22定积分的基本公式
定积分的计算
微积分基本定理的应用
解决实际问题
微积分基本定理可以应用于解决 各种实际问题，如物理中的力做 功、速度和加速度，经济中的成 本和利润等。
数学证明
微积分基本定理是许多数学定理 的证明基础，如中值定理、泰勒 展开等。
优化算法
微积分基本定理在优化算法中也 有广泛应用，如梯度下降法、牛 顿法等。
微积分基本定理的证明
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于区间[a,b]的任意两个 子区间[α,β]和[β,γ]，有 ∫f(x)dx|α,γ=∫f(x)dx|α,β+∫f(x)dx|β,γ。
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意常数k， 有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
04 定积分的计算技巧
利用奇偶性简化计算
奇函数在对称区间上的定积分值为0
如果函数$f(x)$是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$，那么$int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
偶函数在对称区间上的定积分值为对称区间上积分值的两倍
如果函数$f(x)$是偶函数，即$f(-x)=f(x)$，那么$int_{a}^{a}f(x)dx=2int_{0}^{a}f(x)dx$。
利用周期性简化计算
对于具有周期性的函数，可以利用周 期性将积分区间扩展到整数倍的周期 ，从而简化计算。
如果函数$f(x)$的周期为$T$，那么对 于任意整数$k$， $int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a+kT}^{b+kT }f(x)dx$。
利用定积分的几何意义简化计算
22定积分的基本公式
于是
b
b
F (b) f (t)dt C f (t)dt F (a)
a
a
即有
b
f (t)dt F (b) F (a)
a
把积分变量t换成x，得
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
为了使用方便，把F
(b)
F
(a)理2变为
b a
x2 1
dx
x sin t 2dt
a
d
x2
1
sin
t
2dt
d
x sin t 2dt
dx a
dx a
sin( x2 1)2 (x2 1) sin x2
sin x2 2x sin( x2 1)2
二、牛顿 莱布尼茨公式（微积分的基本公式）
定理2 如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，F(x)是
tan
x是
1
1 x
2
的一个原函数,
所以
3 dx
1 1 x2
arc
tanx
3 1
arctan
3 arctan(1)
( ) 7
3 4 12
例4、求定积分：
( ) (1) 2 x 1
1
2
dx
（2）
1
x 2 dx
x
1
解：（1）
2
1
(x
注 对于变上限的复合函数有以下两个推论
推论1 若ƒ(x)在[a, b]上连续, (x)在[a, b]上可导, 则
d
(x)
f (t)dt f [(x)](x)
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
定积分基本计算定律-定积分的计算定律
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
定积分公式表
1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。
定积分基本计算公式-定积分的计算公式
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
定积分的基本公式
3.2.1 变上限积分函数 3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
3.2.1 变上限的积分函数及其导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x
( a x b )，积分ax f ( x)dx 存在，且对于给定的x( a x b )
就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分
d dx
ax
f
(t
)dt
f
(x)
(a x b).
例1
求
d dx
x1ln(1 t 2 )dt
.
解
d dx
x
ln(1
1
t
2)dt
ln(1
x 2).
例2
求
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
解 lim x x0
x
arctan tdt
或记作
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
ab
f
( x)dx
F ( x)
b a
F(b)
F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
2
dx
arctan
x
1 1
π 2
例3
计算2Leabharlann 0f (x)d x ，其中
定积分基本计算公式
例12
计算
1
∫1
1
2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1 x
2
解 原式 = ∫1
1 x cos x 2x dx dx + ∫1 2 2 1+ 1 x 1+ 1 x
(a ≤ x ≤ b)
Φ = Φ( x + x ) Φ( x )
=∫
x + x a
f ( t )dt ∫ f ( t )dt
a
x
Φ(x)
o
a
x
x + x b
x
= ∫a f ( t )dt + ∫x
=∫
x + x x
x
x + x
f ( t )dt ∫a f ( t )dt
y
x
f ( t )dt ,
0
π
2
π 2
π 原式 = 2sin x cos x x = 3 . 0 2 2 2 x 0 ≤ x ≤ 1 , 求 ∫0 f ( x )dx . 例5 设 f ( x ) = 1< x ≤ 2 5
解
∫0
2
f ( x )dx = ∫0 f ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当 x = 1时， f ( x ) = 5 ,
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
上连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 x 为
[a , b]上的一点，考察定积分 上的一点， x x ∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt
上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动，则对 定积分有一个对应值， 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所 以它在[a , b ]上定义了一个函数， 上定义了一个函数，
定积分的计算公式例题讲解
定积分的计算公式例题讲解在微积分中，定积分是一个重要的概念，它可以用来计算曲线下面积、求解体积和质量等问题。
定积分的计算公式是一种基本的工具，掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
本文将通过例题讲解的方式，详细介绍定积分的计算公式及其应用。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x) dx。
其中，f(x)是被积函数，dx表示自变量x的微元。
定积分的计算公式可以帮助我们求解这个积分，从而得到曲线在区间[a, b]上的面积。
下面，我们通过几个例题来讲解定积分的计算公式。
例题1，计算定积分∫[0, 2] x^2 dx。
解：根据定积分的计算公式，我们可以将被积函数展开成一个无穷小区间上的和：∫[0, 2] x^2 dx = lim(n→∞) Σ(i=1→n) f(xi)Δx。
其中，Δx = (b-a)/n，xi是区间[a, b]上的任意一点，f(xi)是函数在xi处的取值。
在这个例题中，我们可以将区间[0, 2]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
然后，在每个小区间上取一个点xi，计算出f(xi)的值，最后将这些值相加并取极限即可得到定积分的值。
具体来说，我们可以取n=4，将区间[0, 2]等分成4个小区间，每个小区间的长度为Δx=2/4=0.5。
然后，在每个小区间上取一个点xi，分别计算出f(xi)的值：x1 = 0.25, f(x1) = (0.25)^2 = 0.0625。
x2 = 0.75, f(x2) = (0.75)^2 = 0.5625。
x3 = 1.25, f(x3) = (1.25)^2 = 1.5625。
x4 = 1.75, f(x4) = (1.75)^2 = 3.0625。
将这些值相加并乘以Δx，得到定积分的近似值：Σ(i=1→4) f(xi)Δx = 0.06250.5 + 0.56250.5 + 1.56250.5 + 3.06250.5 = 2.25。
定积分运算法则
• 通过定积分求解经济学中的边际产量、边际消费等边际问题
求解经济学中的总量问题
• 通过定积分求解经济学中的总产量、总消费等总量问题
求解经济学中的平均问题
• 通过定积分求解经济学中的平均产量、平均消费等平均问题
谢谢观看.
Thank you for watching.
Docs
⌛️
06
定积分的数值计算方法
数值积分的基本原理与方法
数值积分的定义
数值积分的方法
• 通过数值方法近似求解定积分的值
• 辛普森法
• 龙贝格法
• 高斯积分法
数值积分的误差分析与控制
误差分析
误差控制
• 分析数值积分方法的误差来源
• 选择合适的数值积分方法
• 估计数值积分方法的误差范围
• 控制积分区间的长度
求解物体的速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的速度
求解物体的加速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的加速度
定积分在工程学中的应用
求解工程问题的面积
求解工程问题的体积
求解工程问题的质心位置
• 通过定积分求解曲线围成的面积
• 通过定积分求解曲面围成的体积
• 通过定积分求解物体的质心位置
定积分在经济学中的应用
积分问题
换元积分法的原理
• 利用换元公式将原积分变量变换为新变量，从而简化积分过程
换元积分法的常见类型与方法
01
幂函数换元法
• 将复杂的幂函数积分问题转化为简单的指数函数积分问
题
02
三角函数换元法
• 将复杂的三角函数积分问题转化为简单的指数函数积分
问题
03
定积分特殊结论公式
定积分特殊结论公式1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（基本公式）- 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。
2. 定积分的线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
- 例如：计算∫_0^π(2sin x + 3cos x)dx，根据线性性质可得2∫_0^πsinxdx+3∫_0^πcos xdx。
因为∫_0^πsin xdx=-cos x_0^π=-( - 1 - 1)=2，∫_0^πcos xdx=sinx_0^π=0，所以原式=2×2 + 3×0 = 4。
3. 定积分对区间的可加性。
- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^b f(x)dx，其中a < c < b。
- 例如：计算∫_1^3f(x)dx，若已知∫_1^2f(x)dx = 5，∫_2^3f(x)dx=3，则根据区间可加性∫_1^3f(x)dx=∫_1^2f(x)dx+∫_2^3f(x)dx = 5+3 = 8。
4. 对称区间上定积分的性质。
- 若函数y = f(x)在[ - a,a]上连续：- 当f(x)为偶函数（即f(-x)=f(x)）时，∫_-a^af(x)dx = 2∫_0^af(x)dx。
- 例如：计算∫_-2^2x^2dx，因为y = x^2是偶函数，所以∫_-2^2x^2dx =2∫_0^2x^2dx=2×(1)/(3)x^3_0^2=(16)/(3)。
定积分公式表
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。
定积分计算的基本公式
定积分计算的基本公式
哎呀，我是小学生呀，定积分计算的基本公式对我来说简直就像天上的星星一样遥远和神秘！
老师在课堂上讲定积分的时候，我就感觉自己像是掉进了一个数字的迷宫，晕头转向的。
什么是定积分呀？难道是把一堆数字定在那里积分吗？哈哈，我当时就是这么想的。
我记得有一次，我鼓起勇气问老师：“老师，定积分到底是啥呀？为啥要学这个呀？”老师笑着说：“孩子，定积分就像是一把神奇的尺子，可以帮我们测量那些弯弯曲曲、奇奇怪怪的图形的面积呢！”我瞪大眼睛，心里想：“这也太神奇了吧？”
老师接着给我们讲基本公式，我看着黑板上那些密密麻麻的符号和算式，脑袋都大了！这都啥呀？比如说那个“∫f(x)dx”，我就奇怪了，这是在画画吗？还有什么上限下限的，我就想问，为啥要有上限下限呀？难道是给积分画个框框，不让它乱跑？
后来，老师又举了个例子，说计算一个抛物线下面的面积就可以用定积分。
我就想，这抛物线我倒是能画出来，可怎么用定积分算呀？这不是为难我嘛！
再后来，我和同桌一起讨论，我问他：“你能明白定积分吗？”他摇摇头说：“我也迷糊着呢！”我俩相视一笑，都觉得这定积分可真难搞。
不过，虽然现在我还是觉得定积分很难，但是我可不会轻易放弃！我就不信了，我搞不定这小小的定积分！我一定要努力学习，把它弄明白，就像我学会骑自行车一样，一开始摔了好多跤，最后不也骑得稳稳当当的嘛！我相信，只要我坚持，定积分也会被我拿下的！
我的观点就是：定积分虽然现在让我头疼，但我绝对不会怕它，我一定要战胜它！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
six n 22xsix n2 (1 )2
二牛 、顿 莱布尼茨公式的 （基 微本 积公 分式）
定2理 如果f(函 x)在数 区 [a,b]上 间连F(续 x)是 ，
f(x)的任一 ， 原 则 函数
b
a f(x)dx F(b)F(a)
证 因F(x)是f (x)的一个原函由数定，理 1可知
在其上限处. 的值
证 设 x (a,b) ,x是增x 量 x (， a,b)则 ,且
于是
xx
(xx)a f(t)dt
y
(x x ) (x )
xx
x
a f(t)d ta f(t)dt
(x)
xf(t)d tx xf(t)d txf(t)d ota x xxb x
x 0 x
x
x 0
x
而 lim '(x)
x 0 x
所 以 '(x )f(x ) (a x b )
若 x a ,取 x 0 ,可 ( a ) 证 f( a );
若 x b ,取 x 0 ,可 ( b ) 证 f( b );
2x 2x
(4)、d x sint2dt d xx21
解：d
dx
x sint2dt
x21
da
sitn 2d td
xsitn 2d
dxx21
dxa
t
d x21sit2 n d td xsit2 n dt
d x a
d x a
six 2 n 1 ( )2(x 2 1 ) six 2 n
x
(x)af(t)dt (axb)
称为积分上限的函数
定理 1 如果函 f(x)数 在区[a间 ,b]上连续，则 限的函数 x
(x)a f(t)dt
在[a,b]上具有导数，且
'(x) a xf(t)d 'tf(x) (axb )
即：积分上限函 上数 限对 的其 导数等于 数被
微积分的基本公式
引例 设物体以速度v v(t)作直线运动，要求计算
[T1,T2 ]时间内的路程 s.
从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1,T2 ]
所经过的路程为 T2 v(t)dt . T1 若从不定积分概念出发，则知道函数为
v(t)dt s(t) C,其中 s(t) v(t)，于是[T1,T2]时间内所走
1
x2 dx
0
(x)dx
1
xdx
x2
0 x2 1
1
1
1
0
2 1 2 0
例 5计算正 ys弦 ixn 在 [曲 0 π上 ,]与 线 x轴所围 成的 图 形 平的 面面积。
解
A
sinxdx
0
y y sinx
(cosx)
0
(co )s(co 0)s 0
b f(x)d， x 只须先 f(x求 )在[出 a,b]上的一个F 原 (x)， 函数 a
再计F算 (x)在[a,b]上的改F变 (b)量 F(a)即可．
注 牛顿莱布尼茨公式不了 仅计 给算 出定积分的统
简便的计算方法也 ，揭 而示 且了不定积积 分分 与定 在计算方法上的关系．
例2 求1x2dx 0
c
c
则
d dx
2(x) 1(x)
f
(t)dt
f [2 ( x ) 2 ] ( x ) f [1 ( x ) 1 ] ( x )
例1 计算下列各题
(1 )、 (x)0 xco t2d s,求 t'(x) 解：'(x) ( xcost2dt)' cosx2
b
af(x)dxF(b)F(a)
一、变上限定积分
设 f(x)在 [a,b]上连 x [a 续 ,b]考 ,， f(察 x)在 [a,x]上的定 x 积分
a f (t)dt
对于[a,b]上每一个 x，都得到定积分的一个
对应值，所以 x f (t)dt是定义在 [a,b]上的一 a
个函数，记作
3 4 12
例4、求定积分：
( ) (1) 2 x 1
1
2
dx
（2）
1
x 2 dx
x
1
解：（1）
12(x1x)2dx
12(x22x12)dx
(
x3 3
2x
1) x
2 1
4
5 6
（2）函数 x2 x 在 [1,1] 上写成分段函数的形式
f(x)xx,,0 1xx 1,0,
d d 1 2 ( x ( x x ) )f( t) d f t[2 ( x )] 2 ( x ) f[1 ( x )] 1 ( x )
证: 因
2 (x)
f
(t)dt
2(x)
c
f(t)d t
f(t)dt
1 ( x)
c
1(x)
2(x)f(t)d t 1(x)f(t)dt
d x a
证: 变上限 (x)f(t)d 函 可 t 数 看 Y (成 u)， u(x)复合 a
则
d
(x)
f (t)dt
dY
dY du
dx a
dx du dx
f(u)(x)
f[(x)](x)
推论2
若 f(x )在 [a ,b ]上连 1 (x )， 续 2 (x )在 ， [a ,b ]上可
故有 '(x)f(x) (ax b )
这个定理证明了连 数续 的函 原函数的存在性 任何连续函数都存在原。函 所数 以，定1也 理称为原 函数存在定理。
注 对于变上限的复合函数有以下两个推论
推论1 若ƒ(x)在[a, b]上连续, (x)在[a, b]上可导, 则
d (x)f(t)d tf[(x)](x)
路程就是s(T2 ) s(T1) .
综合上述两个方面，得到
这个等式表明速度函数 v
T2
(tT1)
v(t)dt 在[T1,
s(T2 ) s(T1). T2 ]上的定积分,等
于其原函数 s(t)在区间[T1,T2 ] 上的改变量.那么，这一结
论有没有普遍的意义呢？
猜想F： (x)是 f设 (x)在区 [a,b]间 上的原 ,则函数
A
x
2
例6、计2算1co2sxdx 2
解2 1co2xsd x2 2si2n xdxLeabharlann 22
2
2
| sinx|dx
2
0
2[(sixn)d x02sixnd]x
2
2cox0 s 2(cox)s0 222 2
0
(2)、d xe3tdt da a
解： d da
x e3t dt
a
d ( ae3tdt) e3a
da x
(3)、 (x) xsit2 n d， t 求 '(x) 0
解：'(x) ( xsint2dt)'( xsitn2d)t' ( x)'
0
0
x
sinx2 1 1 sin x2
解 因1x3是x2的一个原函, 所数以
3
1 x 2dx 0
1 3
x3
1 0
10 1
3
3
例3、求131dxx2
解 因arctax是 n 11x2的一个原,函 所以数
3 dx
1 1x2
arctxan13
arcta3narctan1)(
( ) 7
把积分变 t换量 成 x，得
b
af(x)dxF(b)F(a)
为了使用方 F(b便 )F， (a)记 把作 F(x)ba
这样定2理 变为
a bf(x)d xF (x)b aF (b )F (a )
上式叫做 莱牛 布顿 尼茨公积 式分 ，基 也.本 叫
由牛顿 莱部尼茨公式f(知 x)在 ： [a,b要 ]上求 的定积
(x)
x
a
f
(t)dt
也是
f
(x)的原函数，
所以
x
F(x) (x)C f (t)dtC
a
a
F (a ) (a )C af(t)d tC C
于 F ( b 是 ) bf( t) d C t bf( t) d F t( a )
a
a
即有 bf(t)d tF (b)F (a) a
a
x
a
xx
x f(t)dt f()[x ( x)x]（积分中值定理）
f ()x
（在x与xx之间）
所以 (x x) (x)f()
x
x
因f (x)在[a,b]上连续， 且在x与xx之,间
当 x 0时 , x,于是
li m (x x ) (x ) lifm ()limf()f(x)