离散数学课件变换群、置换群与循环群
合集下载
变换和置换群
f◦g=g◦f=g (恒等变换) 逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆
元素。
A
5
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。 封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) =
是函数：a=b xG, x*a=x*b xG, a(x)=b(x) a=b
是满射：显然
是单射：根据消去律，ab x*ax*b ab 同 构 映 射 ： (a*b)=(a◦b), xG, (a*b)(x)=(a*b)(x)=x*
(a*b) =(x*a)*b=b(a(x)), (a*b)=a◦b=(a)◦(b)，这里 “◦”是函数复合运算。
(2) x=ik
(3) x=ik+1 (4) x为A中其它元素
A
14Biblioteka Baidu
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
函数 f 的对换乘积形式： (1 2) (1 3) (1 4)
A
12
元素。
A
5
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。 封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) =
是函数：a=b xG, x*a=x*b xG, a(x)=b(x) a=b
是满射：显然
是单射：根据消去律，ab x*ax*b ab 同 构 映 射 ： (a*b)=(a◦b), xG, (a*b)(x)=(a*b)(x)=x*
(a*b) =(x*a)*b=b(a(x)), (a*b)=a◦b=(a)◦(b)，这里 “◦”是函数复合运算。
(2) x=ik
(3) x=ik+1 (4) x为A中其它元素
A
14Biblioteka Baidu
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
函数 f 的对换乘积形式： (1 2) (1 3) (1 4)
A
12
16-变换群与置换群
经常讨论的是一一变换，即f是双射。 变换就是函数，变换的“乘法”就是函数复合运算。
集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群称为变换群。
非空集合上所有的一一变换构成群
设A是任意的非空集合，A上所有的一一变换一定构成群。
– – –
封闭性：双射的复合仍是双射。 结合律：变换乘法是关系复合运算的特例。 单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意g:AA, f◦g=g◦f=g (恒等变换) 逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆元素。
置换的轮换乘积形式
例子： 1 2 3 4 5 6 7 8 = (1 5 7) (4 8)
5 2 3 8 7 6 1 4
1 2 3 4 5 6 7 8 例子： 2 3 5 8 1 4 6 7
=(1 2 3 5) (4 8 7 6)
用对换的乘积表示置换
–
a是一一变换
a是显然是函数
对任意aG，群方程x*a=b有唯一解，即a是满射
由群满足消去律：x*a=y*a x=y, 即a是单射
–
令G„={a|aG}
Cayley定理
任意的群G与一个变换群同构。
–
定义: GG„: aG, (a)=a ,其中G'={a|aG} 。
– – –
循环群与置换群-PPT精品文档
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的 一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
定理7.3.2 设 G为集合 S上全体变换的集合，则 (G ,∘)是一个含幺元 e的半群，其中运算 ∘ 是复合 运算，e 为S上的恒等变换。
定理7.3.2 设T(S)为集合 S上所有的双射变换，则 (T(S),◦)是一个群。 • 设 S上的若干个双射变换组成的集合G关于◦ 构成 一个群，则称 G为 S上的一个变换群。 • 集合 S上双射变换的集合G关于◦ 构成一个群的充 要条件是下面二个条件成立： （1）G关于运算◦是封闭的， （2）对∀g ∈ G，必有 g-1 ∈ G。
gs= gt ⇔ s≡t (mod n)。 作映射 f : G → Zn , f ( gk )=[k]n ， 则 f 是双射。 又 f (gs◦gt )= f (gs+t )=[s + t ]n =[s]n +n [t]n
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。 （2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ， 则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
若Tg( a) = Tg( b), 则 g∗a = g∗b, 由消去律得 a = b, Tg是单射; 对∀c ∈ G, 有d= g-1∗c ∈ G，满足 Tg(d ) = c ，Tg 是满射。 又Tg◦Th(a) = Tg(Th(a)) = Tg(h∗a)= g∗h∗a = Tg∗h(a)∈ T(G ) , 而Tg◦Tg-1(a) = g∗g-1∗a = a = g-1∗g∗a = Tg-1◦Tg(a), 即Tg-1=Tg-1 . 综合上述结论可知：( T(G ),◦) 是一个变换群。
2019-2020年人教统编§6.3置换群(离散数学)课件
12
2 4
3 3
4 5
51，τ＝
12
2 5
3 1
4 4
53
求σ2，στ，τσ， σ-1， τ -1 。
并解方程σx=τ, y τ= σ.
解： σ2=
12
2 4
3 3
4 5
51
12
2 4
3 3
4 5
51Fra Baidu bibliotek=
14
2 5
3 3
4 1
25
例. σ=
13
2 2
3 4
4 1
5 5
6 6
=（1 3 4）=（3 4 1）=（4 1 3）
可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在 头一位而改写成
（ai ai+1 … ar a1 … ai-1）
结论：设（a1 a2 … ar ） 是M的轮换，则 （a1 a2 … ar ）-1 =（ ar … a2 a1 ） 证明：往证（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 命χ为M的任意元
不相杂轮换
M的两个轮换 σ=(a1…ar)和τ=(b1…bs)说 是不相杂或不相交，如果 a1,…,ar和b1,…,bs都 不相同(即{a1,… ,ar}∩{b1,…,bs}= ) 例.设M={1,2,3,4,5,6,7}， （1 3 4）与（6 3 7）是相杂轮换， （1 3 4）（6 3 7）=（1 3 7 6 4）， （6 3 7） （1 3 4）=（1 7 6 3 4）; （1 3 4）与（2 5）是不相杂轮换， （1 3 4）（2 5）= （2 5） （1 3 4）
《循环群与置换群》课件
对于任意两个循环群${a}$和${b}$，如果存在一个同构映射$varphi: {a} longrightarrow {b}$，则该映射具有一些特殊的性质，如$varphi(a^n)=b^n$等。这些性质有助于理解 同构映射在循环群中的作用和意义。
05
置换群的性质
置换群的运算性质
置换群的运算性质 总结
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
置换群中存在一个特殊 的置换，称为单位元， 它不改变其他置换的状 态。
对于置换群中的任意一 个置换，都存在一个逆 元置换，使得它们的复 合为单位元。
置换群的子群
子群的分类与性质
置换群的子群可以根据其与单位元的关系分为正规子群和非正规子群。正规子群中的元素与单位元的复合仍在该子群 中，而非正规子群则不一定满足这一性质。子群具有封闭性、有限交性和有限并性等性质。
03
子群的同态与同构
05
置换群的性质
置换群的运算性质
置换群的运算性质 总结
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
置换群中存在一个特殊 的置换，称为单位元， 它不改变其他置换的状 态。
对于置换群中的任意一 个置换，都存在一个逆 元置换，使得它们的复 合为单位元。
置换群的子群
子群的分类与性质
置换群的子群可以根据其与单位元的关系分为正规子群和非正规子群。正规子群中的元素与单位元的复合仍在该子群 中，而非正规子群则不一定满足这一性质。子群具有封闭性、有限交性和有限并性等性质。
03
子群的同态与同构
离散数学 群
{a*a1, a*a2 , …, a*an}S,
又由对任意的ai , aj∈S，若a*ai=a*aj, 可推得ai=aj. 所以a*ai互不相同，即
{a*a1, a*a2, …, a*an}=S
又S中有幺元e,故必存在某个ak∈S,使 a*ak=e. 又*可交换，a*ak=ak*a=e, 即a-1=ak, 由a任意，每个元素都可逆，即 <S,*>是群，又因可交换，故是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b 说明a*b也是等幂的，故a*bH，即*对于H是封闭的。 故 <H,*>是<S, *>的子含幺半群。
4 循环半群
定义7.1.4 给定半群<S,*> (或含幺半群<S,*,e> ), 若存在g∈S，对任意a∈S，都有n∈N，使得a=gn， 则称该半群为循环半群（或循环含幺半群）。 称g为循环半群的生成元，亦称元素g生成了循环半群。 例 代数系统<I+, +>是个循环半群，它的生成元是1. 例7.1.8 P172 循环半群证明
又由对任意的ai , aj∈S，若a*ai=a*aj, 可推得ai=aj. 所以a*ai互不相同，即
{a*a1, a*a2, …, a*an}=S
又S中有幺元e,故必存在某个ak∈S,使 a*ak=e. 又*可交换，a*ak=ak*a=e, 即a-1=ak, 由a任意，每个元素都可逆，即 <S,*>是群，又因可交换，故是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b 说明a*b也是等幂的，故a*bH，即*对于H是封闭的。 故 <H,*>是<S, *>的子含幺半群。
4 循环半群
定义7.1.4 给定半群<S,*> (或含幺半群<S,*,e> ), 若存在g∈S，对任意a∈S，都有n∈N，使得a=gn， 则称该半群为循环半群（或循环含幺半群）。 称g为循环半群的生成元，亦称元素g生成了循环半群。 例 代数系统<I+, +>是个循环半群，它的生成元是1. 例7.1.8 P172 循环半群证明
§1.6 变换群与置换群
n, m n
. ,G m
".
1.3.6 (Lagrange )
.
2) K = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, N = {(1), (12)(34)}.
N K, K S4, N S4
百度文库
.
:‘‘
".
15
1.6.11. : ∀σ ∈ Sn,
.
2
.
N1 N2 G1/N1 G2/N2,
,G
.
σ(i1i2 · · · ir)σ−1 = (σ(i1)σ(i2) · · · σ(ir)).
11. G n
,m n
am, ∀a ∈ G. : f ∈ Aut G.
, f : f (a) =
12. G n , G
. :G
§ 1.6
1.
S5 στ, σ−1τ σ, σ2,
12345
12345
σ=
, τ=
.
23154
34152
2. 3. 4. 5.
6. ?
7. 8. 9. 10.
S3
.
(12)(123)(14)
:
G
,G
G1, G2 , N1 G1, N2 G2,
G1 G2?
G
,G
1.5.5 : S3 = (12), (13) .
§2 变换群、置换群与循环群
§2 变换群、置换群与循环群
• 例 13.8: 证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成构成群。 • B4={e,,,},[B4;]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• • • • • • • •
变换:非空集合S到S的一个映射, 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, SS={f|f:SS}， [SS;]是半群。是拟群。不是群 T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 T(S)={f|fSS,且f为一一对应} [T(S);]是群
2 n 1 2 n 1 σ τ σ (1) σ (2) σ (n) τ (1) τ (2) τ (n) τ (2) τ (n) 1 2 n τ (1) σ (τ (1)) σ (τ (2)) σ (τ (n)) τ (1) τ (2) τ (n) 1 2 n σ (τ (1)) σ (τ (2)) σ (τ (n))
• • • • • •
长度为k的循环置换 (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik) 共k-1个对换 所以当k是奇数时，该循环为偶置换 当k是偶数时，该循环为奇置换 推论13.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
变换和置换群
单位元：f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意g:AA, f◦g=g◦f=g (恒等变换)
逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆
元素。
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
置换的轮换乘积形式
例7)子(：4 815)22
3 3
4 8
5 7
6 6
7 1
84
例子：12
2 3
3 5
ห้องสมุดไป่ตู้
4 8
5 1
6 4
7 6
78
5) (4 8 7 6)
= (1 5 =(1 2 3
用对换的乘积表示置换
k(k>1) 阶 轮 换 =(i1 i2 … ik ) 可 以 表 示 为 k-1 个 对 换 的 乘 积 ： (i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
结合律：变换的乘法即关系复合运算
单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此
f1/a,-b/a是fa,b 的逆元素。(注意：a0)
置换及其表示
逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆
元素。
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
置换的轮换乘积形式
例7)子(：4 815)22
3 3
4 8
5 7
6 6
7 1
84
例子：12
2 3
3 5
ห้องสมุดไป่ตู้
4 8
5 1
6 4
7 6
78
5) (4 8 7 6)
= (1 5 =(1 2 3
用对换的乘积表示置换
k(k>1) 阶 轮 换 =(i1 i2 … ik ) 可 以 表 示 为 k-1 个 对 换 的 乘 积 ： (i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
结合律：变换的乘法即关系复合运算
单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此
f1/a,-b/a是fa,b 的逆元素。(注意：a0)
置换及其表示
§2变换群、置换群与循环群
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义14.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
一般地,对于σ σ(11)σ2(2) σn(n), τ τ(11)τ2(2) τn(n),有
σ
•τ
σ1(1)
2 σ (2)
σ
n (n)
•
τ1(1)
2 τ (2)
τ
n (n)
στ(τ(1()1))
τ (2) σ (τ (2))
σ
τ (τ
(n) (n))
•
τ1(1)
2 τ (2)
τ
n (n)
σ
证明: (0)•是上的运算
(1)•是满足结合律的.
(2)存在单位元
(3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换
三、循环群
• 1.元素的阶 • 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对
于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义14.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
一般地,对于σ σ(11)σ2(2) σn(n), τ τ(11)τ2(2) τn(n),有
σ
•τ
σ1(1)
2 σ (2)
σ
n (n)
•
τ1(1)
2 τ (2)
τ
n (n)
στ(τ(1()1))
τ (2) σ (τ (2))
σ
τ (τ
(n) (n))
•
τ1(1)
2 τ (2)
τ
n (n)
σ
证明: (0)•是上的运算
(1)•是满足结合律的.
(2)存在单位元
(3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换
三、循环群
• 1.元素的阶 • 定义14.10:设G为群, e是G的单位元，对
于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
第6讲 循环群和置换群
2021/12/28 2021/12/28
28 28
第二十八页，编辑于星期三：十六点 分。
奇置换、偶置换
奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此
各有n!/2个
2021/12/28 2021/12/28
29 29
第二十九页，编辑于星期三：十六点 分。
Eulerφ函数φ(n)：当n＝1 时， φ(1)＝1；当n>1时，它的值φ(n) 等于比n小而与n互素的正整数的
个数。
2021/12/28 2021/12/28
当n=1 时G=<e>的生成元为e； 当n>1 时,∀r(r∈Z+∧r<n),ar 是G 的生成元⇔(n,r)=1.
8
第八页，编辑于星期三：十六点 分。
例10.14(1-3)
(1) <Z,+>整数加群,
1,-1都是生成元
(2) <Zp,+p>模p整数加群
除0外，每个元都是生成元
(3) <Zn,+n>模n整数加群
与n互素的元都是生成元
2021/12/28 202211//1122//2288
9 第九页，编辑于星期三：十六点 分。
证明思路：
14
13
2 4
3 1
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群
一、定义及例子
1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】
2、例子：
（1）Z =（1）
（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])
注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】
（3）n 次单位根群Un 【Unit 】
)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U N
n n n
n n i ππω22
sin cos +=
二、生成元，循环群
1、循环群的元素
⎩⎨⎧∞
=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元
（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r
是生成元
（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}
x
i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数ϕϕ
如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])
三、循环群的子群
1、循环群的子群是循环群
2、循环群子群的分类 }
|1|){(G ),(,0)()2(}
0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为
则设的所有子群为
则设≤≤=>=≥=∞=
变换群和置换群
·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i)
§2变换群、置换群与循环群
• 当k是偶数时，该循环为奇置换
• 推论14.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
2020/10/31
• 推论14.3：每个偶置换均可分解为若干 个长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换 中可以含有公共元。
• 证明:对任两个对换: • (a,b)(c,d) • (a,b)(b,c)
• 定义14.8：一个置换的对换分解式中,
对换因子的个数是偶数时称该置换为偶 置换,否则, 称它为奇置换。
2020/10/31
• 长度为k的循环置换
• (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)
•
共k-1个对换
• 所以当k是奇数时，该循环为偶置换
1 (1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( iin n )
2020/10/31
恒等置换e 11
2 2
n n
σ 的 逆 置 换 σ 1
σ (
1) 1
σ(2) 2
σ ( n
n )
但习惯上重新整理按1 — n重排，即
σ1 σ11(1)
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
《变换和置换群》课件
均有(x) = (x)
《变换和置换群》
用轮换的乘积表示置换
• 任一n元置换均可表示成一组互不相交的轮换的乘积。 • 对在下S中发生变化的元素的个数r 进行归纳： r =0，即是恒等置换。 若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次 找出i2, i3 …。 S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。 必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与 是一对一的矛盾。) 令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余 下的k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
2 1
23
12
2 1
33
• S3是最小的非交换群
• 注意：质数阶群一定是可交换群。
《变换和置换群》
轮换与对换
• 定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且： (i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij j=1,2,…,k, (x)=x, 则
称是S上的一个k阶轮换，当k=2, 也称为对换。
• 记法：(i1 i2 … ik ) • 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： • e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
《变换和置换群》
用轮换的乘积表示置换
• 任一n元置换均可表示成一组互不相交的轮换的乘积。 • 对在下S中发生变化的元素的个数r 进行归纳： r =0，即是恒等置换。 若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次 找出i2, i3 …。 S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。 必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与 是一对一的矛盾。) 令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余 下的k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
2 1
23
12
2 1
33
• S3是最小的非交换群
• 注意：质数阶群一定是可交换群。
《变换和置换群》
轮换与对换
• 定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且： (i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij j=1,2,…,k, (x)=x, 则
称是S上的一个k阶轮换，当k=2, 也称为对换。
• 记法：(i1 i2 … ik ) • 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： • e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群
所以
0
1
是生成元，故 A,
是循环群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
定理5-5.2 循环群必定是阿贝尔群。
证明 设 G, 是循环群，a为生成元，对于任意的x、
y∈G，必有s、t∈Z，使得x=as，y=at，
所以
故 G,
x y=as at=as+t=at+s=at as=y x 为阿贝尔群。
f0 f1 f2 f3
f0 f0 f1 f2 f3
f1 f1 f2 f3 f0
f2 f2 f3 f0 f1
f3 f3 f0 f1 f2
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
例3 设 G, , e 是一个独异点，并且对于G中的每一
个元素a都有a a=e，则
G, 是 一个阿贝尔群。
证明
a∈G，由于a a=e，所以 a-1=a，
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
例5
设
1
A
0
n 1
n
Z
，
“•” 为 矩 阵 乘 法 。 (1)A,
是否为循环群？若是，指出其生成元。
是 否 为 群 A？, (2)
解 因为 m、n∈Z， 所以运算•在A上封闭。
1
0
n 1
1
0
m 1
1 0
m
1
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明: (0)•是上的运算
(1wenku.baidu.com•是满足结合律的.
(2)存在单位元
(3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换
三、循环群
• 1.元素的阶 • 定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对
于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
恒等置换e 11
2 2
n n
σ的逆置换σ1
σ
(1) 1
σ(2) 2
σ(n n
)
但习惯上重新整理按1— n重排，即
σ1
1 σ1(1)
2 σ1(2)
n σ1(n)
• n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? • S上的一一变换个数有多少?
• S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 • 下面以三次对称群S3为例， • 考察群运算。
一般地 对,于σ σ1(1σ2) (2 )σn(n,) ττ1(1τ2) (2 )τn(n,有 )
σ•τ σ1(1)σ2(2) σ(nn)•τ1(1)τ2(2) τ(nn) στ(τ(1(1)))στ(τ(2(2) )) σ(ττ((nn)))•τ1(1)τ2(2) τ(nn) σ(τ(11))σ(τ2(2) )σ(τ(nn))
•
共k-1个对换
• 所以当k是奇数时，该循环为偶置换
• 当k是偶数时，该循环为奇置换
• 推论13.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
• 推论13.3：每个偶置换均可分解为若干个 长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中 可以含有公共元。
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
• 元素a的阶有限的特征：
若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使 ak=al，
• 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的 阶无限。
• 定理13.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ, am=e当且仅当n|m。
• 定义13.7:设|S|=n, Sn, 形如:
ii1 2
i2 i3
id 1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
(复合)运算,并称为变换的乘法。
• 定理13.9:[T(S);•]是一个变换群。
• 变换群不一定是交换群
二、置换群
• 定义13.6:设S,|S|<+,S上的一个一一
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
4 1
5 8
6 2
7 5
78
(1 3)(34)(26)(58)(87)
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
• 定理13.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 定理13.10:Sn中的任一个置换均可分解为 不含公共元的若干个循环置换的乘积。
• 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设当|S|n-1,结论成立(n>1) 当|S|=n,任取Sn中的置换 由元素1出发取上的循环置换
• 推论13.1:任意一个置换可以分解为若干 个对换的乘积。
σ13
2 6
3 4
• |An|=?
• 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换， 它也是An的元素，|An|=1。
• 若n>1,
•
1
|An|=|On|= 2
n!
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任意 gG,定义映射g:GG,使得对任意
g'G,有g(g') =gg'。设={g|gG},则
[;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.
离散数学课件变换群、置换群与循 环群
§2 变换群、置换群与循环群
• 例13.8:证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成•构成群。
• B4={e,,,},[B4;•]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• 变换:非空集合S到S的一个映射, • 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积， 但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。
• 定义13.8：一个置换的对换分解式中,
对换因子的个数是偶数时称该置换为偶 置换,否则, 称它为奇置换。
• 长度为k的循环置换
• (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)
(1wenku.baidu.com•是满足结合律的.
(2)存在单位元
(3)对任意g ,存在逆元 (4)g是G上的置换
三、循环群
• 1.元素的阶 • 定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对
于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，
则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若 不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a 的阶无限。
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
恒等置换e 11
2 2
n n
σ的逆置换σ1
σ
(1) 1
σ(2) 2
σ(n n
)
但习惯上重新整理按1— n重排，即
σ1
1 σ1(1)
2 σ1(2)
n σ1(n)
• n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? • S上的一一变换个数有多少?
• S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 • 下面以三次对称群S3为例， • 考察群运算。
一般地 对,于σ σ1(1σ2) (2 )σn(n,) ττ1(1τ2) (2 )τn(n,有 )
σ•τ σ1(1)σ2(2) σ(nn)•τ1(1)τ2(2) τ(nn) στ(τ(1(1)))στ(τ(2(2) )) σ(ττ((nn)))•τ1(1)τ2(2) τ(nn) σ(τ(11))σ(τ2(2) )σ(τ(nn))
•
共k-1个对换
• 所以当k是奇数时，该循环为偶置换
• 当k是偶数时，该循环为奇置换
• 推论13.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
• 推论13.3：每个偶置换均可分解为若干个 长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中 可以含有公共元。
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
• 元素a的阶有限的特征：
若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使 ak=al，
• 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的 阶无限。
• 定理13.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ, am=e当且仅当n|m。
• 定义13.7:设|S|=n, Sn, 形如:
ii1 2
i2 i3
id 1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
(复合)运算,并称为变换的乘法。
• 定理13.9:[T(S);•]是一个变换群。
• 变换群不一定是交换群
二、置换群
• 定义13.6:设S,|S|<+,S上的一个一一
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
4 1
5 8
6 2
7 5
78
(1 3)(34)(26)(58)(87)
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
• 定理13.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 定理13.10:Sn中的任一个置换均可分解为 不含公共元的若干个循环置换的乘积。
• 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设当|S|n-1,结论成立(n>1) 当|S|=n,任取Sn中的置换 由元素1出发取上的循环置换
• 推论13.1:任意一个置换可以分解为若干 个对换的乘积。
σ13
2 6
3 4
• |An|=?
• 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换， 它也是An的元素，|An|=1。
• 若n>1,
•
1
|An|=|On|= 2
n!
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任意 gG,定义映射g:GG,使得对任意
g'G,有g(g') =gg'。设={g|gG},则
[;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.
离散数学课件变换群、置换群与循 环群
§2 变换群、置换群与循环群
• 例13.8:证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成•构成群。
• B4={e,,,},[B4;•]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• 变换:非空集合S到S的一个映射, • 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积， 但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。
• 定义13.8：一个置换的对换分解式中,
对换因子的个数是偶数时称该置换为偶 置换,否则, 称它为奇置换。
• 长度为k的循环置换
• (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik)