形状相同的图形
6.3：相似图形
6.3相似图形学习目标1．了解形状相同的图形是相似的图形，能在诸多图形中找出相似图形；2．理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；3.能根据相似多边形的定义，判断两个多边形是否相似教学流程提纲1.复习全等图形、全等三角形性质与判定2.通过“观察与思考”活动，引入相似性的概念注意：对应顶点的字母写在对应的位置上3.通过“思考与探索”活动，探索形状相同的多边形的特征，引入相似多边形的概念4.通过“尝试与交流”活动，引导学生运用相似多边形的定义判断书50页的两组四边形是否相似5.课本例题教学6.课堂练习7.拓展例题小明说，若已有△ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，所形成的△ADE必与△ABC相似．（1）你认同他的说法吗？为什么？（2）取BC的中点F，连接DF、EF，△DEF与△ABC相似吗？为什么？F如图，在四边形ABCD 中，AD=2，AC= 4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC. （1）求AB，CD的长；（2）求∠BAD的度数.8.本节课3个目标你达成个？分别是：E D C B A 6.3相似图形过关检测 1.若△ABC ∽△ A ′B ′C ′ ，且 ，则△ABC 与△ A ′B ′C ′相似比是 ，△ A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是 。
2.下列图形中不一定是相似图形的是 （ ）A.两个等边三角形B.两个等腰直角三角形C.两个长方形D.两个正方形3.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C 1等于( )A.50°B.95°C.35°D.25°4.下面每组都有两个三角形相似,请把它们表示出来,并说出它们的相似比.（1） （2）△ ∽△ ，相似比为 △ ∽△ ，相似比为5.如图,已知△ABC ∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=•40°.求:(1)∠ADE 和∠AED 的度数；(2)DE 的长.6.如图,点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点,以线段AE 为边作一个菱形AEFG ,且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD .(1)求证：EB =GD ；(2)若∠DAB =60°,AB =2,AG =3，求GD 的长2'' B A AB。
图形的相似知识点
图形的相似知识点相似图形是几何学中的重要概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。
本文将介绍图形的相似性，并讨论相似图形的性质和应用。
一、相似图形的定义和判断方法相似图形定义：如果两个图形的形状相同，并且对应边的长度比相等，那么这两个图形就是相似图形。
判断相似图形的方法：1.对应角相等法则：如果两个图形的对应角相等，则这两个图形相似。
2.对应边成比例法则：如果两个图形的对应边成比例，则这两个图形相似。
3.综合判断法则：根据对应角和对应边成比例的性质，综合判断两个图形是否相似。
二、相似图形的性质1.对应边成比例：相似图形的对应边的长度比相等。
2.对应角相等：相似图形的对应角相等。
3.面积成比例：相似图形的面积比等于对应边长度比的平方。
三、相似三角形相似三角形是相似图形中最常见的一种情况。
相似三角形有以下性质：1.对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2.对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
3.高线成比例：如果两个三角形的高线成比例，则这两个三角形相似。
4.中线成比例：如果两个三角形的中线成比例，则这两个三角形相似。
四、相似图形的应用相似图形的概念在实际生活中有着广泛的应用，例如：1.地图比例尺：地图上的比例尺就是通过相似图形的概念来确定的。
2.影像放大：在影像处理中，可以通过相似图形的概念对影像进行放大或缩小。
3.三角测量：在测量中，可以利用相似三角形的性质来进行间接测量。
4.建筑设计：建筑设计中，相似图形的概念可以帮助设计师确定建筑物的比例和尺寸。
总结：相似图形是几何学中一个重要的概念，它指的是在形状和比例上相似的图形。
我们可以通过对应角相等和对应边成比例等方法来判断图形是否相似。
相似图形的性质包括对应边成比例、对应角相等和面积成比例等。
相似图形在地图制作、影像处理、测量和建筑设计等领域有着广泛的应用。
通过了解相似图形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的基本原理。
形状相同的图形
2
-1
倍 (x, y) (2x, 2y)
议一议
你能利用刚才所学到的方法， 将“Ａ”字形缩小吗？
一个图形各点的坐标经过怎样的变化， 可以使所得到的图形与原图形的形状相 同？
答：一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以 或除以同一个不为零的数，可以使所得的新 图形与原图形的形状相同。
议一议：
学习了《形状相同的图形》之后，小 明和小张就一直在争论：小明说： “任意两个矩形都是形状相同的图 形。 ”而小张说：“不对，任意两 个圆形才是形状相同的图形。”
所有的圆柱真的都是形状相同的吗？
所有的菱形真的都是形状相同的图形吗？
所有的等腰三角形真的都是形状相同的图 形吗？
1、什么是形状相同的图形?两个形状 相同的图形与这两个图形本身的大小 与位置有关吗？
2、形状相同的图形与全等的区别与 联系. 3、利用坐标系怎样使一个图形与 已知图形形状相同？
你还有其他的方法吗？
请观察以下图形
篮球巨星姚明同一张底片冲洗出来的2 寸照片和4寸照片中，人物的形状改变 了吗？大小呢？
符合国家标准的两面中国国 旗的形状相同吗？大小呢？
蕨类植物的整张叶片和它上面的小 叶片形状相同吗？大小呢？
四阶魔方和三阶魔方形状 相同吗？大小呢？
（四阶）
（三阶）
这些足球和正方体的的形 状和大小怎么样？
(14)
请在下列图形中找出形状相同的图形
4
1
2
5
3
7 6
8 10
9
14
11 12
13
一起来探索一下吧！ 随堂练习
在直角坐标系中描出点O（0，0）、 A（1，2）、B（2，4）、C（3，2）、 D（4，0）。先用线段顺次连接点O、 A、B、C、D，然后再用线段连接A、 C两点。
《形状相同的图形》相似图形PPT 图文
我们一路怀揣着爱，脚踏着万物，一声 绝唱， 飘然落 尘！也 许，你 我曾是 几百年 前的一 株草， 一朵花 ，一粒 尘，经 过几世 轮回的 转换变 成了今 生的亲 人，朋 友，爱 人…… 也许， 我们只 是来兑 现前世 的一场 盟约。 也许， 在百年 之后， 你我又 都化为 世间的 生灵， 守候在 天地之 间，彼 此相望 ，相顾 无言。 然而， 你我却 心灵相 犀，甘 为绿叶 ，守护 着这世 间一朵 花开的 时光！
时光就是这么不经用，很快自己做了母 亲，我 才深深 的知道 ，这样 的爱， 不带任 何附加 条件， 不因万 物毁灭 而更改 。只想 守护血 浓于水 的旧时 光，即 便峥嵘 岁月将 容颜划 伤，相 信一切 都是最 好的安 排。那 时的时 光无限 温柔， 当清水 载着陈 旧的往 事，站 在时光 这头， 看时光 那头， 一切变 得分明 。执笔 书写， 旧时光 的春去 秋来， 欢喜也 好，忧 伤也好 ，时间 窖藏， 流光曼 卷里所 有的宠 爱，疼 惜，活 色生香 的脑海 存在。
这世间，有一种相逢叫做缘份。如若有 缘，你 我会迎 着月， 奔着光 ，在人 生的某 个岔路 口相见 ，然后 又悄悄 离别。 像一朵 洁白似 雪的梨 花，轻 轻被风 吹落， 好像从 未被时 光染上 任何颜 色，永 远素雅 洁净。
有些人，在你生命里，走着走着就散了 ，走着 走着就 远了， 转身是 刹那， 离别早 已是天 涯。有 些人， 如同在 你的世 界打马 而过， 走时如 春风拂 面，未 曾留下 一丝一 痕。有 些人， 走时却 如惊涛 骇浪， 让你痛 彻心扉 ，就像 长在你 心里的 一根刺 ，怎么 拨也拨 不出来 ，只留 下浅浅 淡淡的 伤痕， 也许， 是思念 ;也许 ，是怨 念;也许 ，只是 记得… …
“十年生死两茫茫，不思量，自难忘。 千里孤 坟，无 处话凄 凉。纵 使相逢 应不识 ，尘满 面，鬓 如霜“ 。如若 今生， 你我遇 到一个 愿意为 自己陪 伴一生 的人， 那么， 请握紧 现在手 中的幸 福，珍 惜彼此 ，别等 失去， 再话凄 凉……
形状相同的图形相似多边形
联系
相似三角形是相似多边形的一种特殊情， 它们都具有对应角相等和对应边成比例的性 质。在解决相似多边形的问题时，可以借鉴 相似三角形的相关知识和方法。
区别
相似多边形包括的范围更广，可以包括任何 边数的多边形，而相似三角形则仅限于三角 形。此外，在相似多边形的判定中，需要满 足更多的条件，如对应边成比例、对应角相 等且顺序一致等。
在热学中，相似多边形可以用于描 述热量在不同物体之间的传递过程。
在工程中的应用
建筑设计
建筑师在设计建筑时，可以利用相似多边形来确 保建筑物的稳定性和美观性。
机械制造
在机械制造中，相似多边形可以用于设计和制造 具有特定形状和功能的机械零件。
航空航天
在航空航天领域，相似多边形可以用于设计和制 造飞机、火箭等飞行器的外形和结构。
相似多边形是形状相同的图形中 的一种特殊情况，其中两个多边 形对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的定义
01
对应角相等
两个多边形如果相似，那么它们的对应角必须相等。即，如果一个多边
形的一个角是A度，那么另一个相似多边形中对应的角也必须是A度。
02 03
对应边成比例
除了对应角相等外，相似多边形的对应边还必须成比例。也就是说，如 果两个多边形的一组对应边的长度比是k:1，那么它们的所有对应边的 长度比都应该是k:1。
形状相同的图形相似多边形
目 录
• 引言 • 相似多边形的性质 • 相似多边形的判定 • 相似多边形的应用 • 相似多边形与相似三角形的关系 • 总结与展望
01
引言
主题的引入
形状相同的图形
在几何学中，形状相同的图形指 的是两个图形在大小、方向或位 置上可能有所不同，但它们的形 状是一致的。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
《形状相同的图形》相似图形PPT课件4
( x, y ) O(0 , 0) A (1 , 2) B (2 , 4) C (3 , 2) D(4 , 0) (2 x,2 y ) O3( 0, 0) A3( 2, 4) B3( 4 , 8 ) C3( 6 , 4 ) D3( 8 , 0 )
O(0,0 )
A(2,2 ) B(4,4 ) C(6,2 ) D(8,0 )
y
B7
4 2 A7
A
B
C7
C
-6 -5 D7-4 -3 -2 -1 O -2
1
2
3
4 D 5
6 x
( x, y ) ( x, y )
下列图形在原图形的基础上作了哪些变化，变化 后的图形和原图形形状相同吗？
补充练习（一）：
（1）、油桶和杯子都是圆柱体，因此 这两个物体形状相同（ ）
（2）、课桌都是由桌面和四条腿构成 ，所有课桌形状相同（ ） （3）、中国象棋和国际象棋棋盘都是 矩形，所以它们形状相同（ ） （4）、所有正方体的形状相同（ ）
练 习：
指出下列图形中，形状 相同的图形是 （1）所有的三角形 （2）所有的等腰三角形
练 习：
（3）所有的等边三角形 （4）所有的直角三角形 （5）所有的边长之比是 3:4:5的三角形
练 习：
（6）所有等腰直角三角形 （7）所有的正方形 （8）所有的菱形
练 习：
（9）所有的矩形 （10）所有的梯形 （11）所有的正六边形 （12）所有的五边形
找一找：下列图形哪些形状相 同？用线连起来。 D
E F
A
B C
辨一辨
图中有哪些图 形的形状相同？
答:（1）与（3）， （2）与（13） （4）与（11） （5）与（10） （6）、（7） （8）、（9） （14）与（16）
人教版九年级数学下册2图形的相似
下列图形中____与_____是相似的.
相似图形不一定是全等图形.
的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？
2) 两个全等的三角形；
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
若两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等，则这两个多边形相似.
你能发现它们有什么特点吗?
相似多边形的判定方法：
若两个多边形满足对应角相等,对应边的比 相等，则这两个多边形相似.
例2 判断下列各题中的图形是否相似，若相似，指 出它们的相似比：
1) 任意的两个圆； 2) 两个全等的三角形； 3) 两个等腰直角三角形； 4) 两个等边三角形； 5) 两个菱形； 6) 两个矩形； 7) 两个正方形； 8) 两个正n边形；
的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？ 的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？
的环形小路，小路内外边缘围成的两个矩形相似吗？
形状相同，大小不一定相同
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 你能发现它们有什么特点吗?
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
由另一个图形放大或缩小得到. 相似多边形的判定方法：
思考：下图一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到自己的形象，这些镜中的形象相似吗？
两两相似的几何图形
思考：下图一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到自 己的形象，这些镜中的形象相似吗？
练一练
P25 练习1，练习2
3.下列图形中__(1_)_与__(_4_)_是相似的.
第二十七章 相似 27.1 图形的相似
新课导入
形状相同的图形PPT课件3 华东师大版
的
动手能力及合作交流的能力。 德育目标：通过识别和动手画形状相同的图形，丰富
学生的美感，培学生热爱数学、热爱生
学法引导:
通过丰富的实例让学生认识现实生活中
的相似图形,为进一步学习相似图形打基础.
∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等，称为对应角； AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF 与E1F1，FA与F1A1的比都相等，称为对应边；
动动手
你能想办法画出两个形状相同的六边形吗？
例 下列每组图形状相同，它们的对应角有怎 样的关系？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
进一步增强学生的数学应用意识。
本节课重在学生自己动脑、动手， 培养创造精神和探究意识，因而在教学 中，教师要热情鼓励学生自主探究和大 胆创新，对每一位同学作品给予鼓励和 足够的重视,因此设定： 重点：认识和画形状相同的图形； 难点：画形状相同的图形；
关键：如何利用坐标画相同的图形；
教学目标：
知识目标：结合具体实例认识形状相同的图形，并会
八年级数学（下）新课程培训
§4.3形状相同的图形
实验初中
张文
教材分析
本节内容是八年级数学（下）（北师大版）第四
章第3节，本章在已学习“全等图形”和“线段的比” 的基
础上，以认识形状相同的图形（相似图形）为核心内
容，为下一节课学习“相似多边形”作好准备。在本节 课的学习过程中，经历利用坐标的变化放大（或缩小） 图形，进一步发展学生数形结合意识；利用橡皮筋近 似放大图形，让学生体会相似图形在现实中的应用，
《形状相同的图形》参考课件1
2、小明的文具袋里有一塑料的等腰直角三角板，教室的讲台上有一木制的大等 腰直角三角板，那么这两个三角板（A ）
A、形状相同 B、形状不同 C、边长不成比例 D、无法比较 3、下列图形中，形状不一定相同的有（ ） A、放大(或缩小)的图形与原图形 B、不同比例尺的中国地图 C、放大镜下的五角星与原来的五角星 D、同一底片冲印出来的不同尺寸的照片 E、放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像 F、哈哈镜中人的形象与本人 G、平面镜中人的形象与本人 4、下列图形中形状一定相同的有（ ）。 A．所有的的圆 B．所有的等边三角形 C．所有的正方形 D．所有的矩形 E．所有的菱形 F．所有的正六边形 G．所有的等腰三角形 H. 所有的等腰梯形 I. 所有的圆柱 J. 横坐标相同，纵坐标成3倍关系的两个几何图形。
表3
( x, y ) O(0 , 0) A(1 , 2) B(2 , 4) C(3 , 2) D(4 , 0) (2 x,2 y ) O3( 0, 0 ) A3( 2, 4) B3( 4, 8 ) C3( 6, 4 ) D3( 8, 0 )
y 4 A B
B1
C D
O1(0,0)
2
A1
2
C1
D1
5 6 7 8 x 4
A1(2,2)
O1
-2 -1 O -2 1 3
B1(4,4)
C1(6,2)
D1(8,0)
-4
( x, y ) ( 2x , y)
y
8
B2 O2(0,0) A2
6 4 B
A2(1,4)
C2
C 2 D 3 4 5 D2 6 7 8 x
图形的相似课件
(A)
(B)
(C)
1.下列图形中哪些图形是相似的？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
2.观察下面的图形(a)-(g),其中哪些是与 图形(1)、(2)或（3）相似的？
3.下列图形中，能确定相似的有（ A B D F ）
A .两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形 C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形 E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形
C’
它们的对应角相等，对应边的比相等。
（2）两个边长分别为a和b的正方形呢?
A
a
Ａ D’
b Ｄ’ ∠A=∠A’ ∠B=∠B’ ∠C=∠C’ ∠D=∠D’
B
C
Ｂ’
C’
AB BC CD DA a A'B' B'C' C'D' D' A' b
（3）两个正六边形呢?
Ａ AＦ ’
Ｂ
Ｅ Ｂ’
ＣＤ
Ｃ’
Ｆ’ Ｅ’
一、相似图形 1.定义：形状相同的图形叫做相似图形。
注意：①相似图形的形状相同。 ②相似图形的大小不一定相同。 ③两个图形相似，其中一个图形可以看 作由另一个图形放大或缩小得到．
2.形状、大小都相同的图形称为全等图形。 注：全等图形是相似图形的特殊情况。
观察：下图是人们从哈哈镜及平面镜里看到的 不同的镜像，它们相似吗？
的距离为2cm，这个地图的比例尺为多少？
三、应用相似多边形的性质解决问题：
例1: 在如图所示的相似四边形中, 求未知边x、
y的长度和角度a的大小．
图形相似与相似三角形知识点
图形相似与相似三角形知识点相似是指形状相同但大小不同的两个图形，类似于放大或缩小后的图像。
相似的两个图形具有以下特点：•对应顶点角度相等•对应边比例相等•对应边平行因此，我们可以根据这些共同点判断两个图形是否相似。
相似三角形相似三角形是指具有相似形状的三角形，但是它们的边长不一定相等。
相似三角形的判断条件为：•AAA准则：两个三角形的三个内角相等，则它们相似。
•AA准则：两个三角形的两个内角相等，则它们相似。
•SAS准则：两个三角形的一对边和它们夹角相等，则它们相似。
其中，SAS准则是使用最广泛的判断方式，因为它是判断两个三角形是否相似的最有效方法。
相似三角形的性质相似三角形有许多重要的性质，以下是其中一些：•对应边比例相等。
对于相似三角形ABC和DEF，有AB/DE = AC/DF = BC/EF，其中AB和DE、AC和DF、BC和EF分别是对应边。
•相似三角形的高线、中线、角平分线和垂直平分线也是相似的。
例如，如果三角形ABC和DEF相似，则它们的高线、中线、角平分线和垂直平分线也相似。
•相似三角形的面积比等于对应边比的平方。
例如，如果三角形ABC 和DEF相似，则它们的面积比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2。
解决实际问题相似三角形的知识可以有效地应用于实际问题中。
以下是一些示例：•使用相似三角形来计算高度：当需要计算无法直接获得高度的对象高度时，可以利用相似三角形的原理来计算。
例如，一位工程师需要计算一栋建筑物的高度，但是他无法直接获得建筑物的高度。
在这种情况下，他可以站在一个已知的位置并利用三角函数（正切）计算出地平线上某个点的角度。
然后，他可以测量人的高度并利用相似三角形来计算出建筑物的高度。
•使用相似三角形来计算距离：当需要计算无法直接获得距离的对象距离时，可以利用相似三角形的原理来计算。
例如，一位地质学家需要计算一个峭壁的高度和距离，但他无法测量峭壁高度和距离。
九年级《图形的相似》知识点归纳
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：512长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“斜边和一直角边对应成比例”（3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）FE D CB A E BD E D(3)B C AE DBC(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
形状相同的图形
大小
形状相同的图形可以具有不同的 尺寸，但它们的比例和尺寸关系 是相同的。例如，两个正方形无 论它们的大小如何，都是相同的
图形。
方向
形状相同的图形可以具有不同的 方向，但它们的几何特性是相同 的。例如，两个平行四边形无论 它们的方向如何，都是相同的图
形。
03 形状相同图形的应用场景
建筑设计
建筑设计中的形状相同图形应用广泛，如圆形、方形、三角形等，可以用于规划 建筑物的整体布局和细节设计。
大小相同
两个图形的大小完全一样，即它 们是等比例缩放的。
分类：旋转、平移、镜像
旋转
镜像
一个图形绕着某一点旋转一定的角度 后与另一个图形重合。例如，正方形 绕着中心点旋转90度后与原来的正方 形重合。
一个图形关于某条直线对称后与另一 个图形重合。例如，一个等腰三角形 关于底边中垂线对称后与另一个等腰 三角形重合。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
随着科技的发展，形状相同图形可以与艺术更加紧密地结合，创 造出更具创意和表现力的作品。
数学理论的应用
数学是形状相同图形的基础，未来可以进一步探索数学理论在形状 相同图形中的应用，以推动其理论和实践的发展。
跨学科合作
可以与其他学科领域进行合作，如物理学、生物学等，以拓展形状 相同图形的应用领域和表现形式。
状相同图形。
结合计算机图形学
计算机图形学的发展为形状相同图 形的创造提供了更多可能性，可以 通过编程实现更复杂的形状相同图 形。
引入非线性变换
传统的形状相同图形主要基于线性 变换，未来可以尝试引入非线性变 换，以创造出更具有艺术性和视觉 冲击力的形状相同图形。
未来发展：结合科技、艺术和数学
形状相同的图形课件
形状相同图形的意义
形状相同图形在几何学中具有重 要的意义和应用。
它们可以被广泛应用于几何学的 教学和研究中，帮助人们更好地 理解和掌握几何学的基本概念和
性质。
同时，形状相同图形也具有一些 实际应用价值，例如在计算机图 形学、建筑设计、机械设计等领
美观度。
地理课件
地理课件中经常需要绘制各种地 标性建筑或者地理图形，利用形 状相同的图形课件可以帮助更好
地展示地理信息。
生物课件
在介绍细胞结构或者生物器官时， 形状相同的图形课件能够直观地 展示不同细胞或器官之间的相似 性和差异性。
04
形状相同图形的判定方法
判定方法
定义法
根据形状相同图形的定义，通过 比较两个图形的形状、大小、方 向等特征来确定它们是否形状相同。
方法3
利用面积法证明
习题练习
习题1
两个矩形相似，其中一个矩形的长为3cm， 宽为2cm，求另一个矩形的长和宽。
习题2
两个正方形相似，其中一个正方形的边长为 4cm，求另一个正方形的边长。
习题3
两个三角形相似，其中一个三角形的底边长 为3cm，高为2cm，求另一个三角形的底边 长和高。
03
形状相同图形的作图技巧
形状相同图形的可视化技术
可视化技术可以让形状相同图形更加直观易懂，提高了其在各领域 的应用效果。
对未来的期待与建议
加强跨学科合作
01
加强数学与其他学科的合作，推动形状相同图形在各领域的应
用和发展。
鼓励创新研究
02
鼓励科研人员和教师对形状相同图形的算法和应用进行深入研
29.1形状相同的图形
（13 ）
（ 8 ）与（ 9 ）。
（14 ）
（15 ） （16 ）
2、下列图形中，能确定相似的（ A B D F ）
A .两个半径不相等的圆；
B .所有的等边三角形；
C .所有的等腰三角形；
D .所有的正方形； E .所有的等腰梯形；
60°
60°
70° 70°
F .所有的正六边形。
3、举出生活中有哪些相似图形的例子。
①△A′B′C′是什么三角形？ ②若AB = 2cm，则A′B′的长度是多少？ ③若∠A = 30°，则∠A′的度数是多少？
解：①△A′B′C′是等腰三角形A ′；
A
②A′B′= 2AB = 4 cm ；
BC
B′
C′
③经观察，∠A应与∠A′相等，
用量角器测量可得∠A′= 30°。
课后作业及实践作业
（请同学们先小组之间讨论交流，再让各小组 长代表发言。）
如图，在点格中给出一个图形， 请你另外在空白的点格中画它的相似 形，使所画图形各边的长度是原图对 应边的二倍。
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
绘制花圃的平面图
已知花圃是一个长方形，长20米， 宽10米，你能按实际距离把花圃的平面 图画到一张边长为13厘米的正方形纸上 吗？(请m
4 cm
小 结：
放大或缩小的图形
相似的图形
特征
画法
形状相同
放大或缩小
做一做
如图，等腰△ABC扩大两倍后得到△A′B′C′， 则
(1) (3)
(2)
结 论:
不是相似图形，因为 它们之间不是通过放 大与缩小得到的，即 它们的形状不同
相似三角形经典题型
相似三角形知识点与经典题型知识点 1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 (相似系数 )．知识点 2比例线段的相关概念〔1 〕如果选用同一单位量得两条线段a, b的长度分别为m,n ，那么就说这两条线段的比是am，bn或写成 a : b m : n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
〔2 〕在四条线段 a,b,c, d 中，如果 a 和b 的比等于 c 和d 的比，那么这四条线段 a, b, c, d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为： bd ．② 在比例式ac(a ： bc ac ：d )中，a 、d 叫比例外项， b 、c 叫比例内项 , a 、c 叫比例前项， b 、b dd 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，即 a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、d 的比例中项， 此时有 b 2ad 。
〔3 〕黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC, BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，即 AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC5 1AB2≈AB ．即ACBC 5 1 简记为： 长＝短＝ 5 1ABAC 2全 长 2注：黄金三角形：顶角是 36 0的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比例的性质〔注意性质立的条件：分母不能为0 〕〔 1 〕 根本性质：① a : bc : dadbc；②a : bb : cb 2a c ．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c b : a ， d : b c : a ．ad bc ，除d : c ， c : a d : b ，a b，交换内项)cd〔2 〕 更比性质 (交换比例的内项或外项 )：ac d c，交换外项)bdbad b．同时交换内外项)ca〔3 〕反比性质 (把比的前项、后项交换 )：ac bd ．bdac〔4 〕合、分比性质：ac a b cd ．bdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比例仍成立．如：a cac 等等．bda b cda bc d〔 5 〕等比性质：如果ac e m(b d fn 0) ，那么ac e m a ． bd fnbd fn b注：①此性质的证明运用了“设 k 法〞〔即引入新的参数 k 〕这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ac e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0 ．b df b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线 )所A得的对应线段成比例 .由 DE ∥BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 AD AE DBEC ADEA AB ACD EBC注：①重要结论：平行于三角形的一边 ,并且和其它两边相交的直线 ,所截的三角形的三边 与原三角形三边 对．．．．．． ．．．．．．应成比例 .②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线 )所得的对应线段成比例 .那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原那么是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.A D2. 平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线 ,所截得的对应线段成比例 . B EAD ∥BE ∥CF,C F可得ABDE或 AB DE或BC EF或 BC EF或AB BC 等. BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形性质
相似三角形性质(总19页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点3三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．B (3)DB (2)知识点4 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
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（1）所有的圆都是形状相同的图形； （2）所有的矩形都是形状相同的图形； （3）所有的菱形都是形状相同的图形；
（ 对） （ 错） （ 错）
（4）所有的等边三角形都是形状相同的图形（ 对）
（5）所有的等腰三角形都是形状相同的图形（ 错 ）
（6）所有的等腰直角三角形都是形状相同的图形（ 对） （7）所有的圆柱体都是形状相同的图形. （ 错 ）
（多）
1、两个形状相同的图形与这两个图形本身的大小有关吗？
2、你能说出生活中一些形状相同的图形吗？
3、这节课我们学习了哪几种方法，可以使一个图形与已 知图形形状相同？
你还有其他的方法吗？
（多）
Sierpinski三角形
Kohn雪花曲线
所有的矩形真的都是形状相同的图形吗？
A
D
E
H
F
G
B
C
所有的圆柱真的都是形状相同的吗？
3、形状相同的图形
生活中形状相同的图形
生活中形状相同的图形
生活中形状相同的图形
生活中形状相同的图形
生活中形状相同的图形
综合以上各组图形我们体会到： 两个图形的形状__完__全__相__同___，但图形的大小 不__一__定__相__同__，这样的两个图形叫做形状相同的图形.
同学们，你还记得全等的图形吗？说一说 全等的图形和形状相同的图形之间有什么 联系与区别！
横
y
向 为
4
B B1
原
O1(0,0)
来 的
2 倍
2
A
A1
C
C1
O1
D
D1
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
A1(2,2) B1(4,4) C1(6,2)
-2
D1(8,0)
-4
(x , y) (2x , y)
纵 向
y 8
B2
为
原
6
来 的
4 A2 B C2
O2(0,0) A2(1,4) B2(2,8)
2
倍
2
AC
O2
D
C2(3,4) D2(4,0)
-2 -1 O 1 2 3 D42 5 6 7 8 x -1
(x, y) (x ,2 y )
横
y
B3
8
向 纵
O3(0,0)
向 都 是 原
6
4 A3 B
C3
A32
2
O3
D
D3
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
( x, 2 y ) O2( 0 , 0 ) A2( 1 , 4 ) B2( 2 , 8 ) C2( 3 , 4 ) D2( 4 , 0 )
表3
( x, y) O(0 , 0) A (1 , 2) B (2 , 4) C (3 , 2) D(4 , 0)
( 2 x, 2 y ) O3( 0 , 0 ) A3( 2 , 4) B3( 4, 8) C3( 6 , 4 ) D3( 8 , 0 )
所有的菱形真的都是形状相同的图形吗？
所有的等腰三角形真的都是形状相同的图形吗？
说一说
•这节课我的收获是……
我画出的新“爱心”的形状与已知“爱心”的形 状完全相同吗？能否找到一种更准确的方法呢？
一起来探索一下吧！
在直角坐标系中描出点O（0，0）、A(1，2)、 B（2，4）、C（3，2）、D（4，0）.先用线 段顺次连接点O、A、B、C、D，然后再用线段 连接A、C两点.
你得到了一个什么图形？
在直角坐标系中描出点O1、A1、B1、C1、D1，并按 同样的方式连接各点，你得到了一个什么图形？填写表2
数学小实验：
一、实验目的
利用橡皮筋画一颗“爱心”与已知的“爱心”形状 相二同、.实验器材
铅笔1枝（或圆珠笔）、橡皮筋1条、作图纸１ 张三.、实验步骤
1、在橡皮筋的中点打一个结点； 2、在“爱心”外取一个定点； 3、将系好的橡皮筋的一端用手指按在定点处，把一枝 铅笔（或圆珠笔）固定在橡皮筋的另一端；
4、拉动铅笔，使橡皮筋的结点沿“爱心”的边缘运动， 当结点在“爱心”的边缘上运动一周时，铅笔（或圆珠
笔）就画出了一颗新的“爱心”.
四、实验结论 １、画出的新“爱心”的大小比已知“爱 大
心”_______(填“大”或“小”或“一样大”)； ２、新“爱心”与已知“爱心”的形相状同______(填“相同” 或“不同”). 五、事后反思
呢？填写表3呢？
表1
( x, y) O(0 , 0) A(1 , 2) B(2 , 4) C(3 , 2) D(4 , 0)
( 2 x , y ) O1(0 ,0 ) A1(2 ,2 ) B1( 4 , 4 ) C1(6 ,2 ) D1(8 ,0 )
表2
( x, y) O(0 , 0) A (1 , 2) B (2 , 4) C (3 , 2) D(4 , 0)
C3(6,4) D3(0,8)
倍
-1
(x, y) (2x, 2y)
你能利用刚才所学到的方法，将“Ａ”字 形缩小吗？选取你喜欢的坐标缩小的倍数，然 后进行填表并作图吧！
记住哦： 想好了要动手 画一画！
积累就是知识
一个图形各点的坐标经过怎样的变化，可以 使所得到的图形与原图形的形状相同？
答：一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个 不为零的数，可以使所得的新图形与原图形的形状相同.