用完全平方公式逆向思维
平方差公式和完全平方公式的逆运用
平方差公式和完全平方公式的逆运用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!平方差公式和完全平方公式的逆运用引言在数学中，平方差公式和完全平方公式是基本的代数公式，它们在解决各种数学问题和实际应用中发挥着重要作用。
完全平方公式教案精品
完全平方公式教案精品《完全平方公式》教案篇一一、教材分析本节课是继乘法公式的内容的一种升华，起着承上启下的作用。
在内容上是由多项式乘多项式而得到的，同时又为下一节课打下了基础，环环相扣，层层递进。
通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会到从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。
二、学情分析多数学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难。
所以中应尽可能多地让学生动手操作，突出完全平方公式的探索过程，自主探索出完全平方公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力、合作交流能力和数学化能力。
三、目标知识与技能利用添括号法则灵活应用乘法公式。
过程与方法利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力。
情感态度与价值观鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神。
四、教学重点难点教学重点理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用。
教学难点在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的。
五、教学方法思考分析、归纳总结、练习、应用拓展等环节。
六、教学过程设计师生活动设计意图一．提出问题，创设情境请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．二、探究新知把上述四个等式的左右两边反过来，又会得到什么结果呢？（1） 4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）（3） a+b+c =a+（b+c）（4）a-b+c=a-（b-c）左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，•同学们可不可以总结出添括号法则来呢？（学生分组讨论，最后总结）添括号法则是：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的。
完全平方公式中的数学思想方法
完全平方公式中的数学思想方法数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。
数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。
数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。
数学思想方法产生数学知识，数学知识蕴涵着数学思想方法。
从不断的教学实践中认识到只有既重视知识教学又重视知识产生过程中的思想、方法的教学，才能使学生既获得了数学知识，又掌握获取数学知识的思想方法，从而为扩充知识以至于创造知识提供可能性。
《新课标》下的数学新教材，极大地设置了多种数学思想方法的渗透空间，作为一个教者要自觉及时点燃这些思想方法，让学生在“数学知识的再发现”过程中享受“创造”和“再发现”的愉悦。
古人云：“授之以鱼不如授之以渔。
”在教学过程中，我尽量把数学知识与数学思想方法的教学相结合。
我深入分析数学教材中知识的产生过程、范例的演示过程，分析其中贯穿着怎样的数学思想，应用了哪些数学思想方法，然后以知识教学为主体，在知识的揭示过程中渗透、概括相关的数学思想方法并运用之去指导概念的形成、知识的发现、难点的突破等等。
笔者根据多年的教学经验，现结合《完全平方公式》这一节的教学，谈谈数学思想方法的渗透和体现。
一、通过数学建模，采用数形结合的思想，引入新课问题是知识、能力的增长点，通过富有实际意义的问题能激发学生原有知识，促使学生主动地进行探索和思考。
在情境引入中，通过引例：如图（1）有一个边长为a米的正方形广场，若在这个广场的相邻两边铺一条b米宽的道路，则面积是多少？将现实生活问题转化成数学问题，体会数学建模，让学生了解数学在现实生活中的重要性、普遍性。
引导学生利用图形分割求面积如图（2）。
aa a b图（1）图（2）对公式（a+b）2=a2+2ab+b2的形式进行初步认识、接触，完成数与形的结合，遵循了新课程标准所提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程”。
恩格斯说：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
《完全平方公式》说课稿
《完全平方公式》说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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完全平方公式教案优秀8篇
完全平方公式教案优秀8篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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完全平方公式运用公式常规四变公式总结
完全平方公式运用公式常规四变公式总结
运用公式常规四变
一、变符号：
例1：运用完全平方公式计算：
（1）(2y+3_) （2）3(3_+4y)
分析：本例改变了公式中a、b的符号，
处理
方法一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）
方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算
方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）。
二、变项数：
例2：计算：
分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。
三、变结构
例3：运用公式计算：
（1）(_+y)(2_+2y)
（2）(a+b)(-a-b)
（3）(a-b)(b-a)
分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即
（1）(_+y)(2_+2y）=2(_+y)
（2）(a+b)(-a-b)=-(a+b)
（3）(a-b)(b-a)=-(a-b)
四、简便运算
例4：计算：
（1）999
（2）100.1
分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。
即：（1）(1000-1)的平方。
（2）(100+0.1)的平方。
用完全平方公式解决初中数学难题——教案分享
题目：用完全平方公式解决初中数学难题——教案分享近年来，由于一些因素的影响，初中学生的数学成绩逐年下降。
数学是一门重要的学科，是各学科中最基础的一门学科，也是很多实际工作中必须掌握的一门学科。
如何提高初中数学的教学质量，是我们需要解决的一个重要问题。
初中数学中存在很多难题，其中用完全平方公式解决难题，是很多学生都很困惑的一个问题。
本文将介绍如何用完全平方公式解决初中数学难题，并分享一份教案，希望对初中数学教学有所帮助。
一、什么是完全平方公式完全平方公式，也叫平方差公式。
这个公式非常重要，一般是在初中学习二次函数和解二元一次方程时引入的。
它是解决初中数学中用平方来表达两个项的和或差时的常用方法。
完全平方公式是：$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$或$$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$姑且这里用一个简易例子来解释一下：例如：$$x^2+6x+9$$这里的 6x 是由$2×3×x$ 得到的。
并且 $3^2=9$，当我们把它们相加时，就得到$$(x+3)^2 = x^2 +6x +9$$当我们将二次多项式写成完全平方的形式时，问题就变得非常简单了。
而且，它还有许多不同的应用和变化形式，例如平方根和勾股定理等等。
二、在初中数学中如何运用完全平方公式在初中数学中，完全平方公式有许多应用。
下面以常见的三种情形作为例子，来说明这些应用：1.用完全平方公式解决求方程的问题。
例如，对于方程$x^2+8x+16=0$，我们可以用完全平方公式把它变换为$$(x+4)^2=0$$方程的解为 $x=-4$。
2.用完全平方公式证明恒等式。
例如，我们要证明$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
由于这个恒等式可以表达出两个数的平方和，我们可以把 $a+b$ 看成两个数之和，运用完全平方公式进行变换。
具体地，我们有$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$同时，我们又有$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$从而，得到$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$恒等式证毕。
11.3公式法第2课时完全平方公式
11.3公式法――完全平方公式教学设计思想：利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质．教学目标知识与技能：1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．过程与方法：3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法情感态度价值观：4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式．难点：灵活运用完全平方公式分解因式．关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”教学用具多媒体或小黑板课时安排1课时教学过程设计一、复习1．问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解．我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法．2．把下列各式分解因式：（1）ax4－ax2（2）16m4－n4．解（1） ax4－ax2=ax2（x2－1）=ax2（x+1）（x－1）（2） 16m4－n4=（4m2）2－（n2）2=（4m2+n2）（4m2－n2）=（4m2+n2）（2m+n）（2m－n）．问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式．请写出完全平方公式．完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2, （a－b）2=a2－2ab+b2．这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解．二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式．运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式．问：具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?（1）x2+6x+9；（2）x2+xy+y2；（3）25x4－10x2+1；（4）16a2+1．答：（1）式是完全平方式．因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=（x+3）2．（2）不是完全平方式．因为第三部分必须是2xy．（3）是完全平方式．25x4=（5x2）2，1=12，10x2=2×5x2·1，所以25x4－10x2+1=（5x－1）2．（4）不是完全平方式．因为缺第三部分．请同学们用箭头表示完全平方公式中的a ，b 与多项式9x 2+6xy+y 2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．9x 2+6xy+y 2=（3x ）2+2·（3y ）·y+y 2=（3x+y ）2．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2其中a=3x ，b=y ，2ab=2·（3x ）·y．例3 把下列各式分解因式；（1）t 2＋22t ＋121；（2）m 2＋41n 2-mn （1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍．所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式．（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?解：（1）t 2＋22t ＋121=t 2＋2×11t ＋112=（t ＋11）2；（2）m 2＋41n 2-mn =m 2－2·m ·21n+（21n ）2 =（m －21n ）2 例4 把下列各式分解因式：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4;（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41 解：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3=a （x 2＋2ax ＋a 2）=a （x ＋a ）2；（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4=（x ＋y ）2－2·（x ＋y ）·2＋22=（x ＋y －2）2（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41 =（3m-1）2－2·（3m-1）·21＋（21）2 =（3m －1＋21）2 =（3m －21）2 注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正三、课堂练习（投影）1．填空：（1）x 2－10x+（ ）2=（ ）2；（2）9x 2+（ ）+4y 2=（ ）2；（3）1－（ ）+m 2/9=（ ）2．2．下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多 项式改变为完全平方式．（1）x 2－2x+4；（2）9x 2+4x+1；（3）a 2－4ab+4b 2；（4）9m 2+12m+4；（5）1－a+a 2/4．3．把下列各式分解因式：（1）a 2－24a+144；（2）4a 2b 2+4ab+1；（3）91 x 2+2xy+9y 2；（4）41 a 2－ab+b2 答案：1．（1）25，（x －5） 2；（2）12xy ，（3x+2y ） 2；（3）32m , （1－31m ） 2．（1）不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x 2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x 2－2x+1，它是完全平方式．（2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x 2+6x+1，它是完全平方式．（3）是完全平方式，a 2-4ab+4b 2=（a －2b ）2．（4）是完全平方式，9m 2+12m+4=（3m+2） 2．（5）是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－21a ）2 3．（1）（a －12） 2；（2）（2ab+1） 2；（3）（31 x+3y ） 2；（4）（21a －b ）2．四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1．首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解．有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解．2．在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=（a+b ） 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=（a －b ） 2．3．特别强调：分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
8.4因式分解——完全平方公式 教案
8.4运用公式法――完全平方公式教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。
教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4.解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式.请写出完全平方公式.完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2.(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.(3)是完全平方式.25x4=(5x)2，1=1 ，10x2=2·5x2·1，所以25x4－10x2+1=(5x－1)2.(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.例1 把25x4+10x2+1分解因式.分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.例2 把1－12m+116m2分解因式.问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“116m2”是m4的平方，第二项“－12m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.解法1 1－12m+116m2=1－2·1·m4+（m4）2=（1－m4）2.解法2 先提出，则1－12m+116m2=116(16－8m+m2)=116(42－2·4·m+m2)=116(4－m)2.三、课堂练习(投影)1.填空：(1)x2－10x+（）2=（）2；(2)9x2+（）+4y2=（）2；(3)1－（）+m2/9=（）2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.3.把下列各式分解因式：(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.答案：1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.答案：1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.课堂教学设计说明1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.。
数学六年级下册公式逆句向思维
逆向思维是指从反方向或相反的角度来思考问题。
在数学中，公式逆
句向思维可以帮助我们更好地理解和应用数学公式。
首先，要理解公式的含义和作用。
公式是数学中用符号表示数学关系
的方式。
它可以描述物理规律、问题解决方法或数学定理等。
公式通常包
含变量和常数，通过对变量进行代入和计算，可以得到特定的结果。
当我们面对一个数学公式时，可以用逆向思维来解决问题。
逆向思维
包括以下几个步骤：
1.确定问题：首先要明确自己要解决的问题是什么，需要用到哪个公式。
2.变量推导：根据问题和已知条件，确定需要求解的变量和其他已知
变量。
如果问题中给出了结果，可以尝试反推出使用的公式。
3.反向代入：逆向应用公式，将已知条件和需要求解的变量代入公式中，计算结果。
这个过程可以帮助我们发现和理解公式中的关系和推导过程。
4.推导结论：通过逆向代入计算，我们可以获得问题的解答或结论。
同时，我们还可以通过观察计算过程，寻找和理解公式的规律和特点。
逆向思维在数学中的应用可以帮助我们更深入地理解和应用数学公式，帮助我们解决问题和发现新的数学知识。
逆向思维培养了我们的逻辑思维
能力和问题解决能力，是数学学习中的重要思维方法之一。
完全平方公式的逻辑推导与解释
完全平方公式的逻辑推导与解释完全平方公式是初中数学中常见且重要的知识点之一，它是解决一元二次方程的基础。
在学习完全平方公式时，许多同学会觉得公式的推导和原理比较抽象，不容易理解。
因此，本文将通过逻辑推导和详细解释的方式，帮助读者更好地掌握完全平方公式的含义和应用。
首先，我们来看一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
为了方便推导完全平方公式，我们假设方程的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据一元二次方程求根公式可得：$x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$接下来，我们将一元二次方程的通解表示成形如 $(x - m)(x - n) = 0$ 的完全平方形式，其中 $m$ 和 $n$ 是待定系数。
展开左边的式子可得：$x^2 - (m + n)x + mn = 0$通过比较一元二次方程和完全平方形式的系数，我们可以得到以下结论：$m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$现在，我们尝试对上述两个方程进行变形，我们有：$(m + n)^2 = (-\frac{b}{a})^2$$mn = \frac{c}{a}$进一步展开第一个方程可得：$m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$将 $mn = \frac{c}{a}$ 代入可得：$m^2 + 2(\frac{c}{a}) + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$化简即可得到完全平方公式：$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2} + 4\frac{c}{a}$根据完全平方公式的推导过程，我们可以进一步解释完全平方公式的含义。
在一元二次方程中，当判别式 $b^2 - 4ac$ 大于等于 0 时，方程有实数根，此时可以利用完全平方公式将方程化为完全平方形式，从而求得方程的解。
运用逆向思维解决初中数学难题的技巧
运用逆向思维解决初中数学难题的技巧逆向思维，作为一种解决问题的方法，被广泛运用在各个领域中。
在初中数学学习中，逆向思维可以帮助学生更好地解决数学难题。
本文将介绍运用逆向思维解决初中数学难题的技巧和方法。
一、理解问题的本质要解决数学难题，首先需要充分理解问题的本质。
有时候，问题表面看起来复杂，但实际上可以通过归纳、分析和转化为简单的数学概念来解决。
这就要求学生在面对问题时，不要陷入求解的细节，而是要从整体上把握问题的本质。
例如，对于一道关于面积的难题，学生可以通过观察几何图形的性质，尝试逆向思考：如何通过已知条件逆向推导出待求面积的表达式？或者通过构造等价的几何图形，将复杂的问题简化为易于计算的形式。
二、寻找已知条件的关联性在初中数学中，常常会有多个已知条件，学生需要通过逆向思维，分析这些条件之间的关联性，找出隐藏的规律和逻辑，从而进行问题求解。
例如，一道关于线性方程组的问题，学生可以通过逆向思考：如何将多个方程组合并，从而简化问题的求解过程？或者通过构造等价的方程，将复杂的问题转化为简单的代数运算。
三、发散思维，尝试不同的解题方法逆向思维也可以激发学生的发散思维，尝试不同的解题方法。
有时候，一道数学难题可能有多个解法，而逆向思维可以帮助学生找到更加简洁和有效的解题方法。
例如，对于一道关于概率的问题，学生可以通过逆向思考：如何从对立事件入手，找到计算概率的简便方法？或者通过构造等价的概率问题，将复杂的问题转化为简单的计数方法。
四、灵活运用逆向推理逆向推理是逆向思维的重要策略之一。
学生可以通过反向思考，从已知结果出发，推断出问题的前提条件，从而解决问题。
例如，对于一道关于函数的问题，学生可以通过逆向推理：根据函数的性质，如何通过结果逆向推导出函数的定义域和值域？或者通过构造等价的函数，将复杂的问题转化为易于计算的形式。
综上所述，逆向思维在解决初中数学难题中发挥着重要的作用。
通过理解问题的本质，寻找已知条件的关联性，发散思维和灵活运用逆向推理，学生可以更好地解决数学难题，提高数学学习的效果。
完全平方公式
9.3运用公式法――完全平方公式(1)教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。
教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式.请写出完全平方公式.完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2.(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.(3)是完全平方式.25x4=(5x)2，1=1 ，10x2=2·5x2·1，所以25x4－10x2+1=(5x－1)2.(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.例1 把25x4+10x2+1分解因式.分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2例2 把1－12m+116m2分解因式.问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“116m2”是m4的平方，第二项“－12m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式解法1 1－12m+116m2=1－2·1·m4+（m4）2=（1－m4）2.解法2 先提出，则1－12m+116m2=116(16－8m+m2)=116(42－2·4·m+m2)=116(4－m)2.三、课堂练习(投影)1.填空：(1)x2－10x+（）2=（）2；(2)9x2+（）+4y2=（）2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；(4)9m2+12m+4.3.把下列各式分解因式：(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；(3)19x2+2xy+9y2答案：1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；答案：1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；(3)(m－7) 2； (4)（y+12）22.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.3.(1)(mn－1) 2； (2)7a m－1(a－1) 2.文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
2022数学《完全平方公式》教案
2022数学《完全平方公式》教案2022数学《完全平方公式》教案1教学目标1。
使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2。
理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。
3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。
教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式。
难点：灵活运用完全平方公式公解因式。
教学过程设计一、复习1。
问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。
我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。
2。
把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。
解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。
问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式。
请写出完全平方公式。
完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。
二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。
运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。
问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。
基于思维培养的初中数学公式应用教学---以“完全平方公式应用”为例
基于思维培养的初中数学公式应用教学---以“ 完全平方公式应用” 为例【摘要】运算能力是最基本的数学能力，它不是孤立的、单一的，它对于学生数感和数学思维能力的培养密切相关。
因此，在运算教学过程中，教师不仅要关注学习知识，更要关注学生的问题意识和思维习惯，以此发展学生的运算能力。
以建构“学为中心”的数学课堂为目的，以问题为主线，思维训练为核心，以递进式的问题和连续深入的追问，引导学生深度思考，以问促学，以问促思，以问促新，为理解而学习，为迁移而学习，明晰算理，探求合理灵活简洁的算法，培养思维的深刻性、灵活性、严谨性和独创性，提高学生的数学核心素养。
【关键词】学为中心问题引领数学思维建构“学为中心”的数学课堂，培养学生在新的情境下解决问题的能力，是时代赋予我们数学教师的任务。
现在从教班级的学生运算经常出错，准确率低，催生自己冷静反思：运算教学如何来预设教学方案，如何改进课堂教学，如何更多更有效地吸引学生参与课堂？如何培养学生在新的情境解决问题（知识迁移）呢？如何发展高阶思维能力呢？谨以“完全平方公式”专题深化课为例，谈谈基于思维培养的运算教学思考体会，以起抛砖引玉之效。
1教学片断1.1问题思考，“未知”到“新知”的方法感知“问题是数学的心脏”，数学教学要善于“谋势”，形成认知冲突，营造探究的学习氛围。
环节1：完全平方公式变形的探究过程：问题1: 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形,请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积,并写出下列三个代数式: 、、的等量关系吗?生： .（面积法）师：① ，②，你能直接由公式推导出、、的等量关系吗？生：①-②得 .师:若已知和的值你能直接求出的值吗？（体会变形的意义）师：那如果①+②会出现什么新的结果？生: .（继续变形发现新的结论）师：出示课题：完全平方公式的深化应用教学分析：从图形直观入手，借助图形直观呈现出各代数式的数量关系，激发学生兴趣，引导学生分析完全平方公式的结构特征，唤醒学生从“数”、“形”两个维度认识完全平方公式的内在联系，通过“由形助数”体会“由数猜形”的合理性，帮助学生在理解和反思的基础上实现知识的建构和方法的梳理。
完全平方公式运用公式常规四变
完全平方公式运用公式常规四变
完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变
一、变符号：
例1：运用完全平方公式计算：
（1）(2y+3x)^2 （2）3(3x+4y)^2
分析：本例改变了公式中a、b的符号，
处理
方法一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）
方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算
方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）。
二、变项数：
例2：计算：
分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。
三、变结构
例3：运用公式计算：
（1）(x+y)(2x+2y)
（2）(a+b)(-a-b)
（3）(a-b)(b-a)。