且在集合中不存在元素与之对应，所以实数一定不在函数的值域内，又()＝－＋＝－(－)＋≤，∴函数()的值域为＝(－∞，].又∉，知>，故实数的取值范围是(，＋∞)..某市出租车的计价标准是：以内元，超过且不超过的部分元，超过的部分元.()如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；()如果某人乘车行驶了，他要付多少车费？解()设车费为元，出租车行驶里程为.由题意知，当<≤时，＝；当<≤时，＝＋(－)＝＋；当>时，＝＋×＋(－)＝－.所以，所求函数关系式为＝()当＝时，＝×－＝.所以乘车行驶了要付元的车费.能力提升.下列集合到集合的对应是映射的是( )＝{－，，}，＝{－，，}，：中数的平方＝{，}，＝{－，，}，：中数的平方根＝，＝，：中数的倒数＝，＝{>}，：中数的平方解析根据映射的概念，只有选项中满足对中任意元素，在中有唯一元素与之对应.答案.函数()＝的值域为( ).[－，＋∞).[－，] .[－，]。

2017秋人教A版·数学·必修1课时作业8分段函数与映射 Word版含解析

【解析】(1)设f：(－2,3)→(x1，y1)，根据f：(x，y)→(x＋y，xy)有：
x1＝－2＋3＝1，y1＝(－2)×3＝－6，
∴(－2,3)在f作用下的像是(1，－6)．
(2)方法一：依题意得解得或
∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)或(－1,3)．
方法二：设f：(m，n)→(2，－3)，由f：(x，y)→(x＋y，xy)可知：
【解析】根据映射的定义可得，x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B中至少有3个元素．
【答案】3
13．已知(x，y)在映射f的作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)求(－2,3)在f作用下的像；
(2)若在f作用下的像是(2，－3)，求它的原像．
课时作业
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是()
①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一，也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
【答案】D
4．a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝()

2016-2017学年高中数学人教版必修1课件：1.2.2 第二课时分段函数与映射

第五页，编辑于星期五：十六点四十八分。
[导入新知] 映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．
第六页，编辑于星期五：十六点四十八分。
第十七页，编辑于星期五：十六点四十八分。
[活学活用] 已知函数y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一一个分段函数的图象，对各段
对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．
根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b(x<1)．
已知函数f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求f(－5)，f(－ 3)，f f－52的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值．
第八页，编辑于星期五：十六点四十八分。
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝(－5)＋1＝－4，f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f －52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴f f－52＝f －32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.
第四页，编辑于星期五：十六点四十八分。
映射 [提出问题] A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}．对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．问题1：从集合A到集合B能构成函数吗？提示：不能．问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．

2016高一人教A版数学必修1课件：1.2.2第2课时分段函数及映射

过部分的水费按原价的400%收费．如果某
人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本服/务/教/师免/费/馈/赠
返回菜单第二十七页，编辑于星期六：点十五分。
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• 【思路探究】 (1)理解题目中“超过部分”的含义；(2)用水量不同时，水费的计算不同，考虚用分段函数表示．
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返回菜单第三页，编辑于星期六：点十五分。
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• 1．判断(正确的打“√”，错误的打 “×”) • (1) 分段函数的图象一定不是连续的．( ) • (2)函数都是映射．( )
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• 预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中
问题1 问题2 问题3 问题4
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返回菜单第八页，编辑于星期六：点十五分。
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(1)(2014·枣庄高一检测)设f(x)＝
xf（＋f3（，xx＋＞51）0，），x≤10，则f(5)的值是(
• A ． 24
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(3)(2014·西安高一检测)已知函数f(x)＝ 3－x＋x，1，x＞x≤1，1，若f(x)＝2，则x＝________．
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返回菜单第十一页，编辑于星期六：点十五分。
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• 【解析】 (1)f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))
当x＝12km时，y＝0.8×12＋1.5＝11.1(元)．
【答案】 11.1
服/务/教/师免/费/馈/赠
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人教A版数学必修一第2课时分段函数及映射 (2).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第2课时分段函数及映射基础达标1．设f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π解析由题设，g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0. 答案 B2．f (x )＝|x －1|的图象是( )．解析 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1，x ＝1时，f (1)＝0可排除A 、C.又x ＝－1时f (－1)＝2，排除D. 答案 B3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α＝( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4；当α＞0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．答案 B4．(2013·郑州高一检测)设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________.解析由f (2)＝3，可知2a －1＝3，∴a ＝2， ∴f (3)＝3a －1＝3×2－1＝5. 答案 55．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)的值是________．解析 f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案 15166．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b (a ≥b )，a (a <b )，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析由题意知f (x )＝⎩⎨⎧2－x (x ≥1)，x (x <1)，当x ≥1时，f (x )＝2－x ≤1；当x <1时，f (x )<1，∴f (x )的值域为(－∞，1]．答案 (－∞，1]7．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2＜x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2＜x ＜0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2＜x ＜0.(2)函数f (x )的图象如图所示：(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．能力提升8．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )．A ．－13 B.13 C ．－23D.23解析由图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13. 答案 B9．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．解析当x ≥0时，f (x )＝1，由xf (x )＋x ≤2，知x ≤1， ∴0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，∴x ＜0. 综上：x ≤1. 答案 {x |x ≤1}10．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/km ，超过18 km 的部分1.8元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式； (2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？解 (1)由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6. 所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎨⎧10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4. 所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．。

高中数学 1.2.2第2课时分段函数、映射课时作业新人

活页作业(九) 分段函数、映射知识点及角度难易度及题号基础中档稍难分段函数4、67、912分段函数的图象38 11映射的概念及应用1、2、5 101．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能构成M到P 的映射的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝x D．f：x→y＝16x解析：由映射定义判断，选项C中，x＝6时，y＝6∉P.答案：C2．在给定映射f：A→B即f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)的条件下，与B中元素⎝⎛⎭⎪⎫16，－16对应的A中元素是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫16，－136B．⎝⎛⎭⎪⎫13，－12或⎝⎛⎭⎪⎫－14，23C.⎝⎛⎭⎪⎫136，－16D．.⎝⎛⎭⎪⎫12，－13或⎝⎛⎭⎪⎫－23，14解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝16，xy＝－16，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝13，y＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x＝－14，y＝23.故选B.答案：B3．下列图象是函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x＜0x－1，x≥0的图象的是( )解析：由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．答案：C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6，f x ＋2，x <6，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A5．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，∴f (x )＝－x .综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，-1≤x <0－x ，0≤x ≤1答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤1.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2的值为________．解析：f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案：15167．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数解析式． (2)求f (－3)，f (1)的值． (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16，解得x ＝2或x ＝－6(舍去) 若x ＜1，则x 2＋2＝16，解得x＝14(舍去)或x ＝－14. 综上，可得x ＝2或x ＝－14.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 －1＜x ＜0，－12x 0≤x ＜2，3 x ≥2.则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：对f (x )来说，当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x ＜2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D. 答案：D9．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜1，2－x ，x ≥1画函数f (x )的图象，得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]10．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x2＋1)，求A中元素2在B中的对应元素和B中元素⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素．解：将x＝2代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋1＝32，x2＋1＝54，得x＝12.所以2在B中的对应元素为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素为12.11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系，试写出y＝f(x)的函数解析式．解：当∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝0，30k1＋b1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k1＝115，b1＝0，∴y＝115x.当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k2＋b2＝2，60k2＋b2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k2＝110，b2＝－2，∴y＝110x－2.综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧115x，x∈[0，30]，2，x∈30，40，110x－2，x∈[40，60].12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象．(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围．(3)求f (x )的值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]．1．对分段函数的三点认识(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样． (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等．作图时，要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示．2．对映射概念的三点认识(1)映射包括非空集合A ，B 以及对应关系f ，其中集合A ，B 可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何非空的集合．(关键词：非空集合)(2)集合A ，B 是有先后顺序的，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的．(关键词：顺序)(3)集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)，但允许B中元素在A中无元素与之相对应．(关键词：唯一)。