高中数学必修一第一章专题总结(答案版)

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高中数学必修一第一章集合题型总结

第一章第一节集合题型总结题型一集合的表示（列举法、描述法）1. 下列说法：①集合{x ∈N|x 3＝x }用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R}；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( )．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题型二集合与集合的关系（子集）1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则A ．A ⊂≠B B. B ⊂≠A C. A=B D.A ∩B=∅2．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是A ．P Q =B ．P Q R =C ．Q P ⊆D ．P Q ⊆3.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( )个，非空子集有（）个题型三集合的运算※有限集：直接算1、已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =（）∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合{1,2}A =，},42|{Z x x x B ∈≤≤=则集合)(B A C U 中元素的个数为（）A 1B 2C 3D 4A.※ 无限集：借助数轴算4．已知集合},41|{},32|{>-<=≤≤-=x x x B x x A 或那么集合=)(B C A R ( )A.{x ︱-2≤x ＜4｝B.{x ︱x ≤3或x ≥4} C ．{x ︱-2≤x ＜-1｝ D.{-1︱-1≤x ≤3}5.已知集合}044{≤+-=x x x A ，}034{2≤-+-=x x x B （1）求A ∪B ，（2）求A ⋂Cu B※ .有限集与无限集的混合运算：1、设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( )}2,1.{}1,0.{}2.{}1.{D C B A2.(2015汕头高一统考)已知全集U=R ，A={1,2,3,4,5,6,7}，B={x|x ≤2}，则A ∩C u B=( )}2|.{}2|.{}7,6,5,4,3.{}7,6,5,4,3,2.{≤>∈x x D x Z x C B A 题型四 Venn 图在解题中的应用例：用集合表示下列阴影练习：2．设全集{}8 7, 6, 5, 4, 3, ,2 , 1 =U ,集合{}5 3, , 2 , 1=A ,{}6,4 , 2=B ,则图中的阴影部分表示的集合为 ( )A ． {2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}3、设全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，∁U (A ∪B )＝{1,5}，下列结论正确的是( )A ．3∈A,3∉B B ．3∉A,3∈BC ．3∈A,3∈BD ．3∉A,3∉B4. 全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )．A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )题型五含参问题※ 有限集（注意检验满不满足互异性）1、已知集合{}{}{}22|320,|112,1,1,1M x x x N x Z x Q a a =-+==∈-≤-≤=++（1）求MN (2) 若M Q ⊆,求实数a 的值2．若集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，且B A ，求实数a 的值．※ 无限集（画数轴计算）1. 设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式2230x x --≤的解集为N .（Ⅰ）当1a =时,求集合M ；（Ⅱ）若M N ⊆,求实数a 的取值范围.2、设A={x|y=1x +}，B={x|1≤x ≤3}, C={x|x>a}（1）求集合A ∪B ，A ∩（C R B ）．（2）的取值范围，求若a B C B =⋂（3）∅=⋂C B 若,求a 的取值范围。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结单选题1、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D2、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．3、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4、命题“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是（）A．∃x≥0,x2+ax−1<0B．∃x≥0,x2+ax−1≥0C．∃x<0,x2+ax−1<0D．∃x<0,x2+ax−1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax−1<0”.故选：C5、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.6、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.7、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C8、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题9、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．10、已知全集U=Z，集合A={x|2x+1≥0,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，则（）A．A∩B={0,1,2}B．A∪B={x|x≥0}C．(∁U A)∩B={−1}D．A∩B的真子集个数是7答案：ACD分析：求出集合A，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.A={x|2x+1≥0,x∈Z}={x|x≥−1,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，2A∩B={0,1,2}，故A正确；A∪B={x|x≥−1,x∈Z}，故B错误；,x∈Z}，所以(∁U A)∩B={−1}，故C正确；∁U A={x|x<−12由A∩B={0,1,2}，则A∩B的真子集个数是23−1=7，故D正确.故选：ACD11、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．填空题12、请写出不等式a>b的一个充分不必要条件___________．答案：a>b+1 (答案不唯一)分析：根据充分不必要条件，找到一个能推出a>b，但是a>b推不出来的条件即可.因为a>b+1能推出a>b，但是a>b不能推出a>b+1，所以a>b+1是不等式a>b的一个充分不必要条件，所以答案是：a>b+1（答案不唯一）13、已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案：(−∞,4]分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解.当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则{m+1≥−2, 2m−1≤7,m+1<2m−1,解得2<m≤4．综上，m的取值范围为(−∞,4]．所以答案是：(−∞,4]14、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．解答题15、已知集合A={x|−1≤x≤2},B={y|y=ax+3,x∈A}，C={y|y=2x+3a,x∈A}，（1）若∀y 1∈B ，∀y 2∈C ，总有y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；（2）若∀y 1∈B ，∃y 2∈C ，使得y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；答案：（1）a ≥5；（2）a ≥−14. 分析：（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，由题设可得y 1max ≤y 2min ，建立不等式组，解之可得答案. （2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，建立不等式组，解之可得答案.（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，其中−1≤x ≤2，由题设可得y 1max ≤y 2min ，即y 1max ≤3a −2，故{−a +3≤−2+3a 2a +3≤−2+3a ，解得a ≥5.（2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，故{−a +3≤4+3a 2a +3≤4+3a ，解得a ≥−14.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)单选题1、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.2、设集合A、B均为U的子集，如图，A∩(∁U B)表示区域（）A．ⅠB．IIC．IIID．IV答案：B分析：根据交集与补集的定义可得结果.由题意可知，A∩(∁U B)表示区域II.故选：B.3、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D4、已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A．{−4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}答案：D分析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到结果.由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.5、若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x|x<3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{3,4,5,6}B．{0,1,2}C．{0,1,2,3}D．{4,5,6}答案：A分析：根据图中阴影部分表示(∁U B)∩A求解即可.由题知：图中阴影部分表示(∁U B)∩A，∁U B={x|x≥3}，则(∁U B)∩A={3,4,5,6}.故选：A6、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.7、已知命题p：∃x∃N，e x<0（e为自然对数的底数），则命题p的否定是（）A．∃x∃N，e x<0B．∃x∃N，e x>0C．∃x∃N，e x≥0D．∃x∃N，e x≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．8、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出A D，，所以甲是丁的充分不必要条件.记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得，B=C，由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.9、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D10、已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}答案：D分析：根据交集的定义写出A∩B即可．集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D多选题11、若x2−x−2<0是−2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）．A．1B．2C．3D．4答案：BCD分析：根据充分必要条件得出a范围，可得选项.由x2−x−2<0得−1<x<2，因此，若x2−x−2<0是−2<x<a的充分不必要条件，则a≥2．故选：BCD．小提示：本题考查根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题.12、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；A.由(−4,4)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；B.由(−3,3)⊂≠C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.13、已知集合A={4，a}，B={1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（）A．{-1，1，4}B．{1，0，4}C．{1，2，4}D．{-2，1，4}答案：BCD分析：根据集合元素的互异性讨论参数范围即可得结果．若A∪B含3个元素，则a=1或a=a2或a2=4，a=1时，不满足集合元素的互异性，a=0，a=2或a=−2时满足题意，结合选项可知，A∪B可能是{1，0，4}，{1，2，4}，{-2，1，4}．故选：BCD．14、(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D．若ab＝0，则a＝0答案：BCD分析：根据必要条件的定义逐一判断即可.A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(−2)2−4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD15、对任意实数a、b、c，给出下列命题，其中真命题是（）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件答案：CD分析：利用特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B选项的正误；利用必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用充要条件的定义可判断D选项的正误.对于A，因为“a=b”时ac=bc成立，ac=bc且c=0时，a=b不一定成立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a=−1，b=−2，a>b时，a2<b2；a=−2，b=1，a2>b2时，a<b.所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a<3”是“a<5”的必要条件，C正确；对于D“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确.故选：CD.小提示：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于基础题.16、已知集合A ={x ∣x 2−2x −3=0}，B ={x ∣ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的可能取值（）A ．0B ．3C ．13D ．−1答案：ACD解析：由集合间的关系，按照a =0、a ≠0讨论，运算即可得解.∵集合A ={−1,3}，B ={x |ax =1}，B ⊆A ，当a =0时，B =∅，满足题意；当a ≠0时，B ={x |ax =1}={1a }，要使B ⊆A ，则需要满足1a =−1或1a =3，解得a =−1或a =13，∴a 的值为0或−1或13.故选：ACD .17、设A ={x|x 2−8x +15=0}，B ={x|ax +1=0}，若A ∩B =B ，则实数a 的值可以为（）A ．−15B ．0C ．3D ．−13答案：ABD分析：根据A ∩B =B ，得到B ⊆A ，然后分a =0， a ≠0讨论求解.∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，A ={x|x 2−8x +15=0}={3,5} ，当a =0时，B =∅，符合题意；当a ≠0时，B ={−1a } ，要使B ⊆A ，则−1a =3或−1a =5，解得a =−13或a =−15．综上，a =0或a =−13或a =−15．故选：ABD ．18、下列说法正确的是（）A ．“对任意一个无理数x ，x 2也是无理数”是真命题B ．“xy >0”是“x +y >0”的充要条件C ．命题“∃x ∈R, x 2+1=0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+1≠0”D ．若“1<x <3”的必要不充分条件是“m −2<x <m +2”，则实数m 的取值范围是[1,3]答案：CD解析：根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．x =√2是无理数，x 2=2是有理数，A 错；x =−1,y =−2时，xy >0，但x +y =−3<0，不是充要条件，B 错；命题∃x ∈R,x 2+1=0的否定是：∀x ∈R,x 2+1≠0，C 正确；“1<x <3”的必要不充分条件是“m −2<x <m +2”，则{m −2≤1m +2≥3，两个等号不同时取得．解得1≤m ≤3．D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．19、（多选）下列是“a <0，b <0”的必要条件的是（）A ．(a +1)2+(b +3)2=0B ．a +b <0C ．a −b <0D ．a b >0答案：BD分析：由a<0,b<0判断各个选项是否成立可得．取a=−2，b=−4，得(a+1)2+(b+3)2=2≠0，故A不是“a<0，b<0”的必要条件；由a<0，b<0，得a+b<0，故B是“a<0，b<0”的必要条件；取a=−2，b=−4，得a−b=−2−(−4)=2>0，故C不是“a<0，b<0”的必要条件；>0，故D是“a<0，b<0”的必要条件．由a<0，b<0，得ab故选：BD．20、下列关系正确的是（）A．0∉∅B．∅⊆{0}C．{∅}⊆{0}D．∅{∅}答案：ABD分析：利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.由空集的定义知：0∉∅，A正确.∅⊆{0},B正确.{∅}⊄{0}，C错误.∅{∅},D正确.故选：ABD.填空题21、已知集合A={x|x<-1，或x>2}，B={x|2a≤x≤a+3}，若“x∃A”是“x∃B”的必要条件，则实数a的取值范围是______.答案：(-∞，-4)∃(1，+∞)分析：根据题目条件可得B ∃A ，对B 进行分类讨论求出实数a 的取值范围.因为“x ∃A ”是“x ∃B ”的必要条件，所以B ∃A ，当B =∃时满足题意，即2a >a +3，所以a >3；当B ≠∃时，{2a ≤a +3a +3<-1 或{2a ≤a +32a >2，解得：a <-4或1<a ≤3；综上可得，实数a 的取值范围是(-∞，-4)∃(1，+∞).所以答案是：(-∞，-4)∃(1，+∞).22、设非空集合Q ⊆M ，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合M ={1,2,3,4,5,6,7}，则其偶子集Q 的个数为___________.答案：63分析：对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{1,3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、{5,7}，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合Q ={1,3,5,7}，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{2,4}、{2,6}、{4,6}，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合Q ={2,4,6}，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6×3=18种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.所以答案是：63.23、若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案：m>3分析：由题，“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则(m,+∞)是(3,+∞)的真子集，可得答案. 因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m,+∞)是(3,+∞)的真子集，所以m>3，故答案为m>3.小提示：本题考查了不要不充分条件，属于基础题.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总单选题1、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.2、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.3、已知集合S={x∈N|x≤√5}，T={x∈R|x2=a2}，且S∩T={1}，则S∪T=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.4、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．7、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q> 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.多选题9、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）A．0≤m<4B．0<m<2C．1<m<4D．−1<m<6答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.10、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．11、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.填空题12、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．13、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：014、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．解答题15、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

精选高一数学必修一第一章知识点与习题讲解.docx

必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征 .¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ } ”括起来，基本形式为 { a 1, a 2 , a 3 , ,a n } ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集 . 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为 { xA | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要把握其属性 P(x) ，适用于无限集 .3. 通常用大写拉丁字母A, B, C,表示集合 .要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集N * 或N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与集合之间的关系是属于（ belong to ）与不属于（ not belong to ），分别用符号、表示，例如 3N ，2 N .¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（ 1）由方程 x(x 2 2 x 3) 0 的所有实数根组成的集合；（ 2）大于 2 且小于 7 的整数 .解：（ 1）用描述法表示为： { x R | x( x 22x 3) 0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（2）用描述法表示为：{ x Z | 2 x 7} ；用列举法表示为 {3,4,5,6} .【例 2】用适当的符号填空：已知A{ x | x 3k2,k Z } ， B{ x | x 6m1, m Z} ，则有：17A ；－ 5A ；17B.解：由 3k 2 17，解得 k5 Z ，所以 17A ；由 3k27Z ，所以5 A ；5，解得 k3由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以 17 B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P 6 练习题 2，13P A 组题 4）（1）一次函数 y x 3 与 y 2x 6 的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 y x 2 4 的函数值组成的集合；（3）反比例函数y 2的自变量的值组成的集合 .xy x 3} {(1,4)} .解：（ 1） {( x, y) |2 xy6（2） { y | y x 2 4} { y | y 4} .（3） { x | y2} { x | x 0} .x{1,4} ，也注意对比（ 2）点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为与（ 3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.* 【例 4】已知集合 A{ a | x a 1有唯一实数解 } ，试用列举法表示集合A ．22x解：化方程x a为： x 2x ( a 2)0 ．应分以下三种情况：21x2⑴方程有等根且不是2 ：由 △ =0，得 a9，此时的解为 x1，合．42⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．⑶方程有一解为2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解为 x2 1 ，合．综上可知， A { 9 2, 2} ．,4. 注意分式方程易造成增根的现象.点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系 .¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合 A 、B ，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 BA ），读作“ A 含于B ”（或 “B 包含 A ”） . 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ AB ），且集合 B 是集合 A 的子集（ B A ），即集合 A 与集合 B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作 AB .3. 如果集合 A B ，但存在元素 xB ，且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper subset ），记作 AB（或 BA ） .4. 不含任何元素的集合叫作空集（ empty set ），记作，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ， BC ，则 AC ；若 A BA ，则 AB ；若 A B A ，则 B A .¤例题精讲：【例 1】用适当的符号填空：（1） { 菱形 } { 平行四边形 } ；{ 等腰三角形 }{ 等边三角形 }.（2）{ xR | 22 0；} 0{0} ；{0} ；N{0}.x解：（ 1），；（2） =， ∈，， .【例 2】设集合A{ x | xn, n Z} , B{ x | x n 1 , n Z } ，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（）.22A BB AAB ABA ．B ．3 C ． 1 3D ．1 1 3解：简单列举两个集合的一些元素，A {, 1, 1 } ， B{ ,32 ,0, ,1, ,, ,,, } ，易知 BA ，故答案选 A ．2 2 222 2 2另解：由B2n 1Z } ，易知 BA ，故答案选 A ．{ x | x2,n【例 3】若集合 M x | x 2x 6 0 , Nx | ax 1 0 ，且 NM ，求实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6 0x2或3 ，因此， M2, 3 .（ i ）若 a0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a 0 时，得 N{ 1 } . 若 N M ,满足12或13 ，解得 a1或 a1 . 或1a 1aa23故所求实数 a 的值为 0 或 .23” ，因为 A点评：在考察“ A B ”这一关系时，不要忘记“ 时存在 A B . 从而需要分情况讨论 .题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A={ a,a+b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，求实数 x 的值 .a b ax22解：若2b ax 2a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1) =0，即 a=0 或 x=1.a 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为0，故舍去；2当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去 .若ab ax 2 2ax 2 -ax-a=0.a 2b ax因为 a ≠ 0，所以 2x 2-x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0.又 x ≠ 1，所以只有 x1 . 12.经检验，此时 A= B 成立 . 综上所述 x2. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论第 3 讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 .¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .并集交集补集由所有属于集合 A 或属于集由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于概念合 B 的元素所组成的集合，的元素所组成的集合，称为集合 A 的所有元素组成的集称为集合 A 与 B 的并集集合 A 与 B 的交集合，称为集合A 相对于全集 U（ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“ A 并 B ”） AB （读作“ A 交 B ”） e U A （读作“ A 的补集”）符号A B { x | x A,或 x B}A B { x | x A, 且 x B}e U A { x | x , 且x }U A图形U表示A¤例题精讲：【例 1】设集合 U R, A { x | 1x 5}, B{ x | 3 x 9}, 求 AB,e U ( AB) .解：在数轴上表示出集合 A 、 B ，如右图所示：BA B { x | 3 x 5} ， AC U ( A B ) { x | x 1,或 x9} ，-1 35 9x【例 2】设 A { x Z | | x | 6} ， B 1,2,3 , C 3,4,5,6 ，求：（1） A (B C ) ；（ 2） A e A ( B C ) .解：A6,5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .（1）又 B C 3 ，∴ A (B C) 3 ；（2）又BC1,2,3,4,5,6，得 C A ( B C ) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .∴ A C A (B C )6, 5, 4,3, 2, 1,0 .【例 3】已知集合 A { x | 2 x 4} ， B { x | x m} ，且 A BA ，求实数 m 的取值范围 .解：由 AB A ，可得 AB .在数轴上表示集合 A 与集合 B ，如右图所示：BA由图形可知， m 4 .-2 4 mx 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U{ x | x 10,且 x N * } ， A {2,4,5,8} ， B{1,3,5,8} ，求 C U (AB) ， C U ( A B) ，(C U A) (C U B) ， (C U A) (C U B) ，并比较它们的关系 .解：由 A B { 1,2,3,4,5,8}，则 C U ( A B){6,7,9} .由 A B {5,8}，则 C U ( A B){1,2,3,4,6,7,9}由 C U A{1,3,6,7,9} ， C U B{2,4,6,7,9}，则 (C U A)(C U B){6,7,9}，(C U A)(C U B){1,2,3,4,6,7,9} .由计算结果可以知道，(C U)()(A B) ，A C U B C U(C U A)(C U B)C U ( A B) .另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究( C U A)(C U B)C U (A B) 与 (C U A)(C U B) C U ( A B) ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲§1.1.3集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法 .¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：C U ( A B) (C U A)( C U B), C U (A B)(C U A)(C U B).2.集合元素个数公式：n( A B)n( A) n( B) n( A B) .3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例 1】设集合A4,2a 1,a2, B9,a5,1 a，若 A B 9 ，求实数 a 的值.解：由于 A4,2a1,a2 , B9,a5,1 a ，且 A B9，则有：当 2 a 1＝9时，解得a＝5，此时A={ － 4, 9, 25} ， B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去；当a 2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B={9, －2,－2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3， A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意.所以， a＝－3 .【例 2】设集合 A { x | ( x 3)( x a) 0,a R} ， B{ x | ( x 4)( x 1) 0} ，求 A B , A B .（教材P14B 组题 2）解： B {1,4} .当 a 3 时，A{3} ，则 A B{1,3,4} ， A B；当 a1时，A{1,3} ，则 A B{1,3,4} ， A B{1} ；当 a 4 时，A{3,4} ，则 A B{1,3,4} ， A B{4} ；当 a 3 且 a 1且 a 4 时，A{3, a} ，则 A B{1,3,4, a} ， A B.点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例 3】设集合 A ={x | x2 4 x0 }，B ={ x | x22( a1)x a210 ，a R}，若A B=B，求实数 a 的值．解：先化简集合A= {4,0} .由A B=B，则 B A，可知集合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i )若 B=，则4(a1)24( a 21)0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0 B ，代入得a2 1 =0 a =1或 a =1，当 a =1时，B= A，符合题意；当 a =1时， B={0}A，也符合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a 270 a =7或 a =1，8a当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得， a =1或 a ≤1．4点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用 . 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题 .【例 4 】对集合 A 与 B ，若定义 A B{ x | x A,且 x B} ，当集合 A { x | x 8,x N * } ，集合B { x | x(x 2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B = . （由教材 P 12 补集定义“集合A 相对于全集 U 的补集为 C U A { x | x , } ”而拓展）且x A解：根据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B {0,2,5,6}由定义 A B { x| x A, 且 x B} ，则A B{1,3,4,7,8} .点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素 . 如果再给定全集U ，则 A B 也相当于 A (C U B) .第 5 讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识要点：1. 设 A 、 B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（ function ），记作 y = f ( x) ， xA ．其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域（ range ）.2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a< b ，则： { x|a ≤ x ≤ b} ＝ [a,b] 叫闭区间； { x|a< x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a ≤ x< b} ＝ [ a,b) ， { x|a<x ≤ b} ＝ (a,b] ，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无穷大” ；“－∞”读“负无穷大” ；“ + ∞”读“正无穷大” . 则{ x | x a} (a, ) ， { x | x a} [a, ) ， { x | x b}( ,b) ， { x | x b}( , b] ， R( , ) .3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则 .当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求下列函数的定义域：（ 1） y1x 3.2；（ 2） y1x1 3x2解：（ 1）由 x 2 1 0 ，解得 x 1且 x 3 ，所以原函数定义域为 (, 3)( 3, 1) ( 1,) .x 3 0，解得 x 3 且 x 9 ，（2）由3x 1 2 0所以原函数定义域为 [3,9)(9,) .【例 2】求下列函数的定义域与值域：（ 1） y3x 2；（ 2） yx 2x 2 .5 4 x解：（ 1）要使函数有意义，则 5 4x 0 ，解得 x 55 . 所以原函数的定义域是{ x | x} .4 43x 2 1 12x 8 1 3(4 x 5) 23 3 23 y5 4 x4 5 4 x5 4x 4 5 4x 4（2） yx2x2( x 1 ) 2 9 . 所以原函数的定义域是2 4 【例 3】已知函数1 x x .求：（ 1） f (2) 的值；（ 2） f ( )1 x 解：（ 1）由1x2 ，解得 x1，所以 f (2)1 .1 x333 3，所以值域为 { y | y3 04 } .44R ，值域是 ( , 9 ] .4f (x) 的表达式（2）设1x t ，解得 x1 t ，所以 f (t ) 1 t，即f ( x)1 x .1x1 t 1t1 x点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数f ( x)x 22 , x R .1 x（1）求 f (x)f ( 1f (2)f (3)f (4) f (1 1 1) .) 的值；（ 2）计算： f (1)) f ( )f ( x12342221 x2x11解：（ 1）由 f ( x)xx1.f ( )1 x2121 212x11xxxx2（2）原式 f (1) ( f (2)f ( 1)) ( f (3) f (1))( f (4) f ( 1)) 137234 2 2点评：对规律的发现，能使我们实施巧算 . 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键 .第 6 讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念 .¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值） .2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的 x ，对应法则不同） .3. 一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（ mapping ）．记作“ f : A B ” .判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f.¤例题精讲：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以 x 为自变量的函数式是 _____，这个函数的定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a －2x) 2.又由 a －2xa0 ，解得 x .2a} .所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是V x(a －2x)2 ，定义域为 { x | 0 x2332x( , 1 )【例 2】已知 f (x)=x2 xx 3 x 3，求 f[ f(0)] 的值 .x ( 1 ,)解：∵ 0 (,1) ，∴ f(0)= 32 .又 ∵ 3 2 >1，∴ f( 32 )=(32)3+( 3 2 )-3=2+1 = 5，即 f[ f(0)]= 5.【例 3】画出下列函数的图象： 2 22（1） y | x2 | ；（教材 P 26 练习题 3）（2） y | x 1| | 2x 4 | .解：（ 1）由绝对值的概念，有y | xx 2, x 2 2 |x, x.22所以，函数 y | x 2 | 的图象如右图所示 .63x 3, x 1（2）y | x 1| | 2x 4 |x 5, 2 x 1 ，3x 3, x2所以，函数y | x1|| 2 x 4 | 的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4，[2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的解析式，并作出函数的图象.3, 2.5x22,2x11,1x 0解： f ( x)0,0x1. 函数图象如右：1, 1x22,2x33,x3点评：解题关键是理解符号m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲§1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 仿照增函数的定义可定义减函数 .2.如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f (x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2） . 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、 x 2∈给定区间，且x 1 < x 2；→计算 f (x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x)2 x在区间（ 0， 1）上的单调性 . x 1解：任取 x , x∈ (0,1) ，且x x. 则f (x1 ) f ( x2 )2x12x21212x1 1x2 1由于 0 x1x2 1 ， x110 ， x2 1 0 ， x2 x10 ，故 f ( x1 )所以，函数 f ( x) 2 x在（ 0，1）上是减函数 .x 1【例 2】求二次函数 f ( x) ax2bx c (a0) 的单调区间及单调性解：设任意 x1 , x2R ，且 x1x2.则2( x2x1 ).(x1 1)(x2 1)f (x2 )0 ，即 f (x1 ) f ( x2 ) . .f ( x1 ) f (x2 )(ax12c)(ax22bx2c)2x22x2 )(x1x2 )[ a (x1 x2 )b] .bx1a( x1) b(x1若 a0 ，当x1x2b时，有 x1x20 ， x1x2b，即 a(x1x2 )b0 ，从而 f ( x1 ) f (x2 ) 0 ，2a a即 f ( x ) f ( x ) ，所以 f (x) 在( ,b]上单调递增 . 同理可得f ( x) 在[b)上单调递减 .122a【例 3】求下列函数的单调区间：2a （1）y | x 1|| 2x 4 | ；（2） y x2 2 | x | 3 .3x3,x1解：（ 1）y | x1|| 2 x4|x 5,2x 1 ，其图象如右.3x3, x2由图可知，函数在[2, ) 上是增函数，在(,2] 上是减函数.2，其图象如右 .（2） yx 2 2 | x |3x 2x 3, xx 22x 3, x 0由图可知，函数在 (, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,) 上是减函数 .点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到f (| x |) 的图象 . 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x)3x 1，指出 f (x) 的单调区间 .x 2解：∵f ( x) 3( x 2) 5 3 5 ，x 2 x 2∴ 把g (x)5的图象沿 x 轴方向向左平移2 个单位，再沿 y 轴向上平移3 个单位，x得到 f ( x) 的图象，如图所示 .由图象得f ( x) 在 ( , 2) 单调递增，在 ( 2, ) 上单调递增 .点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f (x a) b 平移变换规律 .第 8 讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单调性求函数的最大（小）值 .¤知识要点：1. 定义最大值：设函数y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：对于任意的x ∈ I ，都有 f ( x) ≤ M ；存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f ( x) 的最大值（ Maximum Value ） . 仿照最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value）的定义 .b )22. 配方法：研究二次函数y ax 2bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成y a (x24ac b 后，b 24ac b 22a4a当 a0 时，函数取最小值为 4ac ；当 a0 时，函数取最大值 .4a4a3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例 1】求函数 y26的最大值 .xx 1解：配方为 y 6，由 ( x1 )2 33 ，得 06 8 .13 1( x 22 44( x23)4)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润 .解：设他将售出价定为 x 元，则提高了 ( x 10) 元，减少了 10 (x 10) 件，所赚得的利润为y (x 8) [100 10 ( x10)] .即 y 10x 2 280x 1600 10( x 14)2 360 . 当 x 14时， y max 360 .所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大 , 最大利润为 360 元 .【例 3】求函数 y2 xx 1 的最小值 .解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.8点评：形如 y ax bcxd 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究 .【另解】令 x 1t ，则 t 0 ， xt 2 1 ，所以 y 2t 2 t22(t 1 )2 15 ，在 t0 时是增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为4 82.【例 4】求下列函数的最大值和最小值：2[ 5 , 3] ；（ 2） y | x 1| | x 2 | .（ 1）y 3 2x x , x2 2 解：（ 1）二次函数 y 32x x 2的对称轴为 xb，即 x1 .2a画出函数的图象，由图可知，当x1时， y max 4 ；当 x3时， y min9 .24所以函数 y2x [5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为9 .3 2x x ,2 2 4（ 2） y | x 1| | x 2 |3 ( x 2) 2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知， y[ 3,3] . 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲§1.3.2 函数的奇偶性. 理解奇函数、¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数f (x) 定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数 f (x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 如果对于函数定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x)f ( x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称 .3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲：【例 1】判别下列函数的奇偶性：（1） f (x) x 3 1 ；（ 2） f ( x) | x 1| | x 1| ；（ 3） f ( x) x 2x 3 .x { x | x0} ，对于定义域的每一个解：（ 1）原函数定义域为 x ，都有f ( x)( x) 31 (x 31 ) f (x) ，所以为奇函数 .xx（2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x 1 | | x 1 | x| 1 |x | 1f ，|x 所以为偶函数 .（3）由于 f ( x)x 2x 3f (x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数， g ( x) 是偶函数，且 f ( x) g( x)1 ，求 f (x) 、 g( x) .解：∵ f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，x1∴ f ( x)f ( x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g ( x)1f (x)g ( x)1x 11则，即x .11f ( x)g( x)f ( x)g( x)x 1x 1两式相减，解得f ( x)x；两式相加，解得g (x)1x2.1x2 1【例 3】已知 f ( x)是偶函数，x 0时， f ( x) 2 x2 4 x，求x0 时f ( x)的解析式.解：作出函数 y 2 x24x2( x1)22, x0 的图象，其顶点为(1,2) .∵ f ( x) 是偶函数，∴其图象关于y轴对称.作出 x0 时的图象，其顶点为( 1,2) ，且与右侧形状一致，∴ x 0 时， f ( x)2( x 1)22 2 x24x .点评：此题中的函数实质就是y 2 x2 4 | x | .注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当x0 时，x0 ，又由于 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，所以，当 x0 时， f ( x) f ( x)2(x)24( x) 2 x24x.【例4】设函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间(, 0) 上是减函数，实数 a 满足不等式f (3a2a3) f (3a 22a ) ，求实数a的取值范围.解：∵ f (x) 在区间 (,0) 上是减函数，∴ f (x) 的图象在y轴左侧递减.又∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减 .又 f (0) f (0) ，解得 f (0)0，所以 f (x) 的图象在R上递减.∵ f (3a2a3) f (3a 22a)，∴ 3a 2a33a 22a ，解得a1.点评：定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y＝＝x2－ 6x＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）A ．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．选递增再递减．x y22．方程组{ x y0的解构成的集合是（）A ．{( 1,1)}B ．{1,1}C．（ 1，1） D ．{1}3．已知集合 A={ a， b， c}, 下列可以作为集合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d}4．下列图形中，表示M N 的是（）M NN M M N MNA B C D5．下列表述正确的是（）A.{ 0}B.{0}C.{ 0}D.{ 0}6、设集合 A＝ {x|x参加自由泳的运动员} ， B＝{x|x参加蛙泳的运动员} ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()A.A ∩BB.A BC.A ∪ BD.A B7. 集合A={x x 2k, k Z } ,B={ x x 2k 1,k Z },C={ x x4k 1, k Z }又a A, b B, 则有（）10A. （ a+b）AB. (a+b)BC.(a+b)CD. (a+b) A 、 B、 C 任一个8．函数f（x）＝－x2＋ 2（a－ 1）x＋ 2 在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（）a a a aA ．≥ 5B ．≥ 3C．≤ 3D．≤－ 59.满足条件 {1,2,3}M {1,2,3,4,5,6} 的集合 M 的个数是（）A. 8 B .7 C. 6 D.510.全集 U = {1，2，3，4 ，5 ，6，7 ，8 }， A= {3，4，5 }， B= {1，3，6 }，那么集合 { 2 ，7，8}是（）A. A BB. A BC.C U A C U BD. C U A C U B11.下列函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2D．y x3112. 如果集合 A={ x|ax 2＋ 2x ＋ 1=0}中只有一个元素，则 a 的值是（）A ．0B ．0 或 1C． 1D．不能确定二、填空题 (共 4小题，每题x4 分，把答案填在题中横线上)f x）＝2×2－ 3｜｜的单调减区间是 ___________．13．函数（14．函数y1的单调区间为 ___________．＝x＋1{ a,b,1} ，又可表示成 { a 2 , a15.含有三个实数的集合既可表示成b,0} ，则 a2003b2004.a16. 已知集合U{ x |3x 3}， M{ x | 1x 1}， C U N{ x | 0x2} 那么集合N， M (C U N )， M N.三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知集合 A { x x240} ，集合 B{ x ax20} ，若B A ，求实数a的取值集合．18.设 f（ x）是定义在R上的增函数， f（xy）＝ f（ x）＋ f（ y），f（3）＝1，求解不等式 f（ x）＋ f（ x－2）＞ 1．19. 已知函数 f （ x）是奇函数，且当x＞0时， f （x）＝ x3＋2x2—1，求 f （ x）在R上的表达式．20. 已知二次函数 f (x)x 22(m 1)x2m m 2 的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数 f ( x) 的单调递增区间 .必修 1 第一章集合测试集合测试参考答案：一、 1~5 CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13［0， 3］，（－∞，－ 3）4414 （－∞，－ 1 ），（－ 1，＋∞）15-116 N{ x |3 x 0 或 2 x3} ；M(C U N ) { x | 0 x 1} ；MN { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18.解：由条件可得 f xf xf x xf（3）．（）＋（－ 2）＝［（－ 2）］， 1＝所以 f x xf（ 3），又f xx xx＞ 3［（－ 2）］＞（）是定义在 R 上的增函数，所以有（－ 2）＞ 3，可解得12或 x＜－1．答案： x＞3或 x＜－1．19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （）＝x3＋ 2 2－ 1．因f（）为奇函数，∴f（ 0）＝ -1 ．x x x当x＜0时，－ x＞0， f （－ x）＝（－ x）3＋2（－ x）2－1＝－ x3＋2x2－1，∴ f （ x）＝ x3－2x2＋1．20.二次函数 f ( x)x22( m1) x 2m m 2的图象关于y 轴对称，∴ m1，则 f ( x)x21，函数 f ( x) 的单调递增区间为,0 .．。

高一数学必修一第一章知识点与习题讲解精编版

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯必修 1 第一章会合与函数基础知识点整理第 1 讲§会合的含义与表示¤学习目标：经过实例，认识会合的含义，领会元素与会合的“属于” 关系；能选择自然语言、图形语言、会合语言（列举法或描绘法）描绘不一样的详细问题，感觉会合语言的意义和作用；掌握会合的表示方法、常用数集及其记法、会合元素的三个特点.¤知识重点：1. 把一些元素构成的整体叫作会合（set），其元素拥有三个特点，即确立性、互异性、无序性.2. 会合的表示方法有两种：列举法，即把会合的元素一一列举出来，并用花括号“{ } ”括起来，基本形式为 { a1 ,a2 , a3 , , a n} ，合用于有限集或元素间存在规律的无穷集. 描绘法，即用会合所含元素的共同特点来表示，基本形式为{ x A | P( x)} ，既要关注代表元素x，也要掌握其属性P( x) ，合用于无穷集.3. 往常用大写拉丁字母A, B, C ,表示会合.要记着一些常有数集的表示，如自然数集N ，正整数集N *或N，整数集 Z，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与会合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表示，比如3N ，2 N .¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描绘法表示以下会合：（ 1）由方程x(x2 2x 3) 0 的全部实数根构成的会合；（ 2）大于 2 且小于7的整数 .解：（1）用描绘法表示为：{ x R | x(x2 2 x 3) 0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（ 2）用描绘法表示为：{ x Z | 2 x 7} ；用列举法表示为{3,4,5,6} .【例 2】用适合的符号填空：已知 A { x | x 3k 2, k Z} ， B { x| x 6m 1, m Z } ，则有：17 A ；－ 5 A；17 B.解：由 3k 2 17 ，解得 k 5 Z ，所以 17 A ；由 3k 27Z ，所以 5 A ；5 ，解得k3由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以17 B .【例 3】试选择适合的方法表示以下会合：（教材 P6练习题2， P13 A组题 4）（ 1）一次函数y x 3 与 y 2 x 6 的图象的交点构成的会合；（ 2）二次函数y x2 4 的函数值构成的会合；（ 3）反比率函数解：（1）{( x, y) | （ 2）{ y | y x22y的自变量的值构成的会合.xy x 3} {(1,4)} .y 2 x 64} { y | y 4} .（ 3）{ x | y 2} { x | x 0} .x. 在解题中不可以把点的坐标混杂为{1,4} ，也注意对照评论：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量（ 2）与（ 3）中的两个会合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不一样，剖析时必定要仔细.* 【例 4】已知会合 A { a | x ax2 1有独一实数解 } ，试用列举法表示会合A．2解：化方程x a1为：x 2 x (a 2) 0 ．应分以下三种状况：x229 1⑴方程有等根且不是，此时的解为 x2 ：由△=0，得 a ，合．4 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合． ⑶方程有一解为2 ，而另一解不是2 ：将 x2 代入得 a2 ，此时另一解为x2 1 ，合．综上可知， A { 9, 2, 2}．4. 注意分式方程易造成增根的现评论：运用分类议论思想方法，研究出根的状况，进而列举法表示象 .第 2 讲 § 会合间的基本关系¤学习目标：理解会合之间包括与相等的含义，能辨别给定会合的子集；在详细情境中，认识全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达会合间的关系 .¤知识重点：1. 一般地，对于两个会合含关系，此中会合 A 是会合A 、B ，假如会合 A 中的随意一个元素都是会合 B 中的元素，则说两个会合有包 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 B A ），读作“ A 含于 B ”（或 “B 包括 A ”） .2. 假如会合 A 是会合 B 的子集（ A B ），且会合 B 是会合 A 的子集（ B A ），即会合 A 与会合 B 的元素是相同的，所以会合A 与会合B 相等，记作 AB .3. 假如会合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称会合 A 是会合 B 的真子集（ proper subset ），记作A B （或BA ） .4. 不含任何元素的会合叫作空集（empty set ），记作，并规定空集是任何会合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ，BC ，则 A C ；若A B A ，则A B ；若A B A ，则B A . ¤例题精讲：【例 1】用适合的符号填空：（1）{ 菱形 } { 平行四边形 } ； { 等腰三角形 } { 等边三角形 }.（ 2）{ x22 0；} 0{0} ；{0} ；N{0}.R| x解：（1），；（2）=，∈，， .【例 2】设会合A { x| xn,n Z}, B{ x | xn 1 ,n Z } ，则以下图形能表示 A 与 B 关系的是（）.22A B B A ABABA ．B ．3 C ．13D ．3 1 1 3解：简单列举两个会合的一些元素，A { ,1, 1 } ， B{ ,2 ,0, ,1, ,2 , ,,,}，易知 B2 222 2 2 A ，故答案选 A ．另解：由 B{ x | x2n 1Z } ，易知 B A ，故答案选 A ．2 , n【例 3】若会合 M x | x 2x 6 0,N x | ax 1 0，且 N M ，务实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6x 2或3 ，所以， M2, 3 .（ i ）若 a0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a 0时，得 N{1}. 若 NM ,知足1 2或13 ，解得 a1或 a 1 . a aa23故所务实数 a 的值为 0或1或 1 .23”，因为A评论：在观察“ A B ”这一关系时，不要忘掉“ 时存在 A B . 进而需要分状况讨论 . 题中议论的主线是依照待定的元素进行.【例 4】已知会合 A={ a,a+ b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，务实数 x 的值 .解：若a b ax a+ax 2-2ax=0,所以 a(x-1) 2=0，即 a=0 或 x=1.a 2b ax22当 a=0 时，会合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，会合 B 中的元素均相同，故舍去 .a b ax 2 2若2b ax2ax -ax-a=0.a因为 a ≠ 0，所以 2x 2 -x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0. 又 x ≠ 1，所以只有 x1 .2经查验，此时 A=B 建立 . 综上所述 x1 .2. 融入方程组思想，联合元素的互异性确立会合 .评论：抓住会合相等的定义，分状况进行议论第 3 讲 § 会合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个会合的并集与交集的含义，会求两个简单会合的并集与交集；理解在给定会合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达会合的关系及运算，领会直观图示对理解抽象观点的作用 .¤知识重点：会合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解观点，并掌握符号等，再联合解题的训练，而达到掌握的层次 . 下边以表格的形式概括三种基本运算以下 .并集交集补集由全部属于会合 A 或属于集由属于会合 A 且属于会合 B 对于会合 A,由全集 U 中不属于观点合 B 的元素所构成的会合，的元素所构成的会合，称为会合 A 的全部元素构成的集称为会合 A 与B 的并集会合A 与B 的交集合，称为会合A 相对于全集 U（ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“ A 并 B ”）A B （读作“ A 交 B ”）e U A （读作“ A 的补集”）符号A B { x | xA,或 x B} A B { x | x A,且x B}e U A { x | , 且 x A }x U图形U表示A¤例题精讲：【例 1】设会合 U R, A { x | 1 x 5}, B { x |3 x 9}, 求AB, e U ( AB) .解：在数轴上表示出会合A 、B ，如右图所示：BA B { x | 3 x 5} ， AC U ( A B) { x | x 1,或 x9} ，-1359x2】设 A { x Z | | x | 6}，B 1,2,3 , C3,4,5,6【例，求：（1） A (B C) ；（ 2） A e A (B C) .解：A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .（1）又 B C 3，∴A(B C)3 ；（ 2）又 B C 1,2,3,4,5,6，得C A (BC) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .∴ A C A (B C)6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .【例 3】已知会合 A { x | 2 x4}， B { x | x m} ，且 A BA ，务实数 m 的取值范围 .解：由 AB A ，可得 AB .在数轴上表示会合 A 与会合 B ，如右图所示：BA由图形可知， m 4 .-24mx 评论：研究不等式所表示的会合问题，经常由会合之间的关系，获得各端点之间的关系，特别要注意能否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U{ x | x 10,且 x N *}，A{2,4,5,8} ， B {1,3,5,8} ，求 C U ( AB) ，C U (A B) ，3( C U A) (C U B) ，( C U A) (C U B ) ，并比较它们的关系.解：由 A B {1,2,3,4,5,8}，则C U( A B) {6,7,9} .由 A B {5,8} ，则 C U ( A B) {1,2,3,4,6,7,9}由 C U A {1,3,6,7,9} ， C U B {2,4,6,7,9}，则 ( C U A) (C U B) {6,7,9} ，( C U A) (C U B) {1,2,3,4,6,7,9}.由计算结果能够知道，(C U A) (C U B) C U (A B) ，(C U A) (C U B) C U (A B) .另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形能够直接察看出来结果.评论：可用 Venn 图研究(C U A)(C U B) C U ( A B) 与 (C U A) ( C U B) C U ( A B)，在理解的基础记着此结论，有助于此后快速解决一些会合问题.第 4 讲§会合的基本运算（二）¤学习目标：掌握会合、交集、并集、补集的有关性质，运转性质解决一些简单的问题；掌握会合运算中的一些数学思想方法 .¤知识重点：1. 含两个会合的Venn 图有四个地区，分别对应着这两个会合运算的结果. 我们需经过Venn 图理解和掌握各地区的会合运算表示，解决一类可用列举法表示的会合运算. 经过图形，我们还能够发现一些会合性质：C U (A B) (C U A) (C U B), C U ( A B) (C U A)(C U B) .2. 会合元素个数公式：n( A B) n( A) n( B) n( A B) .3. 在研究会合问题时，经常用到分类议论思想、数形联合思想等. 也常由新的定义观察创新思想.¤例题精讲：【例 1】设会合A 4,2a 1,a2 , B 9,a 5,1 a ，若 A B 9 ，务实数 a 的值.解：因为 A4,2a 1,a2 , B 9,a 5,1 a ，且 A B 9 ，则有：当 2a 1＝9时，解得a＝5，此时A={ －4, 9, 25} ， B={9, 0, －4} ，不合题意，故舍去；当 a2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B ={9, －2,－ 2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3，A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意.所以， a＝－3 .【例】设会合 A { x | ( x 3)( x a) 0, a R} ， B { x | ( x 4)( x 1) 0}，求 A B, A B （教材P142 .B组题 2）解： B {1,4} .当 a 3 时， A {3} ，则 A B {1,3,4} ， A B ；当 a 1时，A {1,3} ，则 A B {1,3,4} ， A B {1} ；当 a 4时，A {3,4} ，则 A B {1,3,4} ， A B {4} ；当 a 3 且 a 1 且 a 4时， A {3, a} ，则 A B { 1,3,4, a} ， A B.评论：会合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分状况议论. 排列参数 a 的各样状况时，需依照会合的性质和影响运算结果的可能而进行剖析，不多许多是分类的原则.【例 3】设会合 A ={ x | x2 4 x 0 }， B ={ x | x2 2( a 1)x a2 1 0 ，a R}，若A B=B，务实数 a 的值．解：先化简会合A= { 4,0}.由A B=B，则 B A，可知会合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i)若 B= ，则4( a 1)2 4(a 2 1) 0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0 B，代入得a 2 1 =0 a =1或 a =1，当 a =1时，B=A，切合题意；当 a = 1 时， B={0} A，也切合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a 2 8a 7 0 a =7或 a =1，当 a =1时，已经议论，切合题意；4当 a =7 时， B={ － 12，－ 4} ，不切合题意．综上可得， a =1 或 a ≤ 1 ．. 经过深刻理解会合表示法的变换，及会合之评论：本题观察分类议论的思想，以及会合间的关系的应用间的关系，能够把有关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别简单出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情况，进而造成错误．这需要在解题过程中要全方向、多角度审视问题 .【例 4】对会合 A 与 B ，若定义 A B{ x | x A,且 x B} ，当集合 A { x | x 8, x N * } ，集合B { x | x( x2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B = . （由教材 P 12 补集定义“会合 A 相对于全集 U 的补集为C U A{ x | x,且 x A} ”而拓展）解：依据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B{0,2,5,6}由定义AB{ x | x A,且x B} ，则A B {1,3,4,7,8} .评论：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思想的训练，重点是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从A 中清除B 的元素 . 假如再给定全集U ，则 A B 也相当于 A (C U B) .第 5 讲 §函数的观点¤学习目标：经过丰富实例，进一步领会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学惯用会合与对应的语言来刻画函数，领会对应关系在刻画函数观点中的作用；认识构成函数的因素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识重点：1. 设 A 、 B 是非空的数集，假如按某个确立的对应关系 f ，使对于会合 A 中的随意一个数 x ，在会合 B中都有独一确立的数 y 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从会合 A 到会合 B 的一个函数（ function ），记作 y = f ( x) ，x A ．此中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的会合 { f ( x) | xA} 叫值域（ range ） .2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a<b ，则： { x|a ≤ x ≤ b} ＝ [a,b] 叫闭区间；{ x|a<x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a ≤ x<b} ＝ [ a, b) ， { x|a< x ≤ b} ＝ (a, b] ，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无量大” ；“－∞”读“负无量大” ；“ +∞ ”读“正无量大” . 则{ x | x a} (a , ) ， { x | x a} [ a, ) ， { x | xb}( , b) ， { x| x b}( , b] ， R (, ) .3. 决定函数的三个因素是定义域、值域和对应法例 . 当且仅当函数定义域、对应法例分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求以下函数的定义域：（ 1） y1；（ 2） x3.x 2 y13x1 2解：（1）由 x 2 10 ，解得 x 1且 x 3 ，所以原函数定义域为 ( , 3)( 3, 1) ( 1, ) .x 3，解得 x 3 且 x9 ，（ 2）由x 12 3所以原函数定义域为 [3,9)(9, ) .【例 2】求以下函数的定义域与值域：（ 1） y3x 2；（ 2） y x 2 x 2 .5 4 x解：（1）要使函数存心义，则 5 4x 0 ，解得 x 5 { x | x 5. 所以原函数的定义域是 } .4 43 x 2 1 12x 8 1 3(4 x 5) 23 3 23 3 3 ，所以值域为 { y | y3 y 5 4x45 4 x0 4 } .5 4 x 4 5 4 x 4 4 4（ 2） yx 2 x 2(x 1 )2 9 . 所以原函数的定义域是R ，值域是 ( , 9 ] .1 x2 44【例 3】已知函数 f ( x . 求：（ 1） f (2) 的值；（ 2） f ( x) 的表达式1 )x5解：（1）由1x 2 ，解得 x1，所以 f (2) 1 .1 x33（2）设1x t ，解得 x 1t，所以 f (t ) 1t，即f (x)1 x . 1 x1 t1 t1 x评论：本题解法中突出了换元法的思想. 这种问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，经常需要联合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数 f (x)x 22 , x R .1 x（ 1）求 f ( x)f ( 1 f (2)f (3)f (4) 11 1) 的值；（ 2）计算： f (1) f ( )f ( )f ( ) .x 12 34解：（1）由 f (x) f ( 1)222x2x 2x21 121 x 21 .x 1 x 11 xx1x121x11 1 7（ 2）原式f (1) ( f (2)f ( )) ( f (3) ( f (4)f (2 f ( )))) 32342评论：对规律的发现，能使我们实行巧算 . 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的重点 .第 6 讲 § 函数的表示法¤学习目标：在本质情境中，会依据不一样的需要选择适合的方法（图象法、列表法、分析法）表示函数；经过详细实例，认识简单的分段函数，并能简单应用；认识映照的观点 .¤知识重点：1. 函数有三种表示方法：分析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，长处：简洁，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，长处：直观形象，反响变化趋向）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，长处：不需计算便可看出函数值） .2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不一样范围的 x ，对应法例不一样） .3. 一般地，设 A 、 B 是两个非空的会合，假如按某一个确立的对应法例f ，使对于会合 A 中的随意一个元素 x ，在会合 B 中都有独一确立的元素 y 与之对应，那么就称对应f : A B 为从会合 A 到会合 B 的一个映照（ mapping ）．记作“ f : AB ” .鉴别一个对应能否映照的重点： A 中随意， B 中独一；对应法例 f.¤例题精讲：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，而后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以 x 为自变量的函数式是 _____ ，这个函数的定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a － 2x)2 .又由 a －2xa0 ，解得 x .2a} .所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是V x(a －2 x) 2，定义域为 { x | 0 x2332x(,1)【例 2】已知 f(x)=x 2xx( 1 , ，求 f[f(0)] 的值 .3x 3)x解：∵ 0 (,1) ， ∴ f(0)= 32 .又 ∵ 3 2 >1，∴ f( 32 )=(3 2 )3+( 32 )-3=2+ 1 = 5，即 f[f(0)]=5.【例 3】画出以下函数的图象： 2 22（ 1） y | x 2| ；（教材 P 26 练习题 3）（ 2） y | x 1| | 2 x 4 | .解：（ 1）由绝对值的观点，有 y| xx 2, x 22 |x, x.226所以，函数 y| x 2 | 的图象如右图所示 .3x 3, x 1（ 2） y | x 1| | 2 x 4 |x 5, 2 x 1，3 x 3, x2所以，函数 y | x 1| | 2x 4 | 的图象如右图所示 .评论：含有绝对值的函数式，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，而后依据定义域的分段状况，选择相应的分析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x) [ x] 的函数值表示不超出x 的最大整数，比如 [ 3.5]4 ，[2.1] 2 ，当 x ( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的分析式，并作出函数的图象.3,x 2 2, 2 x 11, 1 x 0解： f ( x) 0, 0 x 1. 函数图象如右： 1, 1 x 22, 2 x 33, x3评论：解题重点是理解符号 m 的观点，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲 § 函数的单一性¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单一性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 理解增区间、减区间等观点，掌握增（减）函数的证明和鉴别.¤知识重点： 1. 增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I ，假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的随意两个自变量 x 1，x 2，当 x 1< x 2 时，都有 f(x 1)< f(x 2 )，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 模仿增函数的定义可定义减函数 .2. 假如函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上拥有（严格的）单一性，区间 D 叫 f(x)的单一区间 . 在单一区间上，增函数的图象是从左向右是上涨的（如右图 1），减函数的图象从左向右是降落的（如右图 2） . 由此，能够直观察看函数图象上涨与降落的变化趋向，获得函数的单一区间及单一性.3. 判断单一性的步骤：设x 1 、 x 2 ∈给定区间，且 x 1 <x 2 ；→计算 f(x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单一性的定义判断函数f (x)2x 在区间（ 0， 1）上的单一性 .x 1解：任取 x , x ∈ (0,1) ，且 x x . 则 f ( x 1) f ( x 2 ) 2x 1 2x 2 2( x 2 x 1 )2 .1 1 2x 1 1 x 2 1 (x 1 1)(x 2 1)因为 0 x 1 x 2 1 ， x 1 1 0 ， x 2 1 0 ， x 2 x 1 0 ，故 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f ( x 1 ) f (x 2 ) .所以，函数 f (x)2x 在（ 0， 1）上是减函数 .x 1【例 2】求二次函数 f (x) ax2bx c (a 0) 的单一区间及单一性 .解：设随意 x 1 , x 2 R ，且 x 1x 2 . 则f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( ax 1 2bx 1 c) (ax 2 2 bx 2 c) a( x 12 x 2 2 ) b( x 1x 2 ) ( x 1 x 2 )[ a(x 1 x 2 ) b] .若 a 0 ，当 x 1 x 2 b x 2 0 ， x 1 x 2b ，即 a (x 1 x 2 ) b 0 ，进而 f ( x 1 ) f (x 2 ) 0 ，时，有 x 1 a 2a bb即 f ( x 1 ) f (x 2 ) ，所以 f (x) 在 ( , 上单一递加 . 同理可得f (x) 在 [, ) 上单一递减 .] 2a3】求以下函数的单一区间： 2a【例（ 1） y | x 1|| 2 x 4 | ；（ 2） yx 2 2| x | 3 .73x 3, x 1解：（ 1） y | x 1| | 2x4 | x5, 2 x 1 ，其图象如右 .3x 3, x 2由图可知，函数在 [ 2, ) 上是增函数，在( , 2] 上是减函数 .（ 2） yx22 | x | 3x 2 2 x 3, x 0 ，其图象如右 .x22x 3, x 0由图可知，函数在 ( , 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1, ) 上是减函数 .评论：函数式中含有绝对值，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也能够由偶函数的对称性，先作y 轴右边的图象，并把 y 轴右边的图象对折到左边，获得 f (| x |) 的图象 . 由图象研究单一性，重点在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x) 3x1，指出 f ( x) 的单一区间 .x 2解：∵ f ( x)3( x 2) 5 3 x 5 ，x 22∴ 把g (x)5的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，x获得 f ( x) 的图象，以下图 .由图象得 f (x) 在 (, 2) 单一递加，在 ( 2, ) 上单一递加 .评论：变形后联合平移知识，由平移变换获得一类分式函数的图象. 需知 f ( x a) b 平移变换规律 .第 8 讲 § 函数最大（小）值¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单一性求函数的最大（小）值 .¤知识重点：1. 定义最大值：设函数y f (x) 的定义域为I ，假如存在实数M 知足：对于随意的 ∈ ，都有 f (x) ≤ M ；x I存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最大值（ Maximum Value ）. 模仿最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value ）的定义 .2. 配方法：研究二次函数 yax 2bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成 y a( xb ) 2 4ac b 2 后，222a4a当 a 0 时，函数取最小值为4ac b ；当 a0 时，函数取最大值4ac b .4a4a3. 单一法：一些函数的单一性，比较简单察看出来，或许能够先证明出函数的单一性，再利用函数的单一性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，而后察看图象获得函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例 1】求函数 y6的最大值 .x 2x1解：配方为 y6，由 (x 1 )368 .13 2 3，得 0( x 224 41 23)4( x)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人假如将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时，每日可售出 100 件 . 此刻他采纳提升售出价，减少进货量的方法增添收益，已知这种商品每件抬价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每日所赚得的收益最大？并求出最大收益 .解：设他将售出价定为 x 元，则提升了 (x 10) 元，减少了 10 ( x 10) 件，所赚得的收益为y (x8) [100 10 (x10)] .即 y10x 2 280x 1600 10( x 14) 2 360 . 当 x 14时， y max360 .8所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每日所赚得的收益最大 , 最大收益为 360 元. 【例 3】求函数 y 2 xx 1 的最小值 .解：此函数的定义域为1, ，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1时，y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.评论：形如 y ax bcx d 的函数最大值或最小值，能够用单一性法研究，也能够用换元法研究 .【另解】令x 1 t ，则 t 0 ， x t 21 ，所以 y 2t 2t 2 2(t1 )2 15 ，在 t 0 时是增函数，当 t4 8时， y min 2 ，故函数的最小值为2.【例 4】求以下函数的最大值和最小值：（1） y 3 2x x 2, x[5 , 3] ；（2） y | x 1| | x 2 | .2 2b解：（ 1）二次函数 y3 2 x x 2 的对称轴为 x，即 x1 .2a39画出函数的图象，由图可知，当 x 1 时， y max 4 ；当 x时， y min2 .4所以函数 y3 2x x 2 , x [ 5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为9 .2 24（2）y | x 1| | x 2 | 3 ( x 2) 2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知，y [ 3,3] . 所以函数的最大值为 3, 最小值为 -3.评论：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常依据闭区间与对称轴的关系，联合图象进行剖析 . 含绝对值的函数，常分零点议论去绝对值，转变为分段函数进行研究 . 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲 §函数的奇偶性¤学习目标：联合详细函数，认识奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 理解奇函数、偶函数的几何意义，能娴熟鉴别函数的奇偶性 .¤知识重点：1. 定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的随意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数 f ( x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 假如对于函数定义域内的随意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 拥有奇偶性的函数其定义域对于原点对称，奇函数的图象对于原点中心对称，偶函数图象对于 y 轴轴对称 .3. 鉴别方法：先观察定义域能否对于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等鉴别 f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲：【例 1】鉴别以下函数的奇偶性：（ 1） f ( x) x 3 1 ；（ 2） f (x) | x 1| | x 1| ；（ 3） f ( x) x2 x3 .x解：（1）原函数定义域为 { x | x0} ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x)( 31 31 f ( x) ，所认为奇函数 .x)x( x)x（ 2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x1 | | x 1 | x| 1 | x |，所认为偶函数 .1f | x（ 3）因为 f ( x)x 2x 3f ( x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f (x) 1，求 f ( x) 、 g ( x) .g ( x)f ( x) 是奇函数，g ( x) 是偶函数，x 1解：∵∴ f ( x)f (x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g ( x)1f (x)g (x)1 x 1 x 1则，即.1 1f ( x)g ( x) f ( x) g (x)x 1 x 1两式相减，解得 f (x)x；两式相加，解得g (x)12 2 . x 12x2x 1【例3】已知 f ( x)是偶函数，x 0 时， f ( x) 4 x ，求x 0 时f (x)的分析式.解：作出函数 y24 x 2( x22, x 0 的图象，其极点为(1,2) .2 x 1)∵ f (x) 是偶函数，∴ 其图象对于y 轴对称 .作出 x 0 时的图象，其极点为( 1,2) ，且与右边形状一致，∴ x 0 时， f (x) 2( x 1)2 2 2 x2 4 x .评论：本题中的函数本质就是y 2 x2 4 | x | . 注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也能够直接由函数奇偶性的定义来求，过程以下.【另解】当x 0 时，x 0 ，又因为 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，所以，当 x 0 时， f ( x) f ( x) 2( x)2 4( x) 2 x2 4 x .【例 4 】设函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间( ,0) 上是减函数，实数 a 知足不等式f (3a 2 a 3) f (3a2 2a) ，务实数 a 的取值范围 .解：∵ f ( x) 在区间 ( ,0) 上是减函数，∴ f ( x) 的图象在y轴左边递减.又∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象对于原点中心对称，则在y 轴右边相同递减 .又 f ( 0) f (0) ，解得 f (0) 0 ，所以 f ( x) 的图象在R上递减.∵ f (3a2 a 3) f (3a 2 2a ) ，∴3a 2 a 3 3a22a ，解得a 1 .评论：定义在R 上的奇函数的图象必定经过原点. 由图象对称性能够获得，奇函数在对于原点对称区间上单一性一致，偶函数在对于原点对称区间上的单一性相反.会合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个切合要求)1．函数y＝＝x2－6x＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）A．递减函数B．递加函数C．先递减再递加D．选递加再递减．x y 22．方程组{ x y 0 的解构成的会合是（）A ．{( 1,1)} B．{1,1} C．（ 1， 1）D．{1}3．已知会合 A={ a， b， c}, 以下能够作为会合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d}4．以下图形中，表示M N的是（）M NN M M N MNA B C D5．以下表述正确的选项是（）A. { 0}B.{0}C. { 0}D. { 0}6、设会合A＝{x|x 参加自由泳的运动员} ， B＝ {x|x 参加蛙泳的运动员} ，对于“既参⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯加自由泳又参加蛙泳的运动员”用会合运算表示为( )A.A ∩B B ∪B B7.会合 A={x x 2k, k Z } ,B={ x x 2k 1, k Z } ,C={ x x 4k 1, k Z }又a A,b B, 则有（）A. （ a+b） AB. (a+b) BC.(a+b) CD. (a+b) A、B、C 任一个）8．函数f （）＝－2＋ 2（a－1） x＋2在（－∞，4）上是增函数，则 a 的范围是（x x a a aaA．≥5 B．≥3 C．≤3 D．≤－59.知足条件 {1,2,3} M {1,2,3,4,5,6} 的会合 M 的个数是（）A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集 U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么会合 { 2 ，7 ，8} 是（）A. A BB.ABC. C U A C U BD. C U A C U B11.以下函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2 D．y x3 112. 假如会合 A={ x|ax 2＋ 2 x＋ 1=0} 中只有一个元素，则 a 的值是（）A ． 0 B．0或1 C．1 D．不可以确立二、填空题 (共 4 小题，每题 4 分，把答案填在题中横线上)13．函数f（x）＝ 2× 2－3｜x｜的单一减区间是 ___________．14．函数y＝1的单一区间为 ___________．x＋1{ a,b,1} ，又可表示成 { a 2 ,a15.含有三个实数的会合既可表示成b,0} ，则 a 2003 b2004 .a16.已知会合U { x | 3 x 3}，M { x | 1 x 1} ， C U N { x | 0 x 2}那么会合N ，M (C U N) ， M N .三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知会合 A { x x 2 4 0} ，会合 B { x ax 2 0}，若B A ，务实数a的取值会合．18. 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝ 1，求解不等式f（x）＋f（x－2）＞ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯19. 已知函数 f （ x ）是奇函数，且当 x ＞ 0 时， f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2—1，求 f （ x ）在 R 上的表达式．20. 已知二次函数f ( x) x 2 2(m 1) x 2m m 2 的图象对于 y 轴对称，写出函数的分析表达式，并求出函数 f (x) 的单一递加区间 .必修 1 第一章会合测试会合测试参照答案：一、 1~5CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13 ［ 0， 3］，（－∞，－ 3）4414（－∞，－ 1），（－ 1，＋∞） 15 -116 N { x | 3 x 0 或 2 x 3} ；M (C U N ) { x | 0 x 1} ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯M N { x | 3 x 1或 2 x3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18. 解：由条件可得f x f x f x x f（ 3）．（）＋（－2）＝［（－2）］，1＝f x x f f xR 上的增函数，所以有x x3，可解得x所以［（－ 2）］＞（ 3），又（）是定义在（－2）＞＞ 3 或 x＜－1．答案：＞3 或＜－ 1．x x19.．分析：本题主假如培育学生理解观点的能力．f（ x）＝ x3＋2x2－1．因 f （ x）为奇函数，∴ f （0）＝-1．当 x＜0时，－ x＞0， f （－ x）＝（－ x）3＋2（－ x）2－1＝－ x3＋2x2－1，∴ f （ x）＝ x3－2x2＋1．20. 二次函数 f (x) x2 2(m 1)x 2m m2的图象对于y 轴对称，∴ m 1，则f ( x) x 2 1，函数 f (x) 的单一递加区间为,0 .．。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重难点归纳(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重难点归纳单选题1、若集合A ={x ∣|x |≤1,x ∈Z }，则A 的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A ={x ∥x ∣≤1,x ∈Z } ={−1,0,1}，则A 的子集个数为23=8个，故选：D.2、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C3、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B ={−2,−1,1}，则A ∩(∁U B )={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、已知集合A={x|x+2x−4<0}，B={0,1,2,3,4,5}，则(∁R A)∩B=（）A．{5}B．{4,5}C．{2,3,4}D．{0,1,2,3}答案：B分析：首先化简集合A，再根据补集的运算得到∁R A，再根据交集的运算即可得出答案.因为A={x|x+2x−4<0}=(−2,4)，所以∁R A={x|x≤−2或x≥4}.所以(∁R A)∩B={4,5}故选：B.5、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可. 解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.6、设集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}．若A∩B=B，则实数a的值为（）A．1B．−1C．1或−1D．0或1或−1答案：D分析：对a进行分类讨论，结合B⊆A求得a的值.由题可得A={x|x2=1}={1,−1}，B⊆A，当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B={1a }，则1a=1或1a=−1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D.7、下列命题中正确的是（）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而 ϕ 不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.8、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.多选题9、设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆NC．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2答案：ABC解析：根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.对于A，若a<−1，则3+a<2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a>4，则显然任意x∈M，则x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N=R，则{a<23+a>4，解得1<a<2，故C正确；对于D，若M∩N=∅，则{a≥23+a≤4，不等式无解，则若M∩N≠∅，a∈R，故D错误.故选：ABC.10、定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合B={1,2,3}的孙子集的是（）A．∅B．{1}C．{1,2}D．{1,2,3}答案：BC分析：根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B的关系，即可确定正确选项.A：∅为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求；B：{1}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；C：{1,2}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；D：{1,2,3}为集合B的子集，但不是真子集，不合要求.故选：BC11、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．B∩A=B D．A=B=C解析：根据集合A,B,C中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其它角，比如−330∘，所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于90∘的角，故B选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC小提示：本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.填空题12、已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．，+∞）．答案：{0}∪[94分析：分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，，故成立；解得x=13当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，；解得a≥94综上所述，a的取值范围是{0}∪[9，+∞）．4，+∞）．所以答案是：{0}∪[9413、已知命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是___________.答案：a>18分析：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.因为命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，当a=0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是假命题，不合题意；当a≠0时，得{a>0Δ=1−8a<0，解得a>18.所以答案是：a>18小提示：关键点点睛：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题求解是解题关键.14、已知集合A={x|x≥4或x<−5}，B={x|a+1≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围_________．答案：{a|a<−8或a≥3}分析：根据B⊆A，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B⊆A，只需a+3<−5或a+1≥4，解得a<−8或a≥3．所以实数a的取值范围{a|a<−8或a≥3}.所以答案是：{a|a<−8或a≥3}解答题15、用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．答案：(1){0,2，4，6，8，10}；(2){−2，−1，2}(3){(1，2)}分析：（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以构成的集合为{0,2,4,6,8,10}，（2）(x+1)(x2−4)=0的根为x1=−1,x2=2,x3=−2，所以所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}，（3）联立y=x+1和y=2x，解得{x=1y=2，所以两个函数图象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)}。

苏教版高中数学必修一第一章章末知识整合(附答案)

章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来．解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求． ②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求．综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4. 又因为因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，且B ⊆A ，利用数轴所以－p 4≤－1.所以p≥4，故实数p的取值范围为{p|p≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P＝{(x，y)|x＋y＜4，x，y∈N*}，则集合P 的非空子集的个数是()A．2 B．3 C．7 D．8解析：当x＝1时，y＜3，又y∈N*，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y＜2，又y∈N*，因此y＝1；当x＝3时，y＜1，又y∈N*，因此这样的y不存在；当x≥4时，y＜0，也不满足y∈N*.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．(2)当a－3＞5，即a＞8时，A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；当a＞8时，A∪B＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合∁A(A∩B)＝________．解析：因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x<1或x>3}，所以A∩B＝{x|－4<x<1或3<x<4}．所以∁A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．答案：{x|1≤x≤3}四、利用集合的运算求参数[例4]设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，求实数t的取值范围．分析：由M∪N＝M，知N⊆M.根据子集的意义，建立关于t的不等式关系来求解．解：由M∪N＝M得N⊆M，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立．当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3.综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅；当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析：每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12。

(新教材)部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总(附答案)

（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。

必修一数学第一章知识点总结

必修一数学第一章知识点总结第一章的主要内容是集合和函数。

一、集合1. 集合的概念：把具有某种特定属性的个体放在一起，构成一个整体称为集合。

例如，全体大于0的实数构成一个集合。

2. 集合的表示方法：用大写字母A, B, C, ...表示集合，小写字母a, b, c, ...表示集合中的元素。

3. 集合的元素关系：属于关系和不属于关系。

元素a属于集合A，记作a∈A；元素b不属于集合A，记作b∉A。

4. 集合的相等：如果两个集合A和B有相同的元素，即对任意元素a，a∈A当且仅当a∈B时，称集合A和B相等，记作A=B。

5. 集合的包含和包含关系：如果一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，即对任意元素a，a∈A时必有a∈B，称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

反过来，如果A包含于B且B包含于A，则称集合A和B相等，记作A=B。

6. 空集和全集：一个不含有任何元素的集合称为空集，记作Φ；包含所有可能元素的集合称为全集，通常用U表示。

7. 集合的运算：并集、交集和差集。

- 并集：将属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作A∪B。

- 交集：将同时属于集合A和集合B的元素组成的集合，记作A∩B。

- 差集：将属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合，记作A-B。

二、函数1. 函数的概念和表示：函数是一个映射关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中唯一确定的元素上。

记作f：A→B。

2. 定义域和值域：函数的定义域是指输入可以取的值的集合，值域是指函数的输出可以取的值的集合。

3. 特殊函数：- 常函数：f(x)=c，其中c为常数。

- 线性函数：f(x)=kx，其中k为常数。

- 幂函数：f(x)=x^n，其中n为常数，x为自变量。

- 平方函数：f(x)=x^2。

- 开方函数：f(x)=√x。

- 绝对值函数：f(x)=|x|。

4. 求解函数关系式：- 解定义域：根据函数的定义域的限制条件，解方程或不等式，求出定义域。

2020年高中数学必修第一册知识点总结系列第1章(一点一例一巩固)

第1页高一数学一点一例一巩固必修第一册知识点精编（一点一例一巩固）第一章集合与常用逻辑用语（第一单元）知识点1 集合的含义及表示例1、(集合的互异性){}=1,2,3A ，{}=4,5B {}M=,,x x a b a A b B =+∈∈集合，则M 中元素的个数为（）.A 3 .B 4 .C 5 .D 6 解析：当4b =时，a b +的可能值为5,6,7；当5b =时，a b +的可能值为6,7,8 所以{}M=5,6,7,8x ，故选B例2、(多选)（集合的表示）方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集可以表示为（）.A 3(,)1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭ .B 1(,)2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭.C {}(1,2）.D {}(,)1,2x y x y == 解析：1x = 与2y =关系是同时成立或1x =且2y =，所以A,B 选项对，C 选项是列举法也正确。

故选A,B,C例3、（集合与元素的关系）集合{}=,,A x R x a a Z b Z ∈=+∈∈，则元素____x A =解析：x ==,不符合A中元素的特征，所以x A =知识点1巩固练习1、（集合的互异性）方程2280x x +-=和方程2120x x +-=的所有实数根组成的集合为M,则M 中的元素个数为（）.A 1 .B 2 .C 3 .D 42、（集合的表示）集合5793,,234⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，，用描述法表示为（）.A 21,2nn x x n N *⎧+⎫=∈⎨⎬⎩⎭ .B 23,n x x n N n *⎧+⎫=∈⎨⎬⎩⎭.C 21,n x x n N n *⎧-⎫=∈⎨⎬⎩⎭ .D 21,n x x n N n *⎧+⎫=∈⎨⎬⎩⎭3、（集合的表示）已知,x y 均为非零实数，则集合M=x y xy m m x y xy ⎧⎫⎪⎪=++⎨⎬⎪⎪⎩⎭用列举法可表示为M=__.4、已知集合{}2=420,A x ax x x R -+=∈，若集合A 中只有一个元素，则a 的值为________.知识点一巩固练习参考答案1、C2、D3、{}=31A ，-4、0，2第2页高一数学一点一例一巩固知识点2 集合间的基本关系例1、（子集）集合{}=1,0,12A -，，A 的子集中含有元素0的子集共有（）.A 6 .B 8 .C 12 .D 16解析：可以列举{}0，{}01-，，{}0,1，{}0,2，{}0,11-，，{}0,12，，{}0,12-，，{}1,0,12-，或用公式只需找出由-1,1,2三个集合的所有子集，32=8，然后把0再加进去就行了. 例2、（相等）设集合{}=1,,A a b ，且{}2=,,B a a ab ，则20102010a b +=_______.解析：若 =1a ，显然不符合集合的互异性要求；若2=11a a ⇒=-,此时0b b b =-⇒=，20102010ab +=1；若23=111ab a b a a ⇒=⇒=⇒=,不和题意.例3、（由子集关系求参数）集合{}=11A x x -≤≤，{}=121B x a x a -≤≤-，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ).A {}1a a ≤ .B {}1a a < .C {}01a a ≤≤ .D {}01a a <<解析：若=B φ，则2110a a a -<-⇒<；若B φ≠，则2110110012111a a a a a a a a -≥-≥⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≥⇒≤≤⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩综上，{}01a a ≤≤，选C知识点2巩固练习1、（子集）已知集合1M=,6x x m m Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，1N=,23n x x n Z ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭,1P=,26p x x p Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭则M,N,P 的关系为_____________.2、（相等，由集合关系求参数）已知集合{}M=-25x x ≤≤，{}N=621x m x m -≤≤-，若M=N ，则实数m 的取值集合为______________. 若M N ⊆，则实数m 的取值集合为______________.知识点2巩固练习参考答案 1、M N P ⊂= 2、φ；{}3m 4m ≤≤第3页高一数学一点一例一巩固知识点3 并集、交集例1、（并集）满足{}{}1,31,3,5A =的集合A 可能有_________________________.解析：A 中至少含5，所以用列举法得{}{}{}{}=55,15,35,1,3A ，，，例2、（交集）已知集合{}2,1,0,2,3A =--，{}21,B y y x x A ==-∈,则AB 中元素的个数是（）.A 2 .B 3 .C 4 .D 5解析：因为{}3,0B =，-1,8，所以AB 中元素的个数是3，故选B例3、（由交集求参数）集合{}=24A x x ≤≤，{}=3B x a x a <<，若=B A φ，则实数a 的取值范围是__________.解析：若=B φ时，30a a a ≥⇒≤，满足要求；若=30B a a a φ⇒>⇒>时，4a ≥或32a ≤，即4a ≥或203a <≤，综上得实数a 的取值范围，23a ≤或4a ≥.知识点3巩固练习1、（多选）（交集并集）已知集合1M=,44k x x k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，集合1N=,84k x x k Z ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭,则 .A M N ≠⊂ .B N M ≠⊂.C M N M = .D M N M =2、（由交集求参数）设集合{}=1,A x x a x R -<∈，{}B=15,x x x R <<∈.若=B A φ，则实数a 的取值范围是_____.3、（交集并集求参数）设集合{}2C=280x x x +-={}22=190A x x ax a -+-=，{}2=560B x x x -+=若=A B A B 时，则实数a 的值为_________.若A B φ≠⊂，且A C φ=则实数a 的值为____.知识点3巩固练习参考答案1、AD2、0a ≤ 或6a ≥3、5；-3.第4页高一数学一点一例一巩固知识点4 补集例1（补集）若全集{}1,2,3,4U =，集合{}2M=430x x x -+=，{}2N=560x x x -+=,则C (MN)=U ( ).A {}4 .B {}1,2 .C {}1,24， .D {}1,3,4解析：{}M=1,3，{}N=2,3,所以{}C (MN)=1,2,4U例2（由补集求参数）已知全集为R,集合{}=26A x x <<，{}=44B x a x a -≤≤+，且A C B U ⊆，则实数a 的取值范围是__________.解析：由已知得显然B φ≠，{}C B=44U x x a x a <->+或，由A C B U ⊆得4642a a -≥+≤或，即102a a ≥≤-或知识点4巩固练习1、（多选）（补集）已知为全集，则下列说法正确的是（）.A 若A B φ=则()()U U C A C B U = .B 若A B φ=则A φ=或B φ= .C 若A B U =则()()U U C A C B φ=.D 若A B φ=则A B φ==2、（补集）已知集合{}=31A x x <->或{}=4B x x x a ≥>或，若()R AC B 中恰好含有2个整数，则a 的取值范围为( ).A 34a << .B 34a ≤< .C 34a <≤ .D 34a ≤≤3、（补集求参数值）设全集R ，已知集合{}2M=(3)0x x +≤，{}2N=60x x x +-=,记集合A=(C )R M N ，{}B=15,x a x a a R -≤≤-∈，若A B A =，，则实数，a 的取值范围为________.知识点4巩固练习参考答案 1、ACD 2、B 3、3a ≥第5页高一数学一点一例一巩固第一单元方法汇总方法1数轴在集合运算中的运用例1、已知集合{}A=11x x x >≤-或,{}B=23x x -≤<,则A B=_____.解析：把集合A 和B 表示在数轴上，得出A B ，即{}A B=2113x x x -≤≤-<<或方法2数形结合在集合中的运用例2、某班共有30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为_________. 解析：由右图得x=15+10-(30-8)=3 所以喜欢篮球不喜欢乒乓球的人15-3=12人方法3分类讨论在集合中运用例3、已知U=R ,集合{}2A=20x x x --=,{}B=10x mx +=，B (C A)=U φ,则_____.m =解析：{}A=1,2-，当B=φ时，显然成立，此时0m = 当B φ≠时，有1112m m -=--=或，即112m =或-第一单元方法汇总练习1、已知集合{}M=12x x +≤,{}N=31x x x <-≥或,则=_____.M N2、已知{}A=,)3x y y x =+（,{}2B=x y y x x =-（，）则AB 中元素的个数为_________.3、已知集合{}2A=4260x x mx m -++=,{}B=0x x <，A B φ≠,则_____.m =第一单元方法汇总练习参考答案1、R2、23、1m ≤-8X。

高中数学必修一第一章集合知识点总结

高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。

2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。

3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。

4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合。

6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。

二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型高中数学必修一第一章知识点及题型一、第一章第一单元集合---知识点总结知识点一：集合的概念集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。

知识点二：集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作a∉A。

知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。

集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。

知识点四：集合的表示方法集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。

知识点五：集合与集合的关系集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

子集的性质包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

知识点六：集合的运算集合的运算包括交集和并集。

集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

3.交集与并集的性质交集的运算性质：A∩B = B∩A （交换律）A∩A = A （恒等律）A∩∅ = ∅（零律）A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律）并集的运算性质：A∪B = B∪A （交换律）A∪A = A （恒等律）A∪∅ = A （零律）A⊆B ⇔ A∪B = B （吸收律）A∪B = B∪A = {x | x∈A或x∈B} （定义）符号语言、图形语言和自然语言都可以用来表示集合的交集和并集。

4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

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高一数学必修一第一章知识点总结范文及练习

高一数学必修一第一章知识点总结范文及练习第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N某或N+整数集Z有理数集Q实数集R1）列举法：{a,b,c}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{某R|某-3>2},{某|某-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{某|某2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={某|某2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

AA②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于A且义属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛某|某A，且由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={某|某A，或设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作CSA，即某B｝．某B})．S{某|某S,且某A}CA=韦AASBBA恩图图1图2示性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=A=Cu(AB)AB=BAAB=BA(CuA)(CuB)质ABAABＡ=Cu(AB)ABBABBA(CuA)=UA(CuA)=Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个3.若集合M={y|y=某2-2某+1,某R},N={某|某≥0}，则M与N的关系是.4.设集合A=某1某2，B=某某a，若AB，则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

高一数学第一章知识点答案

高一数学第一章知识点答案一、数集和数的分类1. 数集的概念及表示方法数集是由若干个数构成的整体，可以用描述法或列举法表示。

2. 数的分类整数、有理数、无理数和实数是数的分类。

整数包括正整数、负整数和0；有理数包括整数和分数；无理数是不能表示为有理数的数；实数包括有理数和无理数。

二、集合的运算1. 并集、交集、差集和补集两个集合的并集是包含两个集合中所有元素的集合；交集是包含两个集合中共有元素的集合；差集是从一个集合中去除另一个集合的元素所构成的新集合；补集是指一个集合在另一个集合中没有出现的元素组成的集合。

2. 集合的运算律集合运算具有交换律、结合律、分配律和对偶律。

三、函数的概念1. 函数的定义及表示方法函数是一个变量的输入与输出之间的关系。

可以用函数符号表示，也可以用表格、图像、文字等形式表示。

2. 定义域、值域和区间函数的定义域是指所有可能输入的集合；值域是函数所有可能输出的集合；区间是由一对实数构成的数的集合。

四、线性方程与一次不等式1. 一次方程的定义及解法一次方程是变量的次数为1的方程，可以通过逆运算来求解。

2. 一次不等式的定义及解法一次不等式是变量的次数为1的不等式，可以通过图像法、代入法等来求解。

五、函数的图像和性质1. 函数的图像函数的图像是函数的输入与输出之间的关系在坐标系中的表示，可以通过绘制函数曲线来得到。

2. 函数的性质函数的奇偶性、单调性、最值、拐点等是函数的性质，可以通过函数的图像来判断。

六、二次函数1. 二次函数的定义及性质二次函数是变量的平方的函数，可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c 的形式。

二次函数的图像是抛物线，具有顶点、轴对称和开口方向等性质。

2. 二次函数的图像和性质分析通过绘制二次函数的图像和分析其性质，可以求解函数的极值、根、轴对称等问题。

七、指数与对数1. 指数的基本性质指数具有乘法法则、除法法则、幂次法则和负指数法则等基本性质。

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