高中数学复习系列试题

高中数学综合训练系列试题(7)（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟第I 卷 (选择题，共50分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名准考证号考试科目用铅笔涂写在答题卡上2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1已知集合{}{}42|),(,2|),(-=-==+=y x y x B y x y x A ，则=B AA }2,0B )2,0C D()}2,02 在)3()1(5x x +-的展开式中，3x 的系数是A 40B 20C 20D 40-3函数)1(log 1)(>=a xx f a 常数的大致图像是4 若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 A 2 B 4 C2 D 45在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1AA 的中点，点P 在其对角面D D BB11内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是 A 圆或圆的一部分 B 抛物线或其一部分C 双曲线或其一部分D 椭圆或其一部分6已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2:1:,4811311872==+++a a a a a a ，则nnn S na 2lim∞→等于A4 B 2C 1D 2 7某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要随机地安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为A 2426C AB 2426A AC 262A D 242621C A 8如图，目标函数y ax P +=仅在封闭区域OACB 内（包括边界）的点)54,32(C 处取得最大值，则a 的取值范围是 A )125,310-- B )103,512--C )512,103 D )103,512-9 给出下列命题：①“b a b a //||||且=”是“b a =”的充要条件；②“c b b a//,//且”是“c a //”的充分不必要条件；③ 若O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，-3），)5,1(=，则△OAB 一定是等腰直角三角形其中正确命题的个数是A 0B 1C 2D 310 已知函数)(x f y =满足：①是偶函数)1(+=x f y ；②在[)+∞,1上为增函数若0,021><x x ,且221-<+x x ,则)(1x f -与)(2x f -的大小关系是 A )()(21x f x f ->- B )()(21x f x f -<-C )()(21x f x f -=-D 无法确定第Ⅱ卷 (非选择题，共100分)注意事项：1．第Ⅱ共7页，用蓝黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卷中相应的横线上11某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则n = 12已知⎩⎨⎧<-≥=1,11,1)(x x x f ，则不等式3)1()1(≤+++x x f x 的解集是13设复数i y x z 111+=和),,,(2121222R y y x x i y x z ∈+=分别对应复平面内的点P 12，O 为原点，定义运算：212121y y x x z z +=⊕若021=⊕z z ，则△OP 1P 2一定是____ _三角形14 已知 14cot 等于a ，那么152tan 等于 （结果用a 表示）15 函数1)ln(--=x x y 的单调减区间是16已知双曲线1422=-y x 的实轴为21A A ,虚轴为21B B ,将坐标系的右半平面沿y 轴折 起，使双曲线的右焦点F 2折至点F ，若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线 的左顶点A 1,则直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为三、解答题：本大题6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17（本小题12分）已知M （2x 2cos , 1）, N (1, x x cos sin 32+a ) (x ,a ∈R,a 是常数)， 且y =OM •ON (O 是坐标原点)（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式y = f ( x ) ；（Ⅱ）若x ∈［6π,2π］时，f (x )的最小值为2，求a 的值， 并说明f (x )（R x ∈）的图像可由 y = 2 sin 2 x （R x ∈）的图像经过怎样的变换而得到18．（本小题满分12分）某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A B 两个相互独立的问题，并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A B 23你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由19（本小题满分12分）如图所示，曲线段OMB ：)60(2<<=x y x 在点t x =（即点M ）处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，且BA x ⊥轴于A ， (I)试用t 表示切线PQ 的方程； (II)求∆QAP 的面积g （t ）的最大值 同时指出g （t ） 在（m ，n ）上单调递减时n m -的最小值20 （本题满分12分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ，点M 在边BC 上，△1AMC 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形． （I ）求证点M 为边BC 的中点； （II ）求点C 到平面1AMC 的距离； （III ）求二面角C AC M --1的大小21（本题满分14分） 对于函数 )x (f ，若存在 R x ∈0，使 00x )x (f = 成立，则称0x 为)x (f 的“滞点”已知函数f ( x ) = 222-x x（I ）试问)x (f 有无“滞点”？若有求之，否则说明理由； （II ）已知数列{}n a 的各项均为负数，且满足1)1(4=⋅nn a f S ,求数列{}n a 的通项公式; （III ）已知n n n a b 2⋅=,求{}n b 的前项和n TABA B 122（本题满分14分） 定义：离心率 215-=e 的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆 E ：)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点为)0)(0,(>c c F ，P 为椭圆E 上的任意一点 (I) 试证：若c b a ,,不是等比数列，则E 一定不是“黄金椭圆”；(II) 设E 为黄金椭圆，问：是否存在过点F P 的直线L ，使L 与y 轴的交点R 满足2RP PF =-？若存在，求直线L 的斜率k ；若不存在，说明理由(III) 已知椭圆E 的短轴长是2，点S (0, 2 )，求使2SP 取最大值时点P 的坐标高中数学综合训练系列试题(7)（理科）答案一、选择题：（每小题5分，共50分） DCABA BDCBA 二、填空题：（每小题4分，共24分）11120 12}1|≤x x 13直角 14212aa- 15 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-01,e 注:回答 ⎪⎭⎫⎝⎛-01,e 也可以 16 55 三、解答题：（共76分）17解：（本小题满分12分）（Ⅰ）y =OM ·ON =2cos 2 x+x x cos sin 32 +a ,得f(x)=1+cos2x +3sin2x +a 3分（Ⅱ）f(x)=1+cos2x +3sin2x +a 化简得f(x)=2sin (2x +π/6)+a +1 6分6762226πππππ≤+≤∴≤≤x x当x =π/2时f(x)取最小值a , 故a =2,∴f(x)=2sin(2x+π/6)+3 10分 将y =2sin2x 图像的每一点的向左平移12π个单位，再向上平移3个单位长度 （或答按向量)3,12(π-=a），可得f(x)=2sin(2x+π/6)+3的 12分18．（本小题满分12分）解：设甲先答A B 所获奖金分别为ηξ、元，则有 ------------------------2分.613121)3(,31)311(21)(,21211)0(=⋅===-===-==a P a P P ξξξ -----5分 .612131)3(,61)211(31)2(,32311)0(=⋅===-===-==a P a P P ηηη ---8分65613612320;6561331210aa a E a a a E =⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅=∴ηξ -----------10分由于两种答序获奖金的期望相等，故先答哪个都一样 -----------------------------12分19 （本小题12分）解：（I ）∴='x y 2 K=t x y ='| = 2 t,切线方程为 y –t 2= 2t(x-t),即y = 2 t x - t 2( 0 < t < 6 ) … 3分(II)在切线方程中令y = 0得 x =2t )12,6(,126),0,2(22t t Q t t y x t p -∴-==∴，得令 )60(36641)12)(26(21||||21)(232<<+-=--=⋅=∴t t t t t t t AQ AP t g … 5分400)(;640)(60,361243)(2<<>'<<<'∴<<+-='t t g t t g t t t t g 得令得令 ∴函数)(t g 在()4,0上单调递增；在()6,4上单调递减64)4()(max ==g t g 故 … 10分 上单调递减在又),()(n m t g依题知.4),6,4(),(的最小值为m n m ∴⊆n 的最大值是6，故n m - 的最小值是2- … 12分20．（本小题满分12分）解：（I ）∵ △1AMC 为以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，∴ M C AM 1⊥且M C AM 1=．∵ 正三棱柱111C B A ABC -， ∴ ⊥1CC 底面ABC ．∴ M C 1在底面内的射影为CM ，AM ⊥CM ．∵ 底面ABC 为边长为a 的正三角形， ∴ 点M 为BC 边的中点． … 4分（II ）由（1）知AM ⊥M C 1且AM ⊥CM ，M CM M C = 1∴ AM ⊥平面CM C 1, 过点C 作CH ⊥1MC 于H ， ∵ CH 在平面CM C 1内， ∴ CH ⊥AM ， 又M AM MC = 1，有CH ⊥平面AM C 1， 即CH 为点C 到平面AMC 1的距离 由（1）知，a CM AM 23==，a CM 21=且BC CC ⊥1．∴ ∴ ∴ 点C 到平面1AMC 的距离为底面边长为a 66． … 8分（III ）过点C 作CI ⊥1AC 于I ，连HI ， ∵ CH ⊥平面AM C 1， ∴ HI 为CI 在平面AM C 1内的射影，∴ HI ⊥1AC ，故∠CIH 是二面角C AC M --1的平面角．在直角三角形1ACC 中， ，CIH ∠sin CI CH=223366==a，∴ ∠CIH ＝45°， ∴ 二面角C AC M --1的大小为45° … 12分a a a CC 224143221=-=a a a a a AC AC CC CI 33)22(222211=+⨯=⨯=a a aa M C CM C C CH 6623212211=⨯=⨯=AB A B 121 （本小题满分14分）解：（I ） )1(2)(2-=x x x f 令,)(x x f = 分2,022=-x x 得解得2,0==x x 或即f(x)存在两个滞点0和2 分4 （II ）由题得)11(2)1(42-=⋅nn n a a S ， 22n n n a a S -=∴①分5 故 21112+++-=n n n a a S ②由②-①得221112n n n n n a a a a a +--=+++，0)1)((11=+-+∴++n n n n a a a a0<n a 11-=-∴+n n a a ，即{}n a 是等差数列，且1-=d 分9当n=1时，由122112111-==-=a a a a S 得n a n -=∴ 分11(III) n n n T 223222132⋅--⋅-⋅-⋅-=③143222)1(2322212+⋅-⋅---⋅-⋅-⋅-=∴n n n n n T ④由④-③得13222222+⋅-++++=n n n n T111222221)21(2+++⋅--=⋅---=n n n n n n 分14 22 （本小题满分14分）(I)证明：假设E 为黄金椭圆，则a c a c e 215,215-=-==即 ac a a a c a b =-=--=-=∴222222215)215(即成等比数列，c b a ,,与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆” 分3 (II)解：依题假设直线L 的方程为)(c x k y -=令)kc 0R ,kc y 0--==，的坐标为（即点有xR P 2P F ,F (c ,0)P (2c =-∴点点的坐标为 分5点P 在椭圆上1b c k a 4c 22222=+∴,ac b =2 ∴1422=+e k e故04122<-=ee k ，与02≥k 矛盾 所以，满足题意的直线不存在 分7（III ）依题有12=b ，由点P ()11y ,x 在E 上知)1(21221y a x -=22222221111||(2)(1)4(4)SP SP x y a y y a ∴==+-=--++22221214)4()12)(1(a a a y a --++---= 11,01112≤≤-<-∴>y a a 又 分10（ⅰ）[]212211111a SP y a<≤≤-∴∈--当是，的减函数 故11-=y 时2SP 取得最大值，此时点P 的坐标是（0，-1）（ⅱ）当3>a 时11212<-<-a 2112a y -=∴时2SP 取得最大值， 此时点P 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛----±224212,321a a a a a 分14。