《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 4-2

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《状元之路》高考数学理新课标A一轮总复习课件第2章函数、导数及其应用-4

对称轴
顶点坐标奇偶性
a＞0
a＜0
□30 ____________________
－2ba，4ac4－a b2 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
单调性
a＞0
x∈□31 ______是减函数 x∈□32 ______是增函数
a＜0
x∈□34 ______是增函数 x∈□35 ______是减函数
A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减 D．单调递增
解析：因为 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，所以 2m＝0，即 m＝0.所以 f(x)＝－x2＋3.
由二次函数的单调性可知，f(x)＝－x2＋3 在(－5，－3)上为增函数，故选 D.
答案：D
4．已知 f(x)＝4x2－mx＋5 在[2，＋∞)上是增函数，则实数 m 的取值范围是__________．
3 种形式——二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中 a≠0，顶点坐标为(－h，k))． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中 a≠0，x1、x2 是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标)．
1．已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图像上，则 f(x)的表达式
34 －∞，－2ba
35 －2ba，＋∞
□36 4ac4－a b2
1 个注意点——二次函数的二次项系数在研究二次函数时，要注意二次项系数对函数性质的影响，往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论．
2 个条件——一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是ab＞2－04，ac＜0. (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是ab＜2－04，ac＜0.

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 4-3

三节
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5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 19 __________，由设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝ □ 此得到： 20 ________，或|a|＝□ 21 _________. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝□ → (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝ 22 ______________. □ 23 ______. (3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔□
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第三节
平面向量的数量积及平面向量的应用
课前学案基础诊断
课堂学案考点通关
自主园地备考套餐
答案：A
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第四章
第三节
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4．已知 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 上的投影为( 13 65 A. 13 B. 5 C. 5 D. 65
a· b 2×－4＋3×7 13 65 解析：|a|cosθ＝＝＝ . 2 2 ＝ 5 |b| 65 －4 ＋7
1．平面向量的数量积若两个 1 □ __________向量a与b，它们的夹角为θ，则数量
2 __________叫做a与b的数量积(或内积)，记作□ 3 _________. □ 4 ______. 规定：零向量与任一向量的数量积为□ 5 ________，两个非两个非零向量a与b垂直的充要条件是 □ 6 __________________. 零向量a与b平行的充要条件是□

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 3-2

3－1 答案： 2
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第三章
第二节
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课堂学案
考点通关
考点例析通关特训
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第三章
第二节
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考点一
同角三角函数基本关系式的应用
1 【例1】已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝5. (1)求tanα的值； (2)把 1 2 2 用tanα表示出来，并求其值． cos α－sin α
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第三章
第二节
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sin2α＋cos2α sin2α＋cos2α tan2α＋1 cos2α 1 (2) 2 ＝＝＝ . cos α－sin2α cos2α－sin2α cos2α－sin2α 1－tan2α cos2α 4 ∵tanα＝－， 3
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第三章
第二节
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8 ________，tan(π 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝ □ －α)＝－tanα.
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第三章
第二节
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答案： 1 sin2α＋cos2α＝1 □ sinα 2 □tanα＝cosα 3 cosα □
2．三角函数的诱导公式 3 ____，tan(α 公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝ □ ＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z. 4 ______，cos(π＋α)＝ □ 5 ____，公式二：sin(π＋α)＝ □ tan(π＋α)＝tanα. 6 ______，cos(－α)＝ □ 7 ______，公式三：sin(－α)＝ □ tan(－α)＝－tanα.

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第四章
第二节
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→ → 16 ________， ②设OA＝xi＋yj，则向量 OA的坐标(x，y)就是 □ → 17 __________，反之亦成立．(O 即若 OA ＝(x，y)，则A点坐标为 □ 是坐标原点)
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3 个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题 (1)注意 0 的方向是任意的； (2)若 a、b 为非零向量，当 a∥b 时，a，b 的夹角为 0° 或 180° ，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错； (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表示成 x1 y1 ＝，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2－x2y1＝0. x2 y2
→ → 1 ________向量a和b，作 OA 已知两个 □ ＝a， OB ＝b，则∠ AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
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第四章
第二节
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(2)范围： 2 ________________，a与b同向时，夹向量夹角θ的范围是 □ 3 __________；a与b反向时，夹角θ＝□ 4 ______________. 角θ＝□ (3)向量垂直： 5 ________，则a与b垂直，记作 □ 6 若向量a与b的夹角是 □ __________.
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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分14导数的应用(一)

开卷速查 (十四 )导数的应用(一)A 级基础牢固练1．函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f x在区间 (1，＋∞ )上必然 ()xA．有最小值B．有最大值C．是减函数 D.是增函数剖析：由函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，可得＜，又＝f x a a∈ ，＋∞a1g(x)x x x x(1)上 g′(x)＞0，所以 g(x)在(1，＋∞)上为增函数．答案： D2．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间 [ －1,1]上的最大值是 ()A．－ 2 B.0C．2 D.4剖析： f′(x)＝3x2－6x，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数， f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝ f(0)＝2.答案： C3．若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则导函数f′(x)的图像不可以能是 ()ABCD剖析：若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数 f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图像要穿过x 轴，观察四个选项中的图像只有 D 项是不吻合要求的，即 f′(x)的图像不可以能是 D，应选 D.答案： D4．已知函数＝3－3x＋c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则c＝y x()A．－2 或 2 B.－9 或 3 C．－1 或 1 D.－3 或 1剖析：设 f(x)＝x3－3x＋c，对 f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，可得 x＝±1，易知 f(x)在 (－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递加，在(－1,1)上单调递减．若 f(1)＝1－3＋c＝0，可得 c＝2；若 f(－1)＝－ 1＋3＋c＝0，可得 c＝－ 2.答案： A5．函数 f(x)＝x3－3x－1，若对于区间 [ －3,2]上的任意 x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数 t 的最小值是 ()A．20 B.18C．3 D.0剖析：因为 f′(x)＝3x2－3＝3(x－ 1)(x＋1)，令 f′(x)＝0，得 x＝±1，所以－ 1,1 为函数的极值点．又 f(－3)＝－ 19，f(－1)＝1，f(1)＝－ 3，f(2)＝1，所以在区间 [ －3,2]上 f(x)max＝1，f(x)min＝－ 19.又由题设知在区间[－3,2]上 f(x)max－f(x)min≤t，从而 t≥20，所以 t 的最小值是 20.答案： A6．已知定义在R上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f′(x)，当 x∈(－∞，0]时，恒有 xf′(x)<f(－x)，令 F(x)＝xf(x)，则满足 F(3)>F(2x－1)的实数 x 的取值范围是 ()A．(－1,2) B. －1，121C. 2，2D.(－2,1)剖析：由 F(x)＝xf(x)，得 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，F(x)为偶函数，从而 F(x)在3<2x－1<3，解得－ 1<x<2.7．若函数 f(x)＝13x3－23x2＋ax＋4 恰在 [ －1,4]上单调递减，则实数所以 F(x)在(－∞，0]上单调递减，又可证[0，＋∞ )上单调递加，故原不等式可化为－答案： Aa 的值为 __________．剖析：∵f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4，∴f′(x)＝ x2－3x＋a.又函数 f(x)恰在 [ －1,4]上单调递减，∴－ 1,4是 f′(x)＝ 0 的两根，∴ a＝－ 1×4＝－ 4.答案：－48．已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在 x＝－ 1 时有极值 0，则 m ＋n＝__________.剖析：∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得f－1 ＝－1 3＋3m －1 2＋n －1 ＋ m2＝0，f′ －1 ＝3× －1 2＋6m －1 ＋n＝0，m＝1，m＝2，∴或n＝3，n＝9，m＝1，时，f′(x)＝3x2＋6x＋ 3＝3(x＋1)2≥0 恒成立与 x＝－ 1当n＝3是极值点矛盾，m＝2，时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当n＝9显然 x＝－ 1 是极值点，吻合题意，∴m＋n＝11.答案： 119．右图是函数 y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．①f(x)在区间 [ －2，－ 1]上是增函数；②x＝－1 是 f(x)的极小值点；③ f (x)在区间 [ －1,2]上是增函数，在区间 [2,4] 上是减函数； ④x ＝3 是 f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是__________．剖析：由函数 y ＝f(x)的导函数的图像可知：(1) f (x)在区间 [ －2，－ 1]上是减函数，在[ －1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2) f (x)在 x ＝－ 1 处获取极小值，在 x ＝2 处获取极大值．故②③正确．答案： ②③10．已知函数 f(x)＝ax2＋blnx 在 x ＝1 处有极值 12.(1)求 a ，b 的值；(2)判断函数 y ＝f(x)的单调性并求出单调区间．b剖析： (1)f ′(x)＝2ax ＋x ，1又 f(x)在 x ＝1 处有极值 2，1 1∴ f 1 ＝2，即a ＝2，f ′ 1 ＝0， 2a ＋b ＝0.1解得 a ＝2，b ＝－ 1.1 2 (2)由(1)可知 f(x)＝2x － lnx ，其定义域是 (0，＋ ∞)，且 f ′(x)＝ x－1＝ x ＋1 x －1 .xx令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1 或 x ＝－ 1(舍去)．当 x 变化时， f ′(x)，f(x)的变化情况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数 y＝f(x)的单调减区间是 (0,1)，单调增区间是 (1，＋∞)．B 级能力提升练11．[2014 ·安徽 ]设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a＞ 0.(1)谈论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x∈[0,1] 时，求 f(x)获取最大值和最小值时的x 的值．剖析： (1)f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令 f′(x)＝0，得 x1＝－1－ 4＋3a，3－1＋ 4＋3ax2＝3，x1＜x2.所以 f′(x)＝－ 3(x－x1)(x－x2)．当 x＜x1或 x＞x2时， f′(x)＜0；当 x1＜x＜x2时， f′(x)＞0.故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递加．(2)因为 a＞0，所以 x1＜0，x2＞0. ①当 a≥4 时， x2≥1.由(1)知， f(x)在[0,1] 上单调递加．所以 f(x)在 x＝0 和 x＝ 1 处分别获取最小值和最大值．②当 0＜a＜4 时， x2＜1.由(1)知， f(x)在[0，x2]上单调递加，在 [x2,1]上单调递减．－1＋ 4＋3a所以 f(x)在 x＝x2＝3处获取最大值．又 f(0)＝1，f(1)＝a，所以当 0＜a＜1 时， f(x)在 x＝1 处获取最小；当 a＝1 ， f(x)在 x＝0 和 x＝1 同获取最小；当 1＜a＜4 ， f(x)在 x＝0 获取最小．e x212．[2014 山· ] 函数 f(x)＝x2－k x＋lnx (k 常数，e＝2.718 28⋯是自然数的底数 )．(1)当 k≤0 ，求函数 f(x)的区；(2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极点，求k 的取范．剖析： (1)函数 y＝f(x)的定域 (0，＋∞)．f′(x)＝2 x－2xe x22＋1 x e4－k－x x xx xxe －2e k x－2x－ 2 e x－kx＝x3.由 k≤0 可得 e x－kx>0，所以当 x∈(0,2)， f′(x)<0，函数 y＝f(x)减，x∈ (2，＋∞)， f′(x)>0，函数 y＝f(x)增．所以 f(x)的减区 (0,2)，增区 (2，＋∞ )．(2)由(1)知， k≤0 ，函数f(x)在(0,2)内减，故f(x)在(0,2)内不存在极点；当 k>0 ，函数 g(x)＝e x－kx， k∈(0，＋∞)．因g′(x)＝e x－k＝e x－e lnk，当 0<k≤1 ，当 x∈(0,2)， g′(x)＝e x－k>0，y＝g(x)增．故 f(x)在(0,2)内不存在两个极点；当 k>1 ，得 x∈(0，ln k)， g′(k)<0，函数 y＝g(x)减．x∈ (lnk，＋∞)时， g′(x)>0，函数 y＝g(x)单调递加．所以函数 y＝g(x)的最小值为 g(lnk)＝k(l －ln k)．g 0 >0，g lnk <0，函数f(x)在 (0,2)内存在两个极值点当且仅当解得g 2 >0，0<lnk<2，e2e<k< 2，综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时， k 的取值范围为e2e，2 .。

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第四章
第四节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
3 个结论——复数代数运算中常用的三个结论 1＋i 1－i (1)(1± i) ＝± 2i；＝i；＝－i； 1－i 1＋i
2
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n
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第四章
第四节
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通关特训 1 (1)设 i 是虚数单位，若复数 a－数，则 a 的值为( A．－3 )
10 (a∈R)是纯虚 3－i
B．－1 C．1 D．3
(2)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z 的共轭复数，则 z2＋ z
答案：(1)D (2)A
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第四章
第四节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
考点二
复数的几何意义
【例 2】 (1)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( A．A B．B )
C．C D．D
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第四章
第四节
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第四章
第四节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
1 实部答案： □
2 虚部 □ 3 b＝0 □ 4 a＝0，且b≠0 □
5 a＝c且b＝d □ 6 a＝c，b＝－d □ 7 x轴 □ 8 y轴除去原点 □ 9 实数 □ 10 纯虚数 □ 11 非纯虚数 □ 12 |z| □ 13 |a＋bi| □ 14 □ a2＋b2 → 16 15 平面向量OZ □ □(a＋c)＋(b＋d)i

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 1-1

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第一章
第一节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
4．集合的基本运算并集符号表示图形表示意义 22 ______ □ 23 ______ □ 24 ______________ □ A∪B 交集 A∩B 补集若全集为U，A⊆U，则集合A的补集为∁UA
(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜ x＜2m－1}．若 B⊆A，则实数 m 的取值范围是( A．－3≤m≤4 C．2＜m≤4
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)
B．－3＜m＜4 D．m≤4
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第一章第一节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
解析：(1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，故 A＝{1,2}．由题意知 B＝{1,2,3,4}，因此满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}， {1,2,3,4}，故选 D. (2)当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图．
答案：B
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第一章
第一节
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课堂学案
考点通关
考点例析通关特训
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第一章
第一节
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考点一
集合的基本概念
【例 1】 (1)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝ {(x，y)|x∈ A， y∈ A， x－y∈ A}，则 B 中所含元素的个数为( A．3 个 B．6 个 C．8 个 ) D．10 个
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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习选4-5-2

自主园地备考套餐加固训练练透考点1．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．解析：由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.答案：22．[2014·陕西]设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为__________．解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5.答案： 53．设正数x ，y ，z 满足2x ＋2y ＋z ＝1.(1)求3xy ＋yz ＋zx 的最大值；(2)证明：31＋xy ＋11＋yz ＋11＋zx ≥12526. 解析：(1)3xy ＋yz ＋zx ＝3xy ＋(x ＋y )z ＝3xy ＋(x ＋y )·[1－2(x ＋y )]＝3xy ＋(x ＋y )－2(x ＋y )2≤34(x ＋y )2＋(x ＋y )－2(x ＋y )2 ＝－54(x ＋y )2＋(x ＋y ) ＝－54[(x ＋y )－25]2＋15≤15.当且仅当x ＝y ＝z ＝15时等号成立，3xy ＋yz ＋zx 取得最大值15.(2)证明：由柯西不等式和(1)得，31＋xy ＋11＋yz ＋11＋zx≥253(1＋xy )＋(1＋yz )＋(1＋zx )≥255＋15＝12526. 4．(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)，由条件x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，由题意知x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.。

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高考进行时一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
(2)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
()
10 A. 3
B．4
16 C. 3
D．6
第31页
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第二章第十三节
高考进行时一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
(3)如图，曲线 y＝x2 和直线 x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴
(1)知图形求面积．首先，依据函数的图像求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．
(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；② 确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④ 由定积分求出面积．
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第二章第十三节
高考进行时一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
1
(xcosx－5sinx＋2)dx.
-1
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解析：(1)122x2－1xdx＝23x3－lnx|21＝134－ln2.
(2)
0π2sin2x2dx＝0π21－2cosxdx＝12(x－sinx)
π 2 0
(3)
0
答案：
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1 个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．
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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分37合情推理与演绎推理

开卷速查(三十七) 合情推理与演绎推理A 级基础巩固练1．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 恒成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n解析：选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案：A2．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.答案：C3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确 B.大前提不正确C ．小前提不正确 D.全不正确解析：因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案：C4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1个 B.2个C ．3个 D.4个解析：①②正确；③④⑤⑥错误．答案：B5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x ) B.－f (x )C ．g (x ) D.－g (x )解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案：D6．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2n B.S n ＝4nC ．S n ＝2n D.S n ＝4n －4解析：由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.答案：D7．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n)≥n ＋22 8．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为__________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.方法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.B 级能力提升练11．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 a ＋7t ＝a 7t (a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t －a ＝( )A ．31 B.41C ．55 D.71解析：观察所给的等式，等号左边是 2＋23， 3＋38， 4＋415，…，等号的右边是223，338，…，则第n 个式子的左边是 (n ＋1)＋n ＋1(n ＋1)2－1，右边是(n ＋1)·n ＋1(n ＋1)2－1，故a ＝7，t ＝72－1＝48.t －a ＝41，选B.答案：B12．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B.76 C ．123D.199解析：记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11；f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.即a 10＋b 10＝123.答案：C13．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O -BCD ·OA →＋V O -ACD ·OB →＋V O -ABD ·OC →＋V O -ABC ·OD →＝0.答案：V O -BCD ·OA →＋V O -ACD ·OB →＋V O -ABD ·OC →＋V O -ABC ·OD →＝0 14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．① ② ③ ④(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．解析：(1)f (5)＝41.(2)f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…⎦⎥⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：开卷速查(选修4-5-2不等式的证明)[]

开卷速查(选修4－5－2) 不等式的证明A 级基础巩固练1．已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0.从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .2．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c1＋c .证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b1＋a ＋b .∴a1＋a ＋b1＋b ＞a ＋b1＋a ＋b .而函数f (x )＝x1＋x ＝1－11＋x ，在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b1＋a ＋b ＞c1＋c ，所以a1＋a ＋b1＋b ＞c1＋c ，故原不等式成立．3．[2014·江苏]已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .证明：因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0,1＋x 2＋y ≥33x 2y＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .4．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解析：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |，∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，且a ，b ，c 大于0，a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥3＋22ab2ab ＋23c a ·a3c ＋23c 2b ·2b3c ＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.B 级能力提升练5．已知x ，y ，z ∈R ，x ＋y ＋z ＝3.(1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.解析：(1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz ＞0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz＞0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1z 取最小值3.(2)x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(z 2＋x 2)3≥x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )3＝(x ＋y ＋z )23＝3. 又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )＜0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.6．[2014·课标全国Ⅰ]若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解析：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥4 3.由于43＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分28数列的概念与简单表示法

开卷速查 (二十八 )数列的看法与简单表示法A基牢固1．数列，2，4，6，⋯的一个通公式 () 0357A．a n＝n－1n－1* ) (n∈N*)B．a n＝(n∈N n＋12n＋1C．a n＝2 n－1(n∈N*) D.a n＝2n(n∈N*) 2n－12n＋1剖析：将 0 写成1，察数列中每一的分子、分母可知，分子偶数列，可表示2(n－1)，n∈N*；分母奇数列，可表示2n－1，n ∈N*，故 C.答案： C2．已知数列 { a n} 的前 n 和 S n，且 S n＝2n2－1， a3＝(A．－ 10 B.6C．10 D.14剖析： a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.答案： C3．数列{ a n}足：＝1，且当 n≥2 ，a ＝n－1－， a ＝(a1n n a n 15 11A.5B.6C．5 D.6n－1剖析：因 a1＝1，且当 n≥2 ， a n＝n a n－1，) )a n n－1则＝.a n－1n所以＝a5a4a3a243211，应选a5····＝×× ××1＝A. a4a3a2a1a154325答案： A4．已知 a1＝1，a n＝n(a n＋1－a n)(n∈N* )，则数列 { a n} 的通项公式是()A．2n－1 B.n＋1 n－1 n．n 2D.nC剖析：方法一：由已知整理，得(n＋1)a n＝na n＋1，a n＋1a n a n是常数列，且∴＝n.∴数列nn＋1∴a n＝n.方法二 (累乘法 )：n≥2 时，a n＝a n－1a n－1n－1＝，a n－2n－2?a33＝，a22a2＝2，a11an以上各式两边分别相乘，得＝n.a n a1n＝1＝1. n，n－1又∵a1＝1，∴a n＝n，应选 D.答案： D5．若数列 { a n } 满足 a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n－1(n ≥3，n ∈N *)，则 a 17a n－2＝()A ．1B.21D.2 －987C.2剖析：由已知，得 a 1 ＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝1，a 6＝1，2 21 1a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝2，a 12＝2，即 a n 的值以 6 为周期1重复出现，故 a 17＝2.答案： C6．数列{ a n } 中，S n 为{ a n } 的前 n 项和， n(a n ＋1－a n )＝a n (n ∈N *)，且a 3＝π，则 tanS 4 等于 ()3A ．－ 3 B. 3C ．－ 3D. 33剖析：方法一：由 n(a n ＋ 1－a n )＝a n 得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，4可得 3a 4＝4a 3 ，已知 a 3＝ π，则 a 4＝3π. 又由 2a ＝3a ，得 a ＝2π32 23.由 a 2π＝a 1＋a 2 ＋a 3＋a 4＝ 1010＝2a 1，得 a 1＝，故 S 4 3 π，tanS 4 ＝tan 3 π3＝ 3.方法二：∵由 n(a n＋1－a n)＝a n，a n＋1a n得 na n＋1＝(n＋1)a n即＝n.n＋1a n a n－1 a n－2a3π∴n ＝n－1＝n－2＝⋯＝3＝3.ππ1010∴a n＝3n，∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3(1＋2＋3＋4)＝3π，tanS4＝tan 3π＝3.答案： B7 ．数列 { a n} 的通公式a n＝－ n2＋ 10n ＋ 11，数列前__________的和最大．剖析：易知 a1＝20＞0，然要想使和最大，把所有的非求和即可，令 a n≥0，－ n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可，当 n＝11 ， a11＝0，故 a10是最后一个正， a11＝0，故前 10 或 11和最大．答案： 10 或 118．数列{ a n}足：＋3a ＋5a ＋⋯＋ (2n－1) ·a＝(n－1) ·3n＋1＋3(na123n∈N*)，数列{ a n}的通公式a n＝__________.剖析： a ＋＋5a3＋⋯＋(2n－·－＋(2n－·＝(n－n1·＋13a23) a n 11) a n1) 3n ＋3，把 n 成 n－1 得， a1＋3a2＋5a3＋⋯＋(2n－3) ·a n－1＝(n－2) ·3＋3，两式相减得 a n＝3n.答案： 3na n9．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝2a n－1，则满足n≤2 的正整数 n 的会集为 __________．剖析：因为 S n＝2a n－1，所以当 n≥2 时， S n－1＝2a n－1－1，两式相减得 a n＝2a n－2a n－1，整理得 a n＝2a n－1，所以 { a n} 是公比为 2 的等比数列，又因为 a1＝2a1－1，解得 a1＝1，故{ a n} 的通项公式为 a n＝2n－1.而an n≤2，即 2n－1≤2n.∴n＝1,2,3,4.∴正整数n 的会集为 {1,2,3,4} ．答案： {1,2,3,4}10．已知数列n中，n＝1＋1∈N *，a∈R，且 a≠0)．{ a }a a＋2 n－1 (n(1)若 a＝－ 7，求数列 { a n} 中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 n∈N*，都有 a n≤a6恒成立，求 a 的取值范围．剖析： (1)∵a ＝＋1∈*，∈，且≠，n 1(n N a R a 0)a＋2 n－11又∵a＝－ 7，∴a n＝1＋.2n－91合函数 f(x)＝1＋的性，2x －9可知 1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞⋯＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{ a n } 中的最大a 5＝2，最小 a 4＝0.1 (2)a n ＝1＋12＝1＋ .a ＋2 n －12－an － 2∵ 任意的 n ∈N *，都有 a n ≤a 6 恒成立，12合函数 f(x)＝1＋的性，2－ax － 22－a知 5＜ 2 ＜6，∴－10＜a ＜－ 8.故 a 的取范 (－10，－ 8)．B 能力提升11．已知数列 { a n } 的通公式a n ＝ 4 n － 1－ 2 n － 1 ，数列9 3{ a n }()A ．有最大，没有最小B ．有最小，没有最大C ．既有最大又有最小D ．既没有最大也没有最小剖析： ∵数列{ a n } 的通公式a n ＝ 4n－1－ 2 n－1，93令 t ＝ 2n － 1，t ∈(0,1]，t 是减函数，311a n ＝t 2－t ＝ t －2 2－4，由复合函数性知a n 先增后减．故有最大和最小， C.答案： C12．已知数列 { a n } 足： a 1＝1，于任意的 n ∈N *， a n ＋ 1＝7a n (172－a n )， a 1 413 －a 1 314＝()22A ．－ 7B.733C ．－ 7D.7剖析： a 1 ＝1，a 2 ＝7×1×6＝3，a 3＝7×3×4＝6，a 4 ＝7×6×1＝7 2 7 7 7 2 7 7 7 2 7 737，⋯.63可知当 n 大于 1 的奇数， a n ＝7；当 n 正偶数， a n ＝7.3故 a 1 413－a 1 314＝7.答案： D13．[2015 ·白山模 ] 已知数列 { a n } ．(1)若 a n ＝n 2－5n ＋4，①数列中有多少是数？②n 为何值时， a n有最小值？并求出最小值．(2)若 a n＝n2＋kn＋4 且关于 n∈N*，都有 a n＋1＞a n，求实数 k 的取值范围．剖析： (1)①由 n2－＋＜，解得1＜＜5n 40n 4.因为 n∈N*，所以 n＝2,3.所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.595②因为 a n＝n2－5n＋4＝ n－22－4的对称轴方程为n＝2.又 n∈N*，所以当 n＝2 或 n＝ 3 时， a n有最小值，其最小值为a2＝a3＝－ 2.(2)由 a n＋1＞a n知该数列是一个递加数列，又因为通项公式a n＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k2＜32，即得 k＞－ 3.14．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝a n＋n2－1，数列 { b n} 满足 3n·b n＋1＝(n＋1)a n＋1－na n，且 b1＝3.(1)求 a n，b n；(2)设 T n为数列 { b n} 的前 n 项和，求 T n，并求满足 T n＜7 时 n 的最大值．剖析： (1)当 n≥2 时， S n＝a n＋n2－1，S n－1＝a n－1＋(n－1)2－1，两式相减，得 a n＝a n－a n－1＋2n－1，∴a n－1＝2n－1(n≥2)．∴a n ＝2n ＋1(n ≥1)．∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n(2n ＋1)＝4n ＋3.4n ＋3∴b n ＋ 1＝3n .4n －1当 n ≥2 ， b n ＝ 3n －1 ，又 b 1＝3 适合上式，4n －1∴b n ＝3n －1 .4n －1(2)由(1)知 b n ＝ 3n － 1 ，3 7 114n －5 4n －1 ∴T n ＝1＋3＋ 32＋⋯ ＋3n － 2＋3n －1，①13 7 114n －5 4n － 13T n ＝3＋32＋ 33＋⋯＋3n －1＋3n，②2 4 4444n －1① － ② ，得 3 T n ＝ 3 ＋ 3 ＋ 32＋ 33＋ ⋯ ＋3n －1－3n ＝ 3 ＋1 11－4n －14n ＋5 3 3n －14× 1－ 3n ＝5－ 3n .1－315 4n ＋5∴T n ＝ 2 －2·3n － 1.T n－T n＋1＝4 n＋1 ＋5 4n＋54n＋3＜0，2·3n－2·3n－1＝－3n∴T n＜T n＋1，即 { T n} 为递加数列，又T3＝59＜7，T4＝64＞7，∴当99T n＜7 时， n 的最大值为 3.。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分48直线的倾斜角与斜率、直线的方程

开卷速查(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 级基础巩固练1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C.答案：C2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l1的斜率角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.答案：D3．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b ＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：A5．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B . ∵1B ＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3， ∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3， ∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－ 3. 答案：B6．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案：B7．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝08．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：39．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：1610．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋y B2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎨⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.B 级能力提升练11．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.答案：B12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )A ．36B ．45C ．50D ．55 解析：由a n ＝1n (n ＋1)，可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，即n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)， ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 答案：B13．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解析：由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)．即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 14．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解析：(1)证明：方法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．方法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2kk (1＋2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分58随机抽样

开卷速查(五十八) 随机抽样A 级基础巩固练1．(1)某学校为了了解2013年高考数学的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是( ) A ．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B ．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ C ．(1)Ⅱ，(2)ⅢD ．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ解析：通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．答案：A2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋1－l 20≤k ≤37－l 20.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．答案：B3．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( )A ．54B ．90C ．45D ．126解析：依题意有33＋5＋7×n ＝18，由此解得n ＝90，即样本容量为90.答案：B4．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．1,2,3,4,5C ．2,4,8,16,22D ．3,13,23,33,43解析：系统抽样方法抽取到的导弹编号应该是k ，k ＋d ，k ＋2d ，k ＋3d ，k ＋4d ，其中d ＝505＝10，k 是1～10中用简单随机抽样方法得到的数.答案：D5．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为( )A ．5,10,15B ．3,9,18C ．3,10,17D ．5,9,16解析：高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别为15150＝10%，45150＝30%，90150＝60%，则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为10%×30＝3,30%×30＝9,60%×30＝18.答案：B6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：由已知条件可知，应该把总体分成32组，每组96032＝30人，根据系统抽样的方法可知，i ＝9，k ＝30，在第1组到第32组依次抽取到的是9,9＋30,9＋2×30，…，9＋31×30，由于9＋15×30＝459，而9＋24×30＝729，故而有24－15＋1＝10人，故选C .答案：C7．一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为______．解析：设抽取男运动员人数为x ，则x 14＝3232＋24，x ＝8.答案：88．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查某维生素是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为__________．解析：∵3 000150＝20.∴需把3 000袋奶粉按0,1,2,3，…，2 999编号，然后分成150组，每组20个号码．∴第61组抽出的号码为11＋(61－1)×20＝1 211. 答案：1 2119．某市有A 、B 、C 三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为n 的样本，进行成绩分析，若从B 校学生中抽取40人，则n ＝__________.解析：设A 、B 、C 三所学校学生人数分别为x ，y ，z ，由题知x ，y ，z 成等差数列，所以x ＋z ＝2y ，又x ＋y ＋z ＝1 500，所以y ＝500，用分层抽样方法抽取B 校学生人数为n1 500×500＝40，得n ＝120.答案：12010．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师n 36×6＝n6，抽取技术员n 36×12＝n 3，抽取技工n 36×18＝n2.所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.B 级能力提升练11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是__________．解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案：7612．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．解析：将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则40200＝x100，解得x＝20.答案：372013．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(1)(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？解析：(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为402 000＝1 50.故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人．(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为252 000＝180，故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．(3)用系统抽样，对全部2 000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．14．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解析：(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众人数为 2745×5＝35×5＝3(名)．(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁的有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁的有3名(记为A 1，A 2，A 3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A 中的基本事件有6种：Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，故所求概率为P(A)＝610＝35.。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习选4-5-1

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选修4-5
第一节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
2．绝对值不等式的解法 1 ( ) 含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：不等式 |x|＜a |x|＞a a＞0 3 __________ □ 6 __________ □ a＝0 4 ________ □ 7 _________ □ a＜0 5 ________ □ 8 ________ □
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选修4-5
第一节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
►名师点拨含参数的绝对值不等式解题策略本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x) ＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
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选修4-5
第一节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
1．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( A．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| B．|a－b|＜|a|＋|b| D．|a－b|＜||a|－|b||
)
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选修4-5
第一节
高考进行时一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
A、B两点的距离 [－2,1]不是不等式的
A向左移动一个单位到点
A1，此时 A1A＋A1B＝1＋4＝5. B1，此时 B1A＋B1B＝5，故原不等式

【状元之路】(新课标通用版)高考数学一轮复习 4-2导数的应用(一)课件文

教材回归自主学习
必考必记夯基固本
1. 函数的单调性 1 ____0，那么函数y＝f(x) 在某个区间(a，b)内，如果f′(x) □ 2 ____0，那么函数y＝f(x)在在这个区间内单调递增；如果f′(x) □ 这个区间内单调递减．
2. 函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 3 ________，右侧 □ 4 __________， ①如果在x0附近的左侧 □ 那么f(x0)是极大值； 5 _________，右侧□ 6 __________， ②如果在x0附近的左侧□ 那么f(x0)是极小值．
点评：(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)； ③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； ④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间． (2)要注意对含参数的函数的单调性进行讨论； (3)对已知函数的单调性的问题一定要掌握导数的条件．
5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是__________．
解析：f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，则 f′(1)≥0⇒a≤3.
答案：3
核心考点
引领通关
考点研析变式通关
考点一
利用导数研究函数的单调性
【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．思维启迪：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．
答案：B
3．设函数f(x)＝xex，则( A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分32数列的综合问题

开卷速查 (三十二 )数列的综合问题A基牢固1．公比不 1 的等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，且－ 3a1，－ a2，a3成等差数列，若 a1＝1， S4＝()A．－ 20B．0C．7 D.40剖析：等比数列 { a n的公比q(q ≠ ，依意有－2a2＝－3a1}1)＋a3，－2a1q＝－ 3a1＋a1q2，即 q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又 q≠1，1×[1－－3 4]因此有 q＝－ 3， S4＝＝－ 20.1＋3答案： A2．数列 { a n} 足 a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N* )，它的前 n和 S n，足 S n＞1 025 的最小 n 是 ()A．9 B.10C．11 D.12剖析：因 a ＝，log2a n ＋＝log2a n＋∈ *)，因此a n＋＝2a n，1111(n N1 a n＝2n－1，S n＝2n－1，足 S n＞1 025 的最小 n 是 11.3． y＝f(x)是一次函数，若 f(0)＝1，且 f(1)，f(4)，f(13)成等比数列， f(2)＋f(4)＋⋯＋ f(2n)等于 ()A．n(2n＋3) B.n(n＋4)C．2n(2n＋3) D.2n(n＋4)剖析：由意可 f(x)＝kx＋1(k≠0)，(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋⋯＋f(2n)＝ (2×2＋ 1)＋ (2×4＋1) ＋⋯＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.答案： A4．若把能表示两个偶数的平方差的正整数称“和平数”，在 1～100100 个数中，能称“和平数”的所有数的和是()A．130 B.325C．676 D.1 300剖析：两个偶数2k＋2 和 2k(k∈N*)， (2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，故和平数是 4 的倍数，但不是 8 的倍数，故在 1～100 之，能称和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，⋯，4×25，共 13 个，其1＋25和 4××13＝676.2答案： C5．在直角坐系中， O 是坐原点， P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若 1，x1，x2,4 依次成等差数列，而 1，y1，y2,8 依次成等比数列，△ OP1P2的面是 ()A．1 B.2C．3 D.4剖析：依照等差、等比数列的性，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.答案： A6．已知函数 y＝log a(x－1)＋3(a＞0，a≠1)所定点的横、坐1分是等差数列 { a n } 的第二与第三，若 b n ＝，数列 { b n } 的前 na n a n ＋1和 T n ， T 10 等于 ()910A.11B.11812C.11D.11剖析：由 y ＝log a －1) ＋3 恒定点，即 a 2 ＝，3＝，又n(x(2,3)2 a3 { a }等差数列，∴a n ＝n ，n ∈N *.11 1 1 1 1 1 1 10∴b n ＝，∴T 10＝1－2＋2－3＋⋯ ＋10－11＝1－11＝ 11.n n ＋1答案： B7．等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 S 4≥4，S 7≤28， a 10 的最大 __________．剖析：方法一：∵等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，S 4≥4，S 7≤28，4×3S 4＝4a 1＋ 2 d ≥4，∴7×6S 7＝7a 1＋2d ≤28，2a 1＋3d ≥2，即a 1＋3d ≤4，a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋3d ＋6d ≤4＋6d ，∴115d 2＋15da 10＝a 1＋9d ＝2 2a 1＋3d ＋ 2 ≥2 .2＋15d∴2≤a 10≤4＋6d.2＋15d ∴2 ≤4＋6d ，解得 d ≤2.∴a 10≤4＋6×2＝16.2a 1＋3d ≥2，方法二：同方法一，得a 1＋3d ≤4.a 10＝a 1＋9d ，由性划得 a 10 的最大 16.答案： 168．已知数列 { a n } 的通公式a n ＝25－n，数列 { b n } 的通公式b n ＝n ＋k ，c n ＝b n ，a n ≤b n ，若在数列 { c n } 中，c 5≤c n 任意 n ∈N*a n ，a n ＞b n ，恒成立，数k 的取范是 __________．剖析：数列 c n 是取 a n 和 b n 中的最大，据意 c 5 是数列 { c n } 的最小，由于函数 y ＝ 25－ n是减函数，函数 y ＝n ＋ k 是增函数，因此 b 5≤a 5≤b 6 或a 5≤b 5≤a 4，即 5＋k ≤25－ 5≤6＋k 或 25－5≤5＋k ≤25－ 4，解得－ 5≤k ≤－4 或－ 4≤k ≤－3，因此－ 5≤k ≤－3.答案： [－5，－ 3]9．定函数 f(x)＝{ x ·{x}} ，其中 { x} 表示不小于 x 的最小整数，如{1.4} ＝2，{ －2.3} ＝－ 2.当 x ∈(0，n](n ∈N *) ，函数 f(x)的域 A n ，1 11会集 A n 中元素的个数 a n ， a 1＋a 2＋⋯＋ a n ＝________.剖析：由意， a ＝ 1 ，当 ∈ ，＋ 1] ，{ x} ＝＋，·∈2 1x (n n n 1 x { x} (n ＋n ，n 2＋2n ＋1]，{ x ·{x}} 的取依次 n 2＋n ＋1，n 2＋n ＋2，⋯，n 2＋2n ＋1 共 n ＋1 个，即 a n ＋1＝a n ＋n ＋1，由此可得 a n ＝1＋2＋3＋⋯＋n n ＋1 121 1n ＝ 2，a n ＝＝2 n－n ＋1，n n ＋1因此 1 ＋1＋⋯＋1＝2－ 2.a 1 a 2 a nn ＋1答案： 2－n ＋2110．[2014 ·四川 ] 等差数列 { a n } 的公差 d ，点(a n ，b n )在函数 f(x)＝2x 的像上 (n ∈N *)．(1)若 a 1＝－ 2，点 (a 8,4b 7)在函数 f(x)的像上，求数列 { a n } 的前 n和 S n ；(2)若 a 1＝1，函数 f(x)的像在点 (a 2，b 2) 的切在 x 上的截距2－1 ，求数列a n的前 n 和 T n .ln2b n剖析： (1)由已知， b 1＝2a 1，b 8＝2a 8＝4b 7，有 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得 d ＝a 8－a 7＝2.因此， S n ＝na 1＋n n －1d ＝－ 2n ＋n(n －1)＝n 2－3n.2(2)函数 f(x)＝2x 在(a 2，b 2) 的切方程y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)，1它在x 上的截距a 2－ln2.由意，1 1a 2－ln2＝2－ln2，解得a 2＝2.因此， d ＝a 2－a 1＝1.从而 a n＝n，b n＝2n，1 2 3n－1 n因此 T n＝2＋22＋23＋⋯＋2n－1＋2n，1 23n2T n＝1＋2＋22＋⋯＋2n－1.111n1n 因此， 2Tn － T n＝1 ＋2＋22＋⋯＋2n－1－2n ＝2－2n－1－2n ＝2n＋1－n－2n.2因此， T n＝2n＋1－n－22n.B能力提升11．[2014 ·湖北 ]已知等差数列 { a n} 足： a1＝2，且 a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2)n数列 { a n的前n和，可否存在正整数n，使得n＞60n S}S＋800？若存在，求 n 的最小；若不存在，明原由．剖析： (1)数列 { a n} 的公差 d，依意， 2,2＋d，2＋4d 成等比数列，故有 (2＋d)2＝2(2＋4d)，化得 d2－4d＝0，解得 d＝0 或 d＝4.当 d＝0 ，a n＝2；当 d＝4 ，a n＝2＋(n－1) ·4＝4n－2，从而得数列{ a n} 的通公式 a n＝2 或 a n＝4n－2.(2)当 a n＝2 ， S n＝2n.然 2n＜60n＋800，此不存在正整数 n，使得 S n＞60n＋800 成立．当 a n＝4n－2 时，S n＝n[2 ＋ 4n－2 ]＝2n2.2令 2n2＞60n＋800，即 n2－30n－400＞0，解得 n＞40 或 n＜－ 10(舍去)，此时存在正整数 n，使得 S n＞60n＋800 成立， n 的最小值为 41. 综上，当 a n＝2 时，不存在满足题意的 n；当 a n＝4n－2 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41.12．[2014 ·课标全国Ⅰ ]已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1＝1，a n≠0，a a ＋＝λS－1，其中λ为常数．n n 1n(1)证明： a n＋2－a n＝λ；(2)可否存在λ，使得 { a n} 为等差数列？并说明原由．剖析： (1)由题设， a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得 a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于 a n＋1≠0，因此 a n＋2－a n＝λ.(2)由题设， a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1.由(1)知， a3＝λ＋1.令 2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故 a n＋2－a n＝4，由此可得{ a2n－1} 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝4n－3；{ a2n} 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n＝4n－1.因此 a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列 { a n} 为等差数列．。