人教版数学八年级上册期末复习讲义(四)整式的乘法与因式分解

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人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习

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23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时，原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运用整体思想代入求值.
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解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.

人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳

整式的乘法同底数幂的乘积为正整数）n m a a a n m n m ,(+=∙注意点：（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）前提必须是同底数，指数才可以相加（3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，（4）指数都是正整数（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即为正整数）p n m a a a a p n m p n m ,,(++=∙∙（6）不要与整式加法相混淆。

（7）这个公式是可逆的为正整数）n m a a a n m n m ,(∙=+类型一：x 3·x 4 = x n ·x 4= ________3=⋅a a________32=⋅⋅a a a ； 3x 2·x n ·x 4==⨯⨯252222 =∙+12n n y y ；类型二：(1) 已知xm-n ·x 2n+1=x 11,且y m-1·y 4-n =y 5,求mn 2的值。

(2)若22m ·8=2n,则n=类型三：(1)、 (- )(- )2(-)3 (2)、 -a 4·(-a)4·(-a)5(3)、 (x-y)3(y-x)(y-x)6 （4）、 201220112-)-2(）（+类型四：已知2a =3, 2b =6, 2c=12，试探究a 、b 、c 之间的关系；1. 幂的乘方为正整数）n m a a mn n m ,()(=注意点：（1）幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式。

（2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆（3）公式的可逆性：为正整数）n m a a n m n m ,()(=+；为正整数）n m a a a m n m n n m ,()()(=（4）公式的扩展:为正整数）p n m a a m np p n m ,,(])[(=为正整数）,,()(])[(n m b a b a m n n m +=+类型一：(a 3)5 = ; =-3)(3m x ; =∙n a a 32)( ;[(a+b )2]3= ; [(a 2)5]3= ;类型二：【例1】若3y 2x 5,35,25+==求y x【例2】若,510,410==m n 求,101032m n +的值；【例3】已知3344555,4b ,3a ===c ，试比较a,b,c 的大小;2. 积的乘方()为正整数）n b a n n (ab n =注意点：（1）注意与前二个法则的区别：（2）积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方()为正整数）n a a a a a a a nm n n m (a 321n 321 =∙∙ （3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式（4）每个因式都要乘方，然后将所得的幂相乘（5）公式的可逆性：()为正整数）n b a n n (ab n= (6) 幂的乘方,积的乘方的可逆性： a mn =(a m )n =(a n )m类型一：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a类型二：【例1】当ab=，m=5, n=3, 求(a m b m )n的值。

(完整版)八年级上册数学数与代数专题期末复习讲义

期末复习复习（二）—代数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容整式的乘除，分式课型教学目标1.会运用法则、乘法公式进行整式的乘除运算．2.通过对提公因式法和公式法的教学，让学生灵活地解决因式分解的题目/．3.掌握分式的基本运算，熟练解决分式的应用。

重、难点整式的乘法运算；因式分解；分式知识导图导学一整式的乘除知识点讲解 1：幂的运算例 1. 下列算式中：① (a3)3＝a6；②[(x2)2]3＝x12；③y·(y2)2＝y5；④[(－x)3]4＝－x12，其中正确的有．例 2. 计算：(1)－ab2(3a2b－abc－1) (2)(－5ab2x)·(－a2bx3y)例 3. 已知3x＋5y＝8，求8x·32y的值．我爱展示1. 计算：（1）（2）2. 已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式。

3. 当时，= .4. 已知,则的值为.5. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22015，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22016将下式减去上式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1即1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．知识点讲解 2：乘法公式例 1. [单选题] 下列计算正确的是（）A． B.C. D.例 2. 计算：（1） (2)(3) (4)例 3. 化简求值：，其中.我爱展示1. [单选题] 计算的结果正确的是（）A． B. C. D.2. [单选题] 若，，则的值为（）A. B. C.1 D.23. [单选题] 有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+b B．2a+b C．a+2b D．3a+b4. ，则.5. [单选题] 已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝ ( )A.10B.6C.5D.36. 已知，则= ．7. 先化简，再求值：（1）其中.(2) ，其中.知识点讲解 3：因式分解例 1. [单选题] 下列因式分解正确的是（）A. B.C. D.例 2. [单选题] 把多项式分解因式的结果是（）A. B. C. D.例 3. 已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为（均为整数）,且满足,求的值.我爱展示1.若，，则代数式的值是．2.分解因式：（1）（2）(3) 3. 先化简，然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值．4. [单选题] 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.a(x－y)＝ax－ayB.x2－1＝(x＋1)(x－1)C.(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋15. [单选题] 可利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)分解因式的是 ( )A.x2－3x＋2B.3x2－2x＋1C.x2＋x＋1D.3x2＋5x＋7导学二分式知识点讲解 1：分式的基本概念例 1. [单选题] 分式的值等于0时，x的值为（）A．±2B．2 C．－2 D.我爱展示1.[单选题] 要使的值为0，则m的值为（）A．3 B．－3 C．±3D．不存在2.当时，分式有意义.3. [单选题] 下列式子：，，，，，b，其中是分式的个数有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个知识点讲解 2：分式的运算例 1. [单选题] 下列运算正确的是（）A. B. C. D.例 2. 计算：（1）（2）例 3. 计算：（1）我爱展示1. [单选题] 如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值（）A．扩大为原来的10倍B．扩大为原来的5倍C．缩小为原来的D．不变2. 先化简，再求值：(1－)÷－，其中x满足x2－x－1＝0.3.先化简：÷(－ )，再从－2＜x＜3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值．4.先化简，在求值：，其中.5.[单选题] 已知为实数，且，设，则M、N的大小关系是（）.A.M=NB.M>NC.M<ND.不确定知识点讲解 3：分式方程的解及解法例 1. [单选题] 把方程去分母正确的是( )A. B.C. D.例 2. [单选题] 解分式方程分以下四步，其中错误的一步是( )A. 方程两边分式的最简公分母是B. 方程两边都乘以，得整式方程C. 解这个整式方程，得D. 原方程的解为例 3. [单选题] 若关于x的分式方程－1＝无解，则m的值为（）A．－B．1 C．－或2 D．－或－例 4. 已知关于x的分式方程＝1的解为负数，求a的取值范围．我爱展示1.[单选题] 关于x的方程的解为,则a的值为（）A.1B.3C.-1D.-32.[单选题] 若关于x的分式方程＝2－的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，33.已知关于x的分式方程－＝0无解，求a的值．4.若有增根，则增根是，k= .5.若分式无意义，当时，则m= .知识点讲解 4：分式方程的实际应用例 1. 某文化用品商店用2000元购进一批小学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果第二批用了2600元.若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？例 2. 王师傅检修一条长600米的自来水管道,计划用若干小时完成,在实际检修过程中,每小时检修管道长度是原计划的1.2倍,结果提前2小时完成任务,王师傅原计划每小时检修管道多少米?我爱展示1.[单选题] 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x 人，那么x满足的方程是（）A. B. C. D.2.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？3.[单选题] 完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时4.一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为v千米/时，则它以最大航速顺流航行s 千米所需的时间是．5.甲、乙两地相距50km，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．导学三专题培优知识点讲解 1：乘法公式的灵活运用例 1. 用简便方法计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1.例 2. 如果a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．例 3. 已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值例 4. 对于任意一个正整数n，整式A=（4n+1）（4n-1）-（n+1）（n-1）能被15整除吗？请说明理由.我爱展示1. 计算：（1）(a＋b)3 （2）(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)2. 已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝16，求xy的值.3.已知求的值.4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的和与差的乘积，那么我们就称这个正整数为“和谐数”，如4=（2+0）（2-0），12=（4+2）（4-2），20=（6+4）（6-4），因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.（1）当28=（m+n）(m-n)时，m+n= ；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？知识点讲解 2：因式分解的应用例 1. [单选题] 计算：.例 2. △ABC的三边长分别为，且，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由.例 3. 如果是整数，且,求的值.我爱展示1.已知可因式分解成,其中均为整数，求的值.2.不解方程组，求的值.3.已知为△ABC的三角边的长，试判断代数式的值的符号，并说明理由4.如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成4个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中阴影部分的面积为；(2)观察图2，请你写出式子(m＋n) 2，(m－n) 2，mn之间的等量关系：； (3)若x＋y＝－6，xy＝2.75，则x－y＝； (4)实际上有许多恒等式可以用图形的面积来表示，如图3，它表示等式：．5.某商业大楼共有四层，第一层有商品种，第二层有商品种，第三层有商品种，第四层有商品种，若，则这座商业大楼共有商品多少种？知识点讲解 3：分式的条件求值例 1. 已知＋＝3，求的值．【学有所获】归一代入法：将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入，使分子、分母化归为同一个只含相同字母积的分式，便可约分求值．例 2. 已知a2－a＋1＝2，求＋a－a2的值．【学有所获】整体代入法：将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值．例 3. 已知＝＝，求的值．【学有所获】设辅助元代入法：在已知条件中有连比或等比时，一般可设参数k，往往立即可解．例 4. 已知m2＋＝4，求m＋和m－的值．【学有所获】构造互倒式代入法：构造x2＋＝(x± )2∓2迅速求解，收到事半功倍之效．例 5. 已知3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求的值．【学有所获】主元法：若两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数，联立解方程组，思路清晰、解法简洁．例 6. 已知x＋＝3，求的值．【学有所获】倒数法：已知条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法则对分式进行拆分，然后将三个已知式相加，这样解非常简捷．我爱展示1.已知－＝5，求的值．2. 已知a＋b＋c＝0，求c( ＋ )＋b( ＋ )＋a( ＋ )的值．3. 已知＝＝≠0，则的值为.4. 已知三个数x、y、z满足＝－2，＝，＝－ .求的值．5. 若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0(xyz≠0)，求代数式的值．6. 已知，求式子的值.6.已知，求的值.限时考场模拟______ 分钟完成1. [单选题] 若9x2－kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值（）A．6 B．±6C．12 D．±122.在横线填上“+”或“－”，使等式成立:（1）(y－x)2= (x－y)2; （2）(1－x)(2－x)= (x－1)(x－2)3.[单选题] 下列关于x的方程中,是分式方程的是( )A. B. C. D.3x-2y=14. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是．5.[单选题] 每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，则这种杂拌糖每千克的价格为（） A．元B．元C．元D．元6.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ac=0，试判断△ABC的形状，并说明理由。

人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件

不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36

人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解知识点归纳

人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳14.1整式的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

字母表示：a m·a n=a m+n(m,n都是正整数)例1、22×23=22+3=25同底数幂相除，底数不变，指数相减。

字母表示：a m÷a n=a m−n(a≠0,m,n都是正整数，且m＞n)例2、28÷22=28−2=26规定：任何一个不等于0的数的零次幂都等于1 。

字母表示：a0=1(a≠0)例3、30=1，1000=1。

0的零次幂无意义。

一个数的负指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数。

字母表示：a−m=1a m(a≠0,m是正整数)例4、3−2=132=19，4−3=143=164。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

字母表示：(a m)n=a mn(m,n都是正整数)例5、(x2)3=x2×3=x6积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

字母表示：(ab)n=a n b n(n是正整数)例6、(xy)3=x3y3公式推广：(a m b n)p=a mp b np例7、(x3y5)4=x3×4y5×4=x12y20整式的乘法法则：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。

例8、5a2b3×2a4b2=10a6b5②如果在单项式与单项式相乘过程中，对于只在一个单项式里含有的字母，就要连同它的指数作为积的一个因式。

例9、5a2b3×2c4=10a2b3c4③单项式与多项式相乘，就要用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例10、5a2b3×(3a5+4b2c3)=5a2b3×3a5+5a2b3×4b2c3=15a7b3+20a2b5c3④多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例11、(4x+2)(5x−3)=20x2−12x+10x−6=20x2−2x−6整式的除法法则：①两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式。

人教版八年级数学上册课件：14章整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)

A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则：系数、同底数幂分别相除只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.

人教版八年级数学上册作业课件第十四章整式的乘法与因式分解章末复习(四) 整式的乘法与因式分解

17．已知a－b＝5，ab＝3，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值. 解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2.当a－b＝5，ab＝3 时，原式＝3×52＝75 18．已知x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．解：∵x2－y2＝12，∴(x＋y)(x－y)＝12. 又x＋y＝3，∴x－y＝4.∴2x＝7. ∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
【核心素养】 19．【数形结合思想】数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形， C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图②的大正方形．
(1)观察图②，请你写出下列三个代数式：(a＋b)2，a2＋b2，ab之间的等量关系_(_a_＋__b_)_2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_；
知识点二整式的乘除运算 6．下列运算正确的是( D ) A．x·2x2y2＝2x2y2 B．(a－2)2＝a2－4
C．(－2a2)3÷(a2 )2＝－16a D．(2a2－a)2÷a2＝4a2－4a＋1
7．(河北中考)墨迹覆盖了等式“x3 x＝x2(x≠0)”中的运算符号，则覆盖的是( D ) A．＋ B．－ C．× D．÷
(2)若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的矩形，则需要A种纸片1张，B种：
①已知：a＋b＝5，a2＋b2＝11，求ab的值； ②已知(x－2 018)2＋(x－2 020)2＝20，求x－2 019的值．
解：(3)①∵a＋b＝5， ∴(a＋b)2＝25，即a2＋b2＋2ab＝25. 又∵a2＋b2＝11，∴ab＝7 ②设x－2 019＝a，则x－2 018＝a＋1，x－2 020＝a－1. ∵(x－2 018)2＋(x－2 020)2＝20， ∴(a＋1)2＋(a－1)2＝20，整理得a2＝9，即(x－2 019)2＝9. ∴x－2 019＝±3

第14章整式的乘法与因式分解人教版八年级上册第十四章章末复习

(3)xy2－x＝__x_(y_＋__1_)_(y_－__1_)__.
8．若x2＋kx－10＝(x－5)(x＋2)，则k的值为____－__3____．
9．已知m＋3n＝5，则2m＋6n＋2＝___1_2____．
第十四章章末复习
10．计算： (1)(2a＋3b)(2a－b)； (2)(12x3＋6x2 )÷3x. 解：(1)原式＝4a2－2ab＋6ab－3b2
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
第十四章章末复习
3.计算： (1)x3y·3y2＝___3_x_3_y_3 ___； (2)2x(3x2－x)＝__6_x_3－__2_x_2__； (3)8a5b3÷(－4a2b)＝__－__2_a_3_b_2 __．
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第十四章章末复习
4．计算： (1)2a2·ab2＋ab·(－a2b)； (2)(3x－4y)(x＋2y)； (3)(6m4－8m2n2)÷2m2.
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基础练习
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第十四章章末复习
1．(2023吉林)下列各式运算结果为a5的是( B )
A．a2＋a3
B．a2·a3
C．(a2)3
D．a10÷a2
2．(2023赤峰)下列运算正确的是( A )
A．(a2b3)2＝a4b6
B．3ab－2ab＝1
C．(－a)3·a＝a4
D．(a＋b)2＝a2＋b2
解：(1)原式＝2a3b2－a3b2＝a3b2. (2)原式＝3x2＋6xy－4xy－8y2＝3x2＋2xy－8y2. (3)原式＝6m4÷2m2－8m2n2÷2m2＝3m2－4n2.
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第十四章章末复习
乘法公式 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)

八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）；怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是：（3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加即可.

人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结

人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结一、整式的乘法1、同底数塞相乘，底数不变，指数相加。

a m a n=a m+n（rn,八都是正整数）2、当基的指数是和的形式时，可以逆运用同底数零乘法法则，将塞指数和转化为同底数累相乘,然后把塞作为一个整体带入变形后的累的运算式中求解。

都是正整数）0m+n=0m.α,m,n3、塞的乘方，底数不变，指数相乘。

（Qmyl—aτnn（m,n都是正整数）4、与幕的乘方有关的混合运算中，一般先算累的乘方,再算同底数事的乘法，最后算加减，然后合并同类项。

5、比较底数大于1的事的方法有两种：（1）底数相同，指数越大，塞就越大。

（2）指数相同，底数越大，塞就越大。

6、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的塞相乘。

（而广=QRnm为正整数）7、运用积的乘方法则时要注意：公式中a,b代表任何代数式，每一个因式都要"乘方"，注意结果的符号、幕指数及其逆向运用。

8、单项式与单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数事分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

9、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

10、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

11、同底数塞的除法：同底数累相除，底数不变，指数相减。

a rn÷a n=a m n（m,m都是正整数，并且m>n）12、单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数基分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

13、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，就是用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

二、乘法公式1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。

人教版八上数学第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)课件

(3) (-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy2
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
填空：
(1)(a __3_)2 a2 6a _9__ (2)(2x _5__)2 4x2 _2_0x_ 25 (3)a2 b2 (a b)2 __2a_b__ (4)(x y)2 __4_x_y__ (x y)2
(2) 先化简，再求值:
(a2 -2b2) (a+2b) -2ab(a-b)
其中
a=1,b=
1 2
.
公式的反向使用
amn am n an m
已知10a＝4，1 0b＝7，求下列各式的值（1）1 02a3b （2）1 02a 103b
公式的反向使用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）反向使用: an·bn = (ab)n
= abc mmm
你找到了多项式除以单项式的规律吗？
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
例题
例题解析
例3 计算：
（2）原式= =
xy2 (1 xy)
2
2 y
(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c) =a8b4c2
(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2 =4x2y2
幂的乘方
a a ( m ) n = mn
整式
积的乘方
( ab
n
)=
an b n
的乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
单项式与多项式相乘 m(a+b)= ma+mb
多项式的乘法(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn

人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解复习ppt精品课件

精讲·精练
★ 3 .把下列各式因式分解：
1x2 6xy9y2
(2).7(mn)3 21(nm)2
解：原式 x2 6xy3y2 解：原式 7(mn)321(
x3y2
7(mn)2(mn3)
3a4x2 a4 y2
解：原式 a4 x2 y2
= (x-y)(a+b) (a-b)
平方差公式
(3) 2x2y－8xy+8y 解：原式=2y(x2-4x+4)
提公因式
= 2y(x-2)2
完全平方公式
精讲·精练
★ 例3：请对下列各式进行因式分解：
( 4 )x .2 ( 1 ) 2 4 x (x 2 1 ) 4 x 2 解：（ x 2 1 原） 2 2 2 x 式 ( x 2 1 ) ( 2 x ) 2
a2 - 2 b a + b
2
[(x21)2x]2
(x22x1)2
[(x1)2]2
(x 1)4
点评: 本题侧重整体思想,注意理解公式中的a,b还可以是多项式.
精讲·精练
★ 例3：请对下列各式进行因式分解：
a
b
5 .x ( 2 ) 2 ( 2 x 1 ) 2
解:原式= (x2)+ (2x1) (x2)- (2x1)
a4x yx y
(4).4(xy)2 20(xy)25 解：原式 [2(xy)]2 22(xy) [2(xy)5]2 (2x2y5)2
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？

串讲04 整式的乘法与因式分解八年级数学上学期期末考点(人教版)

点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形.
知识串讲
考点五、因式分解
【例5-2】如图所示,在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正
方形,把剩下的部分拼成梯形,分别计算这两个图形的阴影部分
am ·an =__a_m__+_n_(m、n为正整数)
2.幂的乘方：底数__不__变____,指数_相__乘___.
a a ( m)n =________m__n__(m、n为正整数)
3.积的乘方：积的每一个因式分别_乘__方__，再把所
得的幂_相__乘__.
ab a b (
n
)
=_____n_____n__(m、n为正整数)
(2)原式＝(－6x2y·13xy2)[(x－y)3·(x－y)2]＝－2x3y3(x－y)5.
【方法归纳】(1)互为相反数的两数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数；
(2)当底数是一个多项式时，把这个多项式看成一个整体计算；
(3)在混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减．
考点二、整式的乘法
【例 2-2】计算：
3.多项式除以单项式：
多项式除以单项式，就是用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 .
知识串讲考点三、整式的除法【例3-1】计算 4x4y3z÷3x2z .
解析：本题考查的是单项式除以单项式的运算法则，观察被除式与除式中，字母y只在被除式中出现，所以作为商直接写下来，其他的依次计算.
4x4 y3z 3x2 z 4 y3 (x4 x2 )(z z) 4 x2 y3.的除法

人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件

∴420>1510.
考点二整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.

人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解章末复习课件

课堂小结
乘法公式
（a b）（a－b） a2－b2
（a b） a2 2ab b2
相反变形
特殊形式
相反变形
整式的乘法
因式分解
互逆运算
整式的除法
提公因式法公式法
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
要点2 整式的乘法
1.单项式乘单项式
一般地，单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底
数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连
同它的指数作为积的一个因式.
【考点】
单项式×单项式
1.(1) (5x2 y3)(x) 5x3y3;
转化
(2) (2a)3(3a2b)2 72a7b2 ;
同底数幂的乘法
要点3 乘法公式添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项 ___不__变__符__号__；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 ___改__变__符__号__．（简记为：“负变正不变”）
a b c a (b c)
a b c a (b c)
【考点】
1.应用平方差公式计算(x+2y－1) (x－2y+1)，则下列变形
正确的是( C )
A.[x (2y 1)]2
B.[x (2y 1)]2
C.[x (2y 1)][x (2y 1)] D.[(x 2y) 1][(x 2y) 1]
2.计算(a+1)²(a-1)²的结果是( D )
A. a4 1
B. a4 1 C. a4 2a2 1
D. a4 2a2 1
amn (am)n (an)m (m、n都是正整数)
【考点】
an bn (ab)n (n是正整数)

人教版初二数学上册：整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(提高)知识讲解

整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂整式的乘除与因式分解单元复习知识要点】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知25mx=，求6155m x -的值．【思路点拨】由于已知2mx 的值，所以逆用幂的乘方把6mx变为23()m x，再代入计算．【答案与解析】解：∵25mx=，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【高清课堂整式的乘除与因式分解单元复习例1】【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。