全国各地中考数学解析汇编第三十六章规律探索型问题

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初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法

初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法关键词：初中数学规律探索型问题类型解题方法
规律探索型问题是中考中的必考知识点，我们把规律探索型问题也称为归纳猜想型问题，其特点是这样的：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.规律探索型问题包括三类问题：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题、点的坐标类规律探索问题.
一、数字类规律探索问题
1.解题思路
解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳，得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分数据的“规律”.
2.例题展示
3.例题分析
二、图形类规律探索问题
1.解题思路
解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实际验证.
2.例题展示
3.例题分析
针对几何图形的规律探索题，首先要仔细观察、分析图形，从中发现图形的变化特点，再将图形的变化以数或式的形式表示出来，从而得出图形的变化规律.如果图形的变化具有周期性，就要先确定循环周期及一个循环周期内图形的变化特点，然后用所求总数除以循环周期，得到余数，进而使所求问题得以解决.
本题就是一个典型的规律性问题，由AB为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B为BC的中点，求出BB的长，利用勾股定理求出AB的长，进而求出S，同理求出S，依此类推，得到S.。

2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题36 规律探索(含解析)

规律探索一.选择题1. （2019•山东省济宁市 •3分）已知有理数a ≠1，我们把称为a 的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a 1＝﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是（） A ．﹣7.5B ．7.5C ．5.5D ．﹣5.5【考点】数字的变化【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【解答】解：∵a 1＝﹣2， ∴a 2＝＝，a 3＝＝，a 4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣， ∵100÷3＝33…1，∴a 1+a 2+…+a 100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A ．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 2. （2019•广东深圳•3分）定义一种新运算：⎰-=⋅-abn n n b a dx x n 1，例如：⎰-=⋅khh k xdx 222，若⎰-=--m522mdx x ，则m =（）A. -2B. 52-C. 2D.52【答案】B 【解析】⎰-=-=-=----m51122511)5(mmm m m dx x ，则m =52-，故选B.3.（2019，山东枣庄，3分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．4. （2019•湖北十堰•3分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．71【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为时n的值，本题得意解决．【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．5. （2019•湖北武汉•3分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、299.2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．二.填空题1. （2019•江苏连云港•3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1.2.3.4.5.6.7.8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为（2，4，2）．【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．【解答】解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．2.（2019•浙江衢州•4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析

探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学专题之规律探索型问题

则 A2 013＝( )
A．(45,77)
B．(45,39)
C．(32,46)
D．(32,23)
解析：观察上面的数据，可列出如下表格：
组数奇数个数最后一个奇数
1
1
1
2
3
7
3
5
17
47Leabharlann 31⋮⋮⋮
n
2n－1
2n2－1
根据以上规律可知：因为第 44 组，最后一个奇数是 2×442－1＝3 871，所以排除 A，B；第 32 组最后一个奇数是 2×322－1＝2 047，又知第 32 组共有 2×32 －1＝63(个)奇数，则第 46 个奇数为 2 047－(63－ 46)×2＝2 013.故选 C.
2．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，……，则第⑥个图形中棋子的颗数为( )
A．51 B．70 C．76 D．81
解析：第①个图形有 1 颗棋子，第②个图形有 1＋5＝6(颗)棋子，第③个图形有 1＋5＋10＝16(颗)棋子，由此可以推知：第④个图形有 1＋5＋10＋15＝ 31(颗)棋子，第⑤个图形有 1＋5＋10＋15＋20＝51(颗) 棋子，第⑥个图形有 1＋5＋10＋15＋20＋25＝76(颗) 棋子．故选 C.
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时间60分钟满分80分
一、选择题(每小题 4 分，共 32 分) 1．(2014·临沂)请你计算：(1－x)(1＋x)，(1－x)· (1＋x＋x2)，…，猜想(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)的结果是( A ) A．1－xn＋1 B．1＋xn＋1 C．1－xn D．1＋xn 解析：∵(1－x)(1＋x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2) ＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4，依此类推，(1 －x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝1－xn＋1. 故选 A.

中考数学规律探索型问题.doc

An
1n
AB
、、、、
，且
1；双曲恰好点
B、、、、
。（ 1）求双曲和直
S1 S2 S3
Sn
S1
B
B
123
B
n
解析式；
y
n 1 n 1 ，分
AA
n ，它的面分
A B 的函数
12
（ 2）填空： S10 ___________， Sn _____________；
（ 3）若直 B1 O 交双曲于另一点
12 3
曲 AA A A ⋯叫做“正方形的开 ” ，其中
1
12
23
AA 、A A 、 A
A ⋯的心
yA
3
依次是点 B、 C、 D、A 循，点 A2010 的坐是
。
3. 如 15，△ P1OA1，△ P2A1A2，△ P3A2A3⋯⋯△ PnAn－ 1An 都是
A2
CD
o
x
y
BA
A4
A1
P1
y 1C
1
A
() OA
A2
3
A B1 1 B2 B3
B
2x
9. 如，在直角坐系中，一直
△ ABO 的内切 ⊙ O1 的半径 r 1
按此律， ⊙
的半径
O2008
r 2008
l 点 M ( 3,1) 与 x ， y 分交于 A、 B 两点，且 MA
MB ，
；若⊙ O2 与⊙ O1 、l 、y 分相切， ⊙ O3 与⊙ O2
P
(x 0) 都在函数 y 1
的象上，点 P 的坐是（
，
）.

近两年中考“探索规律”型真题赏析

近两年中考“探索规律”型真题赏析作者：肖庆来源：《理科考试研究·初中》2013年第06期规律探索型问题是指给出一列数字、字母、算式或图形的前几个，要求学生经历观察、推理、猜想这一系列的活动逐步找出题目中存在的规律，最后归纳出一般的结论，必要时可以进行验证或者证明，之后再加以运用.不少规律探索型问题立意新颖、构思巧妙，能比较系统地考查学生的观察发现能力、归纳猜想能力以及运用所学的知识和方法分析、解决数学问题的能力，所以频频出现在这两年的全国各地中考中.其类型可分为“数字规律”、“图形规律”、“算式规律”、“排列规律”等题型.题型一数字规律解数字规律的探索题，主要是先观察一系列数字的变化趋势，再分析数字之间或数字与序号之间的关系，最后归纳一般性的规律，必要时候举例验证.点评本题主要考查学生的数字规律探究能力和归纳能力，找到对应所得分数与挪动珠子数之间的关系，再用代数式表示此关系，最后列方程解决问题.题型二图形规律解图形规律型问题需要观察图形的组成和变化特征，再用代数式表示情景所蕴含的规律，方法一是转化成数字找规律，方法二是比较相邻的两个图形的关系找规律，方法三是拆分各图形，找到它们的区别与联系.点评图形规律题是中考中最常见的考查题型，解图形规律题一般是将它转化成数字规律，这要求学生有一定的识图能力以及归纳数字规律的能力，此题也可以拆分图形来找到规律.题型三算式规律对给出的算式或等式观察、比较其所蕴含的数字关系以及运算符号规律，从中归纳出一般结论，并且会用此结论解决其他问题，有时候还要注意字母的取值范围.点评此题考查学生的观察归纳能力和计算能力.（1）要先观察各等式中等号两边数字之间的关系以及运算符号的异同，从而找到一般规律；（2）可以用分式的运算来证明；（3）用（1）的结论先裂项再计算.题型四排列规律排列规律指的是数字、字母、图形在一定范围内不断地变化，而不同的数字、字母或图形之间不存在任何关系，通过认真观察、比较可以看出排列都存在一定的循环规律.点评解决本题的关键是找到字母的循环规律，即6个字母“ABCDCB”一循坏，再由数字算出循环的次数从而得到对应的字母，或者由字母出现的次数得到循环的次数从而算出对应的数字.排列规律往往都蕴含着循环的规律.。

中考复习专题36规律探索

规律探索一.选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j 个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A． B． C． D．【答案】D.。

全国各地中考数学解析汇编第三十六章规律探索型问题

三十六章规律探索型问题12．（2012山东省滨州，12，3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（） A ．52012﹣1 B ．52013﹣1 C ．D ．【解析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，因此，5S ﹣S=52013﹣1， S=．【答案】选C ．【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力．两式同时乘以底数，再相减可得ｓ的值．（2012广东肇庆，15，3）观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ．【解析】通过观察不难发现，各分数的分子与分母均相差1，分子为连续偶数，分母为连续奇数．【答案】122 k k【点评】本题是一道规律探索题目，考查了用代数式表示一般规律，难度较小．18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________【解析】观察知: 下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012. 【答案】-2012【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.20.（2012贵州省毕节市，20，5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n 个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解．答案：解：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n 个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）=2)121(-+n n =n 2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形．故答案为：100．点评：本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第n 个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键．18．(2012贵州六盘水，18，4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了()na b +（n 为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数.例如222()2a b a ab b +=++展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，33223()33a b a a b ab b+=+++展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出4()a b +的展开式.4()a b += ▲ .分析：该题属规律型，通过观察可发现第五行的系数是：1、4、6、4、1，再根据例子中字母的排列规律即得到答案．解答：解：由题意，4432234()464a b a a b a b ab b +=++++，故填432234464a a b a b ab b ++++．点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而得到答案．17. （2012山东莱芜， 17，4分）将正方形ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点321,,A A A ….,按此规律，则点A 2012在射线上. 【解析】根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环， 2012=16×125+12，所以点A 2012所在的射线和点12A 所在的直线一样。

2022全国各地中考数学解析汇编-第36章规律探索型问题

2022全国各地中考数学解析汇编-第36章规律探索型问题12．（2020山东省滨州，12，3分）求1+2+22+23+…+22020的值，可令S=1+2+22+23+…+22020，则2S=2+22+23+24+…+22020，因此2S ﹣S=22020﹣1．仿照以上推理，运算出1+5+52+53+…+52020的值为（）A ．52020﹣1B ．52020﹣1C ．D ．【解析】设S=1+5+52+53+…+52020，则5S=5+52+53+54+…+52020，因此，5S ﹣S=52020﹣1， S=．【答案】选C ．【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力．两式同时乘以底数，再相减可得ｓ的值．（2020广东肇庆，15，3）观看下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ．【解析】通过观看不难发觉，各分数的分子与分母均相差1，分子为连续偶数，分母为连续奇数．【答案】122 k k【点评】本题是一道规律探究题目，考查了用代数式表示一样规律，难度较小．18. ( 2020年四川省巴中市,18,3)观看下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…依照你发觉的规律，第2020个数是___________ 【解析】观看知: 下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2020个数的绝对值是2020,值偶数项是负数,故填-2020. 【答案】-2020【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.20.（2020贵州省毕节市，20，5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

解析：观看图案不难发觉，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行运算即可得解．答案：解：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）=2)121(-+nn=n2个小正方形，因此，第10个图案中共有102=100个小正方形．故答案为：100．点评：本题是对图形变化规律的考查，依照图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第n个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键．18．(2020贵州六盘水，18，4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发觉的，称为“杨辉三角形”.它的发觉比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成确实是专门值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了()na b+（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如222()2a b a ab b+=++展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，33223()33a b a a b ab b+=+++展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观看此图，写出4()a b+的展开式.4()a b+=▲.分析：该题属规律型，通过观看可发觉第五行的系数是：1、4、6、4、1，再依照例子中字母的排列规律即得到答案．解答：解：由题意，4432234()464a b a a b a b ab b+=++++，故填432234464a a b a b ab b ++++．点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观看还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而得到答案．17. （2020山东莱芜， 17，4分）将正方形ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点321,,A A A ….,按此规律，则点A 2020在射线上.【解析】依照表格中点的排列规律，能够得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环， 2020=16×125+12，因此点A 2020所在的射线和点12A 所在的直线一样。

中考数学真题分类汇编第二期专题36规律探索试题含解析

规律研究一.1.〔2021·湖北随州· 3分〕我将如所示的两种排列形式的点的个数分称作“三角形数〞〔如1、3、6、10⋯〕和“正方形数〞〔如1、 4、 9、16⋯〕、在小于200 的数中、最大的“三角形数〞m、最大的“正方形数〞n、 m+n的〔〕A． 33 B． 301C． 386D． 571【解析】由形知第n 个三角形数 1+2+3+⋯ +n=、第 n 个正方形数 n2、据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．【解答】解：由形知第n 个三角形数 1+2+3+⋯ +n=、第 n 个正方形数n2、当 n=19 、=190＜ 200、当 n=20 、=210＞ 200、所以最大的三角形数m=190；22当 n=14 、 n =196＜ 200、当 n=15 、 n =225＞ 200、所以最大的正方形数n=196、m+n=386、故： C．【点】本主要考数字的化律、解的关是由形得出第n 个三角形数1+2+3+⋯ +n=、第 n 个正方形数 n2．2.〔 2021?山烟台市? 3 分〕如所示、以下形都是由相同的玫瑰花依照必然的律成的、按此律下去、第n 个形中有120 玫瑰花、n 的〔〕A． 28 B．29 C． 30 D． 31【解析】依照目中的形化律、可以求得第个形中玫瑰花的数量、尔后令玫瑰花的数量120、即可求得相的n 的、从而可以解答本．【解答】解：由可得、第 n 个形有玫瑰花：4n、令 4n=120、得 n=30、故： C．【点】本考形的化、解答本的关是明确意、找出目中形的化律．3. 〔 2021?山宁市? 3 分〕如、小正方形是按必然律放的、下面四个中的片、适合填中空白的是〔〕A．B．C．D．【解答】解：由意知、原形中各行、各列中点数之和10、吻合此要求的只有故： C．4. 〔 2021 湖南家界 3.00 分〕察以下算式：21=2、22=4、23=8、24=16、25=32、 26=64、27=128、 28=256⋯、2+22+23+24+25+⋯+21018的末位数字是〔〕A．8B．6C． 4D． 0【解析】通察：2n的个位数字是2、4、 8、 6 四个一循、所以依照2021÷4=504⋯2、得出22021 的个位数字与 22的个位数字相同是4、而得出答案．【解答】解：∵ 2n的个位数字是2、 4、 8、 6 四个一循、 2021÷4=504⋯2、∴22021的个位数字与22的个位数字相同是4、故 2+22+23+24+25+⋯+21018的末位数字是 2+4+8+6+⋯+2+4 的尾数、2+22+23+24+25+⋯+21018的末位数字是： 2+4=6．故： B．【点二. 填空1. 〔 2021 ·湖北江油田、潜江市、天市、仙桃市· 3 分〕如、在平面直角坐系中、△ P1OA1、△ P2A1A2、△P3A2A3、⋯都是等腰直角三角形、其直角点P〔1 3、3〕、P2、P3、⋯均在直y=x+4 上．△ P1OA1、△ P2A1A2、△P3A2A3、⋯的面分S1、 S2、 S3、⋯、依照形所反响的律、S2021=．【解析】分点P1. P2. P3作 x 的垂段、先依照等腰直角三角形的性求得前三个等腰直角三角形的底和底上的高、而求得三角形的面、得出头的律即可得出答案．【解答】解：如、分点P1. P2. P3作 x 的垂段、垂足分点 C.D.E 、∵P1〔 3、 3〕、且△ P1OA1是等腰直角三角形、∴OC=CA1=P1C=3、A1D=a、 P2D=a、∴OD=6+a、∴点 P2坐〔 6+a、 a〕、将点 P2坐代入y=x+4、得：〔6+a〕+4=a、解得： a=、∴A1A2=2a=3、 P2D=、同理求得P3E=、A2A3=、∵S1=×6× 2=×3×=、S3=××=、⋯⋯∴S2021 =、故答案：．【点】本考律型：点的坐、等腰直角三角形的性等知、解的关是从特别到一般、研究律、利用律解决、属于中考常考型．2.〔 2021?江淮安? 3 分〕如、在平面直角坐系中、直 l 正比率函数 y=x 的象、点 A 的坐〔 1、10〕、点 A1作 x 的垂交直 l 于点 D1、以 A1D1作正方形A1B1C1D1；点 C1作直 l 的垂、垂足A2、交 x 于点 B2、以 A2B2作正方形 A2B2C2D2；点 C2作 x 的垂、垂足A3、交直 l 于点 D3、以A3 D3作正方形 A3B3C3D3、⋯、按此律操作下所获取的正方形A n B n C n D n的面是〔〕n﹣1．【解析】依照正比率函数的性获取∠D1OA1=45°、分求出正方形A1 B1C1D1的面、正方形A2B2C2D2的面、律解答．【解答】解：∵直l 正比率函数y=x 的象、∴∠ D1OA1=45°、∴D1A1=OA1=1、∴正方形A1B1C1D1的面 =1=〔〕1﹣1、由勾股定理得、OD1=、D1A2=、∴A2B2=A2O=、∴正方形A2B2C2D2的面 = =〔〕2﹣1、同理、 A3D3=OA3=、∴正方形 AB CD 的面 ==〔〕3﹣ 1、3333⋯由律可知、正方形A n B n C n D n的面 =〔〕n﹣1、故答案：〔〕n﹣1．【点】本考的是正方形的性、一次函数象上点的坐特色、依照一次函数解析式获取∠ D1OA1=45°、正确找出律是解的关．3.〔 2021?山市? 3 分〕如、在平面直角坐系中、点A1、A2、A3、⋯和B1、B2、B3、⋯分在直y= x+b 和 x 上．△ OA1B1、△ B1A2B2、△ B2A3B3、⋯都是等腰直角三角形．若是点A1〔 1、1〕、那么点A2021的坐是．【解析】因每个 A 点等腰直角三角形的直角点、每个点 A 的坐等腰直角三角形的斜一半．故先出各点 A 的坐、可以表示 A 的横坐、代入解析式可求点 A 的坐、律可求．【解答】解：分点 A1、A2、 A3、⋯向 x 作垂、垂足 C1、C2、 C3、⋯∵点 A1〔 1、1〕在直 y= x+b 上∴代入求得： b=∴y= x+∵△ OA1B1等腰直角三角形∴OB1=2点 A2坐〔 a、 b〕∵△ B1A2B2等腰直角三角形∴A2C2=B1C2=b∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b把 A2〔 2+b、b〕代入 y= x+解得 b=∴OB2=5同理点A3坐〔 a、 b〕∵△ B2A3B3等腰直角三角形∴A3C3=B2C3=b∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b把 A2〔 5+b、b〕代入 y= x+解得 b=以此推、每个 A 的坐依次是前一个的倍A2021的坐是故答案：【点】本一次函数象背景下的律研究、合了等腰直角三角形的性、解答程中注意比每个点 A 的坐化律．22、4+222×4.〔 2021?安?3 分. 〕：2+ =2 ×、3+ =3 ×=4 ×、5+ =5 ×、⋯、假设 10+ =10吻合前面式子的律、a+b=109．【解析】要求a+b 的、第一真仔地察目出的 4 个等式、找到它的律、即中、b=n+1、a=〔 n+1〕21．【解答】解：依照中资料可知=、∵10+ =102×、∴b=10、 a=99、a+b=109．【点】解关是要懂目的意思、依照目出的条件、找出式子的律．4.〔 2021?广西桂林?3 分〕将从 1 开始的自然数按如律排列：定位于第 m行、第 n 列的自然数10 〔 3、 2〕、自然数15 〔 4、 2〕......按此律、自然数 2021 __________【答案】〔 505、 2〕【解析】解析：由表格数据排列可知、 4 个数一、奇数行从左向右数字逐增大、偶数行从右向左数字逐增大、用2021 除以 4、商确定所在的行数、余数确定所行家的序数、尔后解答即可．解： 2021÷4=504 ??2.∴2021 在第 505 行、第 2 列、∴自然数 2021 〔 505、 2〕 .故答案：〔 505、 2〕 .点睛：本是数字化律的考、察出有 4 列、但每行数字的排列序是解的关、要注意奇数行与偶数行的排列序正好相反．5.〔 2021?广西南宁?3 分〕察以低等式： 30=1、 31=3、 32=9、 33=27、34=81、 35=243、⋯、依照其中律可得 30+31+32+⋯+3 2021的果的个位数字是 3 ．【解析】第一得出尾数化律、而得出01220213 +3 +3 +⋯+3的果的个位数字．【解答】解：∵30=1、31 =3、 32=9、33=27、 34=81、 35=243、⋯、∴个位数 4 个数一循、∴〔 2021+1〕÷ 4=504 余 3、∴1+3+9=13、∴30+31+32+⋯+32021的果的个位数字是： 3．故答案： 3．【点】此主要考了尾数特色、正确得出尾数化律是解关．6.〔2021·黑江地区· 3 分〕如、等△ABC的是2、以 BC上的高AB1作等三角形、获取第一个等△AB1C1；再以等△ AB1C1的 B1C1上的高AB2作等三角形、获取第二个等△AB2C2；再以等△ AB2C2的 B2C2上的高AB3作等三角形、获取第三个等△AB3C3；⋯、△ B1CB2的面 S1、2 1 3的面2324的面3n〔〕n．△BCB S、△ BCB S 、这样下去、S =【解析】由 AB1 2 的等三角形ABC的高、利用三合一获取B1 BC的中点、求出BB1的、利用勾股定理求出AB 的、而求出第一个等三角形ABC 的面、同理求出第二个等三角形ABC 的面、11122依此推、获取第n 个等三角形 AB C 的面．n n【解答】解：∵等三角形ABC的2、 AB ⊥BC、1∴BB1=1、 AB=2、依照勾股定理得：AB1=、∴第一个等三角形AB1C1的面×〔〕2 =〔〕1；∵等三角形 AB1C1的、AB⊥B C、211∴B1B2=、AB1=、依照勾股定理得：AB2=、∴第二个等三角形AB2C2的面×〔〕2=〔〕2；依此推、第n 个等三角形ABC 的面〔n．〕n n故答案：〔〕n．【点】此考了等三角形的性、属于律型、熟掌握等三角形的性是解本的关．7.〔2021·黑江哈· 3 分〕在平面直角坐系中、点A〔、1〕在射OM上、点 B〔、3〕在射ON上、以AB 直角作Rt △ ABA1、以BA1直角作第二个Rt △ BA1B1、以A1B1直角作第三个Rt△ A1B1A2、⋯、依次律、获取Rt△ B2021A2021B2021、点 B2021的坐32021．【解析】依照意、分找到1B1. A2B2⋯⋯及 BA1. B1A2. B2A3⋯⋯段度增律即可【解答】解：由可知点 A.A 1. A2. A3⋯⋯A2021各点在正比率函数y=的象上点 B.B 1. B2. B3⋯⋯B2021各点在正比率函数y=的象上两个函数相减获取横坐不的情况下两个函数象上点的坐的差：①由、 Rt△ A1B1A2、⋯、到Rt △ B2021A2021B2021都有一个角30°∴当 A〔 B〕点横坐、由① AB=2、BA1=2、点A1横坐、B1点坐9=32当 A1〔 B1〕点横坐3、由① A1B1=6、B1A2=6、点A2横坐、B2点坐327=3当 A2〔 B2〕点横坐9、由① A2B2=18、B2A3=18、点A3横坐、B3点4坐 81=32021点 B2021的坐 3 故答案： 32021【点】本是平面直角坐系律研究、考了含有特别角的直角三角形各数量关系、解答注意数形合．8.〔2021?广 ?3 分〕如、等△ OA1B1、点 A1在双曲y=〔x＞0〕上、点B1的坐〔2、0〕．B1作 B1A2∥ OA1交双曲于点A2、 A2作 A2B2∥ A1B1交 x 于点 B2、获取第二个等△B1A2B2； B2作 B2A3∥ B1A2交双曲于点A3、 A3作 A3B3∥ A2B2交 x 于点 B3、获取第三个等△B2A3B3；以此推、⋯、点B6的坐〔2、0〕．【解析】依照等三角形的性以及反比率函数象上点的坐特色分求出B2. B3. B4的坐、得出律、而求出点 B6的坐．【解答】解：如、作A2C⊥ x 于点 C、 B1C=a、 A2C=a、OC=OB+B C=2+a、 A 〔 2+a、a〕．112∵点 A 在双曲 y=〔x＞ 0〕上、2∴〔 2+a〕?a=、解得 a=1、或 a=1〔舍去〕、∴OB2=OB1+2B1C=2+22=2 、∴点 B 的坐〔 2、0〕；2作 A3D⊥ x 于点 D、 B2D=b、 A3D= b、OD=OB2+B2D=2 +b、 A2〔 2+b、b〕．∵点 A3在双曲 y=〔x＞ 0〕上、∴〔 2+b〕?b=、解得 b=+、或 b=〔舍去〕、∴OB=OB+2B D=22+2=2、322∴点 B3的坐〔 2、0〕；同理可得点 B4的坐〔 2、 0〕即〔 4、 0〕；⋯、∴点 B n的坐〔 2、0〕、∴点 B6的坐〔 2、0〕．故答案〔 2、 0〕．【点】本考了反比率函数象上点的坐特色、等三角形的性、正确求出 B 2. B 3. B 4 的坐而得出点 B n 的律是解的关．9. 〔2021?广西北海? 3 分〕察以低等式：、 313、 32 9、 3327、 4、5243、⋯、313 81 3依照其中律可得1 2 · · ·2021的果的个位数字是。

中考数学模拟试题汇编专题36：规律探索含答案

规律研究一.选择题1.（2020·天津北辰区·一摸）如图，用火柴棍拼成一排由三角形构成的图形.若拼成的图形中有n个三角形，则需要火柴棍的根数是（）.（A）n2（B）n3（C）2n1第1题（D）2n1答案：D(2020·重庆巴蜀·一模）如图，每个图形都由相同大小的矩形依据必定的规律构成，此中第①个图形的面积为6cm2，第②个图形的面积为18cm2，第③个图形的面积为36cm2，，那么第⑥个图形的面积为（）A．84cm2B．90cm2C．126cm2D．168cm2【剖析】察看图形，小正方形方形的个数是相应序数乘以下一个数，每一个小正方形的面积是3，而后求解即可．【解答】解：第（1）个图形有2个小长方形，面积为1×2×3=6cm2，第（2）个图形有2×3=6个小正方形，面积为2×3×3=18cm2，第（3）个图形有3×4=12个小正方形，面积为3×4×3=36cm2，，第（6）个图形有10×11=110个小正方形，面积为6×7×3=126cm2．应选C．3.(2020·重庆巴南·一模）以下是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，依此类推，则第6个图形中火柴棒根数是（）A．60B．61C．62D．63【剖析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，依此类推第n个有1+2+3++n个三角形，共有3×（1+2+3+ +n）=n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【解答】解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；∴第n个有1+2+3+ +n个三角形，共有3×（1+2+3+ +n）=n（n+1）根火柴；∴第5个图形中火柴棒根数是3×（1+2+3+4+5+6）=63．应选：D．(2020·郑州·二模)如图，在一单位长度为1的方格纸上，依以下图的规律，设定点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、、A n，连结点O、A1、A2构成三角形，记为△1，连结O、A2、A3构成三角形，记为△2，连结O、A n、A n＋1，构成三角形，记为△n（n为正整数），请你推测，当n为10时，△n的面积＝（）平方单位．A．45B．55C．66D．100答案：B二.填空题1.（2020·河大附中·一模）如图，一段抛物线：y=x(x-2)(0≤x≤，2)记为C1，它与x轴交于点O，A，；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；，这样进行下去，直至得C2020．若P(4031，a)在第2020段抛物线C2020上，则a=.第1题答案：12.（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，-1)，，依据这样的运动规律，点P第2020次运动到点．y(1,1)(5,1)(9,1)(4,0)(8,0)(12,0)O(2,0)(6,0)(10,0)x(3,-1)(7,-1)(11,-1)第2题答案：（2020，1)OAB的一边OA在x轴上，且OA=1，当3.（2020·河南三门峡·二模）如图，等边三角形△1△OAB1沿直线l转动，使一边与直线l重合获得△B1A1B2，△B2A2B3，......则点A2020的坐标是答案：(1009,10083)4.（2020齐河三模）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不停地挪动，每挪动一个单位，获得点A1（0，1），A21，1），A3（1，0），A4（2，0）那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____（用n表示）答案：（2n,1）5.(2020·云南省曲靖市罗平县·二模)这样铺地板：第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完整围起来，如图2；第三次把第二次的完整围起来，如图3；挨次方法，铺第5次时需用34块木块才能把第四次所铺的完整围起来．【考点】规律型：图形的变化类．【剖析】察看图形发现：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，联合图1两块木块能够得出图 n 需要木块数为 [1+（n ﹣1）×2]×[2+（n ﹣1）×2]，求出图 4 图5所需木块数，两者相减即可得出结论．【解答】解：若要将前一个图形包起来，上下各需要添一层，左右各需添一层，即图1木块个数为 1×2，图2木块个数为（1+2）×（2+2），图3木块个数为（1+2×2）×（2+2×2），，图n 木块个数为[1+（n ﹣1）×2]×[2+（n ﹣1）×2]．由上边规律可知：图 4需要木块个数为（ 1+3×2）×（2+3×2）=56（块），图 5需要木块个数为（1+4×2）×（2+4×2）=90（块），故铺第5次时需用 90﹣56=34块木块才能把第四次所铺的完整围起来．故答案为：34块．【评论】本题考察了图形的变化，解题的重点是：找出“图n 需要木块数为 [1+（n ﹣1）×2]×[2+n ﹣1）×2]”这一规律．本题属于中档题，解决该类题型需要认真察看图形，得出图形的变化规律，再联合规律找出结论．(2020·云南省·一模)察看以下等式：解答下边的问题：21+22+23+24+25+26++22020的末位数字是4．【考点】尾数特点．【剖析】依据2n ，2n+1，2n+2，2n+3的个位数挨次是 2，4，8，6，依占有理数的加法，可得答案．【解答】解：由2n ，2n+1，2n+2，2n+3的个位数挨次是 2，4，8，6，得指数每4的倍数一循环，2020÷4=503 3，即（2+4+8+6）×503+（2+4+8）=503×20+14=10074．故答案为：4．【评论】本题考察了尾数特点，利用 2n ，2n+1，2n+2，2n+3的个位数挨次是 2，4，8，6得出指数每4的倍数一循环是解题重点．7.(2020·云南省·二模)察看以下等式：，，，则=．（直接填结果，用含n 的代数式表示，n 是正整数，且n ≥1）【考点】规律型：数字的变化类．【剖析】由题意可知： =1﹣ ，进一步整理得出答案即可．【解答】解：∵ ，，，∴ =1﹣ = ．故答案为：．【评论】本题考察数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出一般运算方法解决问题．8. （2020·广东东莞·联考）假如记y==f （x ），而且f （1）表示当x=1时y 的值，即f （1）= =；f （）表示当 x=时y 的值，即 f （）= =，那么f （1）+f （2）+f（）+f（3）+f（）+ +f（n）+f（）=．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．【考点】分式的加减法．【专题】压轴题；规律型．【剖析】由f（1）f（）可得：f（2）==；进而f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣．因此f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+ +f（n）+f（）=（n为正整数）．【解答】解：∵f（1）==；f（）==，得f（2）==；f（1）+f（2）+f（）=+1=2﹣．故f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+ +f（n）+f（）=．（n为正整数）【评论】解答本题重点是依据题中所给的式子找出规律，再解答．（2020·广东东莞·联考）如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、的扇形构成的图形，暗影部分的面积挨次记为S1、S2、S3、，则S n=．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算．【专题】规律型．【剖析】由图可知S1=，S2=×3，S3=×5，S4=×7，S n=×（2n﹣1），从而得出S n的值．【解答】解：由题意可得出通项公式：S n=×（2n﹣1），即S n=×（2n﹣1），故答案为．【评论】本题考察了扇形面积的计算，是一道规律性的题目，难度较大．三.解答题1.（2020·河北石家庄·一模）如图1，一副直角三角板知足AB=B，AC=DE，CABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角极点E搁置于三角板 ABC的斜边AC上，再将三角板D EF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ知足如何的数目关系？并给出证明．【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ知足如何的数目关系？，并说明理由．EQ知足的数目关系是什么？【总结操作】依据你以上的研究结果，试写出当时，EP与此中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不用证明）m．第1题【考点】相像形综合题．【剖析】（操作1）连结BE，依据已知条件获得E是AC的中点，依据等腰直角三角形的性质能够证明DE=CE，∠PBE=∠C．依据等角的余角相等能够证明∠BEP=∠CEQ．即可获得全等三角形，进而证明结论；（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，依据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再依据等腰直角三角形的性质获得EM：EN=AE：CE；（总结操作）依据（2）中求解的过程，能够直接写出结果；要求m的取值范围，依据交点的地点的限制进行剖析．【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连结BE，依据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ，在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，原因是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，Rt△MEP∽Rt△NEQ，=，Rt△AME∽Rt△ENC，∴∴=m=，∴∴=1：m=，EP与EQ知足的数目关系式1：m，即EQ=mEP，∴0＜m≤2+变为不订交）．，（因为当m＞2+时，EF和BC【评论】本题考察了相像三角形的性质和判断，全等三角形的性质和判断，主要考察学生运用定理进行推理的能力，证明过程近似．（2020·广东东莞·联考）在由m×n（m×n＞1）个小正方形构成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，（1）当m、n互质（m、n除1外无其余公因数）时，察看以下图形并达成下表：m n m+n f123213432354257347猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是f=m+n﹣1（不需要证明）；（2）当m、n不互质时，请绘图考证你猜想的关系式能否依旧建立．【考点】作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．【剖析】（1）经过察看即可得出当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式，（2）当m、n不互质时，画出图即可考证猜想的关系式不建立．【解答】解：（1）表格中分别填6，6m n m+n f12321343235425763476与m、n的关系式是：f=m+n﹣1．故答案为：f=m+n﹣1．（2）m、n不互质时，猜想的关系式不必定建立，以以下图：．【评论】本题考察了作图﹣应用与设计作图，重点是经过察看表格，总结出一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n 的关系式，要注意m、n互质的条件．(2020·重庆巴蜀·一模）阅读资料：资料一：对于随意的非零实数x和正实数k，假如知足为整数，则称k是x的一个“整商系数”．比如：x=2时，k=3?=2，则3是2的一个整商系数；x=2时，k=12?=8，则12也是2的一个整商系数；x=时，k=6?=1，则6是的一个整商系数；结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，此中最小的一个整商系数记为k（x），比如k 2）=资料二：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，两根x1，x2有以下关系：x1+x2=﹣；x1x2=应用：（1）k（）= 2 k（﹣）=（2）若实数a（a＜0）知足k（）＞k（），求a的取值范围？（3）若对于x的方程：x2+bx+4=0的两个根分别为x1、x2，且知足k（x1）+k（x2）=9，则b的值为多少？【剖析】（1）求出最小的个整商系数即可．2）依据k（）＞k（）分类议论列出不等式解不等式即可．3）利用根与系数关系把k（x1）+k（x2）=9，转变为含有b的方程，记得分类议论即可．【解答】解：（1）k（）=2，k （﹣）=．故答案分别为2，．（2）∵k（）＞k（），当﹣1＜a＜0时，原式化为＞3（a+1）∴a＜﹣，即﹣1＜a＜﹣，当a＜﹣1时，原式化为＞﹣3（a+1）解得a＞﹣2，故可知a的取值范围为﹣2＜a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣．3）设方程的两个根有x1＜x2，因为x1x2=，故x1与x2同号．当x2＜0时，k（x1）+k（x2）=﹣=﹣=，解得b=12．当x1＞0时，k（x1）+k（x2）===，解得b=﹣12．综上b=±12．。

中考数学真题分类汇编第一期专题36规律探索试题含解析

规律研究一、选择题1．〔2021·重庆(A) ·4分〕把三角形按以以下图的规律拼图案，其中第①个图案中有4 个三角形，第②个图案中有6 个三角形，第③个图案中有8 个三角形，⋯，按此规律排列下去，那么第⑦个图案中三角形的个数为A．12 B．14 C．16 D．18【考点】图形的变化规律【解析】∵第1 个图案中的三角形个数为:2+2=2 ×2=4;第2 个图案中的三角形个数为:2+2+2=2 ×3=6;第3 个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2 ×4=8;⋯⋯∴第7 个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2 ×8=16;【谈论】此题观察图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，进而计算出正确结果。

比较简单。

2〔2021·台湾·分〕假设小舒从1～50 的整数中优选4 个数，使其由小到大排序后形成一等差数列，且4 个数中最小的是7，那么以下哪一个数不可以能出现在小舒优选的数之中？〔〕A．20 B．25 C．30 D．35【解析】A、找出7，20、33 、46为等差数列，进而可得出20 可以出现，选项A 不吻合题意；B、找出7、16、25、34为等差数列，进而可得出25 可以出现，选项B 不吻合题意；C、由30﹣7=23，23为质数，30+23＞50，进而可得出30 不可以能出现，选项C吻合题意；D、找出7、21、35、49为等差数列，进而可得出35 可以出现，选项D不吻合题意．【解答】解：A、∵7，20、33、46为等差数列，∴20 可以出现，选项A 不吻合题意；B、∵7、16、25、34为等差数列，∴25 可以出现，选项B 不吻合题意；C、∵30﹣7=23，23为质数，30+23＞50，∴30 不可以能出现，选项C吻合题意；D、∵7、21、35、49为等差数列，∴35 可以出现，选项D不吻合题意．应选：C．【谈论】此题观察了规律型中数字的变化类，依照等差数列的定义结合四个选项中的数字，13〔2021·广东广州·3 分〕在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到以下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断搬动，每次搬动1 m，其行走路线如图所示，第1 次搬动到，第2 次搬动到⋯⋯，第n 次搬动到，那么△的面积是〔〕A.504B.C.D.【答案】A【考点】研究图形规律【解析】【解答】解：依题可得：A2〔1,1 〕，A4〔2，0〕，A8〔4,0 〕，A12〔6,0 〕⋯⋯∴A4n〔2n，0〕，∴A2021=A4×504〔1008,0 〕，∴A2021〔1009,1 〕，∴A2A2021=1009-1=1008,∴S△= ×1×1008=504〔〕.故答案为：A.〔1008,0 〕，进而得A2021〔1009,1 〕，【解析】依照图中规律可得A4n〔2n，0〕，即A2021=A4×504再依照坐标性质可得A2A2021=1008, 由三角形面积公式即可得出答案.4 (2021 四川省绵阳市) 将全体正奇数排成一个三角形数阵13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29⋯⋯⋯⋯⋯⋯依照以上排列规律，数阵中第25 行的第20 个数是〔〕A.639B.637C.635D.633【答案】 A【考点】研究数与式的规律【解析】【解答】解：依题可得：第25 行的第一个数为：1+2+4+6+8+⋯⋯+2×24=1+2×=601，∴第25 行的第第20 个数为：601+2×19=639.故答案为： A.【解析】依照规律可得第25 行的第一个数为，再由规律得第25 行的第第20 个数.5．〔2021 年湖北省宜昌市3 分〕1261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形讲解二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角〞，请观察图中的数字排列规律，那么a，b，c 的值分别为〔〕A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6【解析】依照图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．【解答】解：依照图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，应选：B．【谈论】此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．关于找规律的题目第一应找出哪些局部发生了变化，是依照什么规律变化的．二. 填空题1〔2021 年四川省内江市〕如图，直线y=﹣x+1 与两坐标轴分别交于A，B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P1，P2，P3，⋯，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，⋯，T n﹣1，用S1，S2，S3，⋯，S n﹣1 分别表示Rt △T1OP1，Rt△T2P1P2，⋯，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1 的面积，那么S1+S2+S3+⋯+S n﹣1=﹣．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特色；D 2：规律型：点的坐标．【解析】如图，作T1M⊥OB于M，T2N⊥P1T1 ．由题意可知：△BT1M≌△T1T2N≌△T n﹣1A，四边形OMT1P1 是矩形，四边形P1NT2P2 是矩形，推出= ××= ，S1= ，S2= ，可得S1+S2+S3+⋯+S n﹣1= 〔S△AOB﹣n 〕．【解答】解：如图，作T1M⊥O B于M，T2N⊥P1T1．由题意可知：△BT1M≌△T1T2N≌△T n﹣1A，四边形OMT1P1 是矩形，四边形P1NT2P2 是矩形，4∴= ××= ，S1= ，S2 = ，∴S1+S2+S3+⋯+S n﹣1= 〔S△AOB﹣n 〕= ×〔﹣n×〕=﹣．故答案为﹣．【谈论】此题观察一次函数的应用，规律型﹣点的坐标、三角形的面积、矩形的判断和性质等知识，解题的要点是灵便运用所学知识解决问题，学会用切割法求阴影局部面积．2〔2021?广西桂林?3 分〕将从1 开始的连续自然数按右图规律排列：规定位于第m行，第n 列的自然数10记为〔3，2〕，自然数15记为〔4，2〕...... 按此规律，自然数2021记为__________【答案】〔505，2〕【解析】解析：由表格数据排列可知，4 个数一组，奇数行从左向右数字逐渐增大，偶数行从右向左数字逐渐增大，用2021 除以4，商确定所在的行数，余数确定所行家的序数，然后解答即可．详解：2021÷4=504 ??2.∴2021 在第505 行，第2 列，∴自然数2021记为〔505，2〕.故答案为：〔505，2〕.点睛：此题是对数字变化规律的观察，观察出实质有4 列，但每行数字的排列序次是解题的要点，还要注意奇数行与偶数行的排列序次正好相反．线PA，现要分别以APB ，3〔2021?河北?6 分〕如图10 1，作BPC 均分线的反向延长APC ，BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不相同花纹后成为一个图案.比方，假设以BPC为内角，可作出一个边长为1 的正方形，此时BPC 90 ，而90245是360 〔多边形外角和〕的18，这样就恰好可作出两个边长均为1 的正八边形，填充花纹后获取一个吻合要求的图案，如图10 2所示.图10 2中的图案外轮廓周长是；在所有吻合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，那么会标的外轮廓周长是．4〔2021·广东·3 分〕如图，等边△O A1B1，极点A1 在双曲线y= 〔x＞0〕上，点B1的坐标为〔2，0〕．过B1 作B1A2∥O A1 交双曲线于点A2，过A2 作A2B2∥A1B1 交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2 作B2A3∥B1A2 交双曲线于点A3，过A3 作A3B3∥A2B2 交x轴于点B3，获取第三个等边△B2A3B3；以此类推，⋯，那么点B6 的坐标为〔2 ，0〕．【解析】依照等边三角形的性质以及反比率函数图象上点的坐标特色分别求出B2、B3、B4 的坐标，得出规律，进而求出点B6 的坐标．【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，那么A2C= a，OC=O1B+B1C=2+a，A2〔2+a，a〕．∵点A2 在双曲线y= 〔x＞0〕上，∴〔2+a〕?a= ，解得a=﹣1，或a=﹣﹣1〔舍去〕，∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2 ，∴点B2 的坐标为〔2 ，0〕；作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，那么A3D= b，OD=O2B+B2D=2 +b，A2〔2 +b，b〕．∵点A3 在双曲线y= 〔x＞0〕上，∴〔2 +b〕?b= ，解得b=﹣+ ，或b=﹣﹣〔舍去〕，∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2 +2 =2 ，∴点B3 的坐标为〔2 ，0〕；同理可得点B4 的坐标为〔2 ，0〕即〔4，0〕；⋯，∴点B n 的坐标为〔2 ，0〕，∴点B6 的坐标为〔2 ，0〕．故答案为〔2 ，0〕．【谈论】此题观察了反比率函数图象上点的坐标特色，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4 的坐标进而得出点B n 的规律是解题的要点．5〔2021·浙江临安·3 分〕：2+ =2 2×，3+ =32×，4+ =42×，5+ =52×，⋯，假设10+ =10 2×吻合前面式子的规律，那么a+b= 109 ．【考点】等式的变化规律【解析】要求a+b 的值，第一应该仔细仔细地观察题目给出的4 个等式，找到它们的规律，即中，b=n+1，a=〔n+1〕 2﹣1．【解答】解：依照题中资料可知= ，∵10+ =10 2×，∴b=10，a=99，a+b=109．【谈论】解题要点是要读懂题目的意思，依照题目给出的条件，找出式子的规律．6〔2021·浙江衢州·4 分〕定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ〔a，θ〕变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1 就是△ABC经γ〔1，180°〕变换后所得的图形．假设△ABC经γ〔1，180°〕变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ〔2，180°〕变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ〔3，180°〕变换后得△A3B3C3，依此类推⋯⋯△A n﹣1B n﹣1C n﹣1经γ〔n，180°〕变换后得△A n B n C n，那么点A1 的坐标是〔﹣，﹣〕，点A2021 的坐标是〔﹣，〕．【考点】坐标的变化规律.【解析】解析图形的γ〔a，θ〕变换的定义可知：对图形γ〔n，180°〕变换，就是先进行向右平移n 个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n 个单位变换就是横坐标加n，纵坐标不变，关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．【解答】解：依照图形的γ〔a，θ〕变换的定义可知：对图形γ〔n，180°〕变换，就是先进行向右平移n 个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．△ABC经γ〔1，180°〕变换后得△A1B1C1，A1 坐标〔﹣，﹣〕△A1B1C1经γ〔2，180°〕变换后得△A2B2C2，A2 坐标〔﹣，〕△A2B2C2经γ〔3，180°〕变换后得△A3B3C3，A3 坐标〔﹣，﹣〕△A3B3C3经γ〔3，180°〕变换后得△A4B4C4，A4 坐标〔﹣，〕依此类推⋯⋯可以发现规律：A n 横坐标存在周期性，每3 次变换为一个周期，纵坐标为当n=2021时，有2021÷3=672 余2所以，A2021 横坐标是﹣，纵坐标为故答案为：〔﹣，﹣〕，〔﹣，〕．【谈论】此题是规律研究题，又是资料阅读理解题，要点是能正确理解图形的γ〔a，θ〕变换的定义后运用，要点是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不相同的规律，需要分别来研究．7〔2021·四川自贡·4 分〕观察以以下图中所示的一系列图形，它们是按必然规律排列的，依照此规律，第2021 个图形共有6055 个○．【解析】每个图形的最下面一排都是1，别的三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，那么可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1 个图形共有：1+1×3，第2 个图形共有：1+2×3，第3 个图形共有：1+3×3，⋯，第n 个图形共有：1+3n，∴第2021 个图形共有1+3×2021=6055，故答案为：6055．【谈论】此题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的要点，注意观察图形的变化．8〔2021?湖北荆门?3 分〕将数1 个1，2 个，3 个，⋯，n 个〔n为正整数〕按次排成一列：1，，⋯，记a1=1，a2= ，a3= ，⋯，S1=a1，S2=a1 +a2，S3=a1+a2+a3，⋯，S n=a1+a2+⋯+a n，那么S2021= 63 ．【解析】由1+2+3+⋯+n=结合+2=2021，可得出前2021 个数里面包含：1个1，2 个，3 个，⋯，63 个，2 个，进而可得出S2021=1×1+2×+3×+⋯+63×+2×=63 ，此题得解．【解答】解：∵1+2+3+⋯+n= ，+2=2021，∴前2021 个数里面包含：1 个1，2 个，3 个，⋯，63 个，2 个，∴S2021=1×1+2×+3×+⋯+63×+2×=1+1+⋯+1+ =63 ．故答案为：63 ．【谈论】此题观察了规律型中数字的变化类，依照数列中数的排列规律找出“前2021 个数里面包含：1 个1，2 个，3 个，⋯，63 个，2 个〞是解题的要点．9〔2021?甘肃白银，定西，武威?3 分〕如图是一个运算程序的表示图，假设开始输入的值为625，那么第2021 次输出的结果为__________．【答案】1【解析】【解析】依次求出每次输出的结果，依照结果得出规律，即可得出答案．【解答】当x=625时,当x=125时, =25，当x=25时, =5，当x=5时, =1，当x=1时，x+4=5，当x=5时, =1，当x=1时，x+4=5，当x=5时, =1，⋯(2021 - 3) ÷2=1007⋯1，即输出的结果是1，故答案为：1.【谈论】观察代数式的求值，找出其中的规律是解题的要点.10. 〔2021?山东滨州?5 分〕观察以下各式：=1+ ，=1+ ，=1+ ，⋯⋯请利用你所发现的规律，计算+ + +⋯+ ，其结果为9 ．【解析】直接依照数据变化规律进而将原式变形求出答案．【解答】解：由题意可得：+ + +⋯+=1+ +1+ +1+ +⋯+1+=9+〔1﹣+﹣+﹣+⋯+﹣〕=9+=9 ．故答案为：9 ．【谈论】此题主要观察了数字变化规律，正确将原式变形是解题要点．11. 〔2021·山东泰安·3 分〕观察“田〞字中各数之间的关系：那么c 的值为270 或28+14 ．【解析】依次观察每个“田〞中相同地址的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田〞中各个地址的数字数量关系即可．【解答】解：经过观察每个“田〞左上角数字依此是1，3，5，7 等奇数，此地址数为15 时，恰好是第8 个奇数，即此“田〞字为第8 个．观察每个“田〞字左下角数据，可以发现，规律是2，22，23，24 等，那么第8 数为28．观察左下和右上角，每个“田〞字的右上角数8字依次比左下角大0，2，4，6 等，到第8 个图多14．那么c=2 +14=270故应填：270 或28+14【谈论】此题以研究数字规律为背景，观察学生的数感．解题时注意相同地址的数字变化规律，用代数式表示出来．12. 〔2021·山东威海·3 分〕如图，在平面直角坐标系中，点A1 的坐标为〔1，2〕，以点O为圆心，以O A1长为半径画弧，交直线y= x 于点B1．过B1 点作B1A2∥y轴，交直线y=2x于点A2，以O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y= x 于点B2；过点B2 作B2A3∥y轴，交直线y=2x 于点A3，以点O为圆心，以O A3长为半径画弧，交直线y= x 于点B3；过B3 点作B3A4∥y轴，交直线y=2x 于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y= x 于点B4，⋯依照这样规律进行下去，点B2021的坐标为〔22021，22021〕．12【解析】依照题意可以求得点B1 的坐标，点A2 的坐标，点B2 的坐标，尔后即可发现坐标变化的规律，进而可以求得点B2021的坐标．【解答】解：由题意可得，点A1 的坐标为〔1，2〕，设点B1 的坐标为〔a，a 〕，，解得，a=2，∴点B1 的坐标为〔2，1〕，同理可得，点A2 的坐标为〔2，4〕，点B2 的坐标为〔4，2〕，点A3 的坐标为〔4，8〕，点B3 的坐标为〔8，4〕，⋯⋯∴点B2021 的坐标为〔2 2021，22021〕，故答案为：〔2 2021，22021〕．【谈论】此题观察一次函数图象上点的坐标特色、点的坐标，解答此题的要点是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．13. 〔2021·山东潍坊·3 分〕如图，点A1 的坐标为〔2，0〕，过点A1 作x轴的垂线交直线l ：y= x 于点B1，以原点O为圆心，O B1 的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2 作x轴的垂线交直线l 于点B2，以原点O为圆心，以O B2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；⋯．按此作法进行下去，那么的长是．13【解析】先依照一次函数方程式求出B1 点的坐标，再依照B1 点的坐标求出A2 点的坐标，得出B2 的坐标，以此类推总结规律即可求出点A2021的坐标，再依照弧长公式计算即可求解，．【解答】解：直线y= x，点A1 坐标为〔2，0〕，过点A1 作x轴的垂线交直线于点B1 可知B1 点的坐标为〔2，2 〕，以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，O A2=OB1，O A2 = =4，点A2 的坐标为〔4，0〕，这类方法可求得B2 的坐标为〔4，4 〕，故点A3 的坐标为〔8，0〕，B3〔8，8 〕以此类推即可求出点A2021 的坐标为〔2 2021，0〕，那么的长是= ．故答案为：．【谈论】此题主要观察了一次函数图象上点的坐标特色，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题．14. 〔2021?山东枣庄?4 分〕将从1 开始的连续自然数按以下规律排列：第1 行1第2 行2 3 4第3 行9 8 7 6 5第4 行10 11 12 13 14 15 16第5 行25 24 23 22 21 20 19 18 17⋯那么2021 在第45 行．142【解析】经过观察可得第n 行最大一个数为n ，由此估计2021 所在的行数，进一步计算得出答案即可．【解答】解：∵442=1936，452=2025，∴2021 在第45 行．故答案为：45．【谈论】此题观察了数字的变化规律，解题的要点是经过观察，解析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．15. 〔2021?山东淄博?4 分〕将从1 开始的自然数按以下规律排列，比方位于第3 行、第4列的数是12，那么位于第45 行、第8 列的数是2021 ．【考点】37：规律型：数字的变化类．【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n2，可得第45 行第一个数是2025，推出第45 行、第8 列的数是2025﹣7=2021；【解答】解：观察图表可知：第n 行第一个数是n2，∴第45 行第一个数是2025，∴第45 行、第8 列的数是2025﹣7=2021，故答案为2021．【谈论】此题观察规律型﹣数字问题，解题的要点是学会观察，研究规律，利用规律解决问题．1 6〔2021?四川成都?3 分〕，，，，，，⋯〔即当为大于1 的奇数时，；当为大于1 的偶数时，〕，按此规律，________.【答案】【考点】研究数与式的规律15【解析】【解答】解：∵，∴S2=- -1=∵，∴S3=1÷〔〕=∵，∴S4=-〔〕-1=∴S5=-a-1 、S6=a、S7= 、S8= ⋯∴2021÷4=54⋯2∴S2021=故答案为:【解析】依照求出S2= ，S3= ，S4= 、S5=-a-1 、S6=a、S7= 、S8= ⋯可得出规律，按此规律可求出答案。

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