南京航空航天大学2018矩阵论试卷2018A
南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案.doc
南京航空航天大学
研究生考试试卷
r 1 1 -2'
一、(20 分)设矩阵4= —2 —2 3 ,
<-1 -1 1 >
(1)求A的特征多项式和A的全部特征值；
(2)求A的行列式因子、不变因子和初等因子；
(3)求A的最小多项式，并计算A6+3A —2/;
(4)写出A的Jordan标准型
二、(20分)设Z?2"2是实数域上的全体2x2实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
(1)求尺2"2的维数，并写山其一组基；
(2)设W是全体2x2实对称矩阵的集合，
证明：W是/?2x2的子空间，并写出W的维数和一组基；
(3)在W中定义闪积G4，B) = Zr(&4),其中人BeW,求出W的一组标准正交基；
(4)给出尺〜2上的线性变换7\ T(A) = A+A r, VA G R^2
写出线性变换T在(1)中所取基下的矩阵，并求7的核/^r(r)和值域/?(r)。
三、(20分)
证明： 是C'w 上的矩阵范数并说明具有相容性
（1）求矩阵A 的07?分解；
（3）用广义逆判断方程组Av = 6是否相界？若相界，求其通解；若不相容，求其极小最小二
乘解 五、（20分）
证明：A,, >0, Ar-AgAjAuSO 。 (I
-1 1、
’2' 1 1
1
，向量/?=
1
1 、0 0
b
<2>
四、（20分）已知矩阵4 =
，5 3 2>
1
2、 1）设矩阵汲二
3 2 t ，B = 1 1 0.5/
t 2； /
<2 0.5/ 1 ,
，其中f 为实数
问当Z 满足什么条件时，A 〉B 成立？
南京航空航天大学试卷及答案.doc
1求行列式值。=
CI +
1
b b h + 2
b
南京航空航天大学试卷及答案
一、填空
1设五阶行列式D = a i｝的展开式中有一项。24。53。41。32。15此项前面应带的符号为
12 3 4
2 3 4 1
'1 1 -4 3、
[1三、设线性方程组 2 1-97
X
二 t
0 1 10 11/
,问当，取何值时，方程组有解，并在此时求
'3
四、设A = 1
-1
\ 对角标准形。
k k 、
‘2 1 -5、
2. 三阶矩阵A= 1 3
1 ，矩阵X 满足A*X=2AT + X ，化简此矩阵方程并求矩阵
J) 1 2,
X O
3. 设三阶矩阵A = (%%%), B = (%2%”)，其中％,%,%,”均为三维列向量，且
1 2 ,当A 取何值时，矩阵A 能与对角形矩阵相似，并写出矩阵A 的
2 1」
五、 二次型/(X],x 2,x 3) = 2玉2 + + 2X 32 + 2X }X 2 + 2x }x 3 + 2x 2x 3
(1) 写出二次型的矩阵A,并求。满足什么条件时，此二次型正定。 (2) 当a = 2时，此二次型在正交变换X=TY 下化为标准形
求该正交变换。 六、 证明题
1. 己知A 、B 均为4x3矩阵，证明不是可逆矩阵。
2. 设A%n 阶方阵，A 3
=A, A 为可逆矩阵。证明A 的所有特征值为1或者-1。
凤=2, |B| = 1,计算\A-B\, \A + B 出方程组的通
12 3 4 1 2 3 4
‘3 -4 2、
1111 0 -1 -2 -3
Oo
2. x = 二 3, OC\«(X^i o 3 • T, 6-8 4
南航矩阵论课后习题答案
南航矩阵论课后习题答案
南航矩阵论课后习题答案
矩阵论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等等。南航的矩阵论课程是培养学生数学思维和解决实际问题的重
要环节。在课后习题中，学生需要运用所学的矩阵理论知识，解答各种问题。
下面是南航矩阵论课后习题的一些答案和解析。
1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的逆矩阵。
解析：要求一个矩阵的逆矩阵，需要先判断该矩阵是否可逆。一个矩阵可逆的
充要条件是其行列式不为零。计算矩阵A的行列式，得到det(A) = -3。因此，
矩阵A可逆。接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。首先，计算矩阵
A的伴随矩阵Adj(A)，然后将其除以行列式的值，即可得到逆矩阵。计算得到
A的伴随矩阵为Adj(A) = [-3 6 -3; 6 -12 6; -3 6 -3]。最后，将伴随矩阵除以行
列式的值，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-1 2 -1; 2 -4 2; -1 2 -1]。
2. 已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求A的特征值和特征向量。
解析：要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求解其特征方程。特征方程
的形式为|A - λI| = 0，其中A为给定矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。计算得
到特征方程为|(2-λ) 1; 3 (4-λ)| = (2-λ)(4-λ) - 3 = λ^2 - 6λ + 5 = 0。解这个二次
方程，得到特征值λ1 = 1，λ2 = 5。接下来，我们可以求解对应于每个特征值
宝哥考研书屋已经完成的资料清单
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现在本店已经先后完成了如下的资料：
(1) 南京航空航天大学矩阵论考博真题解析，包含从1994年到2009年一共18份真题解析。
(2) 南京航空航天大学线性代数考博真题解析，包含从2004年到2009年春秋两季共12份以及2012和2014年两份共14份真题解析。
(3) 戴华版矩阵论课后习题全解，包含南航戴华老师《矩阵论》课后所有习题的详细解答。
(4) 南京航空航天大学考研数学分析和高等代数真题解析，包含1999年到2014年南京数学分析和高等代数考研真题解析一共31份(所缺的一份为2009年数学分析，找不到卷子)
(5) 东南大学考研数学分析和高等代数真题解析，包含东南大学数学分析从1998年到2011年以及2013年回忆题，高等代数1997年到2011年以及2013年回忆题全部真题解析。
(6) 南京邮电大学考研数学分析和高等代数真题解析，包含南邮2007,2008,2009, 2011,2012数学分析和高等代数以及2010年数学分析共11份真题解析。
(7) 北京航空航天大学矩阵论考研考博真题解析，包含了十几份北航矩阵论考研考博真题和研究生矩阵论期末考试试题解析以及大量的复习题和学生上课笔记等。
南京航空航天大学2018年《811普通物理》考研专业课真题试卷
1
已知质点的运动学方程为
r
(5
2t
1
t
2
)i
(4t
1
t
3)
j
2
3
的大小为 a =
。
(SI)，当 t = 2 s 时，加速度
2
以 初 速 率 v0 、 抛 射 角 0 抛 出 一 物 体 ， 则 其 抛 物 线 轨 道 最 高 点 处 的 曲 率 半 径
为
。（重力加速度 g 为已知常数。）
Fra Baidu bibliotek
I
M
a
l
N
18 一质点作简谐振动。其振动曲线如图所示。 根据此图，它的周期 T = ____________。
x 4
O
-2
2
17 题 图
t (s)
18 题图
19 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
x1
0.05cos(t
4
)
，
x2
0.05cos(t
3 ) （SI 4
5 地球的质量为 m，太阳的质量为 M，地心与日心的距离为 R，引力常量为 G，则地球 绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 L＝_______________。
6
半径为 r 1.5m 的飞轮，初角速度 0 10rad s1 ，角加速度 5rad s2 ，则在
南京航空航天大学理学院《814高等代数》历年考研真题汇编
目 录2012年南京航空航天大学814高等代数考研真题2013年南京航空航天大学814高等代数考研真题2014年南京航空航天大学814高等代数考研真题2015年南京航空航天大学814高等代数考研真题2016年南京航空航天大学814高等代数考研真题2017年南京航空航天大学814高等代数考研真题2018年南京航空航天大学814高等代数考研真题
2012年南京航空航天大学814高等代数考研真
题
南京航空航天大学
2012年硕士研究生入学考试初试试题(d卷)
科目代码：&14科目宿称：满分：150分
注意：①认真阅谟答题纸上的注意事项；②所有答案必弑写在国巫上，与在本试题纸或革稿纸上均无效；③本试题飙领随答题纸一起装入试题袋中交回1
一、(20分)设,=(1,2⑵气^=(3,0,0/,%在基岗，如是下的坐标分别是纺叫，％(这里丁表示转置，以下各题相同).
1*求向量四，禹，防；
2.在舟中求一组标准正交基，使得从基牝％、到基建s的过渡矩
阵为上三角矩阵.
二、(15分)设有两组向量
'2、
⑴：西=2a2=3,%=1'(11):&、=b L=b2
3£
1-求参数八使得色,知,％线性相关;
2.当％，气,昭线性相关时，求参数b和c,使得向量组(I)和(II)等价.
三、(25分)设J?'的线性变换『使得
1.求T在基旬=(1,0,0)七勺=(0,1,0)r t引=(0,0,1)『下的矩在&
2.如果T有三个线性无关的特征向量，求参数环和可逆矩阵P,使得P l AP是对角矩阵；
3,如果a={-\,l,l)r是T的一个特征向量，证明力不能与对角矩阵相似，并求彳的Jordan标准形.
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题
2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷
一、（20分）设矩阵
-----=111322211
A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；
（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236
-+；
（4）写出A 的Jordan 标准形。二、（20分）设2
2?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求2
2?R
的维数，并写出其一组基；
（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是2
2?R
的子空间，并写出W 的维数和一组基；
（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；
（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T
写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。三、（20分）
（1）设
-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设n
n ij C a A ?∈=)(，令
ij
j
i a n A ,*max ?=，
证明：
*是
n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；
（3）证明：*2*1
A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵
-=10010001111
1A ，向量
=2112b ，
（1）求矩阵A 的QR 分解；
（2）计算+
A ；
（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。五、（20分）
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
2 0 .5 t 1
，其中 t 为实数，
A11 A AH 12 （2）设 n 阶 Hermite 矩阵
H 1
证明： A11 0, A22 A12 A11 A12 0 。
A12 0 k k A22 ，其中 A11 C ，
aii aij
，
ji
（3）已知 Hermite 矩阵
A aij C n n
i 1,2,, n
，证明： A 正定。
2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试 B 卷
1 2 2 A 1 4 0 0 4 0 ， 一． （20 分）已知矩阵
二． （20 分） （2）设 A 为 n 阶可逆矩阵，
A 1
证明：
1
A
是C
n n
上的相容范数， 为 A 的任一特征值，
三． （20 分）
对
f ( x ) R[ x ]3
R[ x ]3
。
表示实数域上次数不小于 3 的多项式与零多项式构成的线性空间，
南京航空航天大学618量子力学12-18年真题
四、二维谐振子哈密顿量为
，其中 m 为质量，ω 为圆频
率。现该谐振子受到一外势 V(x,y)=λmω2xy 作用，其中 0<λ << 1 是无量纲的常数，试 求解该体系的基态能量与波函数。(若采用微扰论求解，能量、波函数分别要求精确到 二级、一级微扰。) (本题 30 分)
五、在 t=0 时，氢原子的波函数
五、一维无限深势阱V
=
⎧ 0, 0 ⎩⎨∞, x
< >
x<a a或 x
<
0 中的粒子受到微扰 H ′(x)
=
⎧2λx / a, ⎩⎨2λ(1 − x
/
0≤ x a), a /
≤ 2
a ≤
/2 x≤
a
作
用，试求基态能级的一级修正。(30 分)
科目代码：618 科目名称：量子力学 第 1 页 共 1 页
南京航空航天大学
科目代码: 科目名称:
2013 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷 ）
618 量子力学
满分: 150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、简答题 (本题 30 分，每小题 15 分) ① 如果波函数 不是力学量 的本征态，那么在态 ② 什么是定态？它有何特性？
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲
Chapter1 线性空间和内积空间
内容总结：
z 线性空间的定义、基和维数；
z 一个向量在一组基下的坐标；
z 线性子空间的定义与判断；
z 子空间的交
z 内积的定义；
z 内积空间的定义；
z 向量的长度、距离和正交的概念；
z Gram-Schmidt 标准正交化过程；
z 标准正交基。
习题选讲：
1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下
的坐标；
3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义
3]x [R ， ∫−=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；
3][x R （3）求与之间的距离；
221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；
2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；
二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；
（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵
的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；
（4） 在W 中定义内积
， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈
南航矩阵论考试试题
南航矩阵论考试试题
南航矩阵论考试试题
南航矩阵论考试是一门重要的数学课程，旨在培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。本文将介绍一些典型的南航矩阵论考试试题，帮助读者更好地理解这门课程的内容和要求。
一、基础知识部分
1. 请解释矩阵的定义和基本性质。
矩阵是由数个数按矩形排列而成的表格。它的定义包括行数和列数两个维度，记作m×n。矩阵有很多基本性质，如加法、数乘、转置等。矩阵的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
2. 什么是方阵和单位矩阵？
方阵是行数等于列数的矩阵。单位矩阵是一个对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。单位矩阵在矩阵运算中起到了重要的作用，类似于数学中的“1”。
二、矩阵运算部分
1. 请计算以下矩阵的和：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]。
矩阵的和等于对应位置元素相加得到的新矩阵。根据题目给出的矩阵，可以计算得到A + B = [8 10 12; 14 16 18]。
2. 请计算以下矩阵的积：C = [1 2; 3 4]，D = [5 6; 7 8]。
矩阵的乘法需要注意行列对应元素的乘积。根据题目给出的矩阵，可以计算得到C × D = [19 22; 43 50]。
三、线性方程组部分
1. 请解以下线性方程组：2x + 3y = 8，4x - 5y = 7。
线性方程组可以转化为矩阵的形式，即AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。根据题目给出的线性方程组，可以得到矩阵形式为：[2 3] [x] [8]
历年矩阵论试题
南京航空航天大学
矩
阵
论
历
年
试
题
整理者：王正华
2007.1.28
一 设2615115126A −
=− −
（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2）求A 的行列式、不变因子，初等因子； （3）求A 的最小多项式； （4）写出A 的Jordan 标准形
二（1）设210121A
= −
，1）求12,,,F A A A A ∞；
（2）设A 为n
阶矩阵，证明2
1,max ij i j n
a A
∞≤≤≤≤
三（1）111111112A − =− −
，作出A 的满秩分解并求出A +
；
（2）利用该矩阵判断如下方程组
123123123
1121x x x x x x x x x −+=
−++=− −+= ，是否相容？若相容求通解；若不相容，求极小最小二乘解
四 设V 是数域P 上全体3阶实对称矩阵作成的线性结构
（1）求V 的维数，并写出一组基
（2）在V 中定义变换100100()011010001011T X X
=
，证明T 是线性变换，并求T 在（1）中所取基下的
矩阵
五（1）设2010252,022024220t A t B −
==
，其中t 是实数，t 满足什么条件时A B >成立？
（2）设,A B 均为Hermite 半正定矩阵，证明：
○
1若A >0, 则AB 相似于半正定对角阵； ○
2若A >0, 则()00tr AB B =⇒=； ○
3若()0,tr AB = 则0AB =
一（20分） 已知 A =1001225i i −
，其中i
（1）求12,,,F A A A A ∞
（2）证明：A ≥0 （3）设,,n
南京航空航天大学2018矩阵论试卷2018A
南京航空航天大学2018级硕士研究生 共 5 页 第 1 页
2017 ~ 2018学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A 卷
考试日期：2018年1月5日 课程编号：6A080001 命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩
一、(20分) 设阶矩阵．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=1000110010100001A 1．求的特征多项式以及特征值的几何重数与代数重数；
A 2．求的初等因子、最小多项式；
A 3．求的Jordan 标准形；
A 4．问：与矩阵是否相似？并说明理由．A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=1000010000100661B
二、(20分) 设，在中定义映射：
T )1,1,1(-=α3R .3,)(3
2)(R x x x x T ∈∀-=αασ1.证明是的线性变换；
σ3R 2.求在基下的矩阵；
σT T T )3,0,0(,)1,2,0(,)1,1,1(321==-=αααA 3.证明是的正交变换.
σ3R
三、(20分) 设列满秩矩阵，四维列向量.34⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111100111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1111b 1．作出的分解；
A QR 2．求的加号逆；
A +A 3．证明方程组不相容，并求其极小最小二乘解．
b Ax =
四、(20分) 设.
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=111201111A 1．求；
21,,,A A A A F ∞2．证明矩阵幂级数绝对收敛，并求其和；∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131k k
A 3．设是阶矩阵，证明．
A n 111
A n A A n F ≤≤
南航双语矩阵论第1章部分习题参考答案
Solution Key (chapter 1)
Exercise 2.
The show that this set is not closed under multiplication.Take
S ,2=.But 2S ∉.If 2S ∈rational numbers a and b ,such that
2=It is clear that 0a ≠and
0b ≠.)This will 22423
2a b ab --=The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number.This is impossible.Thus,S is not closed under multiplication.Hence,S is not a field.Exercise 7.z
x y x +=+)
()()()(z x x y x x ++-=++-z x x y x x ++-=++-])[(])[(z 0y 0+=+z
y =Exercise 12It is a vector space.
A1：
A2：,Hence,A3：The existence of the zero element .The zero element must satisfy that for any ,
That is for any ，
.We obtain that the zero element is A4:The existence of additive inverse.For each ，its additive inverse is ,since