单边拉氏变换与双边拉氏变换的区别和联系

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第九章拉氏变换.

s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得

信号与系统_哈尔滨工业大学_4 第四章拉氏变换与S域分析_16 416双边拉氏变换

第4章拉氏变换与s域分析双边拉氏变换十一、双边拉氏变换1．双边拉氏变换定义单边拉氏变换：①实际信号常从t =0开始；⎰∞-0)(dt e t f st ②通常在t >0时为衰减指数函数，在t <0时往往增长，可能使积分发散，故引入t e σ-t e σ-()()1()()2st Bj st B j F s f t e dt f t F s e ds j σσπ+∞--∞+∞-∞⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰定义：双边拉氏变换：有些函数当σ在某个范围内取值时，存在()stf t e dt +∞--∞⎰优点：考虑-∞< t <∞；与傅立叶变换关系密切缺点：收敛域方面须考虑一些限制，求解麻烦2. 双边拉氏变换的收敛域)()()()()(21t u t f t u t f t f -+=01201200()()()()()st stB st st F s f t e dt f t e dt f t e dt f t e dt +∞---∞+∞+∞-=+=+-⎰⎰⎰⎰)(1t f ()u t -()u t 2()f t ()f t t 011lim ()0t t f t e σσσ-→∞→⇒>22lim ()0t t f t e σσσ-→-∞→⇒<()B F s 21σσσ<<的收敛域一般形式为：2121σσσσσ<<⇒<若⇒≥21σσ若无公共收敛区必须标出收敛域极点为收敛边界2σ1σ⨯⊗()u t -对应()u t 对应⊗⊗⨯⨯σj ω[例]：求下列信号的双边拉氏变换)()(t u e t f at -=①00()11()at st a s t B F s e e dt e a sa s ---∞-∞=⋅==--⎰()a σ<极点a 位于收敛域右边11() (-33)33B F s s sσ=+<<+-3()tf t e -=②333()()()t t tf t e e u t e u t --==+-3. 双边拉氏变换的逆变换即分情况讨论换求相应收敛区域的逆变划分可能的收敛区域先求出极点分布 (3)(2)(1)⎪⎭⎪⎬⎫步骤：＊已知拉氏变换（未给收敛域）求逆变换根据极点分布，划分可能的收敛区域：右边信号极点在σ1的左边；左边信号极点在σ2的右边21(),(1)B s F s s s -=-[例]：求可能的逆变换111)(-+=s s s F B )()1()(t u e t f t+=1>σ，对应右边0, 1s s ==极点，收敛域可能有三种解：⨯σj ω⨯01ss s s s F B --=-+=111111)(()()()t f t u t e u t =--10<<σ，对应双边: 0－右边；1－左边⨯⨯01σj ωss s F B ----=1101)(()(1)()t f t e u t =-+-0<σ，对应左边⨯⨯01σj ω4. 利用双边拉氏变换求解电路（可求出-∞<t <∞全响应）[例]：求()c v t ()(), () (0)E e t Eu t E s s σ=-=-<111() ()11sC RC H s RC R s sC RC σ==>-++解：12-+E R +_o)(t v c οC ο11()()() (0)110c E E E RC V s E s H s σs s RCs s RC RC =⋅=-⋅=+-<<-++)()()(t u Ee t Eu t v RC t c -+-=总结双边拉氏变换：定义、收敛域、逆变换。

4-2单边拉普拉斯变换的性质

推广: 推广 f'' ( t ) ↔ s[ sF ( s ) − f ( 0 − )] − f' ( 0 − )
= s 2 F ( s ) − sf ( 0 − ) − f' ( 0 − )
f''' (t ) ↔ s[ s F ( s ) − sf (0− ) − f' (0− )] − f" (0− )
3.复频移特性(s域平移特性) 3.复频移特性(s域平移特性) 傅立叶变换域复频移特性(s域平移特性
若
f (t )e ± jω 0t ↔ F [ j (ω m ω 0 )]
f (t) ↔ F(s)
则 f (t )e
± s0t
Re[s] > σ1
Re[ s] > σ 1 ± Re[ s0 ]
↔ F (s m s0 )
= F1 ( s)
双边拉氏变换则不同！双边拉氏变换则不同！
F3 ( s ) = L[ f 3 (t )] = L[tε (t − t0 )]
= L[(t − t0 )ε (t − t0 )] + L[t0ε (t − t0 )]
= L[tε (t )] ⋅ e− st0 + t0 L[ε (t − t0 )] 1 − st0 t0 − st0 Re[ s ] > 0 = 2e + e s s
s 2Y ( s ) + 3 sY ( s ) + 2Y ( s ) = sF ( s ) + 2 F ( s )
Y ( s )( s 2 + 3 s + 2) = F ( s )( s + 2)
Y (s) s+2 1 = 2 = = H (s) F ( s ) s + 3s + 2 s + 1

第五章(2)拉普拉斯变换的性质

四.复频域 (
若
域平移)特性 s域平移特性
f (t ) F(s)
且有复常数
a
sa = σa + jωa ,则
Re[s] > σ0
(t )es t F(s sa ) f
证明: 证明
Re[s] > σa +σ0
∞ ( ssa )t 0
∫0 f (t )e
∞
sat st
e dt = ∫ f (t )e
f
f
( 2)
2
(t ) s F(s) s f (0 ) f (0 )
(1)
( n)
如
(t ) s F(s) ∑s
n m=0
L
n1
n1m
f
( m)
(0 )
f
f
( 3)
(t ) s3F(s) s2 f (0 ) sf (1) (0 ) f (2) (0 )
t ) s F(s) s f (0 ) sf (1) (0 ) f (2) (0 )
f
t
Qf
∴
(1) (
t ) = δ (t ) sintε (t )
(1)
s +1
2
sintε (t ) = δ (t ) f
(t )
s2 1 ∴L[sintε (t )] = 1 2 = 2 s +1 s +1
例5.2-6 若已知
s 为 F(s) = 2 s +1
f (t ) = cos tε(t ) 的象函数的象函数. ,求 sintε (t ) 的象函数.
例5.2-3 求在
∞
数序列解:
∞
的象函数. ∑δ (t nT) 的象函数.

拉普拉斯变换1例题及详解

2021/11/7
自动控制原理
17
６拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]
(1)利用公式
f (t) 1
j
F
( s)e st ds
2j j
(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表
t0
F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
2021/11/7
I(s) R
u=Ri
U(s) RI(s)
U(s)
-
uL
L
diL dt
IL(s) sL
UL(s)
UL (s) sLIL (s)
1
uC C
t
0 iC dt
I C(s)1/sC
自动控制原理
UC(s)
UC(s)
1 sC
IC (s)
26
作业：求拉普拉斯变换
1. f (t) 0.5(1 cos3t)
L[ f (t t0 )u(t t0)] est0 F (s)
2021/11/7
自动控制原理
12
例1： f(t) 1
Tt 例2： f(t)
T
f (t) u(t) u(t T )
F(s) 1 1 esT ss
f (t) t[u(t) u(t T )]
T
f (t) tu(t) (t T )u(t T ) Tu(t T )
2
2021/11/7
自动控制原理
22
3.F2 (S )有相等的实根(重根)
F(s)
F1(s) (s s1)2
k1 s s1
k2 (s s1)2
F(s)(s s1)2 k1(s s1) k2

拉普拉斯变换

1 d 例1：L[cos t ] L[ (sin t )] dt
[s 2 sint 2 s
1
0
s ] 2 s 2
1 d 例2：L[ ( t )] L[ ( t )] S ( t ) 0 1 S dt
三. 时域的积分性质
设：L[ f (t )] F ( s)
st L[ ( t )] 0 ( t ) e dt 0 (t )dt

0
=1
4.
f (t ) t
n
n

L[t ] t ne st dt 0
0
t n st de s
t n st e s
t 0 st lim t e
n
R u+ C -
uC (0 ) 0
1 sRCU ( s ) U ( s ) s 1 U ( s) s(1 sRC )
du RC u ( t ) dt

用初值定理和终值定理验证
1 1 u(0 ) lims lim 0 s s(1 sRC ) s (1 sRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 sRC )
e-t sint
2

s
2
( s )2 2
e-t cost
s ( s )2 2
cos t
s s2 2
§ 3 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数 (1)利用公式 f(t)=L-1[F(s)]
1 j st f (t ) F ( s ) e ds t 0 2j j
t 0 s
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )

信号与系统第6章拉氏变换

s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.1 引言

19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺乏数学证明遭到一些数学家的指责。而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这一方法的正确性。后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉斯变换或拉氏变换
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t

求下列函数的拉氏变换【精品文档】

例4-1求下列函数的拉氏变换拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以表示单边拉氏变换,以表示双边拉氏变换.若文字中未作说明,则指单边拉氏变换.单边拉氏变换只研究的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面.本例只讨论时移定理.请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。

例4-2求三角脉冲函数如图4-2（a ）所示的象函数和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。

方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解()()1-=t tu t f ()s F ()t f ()s F B ()t f 0≥t ()()[]()()()[]se s s t u t u t L t tu L s F -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+--=-=1111112()tf ()⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其它 02t 1 21t 0t t tf ()()()()222222221101010102101112221112112sss s s s s st st st st st st ste se s e s e s e s s e s e s dtte dt e dt e s e s t dt e t dt te dt e t f s F -------------∞--=-++-+--=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于于是方法三：利用微分性质求解信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。

将微分两次，所得波形如图4-2（b ）所示显然根据微分性质由图4-2（b ）可以看出于是方法四：利用卷积性质求解可看作是图4-2(c ）所示的矩形脉冲自身的卷积于是，根据卷积性质而所以()()()()()()22112--+---=t u t t u t t tu t f ()[]()[]()0021st e s F t t f L s t tu L -=-=()()()222211211s s s ese e s s F ----=+-=()t f2()()()()[]()2221212s e t t t L dt t f d L --=-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡δδδ()()()()---'-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00222sf f s F s dt t f d L (),00=-f ()00='-f ()()221s e s F s --=()()2211s es s F --=()()()t f t f t f 11*=()t f ()t f 1()()()s F s F s F 11=()()s e s s F --=111()()2211s e s s F --=例4-3应用微分性质求图4-3（a ）中的象函数下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b ）是的导数的波形。

985大学信号与系统单边性质反变换及双边变换

1.线性性质2.时移（延时）特性3.复频移特性4.展缩特性5.时域微分定理6.时域积分特性6.3 单边拉普拉斯变换的性质7.s 域微分定理8.s 积分定理9.初值定理10. 终值定理11. 卷积定理0()()e d stF s f t t∞−−=σσtt2s1>)>1.拉氏反变换2.系统复频域分析利用拉式变换求解微分方程利用拉式变换求解电路系统能够用拉氏变换熟练求解系统的全响应能够画出电阻、电感、电容的s域模型；能够画出电路的s域模型，并求解全响应。

拉式反变换的求解11st −=−>0−st e010()(1()())!s nn t t u t f t t u t t F s en s+−−−↔↔323871ss s +++25()te u t −+()1t δ↔1()ate u t s a↔−'()t sδ↔2233s s ++11()(1)!()n atnt e u t n s a −−↔−+【例】：（有复根）求的拉氏反变换f (t )。

1()F s =3)(2cos )()(e t u t e t u t f −⎪⎭⎝−=∴0022sin ()()ate t u t s a ωωω−⋅↔++0220cos ()()ats ae t u t s a ωω−+⋅↔++【例】：（有复根）求的拉氏反变换f (t )。

1()F s =1122313()()cos ()sin ()223t t f t u t et u t e t u t −−⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1()()()()ii i n p pi i s A s A s s s λλλλ−==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥−∏−⎢⎥⎣⎦…..求系数，带入复指数表达式，欧拉公式展开…001()s te u t s s ↔−三、留数法一、收敛域满足的σ范围，即Re(s )的范围。

lim ()0tt f t e σ−→±∞=例：求f (t )的双边拉氏变换的收敛域，其中at btf t e u t e u t ()=()()−+解：由收敛域定义可得tb tt t ta tt t ef t eu t b ef t eu t a()()()=()0()=()0lim lim lim lim σσσσσσ−−→+∞→+∞−−→−∞→−∞=⇒>−=⇒<若b<a ，则收敛域为b<Re(s)=σ<a ，反之收敛域不存在，f(t)的双边拉氏变换不存在§6.5双边拉普拉斯变换一、部分分式展开法。

信号的拉普拉斯变换和z变换

⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。

※象函数相同，但收敛域不同。

双边拉氏变换必须标出收敛域。

2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。

从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。

第9章拉氏变换4.

s2 (s) s (0 ) (0 ) 3 [s (s) (0 )] 1 (s) (s)
2
2
• 代入初始条件 [s2 3 s 1] (s) (s) 1
22
(s) 1 1 (s)
s2 3 s 1 s2 3 s 1
22
22
• 代入输入条件 (s) 1 有
s
(s)
(s
• 9.8.3 由电路描述的增量线性系统
• 电路如图
E=5V, C=0.25F, L=1H, R 5t<0, 开关在1 位，当t=0,由1转2，求 t>0的响应 iL(t) 初始条件，iL(0) 0 ，电容电压 uc (0) E
可以列出回路电压方程
L
diL (t dt
)
R
iL
(t
)
1 C
t
iL ( )d 0
两边求单边普拉斯变换
L[sL
(s)
iL
(0
)]
RL
(s)
1 C
[
1 s
L
(s)
1 s
0
iL ( )d
• 9.8 单边拉普拉斯变换
• 9.8.1 定义
• 前面主要讨论双边普拉斯变换。
• 将积分下限设为t=0，这样积分变为
(s) x(t)est dt 0
定义上式为单边拉普拉斯变换
• 积分下限t=0可以取 0 或 0 ，取0 没有考虑冲击及其导数，需另行处理，取
0则包含冲击及其导数。结果一样
• 单边和双边普拉斯变换的区别
0
[
x( )d
t
x( )d ]estdt
0
0
0
上面
0
x( )d

信号的单边拉普拉斯变换

信号的单边拉普拉斯变换一、引言信号处理是计算机科学和电子工程领域中的一个重要分支，它涉及到数字信号处理和模拟信号处理两个方面。

单边拉普拉斯变换是信号处理中的一个重要概念，它在信号的频域分析和系统的稳定性分析中有着广泛应用。

本文将介绍单边拉普拉斯变换的概念、性质、应用以及计算方法等方面内容。

二、单边拉普拉斯变换的概念1. 拉普拉斯变换在介绍单边拉普拉斯变换之前，先来了解一下普通的拉普拉斯变换。

设函数f(t)在区间[0,∞)上连续，并且满足|f(t)|≤Me^at(a>0,M>0)，则称f(t)是指数增长函数。

如果存在常数s0使得积分收敛，即∫[0,∞)e^-stf(t)dt<∞，则称F(s)=L{f(t)}=∫[0,∞)e^-stf(t)dt为函数f(t)的拉普拉斯变换。

2. 单边拉普拉斯变换与普通的拉普拉斯变换不同，单边拉普拉斯变换是只对t>0的函数进行变换。

设函数f(t)在区间(0,∞)上连续，并且满足|f(t)|≤Me^at(a>0,M>0)，则称f(t)是指数增长函数。

如果存在常数s0使得积分收敛，即∫[0,∞)e^-stf(t)dt<∞，则称F(s)=L{f(t)}=∫[0,∞)e^-stf(t)dt为函数f(t)的单边拉普拉斯变换。

三、单边拉普拉斯变换的性质1. 线性性质：若F(s)=L{f(t)}，G(s)=L{g(t)}，则aF(s)+bG(s)=L{af(t)+bg(t)}2. 变换定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(s->∞)(sF(s))=lim_(t->∞)(f(t))3. 初值定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(t->0)(f(t))=lim_(s->∞)(sF(s))4. 终值定理：若F(s)=L{f(t)}，则有lim_(t->∞)(f(t))=lim_(s->0)(sF(s))四、单边拉普拉斯变换的应用1. 信号分析单边拉普拉斯变换可以将时域上的信号转换到频域上进行分析。

拉氏变换4.1-4.2

0

4.拉氏变换的收敛（p177,4-13)
lim f (t )e
t
t
0 0 指数阶函数
*几种信号的收敛情况 a.对于t< t0(t0=0)时f(t)为零的右边信号,其收敛域在收敛轴的右边.
u (t )
j
1

1 0
1
1
2 1
lim u (t )e

F ( s)

0
f (t )e st dt
j
单边
f (t )
1 2
j
F ( s )e ds
st
j
2.傅立叶变换,单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
付氏变换
s j
0
f (t )( t )
双边拉氏变换
s j
f (t )( t )

t1
t2
注意 :在右边信号中,如t 0 0,收敛域才包括 ;若t 0 0,收敛域不包括 , 这是因为若收敛域包括，则应有 : lim f (t )e t 0，显然此式只在 t t 0 0时成立。
参见Alan v. Oppenheim编著，刘树棠译的《信号与系统》第二版的第477页
本章要点(3) •z-p 点的位置与时域波形的相应关系 •由z-p点确定自由,强迫,暂态,稳态响应 •稳态响应的分析方法 •由z-p点画系统频率特性曲线 •z-p点的位置与系统稳定性间的关系
*拉普拉斯变换法的几个显著优点；
1.它简化了函数.
2.它简化了运算.
3.它不需要确定常数.
4.有效地利用了阶跃和冲激响应.
f1 (t )
1

2-7拉普拉斯变换

附加内容：拉普拉斯变换
2 j
j
j
X ( s)e ds
st
6.2 拉氏变换的收敛域 ( Region of Convergence ):
一．收敛域ROC：使 X (s )存在的 s 的取值范围称为 X (s )的收敛域。由于 X (s) F[ x(t )e t ], ROC与有关，它就是使 x(t )et绝对可积的那些的取值范围。这表明 ROC由 Re[s] 决定。
1
附加内容：拉普拉斯变换
也在收敛域内。
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内平行于 j 轴的带形区域。例1.
j
x(t )
e
0
at
0t T
其它
t
X ( s ) e at e st dt
0
T
e
0
T
( s a )t
X ( s ) 有极点
左边信号。
3. ROC： 2 Re[ s] 1 此时 x(t )
是双边信号。
• 根据极点分布和ROC的特征，可以判断信号的种类。
附加内容：拉普拉斯变换
6.3 拉氏变换的性质：
( Properties of the Laplace Transform )
• 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。 1. 线性（Linearity ）：若 x1 (t ) X1 (s),

称为 x(t ) 的双边拉氏变换。其中若 0 ， s

s j
j 则:
jt
X ( j) x(t )e
dt 就是 x(t ) 的傅里叶变换。

拉普拉斯变换的性质时域微分性质

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§4.3 拉普拉斯变换的性质——时域微分性质
1.双边拉氏变换的微分性质
若
f (t) FB (s) ＜＜，
则
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f d
(t) t
sFB
(s)
dn f (t) d tn
sn FB
(s)
＜＜
2.单边拉氏变换的微分性质
设
f (t) F(s)
d f (t) sF (s) ，则 d t
f (0 )
推广
d
f 2(t) dt
s F
s
f
0
f
(0 )
s2F(s) sf (0) f (0)
所以
d
f n (t) dt
sn F(s)
n1 r 0
s nr1
f
(r) (0 )
式中
f (0 )
f (t) t0 ,
f (r)(0 )
f (r)(t) t 0
若 t 0 为有起因信号，即 t 0 时， f (t) 0 ，且 f (0 ) f / (0 ) 0
则 f / (0 ) sF(s), f // (0 ) s2F(s),
【例题】已知 f (t) sin0t u(t), f 0 0,求F s 。
解：
f (t) 0 cos0t u(t) sin0t (t)
0 cos0tu(t)
f (0 ) 0 f (t) 02 sin 0t u(t) 0 cos0t (t)
02 sin 0t u(t) 0 (t)
两边取拉氏变换
s2F(s) 02F(s) 0
F(s) 0 s2 02
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9.7 单边拉普拉斯变换-修改

拉普拉斯变换7.单边拉普拉斯变换单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例，可以看作是因果信号的双边拉氏变换。

单边拉氏变换可以引入系统的初始状态，对分析LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。

一.定义: 0()()st s x t e dt χ-∞-=⎰ 考虑到可能在包含奇异函数，单边拉氏变换的积分下限一般取为。

()x t 0t =0-单边拉氏变换也同样存在ROC ，其ROC 必然符合因果信号双边拉氏变换时的特征，即：一定位于最右边极点的右边。

正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其ROC 。

单边拉氏变换的反变换与双边拉氏变换的反变换相同。

如果是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。

()x t 1()()2j stj x t s e ds j σσχπ+∞-∞=⎰做单边拉氏变换：例1. =+>-+x t e u t a a t ()(1),0(1)做双边拉氏变换：+=s aX s e s ()1>-s a Re[] 与不同，是因为在的部分对有作用，而对没有任何作用所致。

χs ()x t ()<t 0χs ()X s ()X s ()⎰+==--+-∞-χs a s e e dt e a s a t a ()10()>-s aRe[]有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）二.单边拉氏变换的性质:单边拉氏变换的大部分性质与双边拉氏变换相同，但也有不同的性质，其中最为重要的是为微分性质。

1. 时域微分（Differentiation in the Time Domain ）()()x t s χ↔若 ()()(0)dx t s s x dtχ-↔-则 000()()()()(0)st st st dx t e dt x t e s x t e dt s s x dt χ---∞∞--∞--=+=-⎰⎰222()()(0)(0)d x t s s sx x dt χ--'↔--同理可推出三.利用单边拉氏变换分析增量线性系统:单边拉氏变换特别适合于求解由LCCDE 描述的增量线性系统。