圆的一般方程导学案

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高中数学4.1.2圆的一般方程导学案新人教A必修2

浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 4.1.2 圆的一般方程导学案
新人教A 版必修2
一、【课前预案】【学习目标】
1.掌握圆的一般方程，圆的一般方程和圆的标准方程之间的互化。

2.会用待定系数法求圆的一般方程。

【重点，难点】
重点：圆的一般方程与圆的标准方程互化。

难点：选择适当的方式求圆的方程。

1、已知圆的方程为4)1()
2(22=-++y x ，写出圆心坐标和半径；并将其展开。

二、【课中导案】
（一）、合作探究
归纳：方程
满足的条件暗示图形 022=++++F Ey Dx y x
（二）、当堂检测
1、判断下列二元二次方程是否暗示圆，若是，写出圆心与半径；反之说明理由
06420642320342220
34222222222=-+-+=-+-+=-+-+=-+-+y xy y x y x y x y x y x y x y x ④③②①
2、求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程，并求出圆心和半径.
归纳求圆的方程的方式：
练习、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程，并求出圆心和半径.
(三)课堂小结
1、知识点
2、方式
3、思想
三、【课后作业】
5、已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程.。

人教A版数学必修二《圆的一般方程》导学案

高中数学必修2《圆的一般方程》导学案姓名：___________ 班级：___________ 组别：_____________ 组名：____________【学习目标】1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．【重点难点】重点：掌握圆的一般方程难点：难点是根据条件运用待定系数法建立圆的方程．【知识链接】1、圆的标准方程2、直线与二元一次方程0(,Ax By C A B ++=不全为零)建立了一一对应的关系，那么圆是否也有与之对应的方程呢?【学习过程】阅读课本第121页至122页的内容，尝试回答以下问题：知识点：圆的一般方程 1.以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程：．2.将222()()x a y b r -+-=展开得 .3.形如220x y Dx Ey F ++++=的都表示圆吗？将上方程配方，得 . 不难看出，此方程与圆的标准方程的关系⑴. 当0422>-+F E D 时， .⑵. 当0422=-+F E D 时， .⑶. 当0422<-+F E D 时， . 综上所述，方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆,只有当时，它表示的曲线才是圆,我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程思考：圆的标准方程和一般方程各有什么特点？结论：圆的一般方程的特点：、的系数相同，没有这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定系数、、，因此只要求出来这三个系数，圆的方程就明确了.与圆的标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.例2：求过三点(0,5),(1,2),(3,4)A B C ---的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．例3：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 中点M 的坐标(,)x y 中,x y 满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段AB 的端点B 静止，A 在圆22(1)4x y ++=上运动，因此我们可以设出A 的坐标，从而得到中点M 的坐标．例4：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度AB 是36米，拱高OP 是6米，在建造时，每隔3米需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01米）．分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．【基础达标】A1.方程0834222=+++++k y kx y x 表示圆的充要条件是（）A.4>k 或1-<kB.41<<-kC.4=k 或1-=kD.以上答案都不对 B 2.下列方程各表示什么图形？⑴. 2240x y x +-=； ⑵. 224250x y x y +--+=；⑶. 1x -=B3.已知△ABC 的顶点的坐标为A （4,3）,B(5,2)，C(1,0)，求△ABC 外接圆的方程.B4.求过点（—1，1），且圆心与已知圆22(1)46120x y x y ++--=相同的圆的方程C5.等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【小结】【当堂检测】A1.圆22680x y y ++-=的圆心为，半径为 .A2.若圆221014x y mx y ++-==-与直线相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 .B3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程．【课后反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是。

圆的一般方程导学案

4.1.2 圆的一般方程备课人：王艳青审核人：韩海清白俊丽学习目标：1.掌握022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件，由圆的一般方程确定圆的半径和圆心.2.能通过配方等手段把圆的一般方程化为标准方程，能用待定系数法求圆的方程.学习重点：圆的一般方程的代数特征，圆的一般方程与标准方程间的互化.学习难点：二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程.学习过程：一、复习回顾1.圆的标准方程为：，圆心坐标为，半径为 .2.写出圆心为A )3,2(-，半径长为5的圆的方程.二、新课学习1．思考方程014222=++-+y x y x 与方程064222=+--+y x y x 分别表示什么图形？（提示：通过对方程进行配方可得到圆的标准方程）2．探索研究方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？（课本121P ）3. 讨论圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？例1. 求过三点O )0,0(，1M )1,1(，2M )2,4(的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.变式训练1：求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：(1) 0622=-+x y x ； (2) 0222=++by y x ； (3) 03322222=+--+a ay ax y x .例 2.已知线段AB 的端点B 的坐标是 )3,4(，端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.变式训练2：已知圆C 的圆心在直线012:=--y x l 上，并且经过原点和)1,2(A ，求圆C 的方程.三、自我小结4.1.2圆的一般方程（自我检测）一、单项选择（每题5分，共35分）1.圆01422=--+x y x 的圆心和半径分别为（）A ．（2，0），5B .（0，-2），5C .（0，2），5D .（2，2），52.若方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则有( )A ．2≤mB .2<mC .21<m D .21≤m3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点)2,1(的圆的方程是( )A .1)2(22=-+y xB .1)2(22=++y xC .1)3()1(22=-+-y xD .1)3(22=-+y x4. 圆心为点C )3,8(-，且过点A )1,5(的圆的方程为（）A .5)3()8(22=-+-y xB .5)3()8(22=++-y xC .25)3()8(22=++-y xD .25)3()8(22=-++y x5.圆086222=++-+y x y x 的周长为（）A ．π2B .π2C .π22D .π46.若a 为实数，则圆1)2()(22=++-a y a x 的圆心所在的直线方程为（）A ．02=+y xB .02=+y xC .02=-y xD .02=-y x7.方程02222=-++b ax y x 表示的图形为（）A ．一个圆B .只有当0=a 时，才表示一个圆C .一个点D .b a , 不全为0时，才表示一个圆二、填空题（每题5分，共20分）1.圆064222=-+-+y x y x 的圆心为，半径为 .2.已知方程052422=+-++k y kx y x ，当∈k 时，它表示圆；当∈k 时，它表示点；当∈k 时，它不表示任何图形.3.过点)3,1(),1,1(B A -，圆心在x 轴上的圆的方程为 .4.已知点)2,8(),4,2(--B A ，则以AB 为直径的圆的方程为 .三、解答题（第1题12分，第2题13分，共25分）1.已知ABC ∆的顶点坐标分别是)1,1(A ，)1,3(B ，)3,3(C ，求ABC ∆外接圆的方程.2.过圆外一点),(b a Q 向圆O ：222r y x =+)0(>r 作割线，交圆于A ,B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹.。

(完整word版)4.1.2圆的一般方程-导学案2

导学案
年级：高一级科目：数学主备：审核：
课题：4.1.2圆的一般方程课型：新授课课时：1课时【三维目标】
●知识与技能：1、理解圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心与半径；
理解方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件。

2、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法
求圆的一般方程。

●过程与方法: 通过对方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

●情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，
激励学生创新，勇于探索。

【学习重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定
方程中的系数D 、E 、F 。

【学习难点】对圆的一般方程的认识、理解和运用。

【教学资源】
附件: 【小结】1．对方程02
2=++++F Ey Dx y x 的讨论（什么时候可以表示圆）。

2．圆的一般方程与标准方程的互化。

3．用待定系数法求圆的一般方程。

4．求与圆有关的点的轨迹。

【作业】124p 习题4.1第1、2、6题
【教学后记】:。

高中数学《圆的一般方程》导学案

2.2 圆的一般方程[学习目标] 1.掌握圆的一般方程及其特点． 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小． 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.【主干自填】1．圆的一般方程的定义当□01D ＋E －4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程．2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以□02⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以□0312 D 2＋E 2－4F 为半径的圆．(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点□04⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. (3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程□05不表示任何图形． 3．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M 在□06圆外 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点M 在□07圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点M 在□08圆内 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <0【即时小测】1．思考下列问题(1)方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？提示：此方程不表示圆的一般方程．∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4<0.∴此方程不表示任何图形．(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？提示：需同时具备三个条件．①A＝C≠0②B＝0③D2＋E2－4AF>02．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为() A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0提示：A由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－2 1－2，即x＋y－3＝0.3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)提示：D例1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.[解](1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1，0)，不表示圆．(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为a2＋1的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝(a2＋1)2.(3)原方程可化为(x＋10)2＋y2＝－21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.类题通法二元二次方程是否表示圆的判定方法对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．[变式训练1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x－542＋y2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆.例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆一般方程、圆心坐标和外接圆半径．[解]解法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝2，F＝－23，∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.解法二：设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a)2＋(4－b)2＝r2，(－2－a)2＋(3－b)2＝r2，(4－a)2＋(－5－b)2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－1，r＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.解法三：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴圆心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.类题通法待定系数法求圆的方程的规律(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .[变式训练2] 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.由|x1－x2|＝6得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.易错点⊳二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，忽略D2＋E2－4F>0 [典例] 已知定点P(m,2)在圆x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0的外部，求实数m 的取值范围．[错解] ∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，∴m>－2.[错因分析] 错解的根本原因是没理解圆的一般方程的定义．[正解]∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，即m>－2，∵方程x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0表示圆，∴(－2m)2＋(－1)2－4(m2＋m)>0，即m<1 4.∴－2<m<1 4.课堂小结1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1．能将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤1 答案 B解析由D 2＋E 2－4F ＝16＋4－20k >0得k <1，故k <1时所给方程表示圆． 3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F答案 A解析方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线为圆，圆关于直线y ＝x 对称，故圆心在直线y ＝x 上．∴－E 2＝－D2，即E ＝D .4．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．答案 (0，－1)解析将圆的方程配方后得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2.∴当k ＝0时，r 最大为1，面积最大，此时圆心为(0，－1)．时间：25分钟1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16 D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16 答案 C解析将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方得：(x ＋2)2＋(y －3)2＝16. 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 答案 A解析由x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12－m .∵该方程表示圆，∴12－m >0，即m <12.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案 D解析由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，|2a |>2，解得a >2，故选D.4．过A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0 答案 C解析设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＝－26，5D ＋5E ＋F ＝－50，6D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故选C.5．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A. 5 B ．3＋5 C ．14－6 5 D ．14＋65答案 D解析由题意，知圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r ＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为(－2)2＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22 C ．1 D.2 答案 D解析因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2.7．已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 ∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，∴(a ＋1)2＋(a －1)2－(a ＋1)＋(a －1)－4>0，即2a 2－4>0，∴a >2或a <－ 2.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．答案 5解析由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.9．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________．答案－3或7解析设A ，B ，C 三点所在的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧5D ＋F ＋25＝0，D －F －1＝0，3D －3E －F －18＝0.解得D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.由点D (a,3)在圆上知a 2＋9－4a －253×3－5＝0，即a 2－4a －21＝0，解得a ＝－3或7.10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．数学•必修2[S] 解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2.∴D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.。

圆的一般方程导学案

§2.2.1 圆的一般式方程教案【教学目标】：1．掌握圆的一般式方程，会根据条件求圆的一般式方程。

2．理解圆的标准方程与圆的一般式方程在形式上的异同点，恰当选择圆的方程形式；3．培养数形结合、方程、分类思想,提高分析问题及解决问题的能力。

【教学重点】：圆的一般式方程及应用【教学过程】：一. 复习回顾：圆的标准方程的形式是怎样的？二. 学生活动：[想一想] ：若把圆的标准方程展开后，会得出怎样的形式？阅读课本p98三. 建构数学：圆的一般方程[观察]：圆的标准方程与圆的一般方程在形式上的异同点.(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，(2)圆的一般方程突出了二元二次方程的形式特点.四. 数学应用：[练习一]：下列方程各表示什么图形?2222222()x y ___________(2)x y 2x 4y 60________(3)x y 2ax b 0________+=+-+-=+--=10[练习二]：求下列各圆的半径和圆心坐标.[小结一]:(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:(2)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? 方法一:用配方法求解方法二:用代入法求解:[探究]：圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单()Dx Ey F D E F y x ++++=+->2222040 展开一般方程(),(),()x y x x y by x y ax a +-=++=+--+=22222221602203230________________________________例1 .(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解例2：求过三点A （0,0）、B （6,0）、C （0,8）的圆的方程。

[小结二]:注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.(特殊情况时,可借助图象求解更简单)练习三五. 巩固练习1. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d =2. 求过三点A （4,1）、B （-6,3）、C （3,0）的圆的方程。

圆的一般方程导学案

4.1.2圆的一般方程导学案【使用说明】：1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提升。

2.认真限时完成，规范书写：课上小组合作探讨，答疑解惑。

【重难点】：重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．难点：对圆的一般方程的理解、掌握和使用一．学习目标：1. 能用配方法由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．2. 通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际水平。

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法。

3小组成员积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，以高度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。

二、问题导学：1.圆的标准方程是_____________________________，展开为，可见任何一个圆的方程都能够写成二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的形式，．那么如果给出一个二元二次方程形如022=++++F Ey Dx y x ，它表示的曲线是否一定是圆呢？ 2．将方程022=++++F Ey Dx y x 配方，得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ （1）当0_422F E D -+时，表示以为圆心, 为半径的圆；（2）当0__422F E D -+时，方程只有一个实数解2D x -=，2E y -=，即表示点（-2D ，-2E ）；（3）当0__422F E D -+时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x （）叫作圆的一般方程。

3．圆的一般方程是元次方程。

但并不是所有的元次方程都可表示圆。

所以方程Ax 2+B 2y +Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的必须具备的条件：（1）①2x 和2y 的系数，且不等于，A=B 0≠；（2）没有这样的二次项；（3）0_____422F E D -+；（4）确定圆的一般方程，只要根据个相互独立的已知条件确定系数F E D ,,就能够了。

圆的一般方程导学案(用)

圆的一般方程导学案一、对于方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方后得：，则1.要点一：求圆的一般方程例1.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径长（1）x2+y2-4x=0（2）2x2+2y2-3x+4y+6=0（3）x2+y2-4x-2y+5=0变式：若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a的取值范围例2.已知∆ABC的三个顶点分别是A(-1 ,5) B(-2 ,-2) C(5 ,5)，求其外接圆的方程2.要点二：与圆有关的轨迹方程例2. 已知线段AB的端点B的坐标为(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程变式：自点A(4,0)引圆x2+y2=4的割线，交点为B,C，求弦BC中点P的轨迹方程作业：1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（）A . 2、4、4B. -2、4、4C. 2、-4、4D. 2、-4、-4 2.已知方程x 2+y 2+kx+(1-k)y+134=0表示圆，则k 的取值范围 ( ) A . k>3 B. 2-≤k C. -2<k<3D. k>3或k<-2 3.如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2+E 2－4F>0）所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( ) A . D=E B. D=F C. E=F D.D=E=F4.若实数,x y 满足224240x y x y ++--=）A .3 B.14 C.3D. 14-5、圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0关于直线x －y=0对称的圆的方程为6、若圆221014x y mx y ++-==-与直线相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 7.已知M （3，0），圆2282100x y x y +--+=，则过M 点最长的弦所在的直线方程为8.圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为________________9.设圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是10.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．11.已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C上，则a ＝________，b ＝________.12.圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是________．13.长为2a 的线段AB 的两端点A 和B ，分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 中点的轨迹方程.14.设方程为222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围. y M(x ,y ) xo A B。

高中数学必修二导学案-圆的一般方程

4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0， (2)x 2+y 2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b ．点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．变式训练１：１．方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k ＞4或者k ＜－1 Ｂ．－1＜k ＜4 Ｃ．k =4或者k =－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（）Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0 答案：１．Ａ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6=0．点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程；(3)解方程组，求出a 、b 、r 或D 、E 、F 的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２：求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10．故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．（四）反馈测试导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程．【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义二：圆的一般方程的特点 (1) (2) (3) 例1 变式训练１：例2 变式训练２：【作业布置】导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+E y+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２：求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测１．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（）Ａ．在x 轴上方的圆Ｂ．在y 轴右方的圆Ｃ．x 轴下方的半圆Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 . ３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0 课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。

导学案：圆的一般方程

圆的一般方程一、课标要求：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程。

二、主要知识：阅读课本P102--105，解决以下问题1.把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开整理得，此方程可以表示成一般形式220x y Dx Ey F ++++=，其中D 、E 、F 为常数。

2.比较方程220x y Dx Ey F ++++=┅┅①与220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=┅┅②,找出方程①所具有的两个特点：（1）（2）3、方程220x y Dx Ey F ++++=┅┅①表示圆的条件：将方程①左边配方得（1）当时，方程①表示以为圆心，以为半径的圆；（2）当时，方程①表示一个点；（3）当时，方程①不表示任何图形。

4、圆的标准方程与一般方程的对比：（1）圆的标准方程明确指出了圆的圆心坐标和半径；而圆的一般方程表明了方程形式上的特点；（2）掌握圆的标准方程与一般方程的互化；（3）利用待定系数法求圆的方程：标准方程需要待定圆心坐标（a ，b ）和半径r ，而一般方程则需要待定D 、E 、F 。

三、举例应用例题1：将下列圆的一般方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）2246120x y x y++--=；（2）224484150x y x y+-+-=例题2：求过三点A(0，5)，B(1，-2)，C(-3，-4)的圆的方程。

例题3：已知一曲线是与两个定点(0,0),A(3,0)O距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。

总结：曲线轨迹（方程）的求解步骤：（1）建系：根据图形的特点，建立适当的坐标系。

若题中已有，则不用再建系；（2）设点：设（x，y）是曲线上的任意一点；（3）列式：将题目条件用数学表达式转化出来，再将表达式转化成坐标形式；（4）化简：将坐标表达式化简；（5）结论：指出曲线的方程或曲线的形状。

四、巩固练习1、若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m满足的条件是( )A．m<12B．m<10 C．m>12D．m≤122．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为( )A．－2或2 B。

高中数学《圆的一般方程》导学案

数学（高二上）导学案二、合作探究归纳展示任务1 探究圆的标准方程将圆的标准方程展开,化简,整理,可得x 2+y 2-2ax-2by+(a 2+b 2-r 2)=0,取D=-2a,E=-2b,F=a 2+b 2-r 2,可写成:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 也就是说:任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ①请大家思考一下,反过来讲,形如①的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题.任务2 研究二元二次方程表示的图形再将上述方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ①左边运用配方法, 得(x+)2+(y+)2=(1) 当D 2+E 2-4F ＞0时,②式可化为(x+ )2+(y+)2=( )2(2) 当D 2+E 2-4F=0时,②式可化为(x+)2+(y+)2=0方程只有实数解x=,y= ,表示一个点(,).（3）当D 2+E 2-4F ＜0时,②式可化为(x+ )2+(y+)2＜0方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.任务2 得结论、给定义方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹. 我们把D 2+E 2-4F ＞0时x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2明确指出了圆心和半径D 2E 222D E 4F4+-D 2E 222D E 4F 2+-D2E 2D 2E 2D 2E 2D 2E 2。

33.圆的一般方程导学案(解析版)

2.4.2圆的一般方程导学案【学习目标】1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径2.会在不同条件下求圆的一般方程【自主学习】知识点一圆的一般方程【合作探究】探究一圆的一般方程的概念【例1】若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径．解由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为(－∞，15)．圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m .归纳总结：形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．【练习1】(1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．(2)点M 、N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M 、N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________．【答案】 (1)(－2，－4) 5 (2)9π 解析 (1)由圆的一般方程的形式知， a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1.当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意．当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为(－k2，－1)，由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4，∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π. 探究二求圆的一般方程【例2】已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0，即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6.归纳总结：应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .【练习2】已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ② 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， ③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48. ④ 联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径长r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2.①由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋(432)2，代入①整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5， ∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.探究三与圆有关的轨迹方程【例3】已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．解设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心坐标为C (3,3)．因为CM ⊥AM ，所以k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25.所以弦PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)．归纳总结：求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P (x ，y )依赖于某圆上的一个动点Q (x 1，y 1)而运动，把x 1，y 1用x ，y 表示，再将Q 点的坐标代入到已知圆的方程中，得P 点的轨迹方程．【练习3】已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上运动，求线段OP 的中点M 的轨迹方程．解设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y . ∵点P (x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上，∴x 20＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0， ∴(2x )2＋(2y )2－8×(2x )－6×(2y )＋21＝0，21即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋4＝0.课后作业A 组基础题一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2 B.22C ．1 D.2 【答案】 D解析因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.2．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 【答案】 D解析原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b . ∴方程表示点(－a ，－b )．3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 【答案】 C解析直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1,2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r ＞0)的圆，则该圆的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 D解析因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆，又方程可化为(x ＋a 2)2＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，故圆心坐标为(－a 2，a )，r 2＝－34a 2－3a .由r 2＞0，即－34a 2－3a ＞0，解得－4＜a ＜0，故该圆的圆心在第四象限．5．若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞0 B ．m ＜12C ．0＜m ＜12D ．0≤m ≤12【答案】 C解析 x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0可化为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12－m ，则12－m ＞0，解得m ＜12. 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m ＞0，即m ＞0，所以0＜m ＜12.故选C.6．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1 【答案】 C解析设P (x 1，y 1)，PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )， ∵Q (3,0)，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋32，y ＝y 1＋02，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，故选C.7．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 【答案】 B解析设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎨⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－433，F ＝1. 即△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－2x －433y ＋1＝0. ∴圆心坐标为(1，233)， ∴圆心到原点的距离为 12＋(233)2＝213. 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0【答案】 D解析设圆心C 的坐标为(a,0)，a >0，∴d ＝|3a ＋4|5＝2， ∴a ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.二、填空题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.【答案】－2解析由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心(－1，－a 2)，则－1＋a 2＋2＝0，得a ＝－2. 10．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．【答案】 (0，－1)解析因为r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．11．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．【答案】 (－∞，1)解析由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，所以圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此得a －b ＜1.三、解答题12．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解圆心C 的坐标为(－D 2，－E 2)，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2. ①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20. ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.13.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．解设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y . ①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4， ②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.B 组能力提升一、选择题1．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 【答案】 D解析曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则曲线C 表示的是以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆．要使圆C 上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.2．使方程x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的实数a 的可能取值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．34【答案】B[该方程若表示圆，则有(－a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23，其中B 项满足条件，应选B.]3．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述正确的是( )A ．圆心在直线y ＝－x 上B ．圆心在直线y ＝x 上C ．圆过原点D ．圆的半径为2|a |【答案】ACD[圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0可化为(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2.圆心坐标为(－a ，a )适合方程y ＝－x .∴A 正确，不适合y ＝x ，∴B 错误，把(0,0)代入圆的方程适合，∴C 正确，又r 2＝2a 2，∴r ＝2|a |，∴D 正确．故选ACD.]二、填空题4．M (3,0)是圆C ：x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________．【答案】x －y －3＝0 x ＋y －3＝0[由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)，k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y ＝x －3和y ＝－(x －3)，即x －y －3＝0和x ＋y －3＝0.] 5．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是___________.【答案】8332,⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】解：把圆的方程化为标准方程得22213()(1)1624x k y k +++=-，所以231604k ->，解得k <<，因为过点(1,2)总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，所以可知点(1,2)在圆外，所以2144150k k ++++->，即可(2)(3)0k k -+>，解得2k >或3k <-，所以实数k 的取值范围为8332,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：8332,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题 6．设△ABC 的顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点？请说明理由．[解] (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∴圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，∴⎩⎨⎧ a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y－3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.∴圆M 过定点(0，－3).7．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象，解得－17<t <1.∴t 的取值范围为(－17，1)． (2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167， ∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内， ∴8t 2－6t <0，∴0<t <34，满足圆的定义． ∴t 的取值范围为(0，34)．。

《4.1.2圆的一般方程》导学案3

《4.1.2圆的一般方程》导学案3【课前预习】问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以____________为圆心，_______________为半径的圆； ⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2D x =-，2E y =-，即只表示一个点______ (3)当2240D EF +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程 [来源:学科网] 思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？【范例延展】例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.练1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.学习小结1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才。

圆的一般方程学案导学案课件

1圆的一般方程【课标要求】探索并掌握圆的一般方程。

【学习目标】1. 知道方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆，掌握圆的一般方程的特点，与用配方法将圆的一般方程化为标准方程2. 会根据已知条件，用待定系数法求圆的方程。

3. 会解决一些简单的求轨迹方程的问题。

【学习重、难点】重点：研究方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件。

难点：圆一般方程的特点以及求轨迹方程。

【问题探究】请认真阅读教材，完成下列问题：1. 研究直线方程的一般式是把特殊式（点斜式、两点式等）展开整理，用的是从特殊到一般的思想方法，仿照此法把圆的标准方程展开，看看会得到什么？2. （1）方程022=++++F Ey Dx y x 一定表示圆吗？试着说出在什么条件下表示圆？研究方法是什么？3. 圆的一般方程是______________________________________,圆的一般方程有什么特点？二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 的系数满足什么条件就可以表示一个圆？3.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？能否相互转化？【例题剖析】例1：独立完成教材例，思考：（1）教材是用什么方法求圆的方程的？（2）与教材P122例2方法比较，你有什么体会？（3）用此法求圆的方程的步骤是什么？例2：完成教材例5 思考：（1）什么叫点的轨迹方程？（2）试分析本题的解题思路。

【自主测评】1. 独立完成教材练习1，2，3。

2.若点)1,2(-P 恒在半径为3的动圆上，则动圆的圆心的轨迹方程为________________ 【作业布置】【本节收获】通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？。

2017人教a版数学必修二4.1.2圆的一般方程导学案

4.1.2《圆的一般方程》导学案【学习目标】知识与技术：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程肯定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F =0表示圆的条件．(2)能通过配方等手腕，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3)培育学生探索发觉及分析解决问题的实际能力。

进程与方式：通过对方程x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F =0表示圆的条件的探讨，培育学生探索发觉及分析解决问题的实际能力。

情感态度与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方式，提高学生的整体素质，鼓励学生勇于创新，勇于探索。

【重点难点】学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，按照已知条件肯定方程中的系数D 、E 、F ．学习难点：对圆的一般方程的熟悉、掌握和运用.【学法指导】一、认真研读教材121---123页，认真试探、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.二、把学案中自己易忘、易犯错的知识点和疑难问题和解题方式规律，及时整理在解题本，多温习记忆. 3、A ：自主学习；B ：合作探讨；C ：能力提升4、小班、重点班完成全数，平行班至少完成类题.平行班的A 级学生完成80％以上B 完成70％～80％C 力争完成60％以上.【知识链接】：圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= 圆心(,)a b ;半径：r.【学习进程】问题的导入：问题1：方程x 2+y 2-2x +4y +1=0表示什么图形？方程x 2+y 2-2x -4y +6=0表示什么图形？问题2：方程x 2+y 2+D x +E y +F =0在什么条件下表示圆？问题3：什么是圆的一般方程？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？典型例题：例1：求过三点O(0,0)M 1(1,1)M 2(4,2)的圆的方程例2：已知：线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在（x +1)2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

高中数学必修二导学案：第四章第一节圆的一般方程

第四章第一节圆的一般方程三维目标1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化；2. 会用待定系数法求圆的一般方程；3. 会用坐标法求点的轨迹方程；4．体会代入消元的思想。

___________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么?(1)222210x y x y +-++=； (2) 054222=++-+y x y x ；(3) 064222=+-++y x y x问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是多少？【试试】1. 圆的一般方程：（）圆心坐标（，），半径为 .【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（）A.k>1B.k<1C.1≥kD.k 1≤【学做思2】*1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=．（1）求点B 、C 的坐标；（2）求ABC ∆的外接圆的方程．【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

（学生小组讨论展示解题思路）【小结】求轨迹方程的一般步骤【变式】自圆422=+y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。

3. 已知方程01464)1(2222=+-+---+m m my x m y x 表示圆．(1)求m 的取值范围；(2)圆心的轨迹方程.达标检测*1. 当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为( )(A) 04222=+-+y x y x (B) 04222=+++y x y x(C) 04222=-++y x y x (D) 04222=--+y x y x2. 判断下列方程分别表示什么图形?(1) 022=+y x (2) 064222=-+-+y x y x3. 求圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3)的圆的方程.4. 经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点的轨迹方程.5.已知点A(－1,1)，B(3,3)是⊙C的一条直径的两个端点，又点M在⊙C上运动，点N(4，－2)，求线段MN的中点P的轨迹方程．。

圆的一般方程(导学案) 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程导学案一、明确目标（一）学习目标1．通过自学课本，回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；2．通过同伴互助，掌握求轨迹的一般步骤；3．通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养．（二）学习重点圆的一般方程的探求过程及其特点．（三）学法指导1．自学思考法；2．复习类比法．二、知识梳理自学课本85-87页，并完成下列填空题与思考题.知识点一圆的一般方程（1）当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为．（2）当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点．（3）当时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．知识点二用待定系数法求圆的方程的大致步骤（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．小结论1：判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；①B＝0；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．小结论2：由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：知识点三求轨迹方程的一般步骤（1）建立适当的坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．（2）列出点M满足条件的集合．（3）用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.（4）将上述方程化简．（5）证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．思考题1：（1）方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆．()（2）方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆．()（3）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．()（4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()思考题2：（1）圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16（2）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．（3）过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为________．（4）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________．三、典例探究题型一圆的一般方程的定义例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．位置关系代数关系点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0题型二求圆的一般方程例2已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且圆心在x轴上，求圆的方程．题型三求动点的轨迹方程例3已知O为坐标原点，点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．四、课堂展示1．自由展示：展示“同伴互助”环节本组还没解决的问题，其他组代表给出方案，代表回答不完善的，本组同学优先补充，其他组可以质疑.2．预设展示：例3变式：已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：（1）直角顶点C的轨迹方程；（2）直角边BC的中点M的轨迹方程．五、总结提升求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：（2）定义法：（3）代入法：六、达标测评1．若方程x2＋y2＋kx－7y＋2k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．(1,7) B．[1,7] C．(－∞，1)①(7，＋∞) D．(－∞，1]①[7，＋∞)2．（多选）已知圆M的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0，则下列说法正确的是()A．圆M的圆心为(2，－1)B．圆M的半径为5C．点P(3,2)在圆M内D．直线x＋3y＋1＝0将圆M平分3．已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(－1，－1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为______________．4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．【课上选学】在平面直角坐标系中，已知①ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，-4)，经过这三个点的圆记为M.（1）求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；（2）求圆M的方程．课上选学答案：（1）由B(2,0)，C(0，－4)，知BC边的中点D的坐标为(1，－2)．又A(－3,0),所以直线AD的方程为y－0－2－0＝x＋31＋3,即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.（2）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程,得9304201640D FD FE F-+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得1526DEF=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋52y－6＝0.。

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