基本不等式在圆中的应用
基本不等式应用
基本不等式应用
基本不等式是一种数学结构，可以用来描述数量之间的关系。
它可以用来考量给定数据和参数之间的约束，并且可以用来确定在特定情况下可以取得何种结果。
在几何图形、统计技术、分析算法和其他范畴中，基本不等式可以带来一定的帮助、提升效率，并且为用户提供更精准的结果。
首先，基本不等式可以用于解决几何图形中的问题。
在几何图形上，基本不等式可以用来确定形状、约束大小和尺寸、判断相邻多边形边界等。
例如，可以使用三角不等式去确定诸如三角形的边界，以便分析三角形的面积、周长、外接圆半径等参数。
此外，基本不等式还可以应用于其他几何图形的解决方案，比如椭圆形、抛物线等，以更全面进行分析与计算。
其次，基本不等式可以用于统计技术上的应用，例如运用贝叶斯不等式实现数据的识别、比较、求和等操作。
它可以在统计分析中确定两个数量之间是否存在关系，以及应用于无限统计分布上，比如高斯分布等，以判断哪种概率分布适合哪种应用场景。
最后，基本不等式还可以应用于分析算法和函数优化领域。
例如，可以利用三角不等式去优化函数，以求解最优值，增强几何分析的效率。
此外，还可以使用拉格朗日不等式去筛选出特定约束之下的最优分析结果。
总而言之，基本不等式在许多数学应用中得到广泛应用，它可以更好地辅助分析、统计、优化算法、提升数据处理能力等多
种领域。
它不仅可以提升数学模型的准确性，而且可以实现更深入精准的结果。
以上的例子仅概述了基本不等式的基本应用，未来它在工程和科学领域的应用也将引起更多人的关注。
基本不等式常用方法
基本不等式常用方法
不等式在数学中有着广泛的应用，解决不等式时，常用的方法包括：
1. 代数方法
加减法：在不等式两边同时加上或减去相同的数字
乘除法：在不等式两边同时乘以或除以相同的正数，但若乘以或除以负数，则不等号需逆转
平方或取绝对值：当不等式中出现根式或绝对值时，可以平方或取绝对值，这时需要考虑平方或取绝对值后的符号变化
因式分解：将不等式中的多项式因式分解，然后根据因式之间的大小关系确定不等式的解
2. 几何方法
数轴法：将不等式表示在数轴上，不等号的符号决定了数轴上
被包含或排除的区域
直线法：当不等式涉及一次函数时，可以用直线方程表示不等式，直线上下方区域满足不等式
圆或椭圆法：当不等式涉及二次函数时，可以用圆或椭圆表示不等式，圆或椭圆内部或外部区域满足不等式
3. 代换法
代入法：给定不等式的解，将其代入不等式两边进行验证
换元法：引进新的变量，将不等式中的复杂表达式用新变量表示，简化不等式便于求解
4. 反证法
反证法：假设不等式不成立，推导出矛盾，从而证明不等式成立
背理法：假设不等式成立的否定，通过推理得到矛盾，从而证明不等式成立
5. 其它方法
分步传递法：将不等式分步传递，每一步都得到一个新的不等式，直到得到最终结果
数学归纳法：当不等式涉及自然数时，可以使用数学归纳法证明不等式对所有自然数成立
反例法：找出一个反例，证明不等式不成立。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用
基本不等式是初中数学中重要的不等式之一，它的实际应用非常广泛。
在生活中，我们经常会遇到需要比较大小的情况，比如购物打折、交通工具的选择等等。
而基本不等式就是帮助我们进行大小比较的数学工具。
在物品打折中，我们会看到“打X折”或“打X%折”，这时我们就需要通过基本不等式来比较打折前和打折后的价格大小。
比如说，某物原价为100元，打7折后价格为70元，打8折后价格为80元，我们可以使用基本不等式7/10<8/10来说明第二种打折方式更优惠。
在选择交通工具时，我们也需要比较不同交通工具的速度和费用大小。
比如说，某旅游景点离我们住处10公里，我们可以选择步行、自行车、公交车和出租车四种交通方式。
我们需要通过基本不等式来比较它们的速度和费用大小，从而选择最优的交通方式。
除此之外，基本不等式还可以应用于代数式的简化、三角函数的证明等数学领域。
在学习数学时，我们应该充分理解和掌握基本不等式的定义和运用，以便更好地应用于实际问题中。
- 1 -。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.问题的提出II.基本不等式的应用方法III.实际问题中的应用IV.结论正文（篇1）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题中发挥着越来越重要的作用。
本文旨在探讨基本不等式在解决实际问题中的应用方法。
首先，我们需要明确基本不等式的概念。
基本不等式是指两个或多个数相加或相乘，它们的和或积不超过另外两个数之和或积的等式。
基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程设计、财务管理、物流规划等领域。
其次，在解决实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的基本不等式。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度等。
最后，通过具体实例，我们可以看到基本不等式在解决实际问题中的有效性。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本，从而优化物流方案；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率，从而做出更明智的投资决策；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度，从而确保工程的安全性。
总之，基本不等式作为一种有效的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
目录（篇2）1.引言2.基本不等式的概念和性质3.应用基本不等式解决实际问题的方法4.结论正文（篇2）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为一种重要的数学工具，在解决实际问题中起到了关键作用。
基本不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用来解决各种实际问题，包括但不限于最大值、最小值、平均值等问题。
基本不等式是指“和的平方等于各加和的平方和”，即“a+b≥2√ab”。
它具有以下基本性质：一、乘法分配律；二、乘法结合律；三、二次方差恒等式。
这些性质使得基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用。
在解决实际问题时，我们需要将问题转化为基本不等式可以解决的问题。
新高考 核心考点与题型 不等式 第2节 基本不等式及其应用 - 解析
第2节 基本不等式及其应用1.重要不等式及几何意义重要不等式：如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.基本不等式：如果,a b是正数，那么2a b+≥a b =时取等号“=”） 要点诠释：222a b ab +≥和2a b+≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。
（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b+≥2()2a b ab +≤. 2.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =这个圆的半径为2ba +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b = 时，等号成立. 3.2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+，即平方平均数算数平均数几何平均数调和平均数≤≤≤，（均为正、b a ），可变形如下24)()2(2222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+，即上式的平方形式，其中调和不常用。
4.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0>x 求xx y 32+= 的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则xx y 32+= x 42≥右侧依然含有x ，则无法找到最值 （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此① 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中的重要概念，它在现实生活中也有着广泛的应用。
基本不等式的形式是：对于任意正实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立：(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)...(an^2+bn^2)≥(a1a2...an+b1b2...bn)^2这个不等式在实际应用中有很多用途，以下是其中几个：1.统计学中的方差方差是描述数据离散程度的一种指标。
当我们求解方差时，需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将数据样本的平均值表示为a，数据样本的每个值表示为xi，那么方差就可以表示为：Var(X)=1/n[(x1-a)^2+(x2-a)^2+...+(xn-a)^2]将Var(X)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解方差的公式。
2.概率论中的协方差协方差是描述两个随机变量关系的指标。
当我们求解协方差时，也需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将两个随机变量表示为X和Y，它们的期望值分别为a和b，那么协方差就可以表示为：Cov(X,Y)=E[(X-a)(Y-b)]将Cov(X,Y)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解协方差的公式。
3.物理学中的能量守恒定律能量守恒定律是物理学中的基本定律之一。
利用基本不等式，我们可以证明能量守恒定律的正确性。
具体而言，我们可以将能量表示为E，动能表示为K，势能表示为U，假设在一个系统中，动能的总和为K1，势能的总和为U1，动能的总和为K2，势能的总和为U2，那么根据基本不等式，我们可以得到以下结论：(K1+K2+U1+U2)^2≥(K1+U1)^2+(K2+U2)^2这个结论说明，系统中的能量总和不会增加或减少，总能量守恒。
这就是能量守恒定律的本质。
基本不等式三种应用(答案版)
基本不等式（一）考向一 基本不等式的理解1、《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．2(0,0)abab a b a b ≤>>+ D ．22(0,0)22a b a b a b ++≤>>【答案】D 【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a br +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()2222222()442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2222a b a b ++≤．故本题答案选Ｄ． 2、若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B. 1a ＋1b ＞1abC. b a ＋ab ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab答案：C3.若R b a ∈，，且0>ab ，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A ．ab b a 222>+ B ．ab b a 2≥+ C ．abba 211>+ D ．2≥+baa b 【答案】D4.已知)1,0(,∈b a 且b a ≠，则下列四个数中最大的数是（ ）A.22b a +B.ab 2C.b a +D.ab 2 【答案】C5.已知b a ，为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ） A ．ba +4 B ．ba 11+C ．ab2 D ．228ba + 【答案】B6.设b a <<0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2ab ab b a <<< B ．b ba ab a <+<<2 C ．2ba b ab a +<<<D ．b ba a ab <+<<2【答案】B7.若200=+>>b a b a ，，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是 ①1≤ab ；②2≤+b a ；③222≥+b a ；④333≥+b a ；⑤211≥+ba． 【答案】①③⑤考向二 运用基本不等式求最值 1、已知0x >．则9x x+的最小值为( ) A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】0x >，则A ．2、若0>ab ，则baa b +4的最小值为【答案】43、若实数y x ，满足1=xy ，则222y x +的最小值为4、已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 .234x y +≥5、已知0>a ，0>b ，若4=+b a ，则（ ）A.22b a +有最小值B.ab 有最小值C.ba11+有最大值 D.ba +1有最大值【答案】A6、已知0>a ，0>b ，若1=+b a ，则ab 的最大值是7、已知422=+b a ，则ab 的最大值为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．24【答案】A8、已知非负实数b a ，满足1032=+b a ，则b a 32+最大值是（ ） A ．10 B ．52 C ．5 D ．10【答案】B9、已知,x y 均为正实数，且3xy x y =++，则xy 的最小值为_________ 答案910、若x ,y ÎR +，且2x +y +6=xy 则xy 的最小值是________ 【答案】1811、已知正数b a ，满足62=++ab b a ，则b a 2+的最小值为 【答案】412、已知0>x ，0>y ，1642++=y x xy ．则xy 的最小值为 【答案】1613()63a -≤≤的最大值为（ ）A.9B.92C.3D.3()(3a a -构造条件应用基本不等式求最值考向一 拼凑系数法1、若函数()()122f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a =（ ）A ． 1+B ．1C ． 3D ．42,22(2)x f x >∴-等号当且仅当2x -=2、求3(2)(23)(2)2y x x x =-+-<< 的最大值为__________.3、（1）若2735x <<，则代数式()()3275x x --的最大值为________．（2）设00x y ≥，≥，221y x +=，则_________．4、已知5x <，求函数14245y x x =-+-的最大值． .54x <,∴145x =--14x -=5、（1)求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值． (2)已知x >3,则y =2x +8x -3的最小值5、设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
不等式在生活中的应用
不等式在生活中的应用不等式是数学中的一个重要概念，它是描述两个数之间大小关系的一种表示方法。
在生活中，不等式也有着广泛的应用。
本文将从不等式的基本概念、不等式在生活中的应用以及如何解决实际问题等方面进行探讨。
一、不等式的基本概念不等式是指两个数之间的大小关系，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
其中，“<”表示小于，例如“a < b”表示a比b小；“>”表示大于，例如“a > b”表示a比b大；“≤”表示小于等于，例如“a ≤ b”表示a不大于b；“≥”表示大于等于，例如“a ≥ b”表示a不小于b。
在不等式中，常常涉及到一些变量。
变量是指可以取不同值的数，例如“x”可以取任何实数。
因此，在不等式中，可以使用变量表示未知数，例如“x < 5”表示x小于5。
二、不等式在生活中的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。
例如，在制定物价政策时，政府需要考虑到生产成本、消费者需求和市场竞争等因素，从而确定商品的价格。
这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。
另外，在投资和理财中，人们也需要考虑到不同的利率、收益率和风险等因素，从而确定投资的方向和策略。
这些因素之间的关系同样可以用不等式来表示和分析。
2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在运动学中，人们需要考虑到速度、加速度和时间等因素，从而确定物体的运动状态。
这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。
另外，在力学中，人们需要考虑到物体的质量、重力和弹性等因素，从而确定物体的运动状态和受力情况。
这些因素之间的关系同样可以用不等式来表示和分析。
3. 生活中的应用不等式在生活中也有着广泛的应用。
例如，在购物时，人们需要考虑到商品的价格和自己的购买力等因素，从而确定购买的数量和品种。
这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。
另外，在健康管理中，人们需要考虑到身体的体重、身高和健康指数等因素，从而确定自己的身体状况和健康状态。
基本不等式的几何意义
在数学中，基本不等式是一种重要的数学工具，不仅可以用于证明和推导， 还可以应用于几何学中的各种问题。
基本不等式的定义
1 不等式表示
基本不等式是一个数学不等式，由一组数和一个不等于零的实数构成。
2 基本不等式的形式
形式上，基本不等式可以写成a≤b或a
3 例子
例如，一个简单的基本不等式是2＜3。
基本不等式的几何意义
几何意义
基本不等式在几何中表示了一 种大小关系。例如，对于平面 中的两个点A和B，基本不等式 a≤b可以表示点A与点B的距离。
空间几何
在三维空间中，基本不等式可 以表示平面与平面的位置关系， 例如判断两个平面是Байду номын сангаас相交。
几何图形
基本不等式还可以用于描述和 比较不同几何图形的尺寸、面 积和体积。
示例
基本不等式可以用于证明和推导三角形的性质， 如三边关系和角关系。
基本不等式可以用于比较和判断四边形的大小关 系，如长方形和正方形的面积比较。
基本不等式可以用于比较和判断多边形的大小关 系，如多边形的周长和面积。
基本不等式与面积的关系
几何图形
基本不等式可以应用于几何图形 的面积计算和比较，如三角形、 矩形和圆形的面积。
基本不等式的证明方法
1
数学归纳法
使用数学归纳法可以证明基本不等式，这种方法通常适用于递增或递减的数列。
2
反证法
通过假设基本不等式不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明基本不等式。
3
数学推导
利用已知的数学定理和公式，可以直接推导出基本不等式的正确性。
基本不等式在几何中的应用
应用领域
三角形 四边形 多边形
基本不等式及其应用
基本不等式在几何问题中的应用
1
应用一
基本不等式在三角形中的几何推导和实
应用二
2
际问题解决。
基本不等式在多边形的面积和边长关系
中的应用。
3
应用三
基本不等式在圆的内切多边形中的应用 和优化。Leabharlann 基本不等式在优化问题中的应用
最大化问题
如何利用基本不等式找到函数 的最大值和最优解。
基本不等式在函数中的应用
函数类型 线性函数 二次函数 指数函数
基本不等式应用
基本不等式在线性函数图像和方程的解空间中的 应用。
基本不等式在二次函数的极值和图像形状中的应 用。
基本不等式在指数函数的收敛性和增长趋势中的 应用。
基本不等式示例与证明
示例一
通过具体示例演示基本不等式的 应用和证明过程。
证明方法
介绍基本不等式的证明方法和常 用技巧。
示例二
另一个基本不等式的示例及其严 密证明。
基本不等式的常见应用
应用一
基本不等式在金融领域的应用， 如投资和利率计算。
应用二
基本不等式在物理学中的应用， 如力学和电磁学等。
应用三
约束条件问题
基本不等式在满足约束条件的 最优化问题中的应用。
最小化问题
如何利用基本不等式找到函数 的最小值和最优解。
基本不等式在数列中的应用
1 数列的收敛性
基本不等式在数列的收敛性判断中的应用和证明。
2 数列的上下界
通过基本不等式确定数列的上下界。
3 数列递推关系
基于基本不等式推导数列递推关系和极限。
基本不等式及其应用
基本不等式的八种应用技巧
基本不等式的八种应用技巧1. 代入数值验证基本不等式可以通过代入具体数值进行验证。
选择适当的数值，将其代入不等式中，计算结果来判断不等式是否成立。
通过验证可以确认不等式是否正确，确定不等式的适用范围。
2. 不等式的加减运算规则基本不等式在加减运算中有一些特殊规则，可以简化计算过程。
例如，不等式两边同时加上或减去一个相同的数值，不等式的关系不变。
对于复杂的不等式，通过使用加减运算规则可以简化计算。
3. 不等式的乘除运算规则基本不等式在乘除运算中也有一些特殊规则，可以简化计算。
例如，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式的关系不变；但是如果乘以或除以一个负数，则不等式的关系会发生改变。
熟练运用乘除运算规则可以有效处理复杂的不等式。
4. 不等式的倒数规则当基本不等式中的数值取倒数时，不等式的关系会发生改变。
原来大于的不等式变为小于，原来小于的不等式变为大于。
这一规则在处理负数或分数时尤为重要，需要注意倒数规则的运用。
5. 不等式的平方规则基本不等式的平方规则指的是取平方后不等式的关系会发生改变。
当不等式中的数值为正数时，取平方后不等式的关系保持不变；但是当不等式中的数值为负数时，取平方后不等式的关系会发生反转。
在处理含有平方的不等式时需要注意平方规则的运用。
6. 不等式的绝对值规则当基本不等式中出现绝对值时，需要根据绝对值的定义来处理。
根据绝对值的性质，可以将不等式分解为两个不等式来求解。
绝对值规则在处理含有绝对值的不等式时非常有用。
7. 不等式的开方规则当不等式中的数值开方后，不等式的关系可能会发生改变。
对于正数，开方不改变不等式的关系；但是对于负数，则需要特殊处理。
通过熟练掌握开方规则，可以更好地处理带有开方的不等式。
8. 不等式的数轴表示将不等式用数轴表示可以更直观地理解不等式的解集。
通过在数轴上绘制有向线段表示不等式的解集，可以更清晰地描述不等式的范围和解的情况。
数轴表示在不等式的可视化方面起到重要作用。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中一个经典的定理，它涉及到各种形式的数学问题，如求解优化问题、证明几何问题等。
本文将介绍基本不等式的实际应用。
一、求解优化问题基本不等式可以用来求解一类优化问题。
我们知道，若干个非负实数的和为定值时，它们的积最大的情况是它们的值相等，即当这些数都取到定值的平均值时积最大。
基本不等式提供了一个严格的证明。
设$a_1,a_2,\cdots,a_n$为$n$个非负实数，且$a_1+a_2+\cdots+a_n=S$，则有\begin{align*}(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2&=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)+2(a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)\\&\leq(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2+(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2\\&=(S-a_n)^2+S-nS+nS\\&=S^2,\end{align*}即$(a_1a_2\cdots a_n)\leq\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时取等。
因此若$n$个非负实数的和为定值$nS$，则它们的积最大为$\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当它们都等于定值的平均值时取到最大值。
这个结论对于优化求解问题具有指导意义。
例如，设$a,b$为两个非负实数，且$a+b=2$，则$ab\leq1$，当且仅当$a=b=1$时取到最大值。
这个结论可以用基本不等式轻松证明，进一步应用于某些数学问题的求解中。
二、证明几何问题基本不等式可以用来证明几何问题。
以平面上三角形的内心$I$为例，可以应用基本不等式证明$I$到三角形三顶点的距离之和等于半周长。
假设$I$到三角形三顶点的距离分别为$d_a,d_b,d_c$，半周长为$s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$，其中$a,b,c$为三角形的三边长。
21-22版 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用
反思感悟 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件 才能应用，否则会出现错误.
跟踪训练2 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花 坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知 AB＝4米，AD＝3米，当BM＝___4__时，矩形花坛AMPN的面积最小.
所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由
解 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一 由已知xy＝16， 由x＋2 y≥ xy，可知 x＋y≥2 xy＝8， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时， 所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二 由已知 xy＝16，可知 y＝1x6， 所以 2(x＋y)＝2x＋1x6≥2×2 x·1x6＝16.
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解 在Rt△ADP中， S△ADP＝12AD·DP＝12(12－x)12－7x2＝108－6x＋43x2(6<x<12). ∵6<x<12，∴6x＋43x2≥2· 6x·43x2＝72 2， 当且仅当 6x＝43x2，即 x＝6 2时取等号. ∴S△ADP＝108－6x＋43x2≤108－72 2， ∴当 x＝6 2时，△ADP 的面积取最大值 108－72 2.
内容索引
一、基本不等式在生活中的应用 二、基本不等式在几何中的应用
随堂演练
基本不等式的应用+课件--2024学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
1、对任意三个正实数，，，求证：
+ + ≥ + +
当且仅当 = = 时等号成立。
证明：因为，， > 0，由基本不等式，得：
+ ≥ 2 ， + ≥ 2 ， + ≥ 2
把上述三个式子的两边分别相加，得：2( + + ) ≥ 2( + + )
1
2
1
时等号成立
2
因此，当 = 时，函数取到最大值
1
2
典型例题
3、设，为正数，证明下列不等式：
1
（1） + ≥ 2；
（2）
+
≥ 2.
证明：（1）由基本不等式，得：
1
+
1
≥2 ∙ =2
1
当且仅当 = ，即 = 1时等号成立，所以原不等式成立。
（2）由基本不等式，得：
当且仅当
+
≥2
∙
=2
= ，即 = 时等号成立，所以原不等式成立。
4
拓 展 提 高
拓展提高
某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的
两端用半圆弧相连接。已知这块绿景观地带的内圈周长为400m，
当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
拓展提高
解：设平行线段长为m，半圆形直径为m，中间矩形区域面积为2
即
+ + ≥ + +
基本不等式及其应用详细讲解
基本不等式及其应用详细讲解好嘞，今天咱们就来聊聊“基本不等式”这个话题，听上去可能有点儿深奥，其实说白了就是一些很实用的小窍门。
你知道吗，基本不等式就是我们生活中的一些道理，很多时候我们做事情都得考虑到这些。
比如说，咱们买东西的时候，常常会遇到“便宜没好货”这句话，对吧？这就是一个不等式的道理！说到不等式，可能你会想起一些公式，什么“a+b大于等于2根号ab”，听起来像外星语一样，但其实道理很简单。
想象一下，你跟朋友一起去吃饭。
你们点了几个菜，账单一分，结果你朋友说，“哎，要不咱们均摊一下吧！”这时候，你心里可能会想，“这不公平呀！我吃得多，他吃得少。
”这就是不等式的影子。
其实不等式就在我们生活的每一个角落，它能帮助我们更好地理解一些事情。
比如，咱们有时候为了省钱，买一些打折的东西，心里想着，“便宜又好”，可是往往等到货到手，才发现这真是个悲剧，结果只好在心里默默念叨：“真是便宜没好货。
”所以，有时候我们得接受现实，明白一点：一分钱一分货，别想着天上掉馅饼。
说到基本不等式，大家最熟悉的就是“柯西不等式”和“阿美尔不等式”了。
这两个名字听上去像是数学家的名字，其实它们就像是生活中的法则，指引着我们。
咱们先说柯西不等式，简单来说，就是用来描述两个数之间的关系。
比如说，咱们有两个数a和b，如果你把它们的平方和拿来比较，结果永远不会比直接的平方和小。
这就好比你跟朋友一起去健身，最后发现你们的努力加起来，效果总比各自单打独斗要好。
换句话说，团结就是力量，嘿嘿！然后再来聊聊阿美尔不等式，这个名字听着像个外国名媛，其实它的核心是“均值”。
想想，如果你有很多个数，把它们的平均值算出来，往往能给你一个更清晰的视角。
你可能会说：“这跟我有啥关系？”它就像你在做选择的时候，算是个小参考，比如说选个电影，虽然你可能喜欢的类型不同，但最后总能找到一个大家都能接受的中间点。
就像有时候在选择吃的，大家最后总是能找到一个大家都能接受的餐厅。
基本不等式性质
基本不等式性质“基本不等式性质”是数学领域中一个有用的话题，它涉及到一些数学模型。
不等式性质可以用来描述和分析复杂问题，帮助研究者深入认识和理解数学模型。
从定义上讲，基本不等式性质是指可以用不等式来定义系统行为的性质。
它有许多类型，比如，偏微分方程不等式性质，椭圆型不等式性质，圆形不等式性质，开口的不等式性质，多项式不等式性质，及其他一般不等式性质。
这些不等式性质通常是模型的基本性质，可以用来描述和分析系统行为。
偏微分不等式性质是最常见的基本不等式性质之一。
它基于泰勒展开（Taylor expansion），旨在描述某一变量的函数的变化趋势，用一组偏微分的不等式来描述某一函数的变化趋势。
具体而言，变量的函数的变化趋势可以用某个函数的偏微分不等式性质来描述：当变量的值大于某一指定的值时，所考虑函数的偏导数也大于某一指定的值；当变量的值小于某一指定的值时，所考虑函数的偏导数也小于某一指定的值。
椭圆型不等式性质是另一类重要的基本不等式性质。
在椭圆型不等式性质中，变量的函数的变化趋势可以用两个不等式组成，以描述某一变量的函数的变化趋势：当变量的值大于某一指定的值时，一个不等式会产生椭圆型;当变量的值小于某一指定的值时，另一个不等式会产生椭圆型。
此外，还有另外一类重要的基本不等式性质，即圆形不等式性质。
在圆形不等式性质中，变量的函数的变化趋势可以用一个圆形不等式来描述。
这个不等式的确定性的定义是某一变量的函数的某个变量大于某一指定的值，其值小于另一变量。
另一个有用的基本不等式性质是多项式不等式性质。
这里，变量的函数的变化趋势可以用多项式不等式来描述某一函数变化趋势：当某一变量大于某一指定的值时，多项式不等式会产生一个多项式函数;当另一变量小于某一指定的值时，另一个多项式不等式会产生另一个多项式函数。
最后，开口的不等式性质也是一种重要的基本不等式性质。
这个不等式性质可以用来描述某一变量的函数的变化趋势：当某一变量大于某一指定的值时，一个不等式会产生一个开口的函数;当另一变量小于某一指定的值时，另一个不等式会产生另一个开口的函数。
基本不等式几何解释半圆模型
基本不等式几何解释半圆模型
基本不等式是数学中一个重要的不等式，它可以用于证明许多其他不等式。
几何解释半圆模型是一种用几何图形来解释基本不等式的新方法，它可以帮助我们更好地理解不等式的几何意义。
让我们考虑基本不等式的表述：对于任何实数 a、b、c，有: a + b ≥ c
a + c ≥ b
b +
c ≥ a
我们可以用几何图形来解释这个不等式。
想象一个半圆壳，其中左半边是一个上凸的半圆，右半边是一个下凸的半圆。
我们将不等式中的三个实数 a、b、c 分别表示为半圆的上凸部分和下凸部分的半径，即:
a = π/2 - r1
b = π/2 - r2
c = π/2 - r3
其中，r1、r2、r3 分别是半圆壳的上凸部分和下凸部分的半径。
那么，我们可以将基本不等式表示为:
π/2 - r1 + π/2 - r2 ≥π/2 - r3
即:
(π/2 - r1) + (π/2 - r2) ≥ (π/2 - r3)
化简后，可以得到:
π/2 - r1 + π/2 - r2 ≥π/2 - r3
π/2 - r1 ≥π/2 - r3
r1 ≥ r3
这个几何解释可以帮助我们更好地理解基本不等式的几何意义。
在数学中，基本不等式可以用来证明许多其他不等式，例如柯西不等式、排序不等式等等。
通过几何解释，我们可以更好地理解这些不等式的几何意义，从而更好地理解和应用它们。
此外，半圆模型还可以用于解释其他一些数学概念，例如极值问题、最值问题等等。
通过这种几何解释方法，我们可以更好地理解数学概念，从而更好地应用它们。
圆的最值问题解题技巧
圆的最值问题在数学中是一个非常重要且常见的问题。
解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些解决圆的最值问题的技巧，并提供一些实例以便更好地理解这些技巧。
一、理解圆的基本概念在解决圆的最值问题之前，我们首先要对圆的基本概念有一个清晰的理解。
圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。
圆心是这个固定点，半径是连接圆心与圆上任意一点的线段的长度。
二、圆的最值问题的分类圆的最值问题可以分为两类：圆的周长最值问题和圆的面积最值问题。
1. 圆的周长最值问题圆的周长是围绕圆的边界走一圈所经过的路径长度。
当半径给定时，圆的周长最大值出现在圆的直径上，最小值出现在圆的半径为零的点上。
2. 圆的面积最值问题圆的面积是圆内部的区域的大小。
当圆的半径给定时，圆的面积最大值出现在半径最大的圆上，最小值出现在半径为零的点上。
三、解决圆的最值问题的技巧解决圆的最值问题需要使用一些数学工具和技巧。
下面列举一些常用的技巧：1. 构造函数对于圆的最值问题，可以通过构造一个函数来描述圆的特性。
例如，对于圆的周长最值问题，可以构造一个函数表示周长与半径之间的关系。
通过求导或者应用相关的数学方法，可以找到函数的最值点。
2. 应用不等式在解决圆的最值问题时，可以应用一些不等式来限制变量的取值范围。
例如，当半径为正数时，圆的面积大于等于零。
通过应用这个不等式，可以得到一些限制条件，帮助解决最值问题。
3. 应用几何性质圆的最值问题可以利用圆的几何性质进行求解。
例如，圆的周长与直径之间有一个定理，即周长等于直径乘以π。
通过应用这个几何性质，可以得到一些等式或者关系，帮助求解最值问题。
四、实例分析为了更好地理解解决圆的最值问题的技巧，以下提供两个实例进行分析。
实例1：求半径为r的圆的面积的最大值。
解析：根据圆的面积公式，可以得到圆的面积A等于π乘以半径的平方。
因此，问题可以转化为求函数A=πr^2的最大值。
通过求导，可以得到函数A'=2πr。
2.2基本不等式
学习目标
1.理解基本不等式的内容及证明．2.能应用基本不等式解决比较大小、证明不等式等问题．
基本不等式
若a>0，b>0，则
≥
通常我们把上式写作：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围：
a>0,b>0
新课引入
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
2. 利用基本不等式求最值
a
b
o
A
B
P
Q
一、对基本不等式的几何意义作进一步探究:
AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=_____,半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长。
注意:
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
已知 都是正数，求证： .
证明：
证明：
能否证明不等式：
调和平均数
平方平均数
证明:
平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
二、利用基本不等式求最值
解：
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a，b必须是正数.（一正）(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值； 在ab为定值时，便可以知道a+b的最小值. （二定）(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）
已知x<0,求函数 的最大值
利用基本不等式求最值，首先要满足“一正”
当x=3是函数有最小值6三、课堂小练CC NhomakorabeaC
小结：
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
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1.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
解析 由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫|PA |＋|PB |22
≤|PA |2＋|PB |
2
2＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2. 答案 B
2.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ＞0，c ＞0)经过圆C ：x 2＋y 2
－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c
的
最小值是( )
A ．9
B ．8
C ．4
D ．2
[解析] 把圆x 2
＋y 2
－2y －5＝0化成标准方程为x 2
＋(y －1)2
＝6，所以圆心为C (0,1)．
因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，
所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.又b ＞0，c ＞0， 因此4b ＋1c
＝(b ＋c )⎝ ⎛⎭
⎪⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b
c
＋5≥2
4c b ·b
c
＋5＝9.
当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1
c 取得最小值9.
3．若直线mx ＋ny ＋2＝0(m ＞0，n ＞0)被圆(x ＋3)2＋(y ＋1)2
＝1所截得的弦长为2，则1m ＋
3n
的最小值为( )
A ．4
B ．6
C ．12
D ．16
解析：选B 圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，所以－3m －n ＋2＝0，3m ＋n ＝2，所以1m ＋3n ＝12(3m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋3n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋n m ＋9m n ≥
1
2
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
6＋2 n m ·9m n ＝6，当且仅当n m ＝9m n 时取等号，因此1m ＋3n 的最小值为6，故选B.
4．点M(x ，y)在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2
＋12x －12y －150－a ，且t
的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋
，则1a ＋1＋1b
的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】曲线C ：x 2－4y ＋y 2－21＝0可化为(x －2)2＋y 2
＝25，表示圆心为A (2，0)，半径为
5的圆．t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2
－222－a ，
(x ＋6)2＋(y －6)2
可以看作点M 到点N (－6，6)的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为|AN |＋5，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，
所以直线AN 的方程为y ＝－3
4
(x －2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34（x －2），（x －2）2＋y 2＝25，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝6，y 1＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 1＝3(舍去)，
∴当⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－3时，t 取得最大值，且t max ＝(6＋6)2＋(－3－6)2
－222－a ＝b ，
∴a ＋b ＝3，
∴(a ＋1)＋b ＝4，
∴1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
a ＋1＋1
b [(a ＋1)＋b ]
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1＋a ＋1b ＋2≥1， 当且仅当b a ＋1＝a ＋1
b
，且a ＋b ＝3，即a ＝1，b ＝2时等号成立．
【答案】A
5.(2018·安阳模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取
值范围是( ) A.⎝
⎛
⎭⎪⎫0，14
B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，14
C.
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，14
D.
⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，14 解：将圆C 1与圆C 2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx ＋(k －2)y －4＝0，即k (x ＋y )－(2y ＋4)＝0，由⎩⎨⎧2y ＋4＝0，x ＋y ＝0得⎩⎨⎧x ＝2，
y ＝－2，
即P (2，－2)，因此2m ＋2n －2＝0，∴m ＋n ＝1，则mn ≤⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1
4，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴mn 的取值范围是⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，14.
6．[与不等式交汇]已知圆x 2＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3
b
的最小值是( )
A ．2 3 B.203 C ．4
D.
163
解析：选D 由圆x 2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9，∵圆x
2
＋y 2
＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，
∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2
3a
b ·3b a ＝163
， 当且仅当3b a ＝3a
b
，即a ＝b 时取等号，故选D.
7.已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2
＝1外切，则ab 的最大值为( )
A.
6
2
B.32
C.94
D ．2 3
[解析] 由圆C 1与圆C 2外切，可得a ＋b
2
＋－2＋
2
＝2＋1＝3，即(a ＋b )2
＝9.根
据基本不等式可知ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94
，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.
[答案] C
8．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2
＋y 2
＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )
A ．5 B.4 C ．3
D ．2
解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝
1
m 2＋n 2
＝3，所以m 2＋n 2＝1
3≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤1
6，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
m ，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1
n ，所以
△AOB 的面积S ＝1
2|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.
9．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B．135° C．120° D．不存在 答案 A
解析 由y ＝2－x 2
，得x 2
＋y 2
＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．
显然直线l 的斜率存在，
设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，
则圆心到此直线的距离d ＝
|－2k |1＋k
2
，
弦长|AB |＝2
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|－2k |1＋k 22＝2 2－2k
2
1＋k
2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |
1＋k 2
×2 2－2k
2
1＋k
2 ≤
k
2
＋2－2k
2
＋k
2
＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2
＝13时等号成立，
由图可得k ＝－
33⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.
10．圆x 2＋y 2
＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b
的最小值是
( ) A ．2 3 B.203 C.323 D.
163
答案 C
解析 由圆x 2
＋y 2
＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2
＋(y －6)2
＝39，∵圆x 2
＋y
2
＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0， ∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝
⎛
⎭⎪⎫10＋2
3a b ·3b a ＝32
3
， 当且仅当3b a ＝3a
b
，即a ＝b 时取等号，故选C.。