三角形三边关系--北师大版

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4.1 第2课时三角形的三边关系北师大版数学七年级下册教学课件

课程讲授
2 三角形的三边关系
问题1：任意画出一个△ABC，从其中一个顶点B出发，
沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择，各条线路
的长有什么关系？
A

两点之间线段最短.
由此可以得到： AC BC AB
B
C
AB BC AC AC AB BC
提示：两点之间，线段最短.
课程讲授
2 三角形的三边关系
等腰三角形与等边三角形的关系：等边三角形是特__殊__的等边三角形，即_底__边__和__腰__相__等__ 的等腰三角形.
课程讲授
1 等腰三角形和等边三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形
课程讲授
1 等腰三角形和等边三角形
练一练：根据三角形的分类，判断下列说法是否正确。
（1）一个钝角三角形可能是等腰三角形.（ √ ）（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ √ ）（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ × ）（4）等边三角形是锐角三角形.（ √ ）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
第四章三角形
4.1 认识三角形
第2课时三角形的三边关系
新知导入课程讲授
随堂练习课堂小结
知识要点
1.等腰三角形和等边三角形 2.三角形的三边关系
新知导入
想一想：
三角形按角的大小关系，可分为：
三角形
直角三角形锐角三角形
钝角三角形
三角形若按边来分类，可分为哪几类？
课程讲授
1 等腰三角形和等边三角形
A．3＜x＜11
B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11
D．x＞3
归纳：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

四年级下册数学教案-第二单元探索与发现(二)三角形三边的关系-北师大版

四年级下册数学教案-第二单元探索与发现（二）三角形三边的关系-北师大版一、教学目标1. 知识与技能：使学生理解和掌握三角形三边的关系，能根据三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形。

2. 过程与方法：通过观察、操作、验证，培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

二、教学重点、难点1. 教学重点：理解和掌握三角形三边的关系。

2. 教学难点：能根据三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形。

三、教学过程1. 导入新课- 联系生活实际，引导学生观察生活中的三角形，激发学生的学习兴趣。

- 提问：同学们，你们在生活中见过哪些三角形？它们有什么特点？2. 探究新知- 活动1：学生分组操作，用三根小棒尝试组成三角形，观察并记录成功和失败的情况。

- 活动2：学生交流操作结果，总结三角形三边的关系。

- 活动3：教师引导学生用数学语言表述三角形三边的关系。

3. 巩固练习- 练习1：判断下列三根小棒能否组成三角形，并说明理由。

- 练习2：在三角形ABC中，已知AB=10cm，BC=15cm，AC=20cm，判断这个三角形是什么类型的三角形。

4. 课堂小结- 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形三边的关系。

5. 课后作业（布置必做题和选做题）- 必做题：完成教材P23页的第1-3题。

- 选做题：探究四边形四边的关系。

四、教学反思本节课通过观察、操作、验证，让学生理解和掌握三角形三边的关系，培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。

在教学中，要注意引导学生用数学语言表述三角形三边的关系，提高学生的数学表达能力。

同时，要关注学生的个体差异，给予不同层次的学生有针对性的指导和帮助，使他们在数学学习中都能得到发展。

重点关注的细节是“探究新知”环节中的活动设计和实施过程。

这个环节是学生理解和掌握三角形三边关系的关键步骤，也是教学难点所在。

以下是对这个重点细节的详细补充和说明：探究新知活动1：学生分组操作，用三根小棒尝试组成三角形在这个活动中，学生通过亲身体验来感知三角形三边关系。

北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系说课稿.4直角三角形公开课

2.设计互动性强的课堂活动，如小组讨论、竞赛等，以激发学生的竞争意识和合作精神。
3.使用多媒体工具展示生动的几何图形和动画，帮助学生直观理解直角三角形的边角关系。
4.给予学生成功的体验，通过设计难度适中的练习题，让学生在解决问题中获得成就感，增强学习信心。
5.鼓励学生提出问题和自己的想法，培养他们的探究精神和批判性思维。
4.最后介绍直角三角形的判定与证明方法，通过一系列例题，让学生掌握如何运用这些方法解决实际问题。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，以检验他们对基本概念和定理的理解。
2.安排一些证明题，要求学生在小组内合作完成，培养他们的合作能力和逻辑推理能力。
（二）教学反思
在教学过程中，可能遇到的问题包括学生对直角三角形性质的误解、对勾股定理证明过程的困惑以及实际问题解决能力的不足。为应对这些问题，我将采取以下措施：及时澄清误解，通过实例和图示解释概念；分步骤讲解勾股定理的证明，强调每一步的逻辑；设计更多实际问题练习，培养学生的应用能力。课后，我将通过学生的课堂表现、作业完成情况和测验成绩来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：根据学生反馈调整教学方法和进度，针对学生的弱点提供额外的辅导，以及不断更新教学资源，以提高教学质量和学生的学习效果。
2.提供一个自我评价表，让学生根据自己在课堂上的表现和作业完成情况进行自我评价。
3.对学生的表现给予积极的反馈，针对他们的不足提出建设性的建议，帮助他们改进学习方法。
4.鼓励学生相互评价，通过同伴互助，共同提高。
（五）作业布置
课后作业的布置如下：
1.设计一些与直角三角形相关的练习题，包括基本概念的理解题、定理的证明题以及实际问题的应用题。

北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计

九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见：本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。

因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。

正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。

接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。

对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。

教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。

利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。

除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。

直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。

研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。

通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。

通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。

直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。

（二）教学重点1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

北师大版数学七年级下册《三角形的三边关系》教学设计2

北师大版数学七年级下册《三角形的三边关系》教学设计2一. 教材分析《三角形的三边关系》是北师大版数学七年级下册第7章第1节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了平面图形的知识，以及三角形的基本概念的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生了解并掌握三角形的三边关系，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这部分内容是学生进一步学习三角形相似、三角函数等知识的基础，对学生来说具有重要的意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面图形的知识，对三角形的基本概念有一定的了解。

但是，对于三角形的三边关系，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例子，引导学生理解和掌握三角形的三边关系。

同时，学生可能对于抽象的数学概念有一定的恐惧心理，教师需要通过生动的教学方式，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服恐惧心理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解并掌握三角形的三边关系，能够运用三角形的三边关系解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力和表达能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极的学习态度和良好的学习习惯。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形的三边关系。

2.教学难点：三角形的三边关系的证明和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例子，引导学生理解和掌握三角形的三边关系。

2.活动教学法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力和表达能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现三角形的三边关系，培养学生的探究能力。

六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、剪刀等。

2.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生更好地理解和掌握三角形的三边关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考：剪刀的两边之和是否大于第三边？剪刀的两边之差是否小于第三边？让学生初步接触三角形的三边关系。

专题14 三角形章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.4 三角形章末重难点题型【考点1 三角形的边角关系】【方法点拨】解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【例1】（2019秋•庐江县期末）已知4条线段的长度分别为2，4，6，8，若三条线段可以组成一个三角形，则这四条线段可以组成三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【答案】解：首先任意的三个数组合可以是2，4，6或2，4，8或2，6，8或4，6，8．根据三角形的三边关系：其中4+6＞8，能组成三角形．∴只能组成1个．故选：A．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式1-1】（2018秋•当涂县期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（）A．11B．18C．14D．22【分析】根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，可求出第三边长的范围，从而得出答案．【答案】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．∴14＜周长＜22，∴周长可能为18，故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【变式1-2】（2019春•临清市期末）a，b，c为三角形的三边长，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，＝0．故选：A．【点睛】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．【变式1-3】（2019秋•江东区期末）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A．3B．10C．6.5D．3或6.5【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论．【答案】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．【点睛】本题要分情况讨论，注意利用三角形的三边关系判断能否组成三角形，是学生容易出错的题．【考点2 巧用三角形中线求面积】【方法点拨】解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【例2】（2019秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（）A．16B．8C．4D．2【分析】首先根据D是BC的中点，可得：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，再根据E是AD的中点，可得：S＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，所以S△BCE＝S△ABC；然后根据F是CE的中点，求出△BEF的面△BDE积是多少即可．【答案】解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△BCE＝S△ABC＝×32＝16，∵F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×16＝8．答：图中阴影部分面积等于8．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．【变式2-1】（2019秋•宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD ＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【答案】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（）A．1B．C．2D．【分析】根据三角形的中线的性质，得△ADE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC 的面积的一半，由此即可解决问题．【答案】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝3．∵DE为△ABD中AB边上的中线，∴S△ADE＝S△ABD＝．故选：B．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【变式2-3】（2019秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．【答案】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故选：B．【点睛】本题考查了三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【考点3 三角形内角和之折叠变换】【方法点拨】解题的关键是掌握折叠的性质．【例3】（2019秋•潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32°B．45°C．60°D．64°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【答案】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-1】（2020春•岱岳区期中）如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【分析】由MN∥BC，可得出∠MNC与∠C互补，由三角形的内角和为180°可求出∠C的度数，从而得出∠MNC的度数，由折叠的性质可知∠A′NM与∠MNC互补，而∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，套入数据即可得出结论．【答案】解：∵MN∥BC，∴∠MNC+∠C＝180°，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠A′＝32°，∠B＝112°，∴∠C＝36°，∠MNC＝144°．由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°，∴∠A′NM＝36°，∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质以及三角形的内角和为180°，解题的关键是找出∠MNC 与∠A′NM的度数．本题属于基础题，难度不大，根据平行线的性质找出角的关系，结合图形即可得出结论．【变式3-2】（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．【答案】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠ABC＝3∠3＝81°，∠C＝106°﹣27°＝79°，故选：D．【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．【变式3-3】（2019春•繁昌县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．【答案】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．【考点4 三角形内角和之角平分线】【例4】（2019秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠CC．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系．【答案】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），∵AE是高，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C），故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．【变式4-1】（2019秋•璧山区期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．75°【分析】根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可．【答案】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的内角和，掌握三角形的内角和是解题的关键．【变式4-2】（2020•拱墅区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【分析】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．【答案】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BF A＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-3】（2019春•巴州区期末）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【答案】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D＝180°，∠D＝β，∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣β．∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∴∠CBE+∠BCF＝2（∠BCD+∠CBD）＝360°﹣2β，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）＝2β．又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣2β．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．【考点5 全等三角形的判定】【方法点拨】全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（2019秋•九龙坡区校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴当添加AE＝AD时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-1】（2019秋•东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90°C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【分析】由于∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，根据直角三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∴当添加EB＝BD时，则可根据“HL”判定△EAB≌△BCD；当添加AE＝BC，即AC＝AE+CD，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD；当添加∠ABE＝∠D时，此时∠D+∠E＝90°，∠EBD＝90°，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD，．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-2】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【变式5-3】（2019•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．【答案】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC，同理：B′E′＝A′C′，∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，∴∠CAD＝∠C′A′D′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．【考点6 尺规作图】【例6】（2019秋•蜀山区期末）如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【分析】先以A为圆心，a为半径画弧，即可作∠A＝∠1，则AM＝AN＝a；最后连接MN即可．【答案】解：如图所示：【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图的方法．【变式6-1】（2019春•秦都区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）【分析】根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM＝∠ABC即可；【答案】解：如图所示，射线CM即为所求：【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．【变式6-2】（2019春•平川区期末）已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】先作AB＝2a，再作∠A＝∠α，然后作∠B＝2∠α即可．【答案】解：如图，△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．【变式6-3】（2019秋•包河区期末）已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．【分析】（1）依据基本作图，即可得到∠AOD＝∠α；（2）依据角平分线的定义，即可得到∠AOD的度数，进而得出∠BOD的度数．【答案】解：（1）如图2所示，∠AOD即为所求；（2）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，又∵∠AOE＝2∠BOE，∴∠AOB＝∠BOE，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，又∵∠AOD＝40°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°．【点睛】本题主要考查了基本作图以及角的计算，掌握作一个角等于已知角是解决问题的关键．【考点7 全等三角形的证明】【例7】（2019秋•东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【答案】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式7-1】（2019秋•大观区校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）利用，△ABC的两条高AD、BE相交于点H得出，∠ADC＝∠BEC＝90°，再利用三角形内角和定理得出答案；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠C＝∠C，∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH与△ADC中，∴△BDH≌△ADC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-2】（2019春•黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE 全等吗？请说明理由．【分析】根据全等三角形的判定定理，观察图形上的已知条件，已知告诉的条件是一角一边分别对应相等，加上公共边就可证两对三角形全等．【答案】解：△BCE≌△BDE，理由如下：在△ACB与△ADB中，∴△ACB≌△ADB（SAS），∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，在△BCE与△BDE中，∴△BCE≌△BDE（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；关键是根据全等三角形的判定定理证明．【变式7-3】（2019秋•北碚区校级期末）如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，再根据∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，证明△ABC≌△ADE（ASA），即可证明．（2）只要证明△ABC≌△ADE（ASA）即可．【答案】证明：（1）∵∠1＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠3+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，∵∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，∴∠ACB＝∠E，在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴∠B＝∠D．（2）由（1）可得△ABC≌△ADE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【考点8 全等三角形的应用】【例8】（2019春•开江县期末）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．【分析】（1）根据题意所述画出示意图即可．（2）根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出了AB之间的距离．【答案】解：（1）所画示意图如下：（2）在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小刚共走了140步，其中AD走了60步，∴走完DE用了80步，小刚一步大约50厘米，即DE＝80×0.5米＝40米．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．【点睛】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．【变式8-1】（2019春•峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？【分析】通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补．【答案】解：小华的想法对，理由是：∵O是CF的中点，∴CO＝FO（中点的定义）在△COB和△FOE中，∴△COB≌△FOE（SAS）∴BC＝EF（全等三角形对应边相等）∠BCO＝∠F（全等三角形对应角相等）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠ACE和∠DEC互补（两直线平行，同旁内角互补），【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等知识，要学会综合运用这些知识．【变式8-2】（2019春•槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【答案】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式8-3】（2019秋•临海市期末）如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．（1）求证：AB＝CD；（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答．【答案】证明：（1）在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；（2）如图所示：延长OF、CE交于点G，∵∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，∴∠FEG＝40°，∠EFG＝70°，∴∠G＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴EF＝EG，∵CE＝11m，EF＝10m，∴CG＝CE+EG＝CE+EF＝11+10＝21m，∵CG∥AB，∴∠A＝∠C，在△ABO与△CGO中，∴△ABO≌△CGO（ASA）∴AB＝CG＝21m．【点睛】此题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．【考点9 全等三角形中的动点问题】【例9】（2019秋•莱山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm 和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？【分析】推出CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，求出即可得出答案．【答案】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP＝CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；答：点P运动1或3.5时，△PEC与△QFC全等．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．【变式9-1】（2019秋•娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？【分析】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．【答案】解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP 全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式9-2】（2019秋•内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．【答案】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式9-3】（2019秋•梁平区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用速度公式，用t表示出BP，从而可用t表示出PC；。

北师大版七年级数学下册《三角形的三边关系》精品课件

三角形任意两边之和大于第三边.
新知讲解
【做一做】分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内。
a
ba
b
a b
c a= b= c=
c
c
， a=
， a=
，
， b=
， b=
，
。 c=
。 c=
。
新知讲解
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？小组交流。
三角形任意两边之差小于第三边.
两边之差<第三边<两边之和
新知讲解
如果一根木棒能与原来的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范
围是什么？
C
b
a
已知△ABC的两边为a,b（a>b), 第三边设为x,则x的取值范围为:
A
x
B
a-b<x<a+b
课堂练习
1.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( B )
新知讲解
【总结归纳】不等边三角形：三边都不相等的三角形
三角形
等腰三角形：只有两边相等的三角形
等腰三角形等边三角形：三边都相等的三角形
新知讲解
【例】下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能
是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和
三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角
三角形的三边有的各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.
新知讲解
观察下图的三角形，你能发现什么特点？
顶角
三角形的两条边相等.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

北师大版数学四年级下册《三角形边的关系》说课稿(附反思、板书)

【设计意图：在问题引导的设计上我花了一些心思，力图扣住要害，抓准本质，用两个简洁的提问帮助学生搭建最终解决问题的 “脚手架”。】
通过以上三次实验，学生在操作、猜测、计算和思考中，对于用三根小棒摆三角形的问题有了比较深刻的体会，该到教学总结提升的时候了。这时我对学生说：在用小棒摆成的三角形里，小棒被看成了三角形的边，如果直接画出三角形，你知道三角形的边有怎样的关系吗？能从上面的探究中得到启发吗？
也可能这样汇报：（配动画演示）老师，我刚才之所以没有摆成三角形，是因为较短两根小棒合起来刚好和第三根小棒一样长，这样中间都顶不起来了，这时只要把最长的这根换成较短一些的，就能摆成三角形。通过上述实验，学生可能会初步得到一个结论：两根小棒的长度和大于第三根就能摆成三角形。为了引导学生验证这个结论的正确性，我安排下面第三个实验。
3.想一想：李叔叔买回一根12米长的木料，准备截成三段，做成三角架，如果三角架的每条边正好是整米数，那么他做成的三角架可以有几种不同的形式？【这道题目有一定难度，能够综合培养学生深入理解知识、灵活运用知识、学会有序思考、发展逻辑思维等多方面作用】
七、说板书设计
根据一年级的年龄特点，本课板书内容简单明了，重难点突出。
实验2：摆一摆，算一算本次实验，我用两个问题引导学生再次动手操作和周密思考，促使学生获得正确认识和结论。问题1：是不是只要两根小棒的长度和大于第三根，就一定能摆成三角形？问题出来后，学生可能陷入了认知矛盾冲突，不置可否。
此时，我及时从表中选出一组不能摆成三角形的数据（1、7、10）反问学生：10厘米的小棒和1厘米的小棒相加长度大于第三根7厘米的小棒，怎么还是摆不成三角形？这里面还隐藏着什么我们没有发现的秘密？然我们继续动手合作去发现吧！

三角形边的关系(教案) 数学四年级下册-北师大版

三角形边的关系1教学目标1．通过摆一摆、比一比、算一算等活动，经历猜测、探究、发现、验证等过程，探索并发现三角形任意两边之和大于第三边，并会判断指定长度的三条线段能否围成三角形。

2．在动手操作、积极探索的活动过程中掌握知识，积累数学活动经验，发展空间观念和推理能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3．积极参与探究活动，在活动中锻炼自主探索、合作交流的能力，体验数学学习的快乐。

2学情分析对于三角形，学生并不陌生，通过前面的学习，学生已经初步认识了三角形，知道三角形有三条边、三个顶点和三个角，以及三角形稳定性的知识，这些都是学生进一步进行学习的基础。

学生乐于动手，喜欢实践，并在前几年的学习中，掌握了一定的实践方法和思考方式，同时比较善于发现和总结，这也将为本节课的学习做好铺垫。

3重点探究三角形三边的关系，知道三角形任意两条边的和大于第三边。

4难点能根据三角形三边的关系来解决实际问题。

教学过程活动1【导入】复习引入师：前面，我们已经认识了三角形，请同学们仔细看，下面哪个图形是三角形师：大家同意这个意见吗？为什么它们不是三角形师：看来，只有像这一个，由三条线段首尾相连，围成的图形才是三角形。

活动2【活动】动手操作，收集数据1提出问题，展开活动：师：如果给你三根小棒，你能围出一个三角形吗？师：同学们，争论是没有意义的，我们怎么样就行了？两个字“动手”。

师：请大家用学具袋中的六根小棒，任意选出其中三根，尝试围成三角形，把小棒的长度写在数据记录单上。

比一比，哪个小组得到的数据多？开始！2、小组合作，汇报交流：（学生操作后，老师选择一个小组的表格进行展示。

）活动3【讲授】分析数据，揭示规律1、运用数据，启发思考师：好，现在已经有很多同学完成了，请大家把小棒迅速放在桌子的最前面。

好，谁来说一说你们小组的记录？（教师板书数据）（出现问题，让学生上来摆一摆）师：在刚才的活动中，我们得到了很多数据。

根据这些数据，大家有什么想法？或者想提出什么问题根据学生的回答，板书（为什么围不成？为什么围得成？）为什么围不成？请大家先独立思考，想好以后，同座互相说一说，交流一下。

九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.4 解直角三角形课件

∵AB＝1，sin B＝
2， 42
2
∴AD＝AB·sin B＝1×
＝
4
. 4
∴BD＝
AB2 AD2
12
2 2 4
14 , 4
CD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
∴BC＝ CD BD
30
14
30 14 .
44
4
总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．
A．2 3
B．2 2
C. 11
4
D. 5 5
4
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠
A；②c=
a ;③b sin A
a tan
. A
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
则∠A的度数为( D )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（来自《典中点》）
知1－练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( C ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，

四年级数学下册教案二认识三角形和四边形-三角形边的关系北师大版

四年级数学下册教案二认识三角形和四边形-三角形边的关系北师大版一、教学目标1. 让学生了解三角形和四边形的定义，能够识别和分类常见的三角形和四边形。

2. 使学生掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的性质解决实际问题。

3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。

4. 通过小组合作，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

二、教学内容1. 三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。

2. 三角形的分类：按边分（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）和按角分（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。

3. 三角形三边之间的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

4. 四边形的定义：由四条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。

5. 常见的四边形：矩形、正方形、平行四边形、菱形等。

三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形和四边形的定义，三角形三边之间的关系。

2. 教学难点：三角形三边之间关系的理解和应用。

四、教学过程1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾四边形的定义和特点，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课导入：出示一些三角形和四边形的图片，让学生观察并说出它们的名称，引导学生发现三角形和四边形的共同点和不同点。

3. 探究三角形：让学生通过动手操作，探究三角形的性质。

例如，让学生用三根小棒摆出三角形，观察并总结三角形三边之间的关系。

4. 讲解三角形三边之间的关系：结合学生的探究结果，讲解三角形三边之间的关系。

通过实例，让学生理解并掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的性质。

5. 应用与实践：设计一些实际问题，让学生运用三角形的性质解决问题。

例如，判断一组线段能否组成三角形，计算三角形的周长等。

6. 小组合作：让学生分组讨论，探讨四边形的性质。

每组选择一种四边形，通过观察、测量、计算等方式，总结出该四边形的特点。

7. 总结与拓展：让学生分享小组的探究成果，总结四边形的性质。

北师大版七年级下册第8讲三角形--基础班

第8讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【答案】3a﹣b【解析】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，则：a+b﹣c=（a+b）-c＞0，a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0，a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即a﹣b+2c>0），∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=a+b﹣c-[-（a﹣b﹣c）]+（a﹣b+2c）=3a﹣b故答案为：3a﹣b【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。

a﹣b+2c可看做（a﹣b+c）+c，再判断正负。

【随堂练习】1．（2018春•郓城县期末）若三角形三条边长分别是1，a，5（其中a为整数），则a的取值为_____．【解答】解：∵三角形的两边长分别为1和5，∴第三边长x的取值范围是：5﹣1＜a＜5+1，即：4＜a＜6，∴a的值为5，故答案为：5．2．（2018春•洛宁县期末）三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于30，求三边的长．【解答】解：依题意设三角形的三边长为x﹣2，x，x+2，∴，即2＜x＜10，∴x为最大取9，最小取3的奇数，当x=9时，三边长为7，9，11，当x=7时，三边长为5，7，9，当x=5时，三边长为3，5，7，当x=3时，三边长为1，3，5．知识点2 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。

数学北师大版四年级下册三角形三边关系习题

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二、“明辨是非”我会判。（对的打“√”，错的打 “×” ）。
• 1、等边三角形一定是等腰三角形。（√ ）
• 2、小强画了一个三个角分别是
50°70°50°的等腰三角×形
（
）
• 3、把一个三角形中一个20°×的锐角截去，剩下图形的内角和是160°。（）
三、“择优录取”我会选。
1、所有的等边三角形都是（B ）三角形。
学习目标
本节课我们主要来学习三角形三边的关系，同学们通过实际的动手实验要理解并掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，能够解决
相关的实际问题。
• 一、 “对号入座”我会填：
1、按角的大小，三角形可以分为（钝角）三角形、（直角）三角形、（锐角）三角形。
2、三角形具有（稳定）性。 3、如果三角形的两条边的长分别是3厘米和5
，第三条边的长度只能选（ A）
A、80厘米
B、90厘米
C、110厘米
6、下面分别是三角形的三条边长度，不能围成
三角形的是（ A ）。
A、3cm、4cm、9cm B、2cm、3cm、4cmΒιβλιοθήκη C、5cm、6cm、7cm
7、三角形任意一条边的长（ B ）另外两条边的
和。
A 、大于
B、小于 C、等于
谢谢观赏
厘米，那么第三条边的长可能是大于（ 2 ）厘米小于（8 ）厘米。
• 4、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是（180 ）°。
• 5、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是钝（角）三角形，另一个角是（95 ）度。

北师大版七年级数学下册第四章三角形3 第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等

所以△CDE≌△ABC. 所以 DE = BC.
下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为并不符合
A
ASA 或 AAS 的判定条件. B
C
D
2. (陕西·中考) 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上， CD = AB， DE∥AB，∠DCE =∠A. 求证：DE = BC. 解：因为 DE∥AB，所以∠ABC =∠CDE. 在△CDE 和△ABC 中，因为 ∠CDE =∠ABC， CD = AB， ∠DCE =∠BAC，
B
图二 C
“两角和其中一角的对边”
做一做
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边
，比如三角形的两个内角分别是 60° 和 80°，它们所夹
的边为 2 cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形
与同伴画的一定全等吗？
改变角度和边长，你
能得到同样的结论吗？
60°
80°
2 cm
归纳总结
“角边角”判定方法
60°
80°
2 cm
归纳总结
“角角边”判定方法文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相
等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
几何语言：在△ABC 和△A′B′C′ 中，
A
A′
因为 ∠A =∠A′， ∠B =∠B′，
AC = A′C′，
B
C B′
C′
所以 △ABC≌△A′B′C′（AAS）.
有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边.
由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的.
探究新知
1 三角形全等的判定（“角边角”）

七年级数学下册第章三角形三角形的三边关系教案北师大版

三角形的三边关系知识技能目标1.掌握和理解三角形的三边关系；2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.过程性目标1.联系三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，探索三角形的三边之间的不等量关系；2.结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系，体会三角形的稳定性.教学过程一、创设情境让学生拿出预先准备好的四根牙签（2cm,3cm,5cm,6cm各一根）请你用其中的三根，首尾相接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？你从中发现了什么？二、探索归纳从4根中取出3根有一下几种情况：(1) 2cm,5cm,6cm (2) 3cm,5cm,6cm(3) 2cm,3cm,5cm (4) 2cm,3cm,6cm通过实践可知(1)，(2)可以摆出三角形，(3)，(4)不能摆成三角形我们可以发现这三根牙签中，如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角.这就是说：三角形的任意两边的和大于第三边.三、实践应用例1 画一个三角形，使它的三条边分别为7cm,5cm,4cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB=7cm；(2)以点A为圆心，5cm长为半径画圆弧；(3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；(4)连结AC，BC.△ABC就是所要画的三角形.练习：以下列长度的各组线段为边，能否画一个三角形？(1)7cm,4cm,2cm; (2)9cm,5cm,4m.例2 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一三角形，你说第三根要多长呢？用长度为3cm的木棒行吗？为什么？长度为14cm的木棒呢？解取长度3cm的木棒时，由于3+5=8，与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以不能摆成三角形；取长度为14cm的木棒时，由于5+8<14，同样与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以也不能摆成三角形. 从上可知第三木棒的长度应该是大于3cm且小于13cm.结论 1. 三角形两边之差小于第三边；2．已知三角形的两边长度，第三边长度范围是大于这两边的差小于这两边的和.练习下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm； (2)4cm、5cm、10cm；(3)3cm、8cm、5cm； (4)4cm、5cm、6cm.例3 (1)如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长为多少？(2)如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是多少？解 (1)若4cm为底边9cm为腰时，有4+9>9和9+9>4能构成三角形周长为22cm；若4cm为腰9cm为底时，有4+4<9不能构成三角形假设不成立；(2)若5cm为底8cm为腰时，有5+8>8和8+8>5能构成三角形，周长为21 cm；若5cm为腰8cm为底时，有5+5>8和8+5>8也能构成三角形，周长为18cm.故已知等腰三角形的二条边求第三边的长时，首先要判断这三边能否构成三角形，再求第三边的长.用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形稳定性.有四根木条钉一个四边形，你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小，这说明四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.交流反思三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边.注意“任何”两字.如三角形的三边分别为a、b、c则a+b>c,a+c>b,b+c>a都成立才可以，三角形任何两边之差小于第三边也同样如此.五、检测反馈1.画一个三角形，使它的三条边长分别为3cm、4cm、6cm；2.已知△ABC是等腰三角形,如果它的两条边的长分别为8cm和3cm，那么它的周长是多少?七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝35°，则∠BED的度数是（）A．70°B．68°C．60°D．72°【答案】A【解析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由BC平分∠ABE可得出∠ABE的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵AB∥CD，∠C=35°，∴∠ABC=∠C=35°．∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=70°．∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=70°．故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．2．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠α的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°【答案】D【解析】分析：如下图，根据“三角形外角的性质结合直角三角尺中各个角的度数”进行分析解答即可.详解：如下图，由题意可知：∠DCE=45°，∠B=30°，∵∠ =∠DCE+∠B，∴∠α=45°+30°=75°. 故选D.点睛：熟悉“直角三角尺中各个内角的度数，且知道三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本题的关键.3．如图是北京城镇居民家庭年每百户移动电话拥有量折线统计图，根据图中信息，相邻两年每百户移动电话拥有量变化最大的是A ．2010年至2011年B ．2011年至2012年C ．2014年至2015年D ．2016年至2017年【答案】B【解析】观察折线统计图可知：2011年至2012年每百户移动电话拥有量变化最大．【详解】解：观察折线统计图可知：2011年至2012年每百户移动电话拥有量变化最大．故选：B ．【点睛】本题考查折线统计图，关键是能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．4．如图，ABC ∆中，AB =AC ,D 、E 分别在边AB 、AC 上，且满足AD =AE ，下列结论中:①ABE ACD ∆≅∆；②AO 平分∠BAC ；③OB =OC ；④AO ⊥BC ；⑤若12AD BD =，则13OD OC =；其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】利用SAS 可证明△ABE ≌△ACD ，判断①正确；根据全等三角形的性质以及邻补角定义可得∠BDO=∠BEC ，继而利用AAS 证明△BOD ≌△COE ，可得OD=OE ，BO=OC ，判断③正确；利用SSS 证明△AOD ≌△AOE ，可得AO 平分∠BAC ，判断②正确，继而根据等腰三角形三线合一的性质可判断④正确，根据三角形的高相等时，两三角形的面积比就是底边之比，通过推导可判断⑤正确. 【详解】在△ABE 与△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD ，故①正确； ∴∠AEB=∠ADC ， ∴∠BDO=∠BEC ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE ，在△BOD 与△COE 中，BDO CEO BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BOD ≌△COE ，∴OD=OE ，BO=OC ，故③正确；在△AOD 与△AOE 中，AD AE AO AO OD OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOD ≌△AOE ， ∴∠DAO=∠EAO ，即AO 平分∠BAC ，故②正确，又∵AB=AC ，∴AO⊥BC，故④正确，∵12AD BD=，∴S△BOD=2S△AOD，又∵△BOD≌△COE，∴S△COE=2S△AOD，又∵△AOD≌△AOE，∴S△AOC=3S△AOD，∴OC=3OD，即13OD OC=，故⑤正确，故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的的性质，全等三角形的判定与性质，角平分的定义，三角形的面积等，综合性较强，准确识图，正确分析，熟练运用相关知识是解题的关键.5．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（）A．7{2x yx y+==B．7{2x yy x+==C．27{2x yx y+==D．27{2x yy x+==【答案】A【解析】设甲数为x，乙数为y，根据题意得：7 {2x yx y+==，故选A.6．一个不等式组的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为( )A．1 ＜x ≤ 0B．0 ＜x ≤1C．0 ≤ x＜1 D．0＜x＜1【答案】B【解析】分析：由数轴可知，两个不等式的解集分别为x>0,x≤1,由此可求出不等式组的解集. 详解：由数轴得，不等式组的解集为0 ＜x ≤1.故选B.点睛：此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子公共部分就是对应不等式组的解集．=++，则称n为“好数”．例如：7．对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得n x y xy=++⨯，则3是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数共有（）个31111A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据题意，由n＝x＋y＋xy，可得n＋1＝x＋y＋xy＋1，所以n＋1＝（x＋1）（y＋1），因此如果n＋1是合数，则n是“好数”，据此判断即可．【详解】根据分析，∵8＝2＋2＋2×2，∴8是好数；∵9＝1＋4＋1×4，∴9是好数；∵10＋1＝1，1是一个质数，∴10不是好数；∵1＝2＋3＋2×3，∴1是好数．综上，可得在8，9，10，1这四个数中，“好数”有3个：8、9、1．故选C．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化；此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果n＋1是合数，则n是“好数”．8．不等式－3x≤6 的解集在数轴上正确表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出不等式的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集在数轴上表示出来，比较得到结果．【详解】−3x⩽6，x⩾−2.不等式的解集在数轴上表示为：故选D.【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握表示方法9．画△ABC中AC上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．【详解】过点B作直线AC的垂线段，即画AC边上的高BD，所以画法正确的是C.故选C.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握作图法则.10．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，1），将线段AB平移后，A点的坐标变为（﹣3，2），则点B的坐标变为（）A．（﹣1，2）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（1，2）【答案】B【解析】由A（﹣2，3）平移后坐标变为（﹣3，2）可得平移变化规律，可求B点变化后的坐标．【详解】解：∵A（﹣2，3）平移后坐标变为（﹣3，2），∴可知点A向左平移1个单位，向下平移1个单位，∴B 点坐标可变为（1，0）．故选：B ．【点睛】本题运用了坐标的平移变化规律，由分析A 点的坐标变化规律可求B 点变化后坐标．二、填空题题11．定义：f （a ，b ）=（﹣a ，b ），g （m ，n ）=（m ，﹣n ），例 f （1，2）=（﹣1，2），g （﹣4，﹣5）=（﹣4，5），则 g （ f （2，﹣3））=_____．【答案】（﹣2，3）．【解析】根据新定义法则，分步完成.即： g （ f （2，﹣3））= g （-2，﹣3））=（﹣2，3）. 【详解】g （ f （2，﹣3））= g （-2，﹣3））=（﹣2，3）. 故答案为：（﹣2，3）【点睛】本题考核知识点：点的坐标.解题关键点：根据新定义写坐标.12．一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数是__________________ 【答案】1【解析】设这个多边形的边数是n ，根据多边形的内角和公式：()n 2180-⨯，列方程计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n根据多边形内角和公式可得()n 2180720，-⨯= 解得n 6=．故答案为：1．【点睛】此题考查的是根据多边形的内角和，求边数，掌握多边形内角和公式是解决此题的关键．13．小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数，（1）表格中反映的变量是_____，自变量是_______，因变量是___________．（2）估计小亮家4月份的用电量是_____°，若每度电是0.49元，估计他家4月份应交的电费是_________．【答案】日期和电表读数日期电表读数 120 58.8【解析】分析：(1)、根据表格即可得出自变量和因变量；(2)、首先根据表格得出每天的平均用电量，然后得出4月份的用电量，根据电价得出答案．详解：(1)、变量有两个：日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数； (2)、每天的用电量：（49-21）÷7=4°，4月份的用电量=30×4=120°， ∵每度电是0.49元，∴4月份应交的电费=120×0.49=58.8元．点睛：本题主要考查的是函数的变量，属于基础题型．在看这个表格的时候一定要注意两天数值的差才是前一天的用电量．14．已知，x=3、y=2是方程组6324x by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a=_____，b=_____【答案】6； 7【解析】把x 与y 的值代入方程组计算即可求出a 与b 的值．【详解】把x=3、y=2代入6324x by ax by +=⎧⎨-=⎩中得：18232324b a b +⎧⎨-⎩＝＝解得：67a b ⎧⎨⎩＝＝故答案是：6,7. 【点睛】考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．15．已知方程组123a b b c a c -=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，则a =______________.【答案】2【解析】利用“加减消元法”解三元一次方程组，即可求出a 的值.【详解】123a b b c a c -=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩①②③解：①+②得：12a b b c -+-=-+ 合并同类项，得：1a c -=④ ③+④得：314a c a c ++-=+= 合并同类项，得：24a =解得：a=2故答案为：2【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握“加减消元法”是解题关键.16．如图，△ABC的周长为15cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D、交AC边于点E，连接AD，若AE＝2cm，则△ABD的周长是_____cm．【答案】11【解析】根据垂直平分线的性质即可求解.【详解】由题意可知EC=AE＝2cm，AD=CDAB+AC+BC=15cm；∴AB +BC=15-2×2=11cm∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BC-CD+AD= AB+BC=11cm【点睛】此题主要考查周长的计算，解题的关键是熟知垂直平分线的的性质.17．按如图所示的程序进行运算时，发现输入的x恰好经过3次运算输出，则输入的整数x的值是________ ．【答案】11或12或13或14或1．【解析】试题分析：第一次的结果为：2x-5，没有输出，则2x-545，解得：x25；第二次的结果为：2（2x-5）-4=4x-1，没有输出，则4x-145，解得：x1；第三次的结果为：2（4x-1）-5=8x-35，输出，则8x-3545，解得：x10，综上可得：，则x的最小整数值为11.考点：一元一次不等式组的应用三、解答题18．为保护环境，增强居民环保意识，某校积极参加即将到来的6月5日的“世界环境日”宣传活动，七年级（1）班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，统计结果的条形统计图如下：根据统计图，请回答下列问题：（1）这组数据共调查了居民有多少户?（2）这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是_______个，众数是 _______个.（3）该校所在的居民区约有3000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少？【答案】 (1)50(2)中位数 4 众数 4(3)12600【解析】(1)计算居民总数（2）中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。

(北师大版)数学九年级下册：三角函数的计算课件

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin160 .
你知道sin160等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的?
做一做P16 3
知识在于积累
驶向胜利的彼岸
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键:
例如,求sin160,cos420, tan850和 sin cos tan sin720 38′25″的按键盘顺序如下:
老师期望: 你能独立获得成功.
小结拓展
回味无穷
由锐角的三角函数值反求锐角
驶向胜利的彼岸
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 2
∠A= 300 sin A 3
2
∠A=
600 sin A 2
2
∠A= 450
cos A 1 2
∠A= 600 cos A
想一想P19 1
数学源于生活的需求
如图,为了方便行人，市政府在10m 高的天桥.两端修建了40m长的斜道. 这条斜道的倾斜角是多少? 如图,在Rt△ABC中,
sin A BC 10 1 . AC 40 4
那么∠A是多少度呢? 要解决这问题,我们可以借助科学计算器.
请与同伴交流你是怎么做的?
怎么解?
老师提示:上表的显示结果是以度为单位的,再按 dms 键即可显示以 “度,分,秒”为单位的结果.
例题欣赏P240
洞察力与内秀
驶向胜利的彼岸
例1 如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19. 2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).
解 : tan ACD AD 10 0.5208, CD 19.2

七年级数学北师大版下册初一数学--第四单元 4.1《认识三角形》课件

直角
斜边
与斜边之间的大小关系吗？
（hypotenuse）它的两个锐角之间有什么关系吗？
边
B 直角边（leg） C
直角三角形的斜边大于任一直角边。
直角三角形的两个锐角互余。
①
②
③
④
⑤ 锐角三角形
③⑤
⑥ 直角三角形
① ④⑥
⑦ 钝角三角形
②⑦
2、在下面的空白处，分别填入“锐角” “钝角”或“直角”：
认识三角形
忆一: 三角形三边的关系
a
b
c
三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。
两边之差
2
3
这是一个直角三角形，∠1、∠2、∠3是它的三个内角。平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，∠2突然不高兴，发起脾气来，它指着∠1说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊，老弟”∠1说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也不成家了……”“为什么？”∠2
２.如图线段DG ,EM ,FN两两相交于B ,C ,A三点则 ∠D+ ∠E + ∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（）
N
M
A
D
B
C G
E
F
很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？学了今天的知识以后你们就会知道三兄弟之间的关系了。
三角形的三个内角有什么关系
三角形三个内角的和等于180º
小学里，用什么方法得到三角形内角和的结论的？
请同学们动手验证一下！
2 1
你能用什么方法得到三角形内角和1800
的结论？
练1：
1、在△ABC中，∠C=900 ， ∠ A=300 求∠B