数学建模高考志愿选择策略

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挑选队员的模型

挑选队员的策略模型摘要全国大学生建模竞赛已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛，各大高校对这项比赛都很重视，那么如何挑选出优秀的队员和如何将队员进行合理的组队就至关重要了。

本文将提出的问题转化为数学的模型以及合理的假设分析给出了妥帖的解决方案。

1、对于问题一我们用多元统计分析中的层次分析法首先建立了模型1.1，给各项条件指标一个权重，来计算加权函数i i ij j i iii W P L W ∑=∑===7161，αα，再求每个队员的综合水平，用Excel 整理数据，最后淘汰8、9两名队员。

然后在模型1.1的基础上建立了模型 1.2，从理论上按照层次分析法的步骤算出权重，再按模型 1.1的加权函数计算每个队员的综合水平，得出的结果也是淘汰8、9两名队员，充分的验证了模型的合理性。

2、对于问题二我们用逐项选优法和均衡模型法，由于学校参赛的目的不同给出两种模型。

我们把这个问题转化成求竞赛水平函数i j ml k ji m l k jW a W af ∑==61,,,,),(，模型2.1目的是使学校尽可能拿更高的奖项，用逐项求优法挑选竞赛水平高的队伍，重复挑选选取最优。

模型2.2目的是使学校尽可能多的获奖，也就是期望六支队伍都获奖，用均衡模型法，先选出竞赛水平最高的一组保证能够获奖，将剩下的队员均衡分配，从而竞赛水平都达到某一高度，这样六支队伍都能获奖。

综合这两种模型我们在不同的情况下做了合理的分析，认为模型2.1优于模型2.2. 3、对于问题三我们用求价值函数和仿真的方法，模型3.1是使每个教练挑选的队员的价值函数i i k q p o i i kq p o i kW d W dg ∑==613),,(3),,(3),(达到最大，同时保证他们之间相差不大，这样才能使教练相对满意。

模型3.2是用仿真的方法，通过仿真模拟出能够满足各个教练所需求的“最优”，又能使得他们所得队员差距更小，以取得使教练都尽可能满意的结果。

数学建模论文：高考志愿填报建议

20X X高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： X 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： xxxxxxxx 所属学校（请填写完整的全名）：集美大学参赛队员 (打印并签名) ： 1.2. 刘伟权数学0912 553.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2011 年 7 月 31 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20XX高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2011年福建高考志愿填报建议摘要：在每一年的高考志愿填报中涉及到很多随机因素和策略，考生往往不知道如何科学的填报志愿，本文在提取大量数据的基础上，主要解决的是计算出考生对应分数填报其感兴趣的高校被录取的概率。

在综合考虑每年的各高校的录取分数线及平均分，运用概率统计和模糊数学的方法，将学校往年的录取分和考生的原始分转化为标准分，以排除每年考试的难易程度带来分数波动的影响。

另外，运用层次分析法将各种因素纳入考虑算出权重。

最后计算被录取的概率。

最后，根据我们的研究分析，对考生填报志愿给出建议。

关键词：高考志愿概率统计模糊数学层次分析标准分权重目录一、问题重述二、问题分析三、模型假设四、模型建立五、模型应用六、给考生的建议七、模型推广与评价八、参考文献一、问题重述在每年的高考结束后，考生和家长就投入到了紧张的志愿填报之中。

数学建模注意事项

数学建模注意事项论文写作：一、写好数模答卷的重要性1. 评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，数模答卷，是唯一依据。

2. 答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。

3. 写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。

二、答卷的基本内容，需要重视的问题1．评阅原则假设的合理性，建模的创造性，结果的合理性，表述的清晰程度。

2．答卷的文章结构1）摘要。

2）问题的叙述，问题的分析，背景的分析等。

3）模型的假设，符号说明（表）。

4）模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型等）。

5）模型的求解计算方法设计或选择；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；引用或建立必要的数学命题和定理；求解方案及流程。

6）结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验。

7）模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广。

8）参考文献。

9）附录、计算框图、详细图表。

3. 要重视的问题1）摘要。

包括：a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）；b. 建模的思想（思路）；c. 算法思想（求解思路）；d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验……）；e. 主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。

▲注意表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。

务必认真校对。

2）问题重述。

3）模型假设。

根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。

a. 根据题目中条件作出假设b. 根据题目中要求作出假设关键性假设不能缺；假设要切合题意。

4）模型的建立。

a. 基本模型：ⅰ）首先要有数学模型：数学公式、方案等；ⅱ）基本模型，要求完整，正确，简明；b. 简化模型：ⅰ）要明确说明简化思想，依据等；ⅱ）简化后模型，尽可能完整给出；c. 模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。

数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上的高（级）、深（刻）、难（度大）。

概率统计数学模型

概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。

概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。

一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。

在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。

而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。

二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。

三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。

2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。

3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。

4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。

5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。

6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。

7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。

概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。

通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。

概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。

概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。

一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。

建模作业之高考人数统计与分析

一、高考简介高考： [the entrance examination for college] 指高等学校的招生考试，同人生的任何关口一样,高考也是一次严峻的考验。

高考（National Matriculation Test），一般指新中国的高等教育入学考试，全称为普通高等学校招生全国统一考试。

到目前为止，有普通高校招生考试，自学考试和成人高考三种形式，一般的“高考”指第一种，而我在统计分析中所用到的就是此类。

高考是考生选择大学和进入大学的资格标准，是国家考试之一。

是由国家统一组织调度，国家或省专门组织命题，统一时间（部分省市考试科目较多，结束时间较晚些）考试。

高考成绩并不影响高中毕业证的发放，但高考成绩直接影响所能进入的大学层次，考上重点大学的核心前提就是取得优异的高考成绩，进入什么样的大学至关重要，几乎可以说影响了人的一生。

二、高考的历史变迁*1949年高等学校单独招生。

*1950年同一地区高校联合招生。

*1951年以全国大行政区范围统一招生。

*1952年全国统一招生。

*1966年“文化大革命”开始，废除高考，大部分高校停止招生。

*1971年高等学校逐步举办试办班，恢复招生。

招收的新生初中毕业即可，但须经过两年以上劳动锻炼，废除招生考试，改为“自愿报名，群众推荐，领导批准，学校复审”。

工农兵大学生由此出现。

*1977年6月29日至7月15日，当年第一次高校招生座谈会，讨论参加高考的学生资格。

*1977年8月13日至9月25日，当年第二次高校招生座谈会举行，确定高考招生办法。

具体包括：1、劳动知识青年和应届高中毕业生都可以报名；2、具有高中毕业的文化程度才可以报名，而且必须通过大学入学考试；3、政治审查主要看本人表现，破除唯“成分论”；4、德智体全面考核，择优录取。

*1977年10月12日，国务院批转教育部《关于1977年高等学校招生工作的意见》，正式恢复高等学校招生统一考试的制度。

据统计，当年的报考人数570万，录取人数27万人，录取率4.7%。

高考志愿预测的数学模型研究

高考志愿预测的数学模型研究【摘要】本研究旨在探索利用数学模型预测高考志愿的可行性和有效性。

我们建立了一个基于历年高考成绩和志愿选择情况的数学模型，以预测考生的志愿排名。

接着，我们对大量数据进行收集和处理，确保模型的准确性和鲁棒性。

通过模型参数的优化和验证，我们提高了预测的准确率和稳定性。

我们还提出了一些改进策略，进一步提升模型性能。

结论部分讨论了数学模型在高考志愿预测中的应用前景和未来研究方向。

本研究为高考志愿预测领域提供了一种新的方法和思路，有望在实际应用中发挥重要作用。

【关键词】高考志愿预测、数学模型、研究背景、研究目的、研究意义、数据收集、模型参数优化、模型验证、模型评估、模型改进策略、应用前景、未来研究方向、总结。

1. 引言1.1 研究背景高考志愿预测一直是学生和家长们关注的焦点问题。

随着高考竞争日益激烈，学生们在填报志愿时往往面临着种种难题：应该选择哪些学校？哪些专业适合自己？如何合理安排志愿顺序？为了解决这些问题，研究者们开始利用数学建模的方法对高考志愿进行预测和优化。

传统的高考志愿填报通常基于学生的成绩和兴趣，但这种方法往往忽略了其他重要因素，如学校的声誉、专业的前景、学科交叉等。

建立一套科学的数学模型成为了解决这一问题的关键。

在这样的背景下，本文旨在探讨如何利用数学模型预测高考志愿，帮助学生和家长更好地选择适合自己的学校和专业。

通过收集和分析大量的数据，优化模型参数，验证和评估模型的准确性，并提出改进策略，以提高模型的预测能力和实用性。

本文也将展望数学模型在高考志愿预测中的应用前景，探讨未来的研究方向，并对本研究进行总结。

通过这些努力，希望能为解决高考志愿填报难题提供有力的支持和指导。

1.2 研究目的研究目的是为了探讨利用数学模型来预测高考志愿的可行性和准确性。

通过建立一个科学合理的数学模型，可以更好地帮助学生和家长了解考生的综合素质，从而为志愿填报提供更准确的参考。

通过对数据的收集和处理，可以进一步提高预测模型的准确性和可靠性，为考生提供更加个性化的志愿建议。

数学建模关于毕业生就业分析及量化分析

作者：来源：发表时间：2006-05-28[本文系作者主持的国家社会科学基金项目(02CJY002)研究成果之一，福建省教育科学基金课题(03SJY03)研究成果之一，国务院侨办基金项目成果之一，泉州市社会科学基金研究成果之一。

] [张向前，亦名张退之，1976年6月生人，男，汉族，福建仙游人，西安交通大学工商管理博士，国立华侨大学人力资源教研室主任，主要从事经济管理与经济法等研究。

联系地址：福建泉州国立华侨大学经济管理学院张向前收邮政编码：362011电邮及电话附文尾。

]据教育部今年4月发布的资料，2004年全国有280万高校毕业生，比2003年增加68万人，增幅达32％。

全社会新增劳动就业岗位900万个，其中有 500万个要解决下岗职工的再就业问题，剩下的就业岗位，除了要解决280万大学生就业，还有200多万的中专毕业生等待就业〔1〕，加上多年积累下来的待业人员，高校毕业生的就业局面相当严峻，就业问题是当前大学毕业生面临最大难题。

是不是我国大学毕业生太多了!目前我国大学生人数占总人口数的比例与世界发达国家相比，差距仍然很大,1996年我国高等教育毛入学率8.3％，到2002年达15%，1997年世界平均毛入学率17.8％，发达国家平均是 61.1％〔1〕，应该看到，我国高等教育还处在世界发展水平的初级阶段，还不能够完全满足我国经济社会快速发展的需求，有着强大的发展空间。

那么，大学生为什么还是面临着就业难题，本文就此进行分析。

一我国大学生就业市场新变化最近几年，我国大学毕业就业产生不少新变化。

首先，我国本土大学生面临国际联合办学机构竞争。

近几年来，我国高教市场逐步向国外资本开放，各种形式外国教育机构的进入，产生了更多类型的人才培养机构，他们不但提供了人才短期培训，不少教育机构还与国内大学进行联合办学，这种全新人才培养模式直接挑战了中国本土高校人才培养模式，对我国本土高校大学生就业增强了不少的竞争对手。

数学建模初赛一等奖获奖作品

其次，对于高考志愿填报过程中的决策成本进行分析。决策成本的概念包括各个院校以往的报录比、最低录取分数差等，以最小决策风险为目标。文中通过模糊隶属度和对策论来分析实际决策成本，评价决策风险。在设置了超出控制线 160、60、30 分的三个不同分数段的学生以及他们所选取所要报考的目标学校中进行决策成本的评估，最终给出相应的决策成本度量。学生 1 的决策成本较低，易被所报考的学校录取，学生 2 的决策成本较高，录取的难度较大；学生 2 在决策成本较高的情况下，选择填报中国地质大学(北京)更易被录取。
图 1. 准则评分曲线图
图 1 中蓝线表示决策的结果最好时的规划建议。红线表示风险最小时的规划建议。只通过蓝线判断决策时，即在决策结果最好的情况下尽量不考虑决策成本印象，设置决策结果为最大值，在这样约束条件下，我们可以得到一种牺牲决策成本换取决策结果的决策建议，这样看来最好结果时学生所承担的风险为接近于 2.7，在整个决策成本中，该值表示所需学生承担的风险最大。但是改为不考虑结果，仅将成本作为影响决策的依据时，学生最终的录取志愿可能不理想，如图中，在红线达到最小值时，决策结果评分只有 0.5，这是一种非常不理想的情况。折中与平衡两个指标。如果愿意承担一定风险，又希望得到一个可以接受的高校，那么按照规则取约束条件下的结果最大化，成本最小化。虽然决策结果或者决策成本不是局部最优的选择，但是我们是在牺牲一部分可以接受范围内的因素得到我们愿意得到的最好的结果。这是一种全局最优的平衡方法。在实际生活中，考虑众多因素的影响，
5
这是最为实际的决策方案。模型结果说明两种极端的决策准则是可以有一个这种平衡点的，平衡这两种标准具
有较大的可行性。在本小问中构建的目标规划模型，我们可以将这个结论作为后续工作的一个大体的约束与支持，讨论如何平衡两大准则。

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要第一篇：全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要邯郸学院本科毕业论文题目学生指导教师年级专业二级学院（系、部）全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨柴云飞闫峰教授 2009级本科数学与应用数学数学系2013年6月邯郸学院数学系郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．毕业论文作者（签名）：****年**月**日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．关键词：数学建模竞赛统计学方法数学规划图论ICommonly Used Modeling Method ofChina Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfeiDirected by Professor Yan fengABSTRACTmore people as a basic subject of the largest national college competition.The method of modeling competition has become more and more important.Open questions gradually increased with the development of competition.Most of the games can be solved by lots of solutions.Sometimes these methods can be used together.And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players.The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theoryII目录摘要........................................................................................................................... ...................I 英文摘要........................................................................................................................... . (II)前言........................................................................................................................... ..................1 1 微分方程与差分方程建模 (2)1.1 微分方程建模 (2)1.1.1 微分方程建模的原理和方法...............................................................................2 1.1.2 微分方程建模应用实例.......................................................................................3 1.2 差分方程建模 (4)1.2.1 差分方程建模的原理和方法...............................................................................4 1.2.2 差分方程建模应用实例.......................................................................................5 数学规划建模........................................................................................................................... ..52.1 线性规划建模的一般理论..............................................................................................6 2.2 线性规划建模应用实例.. (7)3 统计学建模方法 (8)3.1 聚类分析 (8)3.1.1 聚类分析的原理和方法.......................................................................................8 3.1.2 聚类分析应用实例...............................................................................................9 3.2 回归分析.. (9)3.2.1 回归分析的原理与方法.......................................................................................9 3.2.2 回归分析应用实例.............................................................................................10 图论建模方法...........................................................................................................................104.1 两种常见图论方法介绍 (11)4.1.1 模拟退火法的基本原理.....................................................................................11 4.1.2 最短路问题.........................................................................................................11 4.2 图论建模应用实例........................................................................................................12 5 小结........................................................................................................................... ................13 参考文献........................................................................................................................... ............14 致谢........................................................................................................................... . (15)前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入该容器浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v2的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．解注意到溶液浓度=变化而发生变化．不妨设t时刻容器中溶质质量为s(t)，初始值为s0,t时刻容器中溶液体积为v(t)，初始值为v0，则这段时间(t,t+∆t)内有溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积溶液体积⎧∆s=c1v1∆t-c2v2∆t，（1）⎨⎩∆V=v1∆t-v2∆t其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度，c2表示单位时间内流出溶液的浓度，当∆t很小时，在(t,t+∆t)内有c2≈s(t)s(t)=.（2）V(t)V0+(v1-v2)t对式（1）两端同除以∆t，令∆t→0，则有⎧ds⎪dt=c1v1-c2v2⎪⎪dV.（3）=v1-v2⎨⎪dt⎪s(0)=s0,V(0)=V0⎪⎩即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段∆t去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．常用微分方程建模的方法主要有：（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元∆t，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．（3）近似模拟法．在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）SARS 传播的预测．2003年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析.传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S，感病者I，移出者R三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：⎧dS⎪dt=-kIS⎪dI⎪⎪=kIS-hI，⎨dt⎪dR=hI⎪⎪dt⎪⎩S+I+R=N利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为dI=kNI-hI=λI，dt其中λ=kN-h，其解为I(t)=I0e-λt.其中I0为初始值．但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议．1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．建立差分方程模型一般要注意以下问题：（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．1.2.2 差分方程建模应用实例例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，2001年B题“公交车调度问题”，2002年A题“车灯线光源的优化”，2006年A题“出版社书号问题”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．优化模型的一般形式为:min(或max) z=f(x)(4)s.t.g(x)≤0.(i=1,2,Λ,m)(5)(x=(x1,x2,Λ，xn).T)由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．f(x)称为目标函数，g(x)≤0称为约束条件．在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划．建立实际问题线性规划模型的步骤如下：（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．2.2 线性规划建模应用实例例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元．取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出.然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法．随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法．统计学建模方法在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．3.1 聚类分析3.1.1 聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）．通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．3.2 回归分析回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．3.2.1回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．回归分析的主要步骤为：（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．（2）解出回归系数．（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．3.2.2 回归分析应用实例例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t 20左右达到最大．可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异．图论建模方法图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理。

北大学长的数学建模经验分享

北大学长的数学建模经验分享1.写这一篇文章的目的是什么？之前其实已经写过了一篇有关于数学建模竞赛新手入门的文章，但是那篇文章的起点还是比较高，很多同学觉得还是有一定的难度，所以简单地写一篇快速入门的办法。

也就是说，有助于你获得数学建模的奖项，但是对于真实实力的提升，还是需要一定的过程。

所以这是一篇有关于数学建模竞赛应试的文章。

其实就是告诉你如何通过参赛论文直接暴力地入门数学建模。

因为在我看来，学习任何数模书籍，看数模培训视频，甚至去学习机器学习图像处理这些过于专业的视频都是得不偿失的。

因为你是去比赛不是去做科研。

2.在学习过程中需要准备的材料在学习这篇文章中，只需要电脑一台就行了，如果有需要可以把一些材料打印出来阅读。

如果有必要，可以买一些优秀论文相关的书籍或者一些教材。

当然数学基础不好也是有必要借或者买相关数学教材来看看了。

比如《线性代数》(很重要)、《常微分方程》、《运筹学》、《微积分》(基础)、《概率论与数理统计》(很重要)等。

如果有赛区组委会或者前几届的参赛论文最好了，因为不能天天只看最好的文章，也需要看看一些比较薄弱的文章，这样容易看出数模的阅卷是按照什么套路进行的，更加有助于我们写好每一篇论文，注重每一篇论文的侧重点。

比如，摘要是文章里面最重要的，在正文当中模型的建立与求解非常重要，并且最后一问需要好好解决，这是拉开国一和国二差距的最后一道防线。

3.我们来交流下怎么拿奖吧数学建模竞赛虽然它的初衷是非常好的，需要体现一个人应用数学的能力以及创兴能力，但是实际上，经过我多年的比赛，发现其实绝大多数获奖，包括国家一等奖，也是可以通过一定的学习以及一定的技巧来获取的。

对于数学建模新手来说，最大的问题是没有基础。

由于这项比赛并没有限制专业，因此每年的参赛队员基本上都是五花八门的，有数学与应用数学的，各种理科的，最主要的还是工程方向和经管方向专业的学生参赛。

每年国赛出题分为A题（工程）B题（经管或运筹或社会实际问题），其实多多少少考虑了主要参赛队员专业问题。

数学建模例题[1]

数学建模习题指导第一章初等模型讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注重到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。

（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。

提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。

单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低思考题2 划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

各种艇虽大小不同，但形状相似。

T .A .M c M a h o n 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。

建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。

329434w w c γβ+=''-各种艇的比赛成绩与规格第二章线性代数模型森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。

为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。

被出售的树木，其价值取决于树木的高度。

开始时森林中的树木有着不同的高度。

我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

思考：试解释为什么模型中求解得到的为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。

练习：857.0 nR将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

数学建模与Matlab

数学家和其他科学技术工作者的区别
数学家：理论严格证明、存在性工程技术人员：如何直接得出解
解析解不能使用的场合
不存在
数学家解决方法，引入符号erf(a)
工程技术人员更感兴趣积分的值数值解
数学建模与matlab
数学问题的解析解与数值解
解析解不能使用的场合
解析解不存在：无理数，无限不循环小数 p 数学家：尽量精确地取值工程技术人员：足够精确即可祖冲之 3.1415926，阿基米德的~3.1418
生物数据
金融数据
卫星图像
高光谱图像
……
数学建模与matlab
二十一世纪是数据的世纪
海量数据分析已经形成新世纪的最广泛的特征。海量数据源：Web与Internet数据、社会管理数据、全球化经济数据、环境与资源数据、个人信息数据、科学研究数据、多媒体型数据，等等。
海量数据是最大的资源：数据信息产业！
数学建模与matlab
2. 三个代表性计算机数学语言
“三个代表”：MATLAB, Mathematica, Maple MATLAB
数值运算、程序设计，广泛应用 Mathematica、Maple
数学机械化，编程侧重于模式匹配 MATLAB+符号运算工具箱+Maple
可以推导公式，可以调用Maple功能
解析解与数值解
数学建模与matlab
先考虑下面一些例子
【例】高等数学问题：已知函数，如何求导及高阶导数？
思路：① 由分式求导公式，得出 ② 逐次求导则可以得出
问题：求导过程很繁杂，容易出错
数学建模与matlab
计算机求解结果
不是最简

matlab数学建模30个案例分析

案例4：基于微分方程的最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕鱼策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…,4龄组,各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× 个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22 × /1.22× +n）
案例12：基于主成分分析的长江水质的评价和预测模型
运用主成分分析法对长江流域主要城市水质检测报告进行分析，选取主成分，并把主成分得分按方差贡献率加权求和，得出每个地区的污染综合评价指数，进而可以计算每个月长江流域的污染综合评价指数。
第三部分优化问题
案例13：基于线性规划求解飞行管理模型
第二部分评价问题
案例7：基于层次分析法的高考志愿选择策略
一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。成都丙、重庆丁四所大学。
现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员。该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。
招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿。

深研高考命题规律　准确把握备考方向

深研高考命题规律㊀准确把握备考方向黄飞龙(福建省南平第一中学ꎬ福建南平３５３０００)摘㊀要:文章主要研究了高考试题的命题规律ꎬ对考查的各类试题类型进行了分析ꎬ并通过典型例题进行例证ꎬ给出命题分析ꎬ最后给出备考建议.关键词:高考命题ꎻ命题分析ꎻ备考建议中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－００９５－０３收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:黄飞龙(１９９１.３－)ꎬ男ꎬ福建省南平人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考的核心功能在于立德树人ꎬ服务选才ꎬ引导教学 ꎬ依据近年来新高考的命题方向ꎬ试卷整体命制呈现出知识点命题既全面又突出重点的特点.对于支撑学科知识体系的重点内容ꎬ其占有较大的比例ꎬ构成数学试卷的主体ꎻ注重学科的内在联系和知识的综合性ꎬ不刻意追求知识的覆盖面[１].１关注基本知识的命题方向１.１常规考题常规考法例１㊀(２０２３年新高考Ⅰ卷第２０题)设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ且ｄ>１.令ｂｎ＝ｎ２＋ｎａｎꎬ记ＳｎꎬＴｎ分别为数列ａｎ{}ꎬｂｎ{}的前ｎ项和.(１)若３ａ２＝３ａ１＋ａ３ꎬＳ３＋Ｔ３＝２１ꎬ求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)若ｂｎ{}为等差数列ꎬ且Ｓ９９－Ｔ９９＝９９ꎬ求ｄ.命题分析㊀本题以等差数列的通项公式和前ｎ项和公式为命题点ꎬ考查考生的数学运算和逻辑推理素养ꎬ其主要核心在于对学生的常用公式和基本运算的能力进行检测[２].１.２常规考题问法不同例２㊀(２０２３年新高考Ⅰ卷第１９题)如图１ꎬ在正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝２ꎬＡＡ１＝４.点Ａ２ꎬＢ２ꎬＣ２ꎬＤ２分别在棱ＡＡ１ꎬＢＢ１ꎬＣＣ１ꎬＤＤ１上ꎬＡＡ２＝１ꎬＢＢ２＝ＤＤ２＝２ꎬＣＣ２＝３.(１)证明:Ｂ２Ｃ２ʊＡ２Ｄ２ꎻ(２)点Ｐ在棱ＢＢ１上ꎬ当二面角Ｐ－Ａ２Ｃ２－Ｄ２为１５０ʎ时ꎬ求Ｂ２Ｐ.图１㊀２０２３年新高考Ⅰ卷第１９题图命题分析㊀本题以正四棱柱为命题角度ꎬ设置了线线平行的证明和已知二面角求线段长度的问题.此类型题在平时训练时非常常见ꎬ但又有别于直５９接求解二面角等相关问题ꎬ所以在做题时ꎬ我们要注意因果转换.１.３新问题常规考法例３㊀(２０２３年新高考Ⅱ卷第１４题)底面边长为４的正四棱锥被平行于其底面的平面所截ꎬ截去一个底面边长为２ꎬ高为３的正四棱锥ꎬ所得棱台的体积为.命题分析㊀根据新课标要求[３]ꎬ知道球㊁棱柱㊁棱锥㊁棱台的表面积和体积的计算公式ꎬ能用公式解决简单的实际问题.对比原来老高考试题不难发现对于棱台的考查很少ꎬ在近两年的新高考试题中该类试题层出不穷ꎬ因此这是值得关注的变化点.２关注学科特色ꎬ注重学科文化２.１关注科技发展例４㊀(２０２３年新高考Ⅰ卷第１０题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱ꎬ定义声压级ＬＰ＝２０ˑｌｇｐｐ０ꎬ其中常数ｐ０(ｐ０>０)是听觉下限阈值ꎬｐ是实际声压.下表为不同声源的声压级:表１㊀不同声源的声压级声源与声源的距离/ｍ声压级/ｄＢ燃油汽车１０６０~９０混合动力汽车１０５０~６０电动汽车１０４０㊀㊀已知在距离燃油汽车㊁混合动力汽车㊁电动汽车１０ｍ处测得实际声压分别为ｐ１ꎬｐ２ꎬｐ３ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｐ１ȡｐ２㊀Ｂ.ｐ２>１０ｐ３㊀Ｃ.ｐ３＝１００ｐ０㊀Ｄ.ｐ１ɤ１００ｐ２命题分析㊀本题以汽车为试题情境设计点ꎬ通过给出了声压级的计算公式ꎬ考查三种不同类汽车的实际声压ꎬ意在考查考生的数学建模和数据分析能力.２.２关注校园生活例５㊀(２０２３年新高考Ⅰ卷第１３题)某学校开设了４门体育类选修课和４门艺术类选修课ꎬ学生需从这８门课中选修２门或３门课ꎬ并且每类选修课至少选修１门ꎬ则不同的选课方案共有种(用数字作答).命题分析㊀本题以选课为背景ꎬ当下新高考也需要进行选课.该类问题与学生实际生活息息相关ꎬ来源于校园生活ꎬ能够较好地考查考生分析问题㊁解决问题的能力.２.３关注学生健康例６㊀(２０２３年新高考Ⅱ卷第３题)某学校为了解学生参加体育运动的情况ꎬ用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查ꎬ拟从初中部和高中部两层共抽取６０名学生ꎬ已知该校初中部和高中部分别有４００和２００名学生ꎬ则不同抽样结果共有(㊀㊀).Ａ.Ｃ４５４００Ｃ１５２００种㊀㊀Ｂ.Ｃ２０４００Ｃ４０２００种Ｃ.Ｃ３０４００Ｃ３０２００种Ｄ.Ｃ４０４００Ｃ２０２００种命题分析㊀本题以体育运动为命题角度ꎬ符合高考评价体系的核心价值要求ꎬ在具体的核心价值指标体系中ꎬ要求学生具有健康意识ꎬ注重增强体质ꎬ健全人格ꎬ锻炼意志.２.４关注社会与科技发展例７㊀(２０２３年全国甲卷第９题)有五名志愿者参加社区服务ꎬ共服务星期六㊁星期天两天ꎬ每天从中任选两人参加服务ꎬ则恰有１人连续参加两天服务的选择种数为(㊀㊀).Ａ.１２０㊀㊀Ｂ.６０㊀㊀Ｃ.４０㊀㊀Ｄ.３０命题分析㊀本题以社区服务为命题素材ꎬ意在引领考生能够关注社会发展ꎬ奉献社会.该题的设计能够较好地考查分类加法原理ꎬ对考生的分类讨论思想进行检测.３关注命题变化ꎬ做到有备无患３.１试卷难度变化每年的高考题型与难度情况都是有所起伏的ꎬ ６９通过历年高考的真题变化不难发现ꎬ高考考查的内容不论怎么变化ꎬ但考查的主线依然不变ꎬ仍然是以三角函数㊁数列㊁立体几何㊁解析几何㊁概率统计㊁函数与导数为重点考查对象.对于常考的重点知识内容ꎬ不仅要关注考查内容ꎬ更多的应注重整个试卷的难度变化和应对策略.对于不同的学生ꎬ我们给出以下建议ꎬ相对于数学知识框架和内容掌握不牢的同学ꎬ建议立足教材ꎬ狠抓基础ꎻ对于学习数学兴趣浓厚的学生ꎬ可以拓宽视野ꎬ这样即使在高考试题中出现比以往试题更难的情况ꎬ依然能够做到游刃有余.３.２试题位置变化对于高考试题的位置摆放顺序不要形成思维定式ꎬ很大一部分学生一般会默认为压轴试题就是导数和圆锥曲线ꎬ一旦试题难度有所调整ꎬ就会导致一部分学生适应不了试题的变化ꎬ失分严重.因此ꎬ对于不同模块的试题我们都要有梯度的进行练习.例８㊀(２０２３年新高考Ⅰ卷第１９题)已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ＋ａ()－ｘ.(１)讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)证明:当ａ>０时ꎬｆ(ｘ)>２ｌｎａ＋３２.命题分析㊀该题以含参函数呈现ꎬ考查函数的单调性和不等式的证明ꎬ意在考查考生的逻辑推理和数学运算素养.４备考建议４.１注重思考ꎬ避免盲目数学试题的训练目的是为了强化对数学基础知识的理解ꎬ在练习过程中不能够盲目地进行刷题ꎬ要根据练习不断思考ꎬ注重理性思维的培养ꎬ明确问题的本质.数学的思维过程也就是运用数学的思想和方法ꎬ目的明确地对外来的和内在的信息进行提取与转化㊁加工与传输的思维过程.这样才能不断地在练习中强化思维ꎬ实现做题的意义.另外ꎬ在做题的过程中ꎬ不仅要加强训练ꎬ还应做到一题多解ꎬ发散思维ꎬ并对多种类型试题进行归纳ꎬ找出解决此类问题的共同方法.４.２注重归纳ꎬ关注教材学会对数学试题进行归纳总结ꎬ不仅是教师必备的技能ꎬ也是学生应该学会做的事情之一.学习数学不仅要能够构建知识网络ꎬ对所学知识进行系统化和条理性地整理ꎬ还应关注教材ꎬ清晰地把握教材的重点例题和习题ꎬ因为教材是一切试题命题的参考来源[４]ꎬ所以要掌握教材中的每一道经典试题.４.３注重错题ꎬ细心梳理学习数学就是一个不断试错的过程ꎬ也是一个不断思考的过程ꎬ在做每一道练习题时ꎬ都应该学会发现问题㊁分析问题和解决问题.只有在理解题意的基础上才能够更好地梳理各类试题ꎬ提升解题能力.这里需要强调的一点是对于错题的处理ꎬ由于在每次考试中做错的试题才是提升分数的关键ꎬ因此建议对于易错试题应找到对应的练习加强训练ꎬ方能做到宠辱不惊.参考文献:[１]仇卓然.聚焦数学核心素养创新高考数学复习[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２３(０９):５９－６１.[２]徐德明ꎬ侯佳佳. 三新背景下的高考数学二轮复习之浅见[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２３(０８):３－５.㊀[３]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[４]教育部考试中心.中国高考评价体系[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１９.[责任编辑:李㊀璟]７９。

“登峰杯”全国中学生课外学术科技作品竞赛数学建模竞赛要求及题目

2016“登峰杯”全国中学生课外学术科技作品竞赛数学建模竞赛要求及题目【作品要求】1．每支参赛队伍需提交完整版论文，作品符合基本学术论文要求：包含题目、参赛队报名序号、论文摘要、关键词、前言、正文、结论、参考文献几个部分。

对文字、图表的排版不做统一要求，请参考期刊的论文排版要求。

2．作品的篇幅不超过20页（如果有程序、数据等附加材料提交，附加材料单独打包压缩为一个压缩包，详见《2016“登峰杯”全国中学生课外学术科技作品竞赛数学建模竞赛参赛手册》）。

由于论文要经过双盲评审，作者署名、所在学校等信息不能出现在提交的作品中（包括附件）的任何位置，否则会被判犯规。

3．注意，下面的问题3是要求参赛队伍给出研究计划。

按要求提交作品后，你们就可以马上着手按研究计划开展工作。

如果你们能够进入决赛（夏令营），这将是决赛的主要内容之一。

4．学生需同时完成以下4个问题。

从问题出发，原创性的想法对建模非常重要！AlphaGo以悬殊的比分战胜围棋世界冠军李世石迅速成为近期的新闻热点。

这里我们暂不关心其中的技术细节（其中的数学知识无疑有待于你今后深入学习），而只关注它的决策生成原则。

首先AlphaGo为自己设定了一个全局的目标“WIN”，局中每一步落子的决策并不一定是“当前局面下最好的应手”，而是判断并按照“WIN”的原则寻找相对简单的决策。

道理其实非常简单：每一步都要寻求最优，即使今天的计算机如此强大也无法实现。

这对我们日常生活也启示良多：决策本身是需要成本的！如果我花了大量的时间去优化决策，真正做事情的时间何在？当面临多个选择时，如：高考科目选择、高考志愿填写、急重病人的治疗乃至去食堂就餐等，人们往往需要进行决策。

在可以自主选择的前提下，决策通常是根据个人对事物的分析、判断和兴趣来作出决定。

两种极端的决策准则是：“决策的结果最好”和“决策的成本最小”。

问题1：请以自己选定的某个具体问题的决策为例，通过数学建模的方法，讨论如何平衡和折中以上两种决策准则（中庸是智慧，其实不平凡）。

2023年高考数学试卷全国一卷22题解法探究

2023年高考数学试卷全国一卷22题解法探究年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标ⅰ卷、新课标ⅱ卷。

高考数学全国卷贯彻落实党的_精神，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。

一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。

一是重点考查逻辑推理素养。

如新课标ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。

又如新课标ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。

再如全国乙卷理科第21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。

二是深入考查直观想象素养。

如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。

又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。

再如新课标ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。

三是扎实考查数学运算素养。

试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

如新课标ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。

2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷 (2336)

一、单选题1. 设全集为U=R，集合，，则A．B．C．D．2. 数列为等差数列，为其前项和，，则=（）A．40B．42C．43D．453. 已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．4. 在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（）A．4B．C．2D．5. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：等级24h降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨6. 已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点A，B，C是与图象的连续相邻的三个交点，若是直角三角形，则的最小正周期是（）A．B．C．D．7. 已知全集则图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．8. 若,其中是虚数单位,则的值分别等于（）A．B．C．D．9. 为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各300名，让他们同时完成多个任务.以下4个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是（）①总体看女性处理多任务平均用时更短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大.A．①④B．②③C．①③D．②④10. 设，，，则下列正确的是（）A．B．C．D．11. 下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若与是单位向量，则12. 在中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则角C的大小为（）A．B．C．D．13. 下列函数中，定义域为R的函数是（）A．B．C．D．14. 双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15. 如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且．平面，则线段MP长度的取值范围为（）二、多选题A．B．C．D．16. 已知角的终边经过点，则（）.A．B．C．D．17. 已知，，且，则（）A．B．C．D．18.如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．D ．直线与所成角的余弦值为19. 一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（）A．B．C．D．20. 装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（）．（附：若，则，，）A ．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为0.7685B ．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C ．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍21. 已知向量，，则（）A．B．C．D．22.关于函数，下列说法正确的是（）A ．函数以为周期且在处取得最大值三、填空题四、解答题B．函数以为周期且在区间单调递增C．函数是偶函数且在区间单调递减D．将的图像向右平移1个单位得到23. 如图，正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是（）A ．直线与是异面直线B．三棱锥的体积为C．过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则D．点到平面的距离是一个常数24. 我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中正确的有（）A．平面B ．平面平面C．D ．为钝角三角形25.若函数的图象关于直线对称，且直线与的图象有四个不同的公共点，则实数k 的取值范围是______.26. 函数，的值域是________.27. 动直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，的值为_______．28. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.29.已知函数．五、解答题（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．30. 化简求值：（1）（2）已知，，求的值；31. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．32.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.33. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.34.年月日，电影《长津湖》在各大影院.上映，并获得一致好评.该片是以长津湖战役为背景，讲述了一个中国志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为长津湖战役胜利作出重要贡献的感人的历史故事.某同学看完电影后以抗美援朝时期的历史为内容制作了一份知识问卷，并邀请了该校名同学（男女各一半）参与了问卷的知识竞赛，将得分情况统计如下表：得分性别男生女生将比赛成绩超过分的考生视为对抗美援朝的历史了解.(1)从这名同学中随机抽选一人，求该位同学对抗美援朝的历史了解的频率；(2)能否有的把握认为对抗美援朝的历史了解与性别有关?附：，35. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，，且，设平面与平面的交线为．(1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面；(2)记与平面的交点为，点S在交线上，且，当二面角的余弦值为，求的值．36.已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值．（1）求的解析式；（2）作出在范围内的大致图象．37. 九章算术商功“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程，并用字母表示出来，求阳马和鳖臑的体积比；(2)若，，在右图中，求三棱锥的高．38. 体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体考的非城镇与城镇学生人数之比为，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城镇学生用分层抽样方法抽取人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考成绩分布在范围内，且规定分数在分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．（1）将下面的列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关？类别非城镇学生城镇学生合计优良不优良合计（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试以概率相关知识回答，在这名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？附参考公式与数据：，其中．39. 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：温度21232527293235产卵个数个711212466115325(1)画出散点图，根据散点图判断与哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可､不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立关于的回归方程.（附：可能用到的公式，可能用到的数据如下表所示：27.43081.290 3.612147.7002763.764705.59240.180（对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.）六、解答题40. 已知函数．(1)当时，设函数的最大值为，证明：；(2)若函数有两个极值点，，求a的取值范围，并证明：．41.已知如图，四边形为平行四边形，，平面，，，，，，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.42. 已知函数.(1)设.①若，曲线在处的切线过点，求的值；②若，求在区间上的最大值.(2)设在，两处取得极值，求证：，不同时成立.43. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M为BC中点，．(1)求证：平面DMN⊥平面PAD；(2)当取何值时，二面角B－DN－M的余弦值为．44.椭圆的右顶点，过椭圆右焦点的直线l与C交于点M，N，当l垂直于x轴时．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与y轴交于P点，直线与y轴交于Q点，点，求证：．45. 如图，在直线三棱柱中，已知，，，D为棱AC的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.七、解答题46. 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.47. “T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.48. 某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出1246111319销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4其中，(1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程；(2)若用模型拟合得到的回归方程为，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系，进而计算出年度广告费为何值时，利润的预报值最大？参考公式：，；49. 某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量指标值x，得到该厂所生产的消毒液质量指标值的频率分布直方图如图所示，规定：当或时，消毒液为二等品；当或时，消毒液为一等品；当时，消毒液为特等品（将频率视为概率）.(1)现在从抽样的100瓶消毒液中随机抽取2瓶二等品，求这2瓶二等品消毒液中其质量指标值的消毒液恰好有1瓶的概率；(2)若每瓶消毒液的生产成本为20元，特等品售价每瓶35元，一等品售价每瓶30元，二等品售价每瓶25元.政府指定该工厂5月份只生产10万瓶高考考场专用消毒液，要求高考考点使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免费赠送给某区教育局用于各小学操场消毒.假定教育局全部购买了该厂5月份生产的特等品和一等品消毒液，估计该厂5月份生产的消毒液的利润（利润=销售收入-成本）是多少万元？50. 篮球职业联赛通常分为常规赛和季后赛两个阶段.常规赛采用循环赛，胜率高或者积分高的球队进入季后赛，季后赛是淘汰赛，采用三局两胜制进行淘汰，最终决出总冠军.三局两胜制是指当比赛一方先赢得两局比赛时该方获胜，比赛结束.(1)下表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表，由表中信息，依据的独立性检验，分析“主场”是否会增加胜率（计算结果保留两位小数）.月份比赛次数主场次数获胜次数主场获胜次数10月836311月15108812月147851月1341132月117653月146734月5343(2)甲队和乙队在季后赛中相遇，经过统计甲队在主场获胜的概率为，客场获胜的概率为.每场比赛场地为上一场比赛的获胜方的场地.（i）若第一场比赛在甲队的主场进行，设整个比赛的进行的局数为，求的分布列及数学期望；（ii）设选择第一场为甲队的主场的概率为，问当为何值时，无论第一场比赛的场地在哪里，甲队最终获胜的概率相同，并求出此时甲队获胜的概率.附：0.1000.0500.0102.7063.841 6.63551. 为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．。