人教A版高中数学必修五《第一章解三角形》常用变换公式及经典例题.docx
人教A版高中数学必修五《第一章解三角形》基础知识和经典例题详解.docx
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 6、简单的判断三角形设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ；②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o ．7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.8．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
高中数学(人教版必修五)疑难规律 第一章 解三角形 Word版含答案
正弦定理的几种证明方法
正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养探索精神，思维的深度广度和灵活度．
正弦定理的内容：
＝＝.
．向量法
证明：在△中做单位向量⊥，则
·＝·(＋)，
＝，
故＝，
同理可证：＝.
即正弦定理可证：＝＝.
．高线法
证明：在△中做高线，则在△和△中，
＝，
＝，
即＝，
＝，
同理可证：＝，
即正弦定理可证．
．外接圆法
证明：做△的外接圆，过点连接圆心与圆交于点，连接，设圆的半径为，
∴△为△，且＝，且＝，
∴＝，即＝.
同理：＝，＝，
∴＝＝.
．面积法
∵△＝＝＝，
∴正弦定理可证：＝＝.
正弦定理的一个推论及应用
在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△中，若>，则与的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为与的大小关系不确定．若再问：在△中，若>，则与的大小关系怎样？
仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．
一、结论
例在△中，>⇔>.
分析题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？
证明因为>⇔>(其中为△外接圆的半径)，
根据正弦定理变式＝，＝(其中，分别为，的对边)，可得>⇔>，
再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，
可得>⇔>.所以>⇔>.。
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题复习课程.docx
第一章 解三角形1、正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半径，则有： a b c 2R ．sin sin sinC2、正弦定理的变形公式：① a2Rsin ， b 2Rsin ， c 2Rsin C ；② sin a ， sin bc2R ， sin C ；2R 2R③ a : b : c sin :sin :sin C ；④a b c a b csinsin C sinsin．sinsin C注意： 正弦定理主要用来解决两类问题： 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、 两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知 a 、b 、 A （ A 为锐角）求B 。
具体的做法是： 数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以 AD 有无交点：当无交点则 B 无解、 C当有一个交点则 B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。
a法二：是算出 CD=bsinA, 看 a 的情况： bbsinA当 a<bsinA ，则 B 无解 当 bsinA<a ≤ b, 则 B 有两解AD当 a=bsinA 或 a>b 时， B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：SC1bcsin1 ab sin C 1acsin．2224、余弦定理：在C 中，有 a 2b 2c 2 2bc cosc 2a 2b 2 2ab cosC， b 2 a 2 c 2 2ac cos ，．5、余弦定理的推论：b 2c 2a 2cos2bc ，a 2 c 2b 2cos2ac ，a 2b 2c 2cosC2ab ．6、如何判断三角形的形状：设 a 、b、 c 是 C 的角、、 C 的对边，则：①若 a2b2c2，则 C90o；②若a2b2c2，则 C90o；③若a 2b22，则 C90o．B cA7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距 3 千米的C、D两点，O O O并测得∠ ACB=75,∠ BCD=45,∠ADC=30,O、B、 C、 D在同一平面内) ，求两目标C D∠ADB=45(A A、 B 之间的距离。
人教A版高中数学必修五第一章解三角形
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一) 课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2. 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， 得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135°答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60°∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 答案 1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角， ∴B 必为锐角，∴B ＝π6， ∴A ＝π6. ∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. 14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求a b的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°. 由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故a b的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.A 为锐角 a <b sin A a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b 无解 一解(直角) 两解(一锐角， 一钝角)一解(锐角) A 为直角或钝角 a ≤b a >b 无解 一解(锐角) 1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若acos A ＝bcos B ＝ccos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由正弦定理知：sin Acos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403答案 D解析 ∵csin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于() A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴b ＋c4＝c ＋a 5＝a ＋b6.令b ＋c 4＝c＋a5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5ka ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72k b ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A ．1 B ．2C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B， ∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ， 得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A＝12，∴c ＝6. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4， cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2； (4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2. 2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．1．1.2 余弦定理(一)课时目标 1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )A. 3 B ．3C. 5 D ．5答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.答案 30° 解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12， ∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12. 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB =53，∴sinB = 54.∴S △ABC =21acsinB = 21×35×54= 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2 B＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477. (2)由BA ·BC =23得ca ·cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一 角．在有解时只有一解．三边(a ，b ，c )余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有一解时只有一解. 两边和其中一边的对角如 (a ，b ，A ) 余弦定理 正弦定理 由正弦定理求出角B ；由A ＋B ＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A 点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45° 解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时 答案 B解析 由题意， ∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°.由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142－257＋100 ∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302. 化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解 如图所示，连结A 1B 2， 由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船速度的大小为 10220×60＝302(海里/小时)． 答 乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，203 3 m 答案 A解析 h 甲＝20tan 60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)．3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△P AB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析 如图所示，600·sin 2θ＝2003·sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003·sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18 D ．18.53 答案 A解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α， 则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝t v ，AC ＝3t v ，B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B ，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a . 8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ·AC ·sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝82＋52－2×8×5×12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos 120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β). 即山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2×4×6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3. 能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解 如图所示：∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，∠ACB ＝45°∵AB ＝30， ∴BC ＝30，BD ＝30tan 30°＝30 3.在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900， ∴CD ＝30，即两船相距30 m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章 解三角形 复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk 3mk >m (k ＋1)，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin (α－β)B.a sin αsin βcos (α－β)C.a sin αcos βsin (α－β)D.a cos αcos βcos (α－β) 答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin (α－β)＝ADsin β.∴a sin (α－β)＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin (α－β). 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401.∴BC ＝49. 6．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ， sin C ＝23sin B ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得 c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b 243b 2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35，得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝____________.答案 2393解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是。
数学(人教A)必修五《第一章 解三角形归纳整合
知识网络
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
要点归纳
1． 解三角形常见类型及解法 在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常 见类型及其解法见下表：
已知条件 一边和二角 (如 a，B，C)
应用定理 正弦 定理
两边和夹角 (如 a，b，C)
余弦 定理
一般解法 由 A＋B＋C＝180° ，求角 A； 由正弦定理求出 b 与 c；S△＝ 1 acsin B，在有解时只有一解 2 由余弦定理求第三边 c； 由正弦 定理求出一边所对的角，再由 A＋B＋C＝180° 求出另一角． 1 S△＝ absin C， 在有解时只有一 2 解
－2ab1＋cos
π ， 3
2
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
专题三
解斜三角形在实际问题中的应用
解斜三角形应用题的步骤： (1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用 题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角 等． (2)根据题意画出图形． (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通 过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模 型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后 作答．
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
高考真题
单击此处进入
高考真题
网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
网络构建 专题归纳 解读高考 高考真题
4． 解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题 来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型 的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出 示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已 知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化， 哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的 要求．
高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 4.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++= Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径） 2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ． （Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积． 题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=. 题型4【解三角形在实际中的应用】仰角 俯角 方向角 方位角 视角例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解三角形高考题精选一．选择题。
高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜π，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理： sinA ＞ sinB ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ b cos cos A B A B >⇔<（cos y x =在(0,)π上单调递减）2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。
两边和夹角 (如a 、b 、c)余弦定理 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
必修五解三角形整理+例题+练习+答案
第一章 解三角形一、知识点总结 1．正弦定理:()2,sin sin sin a b cC R R A B ===为三角形外接圆的半径变形：例（1）(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322.余弦定理：例（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值_（3）2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．3.面积公式例（4）△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 4.射影定理（了解）：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA5.三角形中的常用结论：2sin ,2sin ,2sin sin =,sin ,sin 222::sin :sin :sin ++=2sin sin sin sin +sin +sin sin sin sin A B C a b a R A b R B c R C a b cA B C R R R a b c A B Ca b c a b cR A B A B C C C A B c >===⎫⎪⎬==>⇔>>⇔>>⎪⎭====边角互化（大角对大边：）①②③④2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2⎧+-=⎪⎪+-⎪⇒=⎨⎪⎪+-=⎪⎩b c a A bc a c b B ac b a c C ab 111222∆===ABC a b c S ah bh ch 111sin sin sin =2224ABC abc S ab C bc A ac B R ∆===或(1),(+>-<a b c a b c 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）二、常见题型 1、解三角形利用正弦定理：①已知两角和任意一边(AAS 、ASA )，求其他的两边及一角（只有一解） ②已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 利用余弦定理：①已知三边(SSS )求三角（只有一解）②已知两边及夹角(SAS )，求第三边和其他两角（只有一解）③已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 已知“SSA ”利用正弦定理与余弦定理求解的区别：(2)sin sin cos cos ∆>⇔>⇔>⇔<ABC A B a b A B A B在中，(3)222sin()sin ,cos()cos tan()tan ,sin cos ,cos sin ,2222A B CA B C A B C A B C A B C A B C A B A B C C πππ+++=⇒⇒=-+=+=-+=-+=-++==三角形中的诱导公式：，A.32或 3B.32或34C.3或34D. 32、判断三角形形状或求值方法一：确定最大角（只要知道三边的关系，就可以利用余弦定理的推论求出角） 方法二：边化角（统一化成角）方法三：角化边（统一化成边）❖常见的形式：例（6）ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状例 (7) 在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．3、构成三角形三边的问题2222222sin ,2sin ,2sin ,2cos sin sin sin 2sin sin cos a R A b R B c R C a b c bc A A B C B C A====+-⇒=+-⋅①常用公式：222222222sin ,sin ,sin ,222cos ,cos ,cos ,222a b cA B C R R R b c a a c b a b c A B C bc ac ab ===+-+-+-===①常用公式：sin =sin ()(sin sin +22)sin 2=sin 2()()2A B A B k k A B A B A B αβαβπαπβππ⇒=⎫⎪=⇔==-+⎬⇒=+=⎪⎭②常见结论：等腰三角形原理：或等腰三角形或直角三角形2222222222222229090a b c A a b c A a b c b a c c a b>+⇒>=+⇒=⎧<+⎪<+⇒⎨⎪<+⎩②常见结论：(钝角三角形)(直角三角形)锐角三角形cos cos ()()cos cos cos cos ()sin 2sin cos ())()3,sin 2sin cos ()a Ab B a bc A B C b a C A B C a b c b c a bc A B C =====+++-==①等腰三角形或直角三角形②等边三角形③直角三角形④等腰三角形⑤（且等边三角形21,,1()2.a a a a +-【例8】设为钝角三角形的三边，求实数考虑最大角为钝角和两边之和大于取值范围第三边的4、周长面积问题（记得同时利用两个公式：余弦定理和完全平方公式）5、正、余弦定理的综合应用【例11】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tan tan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
高中数学 人教A版 必修5 第一章 解三角形 高考复习习题(解答题201-300)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修5 第一章 解三角形 高考复习习题（解答题201-300）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105∘方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120∘方向的B 2处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式)2．设ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明： 2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.3．如图，在ABC ∆ 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c , ()cosC a b sinC =+ .（1）求角B 的大小；（2为ABC ∆外一点， 2,1DB DC == ，求四边形ABCD 面积的最大值.4．已知在斜三角形A B C 中，已知A , B , C 对的边分别为a , b , c ，且b 2−a 2−c 2a c=cos (A +C )sin A cos A.（1）求角A 的大小;（2）若sin Bcos C > 2求角C 的取值范围。
5．如图，在△ABC 中，AB=2，cosB=，点D 在线段BC 上． （1）若∠ADC=π，求AD 的长； （2）若BD=2DC ，△ADC 的面积为，求的值．6．在 ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足 ·AB AC =3（1）求 ABC 的面积；（2）若b +c a 的值。
7．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件()()()sin sin sin sin a A B c b C B -=-+.（1）求角C ；（2 ABC 的面积为，求ABC 的周长.8．在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ；且（1）求a 的值；（2）设()()2c o s s i n c o s c o s f x C x Ax=-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间． 9．在ΔA B C 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =(a +b ,sin A −sin C )，向量n =(c ,sin A −sin B )，且m ∥n . （1）求角B 的大小；（2）设B C 的中点为D ，且AD = 3，求a +2c 的最大值.10．在ABC △中，角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，已知2 b a b c =>>，.（1）求ac 的值； （2）若ABC △的面积，求a 和c 的值.11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （1，求ABC ∆的面积；（2，且//x y ，求角B 的值．12．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1s i n c o s s i n c o s 3a A C cA A c +=， D 为AC 边上一点.（1）若524,3BCD c b S ∆===，求DC 的长；（2）若D 是AC 的中点，且cos B BD ==ABC ∆的最短边的边长. 13．在锐角ΔA B C 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知a =b cos C + 33c sin B ． （1）若a =2,b = 7，求c ；（2）设函数y = 3sin (2A −30∘)−2sin 2(C −15∘)，求y 的取值范围. 14．ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，，D 为BC 边中点，1=AD ．（Ⅱ）求ABC ∆的面积.15．ΔA B C 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =(a , 3b )与n =(cos A ,sin B )平行. （1）求A ；（2）若a = 7，b =2，求ΔA B C 的面积.16．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，（1（2，求ABC S ∆． 17．已知向量(4,3)a = ，(1,2)b =-.（1）求a 与b的夹角的余弦值；（2）若向量a b λ- 与2a b +平行，求λ的值.18．某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度4h m =，仰角ABE ADE αβ∠=∠=，．（1）该小组已经测得一组αβ，的值，tan 1.24tan 1.20αβ==，，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β的差较大，可以提高测量精确度，若电视塔高度为125m ，问d 为多大时，αβ-最大？19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若 （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）在x B =处取到最大值a ，求ABC ∆的面积。
人教A版高中数学必修五解三角形复习(一)z
2
2
整理得 tan A 3
A 120
练习、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c， S是该三角形的面积，且cos 2B 2cos B 2cos2 B 0 （1）确定角B的大小
（2）若a 4, S 5 3,求b的值
思路
(1)由cos 2B 2cos B 2cos2 B 0可得 cos B 1 , 2
c，已知a>c，ab=60，sinA=cosB，且该三角形的面积
S=15，求角A的大小。
解： ABC的面积为S 1 ab sinC 30sinC 15
sin C 1
2
2
∵a>c ， ∴∠C为锐角，故C=30o
B 180 C A 150 A
sin A cos B cos(150 A) 3 cos A 1 sin A
的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 b= 13 ，a＋c=4，求 a 的值.
2sin Acos B sin A 0
在△ABC中，sin A 0 cos B 1 ，即B 120
2
例 5、在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C
B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、等边三角形
例6、设函数f ( x) cos( x 2 ) 2cos2 x , x R
3
2
(1)求f ( x)的值域；
(2)记ABC的内角A, B, C的对边长分别为a, b, c
若f (B) 1, b 1, c 3, 求a的值
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
人教A版高中数学必修五第一章解三角形.docx
第一章解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B ＝csin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6.3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围． 解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．1.1.1 正弦定理(二)课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0<c ≤403.4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 答案 A解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72kb ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B2R sin B －2R sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°. 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35， 故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60° ＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.答案 －2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C . 解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB =53，∴sinB = 54. ∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54= 14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°.能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA · =23得ca ·cosB = 23由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.§1.2 应用举例(一)课时目标1．了解数学建模的思想；2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．一、选择题1．若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上，则点Q 在点P 的( ) A ．南偏西45°10′ B ．南偏西44°50′ C ．南偏东45°10′ D ．南偏东44°50′ 答案 C2．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 答案 B解析 ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ， ∴由余弦定理得AB ＝3a .3．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 在△ABC 中，∠C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin B∴BC sin 60°＝10sin 45°解得BC ＝5 6.4．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．5．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) 海里/小时B ．20(6－2) 海里/小时C ．20(6＋3) 海里/小时D ．20(6－3) 海里/小时答案 B解析 由题意，∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)．则v 货＝20(6－2) 海里/小时．6．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 分钟B.157小时 C ．21.5 分钟 D ．2.15 分钟 答案 A解析 设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ， 则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 二、填空题7．如图，A 、B 两点间的距离为________．答案 32－ 28．如图，A 、N 两点之间的距离为________．答案 40 39．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______．答案 60 m解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°， ∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120 m. 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴120sin 90°＝CD sin 30°， ∴CD ＝60(m)∴河的宽度为60 m.10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km. 由正弦定理得BCsin ∠CAB＝ABsin ∠ACB∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．三、解答题11．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°方向上，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°， 解得CD ＝83≈14(n mile)．即A 处与D 处的距离为24 n mile ， 灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.12．如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A 、B 两点间的距离．解 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD 为正三角形．∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)． 答 河对岸A 、B 两点间距离为64km.能力提升13．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 答案 B解析 设t 小时时，B 市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40·cos 45°＝302.化简得：4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？解如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10 2.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×2 2＝200.∴B1B2＝10 2.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)．答乙船每小时航行302海里．1．解三角形应用问题的基本思路是：实际问题――→画图数学问题――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解．2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．§1.2 应用举例(二)课时目标1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．已知△ABC 的两边a 、b 及其夹角C ，则△ABC 的面积为12ab sin C .一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝βC ．α<βD ．α＋β＝90° 答案 B2．设甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.152 3 m ，203 3 m 答案 A解析 h 甲＝20tan 60°＝203(m)．h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．30＋30 3 mB ．30＋153mC ．15＋303mD ．15＋33m 答案 A解析 在△PAB 中，由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB sin 45°＝(30＋303)m.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m 答案 B解析 如图所示，600·sin 2θ＝2003·sin 4θ，∴cos 2θ＝32，∴θ＝15°， ∴h ＝2003·sin 4θ＝300 (m)．6．平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18 D ．18.53 答案 A解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35或a ＝4，b ＝5，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 二、填空题7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．答案 北偏东30° 3a 解析如图所示，设到C 点甲船追上乙船， 乙到C 地用的时间为t ，乙船速度为v ， 则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，B ＝120°， 由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，∴1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴∠ACB ＝30°，∴BC ＝AB ＝a ，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AC ＝3a .8．△ABC 中，已知A ＝60°，AB ∶AC ＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20解析 设AB ＝8k ，AC ＝5k ，k >0，则 S ＝12AB ·AC ·sin A ＝103k 2＝10 3. ∴k ＝1，AB ＝8，AC ＝5，由余弦定理： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝82＋52－2×8×5×12＝49.∴BC ＝7，∴周长为：AB ＋BC ＋CA ＝20.9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．答案 27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.10．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．答案 23解析 设舰艇和渔船在B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB ＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t ，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，AC ＝10，则(21t )2＝(9t )2＋100－2×10×9t cos 120°，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．三、解答题11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.根据正弦定理得：AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β). 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β).即山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).12．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．解连接BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝42＋62－2×4×6cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴四边形ABCD 的面积S ＝16sin A ＝8 3.能力提升13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.即∠DEF 的余弦值为1665.14．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．解如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝30tan 30°＝30 3.在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30，即两船相距30 m.1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．第一章解三角形复习课课时目标1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 答案 C解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 C解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)， c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c a ＋c >b即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk3mk >m (k ＋1)，∴k >12.4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )A.a sin αsin βsin (α－β)B.a sin αsin βcos (α－β)C.a sin αcos βsin (α－β)D.a cos αcos βcos (α－β)答案 A解析 设AB ＝h ，则AD ＝hsin α，在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD sin (α－β)＝ADsin β.∴a sin (α－β)＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin βsin (α－β). 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49 答案 D解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401.∴BC ＝49.6．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ， sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得 c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b243b2＝32. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.答案 6解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35，得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A ＝____________.答案2393解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 ______________． 答案 2<x <2 2解析 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 10．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________km.答案 20 2解析 如图所示，BC sin 45°＝ACsin 30°。
人教A版高中数学必修五第一章解三角形单元知识小结练习.doc
高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
★ 单元知识小结
1. 两个定理在解三角形中起到了重要的作用：
（1）正弦定理--在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等
（2）余弦定理—三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
2.从三角形的已知元素求出未知元素的过程就是解三角形。
在解三角形中，常常借助于正弦定理和余弦定理。
★ 高考热点体验
例题1 （2010天津理）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=
A ．030
B 。
060
C 。
0120
D 。
0
150
例题2 （2010广东理）已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
例题3 （2010江苏卷）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，6cos b a C a b +
=，则
tan tan tan tan C C A B +=_________。
例题4 （2010江西理）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）
A.
1627 B. 23 C. 33 D. 34。
人教版必修5知识点第1章解三角形1(正余弦定理及混合应用)有答案
人教版数学必修5知识点总结第一章 解三角形—正余弦定理及其混合应用必备知识:1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：（1）a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； （2）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . （3）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．射影定理（源自人教A 版必修5《1.2应用举例》课后练习）：ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，B a A b c cos cos +=．4．三角形中常见的结论：（1）A ＋B ＋C ＝π.（2）在三角形中大边对大角，反之亦然． （3）在△ABC 中，sin sin A B A B >⇔>；（4）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （5）三角形内的诱导公式：sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ； sinA ＋B 2＝cosC 2；cos A ＋B 2＝sin C 2. （6）在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . （7）在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60° .（8）△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列． 5．三角形中常用的面积公式：（1）S ＝12ah （h 表示边a 上的高）；（2）S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；（3）S ＝12r (a ＋b ＋c )（r 为三角形的内切圆半径）．知识点分类解析：一、 正弦定理 (一)直接套用定理1. 在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sinA ：sinB ：sinC =6：5：4，则sinB =（ ）A. √74B. 34C. 5√716D. 9162. 已知△ABC 中，A ：B ：C =1：1：4，则a ：b ：c 等于（ ）A. 1：1：√3B. 2：2：√3C. 1：1：2D. 1：1：43. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若a =3，b =√3，A =π3，则B =（ ）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π34. 在△ABC 中，c =√3，B =45∘，C =60∘，则b =（ ）A. √22B. √32C. 3√22D. √25. 已知△ABC 中，a =1，b =√3，A =30∘，则B 等于（ ）A. 30∘B. 30∘或150∘C. 60∘D. 60∘或120∘6. 在△ABC 中，a =3，b =3√2，A =30∘，则B =（ ）A. 45∘B. 135∘C. 45∘或135∘D. 75∘或105∘7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinC =23,a =3,c =4，则角A 等于（ ）A. π6B. π4C. π3D. 5π68. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =60∘，b =√6，c =3，则A =______．9. 在△ABC 中，若∠A =60∘，∠B =45∘，BC =3√2，则AC =（ ）A. 4√3B. 2√3C. √3D. √3210. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a =√3，sinB =12，C =π6，则b =______． 11. 在△ABC 中，a =√3，b =1，∠A =π3，则cosB =________．12. 在△ABC 中，∠A =2π3，a =√3c ，则bc =______． 13. 在△ABC 中，已知b =2，a =3，cos A =−513，则sin B 等于（ ）A. 813 B. 913C. 1013D. 1113(二) 边角互化14. 在△ABC 中，若a =1，∠A =π4，则√2bsinC+cosC = ______ ．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a =2b ，则2sin 2B−sin 2Asin 2A的值为（ ） A. −19B. 13C. 1D. 7216. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB =acosC +ccosA ，则B =______．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a =2，c =3，且满足(2a −c)⋅cosB =b ⋅cosC ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．18. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =2acosA ，则A =（ ）A. π6B. π3C. π4D. π3或2π319. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c.asinBcosC +csinBcosA =12b 且a >b ，则∠B =（ ）A. 5π6B. π3C. 2π3D. π620. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cosC =√55，b =atanC ，则sinBsinA 等于（ ） A. 2B. 12C. √5D. √5521. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3acosC =2ccosA ，tanA =13，求B ．22. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m⃗⃗⃗ =(a,c)，n ⃗ =(cosC,cosA)． (1)若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，a =√3c ，求角A ；(2)若m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3bsinB ，cosA =35，求cosC 的值．23.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=√3bsinA．(1)求B；(2)已知cosA=13，求sinC的值．(三)面积问题24.在△ABC中，c=√3，A=75∘，B=45∘，则△ABC的外接圆面积为（）A. π4B. πC. 2πD. 4π25.在△ABC中，∠A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于（）A. 2√393B. 263√3 C. 83√3 D. 2√326.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5,B=π3,cosA=1114，则△ABC的面积S=（）A. 10√33B. 10C. 10√3D. 20√327.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a=2√7，sin2B−sin2A=12sin A⋅sin C，则△ABC的面积为（）A. √74B. 7√74C. √73D. 2√728.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2√2，且C=π4，则△ABC的面积为______．29.在△ABC中，∠A=60∘，c=37a.(1)求sinC的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．二、余弦定理(一)直接套用定理30.在△ABC中，若AB=√13，BC=3，∠C=120∘，则AC=（）A. 1B. 2C. 3D. 431.在△ABC中，b=3，c=3，B=30∘，则a的值为（）A. 3B. 23C. 3√3D. 232.在△ABC中，已知a=3，b=4，c=√13，则角C为（）A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘33.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2−bc，则∠A=（）A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘34.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=π3，则b2+c2−a2bc的值为（）A. 12B. √32C. 1D. √335.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a2+ac=c2+ab，则∠C=（）A. π3B. π6C. 2π3D. 5π636.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(a2+c2)−ac=2b2，则sinB=（）A. 14B. 12C. √154D. D37.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a+b+c)(a−b+c)=ac，则B=______．38.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2(1−sinA)，则A=（）A. 3π4B. π3C. π4D. π639.已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为（）A. 1<a<5B. 1<a<7C. √7<a<5D. √7<a<7(二)面积问题40.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=(a−b)2+6，C=π3，则△ABC的面积是（）A. 3√32B. 9√32C. √3D. 3√341.已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为√32，则这个三角形的面积为______ ．42.若△ABC的周长为20，面积为10√3，A=60∘，则a的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 843.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗=(cosA,sinB)平行．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a=√7，b=2，求△ABC的面积．44.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．(1)求角A的值；(2)若b+c=√10 , a=2，求△ABC的面积S．45.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，asinB=√3bcosA．(1)求角A的大小；(2)若a=√3，S=√32，求b+c的值．46.在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2−a2=bc．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若b=1，且△ABC的面积为3√34，求c．47.在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4．(1)求AB的长；(2)求cos(A−π6)的值．三、正余弦定理混合应用(一)判定三角形解的个数48.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. b=10，A=45∘，C=60∘B. a=6，c=5，B=60∘C. a=7，b=5，A=60∘D. a=14，b=16，A=45∘49.满足条件a=4，b=5√2，A=45∘的△ABC的个数是（）A. 1B. 2C. 无数个D. 不存在50.在△ABC中，若A=30∘，a=2，b=2√3，则此三角形解的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定51.△ABC中，已知a=2，b=x，B=60∘，如果△ABC有两组解，则x的取值范围（）A. x>2B. √3<x<2C. 2<x<43√3 D. 2<x≤43√3(二)外接圆问题52.已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于______．53.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=2√23，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π(三)混合应用54.已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A. a，b，c成等差数列B. √a，√b，√c成等比数列C. a2，b2，c2成等差数列D. a2，b2，c2成等比数列55.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=√7，b=2，A=60∘，则sinB=，c=．56.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2=√3bc，sinC=2√3sinB，则A=______．57.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60∘．(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．58.如图，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=17．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．59.在△ABC中，a=7，b=8，cosB=−17．(Ⅰ)求∠A；(Ⅱ)求AC边上的高．60.在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60∘．(1)求a+b的值；(2)若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．sinA+sinB61.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知b=4，c=5，A=60∘．(1)求边长a和△ABC的面积；(2)求sin2B的值．62.如图，在△ABC中，∠B=45∘，D是BC边上一点，AB=5√6，AC=5√3，AD=5，∠ADB为锐角．2(1)求角∠ADC的大小；(2)求CD的长．63. △ABC 中，已知点D 在BC 边上，且AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin∠BAC =2√23，AB =3√2,BD =√3． (Ⅰ)求AD 的长；(Ⅱ)求cosC ．64. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且b 2+c 2−a 2=bc ．(1)求A ；(2)若a =√2，sinBsinC =sin 2A ，求△ABC 的周长．65. 如图，△ABC 是等边三角形，△ACD 是等腰直角三角形，∠ACD =90∘，BD 交AC 于E ，AB =√2(Ⅰ)求∠BEA 的度数；(Ⅱ)求BD 及AE 的长．66. 如图，在平面四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．(Ⅰ)求cos∠CAD 的值；(Ⅱ)若cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，求BC 的长．67. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=sinC c．(Ⅰ)证明：sinAsinB =sinC ；(Ⅱ)若b 2+c 2−a 2=65bc ，求tanB ．68. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a >b ，a =5，c =6，sinB =35．(Ⅰ)求b 和sinA 的值；(Ⅱ)求sin(2A +π4)的值．69. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知asinA =4bsinB ，ac =√5(a 2−b 2−c 2)(Ⅰ)求cosA 的值；(Ⅱ)求sin(2B −A)的值70. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA =acos(B −π6).(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)设a =2，c =3，求b 和sin(2A −B)的值．71. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，cosB =13，b =3，求：(Ⅰ)a 和c 的值；(Ⅱ)cos(B −C)的值．72.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a−cb =cosCcosB．(Ⅰ)求B的大小；(Ⅱ)若点M为BC的中点，且AM=AC，求sinCsinA的值．73.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b+acosC=0，sinA=2sin(A+C)．(1)求角C的大小；(2)求ca的值．74.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(acosB+bcosA)cosC=2acos2C2−a(1)判断△ABC的形状；(2)若B=2π3，点D为AB边的中点，CD=√7，求△ABC的面积．四、判定形状75.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b2+c2<a2，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定76.在△ABC中，若sin2A>sin2B+sin2C，则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定77.在△ABC中，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形78.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c=2bcosA，则此三角形必是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形79.在△ABC中，若sinC+sin(B−A)=sin2A，则△ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形80.在△ABC中，已知sinA=2cosB·sinC，则△ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不确定81.在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形82.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边.若b=2acosC，则△ABC的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形83.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．84.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状一定是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形85.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且3a2+3b2−c2=4ab，则△ABC（）A. 可能为锐角三角形B. 一定不是锐角三角形C. 一定为钝角三角形D. 不可能为钝角三角形86.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若asinB +bsinA=2c，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形人教版数学必修5知识点总结（教师版）第一章 解三角形—正余弦定理及其混合应用必备知识:1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：（1）a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； （2）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . （3）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．射影定理（源自人教A 版必修5《1.2应用举例》课后练习）：ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，B a A b c cos cos +=．4．三角形中常见的结论：（1）A ＋B ＋C ＝π.（2）在三角形中大边对大角，反之亦然． （3）在△ABC 中，sin sin A B A B >⇔>；（4）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （5）三角形内的诱导公式：sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ； sinA ＋B 2＝cosC 2；cos A ＋B 2＝sin C 2. （6）在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . （7）在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60° .（8）△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列． 5．三角形中常用的面积公式：（1）S ＝12ah （h 表示边a 上的高）；（2）S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；（3）S ＝12r (a ＋b ＋c )（r 为三角形的内切圆半径）．知识点分类解析：一、 正弦定理 (一)直接套用定理1. 在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sinA ：sinB ：sinC =6：5：4，则sinB =（C ）A. √74B. 34C. 5√716D. 9162. 已知△ABC 中，A ：B ：C =1：1：4，则a ：b ：c 等于( A )A. 1：1：√3B. 2：2：√3C. 1：1：2D. 1：1：43. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若a =3，b =√3，A =π3，则B =( A )A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π34. 在△ABC 中，c =√3，B =45∘，C =60∘，则b =( D )A. √22B. √32C. 3√22D. √25. 已知△ABC 中，a =1，b =√3，A =30∘，则B 等于( D )A. 30∘B. 30∘或150∘C. 60∘D. 60∘或120∘ 6. 在△ABC 中，a =3，b =3√2，A =30∘，则B =( A )A. 45∘B. 135∘C. 45∘或135∘D. 75∘或105∘7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinC =23,a =3,c =4，则角A 等于( A )A. π6B. π4C. π3D. 5π68. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =60∘，b =√6，c =3，则A =______． 【答案】75∘【解析】根据正弦定理可得bsinB =csinC ，C =60∘，b =√6，c =3，∴sinB =√6×√323=√22， ∵b <c ，∴B =45∘，∴A =180∘−B −C =180∘−45∘−60∘=75∘，故答案为：75∘． 9. 在△ABC 中，若∠A =60∘，∠B =45∘，BC =3√2，则AC =( B )A. 4√3B. 2√3C. √3D. √3210. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a =√3，sinB =12，C =π6，则b =______．【答案】1【解析】∵sinB =12，∴B =π6或B =5π6当B =π6时，a =√3，C =π6，A =2π3，由正弦定理可得，√3sin 2π3=b12则b =1 当B =5π6时，C =π6，与三角形的内角和为π矛盾，故答案为：1 11. 在△ABC 中，a =√3，b =1，∠A =π3，则cosB =________．【答案】√32【解析】∵a =√3，b =1，∠A =π3，∴由正弦定理可得：sinB =bsinA a=1×√32√3=12， ∵b <a ，B 为锐角，∴cosB =√1−sin 2B =√32．故答案为：√32．12. 在△ABC 中，∠A =2π3，a =√3c ，则bc =______．【答案】1 【解析】解：在△ABC 中，∠A =2π3，a =√3c ，由正弦定理可得：asinA =csinC ，√3csin 2π3=csinC ，sinC =12，C =π6，则B =π−2π3−π6=π6．三角形是等腰三角形，B =C ，则b =c ，则bc =1．故答案为：1．13. 在△ABC 中，已知b =2，a =3，cos A =−513，则sin B 等于( A )A. 813B. 913C. 1013D. 1113【解析】∵cos A =−513，∴sinA =√1−cos 2A =1213， ∵b =2，a =3，由正弦定理可得sinB =bsinA a=23×1213=813，故选：(二) 边角互化14. 在△ABC 中，若a =1，∠A =π4，则√2bsinC+cosC = ______ ．【答案】√215. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a =2b ，则2sin 2B−sin 2Asin 2A的值为( D )A. −19B. 13C. 1D. 7216. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB =acosC +ccosA ，则B =______．【答案】π3【解析】∵2bcosB =acosC +ccosA ，由正弦定理可得，2cosBsinB =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB ≠0，∴cosB =12，∵0<B <π，∴B =π3，故答案为π3．17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a =2，c =3，且满足(2a −c)⋅cosB =b ⋅cosC ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．【答案】−3【解析】根据正弦定理得：(2a −c)cosB =bcosC 可化为：(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC 2sinAcosB =sinBcosC +sinCcosB ⇒2sinAcosB =sin(B +C) ⇒2sinAcosB =sinA∴cosB =12∴B =60∘∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−(2×3×12)=−3故答案为：−3 18. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =2acosA ，则A =( B )A. π6B. π3C. π4D. π3或2π319. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c.asinBcosC +csinBcosA =12b 且a >b ，则∠B =(D )A. 5π6B. π3C. 2π3D. π6【解析】由asinA =csinC =bsinB =2R ，可把asinBcosC +csinBcosA =12b 化为sinAsinBcosC +sinCsinBcosA =12sinB∵sinB ≠0，∴sinAcosC +sinCcosA =12⇒sin(A +C)=12，即sinB =12， ∵a >b ，∴B 为锐角.∴B =π6.故选：D20. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cosC =√55，b =atanC ，则sinBsinA 等于( A ) A. 2B. 12C. √5D. √5521. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3acosC =2ccosA ，tanA =13，求B ．【解析】∵3acosC =2ccosA ，由正弦定理可得3sinAcosC =2sinCcosA ， ∴3tanA =2tanC ，∵tanA =13，∴2tanC =3×13=1，解得tanC =12． ∴tanB =tan[π−(A +C)]=−tan(A +C)=−tanA+tanC 1−tanAtanC=−13+121−13×12=−1，∵B ∈(0,π)，∴B =3π422. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m⃗⃗⃗ =(a,c)，n ⃗ =(cosC,cosA)． (1)若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，a =√3c ，求角A ；(2)若m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3bsinB ，cosA =35，求cosC 的值．【解析】(1)∵m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴acosA =ccosC ，∴sinAcosA =sinCcosC ， ∴sin2A =sin2C ，∴2A =2C 或2A +2C =π，∴A =C(舍去)或A +C =π2，∴B =π2， Rt △ABC 中，tanA =√3，A =π3；(2)∵m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =3bsinB ，∴acosC +ccosA =3bsinB ， 由正弦定理可得sinAcosC +sinCcosA =3sin 2B ， ∴sin(A +C)=3sin 2B ，∴sinB =13，∵cosA =35，∴sinA =45，∵sinA >sinB ，∴a >b ，∴cosB =2√23，∴cosC =−cos(A +B)=−35×2√23+45×13=4−6√215． 23. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B =√3bsinA ．(1)求B ；(2)已知cosA =13，求sinC 的值． 【解析】(1)∵asin2B =√3bsinA ， ∴2sinAsinBcosB =√3sinBsinA ，∴cosB =√32，∴B =π6．(2)∵cosA =13，∴sinA =2√23，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =2√23×√32+12×13=2√6+16．(三)面积问题24.在△ABC中，c=√3，A=75∘，B=45∘，则△ABC的外接圆面积为（B）A. π4B. πC. 2πD. 4π25.在△ABC中，∠A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于( A )A. 2√393B. 263√3 C. 83√3 D. 2√3【解析】∵∠A=60∘，b=1，S△ABC=√3=12bcsinA=12×1×c×√32，∴c=4，∴a2=b2+c2−2bccosA=1+16−2×1×4×12=13，∴a=√13，∴a−2b+csinA−2sinB+sinC =asinA=√13√32=2√393．故选A．26.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5,B=π3,cosA=1114，则△ABC的面积S=( C )A. 10√33B. 10C. 10√3D. 20√3【解析】若a=5,B=π3,cosA=1114，可得sinA=√1−cos2A=5√314，由正弦定理可得b=asinBsinA =5×√325√314=7，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=5√314×12+1114×√32=4√37，则△ABC的面积为S=12absinC=12×5×7×4√37=10√3．故选C．27.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a=2√7，sin2B−sin2A=12sin A⋅sin C，则△ABC的面积为( B )A. √74B. 7√74C. √73D. 2√728.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=2，c=2√2，且C=π4，则△ABC的面积为______．【答案】√3+1【解析】由正弦定理bsinB =csinC⇒sinB=bsinCc=12，又c>b，且B∈(0,π)，所以B=π6，所以A=7π12，所以S=12bcsinA=12×2×2√2sin7π12=12×2×2√2×√6+√24=√3+1．故答案为√3+1．29.在△ABC中，∠A=60∘，c=37a.(1)求sinC的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．【解析】(1)∠A=60∘，c=37a，由正弦定理可得sinC=37sinA=37×√32=3√314，(2)a=7，则c=3，∴C<A，∵sin2C+cos2C=1，又由(1)可得cosC=1314，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√32×1314+12×3√314=4√37，∴S△ABC=12acsinB=12×7×3×4√37=6√3．二、余弦定理(一)直接套用定理30.在△ABC中，若AB=√13，BC=3，∠C=120∘，则AC=( A )A. 1B. 2C. 3D. 431.在△ABC中，b=3，c=3，B=30∘，则a的值为( C )A. 3B. 23C. 3√3D. 232.在△ABC中，已知a=3，b=4，c=√13，则角C为( B )A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘33.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2−bc，则∠A=( C )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘34.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=π3，则b2+c2−a2bc的值为( C )A. 12B. √32C. 1D. √335.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a2+ac=c2+ab，则∠C=( A )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π636.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(a2+c2)−ac=2b2，则sinB=( C )A. 14B. 12C. √154D. D37.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a+b+c)(a−b+c)=ac，则B=______．【答案】2π338.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2(1−sinA)，则A=( C )A. 3π4B. π3C. π4D. π6【解析】∵b=c，∴a2=b2+c2−2bccosA=2b2−2b2cosA=2b2(1−cosA)，∵a2=2b2(1−sinA)，∴1−cosA=1−sinA，则sinA=cosA，即tanA=1，即A=π4，故选：C．39.已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为(C)A. 1<a<5B. 1<a<7C. √7<a<5D. √7<a<7【解析】分两种情况来考虑：当a为最大边时，设a所对的角为α，由α锐角，根据余弦定理可得：cosα=32+42−a22×3×4>0，可知只要32+42−a 2>0即可，可解得：0<a <5；当a 不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了， 则有32+a 2−42>0，可解得：a >√7，所以综上可知x 的取值范围为√7<a <5．故选C ．(二) 面积问题40. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2=(a −b)2+6，C =π3，则△ABC 的面积是( A )A. 3√32B. 9√32C. √3D. 3√341. 已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为√32，则这个三角形的面积为______ ．【答案】15√34【解析】解：由题意可设三边为a −2，a ，a +2(a >0)则a +2为最大边，根据三角形的大边对大角可知其对的角为最大角 ∵最大角的正弦值为√32，则最大角为120∘由余弦定理可得，cos120∘=(a−2)2+a 2−(a+2)22a(a−2)=−12整理可得，a 2−5a =0 ∵a >0 解可得a =5，即三角形的三边为3，5，7 代入三角形的面积公式可得S =12×3×5sin120∘=15√34故答案为：15√3442. 若△ABC 的周长为20，面积为10√3，A =60∘，则a 的值为( C )A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】∵A =60∘，S =10√3，∴S △ABC =12bcsinA =10√3，即√34bc =10√3，解得bc =40由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得a 2=(b +c)2−3bc =(b +c)2−120 ∵△ABC 的周长a +b +c =20∴b +c =20−a ，得a 2=(20−a)2−120，解得a =7故选C ．43. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m ⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗ =(cosA,sinB)平行． (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．【解析】(Ⅰ)因为向量m ⃗⃗⃗ =(a,√3b)与n⃗ =(cosA,sinB)平行， 所以asinB −√3bcosA =0，由正弦定理可知：sinAsinB −√3sinBcosA =0，因为sinB ≠0，所以tanA =√3，可得A =π3；(Ⅱ)a =√7，b =2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得7=4+c 2−2c ，解得c =3， △ABC 的面积为：12bcsinA =3√32． 44. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosC +ccosA =2bcosA ．(1)求角A 的值；(2)若b +c =√10 , a =2，求△ABC 的面积S ．【解析】(1)在△ABC 中，∵acosC +ccosA =2bcosA ， ∴sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosA ，∴sin(A +C)=sinB =2sinBcosA ，∵sinB ≠0，∴cosA =12，可得：A =π3．(2)∵cosA =12=b 2+c 2−a 22bc，b +c =√10 , a =2，∴b 2+c 2=bc +4，可得：(b +c)2=3bc +4=10，可得：bc =2． ∴S =12bcsinA =√32． 45. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，asinB =√3bcosA ．(1)求角A 的大小；(2)若a =√3，S =√32，求b +c 的值．【解析】(1)asinB =√3bcosA ，由正弦定理可得sinAsinB =√3sinBcosA ， ∵B 是三角形内角，∴sinB ≠0，∴tanA =√3，A 是三角形内角，∴A =π3． (2)∵S =12bcsinA =√32，∴bc =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得3=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc =(b +c)2−6， ∴b +c =3．46. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长，且b 2+c 2−a 2=bc ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若b =1，且△ABC 的面积为3√34，求c ．【解析】(Ⅰ)在△ABC 中，由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc，又因为b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA =12，∵0<A <π，∴A =π3． (Ⅱ)∵sinA =√32，b =1，△ABC 的面积为3√34， ∴S =12bcsinA =√34c =3√34，∴c =3．47. 在△ABC 中，AC =6，cosB =45，C =π4．(1)求AB 的长；(2)求cos(A −π6)的值．【解析】(1)∵△ABC 中，cosB =45，∴sinB =35，∵ABsinC =ACsinB ，∴AB =6×√2235=5√2；(2)cosA =−cos(C +B)=sinBsinC −cosBcosC =−√210． ∵A 为三角形的内角，∴sinA =7√210，∴cos(A −π6)=√32cosA +12sinA =7√2−√620． 三、 正余弦定理混合应用 (一)判定三角形解的个数48. 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( D )A. b =10，A =45∘，C =60∘B. a =6，c =5，B =60∘C. a =7，b =5，A =60∘D. a =14，b =16，A =45∘【解析】A.B =75∘，由正弦定理可得10sin75∘=asin45∘，∴a 唯一； B .利用余弦定理可得，有唯一解； C .由正弦定理可得7sin60∘=5sinB ，∴sinB =5√314，∵B <A ，∴有唯一解；D .由正弦定理可知，有两解．故选：D ．49. 满足条件a =4，b =5√2，A =45∘的△ABC 的个数是(D )A. 1B. 2C. 无数个D. 不存在 50. 在△ABC 中，若A =30∘，a =2，b =2√3，则此三角形解的个数为( C )A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定【解析】∵在△ABC 中A =30∘，a =2，b =2√3，∴bsinA =2√3×12=√3，而√3<a =2<b =2√3，∴三角形解的个数为2，故选：C ．51. △ABC 中，已知a =2，b =x ，B =60∘，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围( B )A. x >2B. √3<x <2C. 2<x <43√3D. 2<x ≤43√3【解析】∵△ABC 有两组解， 由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，∴2sin60∘<x <2， 解得√3<x <2．故选：B ．(二) 外接圆问题52. 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于______．【答案】7√33【解析】解：可设△ABC 的三边分别为a =3，b =5，c =7， 由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=9+25−492×3×5=−12，可得sinC =√1−cos 2C =√1−14=√32，可得该三角形的外接圆半径为c 2sinC =2×√32=7√33．故答案为：7√33． 53. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosC =2√23，bcosA +acosB =2，则△ABC 的外接圆的面积为( C ) A. 4π B. 8πC. 9πD. 36π【解析】∵bcosA +acosB =2， ∴由余弦定理可得：b ×b 2+c 2−a 22bc+a ×a 2+c 2−b 22ac=2，整理解得：c =2，又∵cosC =2√23，可得：sinC =√1−cos 2C =13，∴设三角形的外接圆的半径为R ，则2R =csinC =213=6，可得：R =3，∴△ABC 的外接圆的面积S =πR 2=9π．故选：C ．(三) 混合应用54. 已知△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cosBsinAsinC =sin 2B ，则( C )A. a ，b ，c 成等差数列B. √a ，√b ，√c 成等比数列C. a 2，b 2，c 2成等差数列D. a 2，b 2，c 2成等比数列【解析】由题意知，2cosBsinAsinC =sin 2B ，根据正弦、余弦定理得，2⋅a 2+c 2−b 22ac⋅a ⋅c =b 2，化简可得，a 2+c 2−b 2=b 2，即a 2+c 2=2b 2，所以a 2、b 2、c 2成等差数列，故选：C ．55. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a =√7，b =2，A =60∘，则sinB = ，c = ．【答案】√217；3【解析】∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．a =√7，b =2，A =60∘， ∴由正弦定理得：asinA =bsinB ，即√7sin60∘=2sinB ，解得sinB =2×√32√7=√217． 由余弦定理得：cos60∘=4+c 2−72×2c ，解得c =3或c =−1(舍)，∴sinB =√217，c =3．故答案为：√217；3．56. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则A =______． 【答案】30∘57. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，A =60∘．(1)求BC 的长；(2)求sin2C 的值．【解析】(1)由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcosA =4+9−2×2×3×12=7， 因为BC >0，所以BC =√7．(2)由正弦定理可得：ABsinC =BCsinA ，则sinC =ABBC⋅sinA =2sin60∘√7=√217， ∵AB <BC ，BC =√7，AB =2，角A =60∘，在三角形ABC 中，大角对大边，大边对大角，√7>2， ∴角C <角A ，角C 为锐角.sinC >0，cosC >0则cosC =√1−sin 2C =√1−37=2√77．因此sin2C =2sinCcosC =2×√217×2√77=4√37． 58. 如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB =8，点D 在边BC 上，且CD =2，cos∠ADC =17．(1)求sin∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长． 【解析】(1)在△ABC 中，∵cos∠ADC =17， ∴sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37，则sin∠BAD =sin(∠ADC −∠B)=sin∠ADC ⋅cosB −cos∠ADC ⋅sinB =4√37×12−17×√32=3√314． (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+CB 2−2AB ⋅BCcosB =82+52−2×8×5×12=49， 即AC =7．59. 在△ABC 中，a =7，b =8，cosB =−17．(Ⅰ)求∠A ；(Ⅱ)求AC 边上的高．【解析】(Ⅰ)∵a <b ，∴A <B ，即A 是锐角，∵cosB =−17，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37，由正弦定理得a sinA =bsinB 得sinA =asinB b=7×4√378=√32，则A =π3．(Ⅱ)由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即64=49+c 2+2×7×c ×17，即c 2+2c −15=0，得c =3或c =−5(舍)， 则AC 边上的高ℎ=csinA =3×√32=3√32． 60. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，且c =2，C =60∘．(1)求a+bsinA+sinB 的值；(2)若a +b =ab ，求△ABC 的面积S △ABC ． 【解析】(1)由正弦定理可设asinA =bsinB =csinC =2sin60∘=2√32=4√33，所以a =4√33sinA,b =4√33sinB ，所以a+b sinA+sinB=4√33(sinA+sinB)sinA+sinB=4√33. …(6分)(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即4=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ， 又a +b =ab ，所以(ab)2−3ab −4=0，解得ab =4或ab =−1(舍去) 所以S △ABC =12absinC =12×4×√32=√3. …(14分)61. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 已知b =4，c =5，A =60∘．(1)求边长a 和△ABC 的面积；(2)求sin2B 的值．【解析】 (1)∵b =4，c =5，A =60∘．∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =16+25−4×5=21，∴a =√21， ∴S △ABC =12bcsinA =12×4×5×√32=5√3(2)∵由正弦定理可得：bsinB =asinA ，可得：sinB =bsinA a=4√21×√32=2√7∵b <c ，B 为锐角，可得：cosB =√3√7， ∴sin2B =2sinBcosB =2×2√7×√3√7=4√3762. 如图，在△ABC 中，∠B =45∘，D 是BC 边上一点，AB =52√6，AC =5√3，AD =5，∠ADB 为锐角．(1)求角∠ADC 的大小；(2)求CD 的长．【解析】(1)在△ABC 中，∵∠B =45∘,AB =5√62， ∴由正弦定理可得，ABsin∠ADB =ADsin∠B QUOTE ，即5√62sin∠ADB=5sin45∘，…(2分)E ∴sin∠ADB =√32，∵∠ADB 为锐角，∴∠ADB =60∘.…(4分)∴∠ADC =120∘.…(5分)(2)在△ADC 中，设CD =x ，由余弦定理可得，AC 2=AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos∠ADC …(7分)∴(5√3)2=52+CD 2−2×5⋅CD ⋅cos∠120∘，即x 2+5x −50=0，…(9分) (x +10)(x −5)=0，∴x =5，即CD =5.…(10分)63. △ABC 中，已知点D 在BC 边上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin∠BAC =2√23，AB =3√2,BD =√3．(Ⅰ)求AD 的长；(Ⅱ)求cosC ．【解析】(Ⅰ)由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0得到：AD ⊥AC ， 所以sinBAC =sin(π2+∠BAD)=cosBAD ，所以cosBAD =2√23.(2分)在△ABD 中，由余弦定理可知，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosBAD 即AD 2−8AD +15=0，(4分)解之得AD =5或AD =3， 由于AB >AD ，所以AD =3.(6分)(Ⅱ)在△ABD 中，由正弦定理可知，BDsinBAD =ABsinADB ， 又由cosBAD =2√23，可知sinBAD =13(8分)所以sinADB =ABsinBAD BD=√63(10分)因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C ，即cosC =√63(12分)64. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且b 2+c 2−a 2=bc ．(1)求A ；(2)若a =√2，sinBsinC =sin 2A ，求△ABC 的周长．【解析】(1)△ABC 中，b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12；又A ∈(0,π)，∴A =π3；(2)∵a =√2，sinBsinC =sin 2A ，∴bc =a 2=2①； 又b 2+c 2−a 2=bc ，∴b 2+c 2−2=bc②；由①②组成方程组，解得b =c =√2；∴△ABC 的周长为l =a +b +c =3√2．65. 如图，△ABC 是等边三角形，△ACD 是等腰直角三角形，∠ACD =90∘，BD 交AC 于E ，AB =√2(Ⅰ)求∠BEA 的度数； (Ⅱ)求BD 及AE 的长．【解析】(Ⅰ)因为△ABC 是等边三角形，△ACD 是等腰直角三角形，∠ACD =90∘ ∴∠BCD =90∘+60∘=150∘，∵CB =AC =CD ，∴∠CBD =15∘．所以∠BEA =∠CBE +∠BCE =15∘+60∘=75∘．(Ⅱ)在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2=CB 2+CD 2−2CB ⋅CD ⋅cos∠BCD =2+2−2√2⋅√2⋅(−√32)=4+2√3=(√3+1)2∴BD =√3+1．在△ABE 中，由正弦定理得：AE sin∠ABE =AB sin∠AEB 即AE sin(60∘−15∘)=√2sin75∘． 故AE =√2sin45∘sin75∘=√2×√22√6+√24=√6−√2．66. 如图，在平面四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．(Ⅰ)求cos∠CAD 的值；(Ⅱ)若cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，求BC 的长．【解析】(Ⅰ)cos∠CAD =AC 2+AD 2−CD 22⋅AD⋅AC=1+7−42×1×√7=2√77． (Ⅱ)∵cos∠BAD =−√714，∴sin∠BAD =√1−7196=3√2114， ∵cos∠CAD =2√77，∴sin∠CAD =√1−47=√217∴sin∠BAC =sin(∠BAD −∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD −cos∠BADsin∠CAD =3√2114×2√77+√714×√217=√32， ∴由正弦定理知BC sin∠BAC =ACsin∠ABC ，∴BC =ACsin∠ABC ⋅sin∠BAC =√7√216×√32=3 67. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=sinC c．(Ⅰ)证明：sinAsinB =sinC ；(Ⅱ)若b 2+c 2−a 2=65bc ，求tanB ． 【解析】(Ⅰ)证明：在△ABC 中，∵cosA a+cosB b=sinC c， ∴由正弦定理得：cosAsinA +cosBsinB =sinCsinC，∴cosAsinB+cosBsinAsinAsinB=sin(A+B)sinAsinB=1，∵sin(A +B)=sinC ．∴整理可得：sinAsinB =sinC ， (Ⅱ)解：b 2+c 2−a 2=65bc ，由余弦定理可得cosA =35． sinA =45，cosAsinA =34cosAsinA +cosBsinB =sinCsinC=1，cosBsinB =14，tanB =4． 68. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a >b ，a =5，c =6，sinB =35．(Ⅰ)求b 和sinA 的值；(Ⅱ)求sin(2A +π4)的值．【解析】(Ⅰ)在△ABC 中，∵a >b ，故由sinB =35，可得cosB =45．由已知及余弦定理，有b 2=a 2+c 2−2accosB =25+36−2×5×6×45=13，∴b =√13． 由正弦定理asinA =bsinB ，得sinA =asinB b=3√1313．∴b =√13，sinA =3√1313； (Ⅱ)由(Ⅰ)及a <c ，得cosA =2√1313，∴sin2A =2sinAcosA =1213，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点：
1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=
⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
（1）三角形内角和等于0180，即0180=++C B A ,灵活变形，如)(1800C B A +-=等
（2）大边对大角,即若c b a >>，则C B A >>
2.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
R C
c B b A a 2sin sin sin ===（R 为三角形外接圆半径） 变形：(1)C B A c b a sin :sin :sin ::= (2)R a A 2sin = ,R b B 2sin =,R
c C 2sin =（角化边） (3)A R a sin 2=, B R b sin 2=,C R c sin 2=（边化角）
3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即：
A bc c b a cos 2222-+= ；
B ac c a b cos 2222-+= ；
C ab b a c cos 2222-+=
变形： bc a c b A 2cos 222-+= ； ac b c a B 2cos 222-+= ； ab c b a C 2cos 2
22-+=
C ab S sin 21=，B ac S sin 21=，A bc S sin 2
1=
5.三角形形状的判断 ： 若0cos >A ，A 为锐角；若0cos =A ，A 为直角；
若0cos <A ，A 为钝角
例1．在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ）
A. B A >
B. B A <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定 例2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
例3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )
A ．9
B ．18
C ．93
D ．183
例4．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）
A ．2
3 B ．－23 C ．1
4 D ．－14
例5．在ABC ∆中，若,cos sin b
B a A =则B 的值为( ) A. ο30 B. ο45 C. ο60 D. ο90
例6．在ABC ∆中，若,sin 23A b a =则B 为（ ） A.3π B. 6π C. 3π或32π D.6
π或65π 例7．在ABC ∆中，,sin sin sin 222C B A =+求证ABC ∆为直角三角形。
例8．在ABC ∆中，若acosA=bcosB, 试判断此三角形形状。
例9．在△ABC 中，若,120,3,5ο===C b a 则sin A 的值为（ ） A. 1435 B. - 1435 C. 1433 D.- 14
33 例10．在△ABC 中，AB=3, BC = ,13 AC = 4，则边AC 上的高为（ ） A. 223 B. 233 C. 2
3 D. 33 例11．在△ABC 中，,60,45,5,263οο=∠=∠==
ACB ABC CD AB 求AD. 例12 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）
A 1:2:3
B 3:2:1
C 1:2
D 2 例13 在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A 大于零 B 小于零 C 等于零 D 不能确定
例14．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若
120c b B ===o ，则等于（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
例15. 已知ABC △中，a =b =60B =o ，那么角A 等于（ ）
A ．135o
B ．90o
C ．45o
D ．30o
例16. 在三角形ABC 中，537AB AC BC ===，，，则BAC ∠的大小为（
） A ．23π
B ．56π
C ．34π
D ．3π
. 已知ABC △1，且sin sin A B C +=．
（1）求边AB 的长；
（2）若ABC △的面积为1
sin 6C ，求角C 的度数．。